第八讲一元二次方程及应用(2013-2014中考数学复习专题)

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中考数学复习：一元二次方程及其应用课件

量时，则有a(1－m)2＝b(宜宾5年3考)
面积问题 1.如图①，设空白部分的宽为x，则S阴影＝__(_a_－__2_x_)_(_b_－__2_x_) _；
2.如图②，设阴影道路的宽为x，则S阴影＝__(_a_－__x_)_(b_－__x_)__；3.如图③，
b(a b)
围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝________
x1
＝x121成立，理由如下：∵x1＋x2＝2k＋1，x1x2
＝k2＋k，∴ ＋＝1，即＝1，∴
＝1，解得k1＝
，k2
＝ 1 1；
x1 x2 2k 1
k2 k
x1 x2 x1 x2
1 5
2
1 5 2
(3)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝6，求k的值；
由(2)得，x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋k，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2 ＋1＝6，∴k2＋k＋2k＋1＋1＝6，即k2＋3k－4＝0，解得k1＝1，k2＝－ 4；
x32
x42
x32
x42
11.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017
年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019年“竹文化”旅游收入将
达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年
平均增长率约为( C )A. 2%
B. 4.4%
C. 20%
思维导图
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式一元二次方程
的解法
一元二次方程及其解法
概念根的情况与判别式的关系
根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与
系数的关系

江西中考数学一轮复习课件：第08课时-一元二次方程及其应用

2
2 b
ax +bx+c=0(a≠0)⇒x
c
+ x+ =0⇒
a a
b 2 b 2 -4ac
x+ = 2 ,开方求解.
2a
4a
配方法【温馨提示】配方过程中,注意加上一个数的同时减去这
个数
（续表）
当 b2-4ac≥0 时,由求根公式可得 ax2+bx+c=0(a≠0)的解为 x=
- ± -
S 阴影=⑨ (a-2x)(b-
2x)
循环问题
设参加游戏人数为
数=x(x-1)
S 阴影=⑩ (a-x)(b-x)
S 阴影=⑪
-
·x

1
x,单循环问题:游戏次数=2x(x-1);双循环问题:游戏次
对▶点▶演▶练
题组一必会题
1.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是
2
方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分根据底面积是 24 cm 得一元二次方
1
)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁程:2(10-2x)(12-2x)=24,解得 x1=2,
快递业务收入是在2018年的基础上增加的,∴2019年的快递业务收入为
5000(1+x)(1+
x),即用5000(1+x)2表示,∴可列方程是5000(1+x)2=7500.
11.[2020·山西]如图8-1是一张长12 cm,宽
[答案]2
10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正
[解析]设剪去的正方形的边长为 x cm,
平均每天要盈利1200元,每件商品应降价多少元?为了满足降价要求,小明妈妈

初三一轮复习系列---第8课时一元二次方程及应用

一元二次方程及应用【基础知识梳理】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数 _的整式方程叫一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是常数项是注意：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax2 = b 则x2= ，x1= ， x2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为，即方程两边都二次项的系数②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。

3、公式法：如果一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则一元二次方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式，如果左边分解因式，即产生A×B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即 ______ 从而求出方程的两根。

注：因式分解的方法：（1）提公因式法（2）公式法：①平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²、a²-2ab+b²=(a-b)²（3）分组分解法（4）十字相乘法注意：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用三、一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号“Δ”表示①当时，方程有两个不相等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根注意：（1）方程有两个实数根，则△=b2-4ac≥0（2）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数不为0 四、一元二次方程根与系数的关系：关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1，x2则x1+x2 = x1x2 =五、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行（实际解题过程中，可以先找等量关系，根据等量关系缺少什么未知数就设什么未知数）常见题型：1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数2、利润问题：总利润= ×3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程注意：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件。

