三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习板块命题点专练三基本初等函数Ⅰ及函数与方程理

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三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第三节函数的奇偶性及周期性课件文

奇函数一个x，都有_f_(－__x_)_＝__－__f(_x_)，那么关于_原__点_对称
函数f(x)就叫做奇函数
2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有_f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)_，那么就称函数 f(x) 为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最 ___小_的 __正 ___数_，那么这个_最__小__的__正__数__就叫做 f(x)的最小正周期．
(3)∵当f(xx<)0的时定，义f(x域)＝为x2－R，x，
∴f(则－当x)x＝>03－时x－，－3x＝x<－0，(3x－3－x)＝－f(x)，所以故故f原f((x－函)为x数)＝奇是x函偶2＋数函x数＝．．f(x)，
[谨记通法] 判定函数奇偶性的 3 种常用方法 (1)定义法：
(2)图象法：
3．函数 f(x)＝(2x＋2)
22＋－xx的奇偶性为________．
解析：由22＋－xx≥0，得函数 f(x)＝(2x＋2)
22－＋xx的定义
域为[－2,2)，不关于原点对称，所以函数 f(x)为非奇非偶
函数．
答案：非奇非偶
考点一函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透
[题组练透] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (2)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (3)f(x)＝3x－3－x； (4)f(x)＝|x＋4－3|－x23； (5)(易错题)f(x)＝xx22＋－xx，，xx><00，.
(3)性质法： ①设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 ×偶＝偶，奇×偶＝奇． ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． [提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(－x)与 f(x) 的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第八章立体几何第一节空间几何体的结构特征课件理(1)

2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．
3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
[对点训练 1] 已知函数 y＝f(x)的图象是圆 x2＋y2＝2 上的两
段弧，如图 1 所示，则不等式 f(x)>f(－x)－2x 的解集是________．
D [因为 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，所以 f(x－8)＝f(x)，所以函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数，则 f(－25)＝f(－ 1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x－4)＝－f(x)，得 f(11)＝f(3)＝－f(－ 1)＝f(1)．因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在 R 上是奇函数，所以 f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以 f(－1)＜f(0)＜f(1)，即 f(－25)＜f(80)＜f(11)．]
☞角度 2 奇偶性与周期性结合
(2017·贵阳适应性考试(二))若函数 f(x)＝asin 2x＋btan x＋1，且 f(－ 3)＝5，则 f(π＋3)＝________.
－3 [令 g(x)＝asin 2x＋btan x，则 g(x)是奇函数，且最小正周期是 π，由 f(－ 3)＝g(－3)＋1＝5，得 g(－3)＝4，则 g(3)＝－g(－3)＝－4，则 f(π＋3)＝g(π＋3) ＋1＝g(3)＋1＝－4＋1＝－3.]
(2)函数 f(x)＝2f－xx－－11，，xx≤＞00，的图象如图所示，
当 a<1 时，函数 y＝f(x)的图象与函数 f(x)＝x＋a 的图象有两个交点，即方程 f(x)＝x＋a 有且只有两个不相等的实数根．]

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练十立体几何理

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练十立体几何理1.(2015·山东高考改编)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．解析：绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×π×()22×2＝42π3. 答案：42π32．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7. 答案：73．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r 1，r 2，母线长分别是l 1，l 2.则由S 1S 2＝94可得r 1r 2＝32.又两个圆柱的侧面积相等，即2πr 1l 1＝2πr 2l 2，则l 1l 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1l 1S 2l 2＝94×23＝32. 答案：324.(2015·安徽高考)如图，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高．又PA ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连结BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt△BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.命题点二组合体的“切”“接”问题难度：中命题指数：☆☆☆1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________．解析：如图，设球的半径为R ， ∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ABC ＝V C AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ABC 最大，为13×12R 2×R ＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π. 答案：144π2．(2014·陕西高考改编)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋22＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3.答案：4π33．(2013·全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，连结EA ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π命题点三直线、平面平行与垂直的判定与性质难度：中命题指数：☆☆☆☆☆1．(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG . 解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)平面BEG ∥平面ACH . 证明如下：因为ABCD EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH . 又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH . (3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH . 因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFHD . 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG .同理DF ⊥BG .又EG ∩BG ＝G ，所以DF ⊥平面BEG .2．(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 又BD ∩BE ＝B ，故AC ⊥平面BED . 因为AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V 三棱锥E ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5.3.(2015·北京高考)如图，在三棱锥V ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ABC 的体积．解：(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB . (3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V ABC 的体积与三棱锥C VAB 的体积相等，所以三棱锥V ABC 的体积为33. 4．(2014·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。

