2020年人教版数学九年级下册第二十八章能力提优测试卷(含答案)

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2020春人教版九年级数学下册第二十八章检测试卷

九年级下册·数学(RJ)第二十八章检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共1.2sin 60°的值等于A.1B.C.D.22.若α为锐角,且cos α=0.4,则A.0°<α<30°B.30°<α<45°C.45°<α<60°D.60°<α<90°3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是A.sin A=B.cos A=C.tan A=D.tan B=4.在△ABC中,∠C=90°,cos A=,则sin B=A. B. C. D.5.李红同学遇到了这样一道题:tan(α+20°)=1,请你猜想锐角α的度数应是A.40°B.30°C.20°D.10°6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD.若cos ∠BDC=,则BC的长是A.10B.8C.4D.27.如图,从海岛B分别同时沿北偏西20°方向,北偏东40°方向驶出甲、乙两艘货船,若两艘货船的速度均为20海里/时,两小时后,两艘货船A,C之间的距离为A.60海里B.40海里C.30海里D.20海里8.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC的中点,DE⊥AB于点E,则tan ∠BDE=A.B.C.D.9.某测量队在山脚A处测得山上树顶B的仰角为45°(如图),测量队在山坡上前进600米到D处,再测得树顶的仰角为60°,已知这段山坡的坡角为30°,如果树高为15米,则树顶B 到水平面的距离BC为(精确到1米,≈1.732)A.585米B.1014米C.820米D.835米10.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.在Rt△ABC中,2sin(α+20°)=,则锐角α的度数为40°.12.如图,在△ABC中,sin B=,tan C=,AB=3,则AC的长为.13.如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,则此时AB 的长约为5.1米.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)14.一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β;sin(α-β)=sin α·cos β-cos α·sin β.例如sin90°=sin(60°+30°)=sin 60°·cos 30°+cos 60°·sin 30°==1.类似地,可以求得sin 15°的值是-.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:3sin 60°-2cos 30°-tan 60°·tan 45°.解:原式=3×-2××1=-.16.计算:cos245°+sin 60°·tan 30°--.解:原式=-(-1)=2-.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=2+2,c=4,求锐角A的度数.解:锐角A为30°或60°.18.如图所示,在建筑物顶部有一块长方形广告牌架CDEF,已知CD=2 m,在地面上A处测得广告牌上端C的仰角为37°,前进10 m到达B处,在B处测得广告牌架下端D的仰角为60°,求广告牌架下端D到地面的距离.(结果精确到0.1 m,参考数据:tan 37°≈0.75,取1.73)解:延长CD交AB的延长线于点H,则CD⊥AB,设DH=x,则CH=x+2.在Rt△DHB中,BH=x,∴AH=AB+BH=x+10.在Rt△CAH中,tan ∠CAH=,即≈0.75,解得x≈9.7.答:广告牌架下端D到地面的距离约为9.7 m.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图所示,某施工队要测量隧道BC的长度,已知AD=600米,AD⊥BC,施工队站在点D 处看向点B,测得仰角为45°,再由点D走到点E处测量,DE∥AC,ED=500米,测得仰角为53°,求隧道BC的长.(sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈).解:分别过点C,B作CM⊥ED,BN⊥ED,垂足分别为M,N,则CM=BN=AD=600,BC=MN.在Rt△CME中,ME=≈600×=450.在Rt△BND中,DN==600,∴MN=ME+ED-DN=450+500-600=350,∴BC=350(米).答:隧道BC的长为350米.20.“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm,低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到 1 cm,参考数据:sin 82.4°≈0.991,cos 82.4°≈0.132,tan 82.4°≈7.495,sin 80.3°≈0.986,cos 80.3°≈0.168,tan 80.3°≈5.850)解:在Rt△ACE中,AE=≈21(cm).在Rt△DBF中,BF==40(cm),∴EF=AE+AB+BF=21+90+40=151(cm).易得四边形CEFH是矩形,∴CH=EF=151(cm).答:高、低杠间的水平距离CH的长为151 cm.六、(本题满分12分)21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tan B=.(1)求AD的长;(2)求sin α的值.解:(1)由tan B=可设AC=3x,BC=4x.又AC2+BC2=AB2,∴(3x)2+(4x)2=52,解得x=-1(舍去),或x=1,∴AC=3,BC=4.∵BD=1,∴CD=3,∴AD==3.(3)过点D作DE⊥AB于点E,∵BD·AC=AB·DE,∴DE=,∴sin α=.七、(本题满分12分)22.如图,某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一艘可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡査此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B,C两处之间的距离;(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.解:(1)作CE⊥AB于点E,则∠CEA=90°.由题意得AB=60×1.5=90,∠CAB=45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∠CBE=60°,∴CE=AE,CE=BE,BC=2BE.设BE=x,则CE=x,AE=BE+AB=x+90,∴x=x+90,解得x=45+45,∴BC=2x=90+90.答:B,C两处之间的距离为(90+90)海里.(2)作DF⊥AB于点F,∴DF=CE=x=135+45,∠DBF=90°-60°=30°,∴BD=2DF=270+90,∴海监船追到可疑船只所用的时间为=3+(小时).答:海监船追到可疑船只所用的时间为(3+)小时.八、(本题满分14分)23.(1)如图,锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定,也随着其变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值的变化规律.(2)根据你探索到的规律,试分别比较18°,34°,52°,65°,88°这些角的正弦值的大小和余弦值的大小.(3)比较大小(在空格处填“<”“>”或“=”):若∠α=45°,则sin α=cos α;若∠α<45°,则sin α<cos α;若∠α>45°,则sin α> cos α.(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系,比较下列正弦值和余弦值的大小:sin 10°,cos 30°,sin 50°,cos 70°.解:(1)在图1中,令AB1=AB2=AB3,B1C1⊥AC于点C1,B2C2⊥AC于点C2,B3C3⊥AC于点C3,显然有B1C1>B2C2>B3C3,∠B1AC>∠B2AC>∠B3AC.∵sin ∠B1AC=,sin ∠B2AC=,sin ∠B3AC=,而,∴sin ∠B1AC>sin ∠B2AC>sin ∠B3AC.在图2中,在Rt△ACB3中,∠C=90°,cos ∠B1AC=,cos ∠B2AC=,cos ∠B3AC=,∵AB3<AB2<AB1,∴,即cos ∠B3AC>cos ∠B2AC>cos ∠B1AC.(2)sin 88°>sin 65°>sin 52°>sin 34°>sin 18°; cos 88°<cos 65°<cos 52°<cos 34°<cos 18°.(4)cos 30°>sin 50°>cos 70°>sin 10°.。

人教版九年级数学下册第二十八章检测卷(含答案)

第二十八章检测卷时间：120分钟满分：150分题号一二三四五六七八总分得分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．tan30°的值等于( ) A.13 B.22 C.33 D.322．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( )A.12B.22C.32D ．1第2题图第6题图第7题图3．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，则cos B 的值为( )A.74 B.34 C.35 D.454．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －322＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A2的值是( )A.35B.45C.34D.546．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105D ．1 7．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米8．如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为( )A ．503米B ．51米C ．(503＋1)米D ．101米9．如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( )A.65B.85C.75D.23510．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，tan A ＝12.点P 是斜边AB 上一个动点，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC (或边CB )于点Q .设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则tan B ＝________．12．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cos θ＝________．13．如图，一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时．14．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y .据此判断下列等式成立的是__________(填序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y .三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算： (1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.16．根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝36，b＝9 2.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．巢湖为我国五大淡水湖之一，是皖中著名的旅游胜地．如图，某同学欲测量巢湖的东西向长度，于是他选择了巢湖沿岸三个地点A，B，C，并测得B，C两地直线距离为40km，∠A＝45°，∠B＝30°，求巢湖东西向长度AB(结果精确到0.1km，参考数据：3≈1.73)．课题测量教学楼高度方案一二图示测得数据CD＝6.9米，∠ACG＝22°，∠BCG＝13°.EF＝10米，∠AEB＝32°，∠AFB＝43°.参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23.sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93.请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度(结果保留整数)．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．20．将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．六、(本题满分12分)21．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC .若CD ＝3，BD ＝26，sin ∠DBC ＝33，求对角线AC 的长．七、(本题满分12分)22．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，如图，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．八、(本题满分14分)23．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C、A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.C 9．B 解析：连接BD .∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，∴∠ADB ＝90°，OB ＝2.∵OC ∥AD ，∴∠A ＝∠BOC ，∴cos A ＝cos ∠BOC .∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∴cos ∠BOC ＝OB OC ＝25，∴cos A ＝cos ∠BOC ＝25.又∵cos A ＝AD AB ，AB ＝4，∴AD ＝85.故选B. 10．B 解析：当点Q 在AC 上时，∵在Rt △APQ 中，tan A ＝12，AP ＝x ，∴PQ ＝12x ，∴y ＝12AP ·PQ ＝12x ·12x ＝14x 2；当点Q 在BC 上时，∵AP ＝x ，AB ＝10，∴BP ＝10－x .在Rt △BPQ中，tan B ＝AC BC ＝1tan A ＝2，∴PQ ＝2BP ＝20－2x ，∴y ＝12AP ·PQ ＝12x (20－2x )＝－x 2＋10x ，∴该函数图象前半部分是抛物线，开口向上，后半部分也为抛物线，开口向下，并且当Q 点在C 时，x ＝8，y ＝16.故选B.11.125 12.45 13.40＋403314．②③④ 解析：cos(－60°)＝cos60°＝12，故①错误；sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝12×22＋32×22＝24＋64＝2＋64，故②正确；sin2x ＝sin(x＋x )＝sin x ·cos x ＋cos x ·sin x ＝2sin x ·cos x ，故③正确；sin(x －y )＝sin x ·cos(－y )＋cos x ·sin(－y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y ，故④正确．故答案为②③④.15．解：(1)原式＝3×33＋⎝⎛⎭⎫222－2×32＝3＋12－3＝12.(4分)(2)原式＝(3)2－2×22＋12＝3－2＋12＝72－ 2.(8分) 16．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(4分)(2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6 6.(8分)17．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.(1分)∵在Rt △BDC 中，∠B ＝30°，BC ＝40km ，∴CD ＝BC ·sin B ＝40×12＝20(km)，BD ＝BC ·cos B ＝40×32＝203(km)．(4分)∵在Rt △ADC 中，∠A ＝45°，CD ＝20km ，∴AD ＝CD ＝20km ，∴AB ＝AD ＋BD ＝20＋203≈54.6(km)．(7分)答：巢湖东西向长度AB 大约是54.6km.(8分)18．解：若选择方法一，解法如下：∵在Rt △BGC 中，∠BCG ＝13°，BG ＝CD ＝6.9米，tan ∠BCG ＝BG CG ，∴CG ＝BG tan13°≈6.90.23＝30(米)．(3分)∵在Rt △ACG 中，∠ACG ＝22°，CG ≈30米，tan ∠ACG ＝AGCG ，∴AG ＝CG ×tan22°≈30×0.40＝12(米)，(6分)∴AB ＝AG ＋BG ＝12＋6.9≈19(米)．(7分)答：教学楼的高度约为19米．(8分)若选择方法二，解法如下：∵在Rt △AFB 中，∠AFB ＝43°，tan ∠AFB ＝AB FB ，∴FB ＝ABtan43°≈AB 0.93.(3分)∵在Rt △ABE 中，∠AEB ＝32°，tan ∠AEB ＝AB EB ，∴EB ＝AB tan32°≈AB0.62.(5分)∵EF ＝EB －FB ＝10米，∴AB 0.62－AB 0.93＝10，∴AB ≈19米．(7分)答：教学楼的高度约为19米．(8分)19．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB .(3分)∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x ，CD ＝2x .在Rt △ACD中，tan D ＝2，∴ACCD ＝2，∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.(7分)由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455.(10分)20．解：过点P 作PN ⊥AB 于点N .(1分)由题意可得∠APB ＝∠90°，ABP ＝30°，AB ＝8cm ，∴AP ＝4cm ，BP ＝AB ·cos30°＝43cm.(4分)∵S △APB ＝12AB ·PN ＝12AP ·BP ，∴PN ＝AP ·BPAB ＝4×438＝23(cm)，(8分)∴9－23≈5.5(cm)．(9分)答：容器中牛奶的高度约为5.5cm.(10分)21．解：如图，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，(1分)则∠E ＝90°.∵在Rt △BDE 中，sin ∠DBC ＝33，BD ＝26，∴DE ＝22，∴BE ＝BD 2－DE 2＝4.∵在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝22，∴CE ＝CD 2－DE 2＝1，∴BC ＝BE －CE ＝3，∴BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB .(4分)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD .同理AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是菱形．(7分)设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ，BO ＝DO ＝12BD ＝6，(10分)∴OC ＝BC 2－BO 2＝3，∴AC ＝2OC ＝2 3.(12分)22．解：过点E 作EF ⊥AC ，EG ⊥CD ，垂足分别为点F ，G .(1分)∵在Rt △DEG 中，DE ＝1620尺，∠D ＝30°，∴EG ＝DE ·sin D ＝1620×12＝810(尺)．(3分)由题意可得BC ＝857.5尺，CF ＝EG ＝810尺，∴BF ＝BC －CF ＝857.5－810＝47.5(尺)．∵在Rt △BEF 中，tan ∠BEF ＝BF EF ，∠BEF ＝30°，∴EF ＝3BF .(7分)设AB ＝x 尺．∵在Rt △AEF 中，∠AEF ＝60°，tan ∠AEF ＝AFEF，∴AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝3EF ＝3BF ，∴x ＋47.5＝3×47.5，∴x ＝95.(11分)答：雕像AB的高度为95尺．(12分)23．解：(1)如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(2分)设AE＝x海里．在Rt△AEC中，∠CAE＝60°，∴CE＝AE·tan60°＝3x海里，AC＝AEcos60°＝2x海里．(4分)在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴BE＝CE＝3x海里．∵AB＝AE＋BE＝100(3＋1)海里，∴x＋3x＝100(3＋1)，解得x＝100.∴AC＝200海里．(6分)在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°.设AF＝y海里．在Rt△AFD中，∠DAF＝60°，∴AD＝2y海里，DF＝3y海里．在Rt△CFD中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝3y海里．∵AC ＝AF＋CF＝200海里，∴y＋3y＝200，解得y＝100(3－1)，∴AD＝2y＝200(3－1)海里．(9分)答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(3－1)海里．(10分)(2)没有．(11分)由(1)可知DF＝3AF＝3×100(3－1)≈127(海里)．(13分)∵127海里＞100海里，∴巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中没有触暗礁危险．(14分)。

人教版九年级数学册第二十八章测试卷(附答案)

初中数学人教版九年级下学期第二十八章测试卷一、单选题（共7题；共14分）1.tan30°的值等于( )A. B. C. D.2.如图，AB是⊙O的直径，C, D是⊙O上AB两侧的点，若∠D＝30°，则tan ∠ABC的值为( )A. B. C. D.3.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A. AF= CFB. ∠DCF=∠DFCC. 图中与△AEF相似的三角形共有5个D. tan∠CAD=4.在锐角中，，则（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°5.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（）A. B. C. D.6.如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A. B. 51 C. D. 1017.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AC的长为（）A. 6B. 5C.D.二、填空题（共3题；共3分）8.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶2，则AB的长是________．9.如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的余弦值是________．10.小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.三、计算题（共3题；共20分）11.计算：6tan30°+cos245-sin60°12.计算：13.计算：（1）。

