三角形中的分类讨论(含答案)
【原创】相似三角形的分类讨论问题
∴ BP 2或 BP 12
故综上，当BP= 28 或 BP=2 或 BP=12 时，△ABP与△PCD相似
5
按不同的对 应边分类
1.点P是△ABC边AB上一点，过P作直线（不 与AB重合）与AC相交于Q点，使得△APQ与 △ABC相似，则满足条件的直线PQ有几条。
A
﹒P Q
B C
2条
A
﹒P
Q
A
﹒D C B
解：存在D点，使△ADC ∽△ACB， 理由如下： △ADC ∽△ACB
AC AD AB AC
AC2 AD • AB 即36 = 9AD． AD = 4．
1.如图，已知△ABC中，AC=8，AB=15， 在AB上取一点D,使得AD=3。若在AC上取一 点E，使得△ADE和△ABC相似，求出AE的长。
相似三角形中的分类讨论
如果一个三角形的三边长分别为5,12,13，与 其相似的三角形的最长边是39，那么较大的三角 形的周长是多少？
变式训练:
如果一个三角形的三边长分别为5,12,13， 与其相似的三角形的一边是39，那么较大的 三角形的周长是多少？
2.如图，已知△ABC中，AC=6，AB=9，问： 边AB上是否存在一点D,使得△ACD∽△ABC， 如果存在，请求出AD的长。
﹒A
D
E
△ADE和△ABC
AD AE AB AC
专题11 等腰三角形中的分类讨论 (原卷版)
专题11 等腰三角形中的分类讨论
【知识点睛】
❖ 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的
长后，一定要看这三边能否组成三角形；
❖ 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论 设等腰三角形中有一个角为α时 对应结论 当α为顶角时
底角=α2190-︒ 当α为直角或钝角时
不需要分类讨论，该角必为顶角 当α为锐角时
α可以为顶角；也可以为底角 当等腰三角形的一个外
角为α时
对应结论 若α为锐角、直角
α必为顶角的外角 若α为钝角
α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角
❖ 动态环境下的等腰三角形存在性问题
【类题训练】
1．已知△ABC 是等腰三角形，它的周长为20cm ，一条边长6cm ，那么腰长是 cm ．
2．（1）等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是 ．
（2）等腰三角形中有一个角是100°，则它的另两个角是 ．
（3）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为 ．
3．如果等腰三角形的周长是35cm ，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm ，则这个等腰三角形的底边长是 ．
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
5．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个
6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）
A．5B．6C．7D．8
人教版初中数学八上 小专题(六) 三角形与多边形中的分类讨论
别为 4，8，8 .
3.在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12 cm与15 cm两部分，求△ABC的各边长.
解：如图，∵BD为△ABC的中线， ∴AD＝CD. 设AD＝CD＝x cm，则AB＝2x cm. 分两种情况讨论：
（1）当AB＋AD＝12 cm时， 即x＋2x＝12，解得x＝4. 此时BC＋x＝15，解得BC＝11 cm. 此时△ABC的三边长分别为AB＝AC＝8 cm，BC＝11 cm，能构成三角形；
的度数为 20°或40° . 5.（2022·哈尔滨中考）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝
20°，则∠BAC的度数为 80°或40° .
6.已知在非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD，CE交于点H，求∠BHC的度数.
解：分两种情况讨论： （1）如图1，当△ABC是锐角三角形时， ∵BD，CE是△ABC的高，
（2）当AB＋AD＝15 cm时， 即x＋2x＝15，解得x＝5. 此时BC＋x＝12，解得BC＝7 cm. 此时△ABC的三边长分别为AB＝AC＝10 cm， BC＝7 cm，能构成三角形. 综上所述，△ABC的各边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
类型二 三角形高的位置不确定时需分类讨论 4.在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD
“分类讨论”在等腰三角形中的应用
“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：
一、要讨论谁是底边或腰长
例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）
A. 12 B 17 C 19 D 17或19
分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．
解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成
立；（2）当3x－2＝6－2x时，即
8
5
x=，则三边长为
141714
555
、、，由于
141417
555
+>，
所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.