2019-2020年三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第五节二次函数与幂函数

[小题纠偏]
1
1
1．若(m＋1) 2 <(3－2m) 2 ，则实数 m 的取值范围为______．
1
解析：∵y＝x 2 在定义域[0，＋∞)上是单调增函数，
∴ m3－＋21m≥≥0， 0， m＋1<3－2m，
解得－1≤m<23，
即 m 的取值范围是－1，23. 答案：－1，23
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
角度三：二次函数中恒成立问题 4．已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3 在 x∈[－1,1]上恒
小于零，求实数 a 的取值范围．
解：由题意知 2ax2＋2x－3＜0 在[－1,1]上恒成立．当 x＝0 时，－3<0，适合；当 x≠0 时，a＜321x－132－16，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当 x＝1 时，右边取最小值12，所以 a＜12. 综上，实数 a 的取值范围是－∞，12.
考点三二次函数的图象与性质常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
高考对二次函数图象与性质的考查．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，考查二次函数的图象与性质的应用．
常见的命题角度有： (1)二次函数的单调性问题； (2)二次函数的最值问题； (3)二次函数中恒成立问题．

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第六节指数与指数函数课件理

由于所以
fg(令(xx))g有应(x最有)＝大最－值小x值32，－－41x，＋3，
因解此得必a由在而＝有于 (y1－＝，a3g>a2即(a－130，x，)当t4在在＋＝f(R(∞－－x上))有1∞上，单最，单调大－调递值2递减)3上减，时单，，调a 递的增值等，于 1.
∴(a2－a＋1)0＝1，故②是正确的；
③3
1
x4＋y3＝(x4＋y3) 3 ，故③是错误的；
④∵2x＝16，
∴x＝4，∵3y＝217＝3－3， ∴y＝－3， ∴x＋y＝4＋(－3)＝1，故④是错误的．故填②. 答案：②
4．如果函数 f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在[－1,1]上的最大值为 14，则 a＝________.
[即时应用] 1．已知 a>0 且 a≠1，函数 y＝|ax－1|与 y＝2a 的图象有
两个交点，则 a 的取值范围是________．
解析：①当 0<a<1 时，y＝|ax－1|的图象如图 1 所示，
由已知得 0<2a<1，
所以
1 0<a<2.
②当 a>1 时，y＝|ax－1|的图象如图 2 所示，
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
3．有下列命题：
3
①当 a<0 时，(a2) 2 ＝a3；

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第一节函数的概念及其表示课件理

4．若函数 f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则 f(lg x)的定 V
义域为________．解析：因为 f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故 0≤x2≤1，所以 1≤x2＋1≤2. 因为 f(x2＋1)与 f(lg x)是同一个对应法则，所以 1≤lg x≤2，即 10≤x≤100，所以函数 f(lg x)的定义域为[10,100]．答案：[10,100]
[小题纠偏]
1．函数y＝
x 与函数y＝
x x
________(填“是”或“不是”)
同一函数．
解析：函数y＝
x的定义域为[0，＋∞)，y＝
x 的定 x
义域为(0，＋∞)．因为两个函数的定义域不同，所以
不表示同一函数．
答案：不是
2．函数f(x)＝ x－1· x＋1的定义域为________．解析：由题意，得xx－＋11≥≥00，，所以 x≥1，所以函数 f(x) 的定义域是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)
定义域是________．解析：令 t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1,2 016]，可知 1≤t≤2 016.要使函数 f(x＋1)有意义，则有 1≤x＋1≤2 016，解得 0≤x≤2 015，故函数 f(x＋1)的定义域为[0，2 015]．所以使函数 g(x)有意义的条件是0x≤－x1≤≠200，15，解得 0≤x<1 或 1＜ x≤2 015.故函数 g(x)的定义域为[0,1)∪(1，2 015] 答案：[0,1)∪(1,2 015]
[题组练透] 角度一：求给定函数解析式的定义域
1．(2016·南师附中月考)y＝
x2－x1－log2(4－x2)的定义域
是________．

