高二数学上册双基调研检测试题24

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2023-2024学年广东省江门市高二上学期调研数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省江门市高二上册调研数学模拟试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足12a =，()1122n n a n n a +-=-≥∈N 且，则该数列的第5项为（）A ．54B ．65C ．45D ．56【正确答案】B【分析】根据递推公式计算可得答案.【详解】因为12a =，()1122n n a n n a +-=-≥∈N 且，所以211132222a a =-=-=，321242233a a =-=-=，431352244a a =-=-=，541462255a a =-=-=，故选：B2．已知()4,9A ，()6,3B 两点，以线段AB 为直径的圆的标准方程是（）A ．()()225610x y +++=B ．()()225620x y +++=C ．()()225620x y -+-=D ．()()225610x y -+-=【正确答案】D【分析】由中点坐标公式求出AB 的中点坐标即为圆心，再根据两点间的距离公式求出AB 的长即直径，即可求得圆的标准方程.【详解】由(4,9)A ，(6,3)B ，知AB 的中点坐标为()5,6，且AB ==，则以线段AB为直径的圆的圆心坐标为()5,6，半径r =所以圆的标准方程为22(5)(6)10x y -+-=，故选：D320y ++=的倾斜角及在y 轴上的截距分别是（）A ．60︒，2B ．60︒，2-C ．120︒，2-D ．120︒，2【正确答案】C【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解.20y ++=化成斜截式2y =-，可知直线的斜率k =120︒，直线在y 轴上的截距为2-，故选：C4．若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．a c + ，a ，- a cB ．c ，c b + ，c b- C ．a b +，a b - ，c D ．a b c +-r r r ，a b c ++ ，c【正确答案】C【分析】根据基底的性质，结合共面向量的性质逐一判断即可.【详解】假设a c + ，a ，-a c 是共面向量，则存在(),x y 使()()a x a c y a c =++- ，因为{},,a b c构成空间的一个基底，所以有112x y x y x y=+⎧⇒==⎨=⎩，因此假设成立，故选项A 不符合题意；假设c ，c b + ，c b -是共面向量，则存在(),x y 使()()c x c b y c b =++- ，因为{},,a b c 构成空间的一个基底，所以有112x y x y x y=+⎧⇒==⎨=⎩，因此假设成立，故选项B 不符合题意；假设a b +，a b - ，c 是共面向量，则存在(),x y 使()()c x a b y a b =++- ，即()()()()c x a b y a b a x y b x y =++-=++-，因为{},,a b c构成空间的一个基底，所以上式向量式无实数解，因此假设不成立，故选项C 符合题意；假设a b c +-r r r ，a b c ++ ，c是共面向量，则存在(),x y 使()()c x a b c y a b c =+-+++ ，因为{},,a b c 构成空间的一个基底，所以有111,022x y x y x y =-+⎧⇒=-=⎨+=⎩，因此假设成立，故选项D 不符合题意，故选：C5．已知M 是抛物线216y x =上的一点且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=︒，则FM 等于（）A ．16B ．20C ．4D ．8【正确答案】A【分析】作出抛出线与焦半径MF 及辅助线,MN FE ，利用直角三角形30︒角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于FM 的方程，从而求得FM 的值.【详解】如图所示，抛物线的准线:l 4x =-与x 轴相交于点P ，作MN l ⊥于N ，过F 作FE MN ⊥于E ，因为60xFM ∠=︒，所以30EFM =︒∠，设||FM m =，在EFM △中，22FM mEM ==，显然8NE PF ==，又由抛物线的定义得MN MF =，所以82mm +=，解得：16m =，即16FM =.故选：A.6．直线0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），则下列选项正确的是（）A ．无论,AB 取任何值，直线都存在斜率B ．当0A =，且0B ≠时，直线只与x 轴相交C ．当0A ≠，或0B ≠时，直线与两条坐标轴都相交D ．当0A ≠，且0B =，且0C =时，直线是y 轴所在直线【正确答案】D【分析】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当0A ≠，且0B =时，直线斜率不存在，故错误；对于B 选项，当0A =，且0B ≠，0C ≠时，直线只与y 轴相交；当0A =，且0B ≠，0C =时，直线与x 轴重合，故错误；对于C 选项，当0A ≠，且0B ≠时，直线与两条坐标轴都相交，故错误；对于D 选项，当0A ≠，且0B =，且0C =时，直线方程为0x =，即y 轴所在直线，故正确.故选：D7．已知{}n a 为等差数列，13545a a a ++=，24633a a a ++=，则10S 等于（）A ．250B ．410C ．50D ．62【正确答案】C【分析】利用等差数列的性质，求出首项和公差，由此能求出10S ．【详解】{}n a 为等差数列，13545a a a ++=，24633a a a ++=，1353345a a a a ∴++==，2464333a a a a ++==，315a ∴=，411a =，公差434d a a =-=-，13215823a a d =-=+=，101104523045450S a d ∴=+=-⨯=．故选：C8．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，O 为坐标原点，B ，C 两点在M 上，若四边形OABC 为平行四边形，且30OAB ∠=︒，则椭圆M 的离心率为（）A．3B．3C．2D【正确答案】A【分析】根据题意可得直线OC的方程为3y x =，直线AB的方程为)3y x a =+，通过联立方程组可得C x 、同B x ．根据OA CB a ==，即C B x x a -=化简即可求解．【详解】如图所示，四边形OABC 为平行四边形，30OAB ∠=︒，则tan 303OC k =︒=，所以直线OC的方程为：3y x =，直线AB的方程为：)3y x a =+，联立22221y x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：C x =同理联立)22221y x a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化为：()22234223230a b x a x a a b +++-=．解得32322222333B a ab a x a a b a b -=-=++．因为OA CB a ==，即C B x x a -=，232233ab a aa b-=+．化简为：3a b=．所以椭圆的离心率3cea===．故选：A．二、多选题9．已知曲线方程22:121x yCm m-=++，则下列说法正确的是（）A．若0m=，则曲线C的渐近线方程为y=B．若3m=-，则曲线C的离心率为2C．“2m<-”是“曲线方程C表示双曲线”的充分不必要条件D．“21m-<<-”是“曲线方程C表示椭圆”的充要条件【正确答案】BC【分析】通过m的值，依据双曲线的渐近线方程判断A；由双曲线的离心率可判断B；由双曲线的标准方程可判断C；由椭圆的标准方程判断D.【详解】对于A，方程22:12xC y-=表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为2y x=±，故A 错误；对于B，方程22:12yC x-=，表示焦点在y轴上的双曲线，则2222,1,3a b c===，所以离心率为e==B正确；对于C，方程22:121x yCm m-=++表示双曲线，则()()120m m-++<，解得1m>-或2m<-，故“2m<-”是“曲线方程C表示双曲线”的充分不必要条件，故C正确；对于D，方程22:121x yCm m-=++表示椭圆，则()102021mmm m⎧+<⎪+>⎨⎪+≠-+⎩，解得21m-<<-且32m≠-，故“21m-<<-”是“曲线方程C表示椭圆”的必要不充分条件，故D错误；故选：BC10．已知数列{}n a满足11a=，()123nnnaa na++=∈+N，则（）A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a -=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--【正确答案】AD 【详解】因为112323n n n n a a a a ++==+，所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列，即11342n n a -+=⨯，所以1231n n a +=-，所以1123n n a +=-，所以{}n a 为递减数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()231232323n n T +=-+-+⋅⋅⋅+-()122222n=++⋅⋅⋅+-212322323412nn n n n +-=⨯⨯-=---．故选：AD ．11．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点()5,0A -，()5,0B 距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线是“好曲线”的有（）A ．50x y +-=B ．24x y=C ．221259x y +=D ．229x y +=【正确答案】AC【分析】根据题意可知M 的轨迹为：221169x y -=，即与其有公共点的曲线都是“好曲线”，依次判断各选项，即可得到结论.【详解】由题意知：M 到平面内两点(5,0)A -，(5,0)B 距离之差的绝对值为8，由双曲线定义知，M 的轨迹以,A B 为焦点的双曲线且4,5a c ==，所以3b =，方程为：221169x y -=，∴“好曲线”一定与221169x y -=有公共点，对于A ，直线50x y +-=过点(5,0)，符合题意，故A 正确；对于B ，方程代入221169x y -=，可得293604y y -+=，其中8144360∆=-⨯⨯<，方程无解，不符合题意，故B 错误；对于C ，椭圆221259x y +=的右顶点为(5,0)，符合题意，故C 正确；对于D ，圆229x y +=的圆心为(0,0)，半径3r =，与双曲线没有公共点，不符合题意，故D 错误；故选：AC12．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AA AD ===，则下列命题为真命题的是（）A ．若直线1AC 与直线CD 所成的角为ϕ，则5tan 2ϕ=B ．若经过点A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等，且l 与面11BCC B 交于点M，则AM =C ．若经过点A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则sin 3θ=D ．若经过点A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则sin 2μ=【正确答案】ABC【分析】A 根据长方体的性质找到直线1AC 与直线CD 所成角的平面角即可；B 构建空间直角坐标系，根据线线角相等，结合空间向量夹角的坐标表示求1cos ,AA AM <> =cos ,AB AM <> =cos ,AD AM <>，即可求M 坐标，进而确定线段长；C 、D 将长方体补为以4为棱长的正方体，根据描述找到对应的直线m 、平面β，结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值.【详解】解：对于A ：如下图，直线1AC 与直线CD 所成角，即为直线1AC 与直线AB 所成角1BAC ∠，则11tan 5tan 2BC BAC AB ϕ∠===，故A正确；对于B ：构建如下图示的坐标系，过A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等，与面11BCC B 交于(,2,)M x z 且,0x z >，又1(0,0,3),(0,2,0),(4,0,0)AA AB AD ===，则1cos ,AA AM <>==cos ,AB AM <>==cos ,AD AM <>= 2x z ==，则AM =B正确；对于C ：如下图，过A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m 为以4为棱长的正方体的体对角线AM，故sin θ=，故C正确；对于D ：如下图，过A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，只需面β与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面EDF，故cos EDF ADE S S μ==sin 3μ=，故D 错误.故选：ABC 三、填空题13．若双曲线的焦点在y 轴上，渐近线方程为2y x =±，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为______．【正确答案】221164y x -=【分析】设双曲线的方程为：()222210,0y x a b a b -=>>，进而得224a b b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，再解方程即可得答案.