2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2练习：第2章 推理与证明2.2.1 Word版含解析
2017-2018学年高中数学选修1-2教材用书;第二章推理与证明2.1.1 合情推理含答案
_2。
1合情推理与演绎推理2．1。
1 合情推理归纳推理[提出问题］如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME。
7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n的长度构成数列{a n｝．问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值．提示：由图知：a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝错误!＝错误!＝错误!，a3＝OA3＝错误!＝错误!＝错误!,a4＝OA4＝错误!＝错误!＝错误!＝2。
问题2:由问题1中的结果,你能猜想出数列{a n}的通项公式a n吗？提示：能猜想出a n＝错误!（n∈N＊)．问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°。
问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示:都是由个别事实推出一般结论．[导入新知]1．归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．[化解疑难］归纳推理的特点(1）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确,还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地,如果归纳的个别对象越多，越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠.类比推理和合情推理[提出问题]问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边,那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．问题2:三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的错误!.问题3：以上两个推理有什么共同特点?提示：根据三角形的特征,推出四面体的特征．问题4：以上两个推理是归纳推理吗?提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．［导入新知］1．类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．2．类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，它们统称为合情推理．［化解疑难]对类比推理的定义的理解（1）类比推理是两类对象特征之间的推理．（2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的．如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同．（3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现．数、式中的归纳推理[例1］已知数列｛a n｝的前n项和为S n,a1＝－错误!,且S n＋错误!＋2＝a n(n≥2），计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式．［解］当n＝1时，S1＝a1＝－错误!；当n＝2时，错误!＝－2－S1＝－错误!,所以S2＝－错误!;当n＝3时,错误!＝－2－S2＝－错误!,所以S3＝－错误!；当n＝4时，错误!＝－2－S3＝－错误!，所以S4＝－错误!.猜想：S n＝－错误!，n∈N＊.[类题通法］归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1）通过观察个别对象发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）．［活学活用]（1）（陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F,V，E所满足的等式是________．（2)将全体正整数排成一个三角形数阵:12 34 5 67 8 9 10…按照以上排列的规律，则第n(n≥3）行从左向右数第3个数为________．解析：（1）观察表中数据,并计算F＋V分别为11，12，14，又其对应E分别为9，10,12，容易观察并猜想F＋V－E＝2。
高中数学人教A版选修1-2练习第2章 推理与证明2.2.1 Word版含解析
第二章级基础巩固一、选择题．关于综合法和分析法的说法错误的是( )．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法．分析法又叫逆推证法或执果索因法[解析]综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项错误．．“对任意角θ，都有θ－θ＝θ”的证明过程：“θ－θ＝(θ－θ)(θ＋θ)＝θ－θ＝θ”应用了( )．分析法．综合法．综合法与分析法结合使用．间接证法[解析]证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．．若<<，则下列不等式中成立的是( )．<．＋>＋．<．＋>＋[解析]∵<<，∴>，又∵>，∴＋>＋.．＝＋，＝·(、、、、、均为正数)，则、的大小为( )．≥．≤．不确定．>[解析]＝≥＝＋＝.．已知函数()＝，、∈＋，＝，＝()，＝，则、、的大小关系为( )．≤≤．≤≤．≤≤．≤≤[解析]≥≥，又函数()＝()在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴()≤()≤()．二、填空题>＋．如果，则实数、应满足的条件是＋≥≠≥，且[解析]＋>＋⇔＋－－>⇔(－)＋(－)>⇔(－)(－)>⇔(＋)(－)>只需≠且、都不小于零即可．．在算式－△＝×□中的□，△()内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对()应为△□，[解析]设(△，□)为(，)，则－＝，即＋＝，＋＝(＋)·＝≥＝，当且仅当＝，即＝时等号成立．又有＋＝，可得＝，＝.三、解答题．若、、是不全相等的正数，求证：＋＋>＋＋[解析]解法一(分析法)：要证＋＋>＋＋，即要证(··)>()，只需证··>.∵≥>，≥>，≥>，∴··≥>.(*)又∵、、是不全相等的正数，∴(*)式中等号不成立，∴原不等式成立．解法二(综合法)：∵、、∈*，∴≥>，≥>，·≥>.又∵、、是不全相等的正数，∴··>.∴(··)> ()．∴＋＋>＋＋.级素养提升一、选择题．设<<，则＝，＝＋，＝中最大的一个是( )．．．不确定．[解析]∵－＝＋－＝<，∴<.又∵＝＋>＝，∴<<.．在△中，“·>”是“△为锐角三角形”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．既不充分与不必要条件．充要条件[解析]∵·>，∴∠为锐角，但∠、∠的大小不确定，故选．。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.1.1
02第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是( )A.合情推理是正确的推理B.合情推理是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理是从特殊到特殊的推理,故选项D正确.2数列5,9,17,33,x,…中的x等于( )A.47B.65C.63D.128=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.3下列类比推理恰当的是( )A.把a(b+c)与log a(x+y)类比,则有log a(x+y)=log a x+log a yB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b nD.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c4如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形.根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是( )A.2B.4C.6D.8,每行除1外,每个数都是它肩上的两数之和,如第6行的第2个数5,它肩上的两数是1和4,且5=1+4.由此可推知a=3+3=6,故选C.5用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+2,后一个图形比前一个图形多6根火柴棒,第一个图形为8根,可以写成a1=8=6+2.又a2=14=6×2+2,a3=20=6×3+2,…,所以可以猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2.6在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为 .析V1V2=13S1ℎ113S2ℎ2=S1S2·ℎ1ℎ2=14×12=18.∶87观察下列等式1‒12=121‒12+13‒14=13+141‒12+13‒14+15‒16=14+15+16……据此规律,第n 个等式可为 .,第n 个等式的左侧是数2n 项和,而右侧是数n+1项到第列{(-1)n -1·1n }的前列{1n}的第2n 项的和,故为1‒12+13‒14+…+12n -1‒12n =1n +1+1n +2+…+12n .‒12+13‒14+…+12n -1‒12n =1n +1+1n +2+…+12n 8古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数≥3),以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:为n (n +1)2=12n 2+12n .记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k 三角形数 N (n ,3)=12n 2+12n ,正方形数N (n ,4)=n 2,五边形数N (n ,5)=32n 2‒12n ,六边形数N (n ,6)=2n 2-n ,…………可以推测N (n ,k )的表达式,由此计算N (10,24)= .:含n 2项的系数为首项,含n 项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,因此N (n ,k )是12,公差是‒12的等差数列N (10,24)0=[12+(k -3)·12]n 2+[12+(k -3)·(-12)]n =k -22n 2+4-k 2n .故=24-22×102+4-242×10=1 00.9三角形与四面体有下列相似性质:(1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质,填写下表:三 角 形四 面 体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半,且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心“外在”性质,合理寻找类比对象对二者的“内在”性质进行探究.三角形和四面体分别是平面图形和空间图形,三角形的边对应四面体的面,即平面的线类比到空间为面,三角形的中位线对应四面体的中位面(三条棱的中点所确定的三角形面),三角形的内角对应四面体的二面角,三角形的内切圆对应四面体的内切球.10已知sin 230°+sin 290°+sin 2150°=32,sin 25°+sin 265°+sin 2125°=32,sin 221°+sin 281°+sin 2141°=32.通过观察上述等式的规律,写出一般性规律的命题,并给出证明.,且三个角成公差为60°的等差数列,等式右边都sin 2α+sin 2(α+60°)+sin 2(α+120°)是32,所以得一般性规律的命题为=32.证明如下:sin 2α+sin 2(α+60°)+sin 2(α+120°)=1-cos2α2+1-cos (2α+120°)2+1-cos (2α+240°)2=32‒cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2αc2=32‒cos2α-12cos2α-3sin2α-12cos2α+3sin2α2=32.能力提升1已知{b n }为等比数列,b 5=2,则b 1b 2b 3…b 9=29.