说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有
2
22
b b a
a
+
<<．
二、要讨论腰与底谁较大
例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．
浙教版八年级上第2章 特殊三角形小专题：等腰三角形中的分类讨论(含答案)
小专题(二)等腰三角形中的分类讨论
类型1对顶角和底角的分类讨论
对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论、在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等、
1、等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
类型2对腰长和底长的分类讨论
在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论、判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边、
2、(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm，一边长等于7 cm，求它的周长；
(2)等腰三角形的一边长等于8 cm，周长等于30 cm，求其他两边的长、
解：(1)周长为19 cm或20 cm.
(2)其他两边的长为8 cm，14 cm或11 cm，11 cm.
3、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长、
解：如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm 、哪一部分是12 cm ，因此，应有两种情形、
设这个等腰三角形的腰长为x cm ，底边长为y cm ，根据题意，得
⎩
专题训练 等腰三角形中的分类讨论
专题复习——等腰三角形中的分类讨论
例1. 已知等腰△ABC中，有一个内角为40o，则另两个内角分别为________________．例2. 在△ABC中，∠A的外角等于110°，△ABC是等腰三角形，那么∠B＝。例3．等腰三角形两内角的度数比为2∶1，则顶角为。
例1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是
例2. 等腰三角形的周长为22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为_________.
例3. 一等腰三角形的周长是25cm，作某一腰上的中线分得两个三角形的周长一个比另一个长5cm，则腰长是
例1. 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,它的底角为
例2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于20︒,则等腰三角形的顶角度数为
例1. 如图，点B在直线L上，点A在直线L外，在直线L上找点C，使得△ABC为等腰三角形。（要求保留作图痕迹，写清点C的个数）
例2．在直角坐标系中，O点为坐标原点，A（2，-4），动点B在坐标轴上。则满足△OAB 为等腰三角形的有B点共有个
例3. P为直线
1
:3
2
l y x A
=-上一点，（2，0），求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标.
等腰三角形中的分类讨论练习
姓名：日期：指导老师：侯尧
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质以外，还具有许多独特的性质，最主要的体现就是它的两底角相等，两腰相等，正是由于具有这两个相等，所以在解等腰三角形的有关题目时必须全面思考，分类讨论，以防漏解。下面就常见题型举例说明如下：
一、角不确定时需分类讨论
北师大版八年级数学下册4.特色题型专题：分类讨论思想在三角形中的运用(附答案)
特色题型专题：分类讨论思想在三角形中的运用
1．(2017·河南中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为__________．
第1题图第2题图第3题图2．★(2017·河南模拟)如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝1，F是边BC上不与B，C 两点重合的动点，直线l垂直平分BF，垂足为点D.当△AFC是等腰三角形时，BD的长为________．
3．★(2017·开封一模)如图，在长方形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处．若△CEF为直角三角形，则DE的长为________．
4．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝23，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′.当E，A′，C三点在一条直线上时，求DF的长．
5．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的点A′处．当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，求AD的长．
6．★如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P为AD上一动点，连接BP，把△ABP 沿BP折叠，使A落在A′处．当△A′DC为等腰三角形时，求AP的长．
参考答案与解析 1.
2＋1
2
或1 解析：应分两种情况进行讨论：(1)如图①，当∠B ′MC ＝90°时，点B ′与点A 重合，此时M 是BC 的中点，∴BM ＝1
专题02 直角三角形中分类讨论问题(老师版)
专题2直角三角形中分类讨论问题
【典型例题】
1．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴
上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
【答案】（0，0），0），（﹣2，0）
【解析】
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
22222
∴+++=+，解得，m P0）；
22(
m m
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
【专题训练】
1．（2021·江苏兴化·八年级期中）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，点D 、E 在边BC 所在的直线上，且AB =DB ，AC =EC ，则∠DAE 的度数为________．
【答案】45°或135°
【解析】
【分析】分四种情况：若点D 、E 在线段BC 上时；若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时讨论，即可求解．
三角形中的分类讨论(附答案)
【中考数学必备专题】分类讨论专题：三角形中
的分类讨论
一、单选题(共1道，每道20分)
1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）
A.75°或15°
B.36°或60°
C.75°
D.30°
答案：A
解题思路：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，
②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
二、填空题(共5道，每道20分)
1.（2011四川凉山）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是_______．
答案：或
解题思路：首先根据题意作图，注意分为：E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
2.在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是________.