【详解】解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以，设双曲线的方程为：()222210,0y x a b a b-=>>，因为渐近线方程为2y x =±，虚轴长为4，所以224a b b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得4,2a b ==，所以，双曲线的标准方程为：221164y x -=故221164y x -=14．已知点B 是点()3,1,2A -在坐标平面Oxy 内的射影，则OB的值是______．【分析】先求得点()3,1,2A -在坐标平面Oxy 内的射影B ，再利用两点间的距离求解.【详解】因为点()3,1,2A -在坐标平面Oxy 内的射影是()3,1,0B -，所以OB == 故答案为15．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔10min 发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是60km /h ，则这个车队当天一共行驶了______千米？【正确答案】3450【分析】通过分析，这15辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解即可.【详解】由题意知，第一辆车行程为()191460300-⨯=km ，且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走10601060⨯=km ，这15辆车的行驶路程可以看作首项为300，公差为-10的等差数列，则15辆车的行程路程之和为()151514300151034502S ⨯=⨯+⨯-=（km ）.故3450.16．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面s 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面t 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ，2b ，2c ，则下列选项正确的是______（填写序号）．①a c s R -=+；②a c t R +=+；③2a s t =+；④b =【正确答案】①②④【分析】结合题意和给定的椭圆的图形，推得,,,,s t a c R 之间的关系，逐项判定各选项，即可求解.【详解】由题意，近地点A 距地面s 千米，远地点B 距地面t 千米，可得s a c R =--，t a c R =+-，即a c s R -=+，a c t R +=+，故①②正确；由a c s R a c R t-=+⎧⎨+=+⎩，可得22a s t R =++，故③不正确；又由b =.故①②④四、解答题17．已知ABC 的三个顶点分别是点()1,1A ，()2,2B -，()3,3C -．(1)求边AC 上的高所在直线的方程；(2)求ABC 中边AC 上的高的长度．【正确答案】(1)260x y --=(2)5【分析】(1)根据两点坐标求斜率公式求出AC k ，由垂直直线的斜率之积为-1求出AC 边上的高所在直线斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；(2)由(1)，利用直线的点斜式方程求出直线AC 方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】（1）∵直线AC 的斜率为311312AC k -==---，设AC 边上的高所在直线斜率为k ，由1AC k k ⋅=-，则2k =，所以AC 边上的高所在直线方程为()222y x +=-，即260x y --=；（2）由(1)得直线AC 的方程为()1112y x -=--，即230x y +-=，设点()2,2B -到直线AC 的距离为h ，则22243512h --==+，故ABC 边AC 上的高为5．18．如图，四面体OABC 中，2OA OB OC ===，90AOB ∠=︒，60AOC BOC ∠=∠=︒，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c= (1)用,,a b c 表示向量MN ；(2)求MN ，AB 所成角的余弦值．【正确答案】(1)111222a b c -++ 63【分析】（1）直接通过向量的线性运算表示出MN 即可；（2）先计算出MN AB ⋅ ，再求出MN 和AB ，按照夹角公式即可求解.【详解】（1）()1122MN MA AB BN OA OB OA BC =++=+-+()()1111122222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 111222a b c =-++ （2）224a a == ，cos 0a b a b AOB ⋅=∠= ，224b b == ，224c c == ，cos 2a c a c AOC ⋅=∠= ，cos 2b c b c BOC ⋅=∠= ，由（1）知MN 111222a b c =-++ ，AB OB OA a b =-=-+ ，()2211111112021142222222a b c b a a b b a c b c a ⎛⎫-++⋅-⋅+-⋅+⋅=-+-+= ⎪⎝⋅=-+=⎭，MN ===，又90AOB ∠=︒，AB = ，故MN ，AB所成角的余弦值为3MN AB MN AB⋅=⋅ .19．已知数列{}n a 为递增的等比数列，12a =，且2312a a +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)2n n a =；(2)()1212n n T n +=-+【分析】（1）根据已知条件及等比数列的通项公式即可求解；（2）利用（1）的结论及数列求和中的错位相减法即可求解.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，()0q >，则因为12a =，且2312a a +=，所以()()112112a q q q q +=+=，解得2q =或3q =-（舍去），所以数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -=⨯=.（2）由（1）可得2n n a =，所以2n n n b n a n =⋅=⋅，所以()1231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+--⨯+⨯①()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②由-①②，得123122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⨯()1212212n n n +⨯-=-⨯-()12212n n n +=--⨯，所以()1212n n T n +=-+.20．已知O 是坐标原点，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)证明：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(2)求OAB 面积S 的最小值．【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】(1)设()11,A x y ，()22,B x y ，取AB 的中点M ，根据抛物线的定义表示出点M 到准线的距离d ，由d r =即可证明；(2)若直线l 的斜率不存在，易求得122OAB S AB OF =⋅=△；若直线l 的斜率存在，设其方程为()1y k x =-()0k ≠，联立抛物线方程，利用韦达定理和完全平方公式计算即可求出OAB S .【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点(1,0)F ，且x 非负，设()11,A x y ，()22,B x y ，取AB 的中点M ，则直径AB 的中点，即圆心M 坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义得，11FA x =+，21FB x =+，∴点M 到准线=1x -的距离为：1212x x d +=+，∴圆的半径1211222FA FB x x r AB d ++===+=，∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．（2）若直线l 的斜率不存在，其方程为1x =，代入24y x =，得2y =±，所以AB 4=，此时，1114222OAB S AB OF =⋅=⨯⨯=△.若直线l 的斜率存在，设其方程为()1y k x =-()0k ≠，联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，消x 得2440ky y k --=，216160k ∆=+>，则124y y k +=，124y y =-，1212OAB S OF y y =⋅⋅-=△2==>，综上所述，2OAB S ≥△，故OAB 面积的最小值是2．21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11AA B B ，AC BC =，四边形11AA B B 是边长为2的菱形，160BAA ︒∠=.(1)证明：1AB AC ⊥；(2)若点1B 到面1ACA 的距离为3，求平面1BA A 和平面1CA A 夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）取AB 中点O ，利用线面垂直判定定理证明AB ⊥面1AOC ，进而得到1AB AC ⊥；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，先求得C 点竖坐标，再求得平面1BA A 和平面1CA A 的法向量夹角余弦值，进而求得平面1BA A 和平面1CA A 夹角的余弦值.【详解】（1）取AB 中点O ，连接11,,OC OA A B ，AC BC OA OB AB OC ==∴⊥ ，，1AA B △为正三角形，OA OB =1AB OA ∴⊥又11,OC OA O OC OA =⊂ 、面1AOC ，AB ∴⊥面1AOC 又1AC ⊂面1AOC ，1AB AC ∴⊥（2）,CO AB ⊥ 面ABC ⊥平面11AA B B ，面ABC 面11AA B B AB=CO ∴⊥面11AA B B ，故1,,OA OA OC 两两垂直，设OC h =，以O 为原点，分别以1OA OA OC 、、所在直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，如图则11(1,0,0),(1,0,0),((0,0,)A B A B C h --，111((2,0,0),(1,0,),AA B A AC h ∴=-==- 设面1AAC 的法向量(,,)n x y z =，则00x x hz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令z =,n h =11n B A n ⋅==h =，又面1AA B 的法向量(0,0,1)m =，而n =则1cos ,3m n <= 所以平面1BA A 与平面1CA A 夹角的余弦值为1322．已知平面上的动点(),P x y4．(1)判断点P 的轨迹是什么曲线？并求其轨迹E 方程；(2)设不经过点()0,1B 的直线l 与曲线E 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明：直线l 经过定点，并求出该定点的坐标．【正确答案】(1)动点P的轨迹是以()1F，)2F 为焦点，长轴长为4的椭圆；2214x y +=(2)证明见解析，30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的定义分析运算；（2）由题意可得0BM BN ⋅= ，结合韦达定理分析运算，注意讨论直线l 的斜率是否存在.【详解】（1）设()1F，)2F ，4，则12124PF PF F F +=>=故动点P 的轨迹是以()1F ，)2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即24a =，c =2221b a c =-=，所以曲线E 的轨迹方程是为2214x y +=．（2）若点B 在以线段MN 为直径的圆上，则0BM BN ⋅= ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()1m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222418440k x kmx m +++-=，则()2216410k m ∆=+->，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，∵()()1122,1,,1BM x y BN x y =-=-uuu r uuu r ，则()()()()()()()()2212121212121211111110BM BN x x y y x x kx m kx m k x x k m x x m ⋅=+--=++-+-=++-++-=uuu r uuu r ，即()()()2222244811104141m km k k m m k k --+⋅+-⋅+-=++，整理得25230m m --=，解得35m =-或1m =（舍去），∴直线l 的方程为35y kx =-，过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭；当直线l 的斜率不存在时，设()11,M x y ，()11,N x y -，则()()1111,1,,1BM x y BN x y =-=--uuu r uuu r ，可得()()2111221111014x y y x y ⎧+---=⎪⎨+=⎪⎩，解得1101x y =⎧⎨=⎩，此时直线:0l x =过点()0,1B ，不符合题意；综上所述：故直线l 过定点，且该定点的坐标为30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．方法点睛：过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．。

