三角形中的分类讨论(含答案)
分类讨论型试题(含答案)[下学期]
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分类讨论型问题探究分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.例1（2005年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。
分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决.解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE ＝25（m ）由DE ∥FC 得，FCED AC AE =，得FC ＝24（m ） S △ABC =12 ×40×24=480（m 2）(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S △ABC =12×64×24=768（m 2）说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。
练习一 1、（2005年资阳市）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）A. 2a b +B. 2a b -C. 2a b +或2a b - D. a+b 或a-b2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条3（2005年潍坊市）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）．A ．5cmB ．11cmC ．3cmD ．5cm 或11cm图1图2A4.（2005年北京） 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2 ·，则∠BCA 的度数为____________。
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
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人教版初中数学八上 小专题(六) 三角形与多边形中的分类讨论
20°，则∠BAC的度数为 80°或40° .
6.已知在非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD，CE交于点H，求∠BHC的度数.
解：分两种情况讨论： （1）如图1，当△ABC是锐角三角形时， ∵BD，CE是△ABC的高，
（2）当AB＋AD＝15 cm时， 即x＋2x＝15，解得x＝5. 此时BC＋x＝12，解得BC＝7 cm. 此时△ABC的三边长分别为AB＝AC＝10 cm， BC＝7 cm，能构成三角形. 综上所述，△ABC的各边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
类型二 三角形高的位置不确定时需分类讨论 4.在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD
∴∠BHC＝∠A＝45°.
图2
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.
类型三 多边形半开放型问题中求角度时漏解 7.一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是
（D）
A.360° B.540° C.180°或360° D.540°或360°或180° 8.若计算一个多边形内角和时，粗心的小明将其中一个内角没有加上去，而是加上 了这个内角所对应的外角，这样计算出来的结果是600°，则小明计算的这个多 边形的边数为 5或6 .
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝45°.
∵∠BHC是△BEH的外角，
图1
∴∠BHC＝∠ABD＋∠BEC＝135°；
（2）如图2，当△ABC是钝角三角形时， ∵BD，CE是△ABC的高，
三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型(解析版)
三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1)无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2)“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰△ABC方法：两圆一线具体图解：①当AB =AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上(B ，C 除外)②当AB =BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上(A ，E 除外)③当AC =BC 时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上(D 除外)1(2023春·四川成都·八年级校考期中)已知等腰三角形的两边长分别是m ，n ，若m ，n 满足m -3 +n -5 2=0，那么它的周长是()A.11B.13C.11或13D.11或15【答案】C【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 、n 分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：∵m -3 +n -5 2=0，m -3 ≥0，n -5 2≥0，∴m -3=0，n -5=0，解得：m =3，n =5，当m =3作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：3+3+5=11，当n =5作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：3+5+5=13，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 或n 作为腰，分类求解．2(2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中)一个等腰三角形的周长为18cm ，且一边长是4cm ，则它的腰长为()A.4cmB.7cmC.4cm或7cmD.全不对【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．【详解】解：当4cm为腰长时，则底边长为18-2×4=10cm，∵4+4<10，不符合题意；∴4cm为底边长，∴等腰三角形的腰长为：12×18-4=7cm；故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．3(2023春·四川达州·八年级校考阶段练习)等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是()A.80°B.80°或20°C.80°或30°D.20°【答案】B【分析】根据三角形的内角和为180°，进行分类讨论即可【详解】解：①当底角为80°时，顶角=180°-80°×2=20°，②当顶角为80°时，顶角度数=80°，综上：顶角度数为80°或20°；故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容．4(2023·四川广安·八年级校考期中)等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为()A.55°B.80°C.55°或80°D.以上都不是【答案】D【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【详解】∵等腰三角形的一个外角等于100°，∴等腰三角形的一个内角为80°，①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．5(2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则等腰三角形的顶角度数为．【答案】20°或160°【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB=AC，∠ACD=70°，CD为高，即∠ADC=90°，此时∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=180°-90°-70°=20°，若三角形为钝角三角形时，如图，AB=AC，∠ACD=70°，CD为高，即∠ADC=90°，此时∠BAC=∠D+∠ACD=90°+70°=160°，综上，等腰三角形的顶角的度数为20°或160°．故答案为：20°或160°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．6(2023·山东滨州·八年级校考期末)我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是()A.3B.4C.5D.6【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC 其中的一条腰．【详解】如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有2个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．故共有5个点，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．7(2023·北京·八年级期中)Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为．【答案】4或25或10．【分析】根据题意分类讨论，①∠CAD=90°，②∠ACD=90°，③∠ADC=90°，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．【详解】解：①如图，当∠CAD=90°时，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，△ACD是等腰直角三角形，∴AC=AD=AB=2,∠BAD=∠BAC+∠CAD=180°，∴BD=AB+AD=2+2=4；②如图，当∠ACD=90°时，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，△ACD，△ABC是等腰直角三角形，∴CD=AC=AB=2，∠DCE=180°-∠ACD-∠ACB=45°，又∵DE⊥BC，∴△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CE，在Rt△DEC中，DC2=CE2+DE2=2DE2，∴DE=22DC=2，在Rt△ABC中，BC=AB2+AC2=22，在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=22+22+22=25；③如图，当∠ADC=90°时，∵∠BAC=90°，AB=AC=2△ACD，△ABC是等腰直角三角形，∴CD=AD=22AC=2，在Rt△ABC中，BC=AB2+AC2=22，在Rt△BDC中，BD=CD2+BC2=222+22=10．综上所述，BD的长为：4或25或10．故答案为：4或25或10．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．8(2023·福建南平·八年级校考期中)已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC= 110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是．【答案】40°或90°或140°【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；③如图，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键．9(2023·四川成都·八年级校考期中)如图，A、B两点的坐标分别为2,4，点P是x轴上一点，且，6,0△ABP为等腰三角形，则点P的坐标为．【答案】(2,0)或(-2,0)或(6+42,0)或(6-42,0)【分析】根据等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三种情况求解即可．【详解】∵△ABP为等腰三角形，①当AB=BP时，如图①，∵AB=(6-2)2+(0-4)2=42，∴BP=42，∵B(6,0)，∴P(6+42,0)或P(6-42,0)；②当AB=AP时，如图②作AC⊥BP于C点，则C(2,0)，∵AB=AP，∴BC=CP，∵BC=6-2=4，∴CP=4，∴P(-2,0)．③当AP=BP时，如图③，作AP⊥BP，∴AP=BP=4，∴P(2,0)．综上所述：点P的坐标为(2,0)或(-2,0)或(6+42,0)或(6-42,0)，故答案为：(2,0)或(-2,0)或(6+42,0)或(6-42,0)．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键．10(2023·江苏苏州·八年级校考期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t秒(t>0)．(1)若点P在BC上，且满足PA=PB，求此时t的值；(2)若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值：(3)在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或95或3【分析】(1)设PB=PA=xcm，则PC=4-xcm，利用勾股定理求出AC=3cm，在Rt△ACP中，依据AC2+PC2=AP2，列方程求解即可得到t的值．(2)如图所示，当点P在AC上时，过P作PD⊥AB于D，设PD=PC=ycm，则AP=3-ycm，在Rt△ADP中，依据AD2+PD2=AP2，列方程求解即可得到t的值．当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t=AB2=52．(3)分四种情况：当P在AB上且AP=CP时，当P在AB上且AP=CA=3cm时，当P在AB上且AC =PC时，当P在BC上且AC=PC=3cm时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值．