夯实基础小题突破-36直线方程

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直线方程经典题型总结

直线与直线方程经典题型题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（）①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为030的直线有且仅有一条；③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ；④如果两直线平行，则它们的斜率相等A. 0个B.1个C.2个D.3个【练习】如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )．A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，A ，()1,4B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。

【练习】已知两点()4,3-A ，()2,3B ，过点()1-2，P 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围。

【例4】若直线l 的方程为2tan +=αx y ，则（）A.α一定是直线l 的倾斜角B.α一定不是直线l 的倾斜角C.α—π一定是直线l 的倾斜角D.α不一定是直线l 的倾斜角【练习】设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a 、满足（）A.1=+b aB.1=b a —C.0=+b aD.0=b a —题型二：斜率的应用【例5】若点()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a 的值为_________________.【练习】若三点()()()b C a B A ,0,0,2,2， ()0≠ab 共线，则b a 11+的值为_____________. 【例6】已知实数y x 、满足82=+y x ，当32≤≤x 时，求x y 的最大值为_______，最小值为_________________ 【练习】1、若45ln ,23ln ,12ln ===c b a ，则（） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<2、求函数1212+=x x y —的值域.题型三：两直线位置关系的判断已知，两直线21,l l 斜率存在且分别为21,k k ，若两直线平行或重合则有21__________k k ，若两直线垂直则有21__________k k .【例7】已知直线1l 的倾斜角为 60，直线2l 经过点()3,1，A ，()322—，—B ，判断直线1l 与2l 的位置关系.【练习】1、已知点()3,2P，()5,4Q ,()a A ，—1，()2,2a B 当a 为何值时，直线PQ 与直线AB 相互垂直？2、已知直线1m 经过点()()3,23—，，a B a A ，直线2m 经过点()()5,6,3N a M ，，若21m m ⊥，求a 的值.【例8】在平面直角坐标系中，对R a ∈，直线012:012:21=+=+—和—y ax l ay x l （）.A 互相平行 .B 互相垂直.C 关于原点对称 .D 关于直线x y —=对称【练习】直线()()()()07425084123=++=+++——与—y a x a y a x a 垂直，求a 的值.题型四：求直线方程（一）点斜式【例9】根据条件写出下列直线的方程：（1）经过点A(1,2),斜率为2；（2）经过点B （—1,4），倾斜角为 135；（3）经过点C （4,2），倾斜角为 90；（4）经过点D （—3，—2），且与x 轴平行.已知直线过一点，可设点斜式【练习】已知ABC ∆中，()()()0,26,241—，，—，C B A ，BC AD ⊥于D ,求AD 的直线方程.（二）斜截式【例10】根据条件写出下列直线的方程：（1）斜率为2，在y 轴上的截距是5；（2）倾斜角为 150，在y 轴的截距为—2；（3）倾斜角为 45，在y 轴上的截距为0.已知斜率时，可设斜截式：【练习】求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程.（三）截距式【例12】根据条件写出下列直线的方程：（1)在x 轴上的截距为—3，在y 轴上的截距为2；（2)在x 轴上的截距为1，在y 轴上的截距为—4；与截距相关的问题，可设截距式【练习】直线l 过点()3,4P ，且在轴轴、y x 上的截距之比为1:2，求直线l 的方程.（四）两点式【例11】求经过下列两点的直线方程：（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7)适时应用“两点确定一条直线”【练习】过点()1,0M作直线l ，使他被两条已知直线04:103:21=+++y x l y x l 和—所截得的线段AB 被点M 平分.求直线l 的方程.【例12】1、已知点A （3,3）和直线l ：2543—x y =.求：（1）经过点A 且与直线l 平行的直线方程；（2）经过点A 且与直线l 垂直的直线方程.2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A （—1,0），B （2,0），C （2,3），试求AB 边上的高的直线方程.(思考：如果求AB 边上的中线、角平分线呢？）【例13】已知直线l 的斜率为2，且l 和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线l 的方程为________________．【练习】已知，直线l 经过点（—5，—4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________________【例14】直线l 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b （0≠b ），则（）A.00>≤b k 且B.00<≥b k 且C.00><b k 且D.00>>b k 且【练习】两条直线y=ax+b 与y=bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是（）A五、直线的交点坐标与距离公式1、求两条直线的交点（联立方程组）例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+21=0相交于一点，则k=（2）已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。

8.1直线的方程课件——2025届高三数学一轮复习

Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
适用条件与x轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂直的直线不过原点且与两坐标轴均不垂
直的直线所有直线
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0
π 0<α<2
π 2
π 2<α<π
k 0 k>0 不存在 k<0
2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而 “距离”是一个非负数.
y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( √ )
解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2. (2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
2.(易错题)直线xtan 60°＋y－2＝0的倾斜角为( C)
∴直线的斜率 k＝－23，则直线的方程为 y－1＝－23(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
训练2 (1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC
的中点N在x轴上，则直线MN的方程为__5_x_－___2_y_－__5_＝___0_.
解析设C(x0，y0)，
标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
解由题意可知k≠0，再由l的方程，
得 A－1＋k2k，0，B(0，1＋2k).
依题意得－1＋k2k<0，解得 k>0. 1＋2k>0，
∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋k2k·|1＋2k|＝12·（1＋k2k）2＝124k＋1k＋4
≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当 4k＝1k，即 k＝21，等号成立，