（2）。

四、综合题（共2题；共15分）14.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o 方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．15.为积极参与文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图。

人教版九年级数学下第二十八章综合能力检测题含答案

人教版九年级数学下第二十八章综合能力检测题含答案时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．sin 60°等于( D ) A.12 B.22 C ．1 D.322．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，则下列等式中正确的是( D )A ．cos A ＝a cB ．sin B ＝c bC ．tan B ＝a bD ．以上都不正确 3．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tan α的值是( C ) A.55 B. 5 C.12D ．2 第3题图第6题图第7题图4．下列等式成立的是( C )A ．sin45°＋cos45°＝1B ．2tan30°＝tan60°C ．2sin30°＝tan45°D ．sin45°cos45°＝tan45° 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，a ＋b ＝46，则c 等于( A )A ．4 3B ．4C ．2 6D ．4 26．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D )A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米7．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边上一点，∠DAC ＝30°，BD ＝2，AB ＝23，则AC 的长是( A )A. 3 B ．2 2 C ．3 D.3228．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD ⊥AB交AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( D ) A ．1 B.203 C ．3 D.163 第8题图第9题图第10题图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 边上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C )A.33B.233C.533D ．5 3 10．如图，学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A 是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆AE 会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角度∠BAE ＝127°，已知AB ⊥BC ，支架AB 高1.2米，大门BC 打开的宽度为2米，以下哪辆车可以通过？( C )(栏杆宽度，汽车反光交镜忽略不计)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，车辆尺寸：长×宽×高)A ．宝马Z4(4200 mm×1800 mm×1360 mm)B ．奇瑞QQ(4000 mm×1600 mm×1520 mm)C ．大众朗逸(4600 mm×1700 mm×1400 mm)D ．奥迪A4(4700 mm×1800 mm×1400 mm)二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC 中，∠B ＝45°，cos A ＝12，则∠C 的度数是__75°__． 12．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是__492__cm 2.第12题图第14题图第15题图13．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为__125__． 14．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝__12__． 15．如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则sin ∠AFG 的值__32__． 16．(2015·德州)如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38 m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度均为__7.2__m ．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)第16题图第17题图17．一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20(3＋1)海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西65°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为__2__海里/分．18．已知：在△ABC 中，AC ＝1，AB 与BC 所在直线所成的角中锐角为45°角，AC与BC 所在直线形成的夹角的余弦值为255(即cos C ＝255)，则BC 边的长是__355或55___．解：点拨：分两种情况：作AD ⊥BC ，垂足为点D.①在△ABC 的内部，∠ABD ＝45°；②在△ABC 外∠ABD ＝45°.这两种情况，解直角△ACD 与直角△ABD ，得到BC 的长．三、解答题(共66分)19．(6分)已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋⎝⎛⎭⎫13－1的值．解：∵sin (α＋15°)＝32，∴α＝45°，∴原式＝22－4×22－1＋1＋3＝3. 20．(8分)在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知：c ＝83，∠A ＝60°，求∠B 及a ，b 的值；(2)已知：a ＝36，c ＝63，求∠A ，∠B 及b 的值．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43；(2)∠A ＝∠B ＝45°，b ＝3 6.21．(9分)(2015·长春)如图，海面上B ，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向．一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°.求A ，B 两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin 43°＝0.68，cos 43°＝0.73，tan 43°＝0.93)解：由题意，得AC ＝18×2＝36(海里)，∠ACB ＝43°.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝90°，∴AB ＝AC•tan ∠ACB ＝36×0.93≈33.5(海里)．故A ，B 两岛之间的距离约为33.5海里．22．(9分)(2014·重庆)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为点D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．解：在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∴tanA ＝CD AD ＝6AD ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝12－4＝8.在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝90°，BD ＝8，CD ＝6，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝10，∴sinB ＝CD BC ＝35，cosB ＝BD BC ＝45，∴sinB ＋cosB ＝35＋45＝75. 23．(10分)一副三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．解：过点B 作BM ⊥DF 于点M.∵∠BCA ＝90°，∠A ＝45°，∴∠ABC ＝45°，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝45°.在Rt △BCM 中，BM ＝BC·sin45°＝12.在Rt △BCM 中，∵∠BCM ＝45°，∴∠MBC ＝45°，∴CM ＝BM ＝12.在Rt △BMD 中，∠BDM ＝60°，∴DM ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －DM ＝12－4 3. 24．(11分)(2015·上海)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS )的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ，如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)解：(1)连接PA.由题意知，AP ＝39 m ．在Rt △APH 中，PH ＝AP 2－AH 2＝392－152＝36(米)；(2)由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．在Rt △ADH 中，DH ＝AH tan30°＝153(米)．在Rt △CDQ 中，DQ ＝CQ sin30°＝3912＝78(米)．则PQ ＝PH ＋HQ ＝PH ＋DQ －DH ＝36＋78－153≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)．故高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．25．(13分)如图，某小学门口有一直线马路，交警在门口设有一条宽度为4米的斑马线，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE ＝15°和∠FAD ＝30°，司机距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？(E ，D ，C ，B 四点在平行于斑马线的同一直线上)(参考数据：tan 15°＝2－3，3≈1.732，2≈1.414)解：∵∠FAE ＝15°，∠FAD ＝30°，∴∠EAD ＝15°.∵AF ∥BE ，∴∠AED ＝∠FAE＝15°，∠ADB ＝∠FAD ＝30°.设AB ＝x ，则在Rt △AEB 中，EB ＝AB tan15°＝x tan15°.∵ED ＝4，ED ＋BD ＝EB ，∴BD ＝x tan15°－4.在Rt △ADB 中，BD ＝AB tan30°＝x tan30°，∴x tan15°－4＝x tan30°，即(12－3－133)x ＝4，解得x ＝2，∴BD ＝2tan30°＝2 3.∵BD ＝CD ＋BC ＝CD ＋0.8，∴CD ＝23－0.8≈2×1.732－0.8≈2.7＞2，故符合标准．故该旅游车停车符合规定的安全标准．。

人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元提优测试含答案

人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元提优测试含答案一、选择题（共10题；共30分）1.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，下列判断正确的是（）A. ∠A=90°B. ∠A=45°C. cotA=D. tanA=2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A. B. C. D.3.如果△ABC中，sin A＝cos B＝，则下列最确切的结论是( )A. △ABC是直角三角形B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角形4.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A. B. 2 C. D.5.cos30°=（）A. B. C. D.6.如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）A. 120°B. 135°C. 150°D. 160°7.Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于( )A. B. C. D.8.在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=60°，a=3时，c的值是（）A. c=4B. c=5C. c=6D. c=79.如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的影子CD的长为1米，阳光线与地面的夹角∠ACD = 60°，则AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= ，则∠A=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（共8题；共24分）11.根据图示填空：（1）sinB=CD/（________ ）=（________ ）/AB（2）cos∠ACD=CD/（________ ）12.如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=________13.①代数式3x2﹣3x+6的值为9，则x2﹣x+6的值为________②比较大小：tan62°﹣cot61°________ 1（可用计算器）．14.若α为锐角，已知cosα=，那么tanα=________ .15.2cos30°=________16.计算：tan45°﹣2cos60°=________．17.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于________．18.已知tanβ=22.3，则β=________（精确到1″）三、解答题（共6题；共36分）19.求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：（1）sinθ=0.1426；（2）cosθ=0.7845．20.如图是某小区的一个健向器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）.（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34,tan70°≈2.75）21.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（结果精确到0.1米）．22.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高BE=8米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）23.如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．24.如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？四、综合题（共10分）25.在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？参考答案一、选择题1.D2. B3.C4.B5.C6. C7.A8.C9.B 10.A二、填空题11.（1）BC；AC（2）AC 12.13. 7；＞14. 15.16.0 17.18.87°25′56″三、解答题19.解：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；（2）∵cosθ=0.7845，∴∠θ≈38.3°．20.解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，∵OD⊥CD，∠BOD=70°，∴AE//OD，∴∠A=∠BOD=70°，在Rt△AFB中，AB=2.7，∴AF=2.7cos70°=2.7×0.34=0.918,∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1（m）.答：端点A到地面CD的距离约是1.1m.21.解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，∴∠CDA=∠EBA=90°，∵∠E=30°，∴AB=AE=8米，∵BC=1.2米，∴AC=AB﹣BC=6.8米，∵∠DCA=90°﹣∠A=30°，∴CD=AC×cos∠DCA=6.8× ≈5.9米．答：该校地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米．22.解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．i=，∵BE=8，AE=6，DG=1.5，BG=1，∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，AH=AE+EH=6+1=7．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=，∴CH=9.5．又∵CH=CA+7，即9.5=CA+7，∴CA≈9.15≈9.2（米）．答：CA的长约是9.2米．23.解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，设CE=x米，∵∠EBC=45°，∴BE=x米，∵∠EAC=30°，∴AE==x米，由题意得，x﹣x=400，解得x=200（+1）米，则CD=800﹣200（+1）≈254米．答：大楼CD的高度约为254米．24.解：过P作PD⊥AB．AB=18× =12海里．∵∠PAB=30°，∠PBD=60°∴∠PAB=∠APB∴AB=BP=12海里．在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=12× =6 海里．∵6 ＞8∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．四、综合题25.（1）解：在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC= = =100，∵OC= ×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里（2）解：作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB= BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM= AB=15，AM= BM=15 ，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15 海里（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH= x，∵BM=15，∴15= x+2x，x=30﹣15 ，∴AN=30 ﹣30，BN= =15（﹣），设B军舰速度为a海里/小时，由题意≤ ，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．。

人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷含答案

人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列实数中是无理数的是()A．tan 30°B．38 C．17D．492．(母题：教材P84复习题T1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos A等于()A．35B．45C．34D．433．[2023·太原五中模拟]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝3，则∠B等于()A．15°B．45°C．30°D．60°4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为()A．22B．33C．12D． 35．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A．34B．43C．35D．456. 为出行方便，近日来越来越多的市民使用了共享单车，图①为单车实物图，图②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为20 cm，当BC＝60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为()(结果精确到1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)A．80 cm B．72 cm C．76 cm D．70 cm7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin E 的值为( ) A ．12B ．22C ．32D ．338．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC 的边OB 在x 轴上，∠AOB ＝60°，B (4，0)，点D ，E 分别是边OB ，OA 上的点，将△OED 沿DE 折叠，使点O 的对应点F 落在边AC 上，若AE ＝AF ，则点F 的坐标为( ) A ．(23，23) B ．(23，4) C ．(3，4) D ．(23，3)9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为( )A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°10．[2022·泸州]如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形ABEF 是菱形，且tan ∠ABE ＝43，若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为( ) A ．y ＝3xB ．y ＝－34x ＋152 C ．y ＝－2x ＋11 D ．y ＝－2x ＋12二、填空题(每题3分，共24分)11. 如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m 高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)12．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－cos B 2＝0，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C ＝________.13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，sin A ＝513，以点C 为圆心，R 为半径作圆，使A ，B 两点一点在圆内，一点在圆外，那么R 的取值范围是__________．14．(母题：教材P69习题T8)如图，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥BD ，AB ＝4，sin A ＝34，则平行四边形ABCD 的面积是______．15．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D落在CB 的延长线上的点D ′处，那么tan ∠BAD ′等于________．16．[2023·连云港]如图，矩形OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝kx (x <0)的图象上，顶点B ，C 在第一象限，对角线AC ∥x 轴，交y 轴于点D ．若矩形OABC 的面积是6，cos ∠OAC ＝23，则k ＝________．17．[2022·桂林]如图，某雕塑MN 位于河段OA 上，游客P 在步道上由点O 出发沿OB 方向行走，已知∠AOB ＝30°，MN ＝2OM ＝40 m ，当观景视角∠MPN 最大时，游客P 行走的距离OP 是________m.18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是BC 边上的动点，过点E 作EF ⊥AE交CD 于点F ，点G 在AE 上，且EG ＝EF ，点M ，N 分别为GF ，CD 的中点，连接MN ，则MN 的最小值为________．三、解答题(20题8分，21题10分，其余每题12分，共66分) 19．(母题：教材P68习题T3)计算： (1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°； (2)(3－1)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|＋tan 60°.20．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．21．[2022·鄂尔多斯]如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC的中点，连接OE，DE，B D．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝45，求OE的长．22．[2023·重庆]为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？23．[2023·潜江]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝34是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)24. “十四五”开局，全面推进乡村振兴，加快农村农业现代化，无人机遥感数据采集引领农业精准发展．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为120 m的A处测得试验田一侧边界N处俯角为60°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田另一侧边界M处俯角为48°，已知点A，B，M，N在同一平面内，求试验田边界M，N之间的距离．(参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73，结果精确到0.1 m)答案一、1．A2．B3．D【点拨】根据直角三角形的边角关系，求出tan B的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．4．A【点拨】过点A作BC的垂线，与BC的延长线交于点D，在Rt△ABD中，由AD＝3，BD＝3，可得△ABD是等腰直角三角形，计算即可得出答案．5．D6．C【点拨】作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH，再求出CH＋AP即可得到答案．7．A8．A【点拨】过A作AH⊥OB于H，作AG⊥EF于G.根据四边形AOBC是菱形，∠AOB＝60°，B(4，0)，可得∠OAC＝120°，OH＝12OA＝2，AH＝3OH＝23，则A(2，23)．又∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EF＝2EG.∴EG＝AE·cos30°＝32AE.故EF＝3AE.由将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，有OE＝EF＝3AE，从而3AE＋AE＝4，则AE＝23－2，即AF＝23－2，可得F(23，23)．9．D【点拨】有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝12，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝12，则180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.10．D 【点拨】连接OB ，AC ，它们交于点M ，连接AE ，BF ，它们交于点N ，作直线MN ，则直线MN 为符合条件的直线l ，如图．∵四边形OABC 是矩形， ∴OM ＝BM .∵点B 的坐标为(10，4)， ∴M (5，2)，AB ＝10，BC ＝4. ∵四边形ABEF 为菱形， ∴BE ＝AB ＝10.如图，过点E 作EG ⊥AB 于点G .在Rt △BEG 中，∵tan ∠ABE ＝43，∴EG BG ＝43. 设EG ＝4k ，则BG ＝3k ， ∴BE ＝EG 2＋BG 2＝5k . ∴5k ＝10.∴k ＝2. ∴EG ＝8，BG ＝6. ∴AG ＝4.∴E (4，12)．∵点B 的坐标为(10，4)，AB ∥x 轴， ∴A (0，4)．易知点N 为AE 的中点，∴N (2，8)．设直线l 的解析式为y ＝ax ＋b ， ∴⎩⎨⎧5a ＋b ＝2，2a ＋b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝12.∴直线l 的解析式为y ＝－2x ＋12.故选D ．二、11.21 【点拨】∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12A B ．在Rt △ACD 中，∠CAD ＝37°，CD ＝3 m ，∴AC ＝CD sin 37°≈30.6＝5(m)，AD ＝CD tan 37°≈30.75＝4(m)， ∴CA ＝CB ≈5 m ，AB ＝2AD ≈8(m)， ∴AC ＋CB ＋AB ＋CD ≈5＋5＋8＋3＝21(m)． ∴共需钢材约21 m. 12．105°13．5＜R ＜12 【点拨】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，sin A ＝513，∴BC ＝AB ×sin A ＝13×513＝5. ∴AC ＝AB 2－BC 2＝12.∵以点C 为圆心，R 为半径作圆，使A ，B 两点一点在圆内，一点在圆外， ∴5＜R ＜12. 14．3715. 2 【点拨】由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD ′AB ＝ 222＝ 2. 16．－83 【点拨】如图，作AE ⊥x 轴于点E .∵矩形OABC 的面积是6， ∴△AOC 的面积是3，∵∠AOC ＝90°，cos ∠OAC ＝23， ∴OA AC ＝23.∵对角线AC ∥x 轴，∴∠AOE ＝∠OA C ． ∵∠OEA ＝∠AOC ＝90°，∴△OEA ∽△AOC ， ∴S △OEA S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA AC 2，∴S △OEA 3＝49.∵S △OEA ＝12|k |，k <0，∴k ＝－83. 故答案为－83. 17．20318.2 【点拨】如图，连接AC ，BD 交于点O ，由题意得∠BCD ＝90°，∠ACD ＝45°，连接ME ，CM ，由EG ＝EF ，EF ⊥AE ，点M 为GF 的中点，可知EM ⊥GF ，∠MEF ＝45°，所以∠EMF ＝∠BCD ＝90°，故E ，M ，F ，C 在以EF 为直径的圆上，所以 ∠MCN ＝∠MEF ＝45°，则M 在线段AC 上运动，当NM ⊥AC 时，MN 最短，从而可得答案．三、19.【解】(1)原式＝33×12＋1×32＝36＋32＝233.(2)原式＝1＋9＋2－3＋3＝12.20．【解】过C 点作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，∴∠CDB ＝90°. ∵∠ABC ＝120°，∴∠CBD ＝180°－∠ABC ＝60°. ∵BC ＝2，∴sin ∠CBD ＝CD BC ＝CD 2，cos ∠CBD ＝BD BC ＝BD2，即sin 60°＝CD 2＝32，cos 60°＝BD 2＝12.∴CD ＝3，BD ＝1.∵AB ＝4，∴AD ＝AB ＋BD ＝4＋1＝5.∴AC ＝AD 2＋CD 2＝52＋(3)2＝27，即AC 的长为27.21．(1)【证明】如图，连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∴∠BDC ＝90°.∵E 是BC 的中点，∴DE ＝BE ＝EC ＝12B C ． ∵⊙O 与BC 相切于点B ，∴∠ABC ＝90°.在△DOE 和△BOE 中，⎩⎨⎧OD ＝OB ，DE ＝BE ，OE ＝OE ，∴△DOE ≌△BOE (SSS) .∴∠ODE ＝∠ABC ＝90°.∴OD ⊥DE .又∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°.由(1)知∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C＋∠CBD＝90°，BC＝2DE＝10. ∴∠C＝∠ABD．在Rt△ABC中，AC＝BCcos C＝BCcos∠ABD＝1045＝252.∵OA＝OB, BE＝CE，∴OE＝12AC＝254.22．【解】(1)如图，过点D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米．在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝AFcos 45°＝1022＝102≈10×1.41≈14(千米)．∴AD的长度约为14千米；(2)小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan 30°＝24×33＝83(千米)，∴EB＝2AE＝163千米．按线路①A－D－C－B走的路程为AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38(千米)；按线路②A －E －B 走的路程为AE ＋EB ＝83＋163≈24×1.73＝41.52(千米)． ∵38千米<41.52千米，∴小明应该选择线路①.23．【解】如图，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，由题意得AF ⊥BC ，DE ＝AF ，∵斜面AB 的坡度i ＝3∶4，∴AF BF ＝34.设AF ＝3x 米，则BF ＝4x 米，在Rt △ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝(3x )2＋(4x )2＝5x (米)，在Rt △DEC 中，∠C ＝18°，CD ＝20米，∴DE ＝CD ·sin 18°≈20×0.31＝6.2(米)．∴AF ＝DE ≈6.2米，∴3x ≈6.2，解得x ≈3115.∴AB ≈5×3115＝10.3(米)．∴斜坡AB 的长约为10.3米．24．【解】如图，延长AB 交MN 于点O ，则AO ⊥MN .由题意得∠N ＝60°，∠M ＝48°，AO ＝120 m ，AB ＝40 m ，则BO ＝AO －AB ＝80(m)．在Rt △AON 中，tan N ＝AO NO ＝tan60°，∴NO＝AOtan60°≈69.36 m.在Rt△BOM中，tan M＝BOMO＝tan48°，∴MO＝BOtan48°≈72.07 m.∴MN＝MO＋NO≈72.07＋69.36≈141.4(m)．答：试验田边界M，N之间的距离约为141.4 m.。