若{a n }为等差数列,a 5=2,则{a n }的类似结论为( )A .a 1a 2a 3…a 9=29B .a 1+a 2+…+a 9=29C .a 1a 2…a 9=2×9D .a 1+a 2+…+a 9=2×9,从而有a 1+a 2+…+a 9=9个2+2+…+2⏟=2×9.2定义A*B ,B*C ,C*D ,D*B 依次对应下列4个图形:则下列4个图形中,可以表示A*D ,A*C 的分别是( )A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)①②③④可归纳得出,符号“*”表示图形的叠加,字母A 代表竖线,字母B 代表大矩形,字母C 代表横线,字母D 代表小矩形,则表示A*D 的是图形(2),表示A*C 的是图形(4),故选C .3设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x+2)=13,f (1)=2,则f (2 019)等于( )A.13B.2C .132D .213f (x )·f (x+2)=13,f (1)=2,∴f (3)=13f (1)=132,f (5)=13f (3)=2,f (7).=13f (5)=132,f (9)=13f (7)=2,…∴归纳得f (2n-1)={2,n 为奇数,132,n 为偶数.∴f (2 019)=f (2×1 010-1)C .=132.故选★4设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r=2Sa +b +c.类比这个结论可知:四面体S ‒ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半S ‒ABC 的体积为V ,则R 等于( )A .V S 1+S 2+S 3+S 4B .2VS 1+S 2+S 3+S 4C .3V S 1+S 2+S 3+S 4D .4VS 1+S 2+S 3+S 4O ,则球心O 到四个面的距离都是R ,所以四面体的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,则四面体的体积为V R=13(S 1+S 2+S 3+S 4)R ,故=3VS 1+S 2+S 3+S 4.5设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4, , ,T 16T 12成等比数列.,加法类比于乘法,减法类比于除法,故可得类比结论为“设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4.,T 8T 4,T 12T 8,T 16T 12成等比数列”案T 8T 4 T 12T86设n 是正整数,f (n )=1+12+13+14+ (1),计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是 .n 个式子左边应为f (2n ),右边应f (2n )≥为n +22,即一般结论为n +22.(2n )≥n +227已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=≥2),计算S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表‒23,且Sn +1S n+2=an (n 达式.S n≥2),+1S n+2=an (n ∴S n≥2),+1S n+2=Sn ‒Sn ‒1(n ≥2).即1S n =‒2‒Sn ‒1(n ∴当n=1时,S 1=a 1=‒23;当n=2时,1S 2=‒2‒S 1=‒43,S 2=‒34;当n=3时,1S 3=‒2‒S 2=‒54,S 3=‒45;当n=4时,1S 4=‒2‒S 3=‒65,S 4=‒56.猜想S n =∈N *.‒n +1n +2,n★8已知椭圆具有以下性质:M ,N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为k PM ,k PN ,则k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)写出具有类似特征的性质,并加以证明.,抓住椭圆和双曲线同属于圆锥曲线而具有的相似性质,从而得到结论.:已知M ,N 是双曲,点P 是双曲线线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)上关于原点对称的两个点上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为k PM ,k PN ,那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明:设点M ,P 的坐标分别为(m ,n ),(x ,y ),则点N 的坐标为(-m ,-n ).∵点M (m ,n )在双曲,线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)上n 2∴m 2a 2‒n 2b 2=1,得=b 2a2m 2‒b 2.同理y 2=b 2a2x 2‒b 2.∴y 2‒n 2=b 2a2(x 2‒m 2).∴k PM ·k PN =y -n x -m ·y +nx +m =y 2-n 2x 2-m 2),=b 2a 2·x 2-m 2x 2-m 2=b 2a 2(定值即k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.2.2
2.2.2 反证法课时过关·能力提升基础巩固1下列命题不适合用反证法证明的是( )A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B.两个不相等的角不是对顶角C.平行四边形的对角线互相平分D.已知x,y∈R,且x+y>2,求证:x,y中至少有一个大于12当用反证法证明命题“设a,b为实数,则关于x的方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根至少有一个”的否定为“没有”.3设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于( )A.0B .13C.12D.14已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数),且a>b,则两个数列中序号与数值均相同的项有( )A.0个B.1个C.2个D.无穷多个,即存在n,使得a n=b n,则an+2=bn+1,即an+1=bn,则bn>an,即b>a,这与已知a>b矛盾.故不存在n,使得a n=b n,应选A.5有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”.四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是( )A.甲B.乙C.丙D.丁6当用反证法证明:“自然数a ,b ,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为( )A .a ,b ,c 都是偶数B .a ,b ,c 都是奇数C .a ,b ,c 中至少有两个偶数D .a ,b ,c 中都是奇数或至少有两个偶数a ,b ,c 的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a ,b ,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ,b ,c 中都是奇数或至少有两个偶数”.7已知平面α∩平面β=直线a ,直线b ⊂α,直线c ⊂β,b ∩a=A ,c ∥a ,求证:b 与c 是异面直线.若利用反证法证明,则应假设 .空间中两直线的位置关系有3种:异面、平行、相交,∴应假设b 与c 平行或相交.与c 平行或相交8用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①A+B+C=90°+90°+C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故假设错误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC 中有两个直角,不妨设A=B=90°.上述步骤的正确顺序为 .:否定结论、导出矛盾、得出结论,知正确的顺序应为③①②.9在△ABC 中,若AB=AC ,P 是△ABC 内的一点,∠APB>∠APC ,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分:假设 和 两类.,∠BAP<∠CAP 的对立面是∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP.BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP10已知x ,y>0,且x+y>2.求证:1+x y ,1+y x 中至少有一个小于2.,不要忽略x>0,y>0.2,≥2≥2.设1+x y ,1+y x 都不小于即1+x y ,1+y x ∵x>0,y>0,∴1+x ≥2y ,1+y ≥2x.∴2+x+y ≥2(x+y ),即x+y ≤2,这与已知x+y>2矛盾.2.∴1+x y ,1+y x 中至少有一个小于能力提升1已知a ,b 是异面直线,如果直线c 平行于直线a ,那么c 与b 的位置关系为( )A .一定是异面直线B .一定是相交直线C .不可能是平行直线D .不可能是相交直线c ∥b ,而由c ∥a ,可得a ∥b ,这与a ,b 异面矛盾,故c 与b 不可能是平行直线,应选C .2设x ,y ,z 都是正实数,a=x+1y ,b =y +1z ,c =z +1x ,则a ,b ,c 三个数( ) A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2a ,b ,c 都小于2,则a+b+c<6.①而a+b+c=x ≥6,当且仅当x=y=z=1时,等号成立.②+1x +y +1y +z +1z 显然①与②矛盾,所以选项C 正确.3设a ,b ,c 是正数,P=a+b-c ,Q=b+c-a ,R=c+a-b ,则“PQR>0”是“P ,Q ,R 同时大于零”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.充分性:若PQR>0,则P ,Q ,R 同时大于零或其中有两个负数一个正数,不妨假设P<0,Q<0,R>0.∵P<0,Q<0,∴a+b<c ,b+c<a ,∴a+b+b+c<c+a ,∴b<0,这与a ,b ,c 是正数矛盾.故P ,Q ,R 同时大于零.4对于定义在实数集R 上的函数f (x ),如果存在实数x 0,使f (x 0)=x 0,那么x 0叫做函数f (x )的一个“好点”.已知函数f (x )=x 2+2ax+1不存在“好点”,则a 的取值范围是 . f (x )=x 2+2ax+1存在“好点”,亦即方程f (x )=x 有实数根,所以x 2+(2a-1)x+1=0有实数根,则Δ=(2a-1)2-4=4a 2-4a-3≥0,解得a ≤a ≥‒12或32,故当f (x )不存在“好点”时,a 的取值范围是‒12<a <32.(-12,32)5用反证法证明“若x 2-(a+b )x+ab ≠0,则x ≠a ,且x ≠b ”时应假设结论为 .,一定要全面否定,“x ≠a ,且x ≠b ”的否定为“x=a 或x=b ”.或x=b6完成反证法证题的全过程:已知{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7}={1,2,3,4,5,6,7}.求证:乘积p=(a 1-1)·(a 2-2)·…·(a 7-7)为偶数.证明:假设p 为奇数,则 均为奇数.因为奇数个奇数之和为奇数,故有 为奇数.而 =0.从而有0为奇数,与0为偶数矛盾,这一矛盾说明p 为偶数.1-1,a 2-2,…,a 7-7(a 1-1)+(a 2-2)+…+(a 7-7)(a 1-1)+(a 2-2)+…+(a 7-7)★7已知a ,b ,c ∈(0,1),求证:(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不可能都大于14.(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 都大于14,即(1-a )b >14,(1‒b )c >14,(1‒c )a >14,三式相乘,得(1-a )a (1-b )b (1-c )c >164.又(1-a )a ≤(1-a +a 2)2=14.同理(1-b )b ≤14,(1‒c )c ≤14.以上三式相乘得(1-a )a (1-b )b (1-c )c ≤164,这与(1-a )a (1-b )b (1-c )c ,>164矛盾故假设不成立,即结论得证.★8设{a n },{b n }是公比不相等的两个等比数列,c n =a n +b n ,证明数列{c n }不是等比数列.{c n }是等比数列,利用{a n },{b n }是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.{c n }是等比数列,则(a n +b n )2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①∵{a n },{b n }是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p ,q ,∴a 2n =an ‒1an +1,b 2n =bn ‒1bn +1.代入①并整理,得2a n b n =a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n (pq +qp ),即2=p q +qp .②当p ,q 异号②相矛盾;时,p q +qp <0,与当p ,q 同号时,∵p ≠q ,②相矛盾.∴p q +qp >2,与故数列{c n }不是等比数列.。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.2.1.1