【详解】(1)解：如图，设PB=PA=xcm，则PC=4-xcm，∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，∴AC=AB2-BC2=3cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得AC2+PC2=AP2，∴32+4-x2=x2，解得x=258，∴BP=258，∴t=AB+BP2=5+2582=6516；(2)解：如图所示，当点P在AC上时，过P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C=90°，PD⊥AB∴PD=PC，∠DBP=∠CBP，在△BCP与△BDP中，∠BDP=∠BCP ∠DBP=∠CBP BP=BP，∴△BDP≌△BCP AAS∴BC=BD=4cm，∴AD=5-4=1cm，设PD=PC=ycm，则AP=3-ycm，在Rt△ADP中，由勾股定理得AD2+PD2=AP2，∴12+y2=3-y2，解得y=43，∴CP=43，∴t=AB+BC+CP2=5+4+432=316，当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t=AB2=52．综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或52．(3)解：分四种情况：①如图，当P在AB上且AP=CP时，∴∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，∴∠B=∠BCP，∴CP=BP=AP，∴P是AB的中点，即AP=12AB=52cm，∴t=AP2=54．②如图，当P在AB上且AP=CA=3cm时，∴t=AP2=32．③如图，当P在AB上且AC=PC时，过C作CD⊥AB于D，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC2-CD2=32-1252=95cm，∴AP=2AD=185cm，∴t=AP2=95．④如图，当P在BC上且AC=PC=3cm时，则BP=4-3=1cm，∴t=AB+BP2=62=3．综上所述，当t的值为54或32或95或3时，△ACP为等腰三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第(3)题的关键．11(2022春·四川成都·八年级校考期中)如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A-2，6的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27(1)求直线AB的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段AB上(不与点A、B重合)，过点P 作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y y≠0，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值范围；(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x+4，D-5，0(2)y=32m+3，-2<m<4(3)存在，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0【分析】(1)据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设直线AB解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD 的值，从而求出D点的坐标；(2)直接根据待定系数法求出AD的解析式，先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的纵坐标，将P的纵坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；(3)要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出(2)中m的值，就可以求出F点的坐标．【详解】(1)解：∵OB=OC，∴设直线AB的解析式为y=-x+n，∵直线AB经过A-2，6，∴2+n=6，∴n=4，∴直线AB的解析式为y=-x+4，∴B4，0，∴OB=4，∵△ABD的面积为27，A-2，6，∴S△ABD=12×BD×6=27，∴BD=9，∴OD=5，∴D-5，0，∴直线AB的解析式为y=-x+4，D-5，0(2)解：设直线AD的解析式为y=ax+b，∵A-2，6，D-5，0∴-2a+b=6-5a+b=0，解得a=2b=10．∴直线AD的解析式为y=2x+10；∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P m，-m+4，∵PE∥x轴，∴E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，解得x=-m-62，∴E-m-62,-m+4，∴PE的长y=m--m-62=3m2+3；即y=32m+3，-2<m<4；(3)解：在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，①当∠FPE=90°时，如图①，有PF=PE，PF=-m+4，PE=32m+3，∴-m+4=32m+3，解得m=25，此时F25,0；②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，∴EF=-m+4，∴-m+4=32m+3，解得：m=25，∴点E的横坐标为x=-m-62=-165，∴F-165,0；③当∠PFE=90°时，如图③，有FP=FE，∴∠FPE=∠FEP．∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°．作FR⊥PE，点R为垂足，∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，∴∠PFR=∠RPF，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR= 12PE．∵点R与点E的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4=1232m+3，解得：m=107，∴PR=FR=-m+4=-107+4=187，∴点F的横坐标为107-187=-87，∴F-87,0．综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式模型2、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点(或斜边)分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。
分类讨论题(含答案)
分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：等腰三角形中的分类讨论(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：等腰三角形中的分类讨论【知识点睛】❖ 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；❖ 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论设等腰三角形中有一个角为α时对应结论 当α为顶角时底角=α2190-︒当α为直角或钝角时 不需要分类讨论，该角必为顶角 当α为锐角时α可以为顶角；也可以为底角当等腰三角形的一个外角为α时对应结论 若α为锐角、直角 α必为顶角的外角若α为钝角α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角❖ 动态环境下的等腰三角形存在性问题【类题训练】1．△ABC 中，AB ＝AC ，一腰上的中线BD 把三角形的周长分为9cm 和12cm 两部分，则此三角形的腰长是 8cm 或6cm ．【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm ，哪个是12cm ，因此，有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设等腰三角形的腰长AB ＝AC ＝2x ，BC ＝y ， ∵BD 是腰上的中线， ∴AD ＝DC ＝x ，若AB +AD 的长为12，则2x +x ＝12，解得x ＝4cm ， 则x +y ＝9，即4+y ＝9，解得y ＝5cm ；若AB +AD 的长为9，则2x +x ＝9，解得x ＝3cm ，则x+y＝12，即3+y＝12，解得y＝9cm；所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．故答案为：8cm或6cm．2．（1）等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是70°或40°．（2）等腰三角形中有一个角是100°，则它的另两个角是40°，40°．（3）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【分析】（1）等腰三角形一内角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．（2）由于等腰三角形的两底角相等，所以100°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．（3）题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．【解答】解：（1）①当70°角为顶角，顶角度数即为70°；②当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．（2）∵等腰三角形的两底角相等∴两底角的和为180°﹣100°＝80°∴两个底角分别为40°，40°．（3）①当∠A＝70°时，则∠ABC＝∠C＝55°，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣55°＝35°；②当∠C＝70°时，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣70°＝20°故答案为：70°或40°；40°，40°；35°或20°．3．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是9cm或cm．【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为（19﹣2x）cm，再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可．【解答】解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝xcm，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x，当△ABD的周长大于△BCD的周长时，AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+﹣（35﹣2x）﹣＝4，解得x＝13，底边长为35﹣13×2＝9（cm）；当△BCD的周长大于△ABD的周长时，则BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+﹣（x+）＝4，解得x＝，底边长为35﹣×2＝（cm）．综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm．故答案为：9cm或cm．4．已知△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于D，∠CAD＝50°，则∠B＝70°或20°．【分析】利用直角三角形两锐角互余可求得∠C，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得∠B．【解答】解：若△ACB是锐角三角形，如图1．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠C＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且2∠B+∠C＝180°，∴∠B＝70°，若△ACB是钝角三角形，如图2．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠DCA＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且∠DCA＝∠B+∠CAB∴∠B＝20°故答案为：70°或20°．5．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝P A；第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠P AB；∴符合条件的点P有6个点．故选：B．6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，根据三角形的周长求出y＝21﹣2x，根据三角形三边关系定理得出x+x＞y，求出x+y＞21﹣2x，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x＞0，y＞0，x+x＞y，则x+x+y＝21，即①y＝21﹣2x＞0，所以②x+x＞21﹣2x，解①②得：5＜x＜10.5，所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，故选：A．7．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．8．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝4或12s时，△POQ是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣2t＝t，解得，t＝4s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣6）＝t，解得，t＝12s故答案为4s或12s．9．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．【解答】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；故选：B．10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．11．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为75°或120°或15°．【分析】分三种情形分别求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ADC＝＝75°．②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．③当AC＝AD″时，∠AD″C＝＝15°，故答案为：75°或120°或15°．12．如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为3或9．