高二数学”双基“测试

班级组别姓名成绩环江二中高二数学“双基”测试题（范围：正弦定理和余弦定理，时间：45分钟。

）一、选择题（每题5分）1、ABC ∆中，45,60,10,A B a === 则b 等于（）A D 2、在△ABC 中，已知8=a ，B=060，C=075，则b 等于（） A.64 B.54 C.34 D.3223、已知ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边， 60,3,2===B b a ，则A =（）A. 135B. 45C. 135或 45D.904、在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（）A ．46B ．322C ．362D ． 425、在ABC ∆中，B=30︒，C=45︒，c=1，则最短边长为（）A B C ．12 D6、在ABC ∆中，15a =，10b =，60A =︒，则cos B =（）A.3B.3C.4D.4二、填空题（每题5分）7、已知ABC ∆中，a:b:c=1::2,则这个的最大角等于。

8、在ABC ∆中，若边4a c ==，且角4A π=，则角C= ；9、在△ABC 中，0045,30,2A B b ===，则a 边的值为．10、在ABC ∆中, 若21cos ,3-==A a ,则ABC ∆的外接圆的半径为。

11、在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C= 。

12、在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为。

三、解答题（15）13、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =．（I ）求b 的值；（II ）求sin C 的值．。

辽宁省大连市2024届高三上学期双基测试数学试题

辽宁省大连市2024届高三上学期双基测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
A．平面1A MN截正方体所得截面为等腰梯形
-的体积为
B．三棱锥1D MNB
14．十九世纪下半叶集合论的创立，
理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，
段，去掉中间的区间段
12, 33⎛
⎝
别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：
一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，
区间长度之和小于1821
2024，则操作的次数
（参考数据：
4
20.1975, 3
⎛⎫
≈
⎪
⎝⎭
四、解答题
17．已知函数()f x
2
(1)证明：AN//平面MDE；
(2)求平面MNC和平面MNA所成角的余弦值。

高二数学上册双基调研检测试题1

双基限时练(一)1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC 中，sin A BC ＝a bc .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①②③不正确，④⑤正确．答案 B2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×sin45°sin60°＝2 3.答案 B3．在△ABC 中，已知b ＝2，c ＝1，B ＝45°，则a 等于( ) A.6－22 B.6＋22 C.2＋1D ．3－ 2解析由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝sin45°2＝12，又b >c ，∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝b sin Asin B，得a＝6＋22.答案 B4．在△ABC中，已知3b＝23a sin B，cos B＝cos C，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析利用正弦定理及第一个等式，可得sin A＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．答案 B5．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析∵3a＝2b sin A，∴3sin A＝2sin B sin A.∵sin A≠0，∴sin B＝3 2，又0°<B<180°，∴B＝60°，或120°. 答案 D6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则2sin A－sin Bsin C＝________.解析设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得 2sin A －sin B sin C ＝2×4k －3k5k ＝1. 答案 17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则边c ＝________.解析由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝30°，由c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin C sin B ＝22×1222＝2.答案 28．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 解析 ∵tan A ＝13，∴sin A ＝110 .在△ABC 中，AB sin C ＝BCsin A ， ∴AB ＝BC sin A ·sin C ＝10×12＝102. 答案1029．在△ABC 中，若A ：B ：C ＝1：2：3，则a b c ＝________. 解析由A ＋B ＋C ＝180°及A ：B ：C ＝1:2:3，知A ＝180°×16＝30°，B ＝180°×26＝60°，C ＝180°×36＝90°.∴a ：b ：c ＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：32：1＝1：3：2.答案 1：3：210．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE.解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理，得AEsin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－ 2.11．△ABC 三边各不相等，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且a cos A ＝b cos B ，求a ＋bc 的取值范围．解 ∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，那么a ＝b 不合题意，∴A ＋B ＝π2. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4. ∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且A ≠π4， ∴a ＋bc ∈(1，2)．12．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A ；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解 (1)∵sin(C －A )＝1，－π<C －A <π， ∴C －A ＝π2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＋A ＋π2＝π，∴B ＝π2－2A ，∴sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝cos2A ＝13. ∴1－2sin 2A ＝13.∴sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)知，A 为锐角，∴cos A ＝63，sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝63，由正弦定理得AB ＝AC ·sin Csin B ＝6·6313＝6.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×6×6×33＝3 2.。

2024年高二入学摸底考试数学试卷(解析版)(1)

新高二开学摸底考试卷数学•全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合{}3A x =≤，{}|31,B x x n n ==-∈N ，则A B ⋂=（）A ．∅B ．{}3,6,9C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，在ABC 中，3,AC AN P =是BN 上的一点，若39AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（）A ．19B ．29C ．23D ．134．若曲线e x y a =+在x =的切线，则（）A ．2-B ．1C ．1-D ．e【答案】A【分析】求出e x y a =+的导数，求得切线的斜率为的切点为00(,)x y ，求得函数而得到a 的值.【详解】由曲线e x y a =+在0x =处的切线斜率为1，当曲线e x y a =+在0x =处的曲线ln y x =，导数为1y x'=5．已知函数()1,12f x ax x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．4(0,)5B ．4(0,5C ．(0,1)D ．(0,1]【答案】B【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.6．若πcos cos13αα⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，则πcos6α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．B C D．3-7．已知函数()1,2f xx x a⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()f x存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．(],1-∞-B．[)1,0-C．1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦D．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭8．已知函数e ,1ln ,1x x f x x x ⎧≥-=⎨-<-⎩（）（），g x f x x a =-+（）（），若g x （）存在3个零点，则a 的取值范围是（）A ．11,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．11,1e ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭令0g x f x x a =-+=（）（），即则函数g x （）的零点个数即为函数做出函数f x （）与函数y x =-当直线y x a =-与曲线e x y =又当1x ≥-时，e x y =，则y '二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()πcos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则（）A ．当2ω=时，π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于π2x =对称B ．当2ω=时，()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2C ．当π6x =为()f x 的一个零点时，ω的最小值为1D ．当()f x 在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减时，ω的最大值为1R ，对任意两个不相等的实数12，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称()y f x =为“V 函数”，下列函数为“V 函数”的是（）A ．()21f x x =-B ．()e e x xf x -=+C ．()22f x x x-=-D ．()()2ln 1f x x =+【答案】BD【分析】通过分析可得“V 函数”满足两个条件，即()f x 是定义域为R 的偶函数，且()f x 在()0,∞+上为增函数，然后再对各选项进行判断.【详解】根据题意，对任意两个不相等的实数()12,0,x x ∞∈+，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，11．定义：是函数f x '的导数，若方程0f x =有实数解，则称点00为函数y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数()()32103f x ax bx ab =-+≠的对称中心为()1,1--.则下列选项正确的有（）A ．1,13a b ==-B ．()()121902101010f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是21-C ．函数()f x 有一个零点D ．过13,6⎛⎫- ⎪⎝⎭可以作三条直线与()y f x =图象相切12．已知平面向量()1,a m = ，()2,1b =- ，(),2c n = ，若a b ⊥ ，//b c，则m n +=.【答案】2-为A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60 方向，则此时灯塔C 位于游轮的方向(用方向角作答)由正弦定理得sin45sin60AD AB == 在ACD 中，由余弦定理得因为123,24AC AD ==，所以解得由正弦定理得sin30sin CD AC CDA ∠=，且的最小值是．【答案】4【分析】由题意可借助x 、y 表示出z ，从而消去z ，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）15．已知平行四边形ABCD 中，4,2,120AB BC DAB ∠=== ，点E 是线段BC 的中点.(1)求AB AD ⋅的值；(2)若AF AE AD λ=+ ，且BD AF ⊥，求λ的值.16．已知函数(1)若2a =，求()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值；(2)若()0f x ≥在(),∞∞-+上恒成立，求a 的取值范围.(1)求角C 的度数；(2)若2,,BC D E =是AB 上的动点，且DCE ∠始终等于30︒，记CED α∠=．当DE 取到最小值时，求α的值．所以α的值75︒.18．已知()()2sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.(1)若π4ϕ=，函数()y f x =的最小正周期T 为4π，求函数()y f x =的单调减区间；(2)设函数()y f x =的部分图象如图所示，其中12AB AC ⋅= ，(0,D ，求函数的最小正周期T ，并求()y f x =的解析式.（2）由题，可得2T AB ⎛=- ⎝ 因此，2164T AB AC ⋅=-+ ，又由2π4T ==ω，得π2=ω.再将()0,3D -代入(y f x =由π2ϕ<，解得π3ϕ=-.因此()y f x =的解析式为f 19．已知函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，其中实数0a ≥.(1)求()f x 在0x =处的切线方程；(2)若()f x 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围；(3)当0a =时，证明：()1e x f x x ->-.。

