上海教育版高中数学一年级下册单元测试-月考

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2023-2024学年上海市奉贤中学高一下学期3月月考数学试卷含详解

2023-2024学年上海市奉贤中学高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．1.已知1sin 3α=-，则cos2α的值为__________.2.已知半径为1的扇形，其面积与弧长的比值为_________________．3.在与弧度数为2024角终边相同的角中，绝对值最小的角是______．4.函数[]sin ,0,πy x x x =+∈的值域是______．5.函数54cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上的单调增区间是__________．6.点()2,5P 在角α终边上，则()()()()2cos π3sin π4cos sin 2παααα+--=-++______．7.已知点A 的坐标为()4,3-，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转4π至OA '，则点A '的坐标为_________________．8.已知函数2226sin 363()21x x x x f x x -++=+的最大值为M ，最小值为m ；则M m +=___________9.对任意的0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式22141sin cos m θθ+≥-恒成立，则实数m 的取值范围是___________.10.如果锐角θ满足()sin 4log tan cot 3θθθ+=-，则tan log cos θθ的值是___________．11.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以O 为原点，以与水平平行的直线为x 轴建立直角坐标系，设0=t 时，盛水筒M 位于0P ，以Ox 为始边，以0OP为终边的角为ϕ，动点P 每秒钟逆时针转过ω，则盛水筒M 的高度H 与时间t 的关系是______________.12.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时满足()π16ππ4cos sin()1,06613π,226x x x x f x x -+⎧+-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()2220f x af x ⎡+⎣+⎦=⎤有且仅有6个不同实根，则实数a 的取值范围是______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知α，β∈R 则“sin()sin 2αβα+=”是“2()k k βαπ=+∈Z ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，R)x ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A.ππ2sin()24y x =+B.ππ2sin()24y x =-C.ππ2sin()44y x =+ D.ππ2sin()44y x =-15.一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是2cos α，则第2024次输出的是（）A.2tan α- B.2cot α- C.2cos αD.21sin α16.已知k 是正整数，且12024k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin sin1sin 2sin k k ︒+︒+⋯⋯+︒=︒⋅︒⋅⋯⋅︒的k 个数为（）A.1B.5C.10D.11三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>的最小正周期为π，()()π4g x f x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭．（1）求ω的值；（2）若()g x 是奇函数，求ϕ值.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =．（1）若2c b =，证明：()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=；（2）若2a =，求ABC 周长的最大值．19.某种植园准备将如图扇形空地AOB 分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P 在扇形的弧上，点Q 在OB 上，且//PQ OA .（1）当50OQ =米时，求PQ 的长（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区OPQ △的面积尽可能的大：设AOP θ∠=，求OPQ △面积的最大值.20.已知函数()sin cos f x x x=-（1）求方程()cos 2f αα=在[]0,2π上的解集（2）设函数()()2ln F x f x x =+，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.①证明：()y F x =在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点；②记函数()y F x =的零点为0x ，证明：00111ln sin 2244x x -<+<21.若函数()y f x =满足()3π2f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x ∈R ），则称函数()y f x =为“M 函数”．（1）试判断4sin3y x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当,ππ4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin y x =，求()y f x =的解析式，并写出在30,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当π52π,2x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x的方程()f x a=（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．2023-2024学年上海市奉贤中学高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．1.已知1sin 3α=-，则cos2α的值为__________.【答案】79【解析】【分析】应用二倍角余弦公式求值即可.【详解】由217cos212sin 1299αα=-=-⨯=.故答案为：792.已知半径为1的扇形，其面积与弧长的比值为_________________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据扇形的面积公式12S lr =求面积和弧长的比值即可.【详解】设弧长为l ，面积为S ，半径为r ，因为扇形面积公式为12S lr =，所以1122S r l ==.故答案为：12.3.在与弧度数为2024角终边相同的角中，绝对值最小的角是______．【答案】2024644π-【解析】【分析】利用终边相同角的集合，即可求出结果.【详解】与弧度数为2024角终边相同的角为()20242πZ k k +∈所以绝对值最小的角是2024644π-,故答案为：2024644π-.4.函数[]sin ,0,πy x x x =+∈的值域是______．【答案】2⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用整体法求值域.【详解】sin x x+ 132(sin cos )22x x =⋅++ππ2(cos sin sin cos )33x x =⋅+π2sin(3x =+，又[]ππ4ππ30,π,,sin ,133332x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈∴+∈⇒+∈-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ ，π2sin 23x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭.sin y x x ∴=+的值域为2⎡⎤⎣⎦.5.函数54cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,π上的单调增区间是__________．【答案】50,12π⎡⎤⎢⎣⎦和11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先求出函数54cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的增区间，再与[]0,π取交集即可解出．【详解】令52226k x k ππππ-+≤-≤，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数54cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的增区间是5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当[]0,x π∈，所以函数54cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,π上的单调增区间是50,12π⎡⎤⎢⎣⎦和11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：50,12π⎡⎤⎢⎣⎦和11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.点()2,5P 在角α终边上，则()()()()2cos π3sin π4cos sin 2παααα+--=-++______．【答案】1913-【解析】【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解.【详解】∵点()2,5P 在角α终边上，∴529sin 29α=，229cos 29α=，∴()()()()2cos π3sin π2cos 3sin 194cos sin 2π4cos sin 13αααααααα+----==--+++，故答案为：1913-.7.已知点A 的坐标为()4,3-，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转4π至OA '，则点A '的坐标为_________________．【答案】(,)22--【解析】【分析】设出点A '的坐标，终边经过点A 的角为α，结合三角函数定义求出α，4πα+的正弦、余弦值，再借助和、差角的正余公式即可计算作答.【详解】设(,)A x y '，显然，||||5OA OA '===，则有34sin ,cos 55αα==-，依题意，终边经过点A '的角为4πα+，则有),co sin(s()4545y x ππαα+=+=，于是得sin cos cos sin 54410y ππαα=+=-，解得22y =-，cos cos sin sin 54410x ππαα=-=-，解得2x =-，所以点A '的坐标为722()22--.故答案为：722(,)22--8.已知函数2226sin 363()21x x x x f x x -++=+的最大值为M ，最小值为m ；则M m +=___________【答案】6【解析】【分析】化简()f x 解析式，利用构造函数法，结合函数的奇偶性求得正确答案.【详解】()22222222321sin 366sin 363sin 36()3212121x x x x x x x x x x x f x x x x +-+-++-===-+++，令()()()2222sin 36sin 36,2121x x x x x xg x g x x x g x ---==-++=-，所以()g x 是奇函数，设()g x 的最大值和最小值分别为,M m ''，则0M m '+'=．∴(3)(3)6M m M m +=+'+'+=．故答案为：69.对任意的0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式22141sin cos m θθ+≥-恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[]8,10-【解析】【分析】先对2214sin cos θθ+变形化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而将问题转化为22min141sin cos m θθ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，进而可求出实数m 的取值范围.