浙江省2014届中考数学总复习《第八讲一元二次方程》课件新人教版

范围是
()
A．a＜2
B．a＞2
C．a＜2且a≠1
D．a＜－2
分析判断一元二次方程根的情况，就要计算b2－
4ac，然后列出不等式，解不等式，最后还要使a－
1≠0.
解析 ∵(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴4－4(a－1)＞0， ∴a＜2，又∵a－1≠0， ∴a≠1∴a＜2且a≠1，选C. 答案 C
对接点二：一元二次方程的解法
常考角度 1．用题目规定的方法解一元二次方程； 2．选择适当的方法解一元二次方程．
【例题3】 (2012·温州)用配方法解方程：x2－2x＝5. 解配方，得x2－2x＋1＝5＋1 即(x－1)2＝6 ∴x－1＝± 6
∴x1＝1＋ 6，x2＝1－ 6.
【例题4】 (2012·莆田)用公式法解方程2x2＋3x＝1.
名师助学 1．一元二次方程是整式方程； 2．一般式的右边为零，二次项的系数不为零； 3．判断给定的一个整式方程是否是一元二次方程应
先化为一般形式，再判断．
一元二次方程的解法
1．因式分解法一般步骤是：(1)将方程的右边化为_0_；(2)将方程的左边化成两个一次因式的_积__的__形式；(3)让每个因式都等于_0_得到两个_一__元__一__次__方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解．
解方程化为2x2＋3x－1＝0
a＝2，b＝3，c＝－1
b2－4ac＝32－4×2×(－1)＝17＞0
方程有两个不相等的实数根
∴x＝－b± 2ba2－4ac＝－23×±217＝－3±4 17
∴x1＝－3＋4
17，x2＝－3－4
17 .
1. 熟悉各种特点的一元二次方程的常见解法； 2．灵活选择具体解法，在正确的基础上尽量做到

二次函数的综合题及应用(2013-2014中考数学复习专题)

二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例1 （2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c 的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．对应训练1．（2013•湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．考点二：二次函数与x轴的交点问题例2 （2013•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3思路分析：关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x 轴的两个交点的横坐标．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根．对应训练2．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．-8 B．8C．±8 D．6考点四：二次函数综合性题目例4 （2013•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA= 12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设对应训练4．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D 在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．对应练习1．（2013•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（2，2）B．（2，2）C．（2，2）D．（2，2）2．（2013）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．4．（2013）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．5．（2013）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=243米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的136．（2013）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M 作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．7．（2013•泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．8．（2013）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+32与直线y=x交于点A，点B在直线y=12x+32上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．9．（2013）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，3）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．2（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•大庆）已知函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）A．-4 B．0 C．2 D．32．（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2-4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0-x1）（x0-x2）＜03．（2013•湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）A．16 B．15 C．14 D．13二、填空题4．（2013•宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．5．（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．6．（2013•锦州）二次函数y=23x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形A n-1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠A n-1B n A n=60°，菱形A n-1B n A n C n的周长为．三、解答题7．（2013•鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？8．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：价格x（元/个）…30 40 50 60 …销售量y（万个）… 5 4 3 2 …同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量9．（2013•达州）今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．（1）小华的问题解答：；（2）小明的问题解答：．10．（2013•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=1590(02) 5130(26)x xx x+<≤⎧⎨-+<<⎩，若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为y2=100(02)5110(26)tt t<≤⎧⎨-+<<⎩。

2014届中考数学复习课件(北京专版)：第8课时一元二次方程及其应用

第8课时┃ 考点聚焦
公式法
一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0, 且 b2 求根公式－ b± b2－ 4ac －4ac≥0 时，则 x1,2＝ 2a (1)将方程化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的公式法解方程的形式；(2)确定 a，b，c 的值；(3)若 b2 一般步骤－4ac≥0，则代入求根公式，得 x1， x2；若 b2－4ac<0，则方程无实数根
第8课时┃ 京考探究
例 4 学校课外生物小组的实验园地是一块长 35 m，宽 26 m 的矩形．为了便于管理，现要在中间修建同样宽的两条互相垂直的道路(如图 8－1)，要使种植面积为 850 m2，道路的宽应为多少？
第8课时┃ 考点聚焦
公式法解方程的一般步骤：(1)将方程化成 ax2＋ bx 公＋ c＝ 0(a≠0)的形式； (2)确定 a， b， c 的值； (3)若 2 式－ b ± b －4ac 2 ，法 b －4ac≥0，则代入求根公式 x1，2＝ 2a 将得 x1，x2.若 b2－ 4ac<0，则方程无实数根次法配方法解方程的步骤： (1)化二次项系数为 1； (2)把配常数项移到方程的另一边； (3)在方程两边同时加上方一次项系数一半的平方； (4)把方程整理成 (x＋a)2＝ b 法的形式； (5)运用直接开平方法解方程
►
第8课时┃ 京考探究
►
热考三
一元二次方程的应用
例 3 [2012· 朝阳九上期末 ] 经过 18 个月的精心酝酿和 290 多万首都市民投票参与， 2011 年 11 月 1 日， “北京精神” 表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布 . 为了更好地宣传“北京精神”，小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队，利用周末时间到周边社区发放宣传材料 . 第一周发放宣传材料 300 份，第三周发放宣传材料 363 份 . 求发放宣传材料份数的周平均增长率．