2023-2024学年贵州省高二上学期质量检测考试数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年贵州省高二上学期质量检测考试数学模拟试题一、单选题1．直线30x y --=的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒【正确答案】B【分析】根据给定方程求出直线的斜率，再由斜率的定义直接计算作答.【详解】直线30x y --=的斜率为1k =，设这条直线的倾斜角为(0180)αα≤< ，显然90 α≠，则tan 1α=，解得45α= ，所以直线30x y --=的倾斜角为45︒.故选：B2．()2,,0a m = ，()1,3,1b n =- ，若//a b，则2m n +=（）A ．6B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用空间向量共线求出m ，n 的值作答.【详解】因为()2,,0a m = ，()1,3,1b n =- ，//a b ，则存在R λ∈，使得b a λ=，即()()1,3,12,,0(2,,0)n m m λλλ-==，于是21310m n λλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1,6,12m n λ===，所以28m n +=.故选：C3．斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为（）A ． 21y x =+B ．21y x =-C ．22y x =-D ． 22y x =+【正确答案】A求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.【详解】联立42y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以两直线的交点坐标为()1,3，所求直线方程为()321y x -=-.整理为21y x =+.故选：A本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.4．已知点P 为椭圆22110036x y +=上一点，椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，则12PF F △的周长是（）A ．20B ．36C ．64D ．100【正确答案】B【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答.【详解】椭圆22110036x y +=的长半轴长10a =，短半轴知6b =，半焦距8c =，依题意，12PF F △的周长为22201636a c +=+=.故选：B5．已知圆1C ：2230x y mx +--=平分圆2C ：()()22124x y -+-=的周长，则m =（）A ．2B ．4C ．6D ．8【正确答案】C【分析】利用圆2C 的圆心在两圆的公共弦上求解．（两圆方程相减可得公共弦所在直线方程）．【详解】由圆1C ：2230x y mx +--=平分圆2C ：()()22124x y -+-=的周长可知，圆1C 经过圆2C 的一条直径的两个端点，所以圆2C 的圆心在圆1C 与圆2C 的公共弦上，两圆方程相减整理得圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为()2440m x y -+-=，又圆心()21,2C ，所以2840m -+-=，所以6m =，故选：C.6．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c = ，则下列向量中与1B M相等的向量是（）．A ．1122a b c-++B ．1122++a b cC ．1122-+ a b cD ．1122--+a b c 【正确答案】A【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()1111111222B B M D ==-=-，所以()1111111111111211211222B M B B a b c BM A A A D A B A B A D A A =+=+-=-++=+ .故选：A.7．已知曲线y =5x my =+只有一个交点，则实数m 的值为（）A ．34-B ．43C ．43-D ．34【正确答案】B【分析】由y =229(0)x y y +=<，将5x my =+代入229(0)x y y +=<中，得到22(1)10160m y my +++=，再根据判别式为零得到m 的值即可．【详解】由y =229(0)x y y +=<．表示下半圆，5x my =+表示过()5,0的直线，要使两图象有一个交点必须判别式为零，将5x my =+代入229(0)x y y +=<中，可得22(1)10160m y my +++=，曲线y =5x my =+只有一个交点，∴△2210064(1)0m m =-+=，∴43m =±，290x - ，[3x ∴∈-，3]，∴当43m =-时，55x my =+>与[3x ∈-，3]矛盾，∴43m =．故选：B ．8．已知双曲线22:12y C x -=的左，右焦点为12,F F ，P 为双曲线右支上的一点，1230PF F ∠=︒，I是12PF F △的内心，则下列结论错误的是（）A ．12PF F △是直角三角形B ．点I 的横坐标为1C ．||2PI =D ．12PF F △的内切圆的面积为π【正确答案】D【分析】由双曲线的定义得，12122,PF PF F F -==21,2PF x PF x ==+，由余弦定理可求解2x =，即可判断出212PF F F ⊥，再由等面积法计算内接圆的半径，即可得点I 的坐标和面积，写出点P 坐标，利用距离公式可求解出||PI .【详解】由已知可得，12122,PF PF F F -==21,2PF x PF x ==+，则2212cos PF F ∠==2x =，所以212,4PF PF ==，即2222121PF F F PF +=，所以212PF F F ⊥，所以A 正确；设内接圆半径为r ，则()12122121122PF PF F F r PF F F ⋅++⋅=⋅⋅，得1r =，所以I 的坐标为1)-，面积为)(214S ππ=⋅=-所以B 正确，D 错误；由题意P ，||1)PI ==，所以C 正确；故选：D.二、多选题9．已知向量()()4,2,4,6,3,2a b =--=-，则下列结论不正确的是（）A．()10,5,2a b +=-- B ．()2,1,6a b -=- C ．10a b = D ．6a = 【正确答案】BC【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．【详解】解：向量(4,2,4),(6,3,2)a b =--=-，∴(10a b +=，5-，2)-，故A 正确；(2a b -=-，1，6)-，故B 错误；246822a b ⋅=+-=，故C 错误；||6a =，故D 正确．故选：BC ．10．对于直线l ：1x my =+，下列说法错误的是（）A ．直线l 恒过定点()1,0B ．直线l 斜率必定存在C ．2m =时直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为14D ．m 时直线l 的倾斜角为60︒【正确答案】BD【分析】求出l 过的定点判断A ；根据m 的取值情况判断B ；当2m =时，求出直线l 的横纵截距计算判断C ；当m =l 的斜率判断D 作答.【详解】对于A ，直线l ：1x my =+恒过定点()1,0，A 正确；对于B ，当0m =时，直线l ：1x =垂直于x 轴，倾斜角为90 ，斜率不存在，B 错误；对于C ，当2m =时，直线l ：21x y =+与x 轴、y 轴分别交于点1(1,0),(0,)2-，此时直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为1111||224⨯⨯-=，C 正确；对于D ，当m 时，直线l ：1x =+的斜率3k =，因此倾斜角为30︒，D 错误.故选：BD11．已知圆C ：()()225516x y -+-=与直线l ：240mx y +-=，下列选项正确的是（）A ．直线l 与圆C 不一定相交B ．当1615m <时，圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1C ．当2m =-时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程是()()223316x y +++=D ．圆心()5,5到直线l 距离的最大值为5【正确答案】AB【分析】利用直线l 经过的定点与圆的关系判断A ；利用圆心到直线l 距离小于5判断B ；求出圆心关于l 的对称点判断C ；求出圆心到l 的距离最大值判断D 作答.【详解】显然直线l ：240mx y +-=过定点(0,2)A ，圆C ：()()225516x y -+-=的圆心(5,5)C ，半径4r =，对于A，||AC r =，即点A 在圆C 外，因此直线l 与圆C 不一定相交，A 正确；对于B ，圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1，当且仅当点C 到直线l 的距离小于5，5<，解得1615m <，即B 正确；对于C ，当2m =-时，直线l ：20x y -+=，令圆心(5,5)C 关于l 的对称点为(,)a b ，则515552022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得3,7a b ==，因此圆C 关于直线l 对称的圆的方程是()()223716x y -+-=，C 错误；对于D ，由选项A知，||AC =，当且仅当直线l AC ⊥时，圆心()5,5到直线l距离取得最大值D 错误.故选：AB12．抛物线C ：24x y =的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点()2,2M ，下列结论正确的是（）A ．PM PF +的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3C ．不存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若直线AB 过焦点F ，则ABO （O 为坐标原点）的面积的最大值为2【正确答案】AC【分析】根据抛物线定义计算PM PF +最小值判断A ；利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值判断B ；利用对称思想探求直线l 的条件判断C ；设出直线AB 方程，求出ABO 面积关系判断D 作答.【详解】对于A ，设l '是抛物线C 的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；对于B ．设(,)P t s 是抛物线上任一点，即24t s =，PH =当1s =时，minPH==，B 错误；对于C ，假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程为0x y m -+=，由240x y x y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，于是16160m ∆=+>，即1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上，即2230m ++-=，1m =-，与1m >-矛盾，因此直线l 不存在，C 正确；对于D ，显然点(0,1)F ，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为1y kx =+，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得：2440x kx --=，设3344(,),(,)A x y B x y ，则34344,4x x k x x +==-，于是ABO 的面积341||||22ABO S OF x x =⋅-==≥ ，当且仅当0k =时取等号，因此ABO 的面积有最小值2，无最大值，D 错误.故选：AC 三、填空题13．已知向量()1,2,2a =-，()3,1,2b =-- ，若()a b a λ+⊥ ，则λ=________.【正确答案】1【分析】根据给定条件，求出||a 及a b ⋅，再利用垂直关系的向量表示求解作答.【详解】向量()1,2,2a =- ，()3,1,2b =-- ，则||3a ==，132(1)2(2)9a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯-=-，由()a b a λ+⊥ 得：2()990a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=-=，所以1λ=.故114．在平面直角坐标系中，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离d ，类比可得在空间直角坐标系中，点(2,1,1)到平面2280x y z +++=的距离为______．【正确答案】5【分析】把平面点到直线距离公式类比到空间点到平面的距离公式：点000(,,)P x y z ，平面方程0Ax By Cz D +++=，距离d =．由此计算．【详解】类比可得点(2,1,1)到平面2280x y z +++=的距离5d ==．故5．15．已知圆C ：()2221x y ++=，(),P x y 为圆C 上任一点，则21y x --的最大值为________.【分析】设21y k x -=-，得到直线方程为20kx y k -+-=，根据条件得到直线与圆有公共点，转化为圆心()2,0C -到直线的距离d 小于等于半径1，从而得到关于k 不等式，即可求解.【详解】设21y k x -=-，则2y kx k -=-，即直线方程为20kx y k -+-=，因为()P x y ，为圆C 上任一点，则圆心()2,0-到直线的距离1d ==≤，即23k -≤k ≤≤所以21y x --故答案为16．已知点P 为椭圆2211612x y +=上的动点，EF 为圆221:()1x y N +-=的任意一条直径，则PE PF ⋅ 的最大值是__________．【正确答案】19【分析】设点(),P x y ，则224163x y =-且y -≤≤，计算得出()213193PE PF y =-++⋅ ，再利用二次函数的基本性质即可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】解：圆221:()1x y N +-=的圆心为()0,1N ，半径长为1，设点(),P x y ，由点P 为椭圆2211612x y +=上的动点，可得：224163x y =-且y -≤≤，由EF 为圆221:()1x y N +-=的任意一条直径可得：PE PN NE =+ ，PF PN NF PN NE =+=-，()()()222211PN NE PN NE PN x P N y E P E F ∴=+⋅-=-=+--⋅ ，()222241116211216319333y y y y y y =-+-+-=--+=-++，(y -≤，∴当=3y -时，PE PF ⋅取得最大值，即()max 19PE PF ⋅= .故答案为.19四、解答题17．已知向量()2,1,2a =- ，()2,3,1b =- ，(),3,5c x =．(1)当a c +=时，求实数x 的值；(2)若向量c与向量a ，b 共面，求实数x 的值．【正确答案】(1)3x =或7x =-.(2)467-.【分析】（1）由空间向量的坐标运算，建立方程，求解即可；（2）设(),R c a b λμλμ=+∈，根据空间向量的坐标线性运算建立方程组，求解即可．【详解】（1）解：()2,4,3a c x +=+，因为a c +==24210x x +-=，解得3x =或7x =-；（2）解：因为向量c 与向量a ，b共面，所以设(),R c a b λμλμ=+∈ ．因为()()(),3,52,1,22,3,1x λμ=-+-，223352x λμλμλμ=-⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩，所以46,712,711.7x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以实数x 的值为467-.18．已知ABC 的顶点()1,2A ，AC 边上的高BD 所在直线方程为20x y -=．AC 边上的中线BE 所在直线方程为420x y --=．(1)求点B 的坐标；(2)求点C 的坐标及BC 边所在直线方程．【正确答案】(1)(2,1)--；(2)(3,2)-；570x y ++=.【分析】（1）解直线BD 与直线BE 的方程组成的方程组，即可得点B 的坐标.（2）求出直线AC 的方程，与直线BE 的方程联立求出点E 的坐标，再利用中点坐标公式求出点C 的坐标，进而求出直线BC 方程作答.【详解】（1）依题意，点B 是直线BD 与直线BE 的交点，由20420x y x y -=⎧⎨--=⎩解得21x y =-⎧⎨=-⎩，所以点B 的坐标是(2,1)--.（2）因AC BD ⊥，则设直线AC 的方程为20x y m ++=，而点()1,2A ，则2120m ⨯++=，解得4m =-，直线AC ：240x y +-=，由240420x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩，于是得边AC 的中点(2,0)E ，因此点C 的坐标为(3,2)-，直线BC 的方程为2(1)(1)(2)3(2)y x -----=+--，即570x y ++=，所以点C 的坐标为(3,2)-，BC 边所在直线方程570x y ++=.19．已知圆C 的圆心在直线l ：20x y -=上，且过点()0,0O 和()2,6A .(1)求圆C 的方程；(2)求证：直线1l ：()130m x y m -+-=，R m ∈与圆C 恒相交.【正确答案】(1)22(4)(2)20x y -+-=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标及半径作答.（2）求出直线1l 过的定点，再判断该定点与圆C 的位置关系作答.【详解】（1）因为圆C 过点()0,0O 和()2,6A ，则圆心C 在线段OA 的中垂线上，线段OA 的中点(1,3)，直线OA 的斜率为3，因此线段OA 的中垂线方程为13(1)3y x -=--，即3100x y +-=，由203100x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，则点(4,2)C ，圆C 半径||r OC ==，所以圆C 的方程为22(4)(2)20x y -+-=.（2）直线1l ：()130m x y m -+-=，即(3)()0x m x y ---=，R m ∈，由300x x y -=⎧⎨-=⎩解得3x y ==，因此直线1l 恒过定点(3,3)B ，而||2BC =(3,3)B 在圆C 内，所以直线1l 与圆C 恒相交.20．已知双曲线C 的右焦点与抛物线E ：28y x =的焦点F 重合，且双曲线的一条渐近线为l ：3y x =．(1)求双曲线C 的方程；(2)若过点F 且与l 平行的直线m 交抛物线E 于A ，B 两点，求线段AB 的长．【正确答案】(1)2213x y -=；(2)32.【分析】（1）根据题意，求出抛物线的交点，结合双曲线焦点的位置，以及渐近线方程，即可求解；（2）根据题意，求出直线m 的方程，联立方程组，结合韦达定理与抛物线焦点弦的公式，即可求解.【详解】（1）根据题意，易知抛物线E 的焦点为()2,0F ，故可设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，且2c =，因为双曲线的一条渐近线为3y x =，所以224,3a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得a =1b =，故双曲线C 的方程为2213x y -=.（2）由已知，可得直线m的方程为)2y x -，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()2823y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，整理得22840x x -+=，故1228x x +=，因此线段AB 的长为1232AB x x p =++=．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥底面ABCD，PB PC ==(1)证明：平面PAB ⊥平面PCD ；(2)已知点M 是线段PC 的中点，求二面角A BM C --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析；(2)5-.【分析】（1）利用面面垂直的性质，结合勾股定理求出,PB PC ，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）取,AD BC 的中点,O E ，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】（1）连接BD ，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，则BD =，,CD AD AB AD ⊥⊥，因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD AD =，,CD AB ⊂底面ABCD ，则CD ⊥平面PAD ，AB ⊥平面PAD ，又,CD AB ⊂平面PAD ，于是,CD PD AB PA ⊥⊥，而6PB PC =22(6)22PA PD ==-于是2222228,4PD PB BD PD PA AD +==+==，因此,PD PB PD PA ⊥⊥，而,,PD PA P PD PA =⊂ 平面PAB ，则PD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .（2）取ABCD 边,AD BC 的中点,O E ，连接,OE OP ，则//OE CD ，由（1）知OE ⊥平面PAD ，OP AD ⊥，显然,,OE OD OP 两两垂直，以点O 为原点，射线,,OE OD OP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则11(0,1,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,1),(1,,)22A B C P M --，3131(2,0,0),(1,,),(0,2,0),(1,,2222AB AM BC BM ====- ，设111(,,)m x y z = 是平面ABM 的一个法向量，则11112031022m AB x m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11y =，得(0,1,3)m =- ，设222(,,)n x y z = 是平面BCM 的一个法向量，则22222031022n BC y n BM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令21x =，得(1,0,2)n = ，因此222232cos ,||||1(3)12m n m n m n ⋅〈〉===-+-⨯+ 显然二面角A BM C --的平面角为钝角，所以二面角A BM C --的余弦值是325-.22．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为4，C 的右顶点A 到右焦点的距离为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，已知点2(,0)3P ，直线l 与椭圆C 交于不同的两点E ，F ，（E ，F 两点都在x 轴上方），O 为坐标原点，且APE OPF ∠=∠.证明直线l 过定点，并求出该定点坐标.【正确答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析，定点(6,0).【分析】（1）根据给定条件，求出,a b 即可求出C 的标准方程作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式推理作答.【详解】（1）令椭圆半焦距为c ，依题意，2,1a a c =-=，则2222,1,3a c b a c ===-=，所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=.（2）显然直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx m =+，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x km m +++-=2222226416(43)(3)043k m k m k m ∆=-+->⇔+>，设点1122(,),(,)E x y F x y ，则21212228412,4343km m x x x x k k --+==++，由APE OPF ∠=∠得：直线,PE PF 的倾斜角互补，斜率,PE PF k k 互为相反数，即0PE PF k k +=，因此121212120022323233y y kx m kx m x x x x +++=⇔+=----，整理得12126(32)()40kx x m k x x m +-+-=，即2226(412)8(32)404343k m km m k m k k ----=++，化简得：6m k =-，而2243k m +>，有k <<，此时直线l ：6y kx k =-，即(6)y k x =-，所以直线l 过定点，该定点坐标为(6,0).。

辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高二上学期1月普通高中学业质量监测考试数学试题

辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高二上学期1月普通高中学
业质量监测考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．1
B ．
3二、多选题
A ．2222
3459C C C C 118
++++= B ．第20行中，第11个数最大
四、解答题
(1)证明1BC AA ⊥；
(2)求AC 与平面1A CF 成角的正弦值.
20．已知椭圆C 的中心为坐标原点，记C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上下顶点为1B ，
2B ，且112F B B △是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且0OM ON ⋅>
，求直线MN 斜率
范围.
21．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12AA AB AC ===，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 是线段11A B 上动点且PN AM ⊥恒成立.
⊥；
(1)证明：AB AC。

广西南宁市2022-2023学年高二上学期开学教学质量调研数学试题附答案

南宁市2022年秋季学期高二年级教学质量调研数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2，考生作答时请将答案写在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答等无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．己知集合{}{}220,1A x x x B x x =+>=<-，则A B =（）A ．(,1)(0,)-∞-+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)(2,)-∞-+∞ 2．若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列化简结果错误的是（）A ．0AB BC CA ++= B ．()AB MB BO OM AB +++= C ．0OA OD AD -+= D ．AD DC A B B C --=4．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（）A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶55．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸到的第一个球是红球的概率为（） A ．25 B ．825 C ．35 D ．16256．若ln ln 0M N +=，则有（）A ．0M N -=B ．0M N +=C ．1MN= D ．1MN = 7．已知函数3()21f x x x =-+，则方程()f x x =在(1,2)-内的实数解的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =，E 为梭BC上的动点，若PE DE +的最小值为，则PB =（）A ．8B ．4C ．6D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列命题正确的是（）A ．己知12,e e 是两个不共线的向量，若12122,24a e e b e e =-=-+，则a 与b 不共线B ．已知a ，b 为两个非零向量，若||||a b a b +=-，则a b ⊥C ．设||12,||9,542a b a b ==⋅=-a 与b 的夹角34πθ=D ．已知||3,||4a b ==，且a 与b 不共线，则34k =是a kb +与a kb -互相垂直的必要不充分条件 10．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是（） A ．最小正周期为π B ．单调递增区间是5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图象的一个对移中心为,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．图象的一条对称轴为直线12x π=11．过ABC △所在平面α外一点P ，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA PB PC 、、，则下列说法正确的是（） A ．若PA PB PC ==，则点O 是ABC △的外心B ．若,90PA PB PC C ==∠=︒，则点O 是AB 边的中点C ．若,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，垂足都为P ，则点O 是ABC △的垂心D ．若P 到ABC △三条边的距离相等，则点O 是ABC △的重心 12．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（）A ．)ln3y x = B ．x x y e e -=+ C ．21y x =+ D ．cos 3y x =+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二数学双基限时练24

双基限时练(二十四)一、选择题1．已知x >1，则( ) A ．x ＋1x －1>3B ．x ＋1x －1≥3C ．x ＋1x －1<3D ．x ＋1x －1≤3解析 x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥3，当且仅当x －1＝1x －1，即x＝2时等号成立．答案 B2．下列求最值的过程中正确的是( ) A ．若0<x <π，则y ＝sin x ＋2sin x ≥2sin x ·2sin x ＝22，y min ＝22B ．若0<x <π，则y ＝sin x ＋2sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －2sin x 2＋22≥22，y min ＝22C ．若x >0，则y ＝2＋x ＋4x ≥2＋2 x ·4x ＝6，y min ＝6D ．当0<x <1时，y ＝x (4－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4－x 22＝4， y max ＝4解析 A 、B 、D 中等号成立的条件不具备．答案 C3．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 81解析 ∵e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4.当且仅当e x ＝4e －x ，即e x ＝2时等号成立，故选C. 答案 C4．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋13y 的最小值为( ) A ．2 B ．22 C ．4D ．23解析由题可知2x·8y＝2，即x ＋3y ＝1，又1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ·(x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3yx ≥2＋2x 3y ·3y x ＝4.答案 C5．已知m >0，n >0，m 、n 的等差中项为12，x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析由题意得m ＋n ＝1≥2mn ，∴1mn ≥4. ∴x ＋y ＝1＋1m ＋1n ＝1＋1mn ≥5. 答案 B6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，对任意正实数x 、y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析由(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ≥9，得a ≥2，∴a ≥4.答案 C 二、填空题7．已知a 、b 、c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c 的最小值是____．解析 (a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c ＝[(a ＋b )＋c ]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c ≥4.答案 48．已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图像过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是________．解析由题意得2a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (2a ＋b )＝3＋2a b ＋ba ≥3＋22(当且仅当2ab ＝ba 即b ＝2a 时等号成立)．答案 3＋229．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________．解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2，∵x >1，∴y ≥2＋23(当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号)．答案 2＋23 三、解答题10．求下列函数的最大值．(1)y ＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12；(2)y ＝x 3－x 2()0<x <3. 解 (1)∵0<x <12，∴1－2x >0. ∴x (1－2x )≤12·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18. 当且仅当2x ＝1－2x 即x ＝14时等号成立．即当x ＝14时y ＝x (1－2x )取得最大值18.(2)∵0<x <3，∴x 3－x 2≤x 2＋3－x 22＝32. 当且仅当x 2＝3－x 2，即x ＝62时等号成立． ∴当x ＝62时，函数取得最大值32.11．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 ∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ·9xy ＝16.当且仅当y x ＝9xy 即x ＝4，y ＝12时等号成立，∴x ＋y 的最小值为16.12．已知直角三角形的周长为定值L ，求它的面积的最大值．解设直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，则斜边为a 2＋b 2，由题意得a ＋b ＋a 2＋b 2＝L .∵a 、b 均为正数，∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时等号成立)．∴L ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab . 即ab ≤L 2＋2，故ab ≤L 26＋42.又S △ABC ＝12ab ，∴12ab ≤L 212＋82＝3－224L 2.∴当a ＝b 时，S △ABC 取得最大值S max ＝3－224L 2.思维探究13．已知正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3， (1)求a ＋b 的最小值； (2)求ab 的取值范围．解 (1)∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b )24，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，∴a ＋b ≥6或a ＋b ≥－2(舍)．∴a ＋b 的最小值为6.(2)∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ≥2ab ＋3，得ab ≥3或ab ≤－1(舍)由ab ≥3，得ab ≥9，∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．新课标第一网系列资料。