【详解】因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0,tan 0θθθ>>>，所以2222222214sin cos 4sin 4cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+++=+2222cos 4sin 5sin cos θθθθ=++2214tan 5tan θθ=++59≥+=，当且仅当2214tan tan θθ=，即2tan 2θ=时取等号，所以2214sin cos θθ+的最小值为9，所以91m ≥-，解得810m -≤≤，即实数m 的取值范围是[]8,10-，故答案为：[]8,10-10.如果锐角θ满足()sin 4log tan cot 3θθθ+=-，则tan log cos θθ的值是___________．【答案】12【解析】【分析】利用换底公式1log log a b b a =，转化为()tan cot 3log sin 4θθθ+=-，以及22sin cos 1θθ+=，得到3cos sin θθ=，那么2tan cos 1log cos log cos 2θθθθ==，其中用到了log log m na a nb b m=.【详解】解：锐角θ满足()sin 4log tan cot 3θθθ+=-，∴锐角θ满足()tan cot 3log sin 4θθθ+=-，()34tan cot sin θθθ-∴+=，即()431sin tan cot θθθ=+，431sin sin cos cos sin θθθθθ∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，334sin cos sin θθθ∴=，3cos sin θθ=，θ 是锐角，cos 0θ>，2sin cos tan cos θθθθ∴==，2tan cos cos 11log cos log cos log cos 22θθθθθθ∴===，综上所述，结论是：tan 1log cos 2θθ=．故答案为：1211.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以O 为原点，以与水平平行的直线为x 轴建立直角坐标系，设0=t 时，盛水筒M 位于0P ，以Ox 为始边，以0OP 为终边的角为ϕ，动点P 每秒钟逆时针转过ω，则盛水筒M 的高度H 与时间t 的关系是______________.【答案】()sin H r t h ωϕ=++.【解析】【分析】由题意得到0xOP ϕ∠=,再由动点P 每秒钟逆时针转过ω，得到t 秒后xOP t ωϕ∠=+求解.【详解】解：因为0=t 时，盛水筒M 位于0P ，以Ox 为始边，以0OP 为终边的角为ϕ，所以0xOP ϕ∠=,又因为动点P 每秒钟逆时针转过ω，所以t 秒后xOP t ωϕ∠=+，则()(),sin P t r t ωϕ+，所以则盛水筒M 的高度H 与时间t 的关系是()sin sin H r xOP h r t h ωϕ=∠+=++，故答案为：()sin H r t hωϕ=++12.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时满足()π16ππ4cos sin()1,06613π,226x x x x f x x -+⎧+-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()2220f x af x ⎡+⎣+⎦=⎤有且仅有6个不同实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】317,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意，作出()f x 的图象，设()t f x =，得到方程2220t at ++=，设()222g t t at =++结合图象，要使得方程有6个不同的根，则满足212322t t =⎧⎪⎨<<⎪⎩或12312322t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】根据题意，当π06x ≤≤时，()π314cos sin(14cos (sin cos )1622f x x x x x x =+-=+-2πcos 2cos 12cos 22sin(26x x x x x x =+-=+=+，因为π06x ≤≤，可得πππ2662x ≤+≤，所以()f x 在π[0,6单调递增，π(0)1,()26f f ==，又由π6x >时，π1613()(22x f x -+=+为单调递减函数，且π()26f =，因为函数()f x 是R 上的偶函数，画出函数()f x 的图象，如图所示，设()t f x =，则方程()()2220f x af x ⎡+⎣+⎦=⎤可化为2220t at ++=，由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；当312t <<时，方程()t f x =有2个实数根；当1t =时，方程()t f x =有1个实数根；要使得()()2220f x af x ⎡+⎣+⎦=⎤有6个不同的根，设12,t t 是方程2220t at ++=的两根12,t t ，设()222g t t at =++，①212322t t =⎧⎪⎨<<⎪⎩，当22t =时，可得()2460g a =+=，可得32a =-，此时方程为2320t t -+=，解得11t =，不满足1322t <<，所以无解.②12312322t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即()()132031730242460g a g a g a ⎧=+>⎪⎪⎛⎫=+<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=+>⎩，解得317212a -<<-，综上可得，实数a 的取值范围是317,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：317,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法，合理转化求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知α，β∈R 则“sin()sin 2αβα+=”是“2()k k βαπ=+∈Z ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用正弦函数性质得出,αβ的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】由sin()sin 2αβα+=，可得22,Z k k αβαπ+=+∈或22,Z k k αβπαπ+=-+∈，即2(Z)k k βαπ=+∈或23(Z)k k βππα=+-∈，所以由“sin()sin 2αβα+=”推不出“2()k k βαπ=+∈Z ”，由“2()k k βαπ=+∈Z ”可推出“sin()sin 2αβα+=”，所以“sin()sin 2αβα+=”是“2()k k βαπ=+∈Z ”的必要不充分条件．故选：B ．14.函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，R)x ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A.ππ2sin()24y x =+B.ππ2sin()24y x =-C.ππ2sin()44y x =+ D.ππ2sin()44y x =-【答案】C 【解析】【分析】根据图象直接求出,A ω，再利用图象过点(3,0)，即可求出ϕ，即可解决问题.【详解】因为一个图象对应的函数具有唯一性，故此处不妨设0A >由函数的图象可知2A =，2(51)8T =⨯-=，又2π8T ω==，得到π4ω=，又因为函数的图象经过(3,0)，所以π02sin(3)4ϕ=⨯+，得到3ππ2π,Z 4k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=+∈，又||2ϕπ<，所以π4ϕ=，所以函数的解析式为ππ2sin()44y x =+，故选：C ．15.一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是2cos α，则第2024次输出的是（）A.2tan α-B.2cot α- C.2cos αD.21sin α【答案】A 【解析】【分析】根据题意可代入求解前几次的输出结果，即可根据周期性求解.【详解】由已知可得第一次输出的是22111cos sin αα=-，第二次输出的是22221sin tan 1sin 11sin αααα==---，第三次输出的是222211cos sin 1tan 1cos αααα==++．于是，可知周期为3，202436742=⨯+,所以第2024次输出的是2tan α-，故选：A ．16.已知k 是正整数，且12024k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin sin1sin 2sin k k ︒+︒+⋯⋯+︒=︒⋅︒⋅⋯⋅︒的k 个数为（）A.1B.5C.10D.11【答案】D 【解析】【分析】显然1k =时成立，再讨论等式的两边都为0时的情况即可.【详解】由正弦函数性质可知，sin1sin 2sin 1k ︒⋅︒⋅⋯⋅︒<，（1）1k =，等式两边成立；（2）等式的两边都为0时等式才成立，359,360,719,720,1079,1080,1439,1440,1799,1800k =时等式成立．综上359,360,719,720,1079,1080,1439,1440,1799,18001,k =.故选：D.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>的最小正周期为π，()()π4g x f x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭．（1）求ω的值；（2）若()g x 是奇函数，求ϕ值.【答案】（1）2ω=（2）π6ϕ=-【解析】【分析】（1）通过周期即可求出ω的值；（2）根据函数的奇偶性结合题意即可求出ϕ值.【小问1详解】因为函数()f x 的最小正周期为πT =，且0ω>，所以由2ππT ω==，得2ω=.【小问2详解】由（1）知π()sin(2)3f x x =+，因为()()g x f x ϕ=+，所以()()πsin 23g x x ϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，即()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又因为()g x 是奇函数，所以π2π,Z 3k k ϕ+=∈，即ππ,Z 26k k ϕ=-∈-又因为π4ϕ<，所以π60k ϕ⇒=-=.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =．（1）若2c b =，证明：()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=；（2）若2a =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合题设可得22a b bc -=，再利用正弦定理边化角，即可证明结论；（2）由222a b c bc =+-可推出()234b c bc +-=，利用基本不等式可推出4b c +≤，即可求得ABC 周长的最大值.【小问1详解】证明：由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-和π3A =，得222a b c bc =+-，又2c b =，则2222a b b bc -==，结合正弦定理得22sin sin sin sin A B B C -=，(sin sin )(sin sin )sin sin A B A B B C +-=；【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，又2a =，故224b c bc +-=，即()234b c bc +-=，0,0b c >>，所以()2234342b c bc b c +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，则()2|16b c +≤，故4b c +≤，当且仅当224b c bc b c ⎧+-=⎨=⎩，即2b c ==时取等号，故6a b c ++≤，即ABC 周长的最大值为6.19.某种植园准备将如图扇形空地AOB 分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P 在扇形的弧上，点Q 在OB 上，且//PQ OA .（1）当50OQ =米时，求PQ 的长（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区OPQ △的面积尽可能的大：设AOP θ∠=，求OPQ △面积的最大值.【答案】（1）80米；（2）12253平方米.