高考一轮课时训练(理)16.1.1相似三角形的判定及其有关性质 (通用版)
高考数学一轮复习 《几何证明选修》第1课时相似三角形的判定及有关性质课件
两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． (2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比
例中项，那么这个三角形是直角三角形．
教材回归
1.如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于
独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022
课 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 前 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5 自 助 餐
思考题2 △ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶 点分别在AB、AC上，求这个正方形的边长．
【解析】 如图，设正方形PQMN为加工成的正方形零件．△ABC的高AD与 边PN相交于点E，设正方形的边长为x cm
探究2 1.判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理． 相似三角形的判定定理可能要同时用到，先证两个三角形相似，以此作铺垫，
再证另两个三角形相似． 2．相似三角形性质的作用 (1)可用来证明线段成比例、角相等； (2)可间接证明线段相等； (3)为计算线段长度及角的大小创造条件； (4)可计算周长、特征线段长等．
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相似三角形的性质和判定知识点
相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。
相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。
3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。
4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。
5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。
这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。
三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。
3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。
这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。
四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。
2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。
通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。
3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。
高三数学一轮复习 第1课时 相似三角形的判定及有关性质
相似三角形的性质与判定定理
1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定 理，结合定理创造条件建立对应边或对应角 的关系． 2．相似三角形的性质应用可用来考查与相似 三角形相关的元素，如两个三角形的高、周 长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径 、内切圆的面积等．
如图，已知▱ABCD 中，G 是 DC 延长线上一点，AG 分别交 BD 和 BC 于 E、F 两 点 ， 证 明 ： AF·AD ＝
— Really? But it’s not true. In fact, I _____Dby myself.
A. cut it up
B. put it up
C. woke it up
D. made it up
四、根据汉语意思及提示完成句子，每空一词。 16. 脱口秀节目有什么相同特征？ (common) What do talk shows ______h_a_v_e _______in__ ____c_o_m__m_o?n
证明： (1)∵BF⊥AC 于点 F，CE⊥AB 于点 E， ∴∠BFC＝∠CEB. 又∵∠CPF＝∠BPE， ∴△CPF∽△BPE. (2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴EBPP＝FCPP. 又∵∠EPF＝∠BPC，
∴△EFP∽△BCP.
直角三角形射影定理的应用
1．在使用直角三角形射影定理时，要学会 将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例 式”． 2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形 是解直角三角形时常用的方法．
14. —Is ___C___ here now, Leo?
— No. Wendy isn’t here. She is running on the
playground.
高三数学一轮复习课时提能演练 选修41.1 相似三角形的判定及有关性质 理 新课标
1.如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB=BC=1，A′B′=32，则B′C′=______.2.如图，已知D、E、F分别是△ABC三边BC、CA、AB的中点，△DEF与△ABC的面积之比为______.3.(2011·广东高考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，E,F分别为AD，BC上的点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为______.4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且AD2DB，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是______.5.(2012·江门模拟)如图，△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB=4AF，HE=8，则DF 的长为______.6.已知梯形ABCD的上底AD=8 cm，下底BC=15 cm，在边AB、CD上分别取E、F，使AE∶EB=DF∶FC=3∶2,则EF=______.7.(2012·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C=90°，AB=2,BC=1,AD=32,则DE=______;CE=______.8.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A,BC=6,AC=3,则CD=______.9.(2011·陕西高考)如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=______.10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15,CH⊥AB于H，且BH=16，则△ABC的面积是______.11.如图，△ABC中，BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC，过B作CA的垂线，交CA延长线于E，交DA延长线于F，则AF=______.12.如图，∠1=∠B,AD=5,AB=10，则AC的长度为______.13.如图，梯形ABCD中，AB=3,DC=9,BC=4,AD=6，EF∥AB,且梯形AEFB与梯形EDCF的周长相等，则AE∶ED=______.14.如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC 面积的比是______.15.如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F，则下列结论中:①EC EF CD AF=;②FG BG AG GD=;③AE BD AG DG=;④AF AECD DE=.其中正确结论的序号是______.16.(2012·中山模拟)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=______.17.在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EF FGBC AD+=______.18.如图，ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，且AE=6，EF=4，那么FG=______.19.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=3,过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE=______.20.如图，已知AD∥EG∥BC,AD=6，BC=9,AE2AB3=，则GF的长为______.21.(2012·三亚模拟)如图所示，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是______米.22.