人教版数学九下第二十八章综合提优测评卷(B卷)及答案解析

D．４５２５５２３３４４３５时间:４５分钟满分:１００分题序一二三总分结分人核分人得分一、选择题(每题３分,共２４分)１．如图所示,△A B C的顶点是正方形网格的格点,则s i n A的值为()．A.１１０１０B.５D．２５２．如果在△A B C中,s i n A＝c o s B＝２,那么下列最确切的结论是()．A．△A B C是直角三角形B．△A B C是等腰三角形C．△A B C是等腰直角三角形D．△A B C是锐角三角形３．在△A B C中,∠C＝９０°,t a n B＝１,则c o s A等于()．(第１题)１０１０B．２C．３３１０１０４．如图,在四边形A B C D中,E、F分别是A B、A D的中点,若E F＝２,B C＝５,C D＝３,则t a n C 等于()．A.３B.４C.３(第４题) (第５题) (第６题)５．如图,某水库堤坝横断面迎水坡A B的坡比是１:３,堤坝高B C＝５０m,则迎水坡面A B的长度是()．A．１００m,B．１００３m C．１５０m D．５０３m６．兴义市进行城区规划工程师需测某楼A B的高度,工程师在D处用高２m的测角仪C D,测得楼顶端A的仰角为３０°,然后向楼前进３０m到达E,又测得楼顶端A的仰角为６０°,楼A B 的高度为()．A．(１０３＋２)m B．(２０３＋２)mC．(５３＋２)m D．(１５３＋２)m第二十八章综合提优测评卷锐角三角函数C．A．D．．B．２组＝３０°△A B C７．为了测量被池塘隔开的A、B 两点之间的距离,根据实际情况,作出如下图形,其中AB⊥B E,E F⊥B E,A F交B E于D,C在B D上．有四位同学分别测量出以下四组数据:①B C,∠A C B;②C D,∠A C B,∠A D B;③E F,D E,B D;④D E,D C,B C．能根据所测数据,求出A、B 间距离的有( )A．１组C．３组D．４组(第７题) (第８题)８．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()．A．４５０a元B．３７５a元C．１５０a元D．３００a元二、填空题(每题３分,共２４分) ９．s i n４５°的值是．(结果保留根号)１０．已知∠α的顶点在原点,一条边在x轴上,另一边经过点P(３,－４),则s i nα＝．１１．如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线O M交于点A,再以点A为圆心,A O长为半径画弧,两弧交于点B,画射线O B,则c o s∠A O B的值等于．(第１１题)(第１２题)(第１３题)１２．如图,在R t△A B C中,斜边B C上的高A D＝４,c o s B＝４,则A C＝．１３．如图,在R t△A B C中,∠A B C＝９０°,∠A C B,将５绕点A按逆时针方向旋转１５°后得到△A B１C１,B１C１交A C于点D,如果A D＝２２,那么△A B C的周长等于．１４．在R t△A B C中,∠C＝９０°,B C＝１０,且S△A B C＝５０３,则∠A＝．１５．如图,已知△A B C,A B＝A C＝１,∠A＝３６°,∠３的平分线BD 交A C于点D ,则AD 的ABC长是,c o s A的值是．(结果保留根号)(第１５题)(第１６题)c o s６０°＋１t a n４５°１６．某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A 射出的光线AB、A C与地面MN 所夹的锐角分别为８°和１０°,大灯A与地面离地面的距离为１m则该车大灯照亮地面的宽度B C是m．(不考虑其他因素)(参考数据:s i n８°≈４;t a n８°≈１;s i n１０°≈９;t a n１０°＝５)三、解答题(第２５８７题５０,５２２８１７．计算:１７~２１题每题分,第２２１２分共分)(１)２c o s６０°－６s i n４５°s i n６０°;(２)c o s４５°－s i n３０°．２１８．如图,在R t△A B C中,∠C＝９０°,A C＝８,∠A的平分线A D＝求∠B的度数及边B C、AB 的长．(第１８题)１９．校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超载和超速．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使C D与l垂直,测得C D的长等于２１米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠C A D＝３０°,∠C B D＝６０°．(１)求A B的长(精确到０．１米,参考数据:３＝１．７３,２＝１．４１);(２)已知本路段对校车限速为４０千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时２秒,这辆校车是否超速? 说明理由．(第１９题)４２０．如图,定义:在直角三角形A B C中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作c t a nα,即c t a nα＝角α的邻边＝A C,根据上述角的余切定义,角α的对边B C解下列问题:(１)c t a n３０°＝;(２)如图,已知t a n A＝３,其中∠A为锐角,试求c t a n A的值．(第２０题)２１．已知B港口位于A观测点北偏东５３．２°方向,且其到A观测点正北方向的距离B D的长为１６k m．一艘货轮从B港口以４０k m/h的速度沿如图所示的B C方向航行,１５m i n后到达C 处．现测得C处位于A观测点北偏东７９．８°方向．求此时货轮与A观测点之间的距离A C 的长．(精确到０．１k m)(参考数据:s i n５３．２°≈０．８０,c o s５３．２°≈０．６０,s i n７９．８°≈０．９８,c o s７９．８°≈０．１８,t a n２６．６°≈０．５０,２≈１．４１,５≈２．２４)(第２１题)２２．如图,一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上,小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为６０°,然后他从P处沿坡角为４５°的山坡上走到C处,这时,P C＝３０m,点C与点A在同一水平线上,A、B、P、C在同一平面内．(１)求居民楼A B的高度;(２)求C、A之间的距离．(精确到０．１m,参考数据:２≈１．４１,３≈１．７３,６≈２．４５)(第２２题)１９AB B CA DB 是４等腰三角形,且 D A ＝D B ＝B C ,可证 A C B C AB ＝A D －B D ＝３６．３３－１２．１１＝２４．２２１５,５＋１提示:由已知条件,可知△B DC 、 △ ∽△A B C ,则有B C ＝D C ,设B C ＝x ,则D C ＝１－x ,因此x ＝１－x ,即x ２＋x －１＝０,解得x １１ x２不合题意,舍去),即 A D ２２AB c o s A ＝A ２D１６．１．４１７．(１)－１５－１２(２)２－１２２２１８．在 R t △A C D 中,∵ c o s ∠C A D ＝A C ＝８ ∠C A D 为锐角, A D ∴ ∠C A D ＝３０°,∠B A D ＝ ∠C A D ＝３０°, 即 ∠C A B ＝６０°．∴ ∠B ＝９A ０°C－ ∠C A B ＝３０°． ∵ s i n B ＝A B , ∴ A B ＝ A C＝８＝１６．s i n B s i n ３０° 又 c o s B ＝B C ,∴ B C ＝A B c o s B ＝１６３＝８３． ,A D ＝ C D ＝２１＝２１３＝３６．３３, t a n ３０°３在 R t △B D C 中, B D ＝ C D ＝２１＝７３＝１２．１１, t a n ６０° ３ ∴ () ≈２４．２(米); ,２汽车从A 到B 用时２秒所以速度为２４．２÷２＝１２．１(米/秒), , 因为１２．１×３．６＝４３．５６ / , /第二十八章综合提优测评卷(B卷) ．B ２．C ３．A ４．B ５．A ６．D ７．C ８．B 所以该车速度为４３．５６千米小时大于４０千米小时,所以此校车在A B 段超速．２０．(１)设B C ＝１,∵ α＝３０°,４１ ∴ A B ＝２,,９．２１０．５１１．２１２．５１３．６＋２３１４．６０°∴ 由勾股定理得AC ＝３ ∴ c t a n ３０°＝A C＝３;１△B D C４６０AB２３AH AH (２)∵ t a n A ＝３ , ∴ 设B C ＝３,A C ＝４, ∴ c t a n A ＝A C ＝４．B C ３２１．B C ＝４０×１５＝１０．在 R t △A D B 中, s i n ∠D A B ＝D B ,s i n ５３．２°≈０．８,∴ A B ＝ D B ≈１．６＝２０．s i n ∠D A B ０．８(第２１题)如图,过点B 作B H ⊥A C ,交A C 的延长线于点H ．在 R t △A H B 中,,∠B AH ＝７９．８°－５３．２°＝２６．６°t a n ∠B AH ＝B H ,０．５＝B H ,A H ＝２B H ．B H ２＋A H ２＝A B ２,B H ２＋(２B H )２＝２０２,B H ＝４５, ∴ AH ＝８５,在 R t △C H B 中,B H ２＋C H ２＝B C ２,C H ＝１０２－８０＝２５,∴ A C ＝AH ―CH ＝８５― ２５＝６５() ≈１３．４(k m )． ,２２．１过点C 作C G ⊥B P 于点G 在 R t △P C G 中,C G ＝P C s i n ４５°＝３０× ２＝１５２,∴ A B ＝１５２＝２１．２(m ); (２)P G ＝P C c o s ４５°＝３０× ２＝１５２,B P ＝１５２＝５６,∴ C 、A 之间的距离＝B P ＋P G ＝１５２＋５６＝３３．５(m )．。

人教版九年级数学下册第28章达标检测卷(含答案)