2014年中考数学一轮复习讲义：一元二次方程

2014年中考数学一轮复习讲义：一元二次方程【考纲要求】1．理解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的解法．3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.【命题趋势】结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.【知识梳理】一、一元二次方程的概念：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。

二、一元二次方程的解法：1、解一元二次方程的基本思想是降次，主要方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

2、配方法：通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为能直接开平方的形式，再利用直接开平方法求解。

3、公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac≥0时，方程有两个实数根。

4、因式分解法：用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或b=0.三、一元二次方程根的判别式：1．一元二次方程根的判别式是⊿=b2－4ac。

2．(1)b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；(2)b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根；(3)b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根。

四、一元二次方程根与系数的关系：1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式． 2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣,12c x x a五、实际问题与一元二次方程：列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审题；(2)设未知数；(3)找相等关系；(2)(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．题型分类、深度剖析：考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1x2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝0解析：由一元二次方程的定义可知选项A 不是整式方程；选项B 中，二次项系数可能为0；选项D 中含有两个未知数．故选C.答案：C方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.触类旁通1 已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )A ．－2B ．2C ．5D ．6 考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程x 2－4x ＋1＝0.分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．解：解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，即(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x ＝4±122＝2± 3.方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．触类旁通2 解方程：x 2＋3x ＋1＝0. 考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．4± 2D ．0或8解析：b 2－4ac ＝(m －2)2－4(m ＋1)＝0，解得m 1＝0，m 2＝8.故选D. 答案：D方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b 2－4ac ＝0，从而得到一个关于m 的方程，解方程求得m 的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．触类旁通3 已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋k ＝0(m ≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n 2－4mk 的判断正确的是( )A ．n 2－4mk ＜0 B ．n 2－4mk ＝0 C ．n 2－4mk ＞0 D ．n 2－4mk ≥0 考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2. 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12，∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)．解得k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.综合①②可知k ＝－3.解法二：依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0.∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.方法总结解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．触类旁通4 若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( ) A ．4 B ．3 C ．－4 D ．－3 考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得 6.4(1＋x )2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：2011年的年产量为12.5万辆．方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x 的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？。