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥CD,且AB=2，AD=2，则AF=______.23.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，矩形的面积为40 cm2,S△ABE∶S△DBA=1∶5，则AE的长为 ______cm.24.(2011·惠州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD、AC相交于O.过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD=12，BC=20，且AO∶OC=3∶5，则EF=______.答案解析1.【解析】∵a ∥b ∥c, ∴A B AB 1B C BC ''==''.又∵3A B 2''=,∴3B C 2''=.答案：322.【解析】∵D 、E 、F 分别是△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，∴EF=12BC ，ED=12BA,FD=12CA,∴EF ED FDBC BA CA ==,∴△DEF 与△ABC 的三边对应成比例，∴△DEF ∽△ABC,∴△DEF 与△ABC 的面积之比为1∶4.答案：1∶43.【解题指南】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.【解析】延长AD 、BC 相交于点G.由已知得△GAB ∽△GDC ，△GEF ∽△GDC,所以GAB GCD S 164S 4==，GEF GCD S 9S 4=，从而S 梯形ABCD =3S △GCD ,S 梯形EFCD =54S △GCD ,所以梯形ABCD 与梯形EFCD 的面积比为3∶54=12∶5,从而得梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.答案：7∶54.【解析】∵AD 2DB =,∴AD 2AB 3=,又DE ∥BC,∴△ADE ∽△ABC,∴ADEABC S 4S 9=,∴ADEDBCE S 4S 5=四边形.答案：4∶55.【解题指南】由平行线分线段列出比例式是求解的关键.【解析】∵AH ∥BE,∴HFAFHE AB =.∵AB=4AF,∴HF 1HE 4=.∵HE=8,∴HF=2.∵AH ∥BE ，∴HD ADDE DC =.∵D 是AC 的中点,∴HD1DE =.∵HE=HD+DE=8,∴HD=4,∴DF=HD-HF=4-2=2.答案：26.【解析】因为AE DFEB FC =,所以EF ∥BC ∥AD,因为AE ∶EB=3∶2， 所以AE ∶AB=3∶5，所以EP ∶BC=3∶5， 因为BC=15 cm ，所以EP=9 cm ，同理PF=3.2 cm ，所以EF=12.2 cm.答案：12.2 cm7.【解析】依题意得△ADB ∽△ACE ⇒AD ABAC AE =⇒AD ·AE=AC ·AB ⇒AD ·(AD+DE)=AC ·AB⇒DE= AC ABAD AD - =52.==DBAD DB AC EC 7.EC AC AD =⇒==答案：528.【解析】因为∠DBC=∠A,∠C=∠C,所以△CDB ∽△CBA,所以BC CDAC BC =,即3=所以CD=2.答案：29.【解题指南】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解.【解析】因为AE ⊥BC ，所以∠AEB=∠ACD=90°，又因为∠B=∠D ，所以△AEB ∽△ACD ，所以AC AD AE AB =，所以AB AC 64AE 2AD 12⨯===， 在Rt △AEB 中，2222BE AB AE 624 2.=-=-=答案：4210.【解析】如图，∠C=90°,由CH ⊥AB,得AC 2=AH ·AB,即152=(AB-16)·AB=AB 2-16AB,即AB 2-16AB-225=0⇒(AB-25)(AB+9)=0,∴AB=25或AB=-9(舍去),∴2222BC AB AC 251520=-=-=，∴S △ABC =12×15×20=150. 答案：15011.【解析】设AE=x,∵∠BAC=120°,∴∠EAB=60°,又AE ⊥EB,∴AB=2x,BE=3x,∴AE BE 3x 3==. 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,∴△AEF ∽△BEC,∴AF AE BC BE =,∴4AF 4333=⨯=. 答案：43312.【解析】在△ACD 和△ABC 中，∠1=∠B,∠A 为公共角，∴△ACD ∽△ABC ，∴AD AC AC AB=,即AC 2=AD ·AB=5×10=50, ∴AC=52.答案：5213.【解题指南】解决本题可通过作辅助线把梯形的周长关系转化为三角形的周长关系，从而求解.【解析】过A作AG∥BC，交EF于H，交DC于G.易证△AEH与梯形EHGD的周长相等,故AE AHAD AG=. ①AE+AH=(6-AE)+6+(4-AH), ②由①②可得AE=245,∴DE=246655-=,∴AE∶DE=245∶65=4∶1.答案：4∶114.【解析】∵M、N分别是AB、BC的中点, ∴MN∥AC，且MN∶AC=1∶2,∴△MON∽△AOC, ∴其面积比等于MN2∶AC2=1∶4.答案：1∶415.【解析】∵CF∥AD,∴EC EF AF AE,CD AF CD DE==,所以①④正确.又∵BF∥AD，∴FG BG,AG GD=所以②正确.答案：①②④16.【解析】连接BD,DE，则四边形EBCD为矩形，所以DE⊥AB且EB＝DC＝a2，∵AB=a,∴AE=EB=a2,所以△ABD是以AB为底的等腰三角形，即： DA= DB=a，又点E，F分别为线段AB，AD的中点，所以 EF为△ABD的中位线，所以EF=1a DB. 22=答案：a 217.【解析】∵EF∥BC,∴EF AFBC AC=①∵FG∥AD,∴FG FCAD AC=②①+②得: EF FG AF FC AC1. BC AD AC AC AC +=+==答案：118.【解析】∵DF∥AB,∴DF EF42,AB AE63===∴CF1AB3=,又∵CF∥AB，∴FG CF1AG AB3==,即FG1FG103=+,∴FG=5.答案：519.【解析】由勾股定理得：BC5=,由射影定理得:2AC9 CDBC5==，由三角形面积相等得：AB AC12 AD.BC5==又由三角形面积相等得：AD DC36DEAC25==.答案：36 2520.【解析】∵AD∥EG∥BC,∴EG AEBC AB=,EF BEAD BA=.∵AE2,AB3=∴BE1AB3=,EG2BC3= ,∴EF1 AD3=.又∵AD=6,BC=9,∴EF=2,EG=6,∴GF=EG-EF=4.答案：421.【解析】由题意，知CD∥BE.∴△ACD∽△ABE,∴CD AC BE AB=.∵AC=2米，BC=8米, ∴AB=10米.又∵CD=1.6米,∴1.62BE10=.∴BE=8米.答案：822.【解析】∵DE ∥BC,∴AD AEAB AC =.∵EF ∥CD,∴AFAEAD AC =,∴ADAFAB AD =,∴AD 2=AF ·AB.∵,∴AF=1.答案：123.【解析】∵S △ABE ∶S △DBA =1∶5, ∴S △ABE ∶S 矩形ABCD =1∶10, ∴2ABE ABCD 11S S 404(cm ).1010==⨯=矩形由△ABE ∽△DAE 易证相似比为1∶2， 即BE ∶AE=1∶2,设BE=x cm,则AE=2x cm, ∴12x ·2x=4,∴x=2,∴AE=4 cm. 答案：424.【解析】∵OE ∥BC,∴OE AO3BC AC 8==,∴OE=152,∵OF ∥AD,∴OFOC5AD AC 8==,∴OF=152.∴EF=OE+OF=15151522+=.答案：15。
高考数学一轮复习 1相似三角形的判定及有关性质课时达
2016届高考数学一轮复习 1相似三角形的判定及有关性质课时达标训练 文 湘教版选修4-11．在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，E 是AB 中点，EF ⊥BC 于F ，若HC ＝14BH ，则FCBF ＝( )A.52B.23 C.12 D.32【解析】 易知EF ∥AH ， 又AE ＝EB ，∴BF ＝FH ， ∴HC ＝14BH ＝12BF ，故FC BF ＝32. 【答案】 D2．如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝53，若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，则△ABC 的周长为( )A ．20 cm B.254 cmC.503cm D ．25 cm 【解析】 利用相似三角形的相似比等于周长比可得． 【答案】 D3．如图，△ABC ，AB ＝12，AC ＝15，D 为AB 上一点，且AD ＝23AB ，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则AE ＝( )A ．10或325 B.325C ．10D ．以上答案都不对【解析】 ①如图(1)，当∠AED ＝∠C 时，即DE ∥BC ，则AE ＝23AC ＝10.②如图(2)，当∠AED ＝∠B 时，△AED ∽△ABC ，∴AE AB ＝AD AC ，即AE 12＝815，∴AE ＝325， 综合①②，AE ＝10或325，故选A.图(1)图(2)【答案】 A4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562C.15D.3102【解析】 设AD ＝3x ，则DB ＝2x .由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， ∴36＝6x 2，∴x ＝6，则AB ＝5 6. ∴CE ＝12AB ＝562.【答案】 B5．