指数、对数及幂函数

指数函数、对数函数及幂函数

Ⅰ.指数与指数函数

1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s

r rs a a =； （3）()r

r r ab a b =；

（4）m

n m

n

a a =；

（5）1

m n

n

m

a

a

-

=

（6）,||,n n a n a a n ⎧=⎨

⎩奇偶

2. 指数函数：

【基础过关】

类型一：指数运算的计算题

指数函数 0

a>1

图 象

表达式 x y a =

定义域 R

值 域 (0,)+∞

过定点 (0,1)

单调性

单调递减 单调递增

此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、526+的平方根是______________________ 2、 已知2=n

a ，16=mn

a

，则m 的值为………………………………………………( )

A ．3

B ．4

C ．3

a D ．6

a

3、化简

22

1

()

2b a b a ab b b a

+---+-的结果是………………………………( )

A 、a a b --

B 、a b a --

C 、b a a --

D 、2b b a a +--

4、已知0.001a =，求：413

3

3

223

33

8(12)24a a b

b a

a a

b b

-÷-++=_________________

5、已知1

3x x

-+=，求（1）1

12

2

x x -

+=________________（2）332

2

x x -+=_________________

6、若22y y x x -+=，其中1,0x y ><，则

y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式

指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数

的图像及性质 函数)

(x f a

y =的定义域与)(x f 的定义域相同

1、若集合A={

113x

x y -=

},B={

21},x s x A B =-⋂=

则____________________

2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数

1(2)x

y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1

2f(x)的是……………………………………………( )

A 、()1

12x +

B 、

1

4x +

C 、2x

D 、2x

-

4、若6

2

3

44112a a a -+

=-，则实数a 的取值范围是………………………………( ) A 、2a <

B 、1

2

a ≤

C 、12

a >

D 、任意实数

类型三：复合函数 ○

1形如02=+∙+c a b a x x

的方程，换元法求解

○

2函数)(x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 ○

3先确定)(x f 的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定)

(x f a y =的值域 涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定

义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”

（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数

1、求函数

2391x x

y =++ 的值域 2、当10x -≤≤时，函数2

2

34x x y +=- 的最大值是______________，最小值是__________

3、已知x [-3,2]∈，求f(x)=11

142x

x -+的最大值是______________，最小值是______________

（2）外函数是指数函数，内函数是二次函数

1、函数y=(1

3)2281

x x --+ (-31x ≤≤)的值域是______________，单调递增区间是__________ 2、已知函数y=(1

3)225

x x ++，求其单调区间_____________________及值域_______________

类型四：奇偶性的判定

利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分

1、函数x

x a a x f -⋅+=2)1()(是……………………………………………( )

A 、奇函数

B 、偶函数

C 、非奇非偶函数

D 、既奇且偶函数

2、已知函数f(x)=1

(1)1x x

a a a ->+

(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R 上的增函数。

3、设a ∈R,f(x)= 22

()21x x

a a x R ⋅+-∈+，试确定a 的值，使f(x)为奇函数

类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用

1、已知0a >，且1a ≠，解不等式

2

6

5x

x a a ->

2、已知f(x)=2231

x x a -+,g(x)=225

x x a

+- (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,1x ≠使得f(x)＞

g(x).