2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第1课时 综合法课时过关·能力提升基础巩固1如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列,那么这个等比数列的公比等于( )A.1B.2C.3D.4a 1,公差为d ,等比数列的公比为q ,则a 2=a 1+d ,a 3=a 1+2d ,a 6=a 1+5d.因为a 2,a 3,a 6构成等比数列,所·a 6,以a 23=a 2所以a 1=q C .‒d2.所以=a 3a 2=3.故选2对“a ,b ,c 是不全相等的正数”,给出下列判断:①(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2≠0;②a>b 与a<b 及a=b 中,至少有一个成立;③a ≠c ,b ≠c ,a ≠b 不能同时成立.其中正确判断的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.33已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4有( )A.最大值54B .最小值54C.最大值1D.最小值1(x )(x-2)2=1,即x=3时,等号成立.故选D .=12·(x -2)2+1x -2=12(x -2+1x -2)≥12×2=1,当且仅当4在△ABC 中,tan A ·tan B>1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定tan A ·tan B>1,∴角A ,角B 只能都是锐角.∴tan A>0,tan B>0,1-tan A ·tan B<0.∴tan(A+B )=tanA +tanB1-tanA ·tanB<0.∴A+B 是钝角.∴角C 为锐角.故选A .5设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a+b=2,则必有( )A.1≤ab ≤a 2+b 22B .ab <1<a 2+b 22C.ab<a 2+b 22<1D .a 2+b 22<ab <16在△ABC 中,已知cos A cos B>sin A sin B ,则△ABC 的形状一定是 .cos A cos B>sin A sin B ,所以cos A cos B-sin A sin B=cos(A+B )>0.故cos C<0,角C 为钝角,即△ABC 为钝角三角形.7若lg x+lg y=2lg(x-2y ),则log2xy = .知{lg (xy )=lg (x -2y )2,x >0,y >0,x -2y >0,即x 2-5xy+4y 2=0,解得x y =1或xy =4.因为x>2y ,所l 以xy =4,即og2xy =log 24=4.8函数y=f (x )的图象关于直线x=1对称,若当x ≤1时,f (x )=(x+1)2-1,则当x>1时,f (x )的解析式为 .(x 0,y 0)(x 0≤1)在函数f (x )=(x+1)2-1的图象上,又设点(x 0,y 0)关于x=1的对称点为(x',y').由对称可知{x '=2-x 0,y '=y 0,则{x 0=2-x ',y 0=y ',将点(2-x',y')的坐标代入f (x )=(x+1)2-1,得y'=(2-x'+1)2-1,即y'=(x'-3)2-1,所以当x>1时,f (x )的解析式为f (x )=(x-3)2-1.(x )=(x-3)2-19设a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求1a +1b +1c 的最小值.解1a +1b +1c =a +b +c a +b +a +c b +c +a +b c=1+b a+c a+1+a b+c b+1+ac+b c≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c,等号成立.=13时故所求最小值为9.10设a ,b ,c 为不全相等的正数,且abc=1,求证:1a+1b+1c>a +b +c .abc=1代入,再利用基本不等式进行推证.a ,b ,c 为不全相等的正数,且abc=1,∴1a +1b +1c=bc +ca +ab .又bc+ca ≥2bc ·ca =2c ,ca+ab ≥2ca ·ab =2a ,ab+bc ≥a ,b ,c 不全相等,2ab ·bc =2b ,且∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立.∴2(bc+ca+ab )>2(c +a +b ),即bc+ca+ab >a +b +c .故1a +1b +1c>a +b +c .11在锐角三角形ABC 中,已知3b=△ABC 是等边三角形.23a sin B ,且cos B =cos C ,求证:3b=B ,23a sin ∴由正弦定理,得3sin B=A sin B.23sin ∵B ∈(0,π),∴sin B ≠0,∴sin A =32.∵△ABC 是锐角三角形,∴A =π3.∵cos B=cos C ,∴B=C.∴A=B=C△ABC 是等边三角形.=π3.∴能力提升1设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数,若f (1)>1,f (2)=3a -4a +1,则a 的取值范围是( )A .a ≠-1<34B .a <34,且aC .a>34或a <‒1D .‒1<a <34f (x )的周期为3,∴f (2)=f (-1).又f (x )是R 上的奇函数,∴f (-1)=-f (1).则f (2)=f (-1)=-f (1).再由f (1)>1,可得f (2)<-1,即3a -4a +1<‒1,解得-1<a <34.2《算数书》竹简是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2ℎ.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈275L 2ℎ相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A .227B .258C.15750D .355113L=2πr ,即r V B .=L 2π,圆锥体积=13S ℎ=13πr 2ℎ=13π·(L 2π)2ℎ=112πL 2ℎ≈275L 2ℎ,故112π≈275,π≈258,应选3若O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满∈[0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )足OP =OA +λ(AB |AB |AC |AC |),λA .外心B .内心C .重心D .垂心∵OP =OA +λ(AB |AB |+AC |AC |),∴AP =λ(AB |AB |AC |AC |).∴AP 平分△ABC 中的∠BAC.∴动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.4已知函数f (x )=2x ,a ,b 为正实数,A=f(a +b2),B =f (ab ),C =f(2aba +b ),则A ,B ,C 的大小关系是 .)f (x )=2x 在R 上是增函数,∵a +b2≥ab (a ,b 为正实数,2aba +b ≤ab ,且∴≤fC ≤B ≤A.f(2aba +b )(ab )≤f(a +b 2),即≤B ≤A5已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值为 .sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,∴{sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ.以上两式两边平方相加,得2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1,∴cos(α-β)=‒12.‒12★6正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体的表面上与点A 距离为233的点形成一条曲线,这条曲线的长度为 .ADD 1A 1上的一段是以A 为圆,在平面心,233为半径,π6为圆心角的一段圆弧A 1B 1C 1D 1上的一段是以A 1为圆,由正方体的对称性知,这条曲线的心,33为半径,π2为圆心角的一段圆弧长度为3(π6×233+π2×33)=536π.案536π7数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n (n+1),n ∈N *.(1)证明:数列{a n n}是等差数列;(2)设b n =3n ·a n ,求数列{bn }的前n 项和Sn .得a n +1n +1=a n n+1,即a n +1n +1‒a n n=1.所以数,1为公差的等差数列.列{a n n}是以a 11=1为首项(1)·1=n ,所以a n =n 2.得a nn =1+(n ‒1)从而b n =n ·3n .S n =1·31+2·32+3·33+…+n ·3n ,①3S n =1·32+2·33+…+(n-1)·3n +n ·3n+1.②①-②,得-2S n =31+32+…+3n -n ·3n+1·3n+1=3·(1-3n )1-3‒n =(1-2n )·3n +1-32,所以S n=(2n -1)·3n +1+34.★8如图所示,设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴,证明:直线AC 经过原点O.,解决本题应先画出图形,将文字语言转化为图形语言,借助图形的直观性,帮助分析证题思路.抛物线的方程为y 2=2px (p>0),∴焦点为F (p 2,0).∴设过点F 的直线AB 的方程为x=my +p2.y 2-2pmy-p 2=0.由{x =my +p2,y 2=2px 得设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是上述方程的两个根,∴y 1y 2=-p 2.∵BC ∥x 轴,且点C 在准线x=,‒p2上∴点C 的坐标为(-p2,y 2),∴直线CO 的斜率k=y 2-p2=2p y 1=y 1x 1,即k 也是直线OA 的斜率,∴点A,O,C在同一条直线上,∴直线AC经过原点O.。
2017-2018学年高二数学人教A版选修1-2教师用书：第2章 2-1-1 合情推理 含答案 精品
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1．了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点、易混点)2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点)3．了解合情推理在数学发现中的作用．教材整理1 归纳推理和类比推理阅读教材P22～P26“例4”以上内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理．( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )【解析】 (1)错误．它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理． (2)错误．类比推理不一定正确．(3)正确．由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理2 合情推理阅读教材P 27～P 29的内容，完成下列问题． 1．含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想类比a (b ＋c )＝ab ＋ac ，则下列结论正确的是( ) A ．log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y B ．sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y C ．ax ＋y＝a x ＋a yD ．a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c【解析】 由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时，才能用类比推理，而A 、B 、C 中的两对象没有相似特征，故不适合应用类比推理．【答案】 D(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－a n ＋1，则a 2 017等于( ) A ．