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习板块命题点专练六简单的三角恒等变换及解三角形理

板块命题点专练(六) 简单的三角恒等变换及解三角形1．(2015·重庆高考改编)若tan α＝2tan π5，则cos⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.答案：32．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝17－－1＋17－＝3. 答案：33．(2015·北京高考)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 4．(2015·四川高考)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R)的两个实根．(1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值．解：(1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式 Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2或p ≥23.由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ，于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－ 3.所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°. (2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22，解得B ＝45°或B ＝135°(舍去)．于是A ＝180°－B －C ＝75°.则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3. 所以p ＝－13(tan A ＋tan B ) ＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3.________. 解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.答案：22．(2015·广东高考改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝________. 解析：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b ＜c ，∴b ＝2. 答案：23．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.解析：在△ABC 中，根据正弦定理asin A ＝bsin B，有3sin2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22. 因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4. 答案：π44．(2015·福建高考)若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________. 解析：∠B ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，即BCsin 45°＝3sin 60°，解得BC ＝ 2.答案： 25．(2015·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.6．(2015·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值．解：在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可得C 为锐角，所以cos C ＝539，因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝csin C，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c .又ac ＝23，所以c ＝1.7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin B sin C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B . 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，所以∠B ＝30°8．(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5.由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.9．(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60° (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，。

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文

，c2＝
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
___2_b_c____，cos B＝____2_a_c___，cos C＝____2_a_b____.
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；
1
1
(2)S＝12bcsin A＝__2_a_c_si_n__B_＝__2_a_b_s_i_n_C___；
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
＝(3 2)2＋62－2×3 2×6×cos34π
＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3 10.
又由正弦定理得sin
B＝bsin∠a BAC＝3
3＝ 10
1100，
由题设知0＜B＜π4，
所以cos B＝ 1－sin2B＝
1－110＝3
10 10 .
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，
[即时应用] (2016·南京师大附中检测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ 3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解：(1)∵bsin A＝ 3acos B，由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0，即得tan B＝ 3，∴B＝π3. (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3，解得a＝ 3， ∴c＝2a＝2 3.

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第八章立体几何第一节空间几何体的结构特征课件理

答案：④
2．下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是 ________(填序号)． ①正三角形的直观图是正三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③矩形的直观图是矩形； ④圆的直观图是圆．解析：直观图改变了原图中角的大小及图形的形状，所以①③④都不正确，易知②正确．答案：②
3. 如图所示的正方形 ABCD 用斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，平行四边形中有一条边的边长为 4，则此正方形的面积是________．解析：由题意，可知在直观图(图略)中，若边长为 4 的边与 x′轴平行，则原正方形的边长为 4，此时正方形的面积为 16；若边长为 4 的边与 y′轴平行，则原正方形的边长为 8，此时正方形的面积为 64. 答案：16 或 64
①有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台； ②多面体至少有3个面； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形．
解析：①说法错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以 ②说法错误；③说法错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知④说法正确．
[由题悟法] 用斜二测画法画直观图的 3 个步骤 (1)在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x′ 轴或 y′轴平行． (2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线． (3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出．
[即时应用] 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴．已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2，则原平面图形的面积为________cm2. 解析：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与 BC，AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2. 答案：8