高中数学解析几何

高中数学解析几何高中数学解析几何第1篇突破点1，夯实基础知识。

对于基础知识，不仅一个知识点都要熟稔于心，还要有能力将这些零散的知识点串联起来。

只有这样，才能形成属于自己的知识框架，才能更从容的应对考试。

(一)对于直线及其方程部分，首先我们要从总体上把握住两突破点：①明确基本的概念。

在直线部分，最主要的概念就是直线的斜率、倾斜角以及斜率和倾斜角之间的关系。

倾斜角α的取值范围是突破[0，π)，当倾斜角不等于90°的时候，斜率k=tanα;当倾斜角=90°的时候，斜率不存在。

②直线的方程有不同的形式，同学们应该从不同的角度去归类总结。

角度一：以直线的斜率是否存在进行归类，可以将直线的方程分为两类。

角度二：从倾斜角α分别在[0，π/2)、α=π/2和(π/2，π)的范围内，认识直线的特点。

以此为基础突破，将直线方程的五种不同的形式套入其中。

直线方程的不同形式突破需要满足的条件以及局限性是不同的，我们也要加以总结。

(二)对于线性规划部分，首先我们要看得懂线性规划方程组所表示的区域。

在这里我们可以采用原点法，如果满足条件，那么区域包含原点;如果原点带入不满足条件，那么代表的区域不包含原点。

(三)对于圆及其方程，我们要熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。

对于圆部分的学习，我们要拓展初中学过的一切与圆有关的知识，包括三角形的内切圆、外切圆、圆周角、圆心角等概念以及点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆的内切正多边形的特征等。

只有这样，才能更加完整的掌握与圆有关的所有的知识。

(四)对于椭圆、抛物线、双曲线，我们要分别从其两个定义出发，明白焦点的来源、准线方程以及相关的焦距、顶点、突破离心率、通径的概念。

每种圆锥曲线存在焦点在X轴和Y轴上的情况，要分别进行掌握。

突破点2，学习基本解题思想。

对于平面几何部分的学习，最基本的解题思想就是数形结合，还包括函数思想、方程思想、转化思想等。

要想掌握数形结合这种思想方法，首先同学们心中要有坐标轴，要掌握好学过的各种平面几何的概念。

直线的方程-高中数学总复习课件

0），且与以 A （2，1）， B （0， 3 ）为端点的线段有公共点，则直
线 l 的斜率的取值范围为（－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞） .
⁠
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高中总复习·数学
解析：设直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为α，β，直线 PA
的斜率是 kPA ＝1，直线 PB 的斜率是 kPB ＝－ 3 ，当直
线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角
图形，结合正切函数的单调性求解；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，
反之亦可.
提醒
π
π
根据斜率求倾斜角的范围时，要分［0，）与（，π）
2
2
两种情况讨论.
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高中总复习·数学
1. 直线 x sin α＋ y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是（
）
A. [0，π）
解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－ sin α.因为 sin α∈[－
+ 2 = 0，
＝ − 2，
0，令ቊ
解得 ቊ
1 − = 0，
= 1.
∴无论 k 取何值，直线总经过定点（－2，1）.
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高中总复习·数学
（2）若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；
D. k 1＜ k 3＜ k 2
解析：
因为直线 l 2， l 3的倾斜角为锐角，且直线 l 2的倾斜角大
于直线 l 3的倾斜角，所以0＜ k 3＜ k 2.直线 l 1的倾斜角为钝角，斜率 k
1＜0，所以 k 1＜ k 3＜ k 2.
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高中总复习·数学
直线的方程
【例2】（1）（多选）（2024·临沂模拟）过点（－3，1）且在两

高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习(含答案)

高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习（含答案）一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用,,,αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[)0,απ∈2、斜率：设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α= （1）当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）k 越大，直线越陡峭（5）斜率k 的求法：已知直线上任意两点()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x −=−，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。

3、截距：若直线l 与坐标轴分别交于()(),0,0,a b ，则称,a b 分别为直线l 的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关（1）一点一方向：① 点斜式：已知直线l 的斜率k ，直线上一点()00,P x y ，则直线l 的方程为：()00y y k x x −=−证明：设直线l 上任意一点(),Q x y ，根据斜率计算公式可得：0y y k x x −=−，所以直线上的每一点都应满足：()00y y k x x −=−，即为直线方程② 斜截式：已知直线l 的斜率k ，纵截距b ，则直线l 的方程为：y kx b =+证明：由纵截距为b 可得直线与y 轴交点为()0,b ，从而利用点斜式得：()0y b k x −=− 化简可得：y kx b =+ （2）两点确定一条直线：③ 两点式：已知直线l 上的两点()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为：221212y y x x y y x x −−=−− ④ 截距式：若直线l 的横纵截距分别为(),0a b ab ≠，则直线l 的方程为：1x y a b+= 证明：从已知截距可得：直线上两点()(),0,0,a b ，所以00b bk a a−==−− ():01b x yl y b x bx ay ab a a b∴−=−−⇒+=⇒+= ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,x y 的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），此形式称为直线的一般式一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）（2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）（二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,l l ，则要考虑重合的情况。

高考数学总复习知识点训练：直线的方程(含答案)

高考数学总复习知识点训练：直线的方程（含答案）第59练直线的方程1．经过点M (1,1)且在两轴上截距相等的直线是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y －1＝0C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y －2＝0或x －y ＝02．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1)3．光线沿直线y ＝2x ＋1的方向射到直线y ＝x 上被反射后光线所在的直线方程是( )A ．y ＝x 2－12B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝x 2＋12D ．y ＝x2＋14．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若l 过原点和第二、四象限，则( ) A ．C ＝0，且B >0 B ．C ＝0，B >0，A >0 C ．C ＝0，AB <0D ．C ＝0，AB >05．已知点P (a ，b )，Q (b ，a )(a ，b ∈R )关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x －y ＋(a ＋b )＝0D ．x ＋y ＋(a ＋b )＝06．(2016·合肥模拟)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋17．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12abB.12|ab | C.12abD.12|ab |8．(2017·福州月考)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8二、填空题9．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．10．在直线方程y ＝kx ＋b 中，当x ∈[－3,4]时，恰好y ∈[－8,13]，则此直线方程为________． 11．设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为______________．12．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为__________________________； (2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为________________.答案精析1．D [由题意得，当直线过原点时，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，代入M (1,1)，解得a ＝2，即x 2＋y2＝1，所以直线的方程为x ＋y－2＝0，综上所述，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x －y ＝0.] 2．C [由方程知，已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，故选C.] 3．A [在直线y ＝2x ＋1上取点(0,1)，(1,3)，关于直线y ＝x 的对称点(1,0)，(3,1)，过这两点的直线为y －01－0＝x －13－1，即y ＝x 2－12.故选A.]4．D [直线过原点，则C ＝0，又过第二、四象限，∴斜率为负值，即k ＝－AB<0， ∴AB >0，故选D.]5．A [由题意知，k PQ ＝－1，故直线l 的斜率k ＝1，又直线l 过线段PQ 的中点M (a ＋b 2，a ＋b2)，故直线l 的方程为y －a ＋b2＝x －a ＋b2，即x －y ＝0.]6．A [将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.]7．D [令x ＝0，得y ＝1b ，令y ＝0，得x ＝1a ，S Δ＝12|1a ||1b |＝12|ab |.]8．C [∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.] 9．2x ＋y ＋1＝0解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0. 由此可知，点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0. ∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知，点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0. ∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0. 10．y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋4解析方程y ＝kx ＋b ，即一次函数y ＝kx ＋b ，由一次函数单调性可知：当k >0时，函数为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝－8，4k ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝1.当k <0时，函数为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝－8，－3k ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝4.11．3x －2y ＋5＝012．(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0 (2)x ＋y －2＝0解析 (1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2. 此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M (2＋aa ＋1，0)，N (0,2＋a )，因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12[(a ＋1)＋1a ＋1＋2] ≥12[2 (a ＋1)·1a ＋1＋2]＝2. 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。