2 B ．－12C ．－2D ．1(2)根据图211中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________. 【导学号：81092010】图211【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a 2 017＝a 1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】 (1)D (2)5091．由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律． (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征． (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：续表1．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图212的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图212A ．26B ．31C ．32D ．36(2)把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图213)，试求第六个三角形数是________．图213【解析】 (1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第六个三角形数为3＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28a b c P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c ＝1. 【导学号：81092011】图214证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．【自主解答】 p a h a ＝12BC ·p a12BC ·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △PAC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC.∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PABS △ABC＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1.证明如下：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V P BCDV A BCD，同理，p b h b ＝V P ACD V A BCD ，p c h c ＝V P ABD V A BCD ，p d h d ＝V P ABCV A BCD.∵V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC ＝V A BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABCV A BCD＝1.1．一般地，平面图形与空间图形类比如下：2.(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．2．在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cosC ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.探究1 开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】 类比推理．探究2 在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1n＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有什么性质？【提示】 由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以n ，即商类比成开n 次方，即在正项等比数列{b n }中，有nb 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .探究3 观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式是什么？【提示】 观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明．【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→ 双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x －m ＝b 2a ·x 2－m 2x －m ＝b 2a (定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征． 2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．3．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．可类比得到的结论是________.【导学号：81092012】【解析】 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 【答案】 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为3001．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图215)．图215则第n 个正方形数是( ) A ．n (n －1) B ．n (n ＋1) C ．n 2D ．(n ＋1)2【解析】 观察前4个正方形数，恰好是序号加1的平方，所以第n 个正方形数应为(n ＋1)2.【答案】 D2．如图216所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )图216A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n－2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1.【答案】 A3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( ) 【导学号：81092013】A.r 22 B.l 22 C.lr2D ．无法确定【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶85．已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n .【解】 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310. (2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5.学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误【解析】 合情推理得出的结论不一定正确，故A 错；合情推理必须有前提有结论，故B 对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C 错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D 错．【答案】 B2．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 【解析】 由实数运算的知识易得C 项正确． 【答案】 C3．用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示，图217按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2【解析】 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.【答案】 C4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心【解析】 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心． 【答案】 D5．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A ．(2,10)B ．(10,2)C ．(3,5)D ．(5,3)【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为2，共1个； (1,2)，(2,1)的和为3，共2个； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个； (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有n －1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】 A 二、填空题6．观察下列特殊的不等式： 52－225－2≥2×72， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125， 910－51095－55≥2×75， …由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －br ≥________.【解析】 52－225－2≥2×72＝21×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋222－1，45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋325－2， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝83×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋228－3， 910－51095－55≥2×75＝105×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋5210－5， 由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －b r ≥s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r . 【答案】 s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r7．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.【解析】 因为V ＝8πr 3，所以W ＝2πr 4，满足W ′＝V . 【答案】 2πr 48．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9 三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 先化简递推关系：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n ＋1S n＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0.当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，∴S 2＝－34.当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45.当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋. 10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【证明】 如图所示，由射影定理，得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ACD ，又AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE＝1AB＋1AF .在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝11 111； 12 345×9＋6＝111 111； A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113【解析】 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.【答案】 B2．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1. 【答案】 C3．如图218所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于_____________________________________．【导学号：81092015】图218【解析】 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 又因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0， 所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．【答案】1＋524．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【解】 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.2.1.2