【解析】【分析】（1）在OPQ △中，利用余弦定理求解即可；（2）在OPQ △中，先利用正弦定理求出OQ ，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解.【小问1详解】因为//PQ OA ，所以ππ3PQO AOB ∠=-∠=，在OPQ △中，50,70OQ OP ==，由余弦定理得2222cos OP OQ PQ OQ PQ PQO =+-⋅∠，即24900250050PQ PQ =+-，解得80=PQ 或30-（舍去），所以PQ 的长为80米；【小问2详解】因为//PQ OA ，所以OPQ AOP θ∠=∠=，2π2π,0,33POQ θθ⎛⎫∠=-∈ ⎪⎝⎭在OPQ △中，由正弦定理得πsin sin 3OP OQ θ=，所有70sin 140332OQ θ==，则149002πsin sin 233OPQ S OP OQ POQ θθ⎛⎫=⋅∠=-⎪⎝⎭2111cos 2sin cos sin sin 222422θθθθθ⎛⎫⎛⎫-=+=+⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭π1sin 262θ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π3θ=时，OPQ △面积取得最大值，为平方米.20.已知函数()sin cos f x x x=-（1）求方程()cos 2f αα=在[]0,2π上的解集（2）设函数()()2ln F x f x x =+，ππ,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.①证明：()y F x =在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点；②记函数()y F x =的零点为0x ，证明：00111ln sin 2244x x -<+<【答案】（1）π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可；（2）①借助函数单调性和零点存在定理证明；②利用三角函数二倍角公式化简()000000111ln sin 2cos sin sin cos 422x x x x x x +=-+，再换元00cos sin t x x =-，从而得证.【小问1详解】依题意，得22sin cos cos 2cos sin ααααα-==-，所以()()cos sin sin cos 10αααα-++=，所以cos sin 0αα-=或sin cos 1αα+=-，当cos sin 0αα-=时，cos 0α≠，则tan 1α=，又[]0,2πα∈，所以π5π,44α=，当sin cos 1αα+=-，则πsin 42α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又[]ππ9π0,2π,,444αα⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦，所以π5π44α+=或7π4，所以3ππ,2α=，所以方程()cos 2f x α=在[]0,2π上的解集为π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】①设()πsin cos 2ln 2ln 4F x x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，则ππ0,44x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，此时π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，2ln y x =在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上也单调递增，所以()F x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，πππππ2ln 0,2ln 044242F F ⎛⎫⎛⎫=<=+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()y F x =在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点；②记函数()y F x =的零点为0x ，所以000sin cos 2ln 0x x x -+=，且0x ∈ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，所以()0001ln cos sin 2x x x =-，所以()000000111ln sin 2cos sin sin cos 422x x x x x x +=-+，令000πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，因为0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()1,0t ∈-，又20012sin cos t x x =-，则2001sin cos 2t x x -=，所以()2220011111111111ln sin 21,42224244224t x x t t t -⎛⎫+=+⨯=-++=--+∈- ⎪⎝⎭，则00111ln sin 2244x x -<+<.【点睛】关键点点睛：本题第2小问②的解决关键是，利用换元法00cos sin t x x =-，求得()000011cos sin sin cos 22x x x x -+的值域.21.若函数()y f x =满足()3π2f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x ∈R ），则称函数()y f x =为“M 函数”．（1）试判断4sin3y x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当,ππ4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin y x =，求()y f x =的解析式，并写出在30,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当π52π,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为S ，求S ．【答案】（1）4sin3y x =不是“M 函数”，理由见解析（2）()33π3πcos π,π,π,Z 2222433π3sin π,π,ππ,Z2242x k x k k k f x x k x k k k ⎧⎛⎫⎡⎫-∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎤⎪-∈++∈ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩，单调递增区间为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3ππ,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（3）{}24π,0,1226π,228π,,12a S a a ⎧⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎪⎪⎣⎭⎪⎪==⎨⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故4sin 3y x =不是“M 函数”；（2）求出函数的周期3π2T =，由ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到()π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合当,ππ4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin y x =，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；（3）画出()f x 在π5π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到S .【小问1详解】4sin 3y x =不是“M 函数”，理由如下：()3π43π44sin sin 2πsin 23233f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，44sin sin 3ππ334π4f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，44sin sin 3ππ334π4f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故4sin3y x =不是“M 函数”；【小问2详解】函数()f x 满足()3π2f x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故()f x 的周期为3π2T =，因为ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当3π3π,ππ242x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()33πsin π22f x f x k x k ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Z k ∈，当3π3ππ,π2224x k k ⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭时，()π3π33πsin πcos π22222f x f x k x k x k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，Z k ∈，综上：()33π3πcos π,π,π,Z 2222433π3sin π,π,ππ,Z2242x k x k k k f x x k x k k k ⎧⎛⎫⎡⎫-∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎤⎪-∈++∈ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩，()33π3sin π,π,ππ,Z 2242f x x k x k k k ⎛⎫⎡⎤=-∈++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中，当0k =时，π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()sin f x x =，此时单调递增区间为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()3cos π2f x x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3π3ππ,π,Z 2224x k k k ⎡⎫∈-+∈⎪⎢⎣⎭中，当1k =时，7ππ,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()3cos π2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则31πππ,224x ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，当31ππ,022x ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，即3π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数单调递增，经检验，其他范围不是单调递增区间，所以在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3ππ,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】由（2）知：函数()f x 在π5π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上图象为：当02a ≤<或1时，()f x a =有4个解，由对称性可知：其和为π7π224π44⨯+⨯=，当22a =时，()f x a =有6个解，由对称性可知：其和为π7ππ7π226π4444⨯+⨯++=，当212a <<时，()f x a =有8个解，其和为π3π02222π28π22⨯+⨯+⨯+⨯=，所以{}24π,0,126π,28π,,12a S a a ⎧⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎪⎪⎣⎭⎪⎪==⎨⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。