直线方程综合训练题集及答案

直线方程综合训练1一、选择题1、三角形中，已知三边a,b,c依次所对应的三内角α,β,γ满足lgsinα+lgsin γ=2lgsinβ, 则直线xsin2α+ysinα=α与xsin2β+ysinγ=c的位置关系是( ) (A) 平行(B) 斜交(C) 垂直(D) 重合2、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是( )(A) (－a,－b) (B) (a,－b) (C) (b,a) (D) (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是( ) (A) 3x+4y－122=0 (B) 3x+4y+122=0(C) 3x+4y－24=0 (D) 3x+4y＋24=04、点(4,0)关于直线5x+4y+21=0对称的点是（）(A) (－6,8) (B) (－8,－6) (C) (6,8) (D) (－6,－8)5、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)46、平面上两点A(4cosα，4sinα)与B(3cosβ，3sinβ)之间的距离的最大值与最小值顺序为（）(A)7与1 (B)6与1 (C)7与2 (D)6与27、直线x+2y-1=0的倾斜角为( )(A)43)D (22arctan )C (22arctan )B (4π-ππ8、经过点A （－3，2）和B （6，1）的直线与直线x ＋3y －6=0相交于M ，M 分AB 所成的比是 ( )（A ）－1 （B ）21 （C ）1 （D ）29、如图所示，直线l 1：ax －y ＋b=0与l 2：bx －y ＋a=0(ab ≠0,a ≠b)的图象只可能是( )10、由方程11-+-y x =1确定的曲线所围成的图形面积是 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）π （D ）411、一平行于y 轴的直线把顶点为(0,0)、(1,1)、(9,1)的三角形分成面积相等的两部分，那么这条直线是（）（A ）x=2.5 （B ）x=3 （C ）x=3.5 （D ）x=412、经过原点，且倾斜角是直线y=22x ＋1倾斜角2倍的直线是 ( )（A ）x=0 （B ）y=0 （C ）y=2x （D ）y=22x13、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为（）（A ）(a －b,a ＋b) （B ）(a ＋b, a －b) （C ）(2a,0) （D ）(0,2a)14、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )（A ）k ＞1 （B ）0＜k ＜21 （C ）k ＜21（D ）21＜k ＜115、直线ax ＋by=ab(a ＞0,b ＜0)的倾斜角等于 ( )（A ）π－arctg(－b a ) （B ）π－arctg b a （C ）arctg(－b a ) （D ）arctg ba二、填空题1、过点A （－1，2）且倾斜角正弦值为53的直线方程是______。

新高考数学复习专题突破——突破3.2 直线的方程附答案解析

数学无耻得分综合篇！做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证
法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。填空题也是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否用特殊值代入法以及特例求解法。选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不要有马虎的地方。大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式 Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。求最值时通过自变量的范围推到里面整体 u=wx+fai 的范围，然后可以直接画 sinu 的图像，避免画平移的图像。这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前 n 项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知 Sn 求 an、已知 Sn 与 an 关系求 an（前两种都是利用 an=Sn-Sn1，注意讨论 n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列 lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项

2.2.2 直线的两点式方程(分层作业)(人教A版2019选修第一册)(解析版)

