2018学年高中数学北师大版选修4-5学案：第1章 章末分层突破 含解析

章末分层突破[自我校对]①求差比较法与求商比较法②算术几何平均值③分析法与综合法④反证法、几何法与放缩法式性质进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查，考查形式多以选择题出现．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中能推出log b 1b ＜log a 1b ＜log a b 成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．【精彩点拨】 先化简被推出的不等式，然后根据对数函数的性质，逐个判断．【规范解答】 ∵log b 1b ＝－1， 若1＜a ＜b ，则1b ＜1a ＜1＜b ， ∴log a 1b ＜log a 1a ＝－1， 故条件①不可以； 若0＜a ＜b ＜1， 则b ＜1＜1b ＜1a ，∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b ， 故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b ＜1， ∴log a 1b ＞0，log a b ＜0. 因此条件③不可以． 【答案】 ② [再练一题]1．若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则( ) A ．a 2＞b 2 B.a b ＜1 C ．lg(a －b )＞0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b【解析】 a ＞b 并不能保证a ，b 均为正数，从而不能保证A ，B 成立．又a ＞b ⇒a －b ＞0，但不能保证a －b ＞1，从而不能保证C 成立．显然只有D 成立．事实上，指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，所以a ＞b ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b成立．【答案】 D＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；(2)f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a .对任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．【精彩点拨】 构造函数F (a ，b )＝(a ＋b )＋(a －b )|a |，从而转化为|x －1|＋|x －2|≤[F (a ，b )]min .【规范解答】 依题意，|x －1|＋|x －2|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立．故|x －1|＋|x －2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋b |＋|a －b ||a |min . 因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取“＝”， 所以⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋b |＋|a －b ||a |min ＝2， 因此原不等式等价于|x －1|＋|x －2|≤2. 解上述不等式得12≤x ≤52， 即所求x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤52. [再练一题]2．对一切x ∈R ，若|x －a |＋|x ＋2|≥7恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 对x ∈R ，|x －a |＋|x ＋2|≥|(x ＋2)－(x －a )|＝|2＋a |， 因此原不等式恒成立， 必有|2＋a |≥7.∴2＋a ≥7或2＋a ≤－7，解得a ≥5或a ≤－9.故实数a 的取值范围是{a |a ≥5或a ≤－9}.也就是：(1)一正：各项必须为正；(2)二定：要求积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积必须是定值；(3)三相等：必须验证等号是否可以成立．某县投资兴建了甲、乙两个企业，2011年该县从甲企业获得利润100万元，从乙企业获得利润400万元，以后每年上缴的利润甲企业以翻一番的速度递增，而乙企业则减为上年的一半，据估算，该县年收入达到5 000万元可解决温饱问题，年收入达到50 000万元达到富裕水平，试估算：(1)若2011年为第1年，则该县从上述两企业获得利润最少的是第几年？这年还需另外筹集多少万元才能解决温饱问题？(2)到2020年底，该县能否达到富裕水平？为什么？【精彩点拨】 阅读理解题意→建立函数关系式→利用平均不等式求解→回归到原问题中【规范解答】 (1)设第n 年该县从这两个企业获得的利润为y 万元，则 y ＝100×2n －1＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n-1＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋42n －1 ≥100×22n －1·42n －1＝400(n ≥1)，当且仅当2n －1＝42n －1，即n ＝2时，y min ＝400(万元)，由5 000－400＝4 600(万元)，所以第2年该县从这两个企业获得利润最少，还得另外筹集4 600万元才能解决温饱问题．(2)到2020年，即第10年，该县从这两个企业获利润：y ＝100×210－1＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫129＞100×29＝51 200＞50 000. 故能达到富裕水平．[再练一题]3．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值？) (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出．②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？请说明理由．【解】 (1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则 y ＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n (n －1)2×4－98＝－2n 2＋40n －98.由y ＞0，得n 2－20n ＋49＜0，∴10－51＜n ＜10＋51(n 为正整数)， ∴3≤n ≤17，∴n ＝3. 即捕捞3年后，开始盈利． (2)①平均盈利为y n ＝－2n －98n ＋40 ≤－22n ·98n ＋40＝12.当且仅当2n ＝98n ，即n ＝7时，年平均利润最大．∴经过7年捕捞后平均利润最大，共盈利为12×7＋26＝110万元． ②∵y ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102， ∴当n ＝10时，y 的最大值为102；即经过10年捕捞盈利额最大，盈利102＋8＝110万元． 故两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算.据目标进行变形，但放缩一定要适度．已知a ＞0，a 2－2ab ＋c 2＝0且bc ＞a 2，试证明：b ＞c .【精彩点拨】 利用综合法，由平均值不等式建立不等关系，比较大小． 【规范解答】 ∵a 2－2ab ＋c 2＝0， ∴a 2＋c 2＝2ab .又a 2＋c 2≥2ac ，且a ＞0， ∴2ab ≥2ac ，∴b ≥c ，若b ＝c ，由a 2－2ab ＋c 2＝0，得 a 2－2ab ＋b 2＝0， ∴a ＝b ，从而a ＝b ＝c ，这与bc ＞a 2矛盾． 从而b ＞c . [再练一题]4．设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10. 求证：log a c ＋log b c ≥4lg c . 