上海教育版一年级数学下学期月考试卷附答案

乡镇（街道）学校班级姓名学号………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不…………………….准…………………答….…………题…上海教育版一年级数学下学期月考试卷附答案题号一二三四五六七八九十总分得分考试须知：1、考试时间：45分钟，满分为100分（含卷面分3分），附加题单独20分。

2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。

3、不要在试卷上乱写乱画，卷面不整洁扣3分。

一、我会填（本题共10分，每题2分）1、从0到19共有（）个数，其中最小在数是（），最大的数是（）。

2、看图填数。

3、学会判断对与错。

1、最小两位数是99。

（）2、减数是9，被减数是19，差是10 （）3、数位从右边起，第一位是十位，第二位是个位。

（）4、一个十和10个一都表示10。

（）5、一个数个位是2，十位上是1，这个数是21。

（）4、一个两位数，个位数比7大，十位数比2小，这个两位数是（）和（）。

5、想一想，填一填。

（1）比100小1得数是（）。

（2）写出十位上是4的两位数：（）、（）、（）。

二、我会算（本题共20分，每题5分）1、小玲家养了14只小兔，小玲给每只小兔喂一只萝卜，喂到最后还缺5只萝卜，小玲家一共有几只萝卜？答：小玲家一共有（）只萝卜。

2、在框里填数：3、把圈里的三个数加起来，怎样算得快，为什么？4、列式计算。

1、比20多15的数是多少？2、比67少24的数是多少？3、一个加数是35，另一个加数是44，和是多少？4、一个加数是30，另一个加数是9，和是多少？5、被减数是73，减数是3，差是多少？三、我会比（本题共10分，每题5分）1、在○里填“＞”“＜”或“＝”。

2、根据下图中的个数，你能填出几种不同的答案。

比多少？四、选一选（本题共10分，每题5分）1、买一个文具盒要5（）。

A、角 B、分 C、元2、2张1元，2张5角，5张1角组成（）。

①3元②3元5角③10元五、对与错（本题共5分，每题2.5分）1、正确选择（在正确答案的□里打√）2、他们说的话对吗？对的打“√”，错的打“×”。

上海教育版2019年一年级数学【下册】月考试卷附解析

乡镇（街道）学校班级姓名学号………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不…………………….准…………………答….…………题…绝密★启用前上海教育版2019年一年级数学【下册】月考试卷附解析题号一二三四五六七八九十总分得分考试须知：1、考试时间：45分钟，满分为100分（含卷面分3分），附加题单独20分。

2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。

3、不要在试卷上乱写乱画，卷面不整洁扣3分。

一、我会填（本题共10分，每题2分）1、填“元”、“角”、“分”。

1．一枝铅笔3__________ 2、2瓶可乐5__________3．一个气球9__________ 4．一根针2__________5．一个铅笔盒8__________ 6．一盒巧克力9__________2、线形图，填空。

3、树形填空题。

4、小朋友们排成一队做操，小红的前面有5人，后面有4人，从前往后数，小红排在第（）个，这一队共有（）人。

5、18厘米＋17厘米=（）厘米。

二、我会算（本题共20分，每题5分）1、统计练习。

2、给下面各题补上条件或问题,然后再解答?小巧做了16朵纸花，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，小巧和小亚两人相差多少朵？答：3、看谁算的又对又快。

15－5＝ 6＋10＝ 7＋6＝ 0＋0＝8＋1－4＝ 13－3－2＝ 6＋4－9＝ 7＋2＋3＝( )＋4＝10 ( )－5＝5 2＋3＝（）－2 8＋( )＝6＋64、算一算，摘桃子。