2.2.2直线的两点式方程（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）直线10x y --=与两坐标轴所围成的三角形的面积为．A ．14B ．2C ．1D ．122．（2022·全国·高二课时练习）若直线l 过点和2,5，且点91,b 在直线l 上，则b 的值为（）A ．183B ．182C ．181D ．180A ．470x y ++=B ．470x y -+=C ．470x y ++=D ．470x y -+=有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．（2022·全国·高二）下列说法正确的是（）A ．11y y x x --＝k 不能表示过点M （x 1，y 1）且斜率为k 的直线方程B ．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为1x y a b+=C ．直线y ＝kx +b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．过两点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）的直线方程为212212()()()()0x x y y y y x x -----=6．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点、2,3B -、4,5C ，则下列说法正确的是（）A ．直线AC 的斜率为13B ．直线AB 的倾斜角为钝角C ．BC 边的中点坐标为()1,4D ．BC 边上的中线所在的直线方程为50x y +-=7．（2022·江苏·高二）一束光线经过点()1,2A -由x 轴反射后，经过点()2,1B 射出，则反射光线所在直线方程是______．【答案】1y x =-【分析】根据题意，若要求反射光线，可求得点()1,2A -关于x 轴对称的点(1,2)A '--，又过()2,1B 即可得解.【详解】首先求点()1,2A -关于x 轴对称的点(1,2)A '--，H-，则直线l的方程为8．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过点，2,1__________．10．（2022·全国·高二专题练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有______条.所以直线l 的条数为3条．故答案为：311．（2022·全国·高二课时练习）若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________.与点,4B m （m ∈R ）的直线的方程为______．【答案】()3140x m y m -+++=【分析】方法一：采用()()()()121121y y x x x x y y --=--的形式求直线方程．方法二：分1m =-和1m ≠-两种情况讨论，当1m ≠-时求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，再检验1m =-时的情况，即可得解.【详解】解：方法一因为直线过点()1,1A -，(),4B m ，所以直线方程为()()()()11141y m x -+=+-，整理得()3140x m y m -+++=．14．（2021·吉林长春·高二期中）已知直线l 经过点(0,2)，其倾斜角为30︒.（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积.(1)过点A (﹣1，﹣3)，且斜率为14-；(2)A (1，3)，B (2，1))求直线AB 的方程；(3)经过点P (3，2)且在两坐标轴上的截距相等.【答案】(1)4130x y ++=；(2)250x y +-=；(3)230x y -=或50x y +-=.【分析】(1)根据直线点斜式方程即可求解；16．（2021·全国·高二课时练习）求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为3 2-的直线的斜截式方程．17．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=．(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程．(1)在x 轴、y 轴上的截距分别是3，4-；(2)过点()1,5P ，且在y 轴上的截距为6；(3)过点()3,4P -，且在x 轴上的截距为3.(1)A (3,1),B (2,－3)；(2)A (2,1),B (0,－3)；(3)A (0,5),B (4,0).20．（2021·全国·高二课前预习）（1）已知直线经过点，求直线的方程；（2）已知点(3,)P m 在过点()()2,1,3,4A B --的直线上，求m 的值；（3）三角形的三个顶点分别是()()()1,0,3,1,1,3A B C --，求三角形三边所在直线的方程.(1)求BC 边所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线方程；(3)求BC 边的中垂线所在直线方程.一、双空题1．（2021·全国·高二课前预习）已知直线l 过点(2,1)P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB 面积的最小值为__________，此时的直线方程为__________．【答案】4240x y +-=(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________________；(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为________________.3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过点P（t，t），Q（t－1，2t），0t≠，则直线l能否同时经过点A（－1，15）和点B（2，－2）？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．4．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别为，，．(1)求ABC的三边所在直线的方程；(2)求ABC的三条中线所在直线的方程．【答案】x－y－5＝0或3x＋2y＝0(1)任一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗？(2)如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，那么它们在y轴上的截距可能相同吗？(3)如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距可能相同吗？(4)任一条直线都可以用截距式方程表示吗？【答案】(1)不是都有；(2)不可能相同；(3)不可能相同；(4)不都可以.【分析】（1）举反例即可说明不是都有；（2）直接推理即可说明不可能相同；（3）反证法即可说明不可能相同；（4）举反例即可说明不都可以.(1)直线10x-=在x轴上的截距为1，在y轴上无截距.则任一条直线不是都有x轴上的截距和y轴上的截距.(2)如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，则这两条直线互相平行，那么它们在y轴上的截距不相同.(3)假设两条直线在x轴上的截距相同，又两条直线在y轴上的截距相同，则这两条直线斜率相同，这与已知中两直线斜率不同矛盾.故如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距不可能相同.(4)直线10x-=在x轴上的截距为1，在y轴上无截距，不能用截距式方程表示.故任一条直线不都可以用截距式方程表示7．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知直线():210R l kx y k k -++=∈.(1)若直线l 不能过第三象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程.(1)若直线的倾斜角为135，求k的值；(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程．10．（2021·全国·高二专题练习）从点(2,1)A出发的一束光线依次经过直线11:32x y l -+=+和2:(2(1)l y x =⋅-反射后回到点A ．设1l 和2l 上反射点分别为P 和Q ，求直线PQ 的方程．112021··成的三角形面积为S .求：（1）求证：不论m 为何实数，直线l 过定点P ；（2）分别求3S =和5S =时，所对应的直线条数；（3）针对S 的不同取值，讨论集合{}l 直线l 经过P ，且与坐标轴围成的三角形面积为S 中的元素个数.【答案】（1）定点()2,1P ，见解析；（2）3S =时，2条直线，5S =时，4条直线；（3）。

高考数学夯实基础直线与方程、点到直线距离公式

直线与方程直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y-=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y +=直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a直线的一般式方程12PP =1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。

新高考数学复习专题突破——突破3.2 直线的方程含解析

突破3.2 直线的方程课时训练【基础巩固】1．直线1x y a b+=过一、二、三象限，则（） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0 【答案】C【解析】直线过一、二、三象限，所以它在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，所以a ＜0，b ＞0. 2．直线1y ax a=-的图象可能是（）【答案】B 【解析】由1y ax a=-可知，斜率和在y 轴上的截距必须异号，故B 正确． 3．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为（） A ．143x y += B ．143x y -= C ．134x y += D ．136x y -= 【答案】B【解析】易知A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x 轴上的截距为4，则所求直线的方程为143x y -= 4．两直线1x y m n -=与1x y n m-=的图象可能是图中的（）A B C D【答案】B【解析】由1x y m n -=，得y ＝n m x －n ；由1x y n m -=，得y ＝m nx －m ，即两条直线的斜率同号且互为倒数，故选B.5．若直线l 1:y =k (x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点（）A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(-2,4)D ．(4,-2)【答案】B6．直线32()y ax a a =-+∈R 必过定点．【答案】(3，2)【解析】将直线方程变形为y −2=a (x −3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)． 7．与直线320x y ++=垂直的直线的倾斜角为____________【答案】【解析】直线320x y ++=斜率为33-，所求直线与直线320x y ++=垂直，故所求直线斜率为3，故倾斜角为3π.8．已知直线430x ay -+=和直线210x y +-=平行,则=____________【答案】2-【解析】∵直线4x −ay +3=0和直线2x +y −1=0平行，43211a -∴=≠- ，解得a =−2. 9．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)直线斜率是3，且经过点； (2)直线过点，且垂直于轴；(3)直线斜率为4，在轴上的截距为； (4)直线在轴上的截距为3，且平行于轴；(5)直线经过，两点；(6)直线在，轴上的截距分别是，．【解析】（1）由点斜式得方程为，整理得．（2），即．（3），即．（4），即．（5）由两点式得方程为()()151521x y ---=----，整理得．（6）由截距式得方程为131x y +=--，整理得10．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？【解析】：(1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意.故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【能力提升】11．（河北省正定中学2016-2017学年高一下学期期末）已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是( ) A . 1或3 B . 1或5 C . 3或5 D . 1或2【答案】C【解析】由两直线平行得,当k −3=0时,两直线的方程分别为 y =−1 和32y =，显然两直线平行。