已知△ABC 中，AE ：EB ＝1：3，BD ：DC ＝2：1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AF FD的值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2【解析】 过D 作DG ∥CE 交AB 于G ， 则BG GE ＝BD DC＝2.又AE EB ＝13，∴AE ＝EG ， 故AF FD ＝AE EG ＝1，EF ＝12DG . 又DG CE ＝BD BC ＝23， ∴EF CE ＝13，EF FC ＝12， ∴EF FC ＋AF FD ＝32. 【答案】 C6．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b ，要使BC 边上至少存在一点P ，使△PBA ，△APD ，△CDP 两两相似，则a ，b 间的关系一定满足( )A ．a ≥12b B ．a ≥bC ．a ≥32b D ．a ≥2b【解析】 结合图形易知，要使△PBA ，△APD ，△CDP 两两相似，必须满足AB CP ＝BP CD. 即b CP ＝BP b，BP ·CP ＝b 2.设BP ＝x ，则CP ＝a －x ，∴(a －x )x ＝b 2，即x 2－ax ＋b 2＝0.要使BC 边上至少存在一点P ，必须满足Δ＝a 2－4b 2≥0， 所以a ≥2b ，故选D. 【答案】 D 二、填空题7．(2014·陕西模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．【解析】 在Rt △ACD 中，CD ＝122－42＝82，所以cos D ＝232.由∠D ＝∠B 可知在Rt △AEB 中cos B ＝BE AB，所以BE ＝AB ·cos B ＝4 2. 【答案】 4 28．(2014·许昌模拟)已知梯形ABCD 的上底AD ＝8 cm ，下底BC ＝15 cm ，在边AB 、CD 上分别取E 、F ，使AE ∶EB ＝DF ∶FC ＝3∶2，则EF ＝________．【解析】 因为AE ∶EB ＝3∶2， 所以AE ∶AB ＝3∶5. 所以EP ∶BC ＝3∶5， 因为BC ＝15 cm ，所以EP ＝9 cm ，同理PF ＝3.2 cm. 所以EF ＝12.2 cm. 【答案】 12.2 cm9．如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．【解析】 设AP ＝x ， (1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝AP BC ，即36－x ＝x 33， 所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝AP BP ，即333＝x 6－x，解得x ＝32， 所以符合条件的点P 有2个． 【答案】 210．如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .则AE ·BF ＝______DE ·AF .【解析】 过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF＝2DE BF， 即AE ·BF ＝2DE ·AF . 【答案】 2 三、解答题11．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为腰AB 上一点，AD ＝DC ，且AD 2＝AB ·BD ，求证：∠A ＝36°.【证明】 过点D 作DE ∥BC ，交AC 于E . ∴∠EDC ＝∠BCD ，BD ＝CE .∵AD 2＝AB ·BD ，AD ＝DC ， AB ＝AC ， ∴AD AB ＝BD AD ＝CD AC ＝CECD.又∠ECD ＝∠DCA ， ∴△ECD ∽△DCA ， ∴∠EDC ＝∠A . 又AD ＝CD ， ∴∠A ＝∠DCE ，∴∠BCD ＝∠ACD ＝∠A ，∴∠BCA ＝∠BCD ＋∠ACD ＝2∠A . 又AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝2∠A .∴∠A ＋∠B ＋∠BCA ＝5∠A ＝180°，∴∠A ＝36°. 12.如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.(1)求证：AB BD ＝53；(2)求△ABC 的周长．【解析】 (1)证明：在△ADC 和△BEC 中， ∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△ADC ∽△BEC ， ∴AC BC ＝AD BE ＝1012＝56.∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线， ∴BC ＝2BD .又AB ＝AC ，∴AC BC ＝AB 2BD ＝56， ∴AB BD ＝53. (2)设BD ＝x ，则AB ＝53x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＝x 2＋102， 解得x ＝7.5.∴BC ＝2x ＝15 cm ，AB ＝AC ＝53x ＝12.5 cm ，∴△ABC 的周长为40 cm.13．在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (AB >AE )． (1)△AEF 与△ECF 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(2)设AB BC＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BCF 相似？若存在，证明你的结论，并求出k 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)相似．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°. ∵EF ⊥EC ，A 、D 、E 共线， ∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.又∠DEC ＋∠DCE ＝90°， ∴∠AEF ＝∠DCE ， ∴△AEF ∽△DCE ，EF EC ＝AFDE.∵AE ＝DE ，∴EF EC ＝AFAE.又∠A ＝∠FEC ＝90°， ∴△AEF ∽△ECF . (2)存在．由于∠AEF ＝90°－∠AFE <180°－∠CFE －∠AFE ＝∠BFC ， ∴若△AEF ∽△BCF ，只能是∠AFE ＝∠BFC ， 由(1)△AEF ∽△DCE ∽△ECF ， 设AD ＝2x ，AB ＝b ，AF ＝a ， 则DE ＝AE ＝x ，BF ＝b －a . ∵△AEF ∽△DCE ， ∴DC AE ＝DE AF ，∴x 2＝ab . ∵△AEF ∽△BFC ， ∴AF AE ＝BF BC， 即a x ＝b －a2x.∴b ＝3a ，∴x 2＝ab ＝3a 2， ∴x ＝3a . ∴AB BC ＝CD BC ＝CD 2DE ＝b 2x ＝3a 23a ，即k ＝32.反之，当k ＝32时，∠DCE ＝30°， ∠AEF ＝∠DCE ＝30°，∠ECF ＝∠AEF ＝30°， ∴∠BCF ＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF ， ∴△AEF ∽△BCF .。
高考数学一轮复习 11.1相似三角形的判定及其有关性质练习 理(选考部分)
第十一章 选考部分第一节 相似三角形的判定及其有关性质1．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，要使△ABC∽△CDB，那么BD ＝______．第1题图 第2题图解析：因为∠ABC＝∠CDB＝90°，所以当AC BC ＝BC BD时，△ABC ∽△CDB ， 即当a b ＝b BD 时，△ABC ∽△CDB ，所以BD ＝b 2a. 答案：b 2a2．如图，在△ABC 中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8.则AC 的长为__________．解析：因为EF∥CD，所以AE AD ＝AF AC. 因为AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8，所以66＋3＝8AC，所以AC ＝12. 答案：123．已知梯形ABCD 的上底AD ＝8 cm ，下底BC ＝15 cm ，在边AB 、CD 上分别取E 、F ，使AE∶EB＝DF∶FC＝3∶2，则EF ＝________．解析：如图，连接AC 交EF 于点P ，因为AE∶EB＝3∶2，所以AE∶AB＝3∶5.所以EP∶BC＝3∶5，因为BC ＝15 cm ，所以EP ＝9 cm ，同理PF ＝3.2 cm.所以EF ＝12.2 cm.答案：12.2 cm4．如图所示，已知在△ABC 中，∠C＝90°，正方形DEFC 内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC ＝1，BC ＝2，则AF∶FC＝__________．解析：设正方形DEFC 的边长为x ，因为EF∥BC，所以△AEF∽△ABC, 所以EF BC ＝AF AC， 所以x 2＝1－x 1， 得x ＝23，即EF ＝FC ＝23，从而AF ＝1－FC ＝13，所以AF∶FC＝1∶2. 答案：1∶25．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE∶EB＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________cm 2.答案：726．如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BE EC ＝4，A E 交BD 于F ，则BF FD＝________．