答案：-4或6
解题思路：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
3.如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m ＝______．
答案：80或120
解题思路：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，第二次交直角边AC 于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD 中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．
初中数学三角形中的分类讨论思想
初中数学三角形中的分类讨论思想
三角形是平面几何中最简单、最基本的图形，也是同学们最熟悉的图形，中考中常碰见这一类题。这类题常常不给出几何图形，很多同学在做题时不知道分类讨论，导致结论不完整。为帮助同学们渡过这个难关，现将有关三角形中需要分类讨论的情况总结如下，供同学们学习时参考。
一、三角形的形状不定需要分类讨论
例1. 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2
=·，则∠BCA 的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。
如图1，当△ABC 的高在形内时，由AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD ，进而可以证明△ABC 为直角三角形。由∠B ＝25°。可知∠BAD ＝65°。所以∠BCA ＝∠BAD ＝65°。
A
图1
如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形。
A
B C D
图2
由AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD 所以∠B ＝∠CAD ＝25° ∠BCA ＝∠CAD ＋∠ADC ＝25°＋90°＝115°
二、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例2. 已知x ，y 为直角三角形两边的长，满足x y y 224560-+
-+=，则第三边的长为_____________。
解析：由x y y 224560-+-+=，可得x 240-=且y y 2560-+=
分别解这两个方程，可得满足条件的解x y 1122==⎧⎨⎩，或x y 2223==⎧⎨⎩ 由于x ，y 是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。
八年级数学寒假辅导讲义专题03 点击三角形中的分类讨论(解析版)
专题03 点击三角形中的分类讨论
【题型一】等腰三角形中的分类讨论
顶（底）角不确定
【例1－1】（2020·徐州月考）等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与另一腰的夹角是（）度
A．25或10B．40或10C．25或40D．60
【答案】B.
【解析】解：当顶角为50°时，AB=AC，∠A=50°，BD是AC边上的高，
一腰上的高与另一腰的夹角∠ABD=90°-∠A=40°；
当底角为50°时，AB=AC，∠ABC=∠C=50°，BD是AC边上的高，
∴∠A=180°－∠ABC－∠C=80°
一腰上的高与另一腰的夹角∠ABD=90°
-∠A=10° 故答案为：B ．
【变式1－1】（2020·贵州铜仁市月考）若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（ ）
A ．40°、100°
B ．70°、70°
C ．40°、100°或70°、70°
D ．以上都不对
【答案】C.
【解析】解：①当这个角为顶角时，底角=(180°-40°)÷2=70°；
②当这个角是底角时，底角=40°，顶角为180°-2×40°=100°；
综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．
故答案为：C ．
底（腰）不确定
【例2－1】（2020·广西柳州市期中）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于（ ）
A ．12
B ．12或15
C ．15
D ．15或18 【答案】C.