2013-2014中考数学专题复习学生版第八讲一元二次方程及应用

第八讲一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X 1= X 2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数,②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程ax 2 +bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A .B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X 的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根 ②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】四、一元二次方程根与系数的关系：关于X 的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X 1、X 2则x 1+x 2 = x 1x 2 =五、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数a （1+x ）2=b2、利润问题：总利润= × 或总利润= —3、几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的解方程有两个实数跟，则例1 （2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（）A．2018 B．2008 C．2014 D．2012点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．对应训练1．（2013•黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab 的值是．考点二：一元二次方程的解法例2 （2013•宁夏）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）对应训练2．（2013•陕西）一元二次方程x2-3x=0的根是．3．（2013•白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是．4．（2013•山西）解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．考点三：根的判别式的运用例5 （2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k的值．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．对应训练5．（2013•泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）A．x2-3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2-2x+1=0 D．x2+2x+3=0 6．（2013•乌鲁木齐）若关于x的方程式x2-x+a=0有实根，则a的值可以是（）A．2 B．1 C．0.5 D．0.25 7．（2013•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1 8．（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．考点四：一元二次方程的应用例6 （2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．点评：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．对应训练9．（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【聚焦山东中考】1．（2013•威海）已知关于x的一元二次方程（x+1）2-m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥-34B．m≥0C．m≥1D．m≥22．（2013•日照）已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A．-2＜x1＜-1 B．-3＜x1＜-2 C．2＜x1＜3 D．-1＜x1＜0 3．（2013•滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定4．（2013•潍坊）已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，下列说法正确的是（）A．当k=0时，方程无解B．当k=1时，方程有一个实数解C．当k=-1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．5．（2013•东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个6．（2013•滨州）一元二次方程2x2-3x+1=0的解为．7．（2013•哈尔滨）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为．8．（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=22()()a ab a bab a a b⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ．9．（2013•日照）已知，关于x的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．10．（2013•菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2-x1，判断y是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．13．（2013•威海）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）【备考真题过关】一、选择题1．（2013•新疆）方程x2-5x=0的解是（）A．x1=0，x2=-5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0 2．（2013•安顺）已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．（2013•鞍山）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x-1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根4．（2013•昆明）一元二次方程2x2-5x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解6．（2013•十堰）已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．-4 C．1 D．-17．（2013•宜宾）若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥0 8．（2013•大连）若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜-4 B．m＞-4 C．m＜4 D．m＞4 9．（2013•咸宁）关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．-1 10．（2013•丽水）一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4 11．（2013•兰州）用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=223．（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？24．（2013•淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？25．（2013•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？。

中考数学(广西地区)总复习第一篇考点聚焦(课件)第8讲一元二次方程及其应用

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第8讲一元二次方程及其应用
1．定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．
2．解法首先考虑直接开平方法，因式分解法；其次考虑配方法，公式法．
x1，x2，则 m2(x11＋x12)＝( D )
m4 A. 4
B．－m44
C．4 D．－4
4．(2016·梧州)青山村种的水稻 2010 年平均每公顷产 7200 kg，2012 年平均每公顷产 8450 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率，设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，则所列方程正确的为( B )
由此可得 x－34＝±14，∴x1＝1，x2＝12 (2)x(x＋1)＋2(x－1)＝0，x2＋3x－2＝0， x＝－23×±117，∴x1＝－3－2 17，x2＝－3＋2 17
【例2】 (2016·泸州)关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是( D )
(1)求这地面矩形的长； (2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元 /块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？
解：(1)设这地面矩形的长是x m，则依题意得：x(20－x)＝96，解得x1＝12，x2＝8(舍去)，答：这地面矩形的长是12米 (2)规格为0.80×0.80所需的费用：96÷(0.80×0.80)×55＝8250(元)．规格为 1.00×1.00所需的费用：96÷(1.00×1.00)×80＝7680(元)．因为8250>7680，所以采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少

中考数学复习一元二次方程及其应用

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13. (2014·贵州安顺)天山旅行社为吸引顾客组团去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)：
某单位组织员工去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给天山旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游？
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热点二一元二次方程解的概念热点搜索使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也称一元二次方程的根．已知一元二次方程的根，可将其代入原方程中求出相应常量的值；由方程的根来写一元二次方程，可借助于因式分解法的逆用，如：一元二次方程的根为a，b，则原方程可写为(x－a)(x－b)＝0即可．典例分析2 (2013·湖北黄冈)已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析由题意，把x＝2代入原方程得：22－6×2＋c＝0，解得c＝8，把c ＝8代入方程得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.故选C.
夯实基本知已知彼
3. 用一元二次方程解决问题 (1)列方程解决问题的一般步骤： ①“审”题；②“设”未知数，建立相等的数量关系；③“列”出含有未知数的方程；④“解”方程；⑤“检”验，要检验方程的根是否符合题意； ⑥“答”． (2)常见题型： ①平均增长(降低)率问题；②营销问题；③面积问题；④数字问题；⑤几何问题；⑥开放题型的讨论．
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点对点训练 4. 已知方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( D ) A. ab B. C. a＋b D. a－b 5. 已知关于x的一元二次方程有一个根为1，那么这个方程是 ________________． 6. (2012·山东枣庄)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是_____-_3____．

2013年中考数学专题复习第8讲：一元二次方程及应用(含答案)