【三维设计】(江苏专用)2017届高三数学一轮总复习第九章平面解析几何课时跟踪检测理

第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式1．若直线l 的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．解析：因为tan 60°＝3，所以该直线的斜率为 3. 答案： 32．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是________．解析：因为直线的斜率k ＝tan 45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y －1＝x －0，即y ＝x ＋1.答案：y ＝x ＋13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________.解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－24．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________．解析：因为直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，所以－2a ＋m －5m ＝0，得a ＝－2m ，所以直线方程为－2mx ＋my －5m ＝0.又a ≠0，所以m ≠0，所以直线方程－2mx ＋my －5m ＝0可化为－2x ＋y －5＝0，即y ＝2x ＋5，故此直线的斜率为2.答案：21．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[小题纠偏]1．下列有关直线l ：x ＋my －1＝0的说法： ①直线l 的斜率为－m ； ②直线l 的斜率为－1m；③直线l 过定点(0,1)； ④直线l 过定点(1,0)．其中正确的说法是________(填序号)．解析：直线l ：x ＋my －1＝0可变为my ＝－(x －1)．当m ≠0时，直线l 的方程又可变为y ＝－1m (x －1)，其斜率为－1m，过定点(1,0)；当m ＝0时，直线l 的方程又可变为x ＝1，其斜率不存在，过点(1,0)．所以①②不正确，④正确．又将点(0,1)代入直线方程得m －1＝0，故只有当m ＝1时直线才会过点(0,1)，即③不正确．答案：④2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．(2016·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x 轴的直线的倾斜角为0°或180°；③若直线过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则该直线的斜率为y 1－y 2x 1－x 2. 其中正确说法的个数为________．解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以①不正确．直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，所以平行于x 轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以②不正确．当x 1＝x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率不存在；当x 1≠x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率才为y 1－y 2x 1－x 2，所以③不正确．答案：03．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m.∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12[谨记通法]求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二直线方程重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[由题悟法]直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为______________．解析：①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0考点三直线方程的综合应用常考常新型考点——多角探明[命题分析]直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2015·福建高考改编)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于________．解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b＝1得1a ＋1b＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a＋ab≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故a ＋b 的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．(2016·苏州模拟)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝0[方法归纳]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.答案：5π62．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：333．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝04．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限．解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－ABx －C B.∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－C B>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 2．(2016·南京学情调研)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________．解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．答案：(2，－1)4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝05．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于________．解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：36．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．答案：(2，－2)7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)，即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝08．(2016·盐城调研)若直线l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2ab＝22(当且仅当b a＝2ab时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.答案：3＋2 29．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵直线l 过点(3,2)， ∴3a ＋2a＝1，解得a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k .∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0，则a ＝1－4k，b ＝4－k .∴a ＋b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k－k ≥5＋4＝9.当且仅当k ＝－2时，取“＝”．故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二：设l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a≥9，当且仅当4a b ＝ba时，即b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6.∴所求直线 l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号，所以e x＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12. 答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y＋4＝0.第二节两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 121．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是________．解析：由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.答案：－82．已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q (2,0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，95，故所求直线(即PQ ′)的方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52，即7x ＋y ＋22＝0.答案：7x ＋y ＋22＝03．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________．解析：由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0 .答案：3x ＋y ＋9＝01．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案：充要2．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或1考点一两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·金陵中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于________．解析：由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2. 答案：－22．(2016·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(2016·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)， ∴a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． ∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0，③由题意，知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b.则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]由一般式确定两直线位置关系的方法在判断两直线位置关系时，比例式1A 2与1B 2，1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法] 处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2016·苏州检测)已知三条直线2x －y －3＝0,4x －3y －5＝0和ax ＋y －3a ＋1＝0相交于同一点P .(1)求点P 的坐标和a 的值；(2)求过点(－2,3)且与点P 的距离为25的直线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．将点P 的坐标(2,1)代入直线ax ＋y －3a ＋1＝0，可得a ＝2.(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.点P 到直线l 的距离d ＝|2k －1＋2k ＋3|k 2＋1＝25，解得k ＝2，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0.考点三对称问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用．[题点全练]角度一：点关于点的对称问题1．(2016·苏北四市调研)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 的坐标为________．解析：设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝1，2＋y2＝4，∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)．答案：(－1,6)角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0 角度四：对称问题的应用4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0[方法归纳]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________. 解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2，故由条件得k ＝12.答案：122．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－793．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：因为直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0，解得m ＝8，故直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：24．(2016·宿迁模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·苏州二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝________.解析：由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a ≠5－3a8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)．答案：－72．(2016·南京一中检测)P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的任意一点，则PQ 的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取一点(4,0)，此点到另一直线6x ＋8y ＋5＝0的距离为|6×4＋8×0＋5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910. 答案：29103．(2015·苏北四市调研)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1. 答案：14．(2016·天一中学检测)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．解析：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝05．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________．解析：因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，126．(2016·无锡调研)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0. 答案：x ＋y －7＝08．(2016·江苏五星级学校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x＋4y≥22x·4y＝22x ＋2y＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0. 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5. 故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________．解析：依题意得|a －b |＝a ＋b2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c ≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，12. 答案：22，122．(2016·徐州一中检测)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：设点M 到所给直线的距离为d ，①d ＝|5＋1|12＋－2＝32>4，故直线上不存在点P 到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|－2＋42＝4，所以直线上存在一点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝|2×5＋1|22＋－2＝1155>4，故直线上不存在点P ，使之到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③. 答案：②③3．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6. 故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.第三节圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________．解析：由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)2．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________．解析：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 答案：x 2＋y 2－10y ＝03．(教材习题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝254．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [小题纠偏]1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________．解析：由(4m )2＋4－4×5m ＞0，得m ＜14或m ＞1.答案：m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14∪(1，＋∞) 2．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心位于第________象限．解析：因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r 的圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )＝－3a 2－12a >0，即a (a ＋4)<0，所以－4<a <0.又该圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，a ，显然圆心位于第四象限．答案：四考点一圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)(2015·镇江调研)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有－2＋b －2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.答案：(x －2)2＋(y ±3)2＝42．(2016·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. 答案：213[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2016·苏州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直。