高中数学双基限时练24 新人教B版必修4

双基限时练(二十四)基础强化1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－3，x )，且a 与b 夹角为60°，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 cos60°＝a ·b |a |·|b |＝－3＋3x 2×3＋x 2＝12.∴⎩⎨⎧－3＋3x 3＋x2＝1，－3＋3x >0，∴x ＝3.答案 C2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( ) A. 5 B ．－5 C.32D ．－32解析 BC →＝AC →－AB →＝(2－k,2)． ∵∠C ＝90°，∴BC →⊥AC →. ∴2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5. 答案 A3．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析 ∵AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)， ∴AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0. ∴AB →⊥AC →，∴A ＝90°，故选A. 答案 A4．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(2,1)，a ＋2b ＝(4,5)，则cos θ＝( ) A.1010B.31010C.35D.45解析 ∵a ＝(2,1)，a ＋2b ＝(4,5)，∴b ＝(1,2)．cos θ＝a ·b |a ||b |＝45×5＝45.答案 D5．已知向量u ＝(x ＋2,3)，v ＝(x,1)，当f (x )＝u ·v 取得最小值时，x 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．2D ．1解析 f (x )＝u ·v ＝(x ＋2)x ＋3 ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，所以当x ＝－1时，f (x )取得最小值2. 答案 B6．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则(OB →－OA →)·OB →＝( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4解析 A (2,0)，B (3,1)，(OB →－OA →)·OB →＝OB →2－OA →·OB →＝10－6＝4. 答案 D7．若a ·b ＝39，b ＝(12,5)，则a 在b 上的投影是________．解析 a 在b 上的投影为a ·b |b |＝39122＋52＝3. 答案 38．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(x,1)，若a ·b ＝2，则x ＝________；|a ＋b |＝________. 解析 ∵a ·b ＝2，∴x ＝2. ∵a ＋b ＝(3,1)，∴|a ＋b |＝10. 答案 210能力提升9．已知A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，则∠BAC 的余弦值为________．解析 AB →＝(3,3)，AC →＝(－1,6)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15， |AB →|＝32，|AC →|＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝1532·37＝57474.答案5747410．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，若BC →∥DA →，AC →⊥BD →，求x 、y 的值．解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(4＋x ，y －2)，则DA →＝(－4－x,2－y )．由BC →∥DA →，∴x (2－y )＋y (4＋x )＝0. ∵AC →＝AB →＋BC →＝(6＋x ，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，且AC →⊥BD →， ∴(6＋x )(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，综上可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3.11．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，(1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)．k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)． a ＋b ＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)∵k a －b 与a ＋b 共线， ∴k ＋2－(－k )＝0.∴k ＝－1. (2)∵|k a －b |＝k 2＋k ＋22，|a ＋b |＝12＋－12＝ 2.∵(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∴cos120°＝k a －b ·a ＋b|k a －b ||a ＋b |，即－12＝－22·k 2＋k ＋22化简，整理得k 2＋2k －2＝0，解之得k ＝－1± 3.12．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ.解析 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |，得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， ∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2， ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝1，|b |＝1，∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0. ∴a·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，由函数单调性的定义容易证明f (k )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．∴当k ＝1时，[f (k )]min ＝f (1)＝14(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角为θ. 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×1＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.品味高考13．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10解析先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积． ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0， ∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5.答案 C。

江苏省南通市如皋市2023-2024学年高二上学期教学质量调研(一)数学

2023－2024学年度高二年级第一学期教学质量调研（一）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A．3B．6C．8D．12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n a 为等差数列”的充要条件是（）A ．当2n ≥时，1n n a a d +-=（常数）B ．数列{}n a 的通项公式可以表示为n a kn b =+的形式，其中,k b 为常数C ．数列{}n a 的前项n 和可以表示为2n S an bn =+的形式，其中,a b 为常数D ．当2n ≥时，1n a +是1n a -和3n a +的等差中项12．已知ABC ∆的面积为S ，2AB =，下面说法正确的是（）A ．若0CA CB ⋅=，则S 的最大值为1B ．若CA = ，则SC ．若1CB CA -= ，则S 的最大值为32D ．若1tan tan 3A B ⋅=，则S的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆()221044y x m m+=<<的焦距为2，则实数m 的值为▲．14．数列{}n a 的首项112a =，314a =且对任意N n *∈，21112n n n a a a +++=恒成立，则10a =▲．15．过点(),2P m -向抛物线24x y =引两条切线PA PB ，，切点分别为A ，B ，直线A B 恒过的定点为▲．16．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，1F 关于双曲线的渐近线的对称点在以2F 为圆心，4b 为半径的圆上，则双曲线的离心率e =▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（本小题满分10分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n *∈，点(),n n a 在直线2220x y --=上．（1）求n S ；（2）求n S 的最小值及此时n 的值．18．（本小题满分12分）已知抛物线()214y x =--与坐标轴交于点,,A B C ，圆M 为ABC ∆的外接圆．（1）求圆M 的方程；（2）过点()2,1P -作直线l 与圆M 相交于E ，F 两点，当||4EF =时，求直线l 的方程．19．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且51035,120S S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：2m m S S -是m S 和()32N m m S S m *-∈的等差中项．20．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>，点()00,P x y 在抛物线C 上，且01PF x =+．直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于坐标原点）．（1）求抛物线C 的方程；（2）若以A B 为直径的圆恰好经过坐标原点，证明直线l 恒过定点．21．（本小题满分12分）双曲线C 经过(A ，12B ⎫-⎪⎭两点．过点()3,0D 的直线1l 与双曲线C 交于P Q ，，过点()3,0D 的直线2l 与直线1x =相交于点S 且12l l ⊥．（1）求双曲线C 的方程；（2）若PQ ,求直线1l 的斜率．22．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:11x y C a b a b +=>>的离心率为，短轴长为2．椭圆C 与圆()222:0M x y r r +=>相交于点,,,A B C D ．（1）当四边形ABCD 面积最大值时，求圆M 的半径；（2）直线:l x ty m =+与（1）中的圆M 相切，并与椭圆C 相交于,P Q 两点，求OPQ∆面积的最大值．。

高二数学上册月考调研检测试题

高二数学上册月考调研检测试题
高中是重要的一年，大家一定要好好掌握高中，查字典数学网小编为大家整理了高二数学上册月考调研检测试题，希望大家喜欢。

一、选择题(每题5分，共60分，每题有且仅有一个正确答案)
1. 假定集合 ( )
A. B. C. D.
2.等差数列的前5项和，且，那么 ( )
A.12
B.13
C.14
D.15
3.映射如下表：
1234
2314
1234
4321
假定，那么的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.函数的图象大致为( )
5.数列中，对恣意，都有，那么 ( )
A. B. C. D.
6.曲线的一条切线的斜率为，那么该切点的横坐标为( )
A.3
B.2
C.-2
D.3或-2
7. 是定义在上的奇函数，当的值为( )
A.2
B.3
C.
D.
8.假定函数的图象关于直线对称，那么的最小值为( )
A.1
B.
C.2
D.
9.设，假定函数，有大于零的极值点，那么( )
A. B. C. D.
10.设函数，假定在R上单增，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.设数列，假定最大，最小，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.奇函数是定义在的延续增函数，，那么以下四个说法：
① 的定义域为，值域为② 为单增函数
③ 的最小值为-3④ 的图象关于点(1，1)对称，其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个。

高二数学上册第二次月考调研考试题

高二数学上册第二次月考调研考试题大家把实际知识温习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的缺乏，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的高二数学上册第二次月考调研考试题，希望对大家有协助。

一、选择题(此题共10个小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的。

)1.椭圆的焦点坐标为 ( )A.(5,0)B.(0,5)C. (0, )D. ( ,0)2. 从集合中随机取出一个数，设事情为取出的数为偶数，事情为取出的数为奇数，那么事情与 ( )A.是互斥且统一事情B.是互斥且不统一事情C.不是互斥事情D.不是统一事情3. 抛掷一枚质地平均的硬币，假设延续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )A. B. C. D.4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，假定弦长 =8，那么弦中点的横坐标为( )A.1B.2C.3D.45. 双曲线方程为是双曲线离心率的 ( )A.充要条件B.充沛不用要条件C.必要不充沛条件D.既不充沛也不用要条件6. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运发动每场竞赛得分的茎叶图，那么在这几场竞赛中甲得分的中位数与乙得分的众数区分是( )A、3，2B、28，32C、23，23D、8，27. 在同一坐标系中，方程与 ( )的曲线大致是 ( )8. 假设执行右图3的顺序框图，那么输入的 ( )A、22B、46C、94D、1909. 以下四个命题：①运用抽签法，每个集体被抽中的时机相等;②将十进制数化为二进制数为 ;③应用秦九韶算法求多项式在的值时 ;④一个线性回归方程是，那么变量之间具有正相关关系. 其中真命题的个数是 ( )A.1B.2C.3D.410. 动点A、B区分在图中抛物线及椭圆的实线上运动，假定∥ 轴，点N的坐标为(1，0)，那么三角形ABN的周长的取值范围是 ( )A. B. C. D.二、填空题(此题共5小题，每题4分，共20分)11. 命题 .那么是__________;13. 假定双曲线的渐近线方程式为，那么等于14. 右图的矩形，长为5 m，宽为2 m，在矩形内随机地撒 300颗黄豆，数得落在阴影局部的黄豆数为13 8颗，那么我们可以估量出阴影局部的面积为15. 假定椭圆的左焦点在抛物线的准线上，那么p的值为_______;16.如图，P是双曲线上的动点，、是双曲线的左右焦点，是的平分线上一点，且某同窗用以下方法研讨：延伸交于点，可知为等腰三角形，且M为的中点，得相似地：P是椭圆上的动点，、是椭圆的左右焦点，M是的平分线上一点，且，那么的取值范围是 .。

2023-2024学年广西防城港市高二上册教学质量检测数学试题(含解析)