【分析】如图，连接CP，BQ，由“SAS”可证△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得点Q运动轨迹是A→H→B，分两种情况讨论，即可求解．【解答】解：如图，连接CP，BQ，∵△ABC，△APQ是等边三角形，∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，∴△ACP≌△ABQ（SAS）∴BQ＝CP，∴当点P运动到点B时，点Q运动到点H，且BH＝BC＝6，∴当点P在AB上运动时，点Q在AH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴AP＝PB＝3＝AQ，∴点Q运动路线的长为3，当点P在BC上运动时，点Q在BH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴BQ＝PB，∴BP＝BQ＝3，∴点Q运动路线的长为3+6＝9，故答案为：3或9．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为45°或36°或或．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，①如图1，∵∠ACB＝2∠A，∴AD＝DC＝BD，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝45°；②如图2，AD＝DC＝BC，∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，∴∠BDC＝2∠A，∴∠A＝36°，③AD＝DC，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，∴∠BCD＝2∠A，∵∠ACB＝2∠A，故这种情况不存在．④如图3，AD＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，设∠B＝∠BCD＝α，∴∠ADC＝∠ACD＝2α，∴∠ACB＝3α，∴∠A＝α，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴α+α+3α＝180°，∴α＝，∴∠A＝，⑤如图4，AC＝CD＝DB，∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，∴∠B＝∠DCB＝＝，∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，∵∠ACB＝2∠A，∴180°﹣＝2∠A，∴综上所述，∠A的度数为45°或36°或或．故答案为：45°或36°或或．14．已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为3或9．【分析】①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，②当E在线段AB的延长线时，过E点作EF ⊥CD于F，根据等边三角形的性质求出BE长和∠ABC＝60°，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．【解答】解：点E在直线AB上，AE＝6，点E位置有两种情况：①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝BE＝，∴CF＝+3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝9；②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝AE＝，∴CF＝﹣3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝3；即C＝9或3，故答案为：3或9．15．△ABC的高AD、BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．【分析】分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，得到∠CAD＝∠MBD，根据一对直角相等，再由BM＝AC，利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得出∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得出三角形ABD为等腰直角三角形，求出∠ABD＝45°，利用邻补角定义即可求出∠ABC＝135°．【解答】解：分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，∵BD⊥AM，BE⊥AC，∴∠BDM＝∠BEC＝90°，∵∠DBM＝∠EBC，∴∠M＝∠C，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45゜，则∠ABC＝135゜．16．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，P A⊥PB，且P A＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4．求CB的长．【分析】根据全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA，进而分类讨论得出答案即可．【解答】解：此题分以下两种情况：①如图1，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝3，∴BC＝7；②如图2，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝5，可得BC＝9．综合上述CB＝7或9．17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．18.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为．【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．【解答】解：（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．故答案为：90°、135°、45°．（3）如下图作△ABC，①如图1：当AD＝AE时，∵2x+x＝30+30，∴x＝20．②如图2：当AD＝DE时，∵2x+x+30+30＝180．∴x＝40．所以x的所有可能的值为20°或40°．故答案为20°或40°．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．【分析】（1）由平行线的性质得出∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，由点P为AE的中点，得出PE＝P A，由AAS证得△CEP≌△BAP，即可得出结论；（2）由CB⊥AB，AB∥CD，得出∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝3，由（1）得CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝5；（3）①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，则AN＝NQ，由S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，求出BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝，则AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，证明QB＝AQ＝QP，则AQ＝AP＝．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，∵点P为AE的中点，∴PE＝P A，在△CEP和△BAP中，，∴△CEP≌△BAP（AAS），∴PC＝PB，∴点P也是BC的中点；（2）解：∵CB⊥AB，AB∥CD，∴∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝＝3，由（1）得：CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝＝5；（3）解：①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，如图1所示：则AN＝NQ，S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，即4×3＝5BN，∴BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝＝，∴AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，如图2所示：∵AQ＝QB，∴∠QAB＝∠QBA，∵∠QAB+∠QPB＝90°，∠QBA+∠QBP＝90°，∴∠QPB＝∠QBP，∴QB＝QP，∴QB＝AQ＝QP，∴AQ＝AP＝；综上所述，△ABQ是等腰三角形，AQ的长为4或或．。
非学科数学学培训-特殊三角形分类讨论(资料附答案)
自学资料一、等腰三角形【知识探索】1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）；（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形．简称：等角对等边．【错题精练】例1．下面给出几种三角形，其中是等边三角形的个数有（）个①有两个内角为60°的三角形②外角都相等的三角形③一边上的高也是这边上中线的三角形④有一个角是60°的三角形．第1页共18页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 4B. 3C. 2D. 1【解答】解：①有两个内角为60°的三角形，由三角形的内角和定理得到第三个角为60°，可得此三角形三内角相等，即三角形为等边三角形，本选项符合题意；②若一个三角形三外角都相等，可得出三内角相等，故此三角形为等边三角形，本选项符合题意；③一边上的高也是这边上中线的三角形为等腰三角形，不一定为等边三角形，本选项不合题意；④有一个角是60°的三角形不一定为等边三角形，例如：Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°，则是等边三角形的个数有2个．故选：C．【答案】C例2．问题：探索等腰三角形-腰上的高与底边所成的角与顶角的关系．（1）为了解决这个问题，我们可从特殊情形入手，如图（1），△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是AC边上的高，则∠DBC=______；（2）猜想，∠A与∠DBC的关系是______；（3）对上述猜想，请利用图（1）给予证明．【解答】解：（1）如图1：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．∵∠A=40°，且AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°；∵在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠C=70°；∴∠DBC=90°-70°=20°．故答案为：20°；（2）根据以上的解答猜想：∠A=2∠DBC．（3）∵在△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高，∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）÷2=90°-第2页共18页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训2∠A，∴在Rt△BDC中，∠DBC=90°-（90°-12∠A）=12∠A，即∠A=2∠DBC．【答案】20°∠A=2∠DBC例3．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有______个．【解答】解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个，故答案为：8第3页共18页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第4页 共18页 自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练 非学科培训【答案】8例4．已知△ABC 的三条边长分别为4，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中有一个边长为4的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．A. 3B. 4C. 5D. 6【解答】解：如图所示：当AC=CD=4，AB=BG=4，AF=CF ，AE=BE 时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B ．【答案】B例5．等腰三角形的周长是25cm ，一腰上的中线将周长分成的两部分的差为5cm ，则此三角形的底边长为______．【解答】解：设等腰三角形的腰长是x ，底边长是y ，根据题意得{2x +y =25x −y =5或{2x +y =25y −x =5解得{x =10y =5或{x =203y =353， ∵5+10＞10，203+203＞353， ∴此等腰三角形的底长分别是5或353．故答案是5或353．【答案】5或353例6．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（ ）A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 不能确定【解答】解：本题分两种情况讨论：（1）当BD在三角形内部时，AB，∠ADB=90°，∵BD=12∴∠A=30°；（2）当BD在三角形外部时，∵BD=1AB，∠ADB=90°，2∴∠DAB=30°，∠ABC=180°-∠DAB=30°=150°．故选：C．【答案】C例7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角为______．【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，由已知可知，∠ABD=30°，又BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠ABC=∠C=60°．当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，由已知可知，∠ABD=30°，又BD⊥AC，∴∠DAB=60°，∴∠C=∠ABC=30°．故答案为：60°或30°．