新教材高考数学第二章直线和圆的方程2-1直线的点斜式方程分层练习含解析新人教A版选择性必修第一册

直线的点斜式方程基础练巩固新知夯实基础1．在同一直角坐标系中，表示直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2(k 1>k 2，b 1<b 2)的图象可能正确的是( )2．直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可以表示 ( )A ．任何一条直线B ．不过原点的直线C ．不与坐标轴垂直的直线D ．不与x 轴垂直的直线3．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直经经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为14．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋45．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝06．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点________．7．直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________．8．求满足下列条件的直线方程：(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；(3)过点P (5，－2)，且与y 轴平行；(4)过点P (－2,3)，Q (5，－4)两点．能力练综合应用核心素养9.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )10．集合A ＝{直线的斜截式方程}，B ＝{一次函数的解析式}，则集合A 、B 间的关系是( )A ．A ＝B B ．B AC ．A BD ．以上都不对11．已知直线l 1：y ＝x ＋12a ，l 2：y ＝(a 2－3)x ＋1，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．±212．直线kx －y ＋1－3k ＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点( )A ．(1,3)B ．(－1，－3)C ．(3,1)D ．(－3，－1)13.将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为______________．14．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．15．已知直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是________．16．已知直线l 的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为12，求直线l 的方程．17.已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．【参考答案】1. A 解析在选项B 、C 中，b 1>b 2，不合题意；在选项D 中，k 1<k 2，故D 错．2. D 解析点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x 轴垂直的直线．3. C 解析方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.4. D 解析直线y ＝2x ＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－12， ∴直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4，故选D. 5. A 解析直线x －2y －2＝0的斜率为12，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 6. (3,2)解析 y ＝a (x －3)＋2，即y －2＝a (x －3)∴直线过定点(3,2)．7. (－∞，0]解析当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限；当k >0时，直线过第三象限；当k <0时，直线不过第三象限．8.解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4.(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5.(4)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－－2＝－77＝－1. 又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.9. C 解析 ①当a >0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a >0，A ，B ，C ，D 都不成立；②当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，所以A ，B ，C ，D 都不成立；③当a <0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角，直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角且在y 轴上的截距为a <0，只有C 成立．10. B 解析一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)；直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中k 可以是0，所以B A .11. C 解析因为l 1∥l 2，所以a 2－3＝1，a 2＝4，所以a ＝±2，又由于l 1∥l 2，两直线l 1与l 2不能重合，则12a ≠1，即a ≠2，故a ＝－2. 12. C 解析直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．13. y ＝－13x ＋13解析直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y ＝－13x ，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13. 14. k ≥32解析由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧ －6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 15. k ≥1或k ≤－1解析令y ＝0，则x ＝－2k .令x ＝0，则y ＝k ，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12|k |·|－2k |＝k 2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k 2≥1，所以k 的范围是k ≥1或k ≤－1.16.解设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，则它与两个坐标轴的交点为A (b,0)和B (0，b )，所以直角三角形OAB的两个直角边长都为|b |，故其面积为12b 2，由12b 2＝12，解得b ＝±1， ∴所求直线的方程为y ＝－x ＋1或y ＝－x －1.17. 解 (1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f －3≥0，f 3≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0.解得－15≤k ≤1. 所以，实数k 的取值范围是－15≤k ≤1.。

高考复习第9篇第1讲直线的方程知识点+例题+练习含答案

第1讲直线的方程知识梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.②倾斜角的范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1 x2－x1.2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝k x＋b 不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含垂直于坐标轴的直线截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不能同时为0)所有直线都适用111222(1)若x1≠x2，且y1≠y2时，方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.(2)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1.(3)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1.4．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．辨析感悟1．对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.(×)(3)(教材习题改编)若三点A (2,3)，B (a,1)，C (0,2)共线，则a 的值为－2.(√) 2．对直线的方程的认识(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．(√)(6)直线l 过点P (1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为x ＋y －3＝0.(×) [感悟·提升]1．直线的倾斜角与斜率的关系斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)．2．三个防范一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一直线的倾斜角和斜率【例1】 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．(2)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.(2)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π (2)－13规律方法直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【训练1】经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α的范围．解法一如图所示， k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝1－(－1)2－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.法二由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝k x ，即k x －y －1＝0.∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上． ∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0. ∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.考点二求直线的方程【例2】求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14.(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5.解 (1)法一设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行) 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.规律方法在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．【训练2】△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)BC的斜率k1＝－12，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．审题路线根据截距式设所求直线l的方程把点P代入，找出截距的关系式运用基本不等式求S△ABO运用取等号的条件求出截距得出直线l的方程．解设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为xa＋yb＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1. ∴1＝3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4. △ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1. 即2x ＋3y －12＝0.规律方法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决； (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【训练3】在例3的条件下，求直线l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程．解设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0，得B (0,2－3k )，令y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0， ∴l 在两轴上的截距之和为2－3k ＋3－2k ＝5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－3k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ≥5＋26，当且仅当k ＝－63时，等号成立． ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小，此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．思想方法9——分类讨论思想在求直线方程中的应用【典例】在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．解 (1)当k ＝0时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12. (2)当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G (a,1)．所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k AG ·k ＝－1，1a k ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为G (－k ,1)，从而折痕所在的直线与AG 的交点坐标(线段AG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12.折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝k x ＋k 22＋12.∴k ＝0时，y ＝12；k ≠0时，y ＝k x ＋k 22＋12.[反思感悟] (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．(2)本题需对斜率k 为0和不为0进行分类讨论，易错点是忽略斜率不存在的情况．【自主体验】1．若直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为____________________．解析若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋32＝k(x＋3)，即k x－y＋3k－32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k－32k2＋1，解得k＝－34，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.答案x＝－3或3x＋4y＋15＝02．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，则直线AB的方程为________．解析当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1), 即y＝1m＋1(x＋1)＋2.答案x＝－1或y＝1m＋1(x＋1)＋2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为________．解析直线的斜率为k＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝π3.答案π32．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34.则直线l的方程为________．解析由点斜式，得y－5＝－34(x＋2)，即3x ＋4y －14＝0. 答案 3x ＋4y －14＝03．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 44．(2014·泰州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3. 则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24. 答案－245．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m ＝________.解析由题意可知2m 2＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－32，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或－12.答案 2或－126．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足________．①ab >0，bc <0；②ab >0，bc >0；③ab <0，bc >0；④ab <0，bc <0.解析由题意，令x ＝0，y ＝－c b >0；令y ＝0，x ＝－ca >0.即bc <0，ac <0，从而ab ＞0. 答案 ①7．(2014·淮阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0二、解答题9．(2014·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为________．解析 |AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33.答案 y ＝33x ＋33或y ＝－33x －332．若直线l ：y ＝k x －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．解析如图，直线l ：y ＝k x －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 3．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析直线方程可化为x 2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案 12二、解答题4.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y＝x ，l OB ：y ＝－33x ，设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