2013年中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X 1= X 2=2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为即方程两边都二次项系数 2、移项：把项移到方程的边3、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程aX 2 +bx +c =0(a ±0) 满足b 2－4ac ≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A .B =0的形式，则可将原方程化为两个方程，即从而方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示 ①当时，方程有两个不等的实数根 ②当时，方程看两个相等的实数根 ③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】方程有两个实数跟，则一、一元二次方程根与系数的关系：关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)有两个根分别为X 1X 2则X 1+X 2 = X 2 =二、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa （1+X ）2=b2、利润问题：总利润= X 或利润 —3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）例1 （2012•兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ．x 2+21x=0 B ．ax 2+bx +c =0 C ．（x －1）（x +2）=1 D ．3x 2－2xy －5y 2=0 思路分析：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：A 、原方程为分式方程；故本选项错误；B 、当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C 、由原方程，得x 2+x －3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；D 、方程3x 2－2xy －5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．对应训练1．（2012•惠山区）一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，则a= ．解：∵一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2－1=0，∴a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．考点二：一元二次方程的解法例2 （2012•安徽）解方程：x2－2x=2x+1．思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2－2x=2x+1，∴x2－4x=1，∴x2－4x+4=1+4，（x－2）2=5，∴x－2=±5，∴x1=2+5，x2=2－5．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例3 （2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定思路分析：将已知的方程x2－10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．解：x2－10x+21=0，因式分解得：（x－3）（x－7）=0，解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2－10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．对应训练2．（2012•台湾）若一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a－b之值为何？（）A．－57 B．63 C．179 D．181解：x2－2x－3599=0，移项得：x2－2x=3599，x2－2x+1=3599+1，即（x－1）2=3600，x－1=60，x－1=－60，解得：x=61，x=－59，∵一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=－59，∴2a－b=2×61－（－59）=181，故选D．3．（2012•南充）方程x（x－2）+x－2=0的解是（）A．2 B．－2，1 C．－1 D．2，－1答案：D考点三：根的判别式的运用例3 （2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2－21k x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1－4k＞0，∴－12≤k＜12且k≠0．故选D．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2－4ac．一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．例4 （2012•绵阳）已知关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．思路分析：（1）根据关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算．解：（1）证明：∵△=（m+2）2－4（2m－1）=（m－2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12－1×（m+2）+（2m－1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；该直角三角形的周长为1+3+10=4+10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的周长为1+3+210=4+210．点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．对应训练3．（2012•桂林）关于x的方程x2－2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1答案：A．4．（2012•珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=－3时，求方程的根．解：（1）∵当m=3时，△=b2－4ac=22－4×3=－8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=－3时，原方程变为x2+2x－3=0，∵（x－1）（x+3）=0，∴x－1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=－3．考点四：一元二次方程的应用例5 （2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）思路分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2，即可得出答案；（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28－[27－0.1（x－1）]=（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x－120=0，解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=6，当x＞10时，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x－120=0，解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=5，因为5＜10，所以x2=5舍去，答：需要售出6部汽车．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．对应训练5．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．5．解（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得5（1－x）2=3.2．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k－2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞43且k≠2B．k≥43且k≠2C．k＞34且k≠2D．k≥34且k≠2解：∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2－4（k－2）2＞0，∴（2k+1－2k+4）（2k+1+2k－4）＞0，∴5（4k－3）＞0，k＞34，故k＞34且k≠2．故选C．3．（2012•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．144解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=－24，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选：D．5．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠2B．k≥且k≠2C．k＞且k≠2D．k≥且k≠2考点：根的判别式；一元二次方程的定义。

2018年浙江省中考数学《第8讲：一元二次方程及其应用》总复习讲解

第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法考试内容考试要求一元二次方程的概念只含有个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0）．a一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是____________________,主要方法有：____________________法、直接开平方法、____________________法、公式法等．c2.一元二次方程根的判别式考试内容考试要求根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为____________________．b判别式与根的关系(1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程____________________的实数根;(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程____________________的实数根;（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程____________________实数根．考试内容考试要求基本化归与转化思想，一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、 c思想公式法、因式分解法,都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程），通过转化，归结为已解决的问题(一元一次方程），也就是不断地把“未知”转化为“已知”．基本方法对系数特点采用不同方法的最优化解题策略,养成先观察后动笔的解题习惯．一般情况下：（1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2）不能用以上方法时,可考虑用公式法;(3)除特别指明外，一般不用配方法．1．（2015·温州）若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是（）A．－1 B．1 C．－4 D．42．（2017·舟山）用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是()A．（x＋2）2＝2 B．(x＋1）2＝2 C．(x＋2）2＝3 D．(x＋1）2＝33．(2017·丽水）解方程：(x－3）(x－1)＝3.【问题】给出以下方程①3x＋1＝0;②x2－2x＝8；③错误!－错误!＝1。

