2017年山东省临沂市高考数学二模试卷(理科)

2017年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）全集为实数集R，集合M={x||x|≤3}，集合N={x|x＜2}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|x＜﹣3}B．{x|﹣3＜x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|﹣3≤x＜2}2．（5分）若是z的共轭复数，且满足=3+i，则z=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ～N （100，σ2），已知P（80＜ξ≤100）=0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份 B．10份C．15份D．20份4．（5分）“|x﹣1|+|x+2|≤5”是“﹣3≤x≤2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某几何体的三视图如图所示，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的表面积为（）A．24πB．16πC．12πD．8π6．（5分）将函数的图象向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数y=g（x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．7．（5分）已知x，y满足若目标函数z=﹣2x+y的最大值不超过2，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[﹣2，2]8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴、y轴上的点，且|AB|=1，若点P（1，），则|的取值范围是（）A．[5，6]B．[5，7]C．[4，6]D．[6，9]9．（5分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，双曲线C1的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C1的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为，则双曲线C1的实轴长是（）A．32 B．16 C．8 D．410．（5分）已知f（x）=|xe x|，又g（x）=[f（x）]2﹣tf（x）（t∈R），若方程g （x）=﹣2有4个不同的根，则t的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上．11．（5分）已知圆x2+y2﹣2x﹣8y+1=0的圆心到直线ax﹣y+1=0的距离为1，则a=．12．（5分）设，则二项式展开式中x2项的系数为（用数字作答）．13．（5分）阅读如图的程序框图，若运行此程序，则输出S的值为．14．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所著《周髀算经》中用赵爽弦图给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽弦图，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色和黄色，若朱色的勾股形中较大的锐角α为，现向该赵爽弦图中随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在黄色的小正方形内的概率为．15．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0而是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函数”；②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，则它的均值点x0≤；③若函数f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m∈（﹣2，0）；④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知向量，若f（x）=m•n．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）己知△ABC的三内角A，B，C对边分别为a，b，c，且a=3，f，sinC=2sinB，求A，c，b的值．17．（12分）某校的学生文娱团队由理科组和文科组构成，具体数据如表所示：学校准备从该文娱团队中选出4人到某社区参加大型公益活动演出，每选出一名男生，给其所在的组记1分；每选出一名女生，给其所在的组记2分，要求被选出的4人中文科组和理科组的学生都有．（I）求理科组恰好得4分的概率；（II）记文科组的得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望EX．18．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是等腰三角形，∠CAD=120°，AD=DE=2AB．（I）求证：平面BCE⊥平面CDE；（II）求平面BCE与平面ADEB所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有a m+a n=a m+n成立．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知函数f（x）=．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若不等式f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；（III）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．21．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，抛物线C2：x2=4y的焦点F是C1的一个顶点．（I）求椭圆C1的方程；（II）过点F且斜率为k的直线l交椭圆C1于另一点D，交抛物线C2于A，B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C1于P，Q两点，记直线OM的斜率为k'．（i）求证：k•k'=﹣；（ii）△PDF的面积为S1，△QAB的面积为是S2，若S1•S2=λk2，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．