第2课时 分析法课时过关·能力提升基础巩固1命题“对于任意角θ,cos 4θ-sin 4θ=cos 2θ”的证明:“cos 4θ-sin 4θ=(cos 2θ-sin 2θ)(cos 2θ+sin 2θ)=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ”,其过程应用了( )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证法,是从已知条件入手,经过推导得出结论,符合综合法的证明思路.2欲证2‒3<6‒7成立,只需证( )A.(2‒3)2<(6‒7)2B .(2‒6)2<(3‒7)2C.(2+7)2<(3+6)2D .(2‒3‒6)2<(‒7)2,欲C .证2‒3<6‒7,只需证2+7<3+6,即证(2+7)2<(3+6)2.故选3在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边a ,b ,c 应满足( )A .a 2<b 2+c 2B .a 2=b 2+c 2C .a 2>b 2+c 2D .a 2≤b 2+c 24已知a ,b 是不相等的正数,x=a +b 2,y =a +b ,则x 与y 的大小关系为( )A .x>y B .x<y C .x=yD .不确定a ,b>0,所以x>0,y>0.要比较x 与y 的大小,只需比较x 2与y 2的大小,即比a+b 的大小.较a +b +2ab 2与因为a ,b 为不相等的正数,所以2ab <a +b ,所x 2<y 2,所以x<y.以a +b +2ab 2<a +b ,即5分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c ,且a+b+c=0,求证:b 2-ac <3a ,则证明的依据应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b )(a-c )>0D.(a-b )(a-c )<0⇔b 2-ac<3a 2⇔(a+c )2-ac<3a 2⇔(a-c )(2a+c )>0⇔(a-c )(a-b )>0.故选C .3a 6将下面用分析法证≥ab 的步骤补充完整:要证≥ab ,只需证明a 2+b 2≥2ab ,也就明a 2+b 22明a 2+b 22是证明 ,即证明 ,由于 显然成立,因此原不等式成立.2+b 2-2ab ≥0 (a-b )2≥0 (a-b )2≥07若a a >b b ,则实数a ,b 应满足的条件是 .,只需(使a a >b b 成立a a )2>(b b )2,只需a 3>b 3≥0,即a ,b 应满足a>b ≥0.≥08在△ABC 中,∠C=60°,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边,则a b +c +b c +a = .∠C=60°,所以a 2+b 2=c 2+ab.所以(a 2+ac )+(b 2+bc )=c 2+ab+ac+bc=(a+c )(b+c ),所以a b +c +b c +a =(a 2+ac )+(b 2+bc )(b +c )(c +a )=1.9设a ,b ∈(0,+∞),且a ≠b ,求证:a 3+b 3>a 2b+ab 2.,且不易发现与已知条件间的联系,直接应用综合法证明的思路不明显,故先采用分析法证明.(分析法):要证a 3+b 3>a 2b+ab 2成立,即需证(a+b )(a 2-ab+b 2)>ab (a+b )成立.又因a+b>0,故只需证a 2-ab+b 2>ab 成立,即需证a 2-2ab+b 2>0成立,即需证(a-b )2>0成立.而依题设a ≠b ,则(a-b )2>0显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):a ≠b ⇔a-b ≠0⇔(a-b )2>0⇔a 2-2ab+b 2>0⇔a 2-ab+b 2>ab.∵a ,b ∈(0,+∞),∴a+b>0,∴(a+b )(a 2-ab+b 2)>ab (a+b ).∴a 3+b 3>a 2b+ab 2.10已知a ,b ,c 是不全相等的正数,且0<x<1.求证:logx a +b 2+log x b +c 2+log x a +c 2<log xa +log xb +log xc .log x a +b 2+log x b +c 2+log x a +c 2<log xa +log xb +log xc ,只需要证明log x [(a +b )2·(b +c )2·(a +c )2]<log x (abc ).由已知0<x<1,只需证明a +b 2·b +c 2·a +c 2>abc .由公式知a +b 2≥ab >0,b +c 2≥bc >0,a +c 2≥ac >0.因为a ,b ,c 不全相等,上面三式相乘,可得a +b 2·b +c 2·a +c 2>a 2b 2c 2=abc ,.即a +b 2·b +c 2·a +c 2>abc 成立所以log .x a +b 2+log x b +c 2+log x a +c 2<log xa +log xb +log xc 成立能力提升1如果正数a ,b ,c ,d 满足a+b=cd=4,那么( )A.ab ≤c+d ,且等号成立时,a ,b ,c ,d 的取值唯一B.ab ≥c+d ,且等号成立时,a ,b ,c ,d 的取值唯一C.ab ≤c+d ,且等号成立时,a ,b ,c ,d 的取值不唯一D.ab ≥c+d ,且等号成立时,a ,b ,c ,d 的取值不唯一a+b=cd=4,由基本不等式,得a+b ≥2ab ,故ab ≤4.又cd ≤(c +d )24,所以c+d ≥4,所以ab ≤c+d ,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.故选A .2要证3a ‒3b <3a -b 成立,a ,b 应满足的条件是( )A.ab<0,且a>bB.ab>0,且a>bC.ab<0,且a<bD.ab>0,且a>b 或ab<0,且a<b证3a ‒3b <3a -b ,只需证(3a ‒3b )3<(3a -b )3,即证a-b-33a 2b +33ab 2<a ‒b ,即证3ab 2<3a 2b ,只需证ab 2<a 2b ,即证ab (b-a )<0.只需ab>0,且b-a<0或ab<0,且b-a>0.故选D .3设a ,b ,c ,d 均为正实数,若a+d=b+c ,且|a-d|<|b-c|,则有( )A .ad=bcB .ad<bcC .ad>bcD .ad ≤bca+d=b+c ,∴(a+d )2=(b+c )2,∴a 2+d 2-b 2-c 2=2bc-2ad.∵|a-d|<|b-c|,∴(a-d )2<(b-c )2,∴a 2+d 2-b 2-c 2<2ad-2bc.∴2bc-2ad<2ad-2bc ,∴ad>bc.4“a=1”是“对任意正数x ,2x ≥1”的( )+ax A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a=1时,2x ,当且仅当2x x ,等号成立.+a x =2x +1x ≥22x ·1x =22>1成立=1x ,即=22时若对任意正数x ,2x ≥1,≥0恒成立,则有2x 2-x+a ≥0在x>0时恒成立,得a ≥+a x 即2x 2-x +a x 18.当a ≥,命题成立,不一定有a=1.18时故“a=1”是“对任意正数x ,2x≥1”的充分不必要条件.+ax5如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).,要证A 1C ⊥B 1D 1,只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1.因为该四棱柱为直四棱柱,所以B 1D 1⊥CC 1.故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可,而BD ∥B 1D 1,AC ∥A 1C 1,故只需AC ⊥BD.,如AC ⊥BD★6若a>b>c ,n ∈N *,且1a -b +1b -c ≥na -c 恒成立,则n 的最大值为 .a>b>c ,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,要使, 1a -b+1b -c ≥n a -c 恒成立只≥n 恒成立.需a -c a -b +a -c b -c 只≥n恒成立.需(a -b )+(b -c )a -b +(a -b )+(b -c )b -c 显然2≥4(当且仅当b-c=a-b 时等号成立).+b -ca -b +a -bb -c 所以只需n ≤4成立,即n 能取的最大值为4.7已知△ABC 的三边a ,b ,c 的倒数成等差数列,试分别用分析法和综合法证明∠B 为锐角.△ABC 中,要证∠B 为锐角,只要证cos B>0,结合余弦定理可解决问题.分析法)要证明∠B 为锐角,只需证cos B>0.∵cos B=a 2+c 2-b 22ac ,∴只需证明a 2+c 2-b 2>0,即a 2+c 2>b 2.又a 2+c 2≥2ac ,∴只需证明2ac>b 2.由已2ac=b (a+c ),知2b =1a +1c ,即∴只需证明b (a+c )>b 2,即只需证明a+c>b.而a+c>b 成立,∴∠B 为锐角.综合法)由题意,b 得2b =1a +1c =a +c ac ,则=2ac a +c ,∴b (a +c )=2ac .∵a+c>b ,∴2ac=b (a+c )>b 2.∴cos B=a 2+c 2-b 22ac ≥2ac -b 22ac >0.又0<∠B<π,∴0<∠B ∠B 为锐角.<π2,即★8已知α,β≠k π∈Z ),且sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin 2β.求证+π2(k :1-tan 2α1+tan 2α=1-tan 2β2(1+tan 2β).,证1-tan 2α1+tan 2α=1-tan 2β2(1+tan 2β)成立即证1-sin 2αcos 2α1+sin 2αcos 2α=1-sin 2βcos 2β2(1+sin 2βcos 2β),即证cos 2α-sin 2α=12(cos 2β‒sin 2β),即证1-2sin 2α=12(1‒2sin 2β),即证4sin 2α-2sin 2β=1.因为sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin 2β,所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=4sin 2α.所以1+2sin 2β=4sin 2α,即4sin 2α-2sin 2β=1.故原等式成立.。
高中数学选修1-2(人教A版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明
一、学习任务 了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点． 二、课后作业
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1. 证明不等式 √2 + √7 < √3 + √6 的最适合的方法是 ( A．综合法
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答案： B
)
D．合情推理法
B．分析法
C．间接证法
2. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证 法；⑤反证法是逆推法．其中正确的语句有 ( A．2
答案： B
) 个．
C．4 D．5
B．3
3. 已知 x > 0，y > 0，M = A．M > N
答案： B
B．M ⩾ N
x+y 2xy ，N = ，则 M 与 N 的大小关系为 ( 2 x+y
C．M ⩽ N
)
D．M < N
4. 用反证法证明命题："若整数系数一元二次方程： ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有有理根，那么 a, b, c 中 至少有一个是偶数"时，第一步应假设
答案：
．
a ， b ，c 都不是偶数
2017-2018学年高二数学人教A版选修1-2第2章 章末综合