2023-2024学年广西防城港市高二上册教学质量检测数学试题一、单选题1．已知点()()0,3,3,1A B -，则AB 为（）A ．5B ．C ．D ．4【正确答案】A【分析】由距离公式求解.【详解】5AB ==.故选：A210y +-=的倾斜角为（）A ．π3-B ．C ．2π3D ．56π【正确答案】C【分析】确定直线斜率为k =tan θ=，解得答案.10y +-=的斜率为k =θ满足tan θ=，[)0,πθ∈，故2π3θ=.故选：C3．双曲线22:163x y C -=的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．12y x=±D ．2y x =±【正确答案】D【分析】焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为by x a=±.【详解】因为双曲线22:163x y C -=的焦点在x 轴，所以它的渐近线方程为2y x =±，故A ，B ，C 错误.故选：D.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4440,19S a ==，则公差为（）A ．2-B ．6C ．4D ．8【正确答案】B【分析】由等差数列的求和公式以及通项公式列出方程组，得出公差.【详解】由题意可得114640319a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得16,1d a ==故选：B5．直线:10l x y --=截圆22:(1)(2)6C x y -++=所得的弦长为（）A ．4B．C．D．【正确答案】A【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.【详解】由已知，圆22:(1)(2)6C x y -++=，则圆心坐标为()1,2C -，所以点()1,2C -到直线:10l x y --==所以，直线被圆截得的弦长为4=.故选：A.6．如图，设O 为平行四边形ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若12OE OD xOA yOB =++，则x y +的值是（）A ．2-B ．0C ．1-D ．32【正确答案】B【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出111222OE OD OB OA =+-，结合条件即可得出答案.【详解】E 为OC 的中点，()1122OE OC OD DC ∴==+，四边形ABCD 为平行四边形，DC AB ∴=，()()1111122222OE OD AB OD OB OA OD OB OA ∴=+=+-=+-.12OE OD xOA yOB =++ ，12x ∴=，12y =-，0x y ∴+=，故选：B.7．已知点P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，点12,F F 分别为椭圆C 的左､右焦点，并满足11,OP OF OPF =面积等于4，则2b 等于（）A ．2B ．4C ．8D ．16【正确答案】C【分析】根据1OP OF =，得到12,,P F F 三点共圆，且12PF PF ⊥，再根据1OPF 面积等于4，结合椭圆的定义求解.【详解】如图所示：由条件可知1212,,,OP OF OF P F F ==三点共圆.且以12F F 为直径.故12PF PF ⊥.设12,PF m PF n ==，则112222111(2),4222OPF PF F m n c SS mn +===⋅=，解得16mn =.因为点P 在椭圆上，所以2m n a +=，联立以上式子可解得：222224432,8a c b a c =+=-=，故选：C.8．如图所示的多面体，底面ABCD 为长方形，DF ⊥平面1,,4ABCD DF CC BE AB =∥∥，12,3,1BC CC BE ===，则BF 与平面1AEC F 所成角正弦值为（）A ．44B ．33C D ．11【正确答案】B【分析】适当建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面1AEC F 的法向量n，并利用AF n ⊥，求出点F 坐标，最后利用线面角公式求出答案.【详解】因为DF ⊥平面,,ABCD AD CD ⊂平面ABCD ，所以,DF AD DF CD ⊥⊥，又ABCD 为长方形，所以AD DC ⊥，所以,,DA DC DF 两两垂直，以D 为原点，分别以,,DA DC DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,D xyz -因为14,2,3,1AB BC CC BE ====，则()()()()()()()110,0,0,2,4,0,2,0,0,0,4,0,2,4,1,0,4,3,2,4,3D B A C E C AC ∴=-，()0,4,1AE = ，设平面1AEC F 的一个法向量为(),,n x y z =r，由100n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得402430y z x y z +=⎧⎨-++=⎩，令11,14x z y =⎧⎪=∴⎨=-⎪⎩，即11,,14n ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ，设()00,0,F z ，则()02,0,AF z =- ，又AF n ⊥，故0020,2AF n z z ⋅=-+== .故()()0,0,2,2,4,2F BF =-- .设BF 与平面1AEC F 所成角为θ，于是，sin BF nBF nθ⋅∴==故选：B.二、多选题9．已知空间向量()()()1,2,1,3,2,1,4,4,1a b c ==-=--，则（）A．a =B ．,,a b c是共面向量C ．a b⊥ D ．()10a b c +⋅= 【正确答案】ABC【分析】根据向量的坐标进行运算，求向量的模长，判断关系.【详解】a == A 项正确；设a mb nc =+ ，即1342241m nm n m n =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得3m =，2n =，即32a b c =+ ，所以a ，b，c 共面，B 项正确；3410a b ⋅=-+=，所以a b ⊥ ，C 项正确；()()()4,0,24,4,118a b c +⋅=⋅--=-，D 项错误.故选：ABC.10．已知M 是椭圆22:142x y C +=上一点，12,F F 是左､右焦点，下列选项中正确的是（）A ．椭圆的焦距为2B ．椭圆的离心率e =C ．124MF MF +=D ．12MF F △的面积的最大值是2【正确答案】BCD【分析】对于ABC ，由椭圆的标准方程求得,,a b c ，再利用椭圆的定义与性质即可判断；对于D ，由椭圆的几何性质与12MF F △的面积公式即可判断．【详解】对于A ，因为椭圆22:142x y C +=，所以知2,a b c ===所以椭圆的焦距为2c =，故A 错误；对于B ，椭圆的离心率为2c e a ==，故B 正确；对于C ，由椭圆的定义可得1224MF MF a +==，故C 正确；对于D ，设()00,M x y ，由椭圆的几何性质可知0y b ≤，所以12120112222MF F SF F y c b bc =⋅≤⨯⨯==，即12MF F △的面积的最大值是2，故D 正确.故选：BCD ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211,2,3+==+=n n a a a a n ，则（）A ．34a =B ．数列{}n a 为等差数列C ．数列{}2n a 为等差数列D ．n 为奇数时，214n n S +=【正确答案】AC【分析】对于AB ，利用递推式直接求出34a =即可判断；对于C ，利用递推式得到2223+-=n n a a ，从而得以判断；对于D ，同理可得21213n n a a +--=，再结合选项C 中的结论，利用等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】对于A ，因为1211,2,3+==+=n n a a a a n ，所以326+=a a ，则34a =，故A 正确；对于B ，因为322a a -=，211a a -=，所以{}n a 不是等差数列，故B 错误；对于C ，因为13++=n n a a n ，所以222121263,6++++=++=n n n n a a n a a n ，两式相减，得2223+-=n n a a ，所以{}2n a 为等差数列，故C 正确；对于D ，因为13++=n n a a n ，所以2122216,63n n n n a a n a a n +-+=+=-，两式相减，得21213n n a a +--=，所以数列{}n a 的奇数项为等差数列，公差为3，又由选项C 知，{}n a 的偶数项也为等差数列，公差为3，121,2a a ==，当n 为奇数时，()()132241--=++++++++ n n n n S a a a a a a a 211111111312222132322224++--⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n n n n ，故D 错误.故选：AC.12．抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则下列说法一定正确的是（）A ．AB 的最小值为4B ．线段AB 为直径的圆与直线1y =-相切C ．12x x 为定值D ．若(0,1)M -，则AMF BMF∠=∠【正确答案】ABCD【分析】根据抛物线焦点弦的性质结合选项即可逐一判断．【详解】A 选项：抛物线2:4C x y =，焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，过焦点的弦中通径最短，所以AB 的最小值为24p =，故A 正确；B 选项：如图：设线段AB 的中点为D ，过点,,A B D 作准线的垂线，垂足分别为111,,A B D ，由抛物线的定义可得1AA AF =，1BB BF =，所以()1111122DD AA BB AB =+=，所以以线段AB 为直径的圆与直线=1y -相切，故B 正确；C 选项：设直线AB 所在的直线方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 可得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-，故C 正确；D 选项：由C 得124x x k +=，124x x =-，故AM BMk k +121211y y x x ++=+12221112y x x y x x x x +++=()()122211114kx x x kx x x +++++=-()1212224kx x x x ++=-()242404k k⨯-+⨯==-，故D 正确；故选：ABCD．三、填空题13．各项为正数的等比数列{}n a 中，151,16a a ==，则公比是__________.【正确答案】2【分析】直接利用等比数列的通项公式计算得到结果【详解】由已知等比数列{}n a 中，151,16a a ==，得445116a a q q ===，又等比数列{}n a 的各项为正数,0q >,故2q =.故2.14．两平行直线1:10l x y -+=与2:20l ax y a +-=之间的距离是__________.【分析】根据平行线的性质可以求出a 的值，然后利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为12l l //，所以有22111a a a -=≠⇒=--，所以直线2l 的方程为：2220x y -++=，化简为：10x y --=，=15．边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 的体是1AA 的中点，则1B 到平面BDE 的距离是__________．【分析】方法一：建立空间直角坐标系，根据点到平面距离的向量公式求解即可；方法二：将1B 到平面BDE 的距离转化为三棱锥的高，利用等体积法即可求得答案．【详解】解法一：空间向量法：如图，以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，各点坐标为：(2,2,0)B ，(0,0,0)D ，(2,0,1)E ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，()()()12,2,0,2,0,1,0,0,2DB DE BB ===，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z = ，于是22020DB n x y DE n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，则(1,1,2)n =- ，()10,0,2BB =，1B ∴到平面BDE的距离：1BB n d n ⋅== 解法二：等体积法：如图，易知11B BDE D B BE V V --=，12B BE S =△，BDE S =△DA ⊥ 平面11ABB A ，D ∴到平面1B BE 的距离是2，设1B 到平面BDE 的距离是h ，且11B BDE D B BE V V --=，112233h ∴=⨯⨯，解得h．16．已知点()5,2A 和抛物线2:4C y x =，抛物线C 的焦点为,F P 为抛物线上的动点，则PA PF +的最小值是__________.【正确答案】6【分析】作出图形，由抛物线的定义可知，当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，即可求解.【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为=1x -，过点P 作直线=1x -的垂线，垂足为点E ，由抛物线的定义得PF PE =，||||||||PA PF PA PE +=+，当点A 、P 、E 三点共线时，即当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，且最小值为516+=．故答案为.6四、解答题17．已知直线11:220,l x y l +-=与x 轴，y 轴的交点分别为,A B .直线2l 经过A 点且倾斜角为π4.(1)求直线2l 的一般方程；(2)求线段AB 的中垂线方程.【正确答案】(1)10x y --=(2)2430x y -+=【分析】（1）根据题意求出点的坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出中点坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可.【详解】（1）设直线2l 的斜率为2k ，则2πtan 14k ==过令0y =，得=1x -，所以()1,0A ，由直线的点斜式方程()00y y k x x -=-，代入可得，()011y x -=⨯-，化简得10x y --=，所以所求的直线方程为10x y --=.（2）设线段AB 的中垂线斜率为k ，线段AB 的中点为C ，设直线1l 的斜率为1k ，由直线1:220l x y +-=可得22y x =-+，则12k =-，由垂直关系可知，11kk =-，解得12k =；令0x =，得2y =，所以()0,2B ，由中点坐标公式可知，1002,22c ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由直线的点斜式方程()00y y k x x -=-，代入可得，11122y x ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，化简得2430x y --=，即线段AB 的中垂线方程是2430x y -+=.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2,,PA AB M N ==分别,PC AB 为的中点.(1)证明：MN //平面PAD ；(2)求二面角M NB C --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析2【分析】（1）方法一：取PD 的中点E ，利用中位线性质证明四边形MEAN 是平行四边形，根据平行四边形性质可得//MN EA ，由线面平行判定定理即可证明；方法二：建立空间直角坐标系，由0AB MN ⋅= 即可证明；（2）建立空间直角坐标系，易得平面NBC 的一个法向量为()0,0,2AP =，平面MNB 的法向量为()0,1,1m =- ，由法向量夹角公式即可求解.【详解】（1）方法一：取PD 的中点E ，连接,ME EA ，如图（1）所示：因为,M E 分别是,PC PD 的中点，在PCD 中，//ME CD ,12ME CD =,因为底面ABCD 是正方形，N 为AB 的中点所以//AN CD ，12AN CD =所以//ME AN 且ME AN =，四边形MEAN 是平行四边形，所以//MN EA ，又因为MN ⊄平面,PAD EA ⊂平面PAD ；所以MN //平面PAD .方法二：因为底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示：由条件可知()()()1,1,1,1,0,0,0,1,1M N MN =-- ；平面PAD 的一个法向量是()2,0,0AB = ；0AB MN ⋅= ，所以AB MN ⊥ ；因为MN ⊄平面PAD ，所以MN //平面PAD（2）因为底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示：设二面角M NB C --的平面角为θ，平面MNB 的法向量为(),,m x y z =，由条件可知()()()()()1,1,1,1,0,0,2,0,0,0,1,1,1,0,0M N B MN NB =--= ；00MN m y z NB m x ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1y =，则1z =-，平面MNB 的法向量为()0,1,1m =- ；平面NBC 的一个法向量为()0,0,2AP =；cos ,2m AP m AP m AP ⋅==- ；因为θ为锐角，故cos 2θ=，所以二面角M NB C --19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点为12,F F ，右焦点到左顶点的距离是6，且离心率等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过1F 作斜率为k 的直线l 分别交双曲线的两条渐近线于第二象限的A 点和第一象限的B 点，若1AF AB =，求k 的值.【正确答案】(1)221412x y -=【分析】（1）根据双曲线的顶点与焦点坐标，建立方程，可得答案；（2）利用点斜式方程，设出直线方程，由双曲线方程，写出渐近线方程，联立求得交点，根据中点坐标公式，可得答案.【详解】（1）由条件可知6,2c a c a+==；由此解得2,4a c ==；222b c a =-，所以212b =；所求的双曲线方程为221412x y -=.（2）由条件，知()14,0F -，直线l 的方程是()4y k x =+，双曲线的渐近线方程为y =，设()()1122,,,A x y B x y，联立方程组()4y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得A ⎛⎫；联立方程组()4y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得B ⎛⎫⎪⎪⎭因为1,AF AB A =是1F B 的中点，于是=⎪⎨⎪⎪=⎪⎩k k20．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，满足21321,12n n a a S +=-=.(1)求出数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足2n n n c a =，试求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】(1)2n a n =+(2)()1122n n T n +=+⋅-【分析】（1）设等差数列的公差为d ，由题意列出方程组，即可求得答案；（2）由（1）可得2n n n c a =的表达式，利用错位相减法，即可求得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为d ，则()21112,1n n a a nd a a n d +=+=+-,313232S a d ⨯=+，联立可得()111222113312a nd a n d a d ⎧+=+--⎨+=⎩，解131a d =⎧⎨=⎩，由()11n a a n d +-=得.2n a n =+（2）.由（1）可知()22n n c n =+⋅，故123n nT c c c c =++++L ()12332425222nn =⋅+⋅+⋅+++⋅ 所以()2341232425222n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ ，两式相减得()1234132222222n n n T n +-=⋅+++++-+⋅ ，即()()()2111111212322232222412n n n n n T n n -+++--=⋅+-+⋅=⋅-+⋅+--故()1122n n T n +=+⋅-，则数列{}n c 的前n 项和()1122n n T n +=+⋅-.21．已知圆经过两点()()0,1,3,0A B -，圆心在直线40x y --=上.(1)求出这个圆的标准方程；(2)当点A 到直线640x my m +-+=的距离最大时，求m 的值.【正确答案】(1)22(2)(2)5x y -++=(2)12m =-【分析】（1）设圆的圆心为C ，,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线40x y --=上，将两点坐标代入方程解得答案.（2）直线过定点()6,4D -，当AD 与直线垂直时，距离最大，计算斜率，根据垂直得到答案.【详解】（1）设圆的圆心为C ，圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由方程可知,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由条件,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线40x y --=上，两点()()0,1,3,0A B -在圆上，联立方程组10 930 4022E F D F D E ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪-+-=⎩，解得44 3 D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，224430x y x y +-++=，22(2)(2)5x y -++=为所求的圆的标准方程.（2）直线640x my m +-+=化为()640x m y -++=，直线经过定点()6,4D -，当AD 与直线垂直时，距离最大，411602AD k -+==--，故直线640x my m +-+=斜率为12k m=-=，解得12m =-.22．某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量n a （公斤）和开园的第()N n n +∈天满足以下关系.24520,(116)2250,(1724)n n n n a n n -+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.(1)n 取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？(2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？【正确答案】(1)()618N n n +≤≤∈(2)1327公斤，不能完成销售计划【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:54n a ⨯⨯，批发销售当天的收入2005⨯，列不等式求解即可；（2）当116n ≤≤时，采摘零售量为数列{520}n +的和，当1724n ≤≤时，采摘零售量为数列24250}{2n n --+的和，两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否超过6500公斤.【详解】（1）由条件，当116n ≤≤时，()520542005n +⨯⨯≥⨯，解得616.n ≤≤当1724n ≤≤时，()242250542005n n --+⨯⨯≥⨯，解得1718n ≤≤，所以()618n n N +≤≤∈，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入.（2）不能.当116n ≤≤时，{}n a 为等差数列，记这些项的和为16116,25,100S a a ==，()116161610002a a S +==.当1724n ≤≤时，记数列{}n a 这些项的和为8T ，()()()7608221750221850222450T =-⨯++-⨯++⋯⋯-⨯+()()760822221718.24508T =++⋯⋯+-⨯++⋯⋯++⨯()8712128172424001212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⨯+-255328400=-+327=1681327S T +=，即采摘零售的总采摘量是1327公斤.批发销售的销售总量为200244800⨯=公斤，24天一共销售132748006127+=公斤，故不能完成销售计划.。