解析：在AD 上取点G ，使AG∶GD＝1∶4，连接CG 交BD 于H ，则CG∥AE，所以BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，所以BF FD ＝45. 答案：457．如图，已知DE∥BC，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE∶BC 的值是________．第7题图 第8题图答案：1∶28．如图，平行四边形ABCD 中，AE∶EB＝1∶2，若△AEF 的面积等于1 cm 2，则△CDF的面积等于________ cm 2.答案：99．如图，在△ABC 中，点D 为AC 边上的中点，AE∥BC，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若BG∶GA＝3∶1，BC ＝10，则AE 的长为________．解析：∵AE∥BC，∴△BGF ∽△AGE.∴BF ∶AE ＝BG∶GA＝3∶1.∵点D 为AC 的中点，∴AE CF ＝AD DC＝1.∴AE＝CF. ∴BC ∶AE ＝2∶1.∵BC＝10，∴AE ＝5.答案：510．如图所示，已知D 是△ABC 中AB 边上一点，DE∥BC 且交AC于E ，EF∥AB 且交BC 于F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，则四边形BFED 的面积等于____________．解析：因为AD∥EF，DE ∥FC ，所以△ADE∽△EFC.因为S △ADE ∶S △EFC ＝1∶4，所以AE∶EC＝1∶2，所以AE∶AC ＝1∶3，所以S △ADE ∶S △ABC＝1∶9，所以S 四边形BFED ＝4.答案：411．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为32，则斜边上的中线长为______________．解析：设斜边上的两段的长分别为3t ，2t ，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t·2t，解之得t ＝ 6.∴斜边长为5 6.故斜边上的中线长为562. 答案：56212．如图所示，AB∥EM∥DC，AE ＝ED ，EF∥BC，EF ＝9 cm ，则BC ＝__________cm. 解析：过A 作AN∥BC 交DC 于N.因为AB ∥DC ，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以AN ＝BC.又EF∥BC，所以EF∥AN.因为AE ＝ED ，所以EF 是△ADN 的中位线．因为EF ＝9 cm ，所以BC＝2EF＝18 cm.答案：1813．已知，如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.解析：证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)由(1)知△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.又∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶CD.∴DE·DC＝AE·BD.14．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E为CD延长线上一点，连接AE，过点B 作BG⊥AE于点G，交CE于点F，求证：CD2＝ED·FD.解析：证明：在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，∴△ADC ∽△CDB.∴AD CD ＝CD BD，即CD 2＝AD·DB. ∵∠E ＋∠EAD＝90°，∠ABG ＋∠EAD＝90°， ∴∠E ＝∠DBF.∴Rt △AED ∽Rt △FBD.∴ED BD ＝AD FD.∴ED ·FD ＝AD·BD， ∴CD 2＝ED·FD.。
高三数学一轮复习 第12篇 第1节 相似三角形的判定及有关性质课时训练 理
选考部分第十二篇几何证明选讲(选修41)第1节相似三角形的判定及有关性质课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号平行线截割定理及应用1、4、7、8、12、13相似三角形的判定与性质2、6、7、9、10、11直角三角形中的射影定理3、5、11一、选择题1.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AE=2,AC=3,BC=4,则BF的长为( B )(A)(B)(C)(D)解析:因为DE∥BC,所以==,①因为DF∥AC,所以=,②由①②得=,解得CF=.故BF=4-=.2.如图所示,▱ABCD中,AE∶EB=2∶5,若△AEF的面积等于4 cm2,则△CDF的面积等于( D )(A)10 cm2(B)16 cm2(C)25 cm2(D)49 cm2解析:▱ABCD中,△AEF∽△CDF,由AE∶EB=2∶5,得AE∶CD=2∶7,∴=（）2=（）2,∴S△CDF=（）2×S△AEF=×4=49 (cm2).3.一个直角三角形的一条直角边为3,斜边上的高为,则这个三角形的外接圆半径是( B )(A)5 (B)(C)(D)25解析:长为3的直角边在斜边上的射影为=,故由射影定理知斜边长为=5,因此这个直角三角形的外接圆半径为.4.(2014汉中模拟)如图,在梯形ABCD中,E为AD的中点,EF∥AB,EF=30 cm,AC交EF于G,若FG-EG=10 cm,则AB等于( B )(A)30 cm (B)40 cm(C)50 cm (D)60 cm解析:因为EF=30 cm,即FG+EG=30 cm,又FG-EG=10 cm,所以FG=20 cm.因为E为AD的中点,EF∥AB,所以F为BC的中点,所以G为AC的中点,所以AB=2GF=2×20=40(cm).二、填空题5.已知圆O的直径AB=4,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D,若CD=,则AC= .解析:因AB为圆O的直径,所以∠ACB=90°,设AD=x,因为CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·DB,即()2=x(4-x).整理得x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当AD=1时,得AC=2;当x=3时,得AC=2.答案:2或26.(2014永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF= .解析:设AE=x,因为∠BAC=120°,所以∠EAB=60°.又AE⊥EB,所以AB=2x,BE=x,所以==.在Rt△AEF与Rt△BEC中,∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,∠FEA=∠BEC=90°,所以△AEF∽△BEC,所以=,所以AF=4×=.答案:7.如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为.解析:延长AD、BC交于点H,由DC∥EF知=（）2=,∴=,由DC∥AB知=（）2=,∴=,∴=.答案:7∶58.如图,△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB 于F,交AH于H.如果AB=4AF,EH=8,则DF= .解析:∵AH∥BE,∴=.∵AB=4AF,∴=.∵HE=8,∴HF=2.∵AH∥BE,∴=.∵D是AC的中点,∴=1.∵HE=HD+DE=8,∴HD=4,∴DF=HD-HF=4-2=2.答案:29.如图所示,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为.解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OE,AE,因为A,E是半圆周上的两个三等分点,所以AE∥BC,AE=BC=2,所以△AFE∽△DFB,所以=.在△AOD中,∠AOD=60°,AO=2,AD⊥BC,故OD=AOcos ∠AOD=1,AD=AOsin ∠AOD=,所以BD=1.故AF=·DF=2(AD-AF).解得AF=.答案:三、解答题10.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD.∴∠ABF=∠CEB.∴△ABF∽△CEB.(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,∴==,==.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8.∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.∴S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.11.(2014湛江模拟)已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥AB,垂足为E.求证:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.证明:(1)因为△ABD∽△CBA,所以=,即AB·AC=AD·BC.(2)∵AD2=BD·DC,∴AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,∴AD3=BC·BE·CF.12.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求:+的值;(3)求证:+=.(1)证明:∵EF∥AD,AD∥BC, ∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC,∴=,=.∵EF∥AD∥BC,∴=.∴=,∴OE=OF.(2)解:∵OE∥AD,∴=.∴由(1)知,=,∴+=+==1.(3)证明:由(2)知+=1, ∴+=2.又EF=2OE,∴+=2,∴+=.13.(2014吉林模拟)如图,四边形ABCD是平行四边形,P是BD上任意一点,过P点的直线分别交AB,DC于E,F,交DA,BC的延长线于G,H.(1)求证:PE·PG=PF·PH.(2)当过P点的直线绕点P旋转到F,H,C重合时,请判断PE,PC,PG的关系,并给出证明. (1) 证明:因为AB∥CD,所以=,因为AD∥BC,所以=,所以=,所以PE·PG=PF·PH.(2)解:由题意可得到图形,关系式为PC2=PE·PG.证明如下:因为AB∥CD,所以=,因为AD∥BC,所以=,所以=,即PC2=PE·PG.。
