指数、对数及幂函数

指数函数、对数函数及幂函数Ⅰ.指数与指数函数1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()sr rs a a =； （3）()rr r ab a b =；（4）mn mna a =；（5）1m nnmaa-=（6）,||,n n a n a a n ⎧=⎨⎩奇偶2. 指数函数：【基础过关】类型一：指数运算的计算题指数函数 0<a<1a>1图 象表达式 x y a =定义域 R值 域 (0,)+∞过定点 (0,1)单调性单调递减 单调递增此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、526+的平方根是______________________ 2、 已知2=na ，16=mna，则m 的值为………………………………………………( )A ．3B ．4C ．3a D ．6a3、化简221()2b a b a ab b b a+---+-的结果是………………………………( )A 、a a b --B 、a b a --C 、b a a --D 、2b b a a +--4、已知0.001a =，求：41333223338(12)24a a bb aa ab b-÷-++=_________________5、已知13x x-+=，求（1）1122x x -+=________________（2）3322x x -+=_________________6、若22y y x x -+=，其中1,0x y ><，则y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质 函数)(x f ay =的定义域与)(x f 的定义域相同1、若集合A={113xx y -=},B={21},x s x A B =-⋂=则____________________2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数1(2)xy f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=12f(x)的是……………………………………………( )A 、()112x +B 、14x +C 、2xD 、2x-4、若62344112a a a -+=-，则实数a 的取值范围是………………………………( ) A 、2a <B 、12a ≤C 、12a >D 、任意实数类型三：复合函数 ○1形如02=+∙+c a b a x x的方程，换元法求解○2函数)(x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 ○3先确定)(x f 的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定)(x f a y =的值域 涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数1、求函数2391x xy =++ 的值域 2、当10x -≤≤时，函数2234x x y +=- 的最大值是______________，最小值是__________3、已知x [-3,2]∈，求f(x)=11142xx -+的最大值是______________，最小值是______________（2）外函数是指数函数，内函数是二次函数1、函数y=(13)2281x x --+ (-31x ≤≤)的值域是______________，单调递增区间是__________ 2、已知函数y=(13)225x x ++，求其单调区间_____________________及值域_______________类型四：奇偶性的判定利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分1、函数xx a a x f -⋅+=2)1()(是……………………………………………( )A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数2、已知函数f(x)=1(1)1x xa a a ->+(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R 上的增函数。

3、设a ∈R,f(x)= 22()21x xa a x R ⋅+-∈+，试确定a 的值，使f(x)为奇函数类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用1、已知0a >，且1a ≠，解不等式265xx a a ->2、已知f(x)=2231x x a -+,g(x)=225x x a+- (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,1x ≠使得f(x)＞g(x).Ⅱ.对数与对数函数1、对数的运算：1、互化：N b N a a b log =⇔=2、恒等：N a N a =log3、换底：ab bc c a log log log =推论1 ab b a log 1log =推论2 log log log a b a b c c ∙=推论3 log log m na an b b m=)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += l o g l o g l o ga a a M MN N=- 5、M n M a n a log log ⋅=2对数函数：【基础过关】类型一：对数的基本运算此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意○1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为N lg ○2自然对数：以e=2.71828…为底的对数叫自然对数，记为N ln 对数函数0<a<1 a>1图 象表达式 log a y x=定义域 (0,)+∞ 值 域 R过定点 (1，0)单调性单调递减单调递增○3零和负数没有对数，且1log ,01log a ==a a 1、(1)、 9lg 2lg 008.0lg 3181.0lg 212+++ (2)、()20lg 5lg 2lg 2⋅+(3)、())2log 2(log )5log 5(log 3log 3log 2559384+⋅+⋅+2、已知2log =x a ,3log =x b ,6log =x c 求 x abc log 的值．类型二：指数，对数的混合运算指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 的图象与性质x=1x=1y=1y=1在(0,+∞)内是 减函数在(0,+∞)内是 增函数在(- ∞,+∞)内是 减函数在(- ∞,+∞)内是 增函数0<x<1时,y<0;x>1时，y>0.0<x<1时,y>0;x>1时，y<0.x<0时,0<y<1;x>0时，y>1.x<0时，y>1;x>0时，0<y<1.(1,0)，即x=1时，y=0.(0,1)，即x =0时，y=1.(0,+∞)(0,+∞)(- ∞,+∞)(- ∞,+∞) 单调性y 值区域过定点值 域定义域图象a>10<a<1a>10<a<1a y=log a xy=a x函数11O OOO1axy1a xy1axy1a xy1、若log 2,log 3,a a m n ==则32m n a -=_________2、若1a >且01b <<，则不等式log (3)1b x a->的解集为________3、已知35,a b A ==且112a b+=，则A 的值是________4、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是…………………………( ) A 、2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 【能力提升】类型三：对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域。