2017年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）（2017•临沂二模）全集为实数集R，集合M={x||x|≤3}，集合N={x|x ＜2}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|x＜﹣3}B．{x|﹣3＜x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|﹣3≤x＜2}【解答】解：根据题意，集合M={x||x|≤3}={x|﹣3≤x≤3}，则∁R M={x|x＜﹣3或x＞3}，又由集合N={x|x＜2}，则（∁R M）∩N={x|x＜﹣3}，故选：A．2．（5分）（2017•临沂二模）若是z的共轭复数，且满足=3+i，则z=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【解答】解：=3+i，∴（1+i）=（3+i）（1+i），∴2=2+4i，即=1+2i．则z=1﹣2i．故选：C．3．（5分）（2017•临沂二模）某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ～N（100，σ2），已知P（80＜ξ≤100）=0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份 B．10份C．15份D．20份【解答】解：P（ξ＞100）=0.5，P（100＜ξ＜120）=P（80＜ξ＜100）=0.45，∴P（ξ＞120）=P（ξ＞100）﹣P（100＜ξ＜120）=0.05，∴应从120分以上的试卷中抽取份数为200×0.05=10．故选：B．4．（5分）（2017•临沂二模）“|x﹣1|+|x+2|≤5”是“﹣3≤x≤2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x﹣1|+|x+2|≤5”，x≥1时，化为：x﹣1+x+2≤5，解得1≤x ≤2；﹣2≤x＜1时，化为：1﹣x+x+2≤5，化为0≤2恒成立，解得﹣2≤x＜1；x＜﹣2时，化为：1﹣x﹣x﹣2≤5，解得﹣3≤x＜﹣2．综上可得：“|x﹣1|+|x+2|≤5”的解集为：{x|﹣3≤x≤2}．∴“|x﹣1|+|x+2|≤5”是“﹣3≤x≤2”的充要条件．故选：C．5．（5分）（2017•临沂二模）某几何体的三视图如图所示，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的表面积为（）A．24πB．16πC．12πD．8π【解答】解：根据题意，该几何体的直观图是球的，球的半径R=2；其表面积S=×（4πR2）+πR2=16π；故选：B．6．（5分）（2017•临沂二模）将函数的图象向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数y=g（x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，可得y=2sin （x﹣+）﹣1=2sin（x﹣）+1的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=g（x）=2sin（2x ﹣）+1的图象．令2x﹣=kπ，k∈Z，求得x=+，令k=0，可得g（x）图象的一个对称中心为（，1），故选：D．7．（5分）（2017•临沂二模）已知x，y满足若目标函数z=﹣2x+y的最大值不超过2，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[﹣2，2]【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，m2+2），化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为m2﹣2，由m2﹣2≤2，得﹣2≤m≤2．∴实数m的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．8．（5分）（2017•临沂二模）在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴、y 轴上的点，且|AB|=1，若点P（1，），则|的取值范围是（）A．[5，6]B．[5，7]C．[4，6]D．[6，9]【解答】解：设A（x，0），B（0，y），则=（1﹣x，），=（1，﹣y），=（1，），∴=（3﹣x，4﹣y），∴||=，∵|AB|=1，∴x2+y2=1，∴表示单位圆上的点到M（3，4）的距离，∴的最小值为|OM|﹣1=4，的最大值为|OM|+1=6，故选C．9．（5分）（2017•临沂二模）已知双曲线与双曲线的离心率相同，双曲线C1的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C1的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为，则双曲线C1的实轴长是（）A．32 B．16 C．8 D．4【解答】解：双曲线的离心率为=，可得双曲线的离心率e==，双曲线的渐近线方程为y=±x，可得|MF2|==b，即有|OM|==a，由△OMF2的面积为，可得ab=2，由c=a，可得b==a，则a2=4，即a=2．即有2a=4．故选：D．10．（5分）（2017•临沂二模）已知f（x）=|xe x|，又g（x）=[f（x）]2﹣tf（x）（t∈R），若方程g（x）=﹣2有4个不同的根，则t的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：解：f（x）=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x＞0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=（﹣1﹣x）e x，∴当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数．当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）=．令f（x）=λ，又f（x）≥0，f（0）=0，则当λ＜0时，方程f（x）=λ无解；当λ=0或λ＞时，方程f（x）=λ有一解；当λ=时，方程f（x）=λ有两解；当0＜λ＜时，方程f（x）=λ有三解．∵方程g（x）=﹣2有4个不同的根，即[f（x）]2﹣tf（x）+2=0有4个不同的解，∴关于λ的方程λ2﹣tλ+2=0在（0，）和（，+∞）上各有一解．∴，解得t＞．故选C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上．11．（5分）（2017•临沂二模）已知圆x2+y2﹣2x﹣8y+1=0的圆心到直线ax﹣y+1=0的距离为1，则a=．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+1=0的圆心C（1，4），∵圆x2+y2﹣2x﹣8y+1=0的圆心到直线ax﹣y+1=0的距离为1，∴d==1，解得a=．