高考数学北师大理一轮复习 第章 系列选讲 课时相似三角形的判定及有关性质 文档
课时1相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等，两三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．1．如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A ，B ，C ，D 四点共圆，从而∠CAB ＝∠CDB . 由△ABC ≌△BAD 得∠CAB ＝∠DBA ， 因此∠DBA ＝∠CDB ，所以AB ∥CD .2．如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，求EC 的长度．解 在Rt △ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ，∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·AC AD＝27. 3．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC的值．解 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.题型一 平行截割定理的应用例1 如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于点E ，F ，与CD 的延长线交于点K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明 延长CK ，BA ，设它们交于点H ，因为KO ∥HB ，所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DK DH .因此KO HB ＝KE HA ，即KO KE ＝HB HA .因为KF ∥HB ，同理可得KF KO ＝HB HA .故KO KE ＝KF KO ，即KO 2＝KE ·KF .思维升华 当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．(1)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的长度．(2)如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，求AB 的长．解 (1)∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58. ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15. (2)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23，EC AC ＝13. 又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝EC AC ＝13.∴AD ＝3.∴AB ＝32AD ＝92.题型二 相似三角形的判定与性质例2 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED 、CB 延长线交于一点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边上的中点，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC，∴FD 2＝FB ·FC . 思维升华 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．(1)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，求PE 的长．(2)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，求四边形ABCD 的面积． 解 (1)∵BC ∥PE ， ∴∠PED ＝∠C ＝∠A ， ∴△PDE ∽△PEA ，∴PE P A ＝PDPE，则PE 2＝P A ·PD ， 又∵PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝P A ·PD ＝ 6.(2)如图，过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知EN DF ＝BEBD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 题型三 射影定理的应用例3 如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .解 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC . 又FC ＝1，根据射影定理， 得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ， 即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1.在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DCAC ，∴DE ＝DC ·AFAC＝x 2－1x. 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2， 即(x 2－1x )2＋(12x 2)2＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1. 整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.思维升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.(2)已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，求AD 的长．解(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝9∶4，∴AC∶BC＝3∶2.(2)如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．直角三角形中常用的四个结论在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB(如图)：(1)∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD.(2)△ABC∽△ACD∽△CBD.(3)a2＝pc，b2＝qc，h2＝pq，ab＝ch(其中c＝p＋q)．(4)在a、b、p、q、h五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值．A组专项基础训练(时间：50分钟)1．如图，△OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点，且PO＝3，P A·PB＝4，求腰长OA的长度．解如图，作OD⊥AP，垂足为D，则PO2－PD2＝OB2－BD2，所以PO2－OB2＝PD2－BD2，因为AD＝BD，所以PD2－BD2＝PD2－AD2＝(PD＋AD)(PD－AD)＝P A·PB＝4，所以PO2－OB2＝4，所以OB2＝9－4＝5，所以OB＝5，所以OA＝ 5.2．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求AE的长．解 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°， ∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AEAC.又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6， ∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.3.如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，求AD ∶BC .解 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ，∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，求△ACD 与△CBD 的相似比．解 如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得： CD 2＝AD ·BD ， 又∵AD ∶BD ＝2∶3， 令AD ＝2x .则BD ＝3x (x >0)， ∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD . 易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63. 即相似比为6∶3.5．