【答案】60°或30°例8．一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为（）A. 72°或45°B. 45°或36°C. 36°或45°D. 72°或90°第5页共18页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【解答】解：①设三角形底角为x，顶角为2x，则x+x+2x=180°，解得：x=45°，②设三角形底角为2x，顶角为x，则2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴2x=72°，综上所述，这个三角形底角为72°或45°，故选：A．【答案】A例9．如图：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=36°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为______．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=36°，当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=12∠BAC=12×36°=18°，当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=12×（180°-36°）=72°，当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°-36°×2=108°，∴∠APB的度数为：18°、36°、72°、108°．故答案为：72°或18°或108°或36°【答案】72°或18°或108°或36°例10．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M．（1）如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果第6页共18页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训△DEF不是等边三角形，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度．【答案】（1）证明：∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，∴E、F分别是AC、AB边的中点，又∵点D是BC的中点，EF=12BC，DE=12AB，DF=12AC，∴EF=ED=DF，∴△DEF是等边三角形；（2）解：△DEF是等边三角形．理由如下：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°-60°-30°×2=60°，∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DE=DF=BD=CD，∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，∴∠EDF=60°，第7页共18页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴△DEF是等边三角形；（3）解：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，∴BM=2FM=2×5=10，ME=12CM=12×4=2，∴BE=BM+ME=10+2=12．例11．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿线段AB向点B运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿折线B-C-A运动，且速度为每秒2cm，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．【答案】解：（1）由题意可知AP=t，BQ=2t，∵AB=8，∴BP=AB-AP=8-t，当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，，即8-t=2t，解得t=83秒后△PQB能形成等腰三角形；∴出发83（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，当BQ=BC=6时，如图1，第8页共18页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第9页 共18页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训过B 作BD ⊥AC ，则CD=12CQ=t-3，在Rt △ABC 中，可求得BD=245，在Rt △BCD 中，由勾股定理可得BC 2=BD 2+CD 2，即62=（245）2+（t-3）2，解得t=335或t=-35＜0（舍去）； 当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6，当CQ=BQ 时，则∠C=∠QBC ，∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA ，∴∠A=∠QBA ，∴QB=QA ，∴CQ=12AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，综上可知当△BCQ 为等腰三角形时，t=335或t=6或t=5.5．【举一反三】1．等腰三角形腰长为2cm ，底边长为2√3cm ，则顶角为______，面积为______．【解答】解：如图，作AD ⊥BC 于D ，∴BD=DC=√3cm ，∴AD=√AB 2−BD 2=√22−（√3）2=1cm ，∴∠B=30°，∴顶角为180°-30°-30°=120°，三角形的面积=12×2√3×1=√3cm 2．故答案为：120°；√3cm 2．【答案】120°√3cm 2．2．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故选：C．【答案】C3．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD是△ABC的角平分线．若在边AC上截取CE=CB，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=1∠ABC=36°，2∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，第10页共18页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°-36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．【答案】D4．等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A. 顶角B. 底角C. 顶角的一半D. 底角的一半【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，则AE平分∠BAC，∠A，∴∠2=12∵BD⊥AC，∴∠1+∠C=90°，又∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，∠A，∴∠1=12即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故选：C．【答案】C5．等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是（）A. 80°或40°B. 65°或50°C. 80°或65°D. 80°或50°【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65度．故选：B．【答案】B6．在△ABC中，AB=AC，BD是高．若∠ABD=40°，则∠C的度数为______．【解答】解：①当为锐角三角形时：∠BAC=90°-40°=50°，（180°-50°）=65°；∴∠ACB=12②当为钝角三角形时：∠BAC=90°+40°=130°，∴∠ACB=1（180°-130°）=25°；2故答案为：65°或25°．【答案】65°或25°7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒√2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，当△PQC 为以QC为底边的等腰三角形的时候，时间t的值为多少？【答案】解：过点P作PN⊥BC于点N，PM⊥AC于点M，设Q点运动的时间为t秒，△PQC成为以QC为底边的等腰三角形，则PQ=PC，∴QN=NC，∵点P从点A出发，沿AB方向以每秒√2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，∴AP=√2t，BQ=t，∵∠BCA=90°，AC=BC=6cm，∴∠B=∠A=45°，∴AM=PM=t，∴BQ=QN=NC=PM=t，∴BC=3t=6，解得：t=2．1．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A=30°，∠B=60°B. AB=AC=2，BC=4C. ∠A=50°，∠B=80°D. AB=3、BC=7，周长为13【解答】解：A、∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，即∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误；B、∵AB=AC=2，BC=2，∴2+2=4，即三条线段不能组成三角形，故本选项错误；C、∵∠A=50°，∠B=80°，∴∠C=180°-∠A-∠B=50°，即∠A=∠C，∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确；D、∵AB=3，BC=7，周长是13，∴AC=13-3-7=3，∵3+3＜7，∴三条线段不能组成三角形，故本选项错误；故选：C．【答案】C2．已知△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠C的度数为（）A. 50°B. 65°C. 80°D. 50°或65°【解答】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，故选：A．【答案】A3．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°，则这个等腰三角形的顶角度数是______．【解答】解：设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，解得x=44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，解得x=50°，所以，顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，所以，顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：44°或80°或140°．【答案】44°或80°或140°4．如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为______度．【解答】解：设该等腰三角形的底角是x；①当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，设∠A=x°，则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，∴∠BCD=∠B=x°，∵∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x+x+x+x=180，解得x=45，则顶角是90°；②如图，AC=BC=BD，AD=CD，设∠B=x°，∵AC=BC，∴∠A=∠B=x°，∵AD=CD，∴∠ACD=∠A=x°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC=2x°，∴∠ACB=3x°，∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°．③当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AC=BC，AB=AD=CD，设∠C=x°，∵AD=CD，∴∠CAD=∠C=x°，∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，∵AD=AB，∴∠B=∠ADB=2x°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B=2x°，∵∠CAB+∠B+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，x=36°，则顶角是36°．④当∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合，如图AD=BD，BC=DC，∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，则x+3x+3x=180°，x=180°7，因此等腰三角形顶角的度数为36°或90°或108°或180°7．故答案为：36°或90°或108°或180°7．【答案】36°或90°或108°或【答案】180°75．若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A. 75°或15° B. 75° C. 15° D. 75°或30°【解答】解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示∵CD⊥AB，CD=12AC，∴sin∠A=CDAD =1 2，∴∠A=30°，∴∠B=∠ACB=75°；当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示，∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD=12AC，∴∠CAD=30°，∴∠CAB=150°，∴∠B=∠ACB=15°．故其底角为15°或75°．故选：A．【答案】A6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）当点M、N运动______秒时，M、N两点重合；（2）当点M、N运动______秒后，M、N与△ABC中的某个顶点可得到等腰三角形．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12，故当点M、N运动12秒时，M、N两点重合；故答案为：12；（2）①当M在AC上，N在AB上时，有AM=AN，△AMN为等边三角形，符合题意，即t=12-2t，解得t=4；有MN=BN，△AMN为等腰三角形，符合题意，即（2t）2=（6-2t）2+[√3（6-t）]2，解得t1=10-2√13，t2=10+2√13（舍去）；②当M、N均在AC上时，有BM=BN，△BMN为等腰三角形，符合题意，则CM=AN，即12-t=2t，解得t=8；③当M、N均在BC上时，N点已经追过M点，有AM=AN，△AMN为等腰三角形，符合题意，则CM=BN，即t-12=36-2t，解得t=16．故答案为4，8，16．【答案】124，8，16。