人教版九年级数学下册第28章达标检测卷(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1252．某段河堤的横断面如图所示，堤高BC ＝5 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AC 的长是( ) A ．5 3 m B ．10 m C ．15 m D ．10 3 m3．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°.设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )A ．0<n <22B ．0<n <12C ．0<n <33D ．0<n <324．将一张矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在点C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED 的值是( )A ．2 B.12 C.22 D.325．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm6．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( )A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，则cos B ＝．8．若 3tan (x ＋10°)＝1，则锐角x 的度数为．9．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长为10 m ，则大树的长约为 m ．(结果精确到1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)10．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过A ，B ，O 三点，C 为ABO ︵上一点(不与O ，A 两点重合)，则cos C 的值是 .12．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ．据此判断下列等式成立的是 (写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cosx ·sin y .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)sin 2 60°＋tan 45°－32cos 30°－tan 260°；(2)sin 30°－cos 2 45°＋34tan 2 30°＋sin 260°.14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长．15．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，AC ＝BD ，已知sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．16．有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1) m ，请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2019益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 的延长线于点E.(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝78，求线段OE 的长．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．20．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直马路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．一数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速．在l 外取一点P ，作PC ⊥l ，垂足为点C ，测得PC ＝30米，∠APC ＝71°，∠BPC ＝35°，上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．22．如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A，点B和点C，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝ 3 km，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝1313，MN＝213 km，点A和点N是城际铁路线L上的两个相邻的站点．(1)求l2和l3之间的距离；(2)若城际火车平均时速为150 km/h，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时(结果用分数表示)．六、(本大题共12分)23．(2019年遂宁中考第24题 )如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1252．某段河堤的横断面如图所示，堤高BC ＝5 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AC 的长是( A ) A ．5 3 m B ．10 m C ．15 m D ．10 3 m3．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°.设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( A )A ．0<n <22B ．0<n <12C ．0<n <33D ．0<n <324．将一张矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在点C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED 的值是( B )A ．2 B.12 C.22 D.325．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm6．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( C )A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，则cos B ＝ 12．8．若 3tan (x ＋10°)＝1，则锐角x 的度数为__20°__．9．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长为10 m ，则大树的长约为 17 m ．(结果精确到1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)10．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为 2.9 米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过A ，B ，O 三点，C 为ABO ︵上一点(不与O ，A 两点重合)，则cos C 的值是 45.12．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ．据此判断下列等式成立的是 ②③④ (写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cosx ·sin y .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)sin 2 60°＋tan 45°－32cos 30°－tan 260°；解：原式＝(32)2＋1－32×32－(3)2 ＝34＋1－34－3 ＝－2.(2)sin 30°－cos 2 45°＋34tan 2 30°＋sin 260°.解：原式＝12－(22)2＋34×(33)2＋(32)2＝12－12＋34×13＋34 ＝1.15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长．解：∵∠C ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴∠DBC ＝45°，∴DC ＝BC ＝6.又∵sin A ＝25，∴BC AB ＝25，∴AB ＝15.15．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，AC ＝BD ，已知sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：∵AD ⊥BC ，∴△ADC 为直角三角形，故sin C ＝AD AC ＝1213，设AD ＝12k ，则AC ＝13k ，∵AC ＝BD ，∴DC ＝BC －BD ＝12－13k ；由勾股定理得(13k)2＝(12k)2＋(12－13k)2，整理得6k 2－13k ＋6＝0，解得k ＝23或32；∴AD ＝8或AD ＝18(不合题意，舍去)．故AD ＝8.16．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1) m ，请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？解：如图，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D. 在Rt △ABD 中，∠A ＝30°，则AD ＝3BD. 在Rt △BCD 中，∠C ＝45°，则CD ＝BD.∵AC ＝AD ＋CD ＝3BD ＋BD ＝(3＋1)BD ＝2(3＋1)， ∴BD ＝2，2<2.1.故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为2.1 m 的圆形门．17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtan A＝23，则EF ＝AC ＝23，∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(10分)(益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 的延长线于点E.(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝78，求线段OE 的长．(1)证明：∵∠CAB ＝∠ACB ，∴AB ＝CB ， ∴▱ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD.(2)解：在Rt △AOB 中，cos ∠CAB ＝AO AB ＝78，AB ＝14，∴AO ＝14× 78＝494，在Rt △ABE 中，cos ∠EAB ＝AB AE ＝78，AB ＝14，∴AE ＝87AB ＝16，∴OE ＝AE －AO ＝16－494＝154.19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝15，cos A ＝35，∴AB ＝15cos A ＝25.又∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝252.(2)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴DC ＝DB ＝252，∴∠DCB ＝∠DBC .又∵∠E ＝∠ACB ＝90°，∴△BEC ∽△ACB ，∴EC BC ＝BCAB.又BC ＝AB 2－AC 2＝252－152＝20，∴EC 20＝2025，∴EC ＝16.∵CD ＝252，∴DE ＝16－252＝72.∴在Rt △DEB 中，sin ∠DBE ＝72×225＝725.20．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直马路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．一数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速．在l 外取一点P ，作PC ⊥l ，垂足为点C ，测得PC ＝30米，∠APC ＝71°，∠BPC ＝35°，上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)．解：在Rt △APC 中，AC ＝PC · tan ∠APC ≈30×2.90＝87(米)．同理求得BC ≈21米．∴AB ＝AC －BC ＝87－21＝66(米)．∴汽车的速度为666＝11(米/秒)＝39.6(千米/时)．∵39.6<40，∴该车没有超速．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．解：(1)∵∠ACB ＝90°， CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACH ＝90°， ∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH.∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ，∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55；(2)∵sin B ＝55，∴AC ∶AB ＝1∶ 5.又∵CD ＝5，∴AB ＝25，∴AC ＝2. 设CE ＝x(x>0)，则AE ＝5x ，则在Rt △ACE 中，有x 2＋22＝(5x)2，∴x ＝1，即CE ＝1.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3.22．如图为某区域部分交通线路图，其中直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 与直线l 1，l 2，l 3都垂直，垂足分别为点A ，点B 和点C ，l 2上的点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝ 3 km ，l 3上的点N 位于点M 的北偏东α方向上，且cos α＝1313，MN ＝213 km ，点A 和点N 是城际铁路线L 上的两个相邻的站点．(1)求l 2和l 3之间的距离； (2)若城际火车平均时速为150 km /h ，求市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要多少小时(结果用分数表示)．解：(1)过点M 作MD ⊥NC 于点D.∵cos α＝1313，MN ＝213， ∴cos α＝DM MN ＝DM 213＝1313，解得DM ＝2 km .答：l 2和l 3之间的距离为2 km .(2)∵点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝3，∴tan 30°＝BM AB ＝3AB ＝33，解得AB ＝3，可得，AC ＝3＋2＝5.∵MN ＝213，DM ＝2，∴DN ＝（213）2－22＝43，则NC ＝DN ＋CD ＝DN ＋BM ＝53，∴AN ＝CN 2＋AC 2＝（53）2＋52＝10(km )．∵城际火车平均时速为150 km /h ，∴10150＝115.答：市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要115 h .六、(本大题共12分)23．(2019年遂宁中考第24题 )如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为；（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．。

人教版九年级下册数学第二十八章测试题(附答案)

人教版九年级下册数学第二十八章测试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.在△ABC中，∠C =90o，若cosB= ，则∠B的值为（）．A. B. C. D.2.在中，，若cosB= ，则sinA的值为( )A. B. C. D.3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A. B. C. D.4.如图，是意大利著名的比萨斜塔，塔身的中心线与垂直中心线的夹角A约为5゜28′，塔身AB的长为54.5m，则塔顶中心偏离垂直中心线的距离BC是（）A. 54.5×sin5°28′mB. 54.5×cos5°28′mC. 54.5×tan5°28'mD. m5.在中，，AB=15，sinA=，则BC等于（）A. 45B. 5C.D.6.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（）A. 3B.C. 4D.7.用科学计算器求sin 9°的值,以下按键顺序正确的是( )A. sin9=B. 9sin=C. sin9D. 9sin8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin∠A=，则cos∠A的值为A. B. C. D.9.教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为（）.A. cmB. cmC. cmD. cm10.在Rt△中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为（）A. B. C. D.11.（2016•娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A. 不变B. 增大C. 减小D. 先变大再变小12.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共16分）13.用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°________ cos50°．14.若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝________.15.将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是________．16.如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为________17.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18.如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为________米（结果保留根号）．19.某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰，堤坝高BC＝50m，则AB＝________m．20.如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．三、解答题（共4题；共20分）21.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）22.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．23.如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中=1.732，=4.583）24.如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）四、综合题（共4题；共40分）25.（2015•黄石）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）求AE的长；（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？26.为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．图①是一种型号的手动轮椅实物图，图②为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120cm，后轮半径为24cm，CB=CD=24cm，踏板CB与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°．求：（1）求横档AD的长；（2）点C离地面的高度．（sin15°=0.26，cos15°=0.97，精确到1cm）27.阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，= = ，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵= ∴b= = = =3 ．理解应用：如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里．（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？28.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）答案一、单选题1. A2. B3.B4.A5.B6.D7.A8.A9.C 10.D 11. C 12.D二、填空题13.＞14. 15.16.17.12 18.100+100 19.100 20.4三、解答题21.解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°，在Rt△DFB中，sin80°= ，则DF=BD•sin80°，AM=AC﹣CM=1890﹣1800•sin80°，在Rt△AME中，sin29°= ，故AE= = ≈242.1（m），答：斜坡AE的长度约为242.1m．22.解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．23.解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D．在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，∴BC=3cm．当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm．在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°，∴A′D= A′C′=2cm，C′D= A′D=2 cm．在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm，∴BD= = cm，∴CC′=C′D+BD﹣BC=2 + ﹣3，∵=1.732，=4.583，∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5．故移动的距离即CC′的长约为5cm．24.解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD•sin60°=12× =6 米，CE=CD•cos60°=12× =6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE=D′E′=6 米．∵∠D′CE′=39°，∴CE′= ≈ ≈12.8，∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．四、综合题25.（1）解：∵BG∥CD，∴∠GBA=∠BAC=30°，又∵∠GBE=15°，∴∠ABE=45°，∵∠EAD=60°，∴∠BAE=90°，∴∠AEB=45°，∴AB=AE=10，故AE的长为10米．（2）解：在RT△ADE 中，sin∠EAD=，∴DE=10×=15，又∵DF=1，∴FE=14，∴时间t==28（秒）．故旗子到达旗杆顶端需要28秒．26.（1）解：如图所示：在Rt△DFC中，FC=DCsin30°=24× =12，DF=DCcos30°=24× = ，所以CG=DF=，所以AE=120﹣12﹣24﹣≈63.2（cm），在Rt△ADE中，AD= = ≈65（cm），因此，横档AD的长为65cm（2）解：在Rt△ADE中，DE=ADsin15°=65×0.26=16.9，所以点C离地面的高度为DE+24﹣DF=16.9+24﹣≈20（cm），因此，点C离地面的高度为20cm27.（1）解：△A1A2B2是等边三角形，理由如下：连结A1B2．∵甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，∴A1A2=30 × =10 ，又∵A2B2=10 ，∠A1A2B2=60°，∴△A1A2B2是等边三角形（2）解：过点B作B1N∥A1A2，如图，∵B1N∥A1A2，∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．∵△A1A2B2是等边三角形，∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10 ，∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．在△B1A1B2中，∵A1B2=10 ，∠B1A1B2=45°，∠A1B1B2=60°，由阅读材料可知，= ，解得B1B2= = ，所以乙船每小时航行：÷ =20 海里．28.（1）解：过B作BG⊥DE于G，Rt△ABH中，i=tan∠BAH= = ，∴∠BAH=30°，∴BH= AB=5；（2）解：∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG是矩形．∵由（1）得：BH=5，AH=5 ，∴BG=AH+AE=5 +15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5 +15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE= AE=15 ．∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》全章综合能力训练卷(含详解)