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数课件文

2．(教材习题改编)已知函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若 f(2)>f(3)，则实数 a 的取值范围是________．解析：因为 f(2)>f(3)，所以 f(x)＝logax 单调递减，则 a∈(0,1)．答案：(0,1)
3．(教材习题改编)函数 f(x)＝ln11－＋xx是________(填“奇”或 “偶”)函数．解析：因为函数 f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，且 f(－x)＝ln11－＋xx＝ln11－＋xx－1＝－ln11＋－xx＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数．答案：奇
1．在运算性质 logaMα＝αlogaM 中，要特别注意条件，在无 M>0 的条件下应为 logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且 α 为偶数)．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围．
[小题纠偏]
1．若 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，则xy＝________. 解析：原式可化为 lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，
第七节对数与对数函数
1．对数
如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底
概念 N 的对数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底
数，N 叫做真数，logaN 叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔ x＝logaN loga1＝0，logaa＝1，aloga N ＝ N
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第三节平面向量的数量积与平面向量应用课件

地传说我国古代有个叫麻姑的
理仙女,曾经三次看到东海变成桑田。
小后人就以这种沧海桑田的变更,来
故比喻世事变化很大。其实这个故
事
事的原意是指海陆的变迁,这就是我们今天要研究和探讨的问题。
第二章第二节
海陆的变迁
实地考察
喜马拉雅山脉
海底世界
荷兰
喜马拉雅地区的发现
喜马拉雅地区发现了海洋生物的化石
我国东海海域的海底，人们发现人类活动的遗迹
荷兰的填海造陆工程
• 荷兰的围海造陆工程
荷兰的国土面积在过去的百年中不断扩大
引起海陆变迁的原因：
地壳的变动海平面的升降人类活动
从地图上得到的启示
非
非
南
洲
南洲
大西洋
美
美
洲
洲
• 大西洋两岸可以拼合
魏格纳
1910年的一天，年仅30岁的魏格纳躺在病床上，目光正好落在墙上的一幅世界地图上。“奇怪！大西洋两岸大陆轮廓的凹凸，为什么竟如此吻合？非洲大陆和南美洲大陆以前会不会是连在一起的？只是后来因为受到某种力的作用才破裂分离。大陆会不会是漂移的？”
东京大地震
1923年9月1日，日本东京发生8.3级地震，至少14万人死亡。
学以致用
你能用板块理论解释四川地震吗
马来西亚的槟榔屿遭受海啸泰国旅游胜地海啸后满目疮夷
印度洋海啸
印度洋大地震发生于2004年12月26日。震中央位于印度尼西亚苏门答腊以北的海底。香港天文台和美国全国地震情报中心测得强度分别为8.9和9.0。这是1900年以来强度第四的地震。有数十万人在地震引发的海啸中死亡，一些地区的海啸高达十多米。
大陆漂移学说