等腰三角形中的分类讨论(含答案)
等腰三角形中的分类讨论
类型1对顶角和底角的分类讨论
对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．
1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
类型2对腰长和底长的分类讨论
在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．
2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm，一边长等于7 cm，求它的周长；
(2)等腰三角形的一边长等于8 cm，周长等于30 cm，求其他两边的长．
解：(1)周长为19 cm或20 cm.
(2)其他两边的长为8 cm，14 cm或11 cm，11 cm.
1。
期末复习专题等腰三角形中的分类讨论
50°
50°
B
2、以BC为一边
1、以AC为一边
C A
B A
C
A
C
3、以AB为一边
B C
A
C B
CB
A
B
A
B
C
A
B
主要思想：
不重复不遗漏!
1.角的分类:顶角、底角 2 .边的分类：腰、底边
一、遇角需讨论
1.已知等腰三角形的一个内角为80°，, 则 其顶角为__8_0_°_或__2_0_°__
A
且点D在D’的位置，E在E’的为时，
如图，与（1）类似地也可以求得
C
D’ B
∠DCE ＝∠ACB÷2=200。
E’
D
（3）当点D、E在点A的两侧，
A
且E点在E’的位置时，如图，
∵BE’=BC，
C
B
∴∠ BE’C=(180O- ∠CBE) ÷2= ∠CBA ÷2 ，
∵AD=AC，
E’
∴∠ADC=（1800-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，AADD NhomakorabeaB
C
B
C
三、遇中线需讨论
变式：等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线
把其周长分为两部分的差为3cm，则其周长
为 21cm 。
A
A
D
D
B
C
B
C
注意：要运用三角形的三边关系来验证是否能构 成三角形。
四、遇高需讨论
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹 角为30°，则这个等腰三角形的顶角度数 是__6_0_°_或__1_2_0_°____
C
C
D
A
E
B
中考数学专题复习：分类讨论题
中考数学专题复习：分类讨论题中考数学专题复：分类讨论题直线型分类讨论直线型分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题。
这些问题中，等腰三角形顶角度数和三角形高的长度是重要的考点。
例如，对于一个等腰三角形，如果其中一个角度数为50°，则需要分类讨论这个角是顶角还是底角。
如果这个角是顶角，则可以通过求解另外两个角的度数得到顶角的度数；如果这个角是底角，则可以通过计算底角的度数来得到顶角的度数。
因此，顶角可能是50°或80°。
同样地，在解决三角形高的问题时，也需要分类讨论。
例如，如果一个三角形的底边和斜边长度已知，需要求解这个三角形的高的长度，则需要分类讨论这个高是否在三角形内部。
如果高在三角形内部，则可以利用勾股定理和相似三角形的性质求解高的长度；如果高在三角形外部，则可以利用平移和相似三角形的性质求解高的长度。
圆形分类讨论圆形分类讨论主要是解决圆的有关问题。
由于圆是轴对称图形和中心对称图形，因此在解决圆的问题时，需要注意分类讨论，以避免漏解。
例如，对于一个直角三角形，如果以直角为圆心画圆，则这个圆与斜边只有一个公共点。
这个问题可以分类讨论，分别考虑圆与斜边相切和圆与斜边相交的情况，从而得到圆的半径的取值范围。
函数方程分类讨论函数方程分类讨论主要是解决复杂的函数方程和方程组的问题。
在解决这些问题时，需要注意分类讨论，以避免遗漏解或得到错误的解。
例如，对于一个函数方程，如果该方程在某个区间内有多个解，则需要分类讨论这些解的性质，例如它们是否为连续函数、是否为单调函数等等。
从而可以得到方程的解的取值范围。
总之，分类讨论是解决数学问题的重要方法之一，尤其适用于复杂的问题。
在进行分类讨论时，需要认真分析问题，将问题分成若干个互不重叠的情况，并对每种情况进行单独的讨论和求解。
本题涉及到函数的分类讨论和解析式的求解，同时也需要注意特殊点的情况。
与三角形有关的分类讨论多解题
与三角形有关的分类讨论多解题1．△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC ＝．2．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝，△ABC为等腰三角形．3．△ABC中，BD是AC边上的高，∠ABD＝65°，∠DBC＝45°，则∠ABC ＝°．4．已知在△ABC中，∠A＝30°，BD是△ABC的高，∠BCD＝80°，则∠ACB ＝°．5．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的2倍，我们把这个三角形叫做“二倍角三角形”．在一个“二倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为．6．在△ABC中，∠ACB＝60°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若∠ABD：∠ACF＝2：3，则∠BEC的度数为．7．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．8．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，△ABC的外角∠ACG 的平分线与BD的延长线交于点F．在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠BAC的度数是．9．已知△ABC中，∠A＝80°，∠B、∠C的平分线的夹角是．10．已知△ABC的高AD与AB、AC的夹角分别是60°和20°，则∠BAC的度数是．11．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝25°，则∠BAC的度数是12．已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为65°，则∠BAC＝．13．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝cm．14．在△ABC中，∠A＝50°，BD、CE为高，直线BD、CE交于点H，则∠BHC ＝．15．AD是△ABC的高，∠B＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝．16．在△ABC中，点H是直线BC上一点，连接AH，若∠BAH＝56°，∠CAH＝27°，则∠BAC＝度．17．在△ABC中，∠A＝47°，高BE、CF所在直线交于点O，且点E、F不与点B、C重合，则∠BOC＝．18．△ABC中，∠B＝35°，∠A＝85°，点D在线段AB上，点F在射线BC上，连接DF与射线AC相交于点E，且∠ADE＝65°，M是EF中点，则∠BCM ＝．19．已知点A（2，0）、B（2，4），以点A、B、P（点P不与点O重合）为顶点的三角形与△ABO全等，则符合要求的点P坐标可以是．20．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在另一点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．21．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE＝5，BF＝3，则EF＝．22．已知等边三角形ABC的边长为4，线段AD∥BC，且AD＝BC，直线BD与直线AC交于点E，则△ABE的面积为．23．已知，△ABC中，∠ABC＝30°，过线段AB的中点P作AB的垂线交直线BC于点Q，若PQ＝CQ＝1，则BC＝．24．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于．25．等边△ABC，AB＝8，点D在直线AB上，若CD＝13，则AD的长为．26．已知△ABC中，AB＝AC，过点B的直线将△ABC分成两个等腰三角形，则∠ABC ＝°．27．等腰△ABC的腰AB边上的中线CD，把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为．28．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为．29．如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3cm，那么它的周长是．30．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于．31．已知△ABC中，AB边的垂直平分线交BC边于点D，AC边的垂直平分线交BC边于点E，若AD＝5，AE＝7，DE＝3，则BC＝．32．△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，P是射线AD上一点，且∠ABD＝2∠PBD，则AP：PD的值是．33．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD∥BC，BD＝BC，∠DBC＝．34．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．若BC＝10，DE＝4，则AD+AE＝．35．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为．36．已知AD是等腰△ABC的腰BC上的高，∠DAB＝50°，这个三角形的顶角的度数是．37．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC中点，E为边AB 上一动点，当四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长为．38．已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD＝AC，则等腰△ABC的顶角度数为．39．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为．40．在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝30°，D为BC边上一点，点F是射线BA上一点，DF与射线CA相交于点E，点G是EF的中点，若∠DEC＝∠C，则∠CAG ＝．41．O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，若3∠BOC＝2∠BPC，则∠BAC＝．42．在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为．43．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则各内角的度数为．44．已知在有一角为30°的直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为．。
中考数学专题复习《三角形中的分类讨论、存在性问题》测试卷(带答案)
中考数学专题复习《三角形中的分类讨论 存在性问题》测试卷(带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 EF 是ABC 的中位线 BD 平分ABC ∠交EF 于点D 若31AE DF ==， 则边BC 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．如图 三个村庄A B C 构成ABC 供奶站须到三个村庄的距离都相等 则供奶站应建在（ ）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三个角的角平分线的交点C ．三角形三条高的交点D ．三角形三条中线的交点3．若等腰三角形一个外角等于100︒ 则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ） A ．40,40︒︒ B ．80,20︒︒ C ．50,50︒︒ D ．80,20︒︒或50,50︒︒ 4．一根30 m 长的绳子 折成三段 围成一个三角形 其中一条边的长度比较短边长7m 比较长边短1m 则它是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法判断 5．如图 在ABCD 中 点M N 分别是,AB AD 上的点 且BN DM = 其交点为P 设,CPB CPD αβ∠=∠= 则（ ）．A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．不能确定 6．如图 ACB A CB ''△≌△ 30BCB '∠=︒ 则ACA ∠'的度数为（ ）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒二 填空题7．如图 长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上 固定两端A 和B 然后把中点C 向上拉升3cm 到D 则橡皮筋被拉长了 cm ．8．如图 已知AD 为ABC 的中线 10cm 7cm AB AC ==, ACD 的周长为20cm 则ABD △的周长为 cm ．9．在ABC 中 9068C AC BC ∠=︒==，， 则AB 边上的中线CD = ．10．如图 ABC 是一张直角三角形的纸片 90C ∠=︒ 6AC = 8BC = 现将ABC 折叠 使点B 与点A 重合 折痕为DE 则DE 的长为 ．11．如图 在三角形ABC 中 ,AB AC AD BC ⊥⊥ 垂足为D 3,4,5AB AC BC === 则AD = ．12．如图 已知ABC 是等边三角形 6AB = BD AC ⊥ 延长BC 到点E 使CE CD = 则BE 的长为 ．三 解答题13．如图 DE AB ⊥于E DF AC ⊥于F 若BD CD = BE CF =(1)求证：AD 平分BAC ∠(2)已知20AC = 4BE = 求AB 的长．14．如图 已知△ABD CAE ≌ A E D 在同一直线上 试探究当BD CE ∥时 AD 与EC 的位置关系 并证明．15．将ABC 沿BC 方向平移 得到DEF ．(1)若74,26B F ∠=︒∠=︒ 求A ∠的度数(2)若 4.5cm, 3.5cm BC EC == 求ABC 平移的距离． 16．如图 AB 交CD 于点O 在AOC 与BOD 中 有下列三个条件：△OC OD = △AC BD = △A B ∠=∠．请你在上述三个条件中选择两个为条件 另一个能作为这两个条件推出来的结论 并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法）(1)你选的条件为________ ________ 结论为________(2)试说明你的结论．17．如图 在四边形ABCD 中 已知90B 30ACB ∠=︒ 3AB = 10AD = 8CD =．(1)求证：ACD 是直角三角形(2)求四边形ABCD 的面积．18．如图 在四边形ABCD 中 90B 2AB BC == 1AD = 3CD =．(1)求DAB∠的度数(2)求四边形ABCD的面积．参考答案：1．B2．A3．D4．B5．B6．B7．28．239．510．15 411．12 512．9 13．(2)12AD EC⊥15．(1)80°(2)1cm 16．(1)△ △ △17．(2)932418．(1)135︒(2)2+。