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC.证明 ∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AF ＝BDAB ，① AE EC ＝AB BC.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得DF AF ＝ABBC ，④由②④得DF AF ＝AEEC.6.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB ·BM ＝AM ·BN .证明 ∵CM 2＝MN ·AM ， 又∵M 是BC 的中点， ∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM ，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM ·BN .B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)7.如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．(1)证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD .∴∠ABF ＝∠CEB .∴△ABF ∽△CEB .(2)解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF .∵DE ＝12CD ， ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE)2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16.∴S 四边形ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.8.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD ；(2)若∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长．(1)证明 ∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BF A ＝∠C ＋∠ADE ，∴∠BF A ＝∠ADE .∴△ABF ∽△EAD .(2)解 ∵∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°，∴AB AE ＝sin60°＝32， 又△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE， ∴BF ＝AB AE ·AD ＝332. 9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .(1)求证：△EDM ∽△FBM ；(2)若DB ＝9，求BM .(1)证明 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB .∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又∵AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ， ∴△EDM ∽△FBM .(2)解 ∵△EDM ∽△FBM ，∴DM BM ＝DE BF. ∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13DB ＝3. 10．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ； (2)若AE EB ＝23，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由； (3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝m n，那么你可以得到什么结论？ (1)证明 过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H .因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13， 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH . 又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ， 所以EF ＝13BC ＋23AD ， 即3EF ＝BC ＋2AD .(2)解 EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似．(3)解 因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m. 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝m m ＋nBH . 所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD＝m m ＋n(BC －AD )＋AD ， 所以EF ＝m m ＋n BC ＋n m ＋nAD ， 即(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。
相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)
专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。
高考数学一轮复习课时检测 第一节 相似三角形的判定及有关性质 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校选修4-1第一节相似三角形的断定及有关性质1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，假设AD＝12，BC＝20，求EF.解：∵AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝.∵OE∥AD，∴＝＝.∴OE＝AD＝×12＝，同理可求得OF＝BC＝×20＝，∴EF＝OE＋OF＝15.2．：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴＝2.∵＝3，∴＝4.又∵BC＝2DQ，∴＝2.在△ADQ和△QCP中，＝，且∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.3．如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M.(1)试说明：AE⊥BF；(2)判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．解：(1)∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF.∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°.即∠BAE＋∠ABF＝90°，∴∠AMB＝90°，∴AE⊥BF.(2)线段DF与CE是相等关系，即DF＝CE.∵在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB.又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB.∴∠DEA＝∠DAE.∴DE＝AD.同理可得，CF＝BC，又∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF.∴DE－EF＝CF－EF，即DF＝CE.4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证：＝.证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C＝90°.∴∠1＝∠C.∴△ABD∽△CAD，∴＝.又∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠3＝∠C.又∵∠3＝∠4，∠1＝∠C，∴∠1＝∠4.又有∠F＝∠F，∴＝.∴＝.5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝6，E为AB的中点，AD∶DB＝2∶3，求AC及CE.解：设AD＝2t，DB＝3t，由射影定理得CD2＝AD·DB，∴62＝2t·3t，∴t＝(t＝－舍去)，∴AD＝2，DB＝3，所以斜边AB＝AD＋DB＝2＋3＝5故CE＝AB＝.再由射影定理得AC2＝AD·AB＝2·5＝60∴AC＝2.6．：如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E、F分别在AB、AC、BC上，AE＝AC，BD＝AB，且CF＝BC.求证：(1)EF⊥BC；(2)∠ADE＝∠EBC.证明：设AB＝AC＝3a，那么AE＝BD＝a，CF＝a.(1)＝＝，＝＝，又∵∠C为公一共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°得∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得EF＝a，故＝＝，又＝＝，∴＝.∵∠DAE＝∠BFE＝90°，∴∠ADE＝∠EBC.7．线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连结AC、BD交于点P.(1)如图1，当OA＝OB且D为AO中点时，求的值；(2)如图2，当OA＝OB，＝时，求tan∠BPC.解：(1)过C作CE∥OA交BD于E，易证△BCE∽△BOD，△ECP∽△DAP，∴CE＝OD＝AD；＝＝2.(2)过C作CE∥OA交BD于E，设AD＝x，AO＝OB＝4x，那么OD＝3x，易证△BCE∽△BOD，△ECP∽△DAP，∴CE＝OD＝x，＝＝；由勾股定理可知BD＝5x，DE＝x，那么＝＝，可得PD＝AD＝x，那么∠BPC＝∠DPA＝∠A，tan∠BPC＝tan∠A＝＝.8．，边长为8的等边△ABC中，假设D、E分别是BC、AC上的点，且∠ADE＝60°，设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值．解：∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠CDE＝120°.又∠ADB＋∠BAD＝180°－∠B＝120°，∴∠BAD＝∠CDE.又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，∴＝.由BD＝x，EA＝y，得DC＝8－x，CE＝8－y，∴＝.∴y＝x2－x＋8＝(x－4)2＋6.∴当BD＝4，即D为BC的中点时，EA有最小值6.。