三、我会比（本题共10分，每题5分）1、比一比，画一画。

1、哪把枪长，在长的下面画“√”。

2、哪辆汽车长，在长的下面画“√”。

2、在○里填上“〈” “〉”或“=”。

7+6○12 9-9○18 16-10○7 12+0○12-09○13-4 8+4○12 5+9○11 11-5○5四、选一选（本题共10分，每题5分）1、妈妈买来8个苹果，草莓的个数比苹果多得多。

上海教育版2019年一年级数学【下册】月考试卷含答案

乡镇（街道）学校班级姓名学号………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不…………………….准…………………答….…………题…绝密★启用前上海教育版2019年一年级数学【下册】月考试卷含答案题号一二三四五六七八九十总分得分考试须知：1、考试时间：45分钟，满分为100分（含卷面分3分），附加题单独20分。

2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。

3、不要在试卷上乱写乱画，卷面不整洁扣3分。

一、我会填（本题共10分，每题2分）1、画画填填。

2、13里面有（）个十和（）个一。

2个一和1个十组成的数是（）。

3、一个两位数，个位数比8大，十位数比2小，这个两位数是（）。

4、填一填。

每次多（）个。

5、判断对与错。

1、8+8-5=12 （）2、11中两个1的意思相同，都表示1个一。

（）3、十二写作102 （）4、一个加数是2，另一个加数是17，两数的和是19。

（）5、7个一和1个十合起来是71。

（）二、我会算（本题共20分，每题5分）1、原来有18个苹果，红红吃了一些，还剩下9个，小红吃了几个苹果？答：小红吃了（）个苹果。

2、看题写算式：(1)、小丁丁有16块积木，其中红积木有4块，黄积木有6块，剩下的白积木有几块？算式：_______________________________________(2)、小鸡有8只，小鸭有7只，小鸭和小鸡一共有几只？小鸡与小鸭相差几只？算式： ____________________________________算式：_____________________________________3、看图列算式。