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第九节函数模型及其应用课件文

3．某商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天) 的函数关系为 P＝t－＋t2＋0，1000<，t<2255≤，t≤t∈3N0，，t∈N，且该商品的日销售量 Q 与时间 t(天)的函数关系为 Q＝－ t＋40(0<t≤30，t∈N)，则这种商品日销量金额最大的一天是 30 天中的第________天．
最小值为 70 万元．
[由题悟法] 应用函数 y＝x＋ax模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)＝ax 与反比例函数 f(x) ＝bx叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)＝ax＋bx的模型，有时可以将所列函数关系式转化为 f(x)＝ax＋bx的形式． (3)利用模型 f(x)＝ax＋bx求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
经市场调查，某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间
t( 天 ) 的函数，且日销售量近似地满足
g(t)
＝
－
1 3
t
＋
112 3
(1≤t≤100，t∈N)．前 40 天价格为 f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t
∈N)，后 60 天价格为 f(t)＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试
求该商品的日销售额 S(t)的最大值和最小值．
当 41≤t≤100，t∈N 时，解 S＝＝所S＝＝所所((tt：－－以1616以以))＝＝ t(2t当 11，－－117822gg6＝(t((S31812ttt＋)－(60)＝≤Sftf8t)(((＋的t21t)1tS))2≤t2＝0＝(－＋1最)401240)＋8312－0≤－大)1，×3≤，2213S13值×35St5tt(3＋∈＋2t0(为)2t0≤)1N21≤，21313S2时25S3(04(，1410－1t2，)＋＝)12＝最t2＋122小4255392值010.为. 8.

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第一节导数的概念与计算课件文

答案：3
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[小题纠偏] 1．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(e)
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
f′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
[小题体验]
1．(教材习题改编)一次函数 f(x)＝kx＋b 在区间[m，n]上的平均变化率为________．解析：由题意得函数 f(x)＝kx＋b 在区间[m，n]上的平均变化率为fnn－－mfm＝k. 答案：k
[方法归纳] 导数几何意义的应用的 2 个注意点 (1)当曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 x＝x0； (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x －x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
角度三：求参数的值 3．(2016·南京外国语学校检测)已知函数 f(x)＝x4＋ax2－bx，

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第二课时导数与函数的极值最

函(1)数当fa(＝x)无2 时极，值f；(x②)＝当x－a＞2ln0 x时，，f′由(xf)′＝(1x－)＝2x0(x，＞解0)得，x＝a.又当 x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从因而为函f(数 1)＝f(1x，)在f′x＝(1a)＝处－取1得，极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
故所求f(xa) 的取值范围为0，98.
1－3ln 2
[由题悟法] 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
[即时应用] 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 x＝1 处的切线为 l：3x－y＋1＝0，若 x＝23时，y＝f(x)有极值． (1)求 a，b，c 的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
a所，以无曲极线大y值＝．f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x
综－上1)，，即当 xa＋≤y0－时2＝，0函. 数 f(x)无极值；当 a＞0 时，函数 f(x) 在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极大值．
角度二：已知极值求参数 2．(2016·黑龙江哈三中期末)已知 x＝2 是函数 f(x)＝x3

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第十章算法统计与概率第三节概率第一课时随机事件的概率课件理

事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥．＝P(D)＋P(E)＋P(F)
(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G＝A＋B＋C，所以＝0P.3(G＋)＝0.1P＋(A0＋.04B＝＋0C.4) 4.
＝P法(A二)＋：P记(B“)＋至P少(C3) 人排队等候”为事件 H，则其对立事件
[由题悟法] 1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
(3)概率的几个基本性质 ①概率的取值范围： 0≤P(A)≤1 . ②必然事件的概率：P(A)＝ 1 . ③不可能事件的概率：P(A)＝ 0 .
④概率的加法公式
如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A＋B)＝ P(A)＋P(B) ．
⑤对立事件的概率
若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A＋B 为必然事件．P(A
解析：对于①，若事件 A，B 中有一个为不可能事件，则事件 A，B 中至少有一个发生的概率与事件 A，B 中恰有一个发生的概率相等，故①说法错误；对于②，若事件 A，B 不互斥，则事件 A，B 同时发生的概率不一定比事件 A，B 中恰有一个发生的概率小，故②说法错误；由互斥事件与对立事件的概念知，③说法错误；④说法正确．答案：④
中________(填序号)． ①一定不发生； ②可能发生，也可能不发生； ③一定发生．解析：根据概率的意义知该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生．答案：②
2．(2015·镇江模拟)下列说法正确的是________(填序号)． ①频率反映的是事件发生的频繁程度； ②概率反映的是事件发生的可能性的大小； ③在 n 次重复试验中，事件 A 发生 m 次，则事件 A 发生的频率mn 就是事件析：由频率与概率的概念可知①②④正确．答案：①②④