专题08一元二次方程及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

中考数学专题 08 一元二次方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一元二次方程有关概念：1.一元二次方程定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程；2.一般形式：ax2+bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a≠0)（1）其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项；（2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数；（3）二次项系数：a≠0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程）3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程（等号两边都是整式）；（2）必须只含有 1 个未知数；（3）所含未知数的最高次数是 2；4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题1】（2020 秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）A．1 + 1 −2 = 0 B．ax2+bx+c＝0x2 xC．（x﹣2）2＝2（x﹣2）D．x2+2y＝3【答案】C【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当 a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；= D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式练习 1】（2020 秋•丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则（）A ．m≠±1B ．m ＝1C ．m≠1D ．m≠﹣1【答案】D【解析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案．解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1；故选：D ．【例题 2】（2020 秋•郫都区期末）若 x ＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，则 m 2+m+2020 的值为（）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018【答案】B【解析】把 x ＝m 代入已知方程，可以求得 m 2+m ＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．解：∵x＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，∴m 2+m ﹣1＝0，∴m 2+m ＝1，∴m 2+m+2020＝1+2020＝2021．故选：B ．【变式练习 2】设 m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，则m 4+m 2+18 ． m 2【答案】8【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 2﹣3m+1＝0，两边除以 m 得到 m + 1=3，m再把原式变形得到原式＝m 2+1+ 1m 2=（m + 1 ）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算． m解：∵m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，∴m 2﹣3m+1＝0，∴m + 1 =3，∴原式＝m 2+1+ 1 ＝（m + 1）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8．mm 2mq b 4ac ≥0 二、一元二次方程的解法：1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解；2.常用方法：（1）直接开平方法：适用形式：x 2=p(p≥0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；（2）配方法：套用公式 a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解；配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为 1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式：如果 q≥0，方程的根是 x=-p± ；如果 q ＜0，方程无实根；（3）公式法：利用求根公式 x = -b ±∆ = 2 -)解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)； 2a（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式；进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.方法选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。

中考数学第8讲一元二次方程的解法及应用

9．解：（1）设增长率为 x，根据题意 2015 年为 2900（1+x）万元，2016 年为 2900（1+x）2 万元．则 2900（1+x）2=3509，解得 x=0.1=10%，或 x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10%．（2）2018 年该地区投入的教育经费是 3509×（1+10%） 2=4245.89（万元）．4245.89＜4250，答：按（1）中教育经费投入的增长率，到 2018 年该地区投入的教育经费不能达到 4250 万元．
A. －4
B. 3
C. 4
D. 4
3
3
解：根据题意，得 x1+ x2=
－ = b 4 a3
.
故选：D．
考点3：一元二次方程的根与系数关系 6．（ 2 0 1 6 • 广州）定义运算： a⋆ b=a （ 1 ﹣ b ）．若 a， b 是方程 x 2
﹣ x+ m=0 （m＜ 0）的两根，则 b⋆ b﹣ a⋆ a 的值为（ A ）
求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程C为（）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
解：设原正方形的边长为 xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）=18，故
选 C．
9．（2016•贺州）某地区 2014 年投入教育经费 2900 万元，2016 年投入教育经费 3509 万元．（1）求 2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到 2018 年需投入教育经费 4250 万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到 2018 年该地区投入的教育经费是否能达到 4250 万元？请说明理由．