故答案为：．12．（5分）（2017•临沂二模）设，则二项式展开式中x2项的系数为135（用数字作答）．【解答】解：=（x2﹣x）|=9﹣3=6，二项式即（x﹣）6的通项为C6r（﹣3）r•x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2项的系数为C62（﹣3）2=135，故答案为：135．13．（5分）（2017•临沂二模）阅读如图的程序框图，若运行此程序，则输出S的值为．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sin+sin+sinπ+…+sin+sin的值，∵sin的值以6为周期呈周期性变化，且一个周期内的值的和为0，且2017÷6=336…1，∴S=sin+sin+sinπ+…+sin+sin=336×0+sin=．故答案为：．14．（5分）（2017•临沂二模）三国时代吴国数学家赵爽所著《周髀算经》中用赵爽弦图给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽弦图，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色和黄色，若朱色的勾股形中较大的锐角α为，现向该赵爽弦图中随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在黄色的小正方形内的概率为1﹣．【解答】解：设正方形的边长为2，由已知朱色直角三角形一个锐角为，得到两条直角边长度分别1、，所以中心正方形的边长为﹣1，面积为（﹣1）2=4﹣2，由几何概型的公式得到所求概率为；故答案为：1﹣．15．（5分）（2017•临沂二模）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0而是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函数”；②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，则它的均值点x0≤；③若函数f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m∈（﹣2，0）；④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）．【解答】解：①∵=0，而f（）=0，∴f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函数”，故①正确；②若f（x）=0，则=0，显然（a，b）上的任意1个数都是f（x）的均值点，故②错误；③若函数f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则区间（﹣1，1）上存在x0使得f（x0）==m，即x02+mx0﹣1=m，∴m==﹣x0﹣1，∵x0∈（﹣1，1），∴m∈（﹣2，0）．故③正确；④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，∴lnx0==，则lnx0﹣=﹣．令=t，则b=at2（t＞1），∴﹣=﹣=（）=（2lnt﹣t+），令g（t）=2lnt﹣t+，则g′（t）===＜0，∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，∴g（t）＜g（1）=0，∴﹣＜0，即lnx0＜，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2017•临沂二模）已知向量，若f（x）=m•n．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）己知△ABC的三内角A，B，C对边分别为a，b，c，且a=3，f，sinC=2sinB，求A，c，b的值．【解答】解：（I）f（x）=（sinx﹣cosx）sin（+x）+=（sinx﹣cosx）cosx+=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．（II）∵f（+）=sin（A﹣）=，且﹣＜A﹣＜，∴A﹣=，即A=．∵sinC=2sinB，∴c=2b，又a=3，由余弦定理得cosA===，解得b=，∴c=2．综上，A=，b=，c=2．17．（12分）（2017•临沂二模）某校的学生文娱团队由理科组和文科组构成，具体数据如表所示：学校准备从该文娱团队中选出4人到某社区参加大型公益活动演出，每选出一名男生，给其所在的组记1分；每选出一名女生，给其所在的组记2分，要求被选出的4人中文科组和理科组的学生都有．（I）求理科组恰好得4分的概率；（II）记文科组的得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（Ⅰ）∵被选出的4人中文科组和理科组的学生都有，∴基本事件总数：n=+=120，“理科组恰好得4分“的选法有两种情况：①从理科组中选取2男1女，再从文科组任选1人，共有：=24种选法，②从理科组中选2名女生，再从文科组中任选2人，共有：种选法，∴理科组恰好得4分的概率p==．（II）由题意知，文科组得分X的取值为1，2，3，4，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）==，P（X=4）=，∴X的分布列为：EX==．18．（12分）（2017•临沂二模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是等腰三角形，∠CAD=120°，AD=DE=2AB．（I）求证：平面BCE⊥平面CDE；（II）求平面BCE与平面ADEB所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点F，EC的中点P，连接BP，PF，∴PF∥ED，PF=，由已知得，AB∥DE，AB=DE，∴AB∥PF，AB=PF，则四边形ABPF为平行四边形，得BP∥AF，∵AB∥DE，AB⊥平面ACD，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴AF⊥ED．又△ACD是等腰三角形，F是CD的中点，∴AF⊥CD．∴BP⊥DE，BP⊥CD，又DE∩CD=D，∴BP⊥平面CDE．又BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE；（Ⅱ）解：以F为坐标原点，分别以FD、FA、FP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AD=2，∵∠CAD=120°，∴CD=，则C（，0，0），D（，0，0），A（0，1，0），B（0，1，1），E（，0，2）．∴，设平面BCE的一个法向量为，则，取x=1，得．又，．设平面ADEB的一个法向量，则，令x=1，得．设平面BCE与平面ADEB所成的锐角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=．