万能解题模型(9) 直角三角形中的分类讨论
作图找点： ①过点 A 作 AB 的垂线，与已知直线 l 的交点 P1 即为所求； ②过点 B 作 AB 的垂线，与已知直线 l 的交点 P2 即为所求； ③以 AB 的中点 Q 为圆心，QA 的长为半径画圆，与已知直线 l 的交点 P3，P4 即为所求．
∵∠CBP＋∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BPC. 又∵∠AOB＝∠BCP＝90°， ∴△AOB≌△BCP(AAS)． ∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2. ∴OC＝OB－BC＝2. ∴P(4，2)；
②当∠BAP′＝90°时， 过点 P′作 P′D⊥OA 于点 D， 同①的方法得，△ADP′≌△BOA， ∴DP′＝OA＝2，AD＝OB＝4. ∴OD＝AD－OA＝2. ∴P′(2，－2)． 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(4，2)或(2，－2)．
又∵∠D′OC＝∠COA＝90D3′O. ∴D′O＝9. ∴D′(－9，0)． 综上所述，点 D 的坐标为(0，0)或(－9，0)．
温馨提示：学完模型，建议完成红版练习册(P137)，进行强化训练．
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数学 第一轮 中考考点系统复习(讲解册)
万能解题模型(九) 直角三角形中的 分类讨论
直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确 定．若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建．
问题：已知点 A，B 和直线 l，在 l 上求点 P，使△PAB 为直角三角形．
4．如图，抛物线与 x 轴交于 A(1，0)，B(－3，0)两点，与 y 轴交 于点 C(0，3)．在 x 轴上找一点 D，使得以 A，C，D 为顶点的三角形 是直角三角形，求点 D 的坐标．
初中数学重难点突破：等腰三角形中的分类讨论问题
等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ， 设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 等腰三角形中的分类讨论(解析版)
等腰三角形中的分类讨论1．已知等腰三角形的两边长分别为a b且a b b﹣4|＝0 则此等腰三角形的周长为（）A．7B．10C．11D．10或11【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得a-3=0 b-4=0解得a=3 b=4①4是腰长时三角形的三边分别为4、4、3∵4+4＞3∴能组成三角形4+4+3=11②4是底边时三角形的三边分别为3、3、4能组成三角形周长=3+3+4=10所以三角形的周长为11或10．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质绝对值非负数偶次方非负数的性质根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．2．已知a b是等腰三角形的两边长且a b()2+-=则此等腰三角23130a b形的周长为（）．A．8B．6或8C．7D．7或8【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．()223130a b+-=∴23+5023130a ba b-⎧⎨+-⎩＝＝解得23ab⎧⎨⎩＝＝①2是腰长时三角形的三边分别为2、2、3 能组成三角形周长=2+2+3=7；②2是底边时三角形的三边分别为2、3、3 能组成三角形周长=2+3+3=8所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质绝对值与算术平方根的非负性根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．3．等腰三角形的一个角是70︒则它顶角的度数是（）A．70︒B．70︒或40︒C．70︒或55︒D．40︒【答案】B【解析】【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角所以要分两种情况进行分析．【详解】解：①若70°是底角则顶角为：180°-70°×2=40°；②若70°为顶角则顶角的度数是70°；综上所述顶角的度数为40°或70°．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数做题时要注意分情况进行讨论这是十分重要的也是解答问题的关键．4．等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是()A．70︒B．70︒或40︒C．70︒或50︒D．40︒【答案】B【分析】首先要进行分析题意“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角所以要分两种情况进行讨论．【详解】解：本题可分两种情况：︒-⨯︒=︒；①当70︒角为底角时顶角为18027040②70︒角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为40︒或70︒．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数做题时要注意分情况进行讨论这是十分重要的也是解答问题的关键．5．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度则等腰三角形顶角的度数是（）A．140B．20或80C．44或80D．140或44或80【答案】D【解析】【分析】设另一个角是x 表示出一个角是2x-20° 然后分①x是顶角2x-20°是底角②x是底角2x-20°是顶角③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x 表示出一个角是2x-20°①x是顶角2x-20°是底角时x+2（2x-20°）=180°解得x=44°∴顶角是44°；②x是底角2x-20°是顶角时2x+（2x-20°）=180°解得x=50°∴顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时x=2x-20°解得x=20°∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质三角形的内角和定理难点在于分情况讨论特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．6．若等腰三角形的一个角是80° 则它的底角是（）A．50°B．80°C．40°或80°D．50°或80°【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：当这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可；【详解】当80°为底角时则底角为80°当80°为顶角时则底角为：18080=502︒-︒︒故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质本题有两种情况注意不要漏掉；7．若等腰三角形的一个角是80° 则此等腰三角形的顶角为（）A．80°B．20°C．80°或20°D．40°【答案】C【解析】【分析】可分两种情况：当80︒角为顶角时；当80︒角为底角时结合等腰三角形的性质利用三角形的内角和定理分别求解即可．【详解】解：当80︒角为顶角时则等腰三角形的顶角为80︒；当80︒角为底角时等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒即此等腰三角形的顶角为80︒或20︒．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键．8．在ABC中AB AC=AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50︒则B的度数为（）A．20︒B．70︒C．70︒或20︒D．无法确定【答案】C【解析】【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况画出相应图形求出∠BAC的度数进而根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图1 当∠A为锐角时∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°∴∠A＝40°又∵AB AC=∴∠B＝1802A︒-∠＝180402︒-︒＝70°；如图2 当∠A为钝角时∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50° ∴∠NAB＝40°∴∠BAC＝140°又∵AB AC =∴∠B ＝∠C ＝1801402︒-︒＝20°． 故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形性质 三角形内角和定理 线段垂直平分线的应用 关键是运用分类讨论思想画出图形 求出∠BAC 的度数．9．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50° 则该三角形底角的度数为（ ） A ．20°B ．20°或70°C ．70°D ．无法确定 【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论：①若90A ∠<︒；②若90A ∠>︒；先求出顶角BAC ∠ 即可求出底角的度数．【详解】解：分两种情况讨论：①若90A ∠<︒ 如图1所示：BD AC ⊥90A ABD ∴∠+∠=︒50ABD ∠=︒905040A ∴∠=︒-︒=︒AB AC =1(18040)702ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒； ②若90A ∠>︒ 如图2所示：同①可得：905040DAB ∠=︒-︒=︒18040140BAC ∴∠=︒-︒=︒AB AC =1(180140)202ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒； 综上所述：等腰三角形底角的度数为70︒或20︒故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义 解题的关键是注意分类讨论方法的运用 避免漏解．10．等腰三角形的一个内角是50度 它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40【答案】C【解析】【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时 底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时 此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质 等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60° 则其顶角度数为（ ）．A ．60°或120°B ．30°或150°C ．30°D ．60° 【答案】B【解析】根据等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质分析 即可得到答案．【详解】分两种情况讨论；如下图 过点B 作BD AC ⊥交AC 于点D∴90ADB ∠=︒根据题意得：60ABD ∠=︒∴9030A ABD ∠=︒-∠=︒如下图 过点B 作BD AC ⊥交CA 延长线于点D∴90ADB ∠=︒根据题意得：60ABD ∠=︒∴9030DAB ABD ∠=︒-∠=︒∴180150BAC DAB ∠=︒-∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质 从而完成求解．12．在△ABC 中 AB AC 的垂直平分线相交于点O 如果∠BOC=100° 则∠A 等于（ ） A ．50°或120°B ．60°或130°C ．60°或120°D ．50°或130°【答案】D【分析】画出符合条件的两种情况根据线段垂直平分线性质得出AO＝BO、AO＝OC推出∠BAO＝∠ABO∠CAO＝∠ACO根据三角形内角和定理和四边形内角和定理求出即可．【详解】解：分为两种情况：如图1 当∠BAC为锐角时连接AO∵在ABC中AB AC的垂直平分线相交于点O∴AO＝BO CO＝AO∴∠BAO＝∠ABO∠CAO＝∠ACO∵∠BOC＝100°∴∠OBC＋∠OCB＝180°－100°＝80°∵∠BOC＝100° ∠BAC＝∠BAO＋∠CAO∠BAO＋∠CAO＋∠ACO＋∠OCB＋∠OBC＋∠ABO ＝180°∴2∠BAC＝180°－80°＝100°∴∠BAC＝50°；如图2 当∠BAC为钝角时同理2∠BAC＝360°－∠BOC＝360°－100°＝260°∴∠BAC＝130°；即∠BAC＝50°或130°故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质等腰三角形性质多边形的内角和定理的应用注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．13．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角45° 那么这个等腰三角形的底角为（）A．67°50′B．22°C．67.5°D．22.5°或67.5°【解析】【分析】先知三角形有两种情况（1）（2）求出每种情况的顶角的度数再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理即可求出底角的度数．