中考数学复习讲义一元二次方程及应用

中考数学复习讲义一元二次方程及应用第一部分：知识点精准记忆1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为(a ≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m ＞0时，方程的解为；当m ＝0时，方程的解；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为．△>0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根．(1)上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．(2)△≥0方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a ≠0)的两个根是，那么5.一元二次方程的应用解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； 20ax bx c ++=2x m =x m =±1,20x =20ax bx c ++=222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭20ax bx c ++=240b ac -≥242b b ac x a-±-=ac 4b 2-=∆⇔⇔⇔⇔0c bx ax 2=++21x x 、ac x x a b x x 2121=⋅-=+，(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．第二部分：考点举例考点一: 一元二次方程的根【例1-1】（2022•东坡区）已知m 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣2＝0的一个根，则代数式2m 2﹣4m +2017的值为（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023 【例1-2】(2020•枣庄)已知关于x 的一元二次方程(a-1)x 2-2x+a 2-1＝0有一个根为x ＝0,则a ＝ .考点二: 一元二次方程的解法【例2-1】（2022•兴宁区）解方程：x 2﹣4x +2＝0．【例2-2】（2022•安徽三模）解方程：x 2﹣8x +7＝0【例2-3】 (2021·海南)用配方法解方程x 2－6x ＋5＝0,配方后所得的方程是( )A. (x ＋3)2＝－4B.(x －3)2＝－4C.(x ＋3)2＝4D.(x －3)2＝4 考点三: 根的判别式【例3-1】(2020贵州黔西南)已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根,则m 的取值范围是( )A.m ＜2B.m ≤2C.m ＜2且m ≠1D.m ≤2且m ≠1【例3-2】(2021·泰安中考)已知关于x 的一元二次方程kx 2－(2k －1)x ＋k －2＝0有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( )A.k ＞－14B.k ＜14C.k ＞－14且k ≠0 D.k ＜14 且k ≠0 【例3-3】(2020•北京)已知关于x 的方程x 2+2x+k ＝0有两个相等的实数根,则k 的值是 .【例3-4】(2020秋•舞钢市期末)已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+2mx+m-3＝0,求:当方程有两个不相等的实数根时m 的取值范围.考点四: 根与系数的关系【例4-1】(2021·南充)已知方程x 2－2021x ＋1＝0的两根分别为x 1,x 2,则x 12－2021x 2的值为( )A.1B.－1C.2021D.－2021【例4-2】(2020•铜仁市)已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2-6x+k+2＝0的两个根,则k 的值等于( )A.7B.7或6C.6或-7D.6 【例4-3】(2021·成都中考)若m,n 是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个实数根,则m 2＋4m＋2n 的值是____.【例4-4】(2021·鄂州)已知实数a,b 满足a －2＋|b ＋3|＝0,若关于x 的一元二次方程x2－ax ＋b ＝0的两个实数根分别为x 1,x 2,则1x 1＋1x 2＝ . 【例4-5】(2020秋•白银期末)已知关于x 的一元二次方程(x ﹣3)(x ﹣2)＝m 2(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是1,求m 的值及方程的另一个根.【例4-6】关于x 的方程有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由考点五:由实际问题抽象出一元二次方程【例5-1】（2022•广西模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？”其大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这根芦苇的长度为x 尺，根据题意，所列方程正确的是（）A ．102+（x ﹣1）2＝x 2B ．102+（x ﹣1）2＝（x +1）2C ．52+（x ﹣1）2＝x 2D ．52+（x ﹣1）2＝（x +1）2 04)2(2=+++k x k kx考点六: 一元二次方程的应用【例6-1】（2022•观山湖区模拟）有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人【例6-2】(2020秋•建华区)如图,长方形绿地长32m、宽20m,要在这块绿地上修建宽度相同且与长方形各边垂直的三条道路,使六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多少？【例6-3】(2021·菏泽)列方程(组)解应用题.端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:小王:该水果的进价是每千克22元;小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元.【例6-4】(2021·太原模拟)2020年,受新冠肺炎疫情影响.口罩紧缺,某网店以每袋8元(一袋十个)的成本价购进了一批口罩,二月份以一袋14元的价格销售了256袋,三、四月该口罩十分畅销,销售量持续走高,在售价不变的基础上,四月份的销售量达到400袋.(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率.(2)为回馈客户.该网店决定五月降价促销.经调查发现.