4、小丁丁做口算题对了21道，错了14道。

他一共做了几道口算题？答：他一共做了（）道口算题。

三、我会比（本题共10分，每题5分）1、从大到小排列下面的数：47、19、74、39、91。

（）＞（）＞（）＞（）＞（）2、把下面各数按从大到小的顺序排列。

2022-2023学年上海市金山区高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市金山区高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．函数的值域是__________2sin 3y x =【答案】[]22-,【分析】根据三角函数值域的知识求得正确答案.【详解】由于，1sin 31x -≤≤所以，22sin 32x -≤≤所以函数的值域是.2sin 3y x =[]22-,故答案为：[]22-,2．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________.【答案】4【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【详解】根据扇形的面积公式得，．1142422S lr ==⨯⨯=故答案为：43．已知，且是第二象限角，则___________．4sin 5α=αcos α=【答案】35-【详解】∵是第二象限角，α∴．cos 0α<又，4sin 5α=∴．3cos 5α===-答案：35-4．已知，则__________tan 2α=sin 2cos sin 4cos αααα-=+【答案】0【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切，再将代入即可求解.tan 2α=【详解】，sin 2cos tan 222sin 4cos tan 424αααααα---====+++故答案为：.05．已知，，则满足条件的__________（用反三角记号表示）1cos 3x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x =【答案】1πarccos3-【分析】根据反三角函数求解即可.【详解】因为，，所以.1cos 3x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11cos πarccos 33x arc ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故答案为：1πarccos3-6．函数的最小值是___________2sin 4sin y x x =-【答案】3-【分析】令，使用换元法进行求解即可.sin x t =【详解】令，当时，，sin x t =x ∈R []1,1t ∈-则，，24y t t =-[]1,1t ∈-由二次函数知识，，()22424y t t t =-=--∴当时，单调递减，[]1,1t ∈-24y t t =-∴当时，取最小值，最小值为，1t =24y t t =-2min 1413y =-⨯=-∴当，即，时，函数的最小值是.sin 1x =π2π2x k =+k ∈Z 2sin 4sin y x x =-3-故答案为：.3-7．函数_________y =【答案】522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．【详解】由题意知，，11sin 0sin 22x x -≥⇒≥即，522,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以的定义域为：()f x 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为：522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8．若、是关于x 的方程的两个根，则__________.sin θcos θ20x ax a -+==a【答案】1【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.sin ,cos θθ【详解】由题意：，所以或，且，240sin cos sin cos a a a a θθθθ⎧∆=-≥⎪+=⎨⎪=⎩4a ≥0a ≤sin cos sin cos θθθθ+=所以，即，因为或()()()222sin cos sin cos 12sin cos sin cos θθθθθθθθ+=⇒+=2210a a --=4a ≥，所以0a ≤1a=故答案为：19．若是的内角，且，则等于______.,A B ABC ∆(1tan )(1tan )2A B ++=A B +【答案】4π【分析】利用两角和的正切公式求得，即可求出.tan()A B +4A B π+=【详解】由题意知，，即，tan tan tan tan 1A B A B ++=tan tan 1tan tan A B A B +=-∴，tan tan tan()11tan tan A BA B A B ++==-又，∴.0A B π<+<4A B π+=【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，属基础题．10．在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，ABC A B C a b c 222a cb ac +=+4b =则的面积的最大值为___________ABC 【答案】【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可.B 【详解】由余弦定理，，222221cos 222a c b b ac b B ac ac +-+-===∵，∴.()0,πB ∈π3B =由余弦定理及基本不等式，，222222cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=∴，当且仅当时取等号，216ac b ≤=4a c ==∴当且仅当时，的面积的最大值为a c =ABC max 11sin 1622S ac B ==⨯=故答案为：11．已知函数，若满足（a 、b 、c 互不相等），则()[]()()2023sin π,0,2log 1,2,x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩()()()f a f b f c ==的取值范围是___________a b c ++【答案】[)3,2025【分析】作出函数图像，根据三角函数对称性得，解()[]()()2023sin π,0,2log 1,2,x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩1a b +=得，进而得答案.()20230log 11c ≤-<[)2,2024c ∈【详解】根据题意，作出函数图像，()[]()()2023sin π,0,2log 1,2,x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩不妨设，a b c <<如图,根据三角函数的对称性得与关于对称，x a =x b =12x =所以，1a b +=另一方面,，即()20230log 11c ≤-<[)2,2024c ∈所以，[)3,2025a b c ++∈故答案为：.[)3,202512．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: ,利用这个结构解决如下问题:若2222cos a ab C b c -+=三个正实数，满足,，，则,,x y z 229x xy y ++=2216y yz z ++=2225z zx x ++=_______.xy yz zx ++=【答案】【分析】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得ABC ∆A B C a b c ABC ∆O ，设，，，利用余弦定理得出的三边长，23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=OA x =OB y =OC z =ABC ∆由此计算出的面积，再利用可得出的值.ABC ∆ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++xy yz zx ++【详解】设的角、、的对边分别为、、，ABC ∆A B C a b c 在内取点，使得，ABC ∆O 23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=设，，，OA x =OB y =OC z =由余弦定理得，，222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=3c ∴=同理可得，，，则，4a =5b =222a cb ∴+=90ABC ∠= 的面积为，ABC ∆162ABC S ac ∆==另一方面，121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)6xy yz zx =++=解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.二、单选题13．在中，“”是“”的（）条件ABC sin sin A B =A B =A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据正弦定理、三角函数的性质及充分条件和必要条件即可求解.【详解】若，则成立；A B =sin sin A B =在中，若，由正弦定理得，所以成立.ABC sin sin A B =sin sin a bA B =a b =A B =所以“”是“”的充要条件.sin sin A B =A B =故选：C.14．已知（）3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=A ．B ．C ．D ．sin2αcos2αsin2α-cos2α-【答案】A，确定，，得到答案.2απ3π,224α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 02α>，2α=，，故.3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3π,224α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 02α>sin 22αα=故选：A 15．已，，则的值为（）1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=3(,2)2παπ∈cos(2)2πα+A ．B C ．D ．79-79【答案】B【分析】先利用余弦差角公式求出，然后再用同角三角函数关系求出，再用诱导公式与cos αsin α二倍角公式求解即可【详解】，1cos()cos sin()sin cos[()]cos 3αββαββαββα+++=+-==3(,2)2παπ∴∈sin α∴=则cos(2)sin 22sin cos 2παααα+=-=-=故选：B16．已知，且是常数，且，则（）,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦0a ≠a 33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩()cos 2x y +=A ．B ．C ．D ．12-1211-【答案】C【分析】设，根据已知条件可知，根据函数的单调性与奇偶性即可求()3sin f x x x =+()()222f x a f y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩出结果.【详解】令，所以，当时，，所以()3sin f x x x =+()23cos f x x x '=+,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦cos 0x ≥，所以在上单调递增，()0f x ¢>()3sin f x x x =+,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又因为，所以为奇函数，()()()()33sin sin -=-+-=--=-f x x x x x f x ()f x ，即等价于，所以，所以33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩()()222f x a f y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩20x y +=，()cos 2cos 01x y +==故选：C三、解答题17．．已知都是锐角，，求的值.,αβ45sin ,cos()513ααβ=+=sin β【答案】1665【分析】先根据已知求解，拆分角，结合两角差的正弦公式可求.cos ,sin()ααβ+βαβα=+-【详解】因为都是锐角，，,αβ45sin ,cos()513ααβ=+=所以，，3cos 5α==12sin()13αβ+==所以sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+.123541613513565=⨯-⨯=【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，这类问题一般是先根据角之间的关系，探求求解思路，拆分角是常用方法.18．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已Ox α()0ββαπ<<<P Q知点的坐标为．P 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin 2cos 211tan ααα+++(2)已知，求．OP OQ ⊥()tan αβ+【答案】(1)1825(2)724-【分析】（1）由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基sin ,cos αα本关系化简求解三角函数式的值即可；（2）由题意可得，然后利用诱导公式求出，分别求出的值，2παβ-=34sin ,cos 55ββ==tan ,tan αβ然后再利用两角和的正切公式即可得解.【详解】（1）由三角函数定义得，，3cos 5α=-4sin 5α=∴原式2222sin cos 2cos 2cos (sin cos )3182cos 2sin sin cos 5251cos cos αααααααααααα++⎛⎫====⨯-=⎪+⎝⎭+（2）由，得，OP OQ ⊥ππ,22αββα-=∴=-，，3sin sin cos 25πβαα⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭π4cos cos sin 25βαα⎛⎫=-==⎪⎝⎭所以，sin tan s 43co ααα==-sin 3tan cos 4βββ==∴．43tan tan 734tan()431tan tan 241()34αβαβαβ-+++===----⨯19．在中，A 、B 、C 三个内角所对的边依次为a 、b 、c ，且．ABC sin 2sin 0b A a B +=(1)求角A 的大小；(2)若，，求的周长7a =ABC ABC 【答案】(1)2π3A =(2)15【分析】（1）根据题意，由正弦定理结合二倍角公式化简，即可得到结果；（2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，然后再由完全平方公式变形即可得bc 22b c +到结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，sin 2sin 0b A a B +=sin sin 2sin sin 0B A A B +=且，，则，即，sin 0A ≠sin 0B ≠2sin cos sin 0A A A +=1cos 2A =-且，所以.()0,πA ∈2π3A =（2）因为，1sin 2ABC S bc A ==15bc =在中，由余弦定理可得，ABC 2222cos a b c bc A =+-代入可得，即，2249b c bc ++=2234b c +=且，()2222343064b c b c bc +=++=+=0b c +>所以.8+=b c 则的周长为.ABC 7815a b c ++=+=20．为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB 分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为，点P 在23π扇形的弧上，点Q 在OB 上，且．PQ OA ∥(1)当Q 是OB 的中点时，求PQ 的长；(2)已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区△OPQ 的面积尽可能的大，求△OPQ 面积的最大值，并求此时扇形区域AOB 种植花卉的总成本．【答案】(2)，24000003π+【分析】（1）直接利用余弦定理即可得出答案；（2）设，，在△OPQ 中，由正弦定理求得，再利用三角形的面积公式，OPQ x ∠=20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭PQ 结合三角恒等变换及三角函数的性质可得△OPQ 面积的最大值，再根据扇形的面积公式，分别求出三个区域的面积，即可得出答案.【详解】（1）解：扇形的半径为100米＝1百米，当Q 时OB 的中点时，，，OP ＝1，12OQ =3PQO π∠=在△OPQ 中，由余弦定理可得，，2222cos3OP OQ PQ OQ PQ π=+-⋅⋅解得PQ =所以Q是OB 的中点时，PQ （2）解：设，，OPQ x ∠=20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在△OPQ 中，由正弦定理可得，，12sin sin sin 33PQ OP OQP x ππ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，，23PQ x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以△OPQ 的面积为，12sin sin 2236S PQ OP x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当，即时，△OPQ2），sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭3x π=2=当时，PQ ＝OP ＝1，故扇形AOP 的面积为，3x π=21110023S π=⋅⋅25000m3π=扇形AOB 的面积为，21210023S π=⋅⋅=大210000m3π所以区域BQP 的面积为，)2121000050005000m 333S S S S πππ=---=--=大因为种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，所以此时扇形区域AOB 种植花卉的总成本为100005000400000305020333πππ⎛⨯+⨯⨯-=+ ⎝21．已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得()y f x =x D ∈m T 对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为．()()f x T m f x +=⋅x D ∈()y f x =D m T (1)已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求()y f x =R (]0,1x ∈()()1f x x x =-的值；32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围；(],x t ∈-∞()89f x ≥-t(3)是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出k ()sin f x kx =R T T 实数和的值，若不存在，说明理由．k T 【答案】(1)12-(2)7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(3)存在，或1112π,Z,01k n n n T =∈≠⎧⎨=⎩()2221π,Z 1k n n T ⎧=+∈⎨=-⎩【分析】（1）根据题意得到，代入求解即可；31222f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）画出的图象，数形结合得到实数的取值范围；()y f x =t （3）由题意得到，分或，两种情况，得到对应的值.()sin sin k x T T kx +=⋅1T =1-k 【详解】（1），且当时，，()()12f x f x +=(]0,1x ∈()()1f x x x =-故；3111122122222f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2），当时，，()()12f x f x +=(]0,1x ∈()()1f x x x =-……，当时，，，(]1,0x ∈-(]10,1x +∈()()()111122f x f x x x =+=+当时，，，(]1,2x ∈(]10,1x -∈()()()()21212f x f x x x =-=--当时，，，(]2,3x ∈(]11,2-∈x ()()()()21423f x f x x x =-=--……，画出的图象如下：()y f x=设当时，，即，()2,2.5a ∈()89f a =-()()84239a a --=-解得或，73a =83因为，所以，()2,2.5a ∈73a =对任意，都有，故(],x t ∈-∞()89f x ≥-73t ≤故实数的取值范围是，t 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（3）假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，k ()sin f x kx =R T T 即，，()()f x T T f x +=⋅()sin sin k x T T kx+=⋅因为的值域为，而，()sin k x T +[]1,1-sin ,T kx T T ⋅∈⎡-⎤⎣⎦故，解得或，1T =1T =1-当时，，故，1T =()sin 1sin k x kx +=1112π,Z,,0k n n n =∈≠当时，，故，1T =-()sin 1sin k x kx -=-()2221π,Z k n n =+∈综上，或.1112π,Z,01k n n n T =∈≠⎧⎨=⎩()2221π,Z 1k n n T ⎧=+∈⎨=-⎩【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。