【详解】有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时BD⊥AC于D则∠ADB=90°已知∠ABD=45°∴∠A=90°-45°=45°∵AB=AC×（180°-45°）=67.5°；∴∠ABC=∠C=12（2）如图当△EFG是钝角三角形时FH⊥EG于H则∠FHE=90°已知∠HFE=45°∴∠HEF=90°-45°=45°∴∠FEG=180°-45°=135°∵EF=EG×（180°-135°）=22.5°∴∠EFG=∠G=12综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°故选D．本题考查了等腰三角形的性质 三角形的高 三角形内角和定理等 解题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质 知三角形的一个角能否求其它两角．14．在等腰△ABC 中 AB ＝AC 一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分 则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【解析】【分析】题中给出了周长关系 要求底边长 首先应先想到等腰三角形的两腰相等 寻找问题中的等量关系 列方程求解 然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a 底边长为b ．∵D 为AC 的中点∴AD ＝DC ＝12AC ＝12a ． 根据题意得31521122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或31221152a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得107a b =⎧⎨=⎩或811a b =⎧⎨=⎩ 又∵三边长为10 10 7和8 8 11均可以构成三角形．∴这个等腰三角形的底边长为7或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时 有的同学会审题错误 以为15 12中包含着中线BD 的长 从而无法解决问题 有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．15．等腰三角形ABC 中 ,AB AC AB =边上的垂直平分线与AC 边所在的直线相交所得的锐角为40︒ 则A ∠的度数为（ ）A ．140B ．50C ．40或150 D ．50或130【答案】D【解析】当△ABC为锐角三角形时在Rt△ADE中可求得∠A,再由三角形内角和定理可求得∠A;当△ABC为钝角三角形时求得△BAC的外角利用外角的性质求得∠A.【详解】解:当△ABC为锐角三角形时如图,设AB的垂直平分线交线段AC于点D,交AB于点E,∵∠ADE=40°, DE⊥AB,∴∠A=90°-40°=50°当△ABC为钝角三角形时如图设AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,∵∠ADE=40° DE⊥AB,∴∠DAB=50°,∴∠BAC=180°-∠DAB=130°故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键.16．在平面直角坐标系中A（2 3）O为原点若点B为坐标轴上一点且△AOB为等腰三角形则这样的B点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】【分析】分别以O、A为圆心以OA长为半径作圆与坐标轴交点即为所求点B再作线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点也是所求的点B作出图形利用数形结合求解即可．【详解】解：如图满足条件的点B有8个故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定对于底和腰不等的等腰三角形若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．17．已知等腰ABC中AD BC⊥于点D且12AD BC=则ABC底角的度数为（）A．30°或45°B．30°或45°或75°C．15°或45°或75°D．45°或75°【答案】C【解析】【分析】分三种情况讨论①当AB=AC时根据已知条件得出AD=BD=CD从而得出△ABC底角的度数；②当AB=BC∠B为锐角时先求出∠ABD的度数再根据AB=BC求出底角的度数；③当AB=BC∠CBA为钝角时根据AD12=BC AB=BC得出∠DBA=30° 从而得出底角的度数．【详解】①如图1 当AB=AC时．∵AD⊥BC∴BD=CD．∵AD12=BC∴AD=BD=CD ∴底角为45°；②如图2 当AB=BC∠B为锐角时．∵AD12=BC∴AD12=AB∴∠ABD=30°∴∠BAC=∠BCA=75°∴底角为75°．③如图3 当AB=BC∠CBA为钝角时．∵AD12=BC AB=BC∴AD12=AB∴∠DBA=30°∴∠BAC=∠BCA=15°∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质关键是根据题意画出图形注意不要漏解．18．在△ABC中AB=AC若过△ABC的一个顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形则∠BAC的度数为（）A．90°或108°或36°或1807︒B．90°或108°或36°C．90°或54°或36°或5407︒D．90°或54°或36°【答案】A【解析】【分析】分别以点A、点B、点C为顶点做直线将△ABC分成两个等腰三角形由于AB=AC故以点B和以点C 为顶点作的等腰三角形结果是一样的 所以讨论点A 、点B 为顶点的情况 根据等腰三角形的性质找出角的关系 由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】如图1 当过点A 的直线交BC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD CD == 设B x ∠=AB AC =C B x ∴∠=∠=AD BD CD ==BAD B x ∴∠=∠= CAD C x ∠=∠=2BAC x ∴∠=在ABC 中 180B BAC C ∠+∠+∠=︒2180x x x ∴++=︒解得：45x =︒90BAC ∴∠=︒；如图2 当过点A 的直线交BC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD = AC CD = 设B x ∠=AB AC =C B x ∴∠=∠=AD BD =BAD B x ∴∠=∠=2ADB B BAD x ∴∠=∠+∠=AC CD =2DAC ADB x ∴∠=∠=23BAC x x x ∴∠=+=在ABC 中 180B BAC C ∠+∠+∠=︒3180x x x ∴++=︒解得：36x =︒108BAC ∴∠=︒；如图3 当过点B 的直线交AC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD BC ==设BAC x ∠=AD BD =ABD BAC x ∴∠=∠=2BDC ABD BAD x ∴∠=∠+∠=BD BC =2C BDC x ∴∠=∠=AB AC =2ABC C x ∴∠=∠=在ABC 中 180ABC BAC C ∠+∠+∠=︒22180x x x ∴++=︒解得：36x =︒36BAC ∴∠=︒；如图4 当过点B 的直线交AC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形 使AD BD = BC CD = 设BAC x ∠=AD BD =ABD BAC x ∴∠=∠=2BDC ABD BAD x ∴∠=∠+∠=BC CD =2CBD BDC x ∴∠=∠=23ABC x x x ∴∠=+=AB AC =3C ABC x ∴∠=∠=在ABC 中 180ABC BAC C ∠+∠+∠=︒33180x x x ∴++=︒ 解得：180()7x =︒ 180()7BAC ∴∠=︒ 综上 BAC ∠可为90°或108°或36°或1807︒． 故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理 画出符合条件的图形 根据等腰三角形的判定以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．。
专题14 直角三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题14直角三角形中的分类讨论模型模型1、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成Rt ABC △方法：两线一圆具体图解：①当︒=∠90BAC 时，过点A 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（A 除外）②当︒=∠90ABC 时，过点B 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（B 除外）。
③当︒=∠90ACB 时，以AB 为直径作圆，点C 在该圆上（A ，B 除外）。
例1．（2023春·江苏·八年级假期作业）若三角形的三边长是6，8，x ，当2x 的值为时，该三角形是直角三角形.【答案】100或28【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.【详解】①最长边为8时，82-62=2x ，则2x =28；②最长边不是8时，82+62=2x ，则2x =100.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在ABC 中，9040BAC C ∠=︒∠=︒，，AH 、BD 分别是ABC 的高和角平分线，点E 为BC 边上一点，当BDE 为直角三角形时，则CDE ∠=︒．【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC ∠形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵9040BAC C ∠=︒∠=︒，∵BD 平分ABC ∠∴1DBC ABC ∠=∠=∵40C ∠=︒，∴904050CDE ∠=︒-︒=︒②当90BDE ∠=︒时，如图2，∴902565BED ∠=︒-︒=︒，∵BED ∠=∠综上，CDE ∠的度数为50︒或25︒．故答案为：【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，题的关键．A．1个【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：其中的一条腰．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例4．（2023·江苏·九年级假期作业）外部作等腰直角ABC，或(37)，【答案】(74)∵BAC AOB AEC ∠=∠=∠∵AB AC =，∴AOB △≌△同法可得，当AB BC ='，当AB 是等腰直角三角形的斜边时，综上所述，满足条件的点．【答案】2或5/5或2【分析】当90B ED ∠'=︒时，先求出时，作AH BC ⊥，证明出ADH 【详解】解：当90B ED ∠'=︒时，如图，AB AC = ，AE BC ⊥，BE ∴=由折叠得BD B D ='，AB AB '=在Rt B DE ' 中，224)8(x -+=当90B DE ∠'=︒时，如图，作AH 90B DE ∠'=︒ ，ADB ADB ∴∠=∠6DH AH ∴==，BD BH DH ∴=-【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题关键．例8．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，5(1)如图1，若点F 恰好落在边BC 上，判断BDF V 的形状，并证明；(2)如图2，若点F 落在ABC 内，且DF 的延长线恰好经过点C ，CF EF =，求A ∠的度数；(3)若9AB =，当BDF V 是直角三角形时，直接．．写出AD 的长．【答案】(1)BDF V 是等边三角形；见解析(2)40A ∠=︒；(3)AD 的长是3或6【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到AD 的长度．【详解】（1）解：BDF V 是等边三角形，理由如下：∵60B DE BC ∠=︒，∥，∴60ADE B ∠=∠=︒，由折叠可得60FDE ADE ∠=∠=︒，∴60BDF ∠=︒，∴60DFB B BDF ∠=∠=∠=︒，∴BDF V 是等边三角形；（2）解：由折叠可得A DFE ∠=∠，∵60FDE ADE ∠=∠=︒，∴120ADC ∠=︒，∵CF EF =，∴FEC FCE ∠=∠，设FEC FCE x ∠=∠=，则2A DFE FEC FCE x ∠=∠=∠+∠=，在ADC △中，180A ACD ADC ∠+∠+∠=︒，即2120180x x ++︒=︒，解得20x =︒，∴240A x ∠==︒；（3）解：AD 的长是3或6，理由如下：当90BFD ∠=︒时，点F 在ABC 内（如图所示）∵60BDF ∠=︒，∴30DBF ∠=︒，∴2BD DF=由折叠得DF AD =，∴2BD AD =，∴39AD =，∴3AD =；当90DBF ∠=︒时，点F 在ABC 外，同理可得2AD DF BD ==，∴6AD =．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含30︒角的直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．例10．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，已知直线1l 经过点()5,6，交x 轴于点()30A -,，直线2:3l y x=交直线1l 于点B ．(1)求直线1l 的函数表达式和点B 的坐标；(2)求AOB 的面积；(3)在x 轴上是否存在点C ，使得ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标：若不存在，请说明理由．39=+；()1,3(2)9(3)()1,0 y x②当90ABC ∠=︒时，点C 在图中C 的位置：设【答案】（1）见解析；（2）①721y x =--；②()4,2Q 或2022,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）：利用角的数量关系可求得D E ∠=∠，ACD EBC ∠=∠，然后根据（2）①：过点B 作BC AB ⊥交2l 于C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，由（1三角形的性质求出C 的坐标，再利用待定系数法求2l 的解析式即可；②可得：(AAS)AMQ QNP ≌，利用全等三角形的性质建立关系式求解即可．