8.1直线的方程课件高三数学一轮复习

(2)如图，∵kAP＝12－－01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，则直线 l 斜率的取值范围是_______13_，___3_____．
【解析】 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，
角度 2：与直线有关的最值问题【例 3】过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程． (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程．
【解】设直线 l：ax＋by＝1(a>0，b>0)，因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a＋1b＝1.
0°. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 [0°，180°) ．
3．直线的斜率公式 (1)定义：把一条直线的倾斜角 α 的
正切值叫做这条直线的斜率，常用小写
字母 k 表示，即 k＝ tanα (α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式：如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，则
ab·4ab＝9，当且仅当 a＝6，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线 l 的方程为6x＋3y＝1，即 x＋2y－6＝0.
角度 3：由直线方程求参数值(范围)
【例 4】已知直线 l：x－my＋ 3m＝0 上存在点 M 满足与 A(－1,0)，B(1,0)两点连线
的斜率 kMA 与 kMB 之积为 3，则实数 m 的取值范围是( C ) A．[－ 6， 6]
【解析】 (1)当 x＝0 时，y＝3，所以直线过定点(0,3)． (2)当 x＝－3 时，y＝0，所以直线过定点(－3，0)． (3)当 y＝0 时，x＝3，所以直线过定点(3,0)．

新教材高考数学第二章直线和圆的方程3-1两条直线的交点坐标3-2两点间的距离公式分层练习含解析新人教

两点间的距离公式基础练巩固新知夯实基础1．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程是( )A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝02．直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是( )A.12B．－12C．2 D．－23.直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A.(－4,5)B.(－3,4)C.(－3,4)或(－1,2)D.(－4,5)或(0,1)4.直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点( )A.(2，－1)B.(－2，－1)C.(2,1)D.(－2,1)5.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.6.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.7.直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是________.8.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.能力练综合应用核心素养 9．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( )A.895B.175C.135D.11510．以点A (－3，0)，B (3，－2)，C (－1，2)为顶点的三角形是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不是11.在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，D 为BC 边的中点，则线段AD 的长是( )A.2 5B.3 5C.52 5D.725 12．直线l 1：x ＋my －6＝0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0只有一个公共点，则( )A ．m ≠－1且m ≠3B ．m ≠－1且m ≠－3C ．m ≠1且m ≠3D ．m ≠1且m ≠－1 13.已知x ，y ∈R ，S ＝x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2，则S 的最小值是( ) A.0 B.2 C.4 D. 214．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________．15.已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程.16．已知两点A (2，3)，B (4，1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P ，(1)使|PA |＋|PB |最小；(2)使|PA |－|PB |最大．【参考答案】1.D 解析联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，∴两直线的交点为(－197，37)， ∴所求直线的斜率为37－0－197－0＝－319，∴所求直线的方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0. 2. B 解析由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入直线x ＋ky ＝0得k ＝－12. 3. C 解析设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且x 0＋22＋y 0－32＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝2.故选C.4. A 解析 kx ＋y ＋1＝2k ，可化为y ＋1＝k (2－x )，故该直线恒过定点(2，－1).5. －16. 25解析设A (a,0)，B (0，b )，由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋02＝2，b ＋02＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－2， ∴|AB |＝4－02＋0＋22＝2 5.7. 5解析令x ＝0，则y ＝－2；令y ＝0，则x ＝5.∴S ＝12×|－2|×|5|＝5. 8.解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1127，－1327. 又因为直线斜率为k ＝－12，所以，求得直线方程为27x ＋54y ＋37＝0. 9.C 解析直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 10.解析 ∵|AB |＝（－3－3）2＋22＝36＋4＝40＝210，|BC |＝（－1－3）2＋（－2－2）2＝16＋16＝32＝42，|AC |＝（－1＋3）2＋22＝8＝22， ∴|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，∴△ABC 为直角三角形．故选C.11. C 解析由中点坐标公式可得，BC 边的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6. 由两点间的距离公式得|AD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－322＋1－62＝552. 12.A 解析两线相交，其系数关系为1×3－m (m －2)≠0，解得m ≠3且m ≠－1.13. B 解析 S ＝x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.14. 2解析因为k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1，所以|AB |＝（5－4）2＋（b －a ）2＝ 2. 15.解当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＝kx －k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7＋k k ＋2，y ＝4k －2k ＋2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋k k ＋2，4k －2k ＋2. 由|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋k k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5，解得k ＝－34， ∴直线l 的方程为y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 当过A 点的直线的斜率不存在时，方程为x ＝1.此时，与l 1的交点为(1,4)也满足题意，综上所述，直线的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.16.解 (1)如图，可判断A ，B 在直线l 的同侧，设点A 关于l 的对称点A ′的坐标为(x 1，y 1)．则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由两点式求得直线A ′B 的方程为y ＝711(x －4)＋1.由平面几何知识可知，当点P 为直线A ′B 与直线l 的交点时，|PA |＋|PB |最小，此时|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |＝|A ′B |，若P 不在此点时，|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |＞|A ′B |.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝711（x －4）＋1，x ＋2y －2＝0可得直线A ′B 与l 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5625，－325，即为所求点P . (2)由点斜式求得直线AB 的方程为y －1＝－(x －4)，即x ＋y －5＝0.由平面几何知识可知，当点P 为直线AB 与l 的交点时，|PA |－|PB |最大，此时|PA |－|PB |＝|AB |.由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－（x －4），x ＋2y －2＝0可得直线AB 与l 的交点为(8，－3)，即为所求点P .。