19．（12分）（2017•临沂二模）已知数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有a m+a n=a m+n成立．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有a m+a n=a m+n成立．∴m=n=1时，2a1=a2=a1+2．m=1，n=2时，可得a1+a2=a3=a1+2，解得a2=2，a1=1．∴n为奇数时，a n=1+=n，n为偶数时，a n=2×=．∴a n=．（2）b n=，∴n为奇数时，b n==．n为偶数时，b n=．因此：n为偶数时，数列{b n}的前n项和T n=+=+=﹣﹣．∴n为奇数时，T n=T n﹣1+b n=﹣+=﹣﹣．20．（13分）（2017•临沂二模）已知函数f（x）=．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若不等式f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；（III）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣，令φ（x）=+lnx，则φ′（x）=，x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）递减，综上，f（x）在（0，1），（1，+∞）递减；（Ⅱ）f（x）＞（x＞1）恒成立，令h（x）=＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k，h′（x）=，（x＞1），令g（x）=x﹣2﹣lnx（x＞1），则g′（x）=＞0，故g（x）在（1，+∞）递增，又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣2ln2＞0，g（x）=0存在唯一的实数根a，且满足a∈（3，4），a﹣2﹣lna=0，故x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）递增，1＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）递减，故h（x）min=h（a）===a∈（3，4），故正整数k的最大值是3；（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知，＞，（x＞1）恒成立，即lnx＞2﹣，故ln（x+1）＞2﹣＞2﹣，令x=n（n+1），（n∈N*），得ln[1+n（n+1）]＞2﹣，∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2﹣）+（2﹣）+…+[2﹣]=2n﹣3[++…+]=2n﹣3（1﹣）=2n﹣3+＞2n﹣3，故（1+1×2）•（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．法二：要证（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3，只需证ln[（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））]＞2n﹣3，即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n﹣3．可以下面利用数学归纳法证明：①当n=1时左边=ln3＞0，右边=﹣1，不等式显然成立；②当n=2时左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立；③假设n=k（k≥2）时成立，即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1）＞2k﹣3，那么n=k+1时，ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））=ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1））+ln（1+（k+1）（k+2））＞2k﹣3+ln（1+（k+1）（k+2））∵当k≥2时ln（1+（k+1）（k+2））＞2．∴ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））＞2k﹣3+2=2k﹣1=2（k+1）﹣3，∴当n=k+1时不等式成立．综上所述ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n﹣3成立．则（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3．21．（14分）（2017•临沂二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，抛物线C2：x2=4y的焦点F是C1的一个顶点．（I）求椭圆C1的方程；（II）过点F且斜率为k的直线l交椭圆C1于另一点D，交抛物线C2于A，B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C1于P，Q两点，记直线OM的斜率为k'．（i）求证：k•k'=﹣；（ii）△PDF的面积为S1，△QAB的面积为是S2，若S1•S2=λk2，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率为，抛物线C2：x2=4y的焦点F是C1的一个顶点．∴，解得a=2，c=，∴椭圆C1的方程为．证明：（Ⅱ）（i）证明：由题意设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0），设点D（x0，y0），由，得（4k2+1）x2+8kx=0，解得，，∴D（，），M（），，∴kk′=﹣．解：（ii）由（i）知D（，），又F（0，1），∴|DF|==，由，得x2﹣4kx﹣4=0，，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，∴|AB|=，由，得（4k2+1）y2﹣1=0，，设P（x3，y3），Q（﹣x3，﹣y3），由题意得，，∴P（﹣），Q（，﹣），∴点P到直线kx﹣y+1=0的距离为：d1==，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离为：d2==，∴S1=|DF|d1==，S2===，∴==≤=，当且仅当3k2=k2+1，即k=时，取等号，∴λ的最大值为，此时直线l的方程为y=．参与本试卷答题和审题的老师有：danbo7801；沂蒙松；zhczcb；caoqz；sxs123；双曲线；zlzhan；whgcn；w3239003；changq；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年6月7日。