∵45BAC ∠=︒，∴ABC ∵14:43l y x =+，令y =令0x =，则4y =，∴∴437OD =+=．∴C 将点(3,0)A -，(4,7C -当90AQP ∠=︒时，由（1）同理可证：∴QN AM =，即86(2m m -=--【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．课后专项训练A．2【答案】D【分析】由条件可求得t<<两种情况，根据当610三角形的性质求解即可得．△【详解】解：在Rt ABC【答案】90︒或34︒【分析】分当90A ∠=︒时，当【详解】解：当90A ∠=︒时，满足【答案】2483-或【分析】由等边三角形的性质可得角三角形的性质可求【答案】125或247或325①当04t <≤时，3AP t =，BP 在Rt BPQ 中，2BP BQ =，即12②当46t <≤时，312BP t =-，①当04t <≤时，3AP t =，BP AB =在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =②当46t <≤时，312BP t =-，在【答案】3-【分析】分两种情况：即可求得EF；当EF．【答案】103或53【分析】分BMN ∠=【详解】解：由题意得，当90BMN ∠=︒时，【答案】30︒或45︒【分析】分两种情况：当点E在∆外时，由折叠可得：AE在ACB【详解】解：分两种情况：如图，由折叠可得：AE AC =，C ∠= AD 平分CAE ∠，45CAD ∴∠=︒，故答案为30︒或45︒．【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角【答案】4，6或73【分析】由题意分AD =BD 【详解】解：如图，当AD ∵Rt △ABC 中，∠C =90°∵AB =BD ，∴CD BD BC =-如图，当AB =AD 时，∵AB =BD ，∠C =90°，∴综上可得CD 的长为4，【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键12．（2023春·江苏·八年级期末）在为线段AB 上的动点，当【答案】69°或11°【分析】分情况讨论，当∠时，通过三角形内角和求出∠【详解】∵80C ∠=︒，∠∵BD平分∠ABC，∴∠DBE如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画一共可作出6【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．14．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．【答案】45°或135°【分析】分四种情况：若点D 、E 在线段BC 上时；若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时讨论，即可求解．【详解】解：如图，若点D 、E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，AC =EC ，∴∠BAD =∠ADB ，∠CAE =∠AEC ，∴∠BAE +∠DAE =∠CAD +∠C ，∠CAD +∠DAE =∠BAE +∠B ，∴∠BAE +∠CAD +2∠DAE =∠CAD +∠BAE +∠B +∠C ，∴2∠DAE =∠B +∠C ，∵∠BAC =90°，∴∠B +∠C =90°，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴可设∠E =∠CAE =x ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2x ，∵∠BAC =90°，∴∠B =90°-∠ACB =90°-2x ，∵AB =DB ，∴()1180452BAD ADB B x ∠=∠=︒-∠=︒+，∵∠ADB =∠DAE +∠E ，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴∠E =∠CAE ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2∠CAE ，∵AB =DB ，∴∠D =∠BAD ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2∠BAD ，∵∠BAC =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∴2∠CAE +2∠BAD =90°，∴∠CAE +∠BAD =45°，∴∠DAE =∠CAE +∠BAD +∠BAC =135°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，∴可设∠D =∠BAD =y ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2y ，∴∠ABC =2y ，∵∠BAC =90°，∴∠C =90°-2y ，∵AC =EC ，∴∠AEC =∠CAE =()1180452C y ︒-∠=︒+，∵∠AEC =∠D +∠DAE ，∴∠DAE =45°综上所述，∠DAE 的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．15．（2022·广东·八年级课时练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．5类时注意不能遗漏，也不能重复．16．（2022·浙江·义乌市八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC 边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．24＝5，PB′2，是矩形，2，1，17．（2022·河北承德·八年级期末）如图，60ABC ∠=︒，3AB =，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，ABP △形状在发生变化，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当ABP △是直角三角形时，t 的值为______；（2）当ABP △是钝角三角形时，t 满足的条件是__________．19．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝秒；②当△BPQ为直角三角形时，t＝秒．（直接写出结果）(1)点M，N运动几秒后，AMN如存在，请求出此时∆？到直角三角形AM N【答案】(1)12秒(2)存在，，AMN ANM ∴∠=∠，∴∠AB BC AC == ，ΔACB ∴AMC ANB Ð=ÐQ ，C ∠=CM BN ∴=，1236t ∴-=2BN t = ，AM t =，AN ∴如图，若90ANM ∠=︒，由2AN AM =，则2(12当点N 在AC 上运动时，点当点N 在BC 上运动时，如图，当点由ABC ∆时等边三角形知如图，当点M 位于BC 中点处时，由ABC ∆时等边三角形知AM 综上，当3t =或245或15或【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．(1)在图2的ABC 中，20C ∠=︒，110ABC ∠=︒．请在图2中画出ABCDBC ∠的度数；(2)已知20C ∠=︒，在图3中画出两种不同于图1、图2的ABC ，所画ABC 同时满足：①∠C 为最小角；②存在关于点B 的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，标出所画ABC 中各个角的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质和三角形内角和求解即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，直角三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，涉及分类讨论，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质．23．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，OB=OC ，直线AD 交x 轴负半轴于点D ，若△ABD 的面积为27．（1）求直线AD 的解析式；（2）横坐标为m 的点P 在AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为y （y≠0），求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标，若∴EF=-m+4，∴-m+4=3 2③当∠PFE=90°时，如图∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°∴∠PFR=180°-∠FPE-∠∵点R与点E的纵坐标相同，∴∴PR=FR=-m+4=-107+4=18。
人教版初中数学八上 小专题(十三) 等腰三角形中的分类讨论
8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），在 y轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 4 个.
第8题图
图1
（2）当MN与CA的延长线相交，交点为D时，如图2，∠ADN＝40°，则∠DAB＝ 90°－40°＝50°. 综上所述，∠B的度数为65°或25°.
图2
类型三 已知等腰三角形的一边确定另一个顶点时需分类讨论 7.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，若C也
是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C有 8 个.
类型二 当三角形的形状不确定时需分类讨论 5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的度数
为 65°或115° . 6.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN与AC所在直线相交所得的锐角度数为
40°，求∠B的度数. 解：分两种情况讨论： （1）当MN与AC相交，交点为D时，如图1，∠ADM＝40°，则∠A＝90°－40° ＝50°.
D.56°或68°
3.在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为 45°或72° .
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝25°，∠BAC＝100°，点P在△ABC的三边上运 动.当△PAC为等腰三角形时，求其顶角的度数. 解：∵∠ABC＝25°， ∠BAC＝100°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝55°. 分四种情况讨论： （1）如图1，当点P在AB上，且AP＝AC时，顶角为∠A＝100°；
图1
（2）如图2，当点P在BC上，且AC＝PC时，顶角为∠C＝55°；
图2 （3）如图3，当点P在BC上，且AC＝AP时，顶角为∠CAP＝180°－2∠C＝ 70°；
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【中考数学必备专题】分类讨论专题：三
角形中的分类讨论
一、单选题(共1道，每道20分)
1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）
A.75°或15°
B.36°或60°
C.75°
D.30°
答案：A
解题思路：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，
②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
二、填空题(共5道，每道20分)
1.（2011四川凉山）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若
DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是_______．
答案：或
解题思路：首先根据题意作图，注意分为：E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
2.在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是________.
答案：-4或6
解题思路：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
3.如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝
2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．
答案：80或120
解题思路：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问
题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点Bʹ，第二次交直角边AC于Bʺ，此时DBʹ=DB，DBʺ=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDBʹ的度数，在Rt△BʺCD中，解直角三角形求∠CDBʺ，可得旋转角∠BDBʺ的度数．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
4.腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为______．
答案：6或2或4
解题思路：分为①底边上的高，②腰上的高——在内部，③腰上的高——在外部；
试题难度：三颗星知识点：勾股定理
5.已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，O为边BC的中点，把△ABC绕点O顺时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始△ABC的边上，那么m=________,
答案：40或140
解题思路：分为点B落在AB上，点B落在AC上两种情况，根据等腰三角形的性质分别求m的值．
①当△ABC绕O点旋转到△AʹBʹCʹ位置时，Bʹ落在AB上，
则OB=OBʹ，旋转角∠BOBʹ=m=180°-2∠B=40°，
②当△ABC绕O点旋转到△AʺBʺCʺ位置时，Bʺ落在AC上，
同理可得∠BʺOC=40°，
旋转角∠BOBʺ=m=180°-∠BʺOC=140°，故答案为：40或140．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论。