九年级数学人教版下册第28章《锐角三角函数》全章综合能力训练卷一、单选题1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，则cos A 的值是（）A ．35B ．45C ．34D ．522．已知在Rt ABC 中，90︒∠=C ，B β∠=，5AB =，那么AC 的长为（）A ．5cos βB ．5sin βC ．5cos βD ．5sin β3．一船向东航行，上午8时到达B 处，观测到有一灯塔在它的南偏东60°且距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，此时观测到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）A ．18海里/小时B ．183海里/小时C ．36海里/小时D ．363海里/小时4．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ∠ACB 的值为（）A ．13B ．35C ．23D ．125．如图，AC 、BD 是⊙O 的两条相交弦，∠ACB ＝∠CDB ＝60°，AC ＝23，则⊙O 的直径是（）A ．2B ．4C ．3D ．236．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．下列四个选项中，不正确的是（） A ．32AC AB = B ．32BC CD = C ．33BD CD = D ．33BCAC 7．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE CF =；②75AEB ∠=︒；③BE DF EF +=；④正方形对角线：13AC =+，其中正确的序号是（）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 8．如图，已知ABC 外接圆的直径为4，120ABC ∠=︒，那么AC 的长度为（）A ．2B ．23C ．4D ．439．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（）A ．4B ．5C ．163D ．8310．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A 、B 恰好分别落在反比例函数1(0)y x x =-<、4(0)y x x=>的图像上，则cos ABO ∠的值为（）A ．12B ．233C ．255D ．14二、填空题11．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是______．12．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为______．13．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为______米．14．如图，点D 是ABC 内一点，且90BDC ∠=︒，2AB =，3AC =，30BAD CBD ∠=∠=︒，AD =________．15．如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC 的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠=______．16．如图，在ABC 中，120ABC ∠=︒，12AB =，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，4sin 5ADE ∠=，5ED =，如果ECD 的面积是6，那么BC 的长是_____．三、解答题17．计算：22sin 60tan 45sin 45cos 45cos30︒-︒+︒+︒︒． 18．如图，已知AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，42AC =，2BC =．（1）求sin ABC ∠；（2）求CD 的长．19．如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得电线杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°．（1）求证：PQ BQ =；（2）求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1m ，备用数据：3 1.7≈，2 1.4≈）． 20．如图，开口向下的抛物线2y ax 2x c =++与y 轴的交点为点A ，与x 轴的两个交点分别为点B ，C （点B 在点C 的左边）抛物线的顶点为D ，且点D 的横坐标为1．（1）若点A 的坐标为()0,3，求抛物线的解析式；（2）若BCD △为等边三角形，试确定c 的值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OE BC ⊥于点H ，交⊙O 于点E ，点D 为OE 的延长线上一点，DC 的延长线与BA 的延长线交于点F ﹐且BOD BCD ∠=∠，连结BD 、AC 、CE ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）过E 作EG FD ⊥于点G ，求证：CHE CGE △≌△；（3）如果1AF =，3sin 3FCA ∠=，求EG 的长．22．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．23．如图1，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，AE BD＝； ②当α＝180°时，AE BD ＝；（2）拓展探究试判断当0°＜α＜360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决当CDE △绕点C 逆时针旋转至A ，B ，E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．参考答案1．B解：在Rt△ABC中，2．B解：在Rt△ABC中，sinβ∴AC=AB•sinβ=5sinβ，3．B∵此船从上午8时的B处向东航行2小时后到C处，且从C观测处到灯塔A在它的正南方向，∴∠BCA＝90°，60°且距离为72海里∴∠ABC＝30°，AB=72海里，∴在Rt△ABC中,∵∠A=60°，，速度为()363108183÷-=海里/小时，4．D解：如图，连接BD ，根据图象可知454590ADB ∠=︒+︒=︒，则有2222112,2222BD CD =+==+=，所以21222BD tan ACB CD ∠===． 5．B解∶如图，在⊙O 中，连接OC ，作OE ⊥AC 于E ，则CE=12AC∵∠A ，∠BDC 所对的弧是BC ，∴∠A=∠BDC=60°，∵∠ACB=∠BDC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠30°，，=2，∴⊙O的直径是4，6．B∴AB=2BC，∴∠BCD+∠∵∠A+∠∴∠∴BC=2BD，设BD=x，则BC=2x，AB=4x，3．7．A解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∵AEF 是等边三角形，∴AE AF =，在Rt ABE △和Rt ADF 中，AE AF AB AD =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△，∴BE DF =，∵BC CD =， ∴BC BE CD DF -=-，即CE CF =，故①正确；∵CE CF =，90C ∠=︒，∴45CEF ∠=︒，∵60AEF ∠=︒，∴180604575AEB ∠=︒-︒-︒=︒，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于点G ，∵AE AF =，CE CF =，∴AC 是EF 的垂直平分线，∵CAF DAF ∠≠∠，∴DF FG ≠，同理BE EG ≠，∴BE DF EF +≠，故③错误；∵AEF 是边长为2的等边三角形，ACB ACD ∠=∠，∵AC EF ⊥，EG FG =，∴3sin 60232AG AE =⋅︒=⨯=，112CG EF ==， ∴13AC AG CG =+=+，故④正确．8．B解：如图，连接OA 、OC ，过点O 作OF ⊥AC ，在优弧AC 上任取点D ，连接DA 、DC∵120ABC ∠=︒，∴18060D ABC ∠=︒-∠=︒， ∴2120AOC D ∠=∠=︒，∵OF ⊥AC∴60AOF ∠=︒，AC=2AF∵ABC 外接圆的直径为4，∴2OA =，∴sin 3AF OA AOF =⋅∠=，∴223AC AF ==9．C解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠2,BC x AD ∴==()()()2222255,x x ∴=++2325250,x x ∴--=553x ∴=或5x =-（舍去）5585533DE ∴=+=，,EDP BCG ∠=∠1,2EPDP ∴=设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,3m m ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭83m ∴=（负根舍去）162.3EC EP ∴==10．C解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵点A在反比例函数1(0)y xx=-<上，点B在4(0)y xx=>上，∴S△AOD＝12，S△BOE＝2，又∵∠AOB＝90°,∠ADO=∠BEO=90°∴∠AOD+∠BOE＝90°∠OBE+∠BOE＝90°，∴∠AOD=∠OBE,∴△AOD∽△OBE，∴21()4AODBOESAOBO S==△△，∴12AOBO=设OA＝a，则OB＝2a，AB＝22(2)5a a a+=，在RtAOB中，cos∠ABO＝255BOAB=11．22解：在Rt ABC中，90C∠=︒，设BC=x，则AB=3x，12．9解：如图，连接AC BC于E点，AE=3x，BE=4x，解得x=2，则AE=6，BE=8，，AD于F点，DF=3，CF=4，．故答案为：9．13．15过点B 作BC ⊥AC 于C ，∵迎水坡的坡度为1:0.75，∴tan ∠BAC=43=BC AC ， ∵BC=12米，∴AC=9米，∴AB=22AC BC +=22912+=15(米)，故答案为：15．．14．52如图过点A 作线段AB 的垂线，过点D 作线段AD 的垂线，两垂线交于点E ，连接BE ．则90ADE ∠=︒，90BAE ∠=︒ ∵30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒∴60DAE BCD ∠=∠=︒．∴BCD EAD ．15．23解：如图，延长CG 与AB 交于点D ，过D 作DE ⊥CB 于点E ，∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2GD ，∵CG=2，∴GD=1，∴CD=2+1=3，∵∠ACB=90°，∴AC ⊥CB ，∴AC ∥DE ，∵D 是AB 中点，∴E 是CB 中点，∴CE=122CB =，∴cos ∠GCB=23CE CD =， 16．936-解；过点F AC于F，CD=，3过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，在CEF△和ACH 中，tanEF AHACHCF CH∠==即4636CH=93CH=936BC CH BH=-=-17．1解：原式=2232221=1-1+1=12232⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．（1）22sin3ABC∠=；（2）823．解：（1）∵AB是O的直径，42AC=，2BC=，∴90ACB∠=︒，22236AB AC BC=+=，∴6AB=，22sin3ABC∠=；（2）∵CD AB⊥，∴CE DE=，由三角形的面积公式得:1122AC BC AB CE ⨯⨯=⨯⨯, ∴423CE =， ∴8223CD CE ==． 19．（1）证明：如图，延长PQ 交直线AB 于点E ，∴PE AB ⊥，∴90PEB ∠=︒，由题意知60PBE ∠=︒，30QBE ∠=︒，∴30PBQ PBE QBE ∠=∠-∠=︒，180BPE PEB PBE ∠=︒-∠-∠180906030=︒-︒-︒=︒．∴PBQ BPQ ∠=∠．∴PQ BQ =．（2）解：设()m PQ x =，则()m BQ PQ x ==．20．解：（1（2）由（1如图，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ．∴1DE c =+，1BE c =+．当BCD △为等边三角形时，60DBE ∠=︒，由tan 60DEBE ︒=，得131c c +=+，解得：2c =．21．（1）证明：如图，连结OC ，∵OE⊥BC，∴∠OHB=90°，∴∠OBH+∠BOD=90°，∵OB=OC，∴∠OBH=∠OCB，∵∠BOD=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∵点C为⊙O上一点，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD=90°，∴∠ECG+∠OCE=90°，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠ECG+∠OEC=90°，∵∠OEC+∠HCE=90°，∴∠ECG=∠HCE ，在△CHE 和△CGE 中，∴△CHE ≌△CGE （AAS ）；（3）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵DF 为⊙O 的切线，∴∠OCA+∠FCA=90°，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∴∠FCA=∠ABC ，AB=3a ，∵∠FCA=∠ABC ，∠AFC=∠CFB ，∴△ACF ∽△CFB，∵AF=1，∴∴BF-AF=AB=1，∵OE⊥BC，∴∵△CHE≌△CGE，∴22．解：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴，设CD=x，则AD=12-x，在△ADE中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在△BFE中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在△ABE中，AE⊥BE，∴AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∴正方形CDEF的面积=CD²=72×72=494；（2）如图：延长ED交AB于H，∵△BEH∽△ABG，且∠ABG=∠EBH，∴∠BEH=∠BAG，∵DE∥EF，∴∠BEH=∠EBF，∴∠BAC=∠EBF，设边长为x，则tan∠EBF=5xx+，tan∠BAC=512，令5xx+=512，则x=257,∵25125971284 HD AH ADBC AB AC-====，∵59767138484AH=⋅=，∴BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=，∴HE=HD+x=59584，过H作HM，与BE相交于M，5sin sin13BM AGHE∠=∠=,595sin84s951419165in81332HM HE HEMABEBH BH⨯⋅∠∠====；（3）∵DE//BC,∴△BCG∽△EDG，设边长为x，∴5DE DG xBC GC==，∵DG+GC=x，∴DG=25xx+，GC=55xx+，则22512125(12)x AG GC x AE x x ⎧=-=-⎪+⎨⎪=-+⎩，令AG=AE ，则CD=x=2+1942或x=21942-（舍去）． 23．解：（1）①当α＝0°时，∵Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∴AC ＝22AB BC +＝2224+＝25，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴AE ＝12AC ＝5，BD ＝12BC ＝1， ∴AE BD＝5． ②如图1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵ACAE＝BCBD，∴AEBD＝ACBC＝5．故答案为：①5，②5．（2）如图2，当0°≤α＜360°时，AEBD的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵ECDC＝ACBC＝5，∴△ECA∽△DCB，∴AEBD＝ECDC＝5．（3）①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE＝5，BC＝2，∴BE＝22EC BC-＝54-＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵AEBD＝5，∴BD＝55＝5．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，BE＝22EC BC-＝54-＝1，AE＝AB-BE =4﹣1＝3，∵AEBD＝5，∴BD综上所述，满足条件的BD。

人教版数学九年级下册第二十八章能力提优测试卷(解析版)