【解析】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，
∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；
②当腰为3时，3+3=6，这样的三角形不存在；
2023年九年级中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练
中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练一．选择题（共10小题）
1．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，则这个等腰三角形的周长为（）
A．23 B．19.5或23
C．9或23 D．9或19.5或23
2．已知方程x 2 -6x+8=0的根，分别是等腰三角形的底边和腰长，则该三角形的周长为（）
A．6 B．10 C．8 D．12
4．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）
A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定5．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x 2 -10x+m=0的两个实数根，则m的值是（）
A．24 B．25 C．26 D．24或25
为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）
A．70 B．55°C．70°或55°D．60°
8．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）
A．80°、80°、20°
B．80°、50°、50°
C．80°、80°、20°或80°、50°、50°
D．以上答案都不对
9．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°．若点M
是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合
条件的点M有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别是（）
A．50°，50°，50°
有关等腰三角形的分类讨论专题
有关等腰三角形的分类讨论专题：
1．（1）等腰三角形有两边长为4cm和7cm，则周长为厘米。
（2）等腰三角形有两边长为3cm和7cm，则周长为厘米。
（3）等腰三角形的周长为24cm，一边长为10cm，则其余两边长为厘米。
（4）等腰三角形的周长为24cm，一边长为6cm，则其余两边长为厘米。
总结：等腰三角形涉及到边的问题时，可以按照“腰”和“底边”来分类讨论，但要利用三角形形三边关系来判断三角形是否存在。
巩固：（1）等腰三角形一边长为12cm，且是另一边长的，那么这个三角形的周
长是厘米。
（2）如果等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成15和6两部分，则底边的长是。
2．在△ABC中，AB=AC，（1）若∠A=30°，则∠B= ，∠C= 。
（2）若∠B=30°，则∠A= ，∠C= 。
（3）若有一个内角是30°，则其余两个内角的度数为。
（4）若有一个内角是120°，则其余两个内角的度数为。
总结：在等腰三角形内角求解的问题中，可以按“顶角”、“底角”来分类讨论，但要利用三角形内角和判断三角形是否存在。
巩固：如果等腰三角形的两个内角的比为4：1，求等腰三角形的顶角的度数。3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为度。
总结：等腰三角形中涉及“高”的内角求解问题，可以按照三角形类型分类讨论。
巩固：
（1）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与底边的夹角为度。
（2）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与另一腰的夹角为度。
中考数学专题复习《三角形中的分类讨论、存在性问题》测试卷(带答案)
中考数学专题复习《三角形中的分类讨论 存在性问
题》测试卷(带答案)
学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________
一 单选题
1．如图 EF 是ABC 的中位线 BD 平分ABC ∠交EF 于点D 若31AE DF ==， 则边BC 的长为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
2．如图 三个村庄A B C 构成ABC 供奶站须到三个村庄的距离都相等 则供奶站应建在（ ）
A ．三条边的垂直平分线的交点
B ．三个角的角平分线的交点
C ．三角形三条高的交点
D ．三角形三条中线的交点
3．若等腰三角形一个外角等于100︒ 则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ） A ．40,40︒︒ B ．80,20︒︒ C ．50,50︒︒ D ．80,20︒︒或50,50︒︒ 4．一根30 m 长的绳子 折成三段 围成一个三角形 其中一条边的长度比较短边长7m 比较长边短1m 则它是（ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．无法判断 5．如图 在ABCD 中 点M N 分别是,AB AD 上的点 且BN DM = 其交点为P 设,CPB CPD αβ∠=∠= 则（ ）．
A ．αβ>
B ．αβ=
C ．αβ<
D ．不能确定 6．如图 ACB A CB ''△≌△ 30BCB '∠=︒ 则ACA ∠'的度数为（ ）
A ．20︒
B ．30︒
C ．35︒
D ．40︒
二 填空题
7．如图 长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上 固定两端A 和B 然后把中点C 向上拉升3cm 到D 则橡皮筋被拉长了 cm ．
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 等腰三角形中的分类讨论(解析版)
等腰三角形中的分类讨论
1．已知等腰三角形的两边长分别为a b且a b b﹣4|＝0 则此等腰三角形的周长为（）
A．7B．10C．11D．10或11
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得a-3=0 b-4=0
解得a=3 b=4
①4是腰长时三角形的三边分别为4、4、3
∵4+4＞3
∴能组成三角形4+4+3=11
②4是底边时三角形的三边分别为3、3、4
能组成三角形周长=3+3+4=10
所以三角形的周长为11或10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质绝对值非负数偶次方非负数的性质根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
2．已知a b是等腰三角形的两边长且a b()2
+-=则此等腰三角
23130
a b
形的周长为（）．
A．8B．6或8C．7D．7或8
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
()2
23130
a b
+-=
∴
23+50
23130
a b
a b
-
⎧
⎨
+-
⎩
＝
＝
解得
2
3
a
b
⎧
⎨
⎩
＝
＝
①2是腰长时三角形的三边分别为2、2、3 能组成三角形周长=2+2+3=7；
②2是底边时三角形的三边分别为2、3、3 能组成三角形周长=2+3+3=8
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质绝对值与算术平方根的非负性根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
专题四：全等三角形的分类讨论
专题四：全等三角形的分类讨论
1、如图, 一次函数 2.3 的图形与坐标轴分别交于点A、B两点，将厶AOB沿直线CD折叠，使点A和点B重合，直线CD交AB于点D.