【证明】 由于a ＞1，b ＞1， 故要证明log a c ＋log b c ≥4lg c ， 只要证明lg c lg a ＋lg clg b ≥4lg c ， 又c ＞1，故lg c ＞0， 所以只要证1lg a ＋1lg b ≥4， 即lg a ＋lg blg a lg b ≥4，因ab ＝10，故lg a ＋lg b ＝1， 只要证明1lg a lg b≥4(*)，由a ＞1，b ＞1，故lg a ＞0，lg b ＞0， 所以0＜lg a lg b ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. 即(*)式成立．原不等式log a c ＋log b c ≥4lg c 得证.考必考的热点之一．几乎涉及整个高中数学的各个章节，以“实际为背景”、“函数为背景”的考题居多，既有客观题，又有主观题．不仅测试有关不等式的基础知识、基本技能、基本方法，而且还测试运算能力、逻辑推测能力以及分析问题、解决问题的能力．根据本章特点，应强化训练函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想方法．已知关于x 的不等式x ＋2m ＞1＋x －5m 2. (1)解这个不等式；(2)当此不等式的解集为{x |x ＞5}时，求实数m 的值．【精彩点拨】 (1)利用分类讨论的思想方程．(2)采用方程的思想方法． 【规范解答】 (1)原不等式可化为(m －1)x ＞m 2－2m －5， ①若m ＜1且m ≠0，则不等式的解为x ＜m 2－2m －5m －1；②若m ＞1，则不等式的解为x ＞m 2－2m －5m －1；③若m ＝1，则不等式的解为x ∈R . (2)如果原不等式的解为x ＞5， 则⎩⎨⎧m ＞1，m 2－2m －5m －1＝5，∴m ＝7，即原不等式解集为{x |x ＞5}时，m 的值为7. [再练一题]5．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1 B ．|a |≤1 C ．|a |＜1D ．a ≥1【解析】 设f (x )＝|x |，g (x )＝ax ，作函数图象(如图所示)．由图象知，|a|≤1，选B.【答案】 B1．(安徽高考)设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．【解析】因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.【答案】(－∞，＋∞)2．(天津高考)设a＋b＝2，b＞0，则12|a|＋|a|b的最小值为________．【解析】当a＞0时，12|a|＋|a|b＝12a＋ab＝a＋b4a＋ab＝14＋⎝⎛⎭⎪⎫b4a＋ab≥54；当a＜0时，12|a|＋|a|b＝1－2a＋－ab＝a＋b－4a＋－ab＝－14＋⎝⎛⎭⎪⎫b－4a＋－ab≥－14＋1＝3 4.综上所述，12|a|＋|a|b的最小值是34.【答案】3 43．(全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．图1-1【解】 (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}； f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 4．(全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝12时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知ac2＞bc2，则下列不等式一定成立的是()A．a2＞b2B．lg a＞lg bC.1b＞1a D．⎝⎛⎭⎪⎫13b＞⎝⎛⎭⎪⎫13a【解析】由ac2＞bc2，得a＞b(c≠0)．显然当a，b异号或其中一个为0时，A，B，C不正确．【答案】 D2．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】|x－1|＜2⇔－1＜x＜3，x(x－3)＜0⇔0＜x＜3.(0,3) (－1,3)．【答案】 B3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是() A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3【解析】 由a ＞b ＋1，得a ＞b ＋1＞b ，即a ＞b ，而由a ＞b 不能得出a ＞b ＋1，因此，使a ＞b 成立的充分不必要条件是a ＞b ＋1，选A.【答案】 A4．在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝lg x ＋1lg x C ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1D ．y ＝sin x ＋1sin x (0＜x ＜π)【解析】 y ＝x ＋4x ≥24＝4，A 错；当0＜x ≤1时，lg x ≤0，B 错；当x 2＋1＝1x 2＋1时，x ＝0， ∴y ＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，此时等号取不到，C 错；y ＝sin x ＋1sin x ≥2，此时sin x ＝1，D 正确．【答案】 D5．不等式|5x －x 2|＜6的解集为( ) A ．{x |x ＜2或x ＞3} B ．{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6} C ．{x |－1＜x ＜6} D ．{x |2＜x ＜3}【解析】 |5x －x 2|＜6⇒－6＜5x －x 2＜6⇔⎩⎨⎧x 2－5x －6＜0，x 2－5x ＋6＞0，∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6. 【答案】 B6．若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a －b 的值是( )A.13B ．23C.16 D ．112【解析】 由题意，得－a 2＝－16，b 2＝－16，所以a －b ＝13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23.【答案】 B7．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3【解析】 由a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2， ∴4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥2. 【答案】 C8．设a ，b ，c 为正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 满足( ) A ．都不大于2 B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【解析】 若a ＋1b ＜2，b ＋1c ＜2，c ＋1a ＜2同时成立， 相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c <6， ①∵a ，b ，c 为正数，∴a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c ≥2， 三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6. ②因为①式与②式矛盾，所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 至少有一个不小于2，选D. 【答案】 D9．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋ax y ＋y x ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(当且仅当y x ＝a 时，取等号)．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴只需(a ＋1)2≥9，∴a ≥4.【答案】 B10．已知a 1＞a 2＞a 3＞0，则使得(1－a i x )2＜1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3 【解析】 由(1－a i x )2＜1，得0＜a i x ＜2. 又a i ＞0，∴0＜x ＜2a i对a i (i ＝1,2,3)恒成立，则x 小于2a i的最小值．又a 1＞a 2＞a 3，∴2a i的最小值为2a 1，则x ＜2a 1.因此x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1，选B. 【答案】 B11．