人教版数学九年级下册第二十八章能力提优测试卷一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C= 90°，如果∠A=α，AB=3，那么AC 等于 ( ) A ．3sin α B ．3cos α C ．αsin 3 D ．αcos 32．在△ABC 中，∠ACB= 90°，∠ABC= 26°，BC=5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是 ( ) A ．B ．C ．D ．3.△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则下列三角函数值错误的是 ( ) A ．sinA=21B ．cos B=23 C ．tanA=33 D ．tan B=34．定义：在直角三角形中，斜边与锐角A 的对边的比叫做∠A 的余割，记作cscA ，即cscA=的对边斜边A ∠，在Rt △ABC 中，∠C=90°，csc A=35，则tan A 的值为 ( )A ．45B ．35C ．34D ．435．如图，若△ABC 和△DEF 的面积S ₁、S ₂，则 ( ) A.S ₁>S ₂ B.S ₁<S ₂ C.S ₁=S ₂ D.无法确定6．在Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，则cos A 的值等于 ( ) A ．53B ．47C ．54或47D ．54或7727．图1是一个小朋友玩“滚铁环”游戏的示意图，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2所示，已知铁环的半径为25 cm ，设铁环中心为O ，铁环钩与铁环相切点为M ，铁环与地面接触点为A ，∠MOA =α，且sin α=53，若小朋友的站立点C 与点A 的水平距离AC 等于55 cm ，则铁环钩MF 的长度为 cm. ( ) A ．46 B ．48 C ．50 D ．528．重庆朝天门码头位于重庆市东北的嘉陵江与长江交汇处，是重庆最古老的码头．如图，小王在码头某点E 处测得朝天门广场上的某高楼AB 的顶端A 的仰角为45°，接着他沿着坡度为1：2.4的斜坡EC 走了26 m 到达坡顶C 处，到C 处后继续朝高楼AB的方向前行了16 m 到D 处，在D 处测得高楼的顶端A 的仰角为74°，则此时小王到高楼的距离BD 约为 m ． ( )(结果精确到1 m ，参考数据：sin74°≈0.96，cos 74°≈0.28，tan 74°≈3.49) A ．12 B ．13 C ．15 D ．169．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC 的高度．他们从点A 出发沿着坡度i=1：2.4的斜坡AB 步行26 m 到达点B 处，此时测得建筑物顶端C 的仰角α= 35°，建筑物底端D 的俯角β= 30°.若AD 为水平的地面，则此建筑物的高度CD 约为 m ．(参考数据：3≈1.7，sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7)( )A. 20.2B.22.1C.23.6D.3010.如图，已知点F 是正方形ABCD 的边CD 的中点，BE ⊥AF 于E ，点G 、H 在直线AF 上，且AE=EG=GH ，连接DE 、CG 和CH ，则下列结论：①tan ∠ABE=21；②tan ∠CGH=1；③cos ∠DEH=22；④sin ∠GCH=23，其中正确的是 ( )A ．①②③B ．①②④C ．①②③④D ．①③④二、填空题11.如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，tan F=1，sin C=0.5，则∠DBC=____.12.如图，直线y=kx+b 与x 轴交于点A(-2，0)，与双曲线y=x4交于点B ，过点B 作BC⊥x 轴于点C ，若S S BOC AOB △△ ，则tan ∠BAC=____．13.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，若菱形ABCD 的周长为20，tan ∠DAO=43，则DE=___.14．如图，在△ABC 中，BC= 12，tan A=43，∠B=30°，则△ABC 的面积为___．15.如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶12 km 至B 地，再沿北偏西45°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，则B 、C 两地的距离为___km.(结果保留根号)16.如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶的高为18 cm ，宽为30 cm ，为方便残疾人士，拟把门前台阶右侧改成斜坡，台阶的下起点为A 点，斜坡的上起点为B 点，下起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度i=1:5，则下起点C 在A 点前方___cm 处．17.如图是一座建筑物的剖面图，其中A 、B 、E 、F 四点在同一条直线上，CB ⊥AB ，DE ⊥EF ，在A 处测得D 处的仰角为54°，AC 的坡度i=2.4，BE=AC ，AB= 10 m ，则DE 的高度约为___ m(参考数据：sin 54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan 54°≈1.38)．18.(2019黑龙江哈尔滨南岗月考，20)如图，Rt △ABC 中，∠ACB= 90°，过C 作CH ⊥AB 于点H ，取BC 的中点F ，作∠DCB= ∠BCH ，且DF ∥CH ，若53=EHCE，则tan ∠DAB=___.三、解答题 19．(1)︒+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒+-45tan 42136sin 20；(2)︒-︒︒-︒45cos 460tan 30sin 30cos 22220.如图，射线OA 放置在4×4的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B ，并连接OB 、AB 使△AOB 为直角三角形，并且：(1)使tan ∠AOB 的值为1； (2)使tan ∠AOB 的值为21．21.在△ABC 中，∠ABC= 90°，tan ∠BAC=21.(1)如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，若点B 恰好是线段MN 的中点，求tan ∠BAM 的值；(2)如图2，P 是边BC 的延长线上一点，∠APB= ∠BAC ，求tan ∠PAC 的值．22.如图所示，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔塔尖C 的仰角为60°，该人沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45°，已知OA= 120 m ，山坡坡度i=1：2，且O 、A 、B 在同一条直线上，求电视塔OC 的高度以及点P 所在位置的铅直高度.(测角仪高度忽略不计，结果保留根号)23.如图，港口B位于港口A的南偏西45°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向、港口B的南偏东45°方向的D处，它沿正北方向航行18.5 km到达E处，此时测得灯塔C在E的南偏西70°方向上，求E处距离港口A有多远．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)第二十八章能力提优测试卷1.B∵∠A=α，AB=3，∴cos α=ABAC，∴AC =AB·cos α= 3cosα，故选B.2．D 由tanB=BCAC，得AC=BC·tan B=5×tan 26°，故选D．3．B ∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴设∠A =x，则∠B= 2x，∠C=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，即x+2x+3x= 180°，解得x=30°，∴∠A=30°，∠B=60°，∴sin A=sin 30°=21，cos B=cos 60°=21，tan A=tan30°=33，tanB=tan 60°=3，故B错误，故选B．4.D如图，∵Rt△ABC中，∠C=90°，csc A=35=BCAB，∴设BC= 3x，则AB=5x，∴AC=4x，故tanA=4343==xxACBC，故选D．5．C过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥FE，交FE的延长线于H.在Rt△ABG中，AG=AB·sin 40°= 5sin 40°，在Rt△DHE中，∠DEH= 180°-140°= 40°，∴DH= DE·sin40°= 8sin 40°，∴S1=21×8×5sin 40°= 20sin 40°，S2=21×5×8sin 40°=20sin 40°，则S1=S2．故选C．6．C 当△ABC 为直角三角形时，存在两种情况：①当AB 为斜边时，∠C=90°，∵AC=8，BC=6，∴由勾股定理得AB=BC AC 22+=6822+=10．∴cosA=54108==AB AC ；②当AC 为斜边时，∠B=90°，∴由勾股定理得AB=72682222=-=-BC AC ，cosA= 47872==AC AB .综上所述，cosA 的值等于54或47．故选C.7．C 如图，过M 作与AC 平行的直线，与OA 、FC 分别相交于H 、N.在Rt △OHM 中，∵∠OHM= 90°，OM= 25，HM=OM ·sin α=15，∴OH= 20，所以MB=HA=25 -20=5，∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH+∠OMH= ∠OMH+∠FMN=90°，∴∠FMN=∠MOH =α，∴FMFN=sin α=53，∴FN=53FM ，在Rt △FMN 中，∠FNM= 90°，MN= BC= AC -AB=55 - 15= 40．∵FM ²= FN ²+MN ²，∴FM ²=(53FM)²+40²，解得FM=50，∴铁环钩FM 的长度为50cm ．故选C ．8．A 如图，过E 作EH ⊥AB 交AB 的延长线于H ，过C 作CG ⊥EH 于G ，则CG=BH ，BC=GH ，∵CE=26，4.2:1=EGCG，∴CG=10，EG=24，∴BH=CG=10，设BD=x ，在Rt △ABD 中，∵∠ADB= 74°，∴AB=tan 74°·x ≈3.49x ，∴AH=AB+BH=3.49x+10，∵∠AHE=90°，∠AEH=45°，∴AH=EH ，∵EH=EG+GH=24+16+x ，∴3.49x+10= 24+16+x ，解得x ≈12，即小王到高楼的距离BD 约为12 m ．故选A ．9．B 如图，过点B 作BN ⊥AD 于N ，BM ⊥DC 于M ，∵i=1：2.4，AB=26，∴设BN=x ，则AN= 2.4x ，∴AB= 2.6x ，则2.6x= 26，解得x= 10，故BN= DM= 10 m ，在Rt △BMD 中，tan 30°=3310==BM BM DM ，解得BM=103，在Rt △BCM 中，tan 35°=310CM BMCM=≈0.7，解得CM ≈12.1，故DC=MC+ DM=12. 1+ 10=22.1( m)．故选B ．10.A ∵BE ⊥AF ，∴∠ABE+ ∠BAE= 90°，∵∠DAF+ ∠BAE= ∠BAD= 90°，∴∠ABE=∠DAF ，∵F 是CD 的中点，∴DF= FC=21CD ，∴tan ∠ABE=tan ∠DAF=ADDF =21，故①正确；连接BG ，∵AE=EG ，BE ⊥AF ，∴BE 垂直平分线段AG ，∴AB=BG ，∠ABE= ∠GBE ，∵AB=BC ，∴BG=BC ，过点B 作BK ⊥CG 于K ，则∠CBK= ∠GBK ，∴∠EBK= ∠EBG+ ∠GBK=21∠ABC=21×90°= 45°，在四边形BKGE 中，∠EGK=360°-90°×2-45°=135°，∴∠CGH=180°-∠EGK= 180° - 135°= 45°，∴tan ∠CGH=1，故②正确；连接DG ，∵tan ∠ABE=BEAE =21，∴BE =2AE ，∵AG=AE+EG=2AE ，∴AG=BE ，在△ABE 和△DAG中，BA=AD ，∠EBA=∠GAD ，BE=AG ，∴△ABE ≌△DAG(SAS)，∴DG=AE ，∠DGA= ∠AEB=90°，∵AE=EG ，∴DG=EG ，∴△DEG 是等腰直角三角形，∴∠DEH= 45°，∴cos∠DEH=22，故③正确；连接DH ，∵EG=GH ，∴DG 垂直平分EH ，∴∠GDH= ∠GDE=45°，∵∠DGA=90°，∴∠GDF+∠DFG= 90°，又∵∠DFG+ ∠DAF= 180°- 90°= 90°，∴∠GDF=∠DAF ，∵tan ∠GDF=21=DG GF ，∴GF=21DG ，∵DG=EG=GH ，∴GF=21GH ，∴GF=FH ，又∵F 是CD 的中点，∴DF= FC=21CD ，∴四边形CHDG 是平行四边形，∴∠GCH= ∠GDH=45°，∴sin ∠GCH=22，故④错误，综上所述，正确的有①②③．故选A ．11.答案：105°解析：∵tanF=1，sinC=0.5，∴∠F= 45°，∠C= 30°.∵CE ⊥AF ，∴∠A= 90°-∠C=60°，∵∠DBC 是△ABF 的外角，∴∠DBC= ∠A+∠F=60°+45°=105°. 12.答案：21解析：∵S S BOC AOB △△=，A(-2，0)，∴OC=OA ，∴C(2，0)，∴AC=4. ∵点B 在双曲线y=x4上，BC ⊥x 轴，把x=2代入y=x4得y=2，∴BC=2.在Rt △ABC 中，tan ∠BAC=2142==AC BC . 13.答案：524解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=BC ，AC ⊥BD ，AO=OC ，DO=BO ，∴菱形ABCD 的周长为20，∴ AD=BC=5，∴tan ∠DAO=43=AO DO ，∴设DO= 3x ，则AO= 4x ，∵DO ²+AO ² =AD ²，即(3x)²+(4x)²=5²，解得x=1(舍负)，∴AC=8，BD=6，∴S ABCD 菱形=21×AC×BD=BC ×DE ，∴21×6×8= 5×DE ，解得DE=524．14．答案：24+183解析：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt △BCD 中，∠B= 30°，BC= 12，∴CD=21BC=6． ∴BD=3CD=63，在Rt △ACD 中，tan A=43=ADCD， ∴AD=34CD=8，∴AB=AD+BD=8+63，∴S ABC △=21×AB ×CD=21×(8+63)×6= 24+183.15．答案：66解析：过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △ABD 中，sin ∠DAB=ABBD ，∴BD=AB ·sin ∠DAB=63，在Rt △CBD 中，cos ∠CBD=BC BD ，∴BC=CBDBD∠cos =66( km)．16．答案：270解析：如图，过B 作BH ⊥CA ，交CA 的延长线于H ，由题意得BH= 18×4= 72( cm)， ∴斜坡BC 的坡度i=1：5，∴CH= 72×5= 360( cm)，∴AC=360-30×3=270(cm).17．答案：49.68解析：在Rt △ABC 中，∵BC ：AB=2.4，AB=10，∴ BC=24， ∴AC=BCAB 22+= 26，∴BE= AC= 26，∴AE= 36.在Rt △ADE 中，DE=AE ·tan 54°≈49.68( m)，即DE 的高度约为49.68 m ． 18．答案：825解析：如图，作直线DF 交AC 的延长线于K ，交AB 于M ，∵CH ∥DF ，CH ⊥AB ，∴DF ⊥AB ， ∠HCF=∠CFD ，∵∠DCB= ∠BCH ，∴∠BCD=∠CFD ，∴CD=DF ，∵53=EHCE，∴设CE=3x ，EH=5x ，则CH=8x ，∵F 是BC 的中点，FM ∥CH ，∴HM=BM ，∴FM=21CH=4x ，∵CH ∥KM ，∴DMEHAD AE DKCE==，在Rt △KCF 中，∵∠DCF=∠DFC ，∠DCF+∠DCK=90°=∠DFC+∠K ，∴∠K=∠DCK ，∴CD=DK ，设KD=DF=y ，∴xy x yx 453+=，即y=6x ，∴DM=6x+4x=10x ，∵EH ∥DM ，∴21==AM AH DM EH ，∴AH=HM=BM ，易得∠ACH=∠B ，又∵∠AHC= ∠CHB=90°，∴△AHC ∽△CHB ，∴BHCH CHAH =，∴CH ²=AH ·BH ，∴(8x)²=AH ·2AH ，∴AH=42x ，∴tan ∠DAB=8252810==xx AMDM.19．解析：(1)原式=2+1-2+1 =2．(2)原式：()22322312232143222432123222+=-=--⨯=⨯--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯.20.解析：(1)如图①所示． (2)如图②所示．21.解析：(1)∵AM ⊥MN ，CN ⊥MN ，∴∠M= ∠N=90°，∴ ∠MAB+∠ABM=90°， ∵∠ABC=90°，∴∠NBC+∠ABM=90°，∴∠MAB= ∠NBC ， ∴△AMB ∽△BNC ，∴ABBCAM BN ==tan ∠BAC= 21. ∵点B 是线段MN 的中点，∴BM=BN ． ∴在Rt △AMB 中，tan ∠BAM=AMBM =21．(2)过点C 作CD ⊥AC 交AP 于点D ，过点D 作DE ⊥BP 于点E ． ∵tan ∠BAC=21，∠APB=∠BAC ，∵tan ∠BAC=21=AB BC ，tan ∠APB=21=BPAB .设BC=x ，则AB=2x ，BP=4x ，则CP= BP -BC= 4x -x= 3x. 与(1)同理，可得∠BAC= ∠ECD ，∴∠APB= ∠ECD. ∵DE ⊥BP ，∴ CE=EP=21CP=23x.与(1)同理，可得△ABC ∽△CED ，∴43223===x xAB CE AC CD∴在Rt △ACD 中，tan ∠PAC=ACCD=43．22.解析：过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ．在Rt △AOC 中，OA=120m ，∠CAO= 60°， ∴CO=AO ·tan60°=1203m ．设PE=x m ，∵tan ∠PAB=21=AEPE ，∴AE=2x m.在Rt △PCF 中，∠CPF=45°，CF=(1203-x)m ，PF=OA+AE=(120+2x)m ，∵PF=CF ，∴120+2x=1203-x ．解得x=403-40.故电视塔OC 的高度为1203m ，点P 所在位置的铅直高度为(403 -40)m ．23.解析：如图，过点B 作BM ⊥AD ，垂足为M ，过点C 作CN ⊥AD ，垂足为N. 设CN =x km ．在Rt △ACN 中，∠A= 45°， ∵tan 45°=ANCN ，∴AN=︒=︒45tan 45tan xCN =x km ，在Rt △ECN 中，∠CEN= 70°． ∵tan70°=ENCN ，∴EN=︒=︒70tan 70tan xCN km ，∵CN ⊥AD ，BM ⊥AD ，∴∠ANC= ∠AMB=90°， ∴CN ∥BM ，∴AMAN BMCNABAC ==，又∵C 为AB 的中点，∴AB=2AC ，AC=BC ，∵BM=2CN=2x km ，AN=MN=x km ，由题意可知在Rt △BMD 中，∠MDB=45°， ∵tan 45°=DMBM ，DM=︒=︒45tan 245tan xBM =2x km ，∵DE -DM -EN=MN ， ∴18.5-2x -︒70tan x=x ，∴x=︒⨯+︒⨯70tan 3170tan 5.18≈5.5，∴AE=AN -EN=5.5-︒70tan 5.5≈3.5km ，故E 处距离港口A 大约为3.5 km.。

2020春人教版数学九年级下册第二十八章过关与测试及答案

第二十八章过关与测试及答案(时间:40分钟满分:100分)班级: 姓名: 得分:一、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分)1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,sin B=513,则tan A 的值为( ) A.513 B.1213 C.512D.1252.如图,在直角坐标系中,P 是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43,则sin α的值为() A.45 B.54 C.35 D.53第2题图第4题图3.在锐角△ABC 中,已知√cosA -12+|tan B-√3|=0,且AB=4,则△ABC 的面积等于( )A.4B.2C.2√3D.4√34.如图,在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,D 为BC 的中点,DE ⊥AB 于E,则tan ∠BDE 的值等于( ) A.1013B.1310C.512D.1255.已知在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,以AB 为直径作☉O 交AC 于点D,作直径DE,连接BE,BD,若sin ∠ACB=45,BC=6,则BE=( ) A.6 B.325 C.245 D.8第5题图第6题图6.如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan 24°≈0.45)( )A.21.7米B.22.4米C.27.4D.28.8米7.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于()A.asin x+bsin xB.acos x+bcos xC.asin x+bcos xD.acos x+bsin x第7题图第8题图8.如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60 n mile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是()A.30√3 n mileB.60 n mileC.120 n mileD.(30+30√3)n mile二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)9.拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1∶√3,坝底宽AC=15 m,则坡面AB的长度是m.10.在△ABC中,∠C=90°,△ABC的面积为6,斜边长为6,则tan A+tan B的值为.11.将一副三角尺如图所示叠放在一起,则BE的值是.EC第11题图第12题图12.如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5 m,则旗杆AB的高度约为m.(精确到0.1 m.参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan53°≈1.33)13.如图,无人机在空中C处测得地面A,B两点的俯角分别为60°,45°,如果无人机距地面高度CD为100√3 m,点A,D,E在同一水平直线上,则A,B两点间的距离是m.(结果保留根号)第13题图第14题图14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E.设∠A=α,且tan α=1,则tan 2α=.三、解答题(共4小题,满分44分)15.(10分)计算:(1)cos245°-tan30°+tan 30°·sin 60°.2cos30°.(2)2|1-sin 60°|+tan45°tan30°-2cos45°16.(10分)如图,在△ABC中,CD是边AB上的中线,∠B是锐角,且sin B=√2,tan2A=1,AC=3√5.2(1)求AB的长.(2)求tan∠CDB的值.17.(12分)(2019贵州遵义)某地为打造宜游环境,对旅游道路进行改造.如图是风景秀美的观景山,从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道,为方便游客登顶观景,欲从D到A修建电动扶梯,经测量,山高AC=154米,步行道BD=168米,∠DBC=30°,在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长(结果保留根号).18.(12分)如图,城市A的正东方向100 km处有一卫星城B,现计划在这两座城市间修筑一条城际快速通道(即线段AB),经测量,核能开发中心P在A城的北偏东30°和B城的北偏西45°的方向上,已知核辐射区域是以P点为圆心,50 km为半径的圆形区域,请问这条快速通道会不会穿过核辐射区?请说明理由.(参考数据:√3≈1.73)第二十八章过关与测试1.D2.A3.D4.C5.B6.A7.D8.D9.10√3 10.3 11.√33 12.9.5 13.100(1+√3) 14.3415.解:(1)原式=23. (2)原式=2-6√35-3√2516.解:(1)作CE ⊥AB 于E.设CE=x, 在Rt △ACE 中,∵tan A=CE AE =12,∴AE=2x.∴AC=√x 2+(2x )2=√5x.∴√5x=3√5.解得x=3. ∴CE=3,AE=6.在Rt △BCE 中,∵sin B=√22, ∴∠B=45°.∴△BCE 为等腰直角三角形. ∴BE=CE=3.∴AB=AE+BE=9,即AB 的长为9. (2)∵CD 为中线,∴BD=12AB=4.5. ∴DE=BD -BE=4.5-3=1.5. ∴tan∠CDE=CEDE =31.5=2, 即tan ∠CDB 的值为2. 17.解:作DE ⊥BC 于E,则四边形DECF 为矩形, ∴FC=DE,DF=EC,在Rt △DBE 中,∠DBC=30°, ∴DE=12BD=84,∴FC=DE=84, ∴AF=AC -FC=154-84=70, 在Rt △ADF 中,∠ADF=45°,∴AD=√2AF=70√2(米),答:电动扶梯DA的长为70√2米.18.解:不会穿过核辐射区.过点P作PD⊥AB,垂足为D. 由题可得∠APD=30°,∠BPD=45°.设AD=x,在Rt△APD中,PD=√3x,在Rt△PBD中,BD=PD=√3x,∴√3x+x=100,x=50(√3-1).∴PD=√3x=50(3-√3)≈63.4>50.∴不会穿过核辐射区.。

人教版九年级下册第二十八章能力测试题(含答案)