章末综合测评(二) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27【解析】观察知数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1－a n＝3n，故x＝20＋3×4＝32.【答案】 B2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点．以上推理中( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【解析】大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，故选A.【答案】 A3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( ) A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°【解析】其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．【答案】 B4．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f(x)＝sin x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．【答案】 C5．设a ＝21.5＋22.5，b ＝7，则a ，b 的大小关系是( ) A ．a >b B ．a ＝b C ．a <bD ．a >2(b ＋1)【解析】 因为a ＝21.5＋22.5>221.5·22.5＝8>7，故a >b . 【答案】 A6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立，运用类比方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上不同的两点，则类似地有结论( )A.sin x 1＋sin x 22＞sin x 1＋x 22B.sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22C.sin x 1＋sin x 22≥sin x 1＋x 22D.sin x 1＋sin x 22≤sin x 1＋x 22【解析】 画出y ＝x 2的图象，由已知得AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 21＋x 222恒在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222的上方，画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)的图象可得A ，B 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋sin x 22恒在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的下方，故B 正确．【答案】 B7．证明命题：“f (x )＝e x＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1e ，所以f ′(x )＝e x －1e .因为x >0，所以e x >1,0<1e <1.所以e x－1e >0，即f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是【解析】 从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法． 【答案】 A8．对“ a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．【答案】 B9．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n)≥n ＋22D ．以上都不对【解析】 f (2)＝32，f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)>5＋22.由此可推知f (2n)≥n ＋22.故选C.【答案】 C10．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图1中a ，b 对应的运算是( )图1A ．B *D ，A *DB ．B *D ，A *CC．B*C，A*D D．C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆．由此可知选B.【答案】 B11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】 C12．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( ) A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b8【解析】在等差数列{a n}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8<b5＋b7.因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．因为q>1，b n>0，所以b4＋b8>b5＋b7.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)．【答案】x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)14．如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．图2【解析】 设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n ＝(n ＋2)＋(n ＋2)·(n ＋2)，a n －2＝n 2＋n .【答案】 n 2＋n15．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12．【解析】 因为(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0， 所以(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 所以lg(1＋ab )≤12．【答案】 ≤16．对于命题“如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0”将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间的情形应为：若O 是四面体ABCD 内一点，则有_________．【导学号：81092033】【解析】 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O BCD ·OA →＋V O ACD ·OB →＋V O ABD ·OC →＋V O ABC ·OD →＝0.【答案】 V O BCD ·OA →＋V O ACD ·OB →＋V O ABD ·OC →＋V O ABC ·OD →＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)在平面几何中，对于Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则(1)a 2＋b 2＝c 2； (2)cos 2A ＋cos 2B ＝1； (3)Rt △ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明．【解】 在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象． (1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. (2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.18．(本题满分12分)设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.【证明】 假设|f (1)|＜12，|f (2)|＜12，|f (3)|＜12，于是有－12＜1＋a ＋b ＜12，① －12＜4＋2a ＋b ＜12， ② －12＜9＋3a ＋b ＜12， ③①＋③，得－1＜10＋4a ＋2b ＜1， 所以－3＜8＋4a ＋2b ＜－1， 所以－32＜4＋2a ＋b ＜－12.这与②－12＜4＋2a ＋b ＜12矛盾，所以假设不成立，即|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.19．(本小题满分12分)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，且a >b ，求证：ab1＋ab <a ＋b1＋a ＋b.【证明】 依题意a >0，b >0， 所以1＋ab >0,1＋a ＋b >0.所以要证ab 1＋ab <a ＋b1＋a ＋b，只需证ab (1＋a ＋b )<(1＋ab )(a ＋b )， 只需证ab <a ＋b ，因为a >b ，所以ab <2ab <a ＋b ，所以ab 1＋ab <a ＋b1＋a ＋b.20．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n，n ∈N *，求a 2，a 3，a 4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．【解】 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 此猜想正确． 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2，x ∈R .(1)若正数m ，n 满足m ·n >1，证明：f (m )，f (n )至少有一个不小于零； (2)若a ，b 为不相等的正实数且满足f (a )＝f (b )，求证：a ＋b <43.【证明】 (1)假设f (m )<0，f (n )<0， 即m 3－m 2<0，n 3－n 2<0， ∵m >0，n >0， ∴m －1<0，n －1<0， ∴0<m <1,0<n <1，∴mn <1，这与m ·n >1矛盾，∴假设不成立，即f (m )，f (n )至少有一个不小于零． (2)证明：由f (a )＝f (b )，得a 3－a 2＝b 3－b 2， ∴a 3－b 3＝a 2－b 2，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )(a ＋b )，∵a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ， ∴(a ＋b )2－(a ＋b )＝ab <⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴34(a ＋b )2－(a ＋b )<0， 解得a ＋b <43.22．(本小题满分12分)如图3，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .图3(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .【解】 (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。
2017-2018学年人教A版高中数学选修1-2习题：第二章2.1-2.1.2演绎推理含答案
第二章推理与证明2。
1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理A级基础巩固一、选择题1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”,结论是“a2〉0”,那么这个演绎推理( ）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．答案:A2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点,则EF∥BC"的推理过程中，大前提是（）A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边长的一半C．E，F为AB，AC的中点D．EF∥BC解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．答案：A3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论"形式且推理正确的是（）A．大前提：无限不循环小数是无理数;小前提：π是无理数;结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论:π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数;小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误;对于B，符合演绎推理过程且结论正确;对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．答案：B4．下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0，y〉0，函数f（x）满足f(x＋y)＝f(x）·f（y）”的是（）A．幂函数 B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：只有指数函数f(x）＝a x(a>0，a≠1）满足条件．答案：C5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M"，判断得到结论“S是P”时,大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分,因此此推理不符合演绎推理规则．答案:C二、填空题6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°,求证a〈b。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.1.2