设a >b >c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【解析】 ∵a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥4，当且仅当b －c a －b ＝a －bb －c时，取等号，∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c ，而1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，得n ≤4. 【答案】 C12．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， 由f (x )在x ＝1处有极值， 得f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， ∴a ＋b ＝6.又a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9， 当且仅当a ＝b ＝3时取到等号，故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．不等式|x －1|＋|x ＋3|≥6的解集是________． 【解析】 当x ≤－3时，－2x －2≥6⇒x ≤－4； 当x ≥1时，2x ＋2≥6⇒x ≥2； 当－3<x <1时，4≤6，舍去． 故解集为{x |x ≥2或x ≤－4}． 【答案】 (－∞，－4]∪[2，＋∞)14．关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集是空集，则a 的取值范围是________．【解析】 |x －1|＋|x －2|的最小值为1， 故只需a 2＋a ＋1＜1，∴－1＜a ＜0. 【答案】 (－1,0)15．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 【解析】 ∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2. 又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3， 从而－6≤－2y ≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0， ∴－5≤x －2y ＋1≤1， ∴|x －2y ＋1|的最大值为5. 【答案】 516．设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝1＋2sin 2x sin 2x 的最小值为________.【导学号：94910028】【解析】 y ＝2sin 2x ＋12sin x cos x ＝32tan x ＋12tan x . ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan x ＞0，则32tan x ＋12tan x ≥232tan x ·12tan x ＝3，当且仅当tan x ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝π6时，取等号，∴y min ＝ 3. 【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式x ＋|2x －1|＜3. 【解】 法一 原不等式可化为 ⎩⎨⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)＜3，或⎩⎨⎧2x －1＜0，x －(2x －1)＜3. 解得12≤x ＜43或－2＜x ＜12.所以原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜43. 法二 由于|2x －1|＜3－x ， ∴x －3＜2x －1＜3－x ， 解得x ＞－2且x ＜43.∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜43. 18．(本小题满分12分)已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b ≥9a ＋b .【证明】 ∵a ＞0，b ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋4a b ＋b a ≥5＋2 4a b ·ba ＝9.由a ＋b ＞0， 得1a ＋4b ≥9a ＋b.19．(本小题满分12分)设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. 【证明】 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a ) ＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0， 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0. 故3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2成立．20．(本小题满分12分)(1)设x 是正数，求证：(x ＋1)·(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3； (2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．【证明】 (1)x 是正数，由重要不等式知， x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3， 故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3 ＝8x 3(当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．证明如下： 由(1)知，当x ＞0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0， 又(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1) ＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1) ＝(x ＋1)2(x 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0，此时不等式仍然成立．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x ＜2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．22．(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区，如图1所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪．造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．图1(1)设总造价为S 元，AD 长为x 米，试求S 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，S 取得最小值？并求出这个最小值． 【解】 (1)设DQ ＝y 米，又AD ＝x 米， 故x 2＋4xy ＝200， 即y ＝200－x 24x .依题意，得S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×2y 2， ＝4 200x 2＋210(200－x 2)＋160⎝⎛⎭⎪⎫200－x24x2 ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x 2.依题意x ＞0，且y ＝200－x 24x ＞0， 所以0＜x ＜10 2.故所求函数为S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x 2，x ∈(0,10 2)．(2)因为x ＞0， 所以S ≥38 000＋2 4 000x 2·400 000x 2＝118 000， 当且仅当4 000x 2＝400 000x 2，即x ＝10时取等号． 所以当x ＝10∈(0,102)时， S min ＝118 000元．故AD ＝10米时，S 有最小值118 000元．。