人教版九年级下册第二十八章能力测试题（含答案）28.1锐角三角函数同步练习一、选择题1、在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定2、2cos30°的值等于（）A．1 B． C． D．23、tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（）A． B．C．D．4、在△ABC中，∠C=90°，，则sinB的值是（）A. B. C. D.5、在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sinA的值为（）A． B． C． D．36、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为( )A.B．1 C. D.7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（）个（1）（2）（3）（4）．A．1 B．2 C．3 D．48、如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠A的值为（）A． B． C． D．9、如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A． B． C． D．二、填空题10、计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝．11、△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝，cos B＝，则∠C＝．12、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan ∠AOD＝．13、在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为.14、如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接AE，则sin∠AED= ．三、简答题15、计算：（3－π）0＋4sin45°－＋|1－|．16、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝3∶4，求∠A的三个三角函数值．17、计算：（﹣）﹣2+（ 1.414）0﹣3tan30°﹣．18、先化简，再求代数式（+）÷的值，其中x=sin60°﹣cos45°19、先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=2sin30°+2cos45°．20、如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．21、小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.参考答案一、选择题1、A；2、C．；3、D．；4、D；5、A；6、B；7、C；8、D；9、A；二、填空题10、11、60°12、213、314、三、简答题15、解：（3－π）0＋4sin45°－＋|1－|＝1＋4×－2－1＝1－2＋－1＝16、17、解：原式=+1﹣3×﹣2=4+1﹣﹣2=3﹣．18、解：原式=（﹣）•=•==，当x=sin60°﹣cos45°=×﹣×=时，原式==﹣17．19、原式=÷=×=∵x=2sin30°+2cos45°=2×+2×=3，∴原式=．20、连接OD．则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°．∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=．21、解1：(1)当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=+=1；(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1．28.2 解直角三角形及其应用1. 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是( )A．57 B．3 C．217 D．21142. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=35，则斜边上的高等于( )A．6425 B．4825C．165D．1253. 如图，在Rt△ABO中，斜边AB＝1，若OC∥BA，∠AOC＝36°，则( )A．点B到AO的距离为sin 54°B．点B到AO的距离为tan 36°C．点A到OC的距离为sin 36°sin 54°D．点A到OC的距离为cos 36°sin 54°4. 如图是教学用直角三角尺，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm5. 如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )A.212B ．12C ．14D ．21 6. 河堤横断面如图所示，堤高BC ＝6 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AB 的长为( )A ．12 mB ．4 3 mC ．5 3 mD ．6 3 m7. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15 m ，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°，若旗杆底部G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为( )A．20 m B．10 3 m C．15 3 m D．5 6 m8. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20 n mile，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20 min后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( )A．10 3 n mile/h B．30 n mile/h C．20 3 n mile/h D．303n mile/h 9. 从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是( )A．（3 B．（3 C．（3 D．12米10. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为( )A．1003m B．502m C．503m D．100311. 在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝92，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝1 3，则BD的长为________．12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan ∠BOC＝m，则m的取值范围是________．13．在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，AB＝8，则AB边上的高CD的长是______________．14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA＝43，BC=8，则△ABC的面积为_____.15. 等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为63cm，则其顶角为______.16. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．已知AC=5，BC=2，那么sin∠ACD=______.17. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB＝23，则AC的长是_______.18. 如图，从地面上点A处测得山顶上铁塔BD的塔顶和塔底的仰角分别为β=60°和α=45°，已知塔高BD=100m，那么山高CD= m．（结果保留根号）19. 如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C 点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．则海底C点处距离海面DF的深度为米（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB垂直于视线AD，AB=20米，AE=30米，则这块宣传牌CD的高度为米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．，求sinB+cosB 21. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=32的值.22.已知：如图，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P．（1）求证：BP=BC；，且PC=7，求⊙O的半径.（2）若sin∠PAO= 1323. 如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC＝30 m，由地面向上依次为第1层、第2层，…，第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长CE＝h m.(1)用含α的式子表示h；(不必指出α的取值范围)(2)当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？24. 如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数．）26.如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）答案：1—10 DBCCA AADCA 11. 6 12. m≥5213. 433或4或4 314. 24 15. 120°16.318. 50+1） 19. 2600 20. 5.421. 解：在Rt △ACD 中，∵∠ADC=90°，∴tanA=632CD AD AD ==，∴AD=4，∴BD=AB-AD=12-4=8．在Rt △BCD 中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，∴BC=22BD CD +=10，∴sinB=35CD BC =，cosB=45BD BC =，∴sinB+cosB=35+45=75． 22.（1）证明：连接OC ，∵BC 是⊙O 切线，∴∠OCB=90°，∴∠OCA+∠BCA=90°，∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ，∠BOA=90°，∴∠OAC+APO=90°， ∵∠APO=∠BPC ，∴∠OAC+∠BPC=90°，∴∠BPC=∠BCA ，∴BC=BP ．（2）解：延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE ，在Rt △AOP 中，∵sin ∠PAO=13，设OP=x ，AP=3x ，则AO=22x ，∵AO=OE ，∴OE=22x ，∴AE=42x ， ∵sin ∠PAO=13，∴CE AE ＝13，∴ACAE ＝223，∴3722342x x+=，解得：x=3，∴AO=62.23. 解：(1)如图，过点E 作EF⊥AB 于点F.由题意可知，四边形ACEF 为矩形，∴EF ＝AC ＝30，AF ＝CE ＝h ，∠BEF ＝α. ∵AB ＝3×10＝30，∴BF ＝AB －AF ＝30－h.又∵在Rt △BEF 中，tan ∠BEF ＝BF EF ，∴tan α＝30－h30，即30－h ＝30tan α，∴h ＝30－30tan α.(2)当a ＝30°时，h ＝30－30tan 30°＝30－30×33≈12.7.∵12.7÷3≈4.2，∴当α＝30°时，B点的影子落在乙楼的第五层．当h＝0时，30－30tan α＝0，得α＝45°，∵α每小时增加15°，∴从此时起1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．24. 解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2（m），在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME．设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28-x）m．在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，∴MF=CF•tan∠MCF，∴x+0.2=33（28-x），解得x≈9.7，∴MN=ME+EN=9.7+1.7≈11米．答：旗杆MN的高度约为11米．26. 解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，∴FD=EF=6米，在Rt△PEH中，∵tanβ=5EHPH BF=，∴BF=533=，∴PG=BD=BF+FD=53+6，在RT△PCG中，∵tanβ=CGPG，∴CG=（53+6）•3=5+23，∴CD=（6+23）米.。

人教版九年级下《第28章锐角三角函数》提优拔高检测试题附答案

人教版九年级数学第28章《锐角三角函数》提优拔高测试题完成时间：120分钟满分：150分姓名成绩一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。

每小题给题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D.若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为（）A. 53B. 255C. 52D. 23第1题图第3题图第4题图2．在△ABC 中，若|sinA -12|+(cosB -23)2=0，则∠C=（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°3．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是（）A ．4B ．2 3C ．8D ．4 34．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为（） A ．sin ∠APC B ．cos ∠APC C ．tan ∠APC D ．APCtan 1 5．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则tan ∠CAB 的值为（）A. 3B. 55C. 255D ．26．在△ABC 中，若|sinA －12|＋(cosB －12)2＝0，则∠C 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点且AE ：EB=4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于（）A ．33B ．332 C ．335 D ．53第7题图第8题图第9题图8．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB ＝4，BC ＝5，则tan ∠AFE 的值为（） A. 43 B. 35 C. 34 D. 459．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为（） A ．2 B.433C ．2 2D ．4 3 10．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=12．点P 是斜边AB 上一个动点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP=x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（）B ．C ．D ．5分，共20分）得分评卷人得分评卷人11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF ＝．第11题图第12题图第13题图第14题图12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF 为折痕．若AE＝3，则sin∠BFD的值为．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB＝1 4，则线段AC的长为．14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝45°，∠DCA＝30°，AB＝6，则AE＝．90分）15．（6分）计算：|－3|＋2sin45°＋tan60°－(－13)－1－12＋(π－3)0.16．（8分）已知α为锐角，且tanα是方程x2＋2x－3＝0的一个根，求2sin2α＋cos2α－3tan(α＋15°)的值．17．（10分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果ABBC ＝23，求tan∠DCF的值．18．（10分）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋1×33＝（3－3）（3－3）（3＋3）（3－3）＝12－636＝2－ 3.根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算sin15°的值；19．（10分）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A 处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行得分评卷人时间．(结果精确到0.1小时．参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)20．（10分）某生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7)21．（10分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A，B两船相距100(√3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果结果有根号，请保留根号）；（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据:√2≈1.41，√3≈1.73）22．（12分）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，2≈1.41)23．（14分）已知：如图，直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．（1）求AE的长及sin∠BEC的值；（2）求△CDE的面积．人教版九年级数学第28章《锐角三角函数》提优拔高测试题参考答案姓名成绩一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。

(人教版)初中数学九年级下册第二十八章综合测试试卷(含答案)03

第二十八章综合测试一、选择题（每小题4分，共32分）1︒的值为（）AB .C .3D .12.已知在ABC △中，若90C ∠=︒，1sin 3A =，则cosB 等于（）A .13B .1C .23D .33.在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，如果222a b c +=，那么下列结论正确的是（） A . sin c A a = B . cos b B c = C . tan a A b =D . tan c B b =4.如图28-8，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，把A ∠的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作cot bA a=.则下列关系式中不成立的是（） A .tan cot 1A A ⋅= B .sin tan cos A A A =⋅ C .cos cot sin A A A =⋅ D .22tan cot 1A A +=5.如图28-9，已知AD 是ABC △的外接圆的直径，13 cm AD =，5cos 13B =，则AC 的长等于（） A .5 cmB .6 cmC .12 cmD .10 cm6.在ABC △中，若21sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则ABC △是（）A .不等边的等腰三角形B .等边三角形C .不等腰的直角三角形D .等腰直角三角形7.（2014·山东威海）如图28-10，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则AOB ∠的正弦值是（）A .10B .12C .13D .108.如图28-11（示意图），小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30︒，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60︒，已知小敏同学眼睛到地面的距离AB 为1.6 m ，则这棵树的高度为（结果精确到0.1 m1.73≈）（）A .3.5 mB .3.6 mC .4.3 mD .5.1 m二、填空题（每小题5分，共20分）9.如图28-12，一束光线照在坡度为1:3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α=_________.10.如图28-13，在Rt ABC △中，斜边BC 上的高，4AD =，4cos 5B =，则AC =_________. 11.如图28-14所示，将以点A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到'''A B C △，使点'B 与点C 重合，连接'A B ，则tan ''A BC ∠=_________.12.如图28-15，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AB 于点E ，若4BC =，AOE △的面积为5，则sin BOE ∠的值为________.三、解答题（共48分）13.（12分）如图28-16，一根长63 m 的木棒（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，与地面的倾斜角（ABO ∠）为60︒.当木棒A 端沿墙下滑至点'A 时，B 端沿地面向右滑行至点'B . （1）求OB 的长；（2）当' 1 m AA =时，求'BB 的长.14.（12分）海上有一小岛，为了测量小岛两端A ，B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图28-17所示，已知点B 是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，测得8.3 n mile AE =，30 n mile DE =，且DE EC ⊥，3cos 5D =.（1）求小岛两端A ，B 的距离；（2）过点C 作CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，求sin BCF ∠的值.15.（12分）如图28-18，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为60︒，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45︒.已知90 m BC =，且B ，C ，D 在同一条直线上，山坡坡度为12（即1tan 2PCD ∠=）. （1）求该建筑物的高度（即AB 的长）；（2）求此人所在位置点P 的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）.16.（12分）在东西方向的海岸线l 上有一长为1 km 的码头MN （如图28-19），在码头西端M 的正西19.5 km 处有一观察站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30︒，且与A 相距40 km 的B 处，经过1 h 20 min ，又测得该轮船位于A 的北偏东60︒，且与A 相距的C 处.（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由.第二十八章综合测试答案解析一、 1.【答案】C3︒==. 2.【答案】A【解析】因为90A B ∠+∠=︒，所以1cos sin 3B A == 3.【答案】A【解析】因为222a b c +=，所以90C ∠=︒.因为sin aA c=，所以 sin c A a =，所以选项A 正确。