2.1.2 演绎推理课时过关·能力提升基础巩固1下面几种推理过程是演绎推理的是( )A .两条直线平行,同旁内角互补,若∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B .某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人C .由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D .在数列{a n }中,a 1=1,a n ≥2),由此归纳出数列{a n }的通项公式=12(a n -1+1a n -1)(n是归纳推理,C 是类比推理,A 是演绎推理.2演绎推理中的“一般性命题”包括( )①已有的事实;②定义、定理、公理等;③个人积累的经验.A .①②B .①③C .②③D .①②③3指数函数y=a x (a>1)是R 上的增函数,y=2|x|是指数函数,所以y=2|x|是R 上的增函数,以上推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.正确,但是函数y=2|x|不是指数函数,所以小前提错误.故选B .4在空间中,设α,β,γ为两两不重合的平面,l ,m ,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β;③若α∥β,l ⊂α,则l ∥β;④若α∩β=l ,β∩γ=m ,α∩γ=n ,l ∥γ,则m ∥n.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.45在推理“因为y=sin x 在区间[0,π2]上是增函数,所以sin3π7>sin 2π5”中,大前提是 ;小前提是 ;结论是 .“y=sin x 在区,间[0,π2]上是增函数”小前提是,“3π7,2π5∈[0,π2],且3π7>2π5”结论为“si .n3π7>sin 2π5”sin x 在区间[0,π2]上是增函数 3π7,2π5∈[0,π2],且3π7>2π5 sin 3π7>sin 2π56求函数y ≥0,小前提=log 2x -2的定义域时,第一步推理中大前提是a 有意义,即a 是log 2x -2有意义,结论是 .,结论是log 2x-2≥0.2x-2≥07推理过程“大前提: ,小前提:四边形ABCD 是矩形,结论:四边形ABCD 的对角线相等.”应补充的大前提是 .“三段论”的一般模式,可知应补充的大前提是矩形的对角线相等.8已知sin α=m -3m +5,cos α=4-2m m +5,其中α为第二象限角,则m 的值为 .sin 2α+cos 2αm (m-8)=0,故m=0或m=8.=(m -3)2(m +5)2+(4-2m )2(m +5)2=5m 2-22m +25(m +5)2=1,得∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0.∴m=8(m=0舍去).9试将下列演绎推理写成三段论的形式:(1)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;(2)向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向.大前提:所有导体通电时发热;小前提:铁是导体;结论:铁通电时发热.(2)大前提:向量是既有大小又有方向的量;小前提:零向量是向量;结论:零向量也有大小和方向.10在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=4a n -3n+1,n ∈N *.(1)证明数列{a n -n }是等比数列;(2)求数列{a n }的前n 项和S n ;(3)证明不等式S n+1≤4S n ,对任意n ∈N *皆成立.a n+1=4a n -3n+1,所以a n+1-(n+1)=4(a n -n ),n ∈N *.∵a 1-1=1,所以数列{a n -n }是首项为1,且公比为4的等比数列.(1)可知a n -n=4n-1,于是数列{a n }的通项公式为a n =4n-1+n.所以数列{a n }的前n 项和S n=4n -13+n (n+1)2.n ∈N *,S n+1-4S n=4n +1-13+(n +1)(n +2)2‒4[4n -13+n (n +1)2]=≤0.‒12(3n 2+n ‒4)所以不等式S n+1≤4S n ,对任意n ∈N *皆成立.能力提升1“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理( )A.小前提错误B.结论错误C.正确 D.大前提错误9是3的3倍,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.故选C .2已知a>0,且函数f (x )R 上的偶函数,则a 的值等于( )=2xa +a2x 是A .2B .12C .±1D .1f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x )对x ∈R 恒成立,·2x 即2-xa +a 2-x =2xa +a 2x ,所以1a ·2x +a =2xa +a 2x ,整理,a 得(a -1a )(2x ‒2‒x )=0,必有‒1a =0.又因为a>0,所以a=1.故选D .★3已知f (x )是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,且满足xf'(x )+f (x )<0.对任意正数a ,b ,若a<b ,则必有( )A.bf (a )<af (b )B.af (b )<bf (a )C.af (a )<f (b )D.bf (b )<f (a )F (x )=xf (x ),则F'(x )=xf'(x )+f (x ).由题设条件知F (x )=xf (x )在(0,+∞)内单调递减.若a<b ,则F (a )>F (b ),即af (a )>bf (b ).又f (x )是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,所以bf (a )>af (a )>bf (b )>af (b ).故选B .4补充下列三段论:(1)因为互为相反数的两个数的和为0,a 与b 互为相反数,且 ,所以b=8.(2)因为 ,e =2.718 28…是无限不循环小数,所以e 是无理数.a=-8 (2)无限不循环小数是无理数★5设f (x )=(x-a )(x-b )(x-c )(a ,b ,c 是两两不相等的常数),则a f '(a )+b f '(b )+cf '(c )的值是 .f'(x )=(x-b )(x-c )+(x-a )(x-c )+(x-a )(x-b ),∴f'(a )=(a-b )(a-c ),f'(b )=(b-a )(b-c ),f'(c )=(c-a )(c-b ),∴a f '(a )+b f '(b )+c f '(c )=a (a -b )(a -c )+b (b -a )(b -c )+c (c -a )(c -b )=a (b -c )-b (a -c )+c (a -b )(a -b )(a -c )(b -c )=0.6用三段论的形式写出下列演绎推理:(1)正整数是自然数,3是正整数,所以3是自然数;(2)菱形的对角线互相垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角线互相垂直;(3)0.33·2是有理数..大前提:正整数是自然数.小前提:3是正整数.结论:3是自然数.(2)大前提:每一个菱形的对角线都互相垂直.小前提:正方形是菱形.结论:正方形的对角线互相垂直.(3)大前提:所有的循环小数都是有理数.小前提:0.3.3·2是循环小数结论:0.3.3·2是有理数★7设函数f (x )=x 3+ax 2-a 2x+1,g (x )=ax 2-2x+1,其中实数a ≠0.(1)若a>0,求函数y=f (x )的单调区间;(2)当函数y=f (x )与y=g (x )的图象只有一个公共点,且g (x )存在最小值时,记g (x )的最小值为h (a ),求h (a )的值域;(3)若f (x )与g (x )在区间(a ,a+2)内均为增函数,求a 的取值范围.(1)问可利用导数来求单调区间;第(2)问可将只有一个公共点转化为方程有唯一根的问题;第(3)问可以利用第(1)问中的结论来求解.∵f'(x )=3x 2+2ax-a 2=3(x -a3)(x +a ),又a>0,∴当x<-a 或x ,f'(x )>0;>a3时当-a<x ,f'(x )<0.<a 3时∴f (x )在(-∞,-a ),.和(a3,+∞)内是增函数在(-a ,a3)内是减函数(2)由题意,知x 3+ax 2-a 2x+1=ax 2-2x+1,即x [x 2-(a 2-2)]=0只有一个根(含重根).∴a 2-2≤0,≤a ≤即‒2 2.又a ≠0,∴a ∈[∪(0‒2,0),2].又当a>0时,g (x )才存在最小值,∴a ∈(0,2].∵g (x )=a (x -1a )2+1‒1a ,∴h (a )=1∈(0‒1a ,a ,2],∴h (a )的值域为(-∞,1-22].(3)当a>0时,f (x )在(-∞,-a ),g (x ).由题意,a ≥1;和(a 3,+∞)内是增函数在(1a ,+∞)内是增函数得{a >0,a ≥a 3,a ≥1a ,解得当a<0时,f (x )(-a ,+∞)内是增函数,g (x ).在(-∞,a3)和在(-∞,1a )内是增函数由题意,得{a <0,a +2≤a3,a +2≤1a ,解得a ≤-3.综上可知,实数a 的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).。
2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明学业质量标准检测 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是导学号 18674269( C )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 [解析] 大前提是错误的，故选C ．2．已知a <b <0A ．a 2<b 2C ．a <4－b[解析] 令a ＝－2，b ＝－1，a b＝2>1，1a >1b，故A 、B 、D 都不成立，排除A 、B 、D ，选C ．3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为导学号 18674271( C ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝导学号 18674272( B )A ．2n ＋2B ．2nn ＋C ．22n －1D ．22n －1[解析] a 2＝S 2－S 1＝22a 2－1，∴a 2＝13，a 3＝S 3－S 2＝32·a 3－22·a 2＝9a 3－4×13，∴a 3＝16.a 4＝S 4－S 3＝42·a 4－32a 3＝16a 4－9×16，∴a 4＝110.由此猜想a n ＝2nn ＋1. 5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”，索的因应是导学号 18674273( C )A ．a －b >0B ．a －c <0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0[解析]b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．2－c 2－ac >0，即证a 2－c 2＋a 2－ac >0，即证(a ＋c )(a ＋a ]>0.又b ＝－(a ＋c )，即证(a －c )(a －b )>0.故选C S ＝πr 2，由此类比椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积最B ．πb 2D ．π(ab )2[解析] 圆的方程可以看作是椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，a ＝b 时的情形，∵S 圆＝πr 2，∴类比出椭圆的面积为S ＝πab .7．