在四月份销量的基础上,该口罩每袋降价1元,销售量就增加40袋,当口罩每袋降价多少元时,五月份可获利1 920元？第三部分：中考真题一．选择题1. (2020•黑龙江)已知2+是关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0的一个实数根,则实数m 的值是( )A.0B.1C.-3D.-12. (2020贵州黔西南)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根,则m的取值范围是( )A.m＜2B.m≤2C.m＜2且m≠1D.m≤2且m≠13. (2021·重庆模拟)若方程(m－1)xm2＋1－(m＋1)x－2＝0是一元二次方程,则m的值为( )A.0B.±1C.1D.－14.(2020•滨州)对于任意实数k,关于x的方程x2-(k+5)x+k2+2k+25＝0的根的情况为( )A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判定5. (2020•黔东南州)若菱形ABCD的一条对角线长为8,边CD的长是方程x2-10x+24＝0的一个根,则该菱形ABCD的周长为( )A.16B.24C.16或24D.486. (2020•铜仁市)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2＝0的两个根,则k的值等于( )A.7B.7或6C.6或-7D.67. (2021·张家界)对于实数a,b定义运算“☆”如下:a☆b＝ab2－ab,例如3☆2＝3×22－3×2＝6,则方程1☆x＝2的根的情况为( )A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根8. (2020•鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有5G用户2万户,计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x,则x值为( )A.20%B.30%C.40%D.50%9. (2021·襄阳)随着生产技术的进步,某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元,现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为x,下面所列方程正确的是( )A.5000(1＋x)2＝4050B.4050(1＋x)2＝5000C.5000(1－x)2＝4050D.4050(1－x)2＝500010.（2020•上海）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0B．y2+2y+1＝0C．y2+y+2＝0D．y2+y﹣2＝0二．填空题1.（2022•沈阳）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为元．2. (2020•咸宁)若关于x的一元二次方程(x+2)2＝n有实数根,则n的取值范围是.3. (2020•衡水)已知-1是方程x2+ax-b=0的一个根,则a2-b2+2b的值为__________.4.(2021·资阳)已知关于x的一元二次方程:x2－2x－a＝0,有下列结论:①当a＞－1时,方程有两个不相等的实根;②当a＞0时,方程不可能有两个异号的实根;③当a＞－1时,方程的两个实根不可能都小于1;④当a＞3时,方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.以上4个结论中,正确的个数为____.5.（2022•上海）解方程组：的结果为．6.(2021·枣庄)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程x2－6x＋n＝0的两个根,则n的值为 .三.解答题1.(2021·菏泽)列方程(组)解应用题.端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:小王:该水果的进价是每千克22元;小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元.2.(2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3.(2022•凉山州)解方程：x2－2x－3＝0.4.(2022•十堰)已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，求m的值5.(2020大东区)新华商场销售某种商品,每件进货价为40元,市场调研表明:当销售价为80元时,平均每天能售出20件;在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,当销售价每降低1元时,平均每天就能多售出2件.(1)若降价2元,则平均每天销售数量为24 件;(2)当每件商品定价多少元时,该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元?6.(2020•湘西州)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底因突然爆发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求.工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个.(1)求口罩日产量的月平均增长率;(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少？7.(2021·呼和浩特)“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式,例如:解方程x －x ＝0,就可以利用该思维方式,设x ＝y,将原方程转化为:y 2－y ＝0这个熟悉的关于y 的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题.已知实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧=++=++512413322y x 52222y x y x y x ,求x 2＋y 2的值. 8.（2022•静安区）现有某服装厂接到一批衬衫生产任务，该厂有甲乙两个生产衬衫的车间，甲车间要完成3000件，乙车间要完成2500件．已知甲车间比乙车间每天多生产125件，如果两车间同时开工，且甲车间比乙车间提前2天完成任务，那么甲车间和乙车间分别用了几天完成各自的任务？。

第八讲 一元二次方程及应用(2013-2014中考数学复习专题)

中考数学复习：一元二次方程及其应用 课件

江西中考数学一轮复习课件：第08课时-一元二次方程及其应用

初三一轮复习系列---第8课时 一元二次方程及应用

浙江省2014届中考数学总复习《第八讲 一元二次方程》课件 新人教版