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( D ) A ．扩大为原来的5倍 B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线AD 与水平线AE 的夹角为a ，如图所示.若tana=310，则点D 到地面的距离CD 是( C )A.2.7米B.3.0米C.3.2米D.3.4米3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ． 144 cmB ． 180 cmC ． 240 cmD ． 360 cm4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝，则∠A 的度数是( A )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 70°5.如图，有两个全等的正方形ABCD 和BEFC ，则tan(∠BAF ＋∠AFB)=( A )A.1B.56 C. 23D. 6.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A 、∠A ′的余弦值的关系是( B )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定7.如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )海里/时海里/时海里/时 /时 8.如图，在△ABC 中，AB =2，BC =4，∠ABC =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ A ） A.B.C.D.9.如图，△ABD 和△BDC 都是直角三角形，且∠ABD=∠BDC=90°，∠BAD=30°，∠DBC=45°，则tan ∠DAC 的值为( C )A.3 B. 33+ C. 413+ D. 310.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D )A ．26米B ．28米 C.30米 D ．46米11.如图，△ABC 内接于⊙0，AD 为⊙0的直径，交BC 于点E ，若DE=2，0E=3，则tan ∠ACB ·tan ∠ABC=( C )A.2B.3C.4D.5 二、填空题12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶2，则sinB ＝________． [答案] 3413.如图，在半径为3的⊙0中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=____.[答案]14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，则cos75°＝________．【答案】6－2415.如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE=∠B=a ，DE 交AC 于点E ，且cosa=45，则线段CE 的最大值为____.【答案】6.416.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D ，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150＋100)米17.如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414≈1.732)【答案】54.618.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】5三、解答题19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，求cos A的值．【答案】解在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴cos A＝sin B＝.20.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度.如图，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上的D处测得楼顶的仰角为40°.若高台DE的高为5米，点D到点C的水平距离EC为47.4米，A，C，E三点共线，求“玉米楼”AB的高度.(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数)【解析】如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，交BC 于点F ，过点C 作CG ⊥DM 于点G ，设BM=x 米，由题意，得DG=47.4米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=40°，则FM=BM=x 米，GF=CG=5米，∴DF=DG ＋GF=52.4米，∴DM=BM tan BDM ∠=x tan 40︒≈x0.84(米)，∵DM －FM=DF ，∴x0.84－x=52.4，解得x≈275.1，∴AB=BM ＋AM=BM ＋DE ≈280米. 答：“玉米楼”AB 的高约为280米.21.计算：sin 45°＋cos 230°＋2sin 60°. 【答案】解原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋.22.如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使BP=OB ，BD 垂直于弦BC ，垂足为点B ，点D 在PC 上，设∠PCB=α，∠P0C=β，求证tan α·tan β=13【解析】如图，连接AC ，则∠A=12∠POC=2β. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴tan 2β=BCAC.∵BD ⊥BC ，tan α=BD BC ，BD ∥AC ，∴△PBD ∽△PAC ，∴BD AC =PBPA.∵PB=OB=OA ，∴PB PA =13.∴BD AC =13.∴tan α·tan 2β=BD BC ·BC AC =BD AC =13.23.某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB 可绕点A 旋转，在点C 处安装一根可旋转的支撑臂CD ，AC ＝30 cm.(1)如图2，当∠BAC ＝24°时，CD ⊥AB ，求支撑臂CD 的长； (2)如图3，当∠BAC ＝12°时，求AD 的长．(结果保留根号)(参考数据：sin 24°≈0.40，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.46，sin 12°≈0.20)【答案】解 (1)∵∠BAC ＝24°，CD ⊥AB ， ∴sin 24°＝，∴CD ＝AC sin 24°＝30×0.40＝12 cm ； ∴支撑臂CD 的长为12 cm ； (2)过点C 作CE ⊥AB ，于点E ，当∠BAC ＝12°时， ∴sin 12°＝＝，∴CE ＝30×0.20＝6 cm ， ∵CD ＝12， ∴DE ＝6，∴AE ＝＝12cm ， ∴AD 的长为(12＋6)cm 或(12－6) cm.24.小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米到达A 处，测得树顶端E 的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C 处，测得树的顶端E 的仰角是60°，再继续向前走到大树底D 处，测得食堂楼顶N 的仰角为45°.已知A 点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B 、C 、D 三点在同一直线上. (1)求树DE 的高度； (2求食堂MN 的高度.【解析】(1)设DE=x 米，∵DF=AB=2米，∴EF=DE －DF=(x －2)米. ∵∠EAF=30°，∴EF AF 2)tan EAF ===-∠米.又DE CD x tan DCE 3==∠米，A B B C 3t a n A C ==∠，∴BD=BC ＋3x)米. 由AF=BD－x ，解得x=6. 故树DE 的高度为6米.(2)如图，延长NM 交DB 的延长线于点P ，则BP=AM=3米. 由(1)知米，米，∴PD=BP ＋BC ＋CD=3＋2＋2=(3＋4)米.∵∠NDP=45°，∴NP=PD=(3＋米.∵MP=AB=2米，∴NM=NP －MP=3＋2=(1＋米.故食堂MN 的高度为(1＋)米.25. 如图所示，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上的一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.(1)试写出α的三个三角函数值； (2)若∠B ＝α，求BD 的长．解：(1)sin α＝55，cos α＝255，tan α＝12； (2)BC ＝AC tan α＝212＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3.人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元复习卷（含答案）一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A的值为()A．B．C．D．2.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为60°.问摩天轮的高度AB约是()(结果精确到1 米，参考数据：≈1.41，≈1.73)A．120米B．117米C．118米D．119米3.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，AC＝1，那么∠A的正切tan A等于()A．B．2C．D．4.如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为()A．B．C．D．不能确定5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tan A·tan B等于()A．0B．1C．－1D．不确定6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则sin A的值是()A．B．C．D．17.如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4∶3，背水坡BC的坡比为1∶2，大坝高DE ＝20 m，坝顶宽CD＝10 m，则下底AB的长为()A．55 mB．60 mC．65 mD．70 m8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么cosα的值是()A．B．C．D．9.当锐角a＜60°，sin a的值()A．小于B．大于C．小于D．大于10.在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，若BC∶AC＝3∶4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC 的值为()A．B．C．D．二、填空题11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是________．12.某船自西向东航行，在A处测得某岛B在北偏东60°的方向上，前进8海里后到达C，此时，测得海岛B在北偏东30°的方向上，要使船与海岛B最近，则船应继续向东前进____________海里．13.△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，那么sin B＝________.14.在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cos B＝，则BC的长是__________．15.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为__________ n mile.(结果取整数，参考数据：≈1.7，≈1.4)16.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1.则BC的长____________．17.在△ABC中，∠ACB＝90°，若tan A＝，则cos A＝__________.18.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.19.已知0＜α＜90°，且tanα＝，则∠α＝________.20.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4BC，则sin A＝__________.三、解答题21.如图，两座建筑物的水平距离BC＝30 m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．22.在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：(1)tan C的值；(2)sin A的值．23.如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走60米到达D处，在D处测得点A的仰角为45°，求建筑物AB的高度．24.如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70 nmile，若该渔船由西向东航行30 nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．25.我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)26.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．27.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)28.小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．(1)求出大厦的高度BD；(2)求出小敏家的高度AE.答案解析1.【答案】D【解析】如图，∵tan A＝＝，∴设BC＝x，则AC＝3x，∴AB＝＝x，∴cos A＝＝＝.故选D.2.【答案】C【解析】在Rt△ABC中，由∠C＝45°，得AB＝BC，在Rt△ABD中，∵tan ∠ADB＝tan 60°＝，∴BD＝＝＝AB，又∵CD＝50 m，∴BC－BD＝50，即AB AB＝50，解得AB≈118.即摩天轮的高度AB约是118米．故选C.3.【答案】B【解析】∵∠C＝90°，AB＝，AC＝1，∴BC＝＝2，则tan A＝＝2，故选B.4.【答案】B【解析】如图，连接AC，根据勾股定理可以得到AC＝AB＝，BC＝2.∵()2＋()2＝(2)2.∴AC2＋AB2＝BC2.∴△CAB是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°，∴∠ABC的正弦值为.故选B.5.【答案】B【解析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解．tan A·tan B＝·＝1，故选：B.6.【答案】B【解析】∵∠C＝90°，∠A＝∠B，∴∠A＝45°，∴sin 45°＝.故选B.7.【答案】C【解析】∵DE＝20 m，DE∶AE＝4∶3，∴AE＝15 m，∵CF＝DE＝20 m，CF∶BF＝1∶2，∴BF＝40 m，∴AB＝AE＋EF＋BF＝15＋10＋40＝65 m.故选C.8.【答案】D【解析】过A作AB⊥x轴于B，∵A(4,3)，∴PB＝3，OB＝4，由勾股定理得OA＝＝5，所以cosα＝＝.故选D.9.【答案】A【解析】∵sin 60°＝，a＜60°，∴sinα＜sin 60°＝.故选A.10.【答案】B【解析】作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，根据勾股定理，AB＝5x，设CD为a，BD平分∠ABC，则DE＝CD＝a，AD＝4x－a，AE＝5x－3x＝2x，在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，即(4x－a)2＝a2＋(2x)2，解得a＝x，∴tan∠DBC＝＝＝，故选B.11.【答案】【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∴cos A＝＝.12.【答案】4【解析】根据题意画出图形，过B作BD⊥AD，如图所示，∵∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，且∠BCD为△ABC的外角，∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°，∴∠CAB＝∠CBA，又AC＝8海里，∴AC＝BC＝8海里，在直角三角形BCD中，BC＝8海里，∠BCD＝30°，∴CD＝BC＝4海里，则要使船与海岛B最近，则船应继续向东前进4海里．13.【答案】【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，∴AB＝＝＝，∴sin B＝＝＝.14.【答案】【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝8，cos B＝，∴＝，∴BC＝.15.【答案】102【解析】过P作PD⊥AB，垂足为D，∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，∴∠MPA＝∠PAD＝60°，∴PD＝AP·sin ∠PAD＝86×＝43，∵∠BPD＝45°，∴∠B＝45°.在Rt△BDP中，BP＝＝＝43×≈102(n mile)．16.【答案】2＋1【解析】∵在△ABC中，AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，∠C＝45°，∴∠DAC＝45°，∴DC＝AD＝1，在Rt△ABD中，sin B＝，AD＝1，∴sin B＝＝，即AB＝3，根据勾股定理，得BD＝＝2，则BC＝BD＋DC＝2＋1.17.【答案】【解析】∵tan A＝，∴设b＝x，则a＝2x，根据a2＋b2＝c2，得c＝x.∴cos A＝＝＝.故答案为.18.【答案】【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.19.【答案】30°【解析】∵tanα＝，0＜α＜90°，∴α＝30°.20.【答案】【解析】因为Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4BC，所以AC＝＝BC，所以sin A＝＝＝.21.【答案】解延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在Rt△AED中，AE＝BC＝30 m，∠EAD＝30°，∴ED＝AE tan 30°＝10m，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝30 m，∴AB＝30m，则CD＝EC－ED＝AB－ED＝30－10＝20m.【解析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC－ED求出DC 的长即可．22.【答案】解(1)过A作AD⊥BC于点D.∵S△ABC＝BC·AD＝84，∴×14×AD＝84，∴AD＝12.又∵AB＝15，∴BD＝＝9.∴CD＝14－9＝5.在Rt△ADC中，AC＝＝13，∴tan C＝＝.(2)过B作BE⊥AC于点E.∵S△ABC＝AC·EB＝84，∴BE＝，∴sin ∠BAC＝＝＝.【解析】(1)过A作AD⊥BC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD、AC 的长，此时再求tan C的值就不那么难了．(2)同理作AC边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sin A的值．23.【答案】解设建筑物AB的高度为x米．在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝x.∴BC＝DB＋CD＝x＋60.在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴tan ∠ACB＝，∴tan 30°＝，∴＝，3x＝(x＋60)＝x＋60，(3－)x＝60，x＝＝30＋30，∴x＝30＋30.经检验，x＝30＋30是分式方程的解．∴建筑物AB的高度为(30＋30)米．【解析】设建筑物AB的高度为x米，在Rt△ABD中可得出AB＝DB＝x，在Rt△ABC中根据tan ∠ACB的值可求出x的值．24.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD＝30°，设BC＝x，则：在Rt△BCD中，BD＝BC·sin 30°＝x，CD＝BC·cos 30°＝x；∴AD＝30＋x，∵AD2＋CD2＝AC2，即＋＝702，解之得x＝50(负值舍去)，答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD＝30°，设BC＝x，解直角三角形即可得到结论．25.【答案】解(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°，∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°，∴BH＝BC×sin ∠BCA＝150×＝75(海里)．答：B点到直线CA的距离是75海里；(2)∵BD＝75海里，BH＝75海里，∴DH＝＝75海里，∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，tan ∠BAH＝＝，∴AH＝25海里，∴AD＝DH－AH＝(75－25)(海里)．答：执法船从A到D航行了(75－25)海里．【解析】(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，根据三角函数可求BH的长即为所求；(2)根据勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根据三角函数可求AH，进一步得到AD的长．26.【答案】解如图，过点A作AD⊥BC的延长线于D，S△ABC＝BC·AD＝×6×AD＝12，解得AD＝4，在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，tan B＝＝＝.【解析】过点A作AD⊥BC的延长线于D，利用三角形的面积求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．27.【答案】解由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.设EC＝x m，则DE＝BE＝2EC＝2x m，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x m，BC＝＝＝x，由题意知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC.∴x＋60＝3x，解得x＝30＋10，2x＝60＋20.答：塔高约为(60＋20)m.【解析】先求出∠DBE＝30°，∠BDE＝30°，得出BE＝DE，然后设EC＝x m，则BE＝2x m，DE ＝2x m，DC＝3x m，BC＝x m，然后根据∠DAC＝45°，可得AC＝CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．28.【答案】解(1)如题图，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，AE⊥DE，∴四边形AEDC是矩形，∴AC＝DE＝20米，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC＝AC＝20米，在Rt△ACD中，tan 30°＝，∴CD＝AC·tan 30°＝20×＝20(米)，∴BD＝BC＋CD＝20＋20(米)；∴大厦的高度BD为(20＋20)米；(2)∵四边形AEDC是矩形，∴AE＝CD＝20米．∴小敏家的高度AE为20米．【解析】(1)易得四边形AEDC是矩形，即可求得AC的长，然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD 中，利用三角函数的知识求得BC与CD的长，继而求得答案；(2)结合(1)，由四边形AEDC是矩形，即可求得小敏家的高度AE.人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试一、选择题1、3tan60°的值为（）A． B． C． D．32、sin45°的值等于（）A． B．1 C． D．3、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=4、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）A． B． C． D．6、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为A． B．C．D．7、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．108、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A． 3cm B． 6cm C．cm D．cm9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里二、填空题10、计算：= .11、如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是．12、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=__________]m．13、．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．14、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．15、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外，如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为___米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)16、如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．三、计算题17、计算：3tan30°﹣2tan45°+2sin60°+4cos60°．18、计算：．四、简答题19、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝3∶4，求∠A的三个三角函数值．20、如图，九（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆的高度．21、小刚学想测量灯杆AB的高度，结果他在D处时用测角仪测灯杆顶端A的仰角∠AEG=30°，然后向前走了8米来到C处，又测得A的仰角∠AFG=45°，又知测角仪高1.6米，求灯杆AB的高度．（结果保留一位小数；参考数据：≈1.73）22、如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A．C之间选择一点B（A．B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．23、山西绵山是中国历史文化名山，因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称，如图1，是绵山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图2，在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得塑像头顶C的仰角刚好为45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直线上，求塑像的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7，≈1.4，≈1.7，≈3.2）24、如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．（1）求点D到直线AB的距离；（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．25、甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．26、如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在北偏东60°方向上，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在北偏东45°方向上，问客轮不改变方向继续前进有无触礁危险？参考答案一、选择题1、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．2、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【解答】解：sin45°=，故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．3、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则A、cosA=，故本选项错误；B、tanA=，故本选项错误；C、sinA=，故本选项正确；D、cosA=，故本选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．4、C【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．5、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，可得答案．【解答】解：△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，得cosB==，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6、B7、D【考点】解直角三角形．【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB===10，故选D8、D9、D二、填空题10、；11、12、 5.513、．考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值．分析：重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．解答：解：∵AC=，∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：×1=．故答案为：．14、．【解析】试题分析：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴BC：A C=1：，∵堤高BC=5米，∴坝底AC=米．故答案为：．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15、58_16、【考点】正方形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义．【分析】M、N两点关于对角线AC对称，所以CM=CM，进而求出CN的长度．再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan∠ADN．【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD=4．∵DM=1，∴CM=3，∵M、N两点关于对角线AC对称，∴CN=CM=3．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DNC，∵tan=∠DNC==，∴tan∠ADN=．故答案为：．三、计算题17、原式=2．18、.解：原式=1+﹣1+2﹣=2四、简答题19、20、AB＝13.5 m21、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设AG的长为x米，根据正切的概念分别表示出GF、GE的长，计算即可得到AG，求出AB即可．【解答】解：设AG的长为x米，在Rt△AGE中，EG==x，在Rt△AGF中，GF=AG=x，由题意得，x﹣x=8，解得，x≈10.9，则AB=AG+GB≈12.5米，答：灯杆AB的高度约为12.5米．22、解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=40m，∠A=30°，∴BE=AB=20m，AE==20m，即点B到AD的距离为20m；（2）在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），在Rt△ADC中，∠A=30°，∴DC==（10+10）m．答：塔高CD为（10+10）m．23、【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中根据勾股定理可得PE=，则AE=3，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米、OA=（m﹣3）米，在Rt△AOC中，由tan75°=求得m的值，继而可得答案．【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，∵i=1：3，AP=10，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中，x2+（3x）2=102，解得：x=或x=﹣（舍），∴PE=，则AE=3，∵∠CPF=∠PCF=45°，∴CF=PF，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米，OA=（m﹣3）米，在Rt△AOC中，tan75°==，即m+=tan75°•（m﹣3），解得：m≈14.3，∴OC=14.3+≈17.5米，答：塑像的高度约为17.5米．24、【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，代值计算即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC=GB，GD=BC=11．在Rt△DGH中，DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，∴点D到直线AB的距离是6.60km；（2）根据（1）得：GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，在Rt△ADH中，AD=DH≈1.41×6.60≈9.31．AH=DH≈6.60，∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，∴AD+DG﹣AG=（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．25、【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．26、解：过P作PC⊥AB于C点，如图，据题意知AB＝9×＝3，∠PAB＝90°－60°＝30°，[ ∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PCB＝90°，∴PC＝BC.在Rt△APC中，tan 30°＝＝＝，即＝，∴PC＝海里＞3海里，∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．。