第02讲直线的点斜式、斜截式方程(三大题型归纳+分层练)(学生版)

第02讲直线的点斜式、斜截式方程一、直线的点斜式方程我们把方程________________称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的________________．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0.二、直线的斜截式方程1．直线l与y轴的交点(0，b)的____________称为直线l在y轴上的截距．2．方程____________叫作直线的斜截式方程．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．题型01直线的点斜式方程【解题策略】求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外【典例分析】【例1】（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（）A ．7y x =-+B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()52y x -=--【变式演练】【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（）A ．()52y x -=--B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()25y x +=--【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知()3,4A ，()1,0B -，则过AB 的中点且倾斜角为120，直线的点斜式方程是．【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)经过点()2,3A -，斜率为3；(2)经过点()3,0B ，倾斜角是π6； (3)经过点()4,2C --，倾斜角是2π3．题型02 直线的斜截式方程【解题策略】求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．【典例分析】【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）与直线2y x =-+垂直，且在x 轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.A ．2y x =+B ．2y x =-C ．2y x =-+D ．4y x =-+【变式演练】【变式1】（22-23高二上·重庆南岸·期中）经过点()2,3A ，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（） A ．1y x =+ B ．1y x =- C ．=1y x -- D ．1y x =-+【变式2】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）倾斜角为150︒，在y 轴上的截距是3-的直线的斜截式方程为 .【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的斜率为2-，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的斜截式方程．题型03 点斜式直线方程的应用【解题策略】 (1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的直线必过定点(x 0，y 0)．(2)在求面积时，要将截距转化为距离．【典例分析】【例3】（23-24高二上·广东东莞·期中）直线l 经过点()1,1A -，在x 轴上的截距的取值范围是()2,1-，则其斜率的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭ 【变式演练】【变式1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）倾斜角为135°的直线l 经过坐标原点O 和点()4,A y ，则y 等于（） A ．4 B ．5 C ．4- D ．5-【变式2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知线段AB 的端点()1,3A -，()5,2B ，直线l ：230kx y k ---=与线段AB 相交，则k 的取值范围是．【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l 的方程是31y x =+.(1)求直线l 的斜率和倾斜角；(2)求过点(3,1)-且与直线l 平行的直线的方程.【夯实基础】一、单选题1．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列四个结论： ①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；①倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；①方程12y k x +=-与方程1(2)y k x +=-可表示同一直线；①直线l 过点()00,P x y ，倾斜角为90︒，则其方程为0x x =．其中正确的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①2．（21-22高二上·四川南充·开学考试）与直线210x y --=垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（）A ．142y x =-+B ．142y x =-+或142y x =--C ．142y x =+D ．142y x =+或1y x 42=-3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点(2,3)P ，且倾斜角为90︒的直线方程为（） A ．2x = B ．3x = C ．2y = D ．3y =4．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点()1,2M 且倾斜角为45︒的直线方程为（） A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．3y x =-+ D ．=1y x --二、多选题5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l ：31y x =-，则（）A ．直线l 过点)3,2-B ．直线l 3C ．直线l 的倾斜角为60D ．直线l 在y 轴上的截距为16．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的倾斜角为45，且过点(1,2)，则在直线上的点是（） A ．(0,1) B ．(2,1)--C ．(3,3)D ．(3,2)三、填空题7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点()1,4，斜率为3的直线方程为． 8．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的斜截式方程是 . 9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l 的斜率为1-，且过点(2,5)-，则直线l 在y 轴上的截距是 .四、解答题10．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是3-；(2)直线倾斜角是60︒，在y 轴上的截距是5；(3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-.11．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形OABC 中，点()()1,3,3,0C A ．(1)求AB 所在直线方程；(2)过点C 作CD AB ⊥于点D ，求CD 所在直线的方程．。

直线的方程经典题型总结加练习题-含答案

（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即tankα=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[)οο90,∈α时，0≥k；当()οο180,90∈α时，0<k；当ο90=α时，k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk≠--=所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率概念考查1、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线1λ与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线2λ互相垂直，求实数a的值。

2、直线baxy+=与abxy+=在同一坐标系下可能的图是（）3、直线3)2(+-=xky必过定点，该定点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（2，–3）D．（–2，3）4、如果直线0=++cbyax（其中cba,,均不为0）不通过第一象限，那么cba,,应满足的关系是（）A．0>abc B．0>ac C．0<ab D．cba,,同号5、若点A（2，–3），B（–3，–2），直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则l的斜率k 的取值范围是（）A．43≥k或4-≤k B．43≥k或41-≤k C．434≤≤-k D．443≤≤k（3）两点间距离公式：设1122(,),A x yB x y，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB=（4）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200B A CBy Ax d +++=概念考查（1）求两平行线1l ：3x+4y=10和2l ：3x+4y=15的距离。

（2）求过点M （-2，1）且与A （-1，2），B （3，0）两点距离相等的直线方程。

2.3.3 点到直线的距离公式(分层作业)(人教A版2019选修第一册)(原卷版)