沪教版2019年一年级数学【下册】月考试卷含答案

乡镇（街道）学校班级姓名学号 ………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不……………………. 准…………………答…. …………题…绝密★启用前沪教版2019年一年级数学【下册】月考试卷含答案题号一二三四五六七八九十总分得分考试须知：1、考试时间：45分钟，满分为100分（含卷面分3分），附加题单独20分。

2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。

3、不要在试卷上乱写乱画，卷面不整洁扣3分。

一、我会填（本题共10分，每题2分）1、人民币的认识，在（）里填上合适的数。

5角4分=（）分 3元6角=（）角 5元8角=（）角23分=（）角（）分 65角=（）元（）角 96角=（）元（）角2、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10中选出9个数填在（）里组成三道算式，每个数只能用1次。

（）+（）＝（）（）+（）＝（）（）+（）＝（）3、至少用（）个可以拼成一个大正方体。

4、8名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同学。

5、小东看叔叔锯木头，锯一次要2分钟，最后叔叔把木头锯成5段，叔叔请小东算算，他一共锯了（）分钟。

二、我会算（本题共20分，每题5分）1、小明看一本故事书，第一天看了6页，第二天看了10页，第三天从第几页看起？答：第三天从（）页看起。

2、我会看图列式计算。

3、商店有彩色电视机14台，黑白电视机8台，黑白电视机再添上几台就和彩色电视机同样多？答：黑白电视机再添上（）台就和彩色电视机同样多。

4、看题写算式：(1)、小丁丁有16块积木，其中红积木有4块，黄积木有6块，剩下的白积木有几块？算式：_______________________________________(2)、小鸡有8只，小鸭有7只，小鸭和小鸡一共有几只？小鸡与小鸭相差几只？算式： ____________________________________算式：_____________________________________三、我会比（本题共10分，每题5分）1、在○里填上“＞”、“＜”或“=”。

上海教育版2019年一年级数学【下册】月考试题附答案

乡镇（街道）学校班级姓名学号………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不…………………….准…………………答….…………题…绝密★启用前上海教育版2019年一年级数学【下册】月考试题附答案题号一二三四五六七八九十总分得分考试须知：1、考试时间：45分钟，满分为100分（含卷面分3分），附加题单独20分。

2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。

3、不要在试卷上乱写乱画，卷面不整洁扣3分。

一、我会填（本题共10分，每题2分）1、填“元”、“角”、“分”。

1．一枝铅笔3__________ 2、2瓶可乐5__________3．一个气球9__________ 4．一根针2__________5．一个铅笔盒8__________ 6．一盒巧克力9__________2、10个一是（），2个十是（）。