高二数学上册双基调研检测试题

双基限时练(十四)1．数列{2n }的前n 项和S n 等于( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析 S n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.答案 D2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )A ．31B ．33C ．35D ．37 解析 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1. a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10 ＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5) ＝q 5＝25＝32. ∴S 10＝1＋32＝33. 答案 B3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( )A ．179B ．211C ．248D ．275 解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81·q 4.又a n >0，∴q ＝23. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝81×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2351－23＝211.答案 B4．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析由a n ＝a 1q n －1，得96＝3q n －1. ∴q n －1＝32＝25.取n ＝6，q ＝2，这时S 6＝3(26－1)2－1＝189.适合题意．答案 C5．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析由等比数列的性质，知 T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，∴a 3＝1. 答案 B6．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列{1a n}的前n 项和为( )A.q n S nB.S n q nC.1S n qn －1 D.S n a 21qn －1 解析数列{1a n}仍为等比数列，且公比为1q ，所以前n 项和S n ′＝1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n 1－1q ＝a 1(q n －1)a 21q n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q ＝a 1(q n －1)a 21q n －1·(q －1)＝S na 21qn －1.答案 D7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋2)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析由log 2(S n ＋2)＝n ＋1，得 S n ＋2＝2n ＋1，S n ＝2n ＋1－2. 当n ＝1时，S 1＝a 1＝22－2＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n . 当n ＝1时也成立，故a n ＝2n . 答案 2n8．在等比数列{a n }中，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q ＝________.解析 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3. ∴q ＝a 4a 3＝3.答案 39．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，有下列三个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1； ②若S n ＝a n (a 为非零常数)，则{a n }是等比数列； ③若S n ＝1－(－1)n ，则{a n }是等比数列．其中真命题的序号是________．解析易知①是真命题，由等比数列前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q·q n 知②不正确，③正确．答案 ①③10．已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值； (2)数列{x n }前n 项和S n .解 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q 且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q . 解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)知x n ＝2n ＋n ， ∴S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.11．设数列{a n }满足关系：a n ＝32a n －1＋5(n ≥2)，a 1＝－172，令b n＝a n ＋10，求数列{b n }的前n 项和S n .解由a 1＝－172，a n ＝32a n －1＋5，b n ＝a n ＋10，知 b n ＝a n ＋10＝32a n －1＋15 ＝32(a n －1＋10)＝32b n －1. 又b 1＝a 1＋10＝10－172＝32.∴数列{b n }是首项为32，公比为32的等比数列，故 S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 1－32＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n－3.12．某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%，当年折旧的费用也为该年花费在该车上的费用)，试问：使用多少年后，该单位花费在该车上的费用就达36万元，并说明理由．解用a n 表示该单位第n 年花费在轿车上的费用，则有 a 1＝6＋36×0.1， a 2＝6＋(36×0.9)×0.1，a 3＝6＋(36×0.92)×0.1，…，类推可得a n ＝6＋(36×0.9n －1)×0.1. S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝6n ＋36×0.1×[1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n －1] ＝6n ＋3.6×1－0.9n1－0.9＝6n ＋36(1－0.9n )．令S n ＝36，得n ＝6×0.9n,0.9n＝n6.注意到1<n <6，取值验证．当n ＝4时，0.94＝0.6561，46＝23≈0.6667，所以n ＝4. 故使用4年后，花费在轿车上的费用就已达到36万元．。