高三数学一轮复习课时作业3：第1讲 相似三角形的判定及有关性质
第1讲 相似三角形的判定及有关性质(建议用时：50分钟)一、填空题1．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形为________． 解析 Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE .答案 △FCD 、△FBE 、△ABD2. 如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．解析 ∵M ，N 分别是AB ，BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14.答案 1∶43. (2015·渭南模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．解析由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝AEAC.又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝AB·ACAD＝6×412＝2.答案24. (2014·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________．解析连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝a2，CB⊥AB，∴EBCD为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝12DB＝1 2a.答案a 25. 如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC等于________．解析∵△ABC∽△AFE，∴BC EF ＝32.又EF＝8，∴BC＝12.答案126．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________．解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD ＞BD ，∴AD ＝9. 答案 97．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________．解析 在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212. 答案2128. (2014·茂名模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________． 解析 ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ， ∴4EF ＝BC BC －BF ，BC BF ＝12EF， ∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ， ∴BC BF ＝4＝12EF ，∴EF ＝3. 答案 39. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________．解析∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB，OA∶OC＝AD∶BC＝12∶20，△OAE∽△CAB，OE∶BC＝OA∶CA＝12∶32，∴EF＝2×1232×20＝15.答案15二、解答题10. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝1 3AC，BD＝13AB，点F在BC上，且CF＝13BC.求证：(1)EF⊥BC；(2)∠ADE＝∠EBC.证明设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝2a.(1)CECB＝2a32a＝23，CFCA＝2a3a＝23，∴CECB＝CFCA.又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得EF＝2a，故AEEF＝a2a＝22，ADBF＝2a22a＝22，∴AEEF＝ADFB.∵∠DAE＝∠BEF＝90°，∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.11．如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B，D，H，E四点共圆；(2)EC平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°，于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的角平分线，∠HBD＝30°，由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°，因为AE＝AF，AD为角平分线，所以EF⊥AD，又∠AHE＝∠EBD＝60°，所以∠CEF＝30°，所以EC平分∠DEF.12. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶DC，∴DE·DC＝AE·BD.。
高考数学一轮复习选修部分几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质知能训练轻松闯关理北师大版选修4_1
第讲相似三角形的判定及有关性质.如图，∥∥，＝，∥，＝，求的长．解：⇒为的中点，为的中点．又∥⇒＝＝，所以＝＝ ..在平行四边形中，点在边上，且∶＝∶，与交于点，若△的面积为，求△的面积．解：在平行四边形中，綊.因为∶＝∶，所以∶＝∶，所以△与△对应边与上的高的比为∶，所以△与△，与边上的高的比为∶.因为∶＝∶，所以△∶△＝∶，所以△＝×＝()．.如图，在△中，是的中点，是延长线上一点，过作∥.连接并延长，交于，交于.若＝，＝，求的长．解：因为∥，所以＝.因为＝，所以＝.因为＝，所以＝.因为∥，所以＝.因为是的中点，所以＝.因为＝＋＝，所以＝.所以＝－＝－＝..如图所示，在△中，为边上的中线，为上任意一点，交于点.求证：·＝·.证明：取的中点，连接交于点.在△中，是的中点，∥，所以＝.因为∥，所以△∽△，所以＝.又因为＝，所以＝，即·＝·..如图，在△中，＝，是中线，为上一点，∥，的延长线交、于、两点，求证：＝·.证明：如图，连接.易证＝，∠＝∠.因为∥，所以∠＝∠.从而∠＝∠.又∠为△与△的公共角，从而△∽△，所以＝.所以＝·.又＝，所以＝·..已知在△中，是边的中点，且＝，⊥，与相交于点，与相交于点.()求证：△∽△；()若△＝，＝，求的长．解：()证明：因为⊥，是的中点，所以＝，所以∠＝∠.又因为＝，所以∠＝∠.所以△∽△.()如图，过点作⊥，垂足为点.因为△∽△，＝，所以＝＝.又因为△＝，所以△＝.因为△＝·，＝，所以＝××，所以＝.因为∥，所以＝.因为＝＝，＝＋，＝＝，所以＝，解得＝.。
相似三角形的判定、性质及常见模型
相似三角形的判定、性质及常见模型
1、相似三角形的定义与性质
(1)定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
(2)表示：在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。
(3)性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；推论：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.(4)相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比.设▲ABC 与▲A'B'C'的相似比为k，▲A'B'C'与▲ABC的相似比为k'，则k'=1/k.注意：①两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关;②当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形.反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1.因此全等三角形是相似三角形的特例.2、相似三角形的预备定理和判定定理
相似三角形的3条判定定理证明思路如下：
3、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似，即：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.4、相似三角形的基本图形(1)平行线型：A型与X型.