3、比89大1的数是（），比它小1的数是（）。

4、4个十和5个十合起来是（）个十。

5、18厘米＋17厘米=（）厘米。

二、我会算（本题共20分，每题5分）1、从4、6、7、5、9、10中选3个数组成四道算式。

2、把圈里的三个数加起来，怎样算得快，为什么？3、算一算，把结果一样的连一连。

4、篮子里有10个苹果，被小丁丁吃掉1个，又被爸爸吃掉2个。

现在还有多少个？答：现在还有（）个。

三、我会比（本题共10分，每题5分）1、比比谁更多，在多后面的画√。

2、从小到大排列。

190厘米 2米 220厘米 3米（）<（）<（）<（）四、选一选（本题共10分，每题5分）1、选一选。

在合适答案下面的□里打“√”。

1.一张长方形纸，照下图的样子折一折，折出的是什么形状？2.9＋（）＜15, （）里最大可以填几？2、给最轻的画“√”，给最重的画“△”。

五、对与错（本题共5分，每题2.5分）1、判断下面各题，对的画“ ”，错的画“ ”。

1.白兔比黑兔少得多。

（）2.黑兔比灰兔少得多。

上海市高一数学下学期第一次月考试题沪教版

上海市大团高级中学第二学期第一次月考高一年级数学试卷（总分：题号 1~~~12 13~~16 1718 19 20 21 总分得分一、填空题（本大题共12小题，总分36分）1、3log 9log 28的值是___________2、若23log (log )1x = ,则_______x =3、函数y = )12(log 21-x 的定义域为___________________4、设1)2(log )(23>-=x x x x f ，，则=-)1(1f6. 5、已知5log log 2a b a ⋅=，则_____b =6、已知2lg(x －2y)=lgx ＋lgy ，则y x的值为________7、已知xx f 21log )(=的反函数为)(1x f-，若111()()4f a f b --⋅=，则=+)(b a f ． 8、函数20.5log (616)y x x =-- 的单调增区间为________________9、方程21log (4)()2xx += 的根的个数为_______个 10、已知y=loga(2－ax)在区间(0,1)上是x 的减函数,则a 的取值范围为_______11、已知定义在R 上的偶函数函数1()[0,),()0,2y f x f =+∞=在上递减且 14(log )0f x <则满足的x 的集合为____________________12、关于函数1lg)(2+=x xx f ，有下列结论：①函数)(x f 的定义域是（0，+∞）；②函数)(x f 是奇函数；③函数)(x f 的最小值为－2lg ；④当10<<x 时，函数)(x f 是增函数；当1>x 时，函数)(x f 是减函数. 其中正确结论的序号是。

（写出所有你认为正确的结论的序号）二、选择题（本大题共4小题，总分16分）13、已知函数1()3ax f x x -=- 的反函数是()f x 本身，则实数a 的值为（）（A ）1a = （B ）3a =- （C ） 3a = （D ）不存在14、若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（）（A ）（B ）（C ）（D ） 15、已知,αβ 是方程2lg lg 20x x -+= 的两根，则log log αββα 的值为（）（A ） 3 （B ） 2 （C ） 53-（D ）32-16、设1a>，函数log a y x =的定义域为[](),m n m n <，值域为[]0,1，定义“区间[],m n 的长度等于n m -”，若区间[],m n 长度的最小值为56，则实数a 的值为（）（A ）11 （B ）32 （C ） 116 （D ）6三、解答题（6+8+10+12+12） 17、已知18log 9,185b a == ，用,a b 表示36log 4518、解下列方程：（1） 2log ()log 2x x x x -= （2）2255log log 3x x -=Oy O x y O xy O x y19、已知x 满足不等式01log 5)(log 631231≤++x x ，试求2)81(log )9(log )(33+⋅=x x x f 的最大值和最小值20、设函数)10)(1(log )(≠>-=a a a x f xa ，（1）求)(x f 的定义域；（2）讨论)(x f 的单调性(不必证明)；（3）解方程)()2(1x f x f -=21、已知函数)(2)22()1(log )(2R t x tg x x f x ∈=--=，（1）求)(x g y =的解析式；（2）若1=t ，求当]3,2[∈x 时，)()(x f x g -的最小值；（3）若在]3,2[∈x 时，恒有)()(x f x g ≥成立，求实数t 的取值范围数学第一次月考参考答案一填空题1、232、93、1(,1)2 4、3 5、25 6、3 7、-18、(,2)-∞- 9、1个 10、(1,2] 11、),2()21,0(+∞⋃ 12、①③④二、选择题13、C 14、B 15、D 16、D 三、解答题17、解 36log 45=2a ba+-18、解（1）2x = （2）11255x x ==或19、已知x 满足不等式01log 5)(log 631231≤++x x ，试求2)81(log )9(log )(33+⋅=x x x f 的最大值和最小值解：由题设得1311log 23x -≤≤-，即311log 32x ≤≤ 而3333()log (9)log (81)2(2log )(4log )2f x x x x x =⋅+=+++22333(log )6log 10(log 3)1x x x =++=++所以当31log 2x =即3x =max 53()4f x =当31log 3x =即33x =max109()9f x =20、设函数)10)(1(log )(≠>-=a a a x f x a ，（1）求)(x f 的定义域；（2）讨论)(x f 的单调性；（3）解方程)()2(1x f x f -=解：（1）10xa ->，即1xa >当1a >时，(0,)x ∈+∞；当01a <<时，(,0)x ∈-∞（2）当1a >时，)(x f 在(0,)x ∈+∞上为增函数；当01a <<时，)(x f 在(,0)x ∈-∞为增函数（3）因1()log (1)x a f x a -=+ 则2log (1)log (1)x x a a a a -=+，220xx aa --=故2xa =或1xa =-（舍），所以log 2a x =21、已知函数)(2)22()1(log )(2R t x tg x x f x ∈=--=，（1）求)(x g y =的解析式；（2）若1=t ，求当]3,2[∈x 时，)()(x f x g -的最小值；（3）若在]3,2[∈x 时，恒有)()(x f x g ≥成立，求实数t 的取值范围解；（1）令22x tp -=，则2log (2)x p t =+故2()2log (2)g p p t =+，即2()2log (2)g x x t =+（2）22(21)()()log 1x g x f x x +-=- 因2(21)94(1)122411x x x x +=-++≥--，当且仅当94(1)1x x -=-时取等号故当52x =时，)()(x f x g -的最小值为2log 24 （3）由222log (2)log (1)x t x +≥-得21x t x +≥-即12t x x ≥-在]3,2[∈x 内恒成立先利用换元法求12y x x =-在]3,2[∈x 上的最大值，为3-所以3t ≥-。

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