2.3.3点到直线的距离公式（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）已知平面上一点()5,0M ，若直线上存在点P 这使4PM =，则称该直线为“切割型直线”.给出直线：①1y x =+；②2y =；③43y x =，其中是“切割型直线”的是（）A ．②③B ．①C ．①②D ．①③2．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，原点()0,0到直线20x y +-=的距离等于（）A ．1B CD ．33．（2022·江苏·高二）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A ．4B ．724C ．924D ．11244．（2022·全国·高二专题练习）已知(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，则=a （）A ．2B ．92C ．2或8-D ．2或92二、多选题5．（2022·全国·高二单元测试）（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（）A ．23180x y +-=B ．220x y --=C ．220x y ++=D ．2360x y -+=6．（2022·全国·高二课时练习）已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P 使||4PM =，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（）A ．1y x =+B ．2y =C ．43y x =D ．210y x =+7．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点()3,4，点()2,2A -，()4,2B -到l 的距离相等，则l 的方程可能是()A ．220x y -+=B ．220x y --=C ．23180x y +-=D ．2360x y -+=三、填空题8．（2022·江苏·高二）已知点(),6A a 到直线3440x y --=的距离等于4，则实数a 的值为___________.9．（2022·北京·高二期末）关于方程()2020xy x y +=所表示的曲线，下列说法正确的是__________．①关于x 轴对称；②关于y 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y x =对称．10．（2022·全国·高二课时练习）若直线l 经过点()1,2P ，且点()2,3A ，()0,5B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为______．11．（2022·全国·高二课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点()3,2与点()1,4重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.12．（2022·全国·高二专题练习）如图已知()()()400400A B O ，、，、，，若光线L 从点()20P ，射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为________．四、解答题13．（2022·全国·高二课时练习）若点()2,m -到直线51260x y ++=的距离是4，求m 的值.14．（2022·江苏·高二课时练习）已知点()1,2P -，求点P 分别关于原点、x 轴和y 轴的对称点的坐标．15．（2022·全国·高二课时练习）已知数轴上(1),(2)A B -，且A 关于B 的对称点为C ，求C 的坐标．16．（2022·全国·高二课时练习）一束光线从点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭发出，射向点()0,1B 后被y 轴反射，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程．17．（2022·全国·高二课时练习）已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 交于点()1,1E -，其中()2,0A -，()1,1B ．求：(1)点D 的坐标及AD 所在直线的方程；(2)平行四边形ABCD 的面积．18．（2022·全国·高二专题练习）（1）求点P 到直线l 的距离：P （1，﹣2），l ：3x +4y ﹣10＝0；（2）若点（2，﹣m ）到直线5x +12y +6＝0的距离是4，求m 的值．19．（2022·江苏·高二专题练习）直线l 经过两条直线1:40l x y +-=和2:20l x y -+=的交点，且_____．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①与直线210x y --=平行，②直线l 在x 轴上的截距为12-．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与坐标轴围成的三角形面积．20．（2022·广东·佛山市南海区第一中学高二开学考试）已知ABC 的顶点坐标为(4,0)A 、(0,2)B 、(3,3)C ．(1)求AB 边上的高线所在的直线方程；(2)求ABC 的面积．21．（2022·全国·高二课时练习）已知()2,1P -．(1)若直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．(2)是否存在直线l ，使得直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为6？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点()2,3A ，()1,1B ，直线:10l x y ++=.(1)在直线l 上找一点C 使得AC BC +最小，并求这个最小值和点C 的坐标；(2)在直线l 上找一点D 使得AD BD -最大，并求这个最大值和点D 的坐标.23．（2022·浙江杭州·高二阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为24km 的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西km(0)a a >处，港口位于小岛中心正北km(0)b b >处.(1)若40a =，轮船直线返港，没有触礁危险，求b 的取值范围?(2)若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求a b +的最小值.、【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．（2022·全国·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A B ．5C D ．1633．（2022·江苏·高二专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy 中，设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|叫做P 、Q 两点的“垂直距离”，已知点M （x 0，y 0）是直线ax +by +c ＝0外一定点，点N 是直线ax +by +c ＝0上一动点，则M 、N 两点的“垂直距离”的最小值为（）A ．()00ax by c max a b ++，B C ．00ax by ca b +++D ．|ax 0+by 0+c |二、填空题4．（2022·全国·高二课时练习）在直角坐标平面内，与点()03A ，距离为2，且与点()40B ，距离为3的直线共有______条．5．（2022·全国·高二专题练习）若4k >，直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是____．6．（2022·江苏·高二专题练习）若恰有三组不全为0的实数对（a ，b ）满足关系式3141a b ++＝＝t 的所有可能的值为___________.7．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，边AB ､AD 分别在x 轴､y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k ，则折痕所在的直线方程为__________.8．（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，从点(5,2)P 发出的光线射向x 轴，经x 轴反射到直线y x =上，再反射经过点(10,9)，则光线由P 到Q 经过的路程长为______．三、解答题9．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）已知△ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求△ABC 的面积.10．（2022·江苏·高二）若点()1,2A 和()5,1B -到直线l 的距离都是()0m m >.(1)根据m 的不同取值，讨论满足条件的直线l 有多少条？(2)从以下三个条件中：①2m =；②3m =；③52m =；选择一个条件，求出直线l 的方程.11．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系中的坐标为A （1，2），B （4，0），一条河所在直线的方程为l ：x ＋2y －10＝0．若在河边l 上建一座供水站P ，使之到A ，B 两镇所使用的管道最省，那么供水站P 应建在什么地方？并说明理由．12．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知点()00,P x y ，直线:0l Ax By C ++=，且点P 不在直线l 上．（1）求证：点P 到直线l 的距离d =（2）当点()00,P x y 在函数()y f x =图像上时，（1）中的公式变为d =，请参考该公式求33x t ++-(),x t R ∈的最小值．13．（2022·全国·高二课时练习）已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于P ，Q 两点，分别过点P ，Q 作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PQSR 的面积的最小值．14．（2022·全国·高二课时练习）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，15BC =，O 为AB 上一点（不与端点重合），且10BO =，线段OC OD MN ，，为表演队列所在位置（M N ，分别在线段OD OC ，上），OCD 内的点P 为领队．位置，且点P 到OC 、OD OM d =，我们知道当OMN 面积最小时观赏效果最好．(1)当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？(2)求观赏效果最好时OMN 的面积．15．（2022·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程;（2）当20k -≤≤时，求折痕长的最大值．。