(2)斜交型.
(3)共边共角型
(4)双垂型
(5)旋转型
5、判定三角形相似的思路
6、三角形相似的性质
相似三角形的性质定理1证明思路如下：。
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第一讲 几何证明
第一节 相似三角形的判定及其有关性质
题号 1 2 3 4 5 答案
一、填空题
1.如右图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠，使点B 落在AD 边上的中点E 处，则折痕FG 的长为________．
2．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，矩形的面积为40 cm 2，S △ABE ∶S △DBA
＝1∶5，则AE 的长为________ cm.
3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________ cm 2.
4．直角三角形ABC 中(C 为直角)，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，则AE ·BF ·AB CD 3＝______.
5.(2009年汕头模拟)如右图所示，已知DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值是________．
6．如下图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 、AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.
7．如下图所示，AD 是△ABC 的中线，M 是AD 的中点，CM 延长线交AB 于N ，AB ＝24 cm ，则AN ＝________ cm.
8．矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足，则DE ＝________. 二、解答题
9.如右图所示，E 为△ABC 的边AC 上一点，AE EC ＝1
2，连结BE .
(1)若G 为BE 的中点，连结AG 并延长交BC 于D ，求BD ∶DC 的值．
(2)若BG ∶GE ＝2∶1，则BD ∶DC 的值将如何变化？ (3)若AE EC 的值由12改变为m
n
，G 仍为BE 中点，求BD ∶DC .
10.如右图，已知在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .
(1)求证：△ABC ∽△FCD .
(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．
参考答案
1．解析：依题意知，FG 垂直平分线段BE ， 过F 作FH ⊥CD ，垂足为H .则∠ABE ＝∠HFG ， ∴Rt △ABE ∽Rt △HFG ，∴
AB EB ＝FH
FG
，∵AB ＝12，AD ＝10， ∴BE ＝13，∴FG ＝FH ·EB AB ＝10×1312＝65
6.
答案：65
6
2．解析：∵S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，∴S △ABE ∶S △DAE ＝1∶4，又△ABE ∽△DAE ，∴AB ∶AD ＝1∶2，又∵矩形的面积为40 cm 2，∴AB ＝2 5 cm ，AD ＝4 5 cm ，∴BD ＝10 cm ，故AE ＝4 cm.
答案：4
3．72 4.1 5.1∶2 6.15
7．解析：△BCN 中，取BN 中点E ，D 为BC 中点，则DE ∥CN ，在△ADE 中，∵M 为AD 中点，MN ∥DE ，∴N 为AE 中点，故N ，E 为AB 的两个三等分点．故AN ＝8 cm.
答案：8
8．解析：∵∠BAM ＋∠DAM ＝∠DAM ＋∠ADE ＝90°，
∴∠BAM ＝∠
ADE ，∠ABM ＝∠AED ＝90°， ∴△ABM ∽△DEA ， ∴
DE AB ＝DA AM ，DE ＝DA
AM
×AB ＝ba a 2＋⎝⎛⎭
⎫b 22
＝
2ab 4a 2
＋b
2
.
答案：
2ab
4a 2＋b 2
9．解析：(1)
如右图所示，过E 作EH ∥BC 交AD 于H ，则在△BDG 和△EHG 中，⎩⎪⎨⎪
⎧
∠DBG ＝∠HEG ，
BG ＝EG ，
∠BGD ＝∠EGH ，
∴△BDG ≌△EHG .∴BD ＝EH . 又∵EH ∥CD ，∴HE DC ＝AE AC ＝13
. ∴BD DC ＝1
3
. (2)如上图所示，∵EH ∥BC ，则△BDG ∽△EHG . ∴
BD EH ＝BG EG ＝2
1
.∴BD ＝2EH . 又∵EH ∥DC ， ∴EH CD ＝AE AC ＝13. ∴
BD DC ＝2EH CD ＝23
. (3)原理同(1)，BD DC ＝HE DC ＝AE AC ＝m
m ＋n .
10．证明：(1)∵AD ＝AC ，
∴∠ACD ＝∠ADC . ∵DE ⊥BC ，BD ＝DC ， ∴BE ＝CE .
∴∠B ＝∠DCF .∴△ABC ∽△FCD . (2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M . 由△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， ∴
S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭
⎫BC CD 2
＝4. ∴S △ABC ＝20.∴20＝1
2×10×AM .
∴AM ＝4.又∵DE ∥AM ， ∴DE AM ＝BD BM .∵DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝1
2BC ＝5， ∴
DE 4＝55＋52
.∴DE ＝83
.
谢谢大家。