(1)求点C的坐标；
(2)在射线DC上求一点P使得PC=AC,求出点P的坐标；
(3)在坐标平面内，是否存在点Q (除点C夕卜)，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ ACD全等？若存在，求出所有符合的点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
2、如图，再平面直角坐标系中，经过A(- 1,0) ,B(3,0)两点的抛物线交y轴于点C(0, -43) •点
3
D在x轴的负半轴上，OD =3,直线DE交y轴于点E (0, J3 )，与抛物线对称轴交于点F.
(1)求经过A, B, C三点的抛物线的解析式；
(2)若点P为直线DE上的一个动点，当△ ABP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点Q,使以Q, E, F为顶点的三角形与△ BEC全等？若存
在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
3、如图，在平面直角坐标系中，x 轴上有两点A (—2,0), B (2,0),以AB 为边在x 轴上方作正 方形ABCD ，点E 是AD 边的中点，F 是x 轴上一动点，连结EF ，过点E 作EG 丄EF ,交BC 所 在的直线与点G ,连结FG •当点F 在x 轴上运动时，是否存在点F,能够使得以点E,F,G 为顶点的 三角形和以B,F,G 为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的点 F 的坐标，若不存在，请说明理 由•
⑴求AC 所在直线的函数解析式;
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【中考数学必备专题】分类讨论专题：三
角形中的分类讨论
一、单选题(共1道，每道20分)
1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）
A.75°或15°
B.36°或60°
C.75°
D.30°
答案：A
解题思路：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，
②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
二、填空题(共5道，每道20分)
1.（2011四川凉山）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若
DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是_______．
答案：或
解题思路：首先根据题意作图，注意分为：E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
2.在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是________.
答案：-4或6
解题思路：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
3.如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝
2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．
答案：80或120
解题思路：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问
题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点Bʹ，第二次交直角边AC于Bʺ，此时DBʹ=DB，DBʺ=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDBʹ的度数，在Rt△BʺCD中，解直角三角形求∠CDBʺ，可得旋转角∠BDBʺ的度数．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论
4.腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为______．
答案：6或2或4
解题思路：分为①底边上的高，②腰上的高——在内部，③腰上的高——在外部；
试题难度：三颗星知识点：勾股定理
5.已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，O为边BC的中点，把△ABC绕点O顺时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始△ABC的边上，那么m=________,
答案：40或140
解题思路：分为点B落在AB上，点B落在AC上两种情况，根据等腰三角形的性质分别求m的值．
①当△ABC绕O点旋转到△AʹBʹCʹ位置时，Bʹ落在AB上，
则OB=OBʹ，旋转角∠BOBʹ=m=180°-2∠B=40°，
②当△ABC绕O点旋转到△AʺBʺCʺ位置时，Bʺ落在AC上，
同理可得∠BʺOC=40°，
旋转角∠BOBʺ=m=180°-∠BʺOC=140°，故答案为：40或140．
试题难度：三颗星知识点：分类讨论