1、函数121log (2)y x =-的定义域是____________2、已知235(log ())22x f x ++=，则(0)f =___________3、已知62()log f x x =，那么(8)f =____________类型四：对数函数的值域注意复合函数的值域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域和值域。

1. 函数212log (617)y x x =-+的值域是________2. 设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =___________3. 函数()log (1)xa f x a x =++在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为_______________类型五：对数函数的单调性、奇偶性1、函数lg y x=的单调递增区间是_______ ; 函数212log (32)y x x =-+的递增区间是_______________2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是……………………………………………( )A.12log (1)y x =+ B.22log 1y x =-C.31log y x = D.213log (43)y x x =-+3、函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于………………………………………………………( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 4、函数()2()lg1f x x x=+-是 （奇、偶）函数。

5、已知函数1010()1010x x xx f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性。

类型六：对数中的不等关系比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小1、设0.724log 0.8log 0.9log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是_______2、设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则,,a b c 的大小关系是_______ 3、如果3log15m <，那么m 的取值范围是______4、如果log 3log 30a b >>，那么,a b 的关系是…………………………………………( )A. 01a b <<<B. 1a b <<C. 01b a <<<D. 1b a <<5、已知2log (1)log (24)0a a x x +<+<，则不等式解集为_______ 6、若()log a f x x =在[2,)+∞上恒有()1f x >，则实数a 的取值范围是________类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）1、设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是________2、已知集合{}2log 2,(,)A x xB a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = ______.3、若1x 满足2x+2x=5,2x 满足2x+2)1(log 2-x =5,1x +2x ＝………………………( )A.52B.3C. 72 D.4幂函数一、幂函数图象的作法：根据幂函数kx y =的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为mn x y =或mn xy -=（m 、*∈N n ，2≥m ，m 、n 互质）的形式，先化为m n x y =，或mnxy 1=的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、单调性等性质，从而能比较准确地作出幂函数的图象. 二、幂函数图象的类型：（共有11种情况）k 0<-=mnk10<=<mnk 1>=mnk 奇函数m 、n 都是奇数y=x-13-11y xoy=x35-11y xoy=x53-11yxo偶函数m 是奇数，n 是偶数y=x-23-11y xo y=x23-11y xo y=x43-11yxo非奇非偶函数m 是偶数，n 是奇数y=x-12-11y xo y=x12-11y xo y=x32-11yxo三、幂函数图象特征：（1）当0<k 时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；y=x y=x o (x ≠0)o -11yx o （2）当0=k 时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；（3）当10<<k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线；（4）当1=k 时，图象是一、三象限的角平分线；（5）当1>k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线. （6）幂函数图象不经过第四象限；（7）当0>k 时，幂函数k x y =的图象一定经过点（0，0）和点（1，1）（8）如果幂函数k x y =的图象与坐标轴没有交点，则0≤k ；（9）如果幂函数m npx y )1(-=（m 、n 、p 都是正整数，且m 、n 互质）的图象不经过第三象限，则p 可取任意正整数，m 、n 中一个为奇数，另一个为偶数.四、幂函数典型问题：1．概念问题：【例1】1．已知幂函数，当时为减函数，则幂函数__________．【变式】当m 为何值时，幂函数y=(m 2-5m+6)的图象同时通过点(0，0)和(1，1).2．定义域问题：【例2】函数05321)2(--+=-x x x y 的定义域为【变式】.求函数y=的定义域.3．单调性问题：【例3】已知5353)21()3(--+<-a a ，求实数a 的取值范围.【变式1】讨论函数的单调性.【变式2】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．4．图象问题：【例4】若函数)(322Z m x y m m ∈=--的图象与坐标轴没有交点，且关于y 轴对称，求函数)(x f 的解析式.【例5】利用函数的图象确定不等式的解集：（1） 不等式)1(32->x x 的解集为 （2） 不等式314x x ≥的解集为说明：先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象，并确定交点的坐标，从而能较容易地写出不等式的解集5．函数图象的平移、对称、翻折变换问题：说明：很多较复杂函数的图象，都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得到 x y 1=；x y 1-=；)1,0(≠>=k k x k y ；)1,0(≠>-=k k xk y 【例6】作出下列函数的大致图象，并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间.（1）12--=x x y （2）xx y --=21 （3）14-=x y ，)5,2[)1,( -∞∈x （4）112--=x x y ，),0[+∞∈x （5）xy +=11 （6）31)2(--=x y 【例7】已知幂函数)(x f y =是偶函数，且在区间),0(+∞上单调递增，若)12()1(22++<-a a f a f ，则实数a 的取值范围是 .6.比较幂函数值大小【例8】．比较，，的大小.【例9】．已知幂函数，，，在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系?。