(2017·全国Ⅱ文，9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则导学号 18674275( D )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩[解析] 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D ．8．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2016(x )等于导学号 18674276( A )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[解析] 由已知，有f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，可以归纳出： f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝－sin x ， f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N *)．所以f 2016(x )＝f 4(x )＝sin x .9．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是导学号 18674277( A )A ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列[解析] ∵对∀n ∈N *总有c n ∥b n ，则存在实数λ≠0，使c n ＝λb n ，∴a n ＝λn ，∴{a n }是等差数列．10．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是导学号 18674278( A )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)[解析] 若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A ．11．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于导学号 18674279( B )A ．bB ．－bC ．1bD ．－1b[解析] f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a＝－f (a )＝－b .12．已知f (x )＝x 3＋x ，a 、b 、c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值导学号 18674280( A )A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数， 由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0， 同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0， 所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．“因为AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC 、BD 互相垂直且平分．”以上推理导学号 18674281导学号 18674282f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得： 当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝ xn－x ＋2n.[解析] 由已知可归纳如下：f 1(x )＝x1－x ＋21，f 2(x )＝x2－x ＋22，f 3(x )＝x3－x ＋23，f 4(x )＝x4－x ＋24，…， f n (x )＝x n－x ＋2n.15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：导学号 18674283 ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”； ④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑤“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·cb ·c ＝ab”． 以上类比得到的结论正确的是__①②__.[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．16．观察下列等式：导学号 18674284 1＝1 13＝1 1＋2＝3 13＋23＝9 1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225 … …可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝ n 2n ＋24.(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)[解析] 由条件可知：13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出． 13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝[n n ＋2]2＝n 2n ＋24.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.导学号 18674285[解析] 分析法：要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证：a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c3)2，只需证：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证：(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立．综合法：∵a 、b 、c ∈R ＋，∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ac )，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ， ∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2， ∴a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.18．(本题满分12分)(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；导学号 18674286(2)探索等和数列{a n }的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明．项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那a n ＋2＝a n .(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°. (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin (－18)°cos 48°. (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin (－25)°cos 55°. ①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] ①选择(2)式计算如下sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 230°＝34.②三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α (cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2 α＋34cos 2 α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2 α＋34cos 2α＝34. 20．(本题满分12分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边.导学号 18674288求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[分析] 利用分析法得出c 2＋a 2＝b 2＋ac ，再利用综合法证明其成立． [解析] 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3. 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．21．(本题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.导学号 18674289(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． [解析] (1)设等差数列公差为d ， 则3a 1＋3×22d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝1＋2＋(n －1)×2＝2n ＋2－1，S n ＝1＋2＋2n ＋2－12n ＝n (n ＋2)．(2)b n ＝S nn＝n ＋ 2.用反证法证明．设b n ，b m ，b k 成等比数列(m 、n 、k 互不相等)，则b n b k ＝b 2m ，即(n (m ＋2)2，整理得：nk －m 2＝2(2m －n －k )同三项都不可能成等比数列．22．(本题满分12分)(2017·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x－12x 2＋x ＋2.导学号 18674290(1)求函数f (x )(2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 30＜x ＜1时，f ′(x )＜0， (0,1)上单调递减， 0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e.令u (x )＝e x －2－2，则u ′(x )＝e x－12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x－12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e －2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x－x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e>0，所以f (x )>16x 3－12x .。
高中数学人教版选修1-2习题第2章 推理与证明2.1.1 Word版含解析
选修第二章一、选择题．数列，，…中的等于( )．．．．[答案][解析]由以上各数可得每两个数之间依次差……故＝＋＝.．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．．①②．②③．①③．③④[答案][解析]归纳推理是一种由特殊到一般的推理，类比推理是一种由特殊到特殊的推理．．观察下列各式：＝＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝，…可以得出的一般结论是( )．＋(＋)＋(＋)＋…＋(－)＝．＋(＋)＋(＋)＋…＋(－)＝(－)．＋(＋)＋(＋)＋…＋(－)＝．＋(＋)＋(＋)＋…＋(－)＝(－)[答案][解析]观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是－(∈*)项的和，其首项为，右边是项数的平方，故第个等式首项为，共有－项，右边是(－)，即＋(＋)＋(＋)＋…＋(－)＝(－).．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )．三角形．梯形．平行四边形．矩形[答案][解析]从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )．．△．▭．○[答案] [解析]图形涉及○、△、▭三种符号；其中△与○各有个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上才合适．．已知扇形的弧长为，半径为，类比三角形的面积公式：＝，可推知扇形面积公式扇等于( )．．．不可类比．[答案] [解析]我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径，∴扇＝.二、填空题．已知：°＋°＋°＝；°＋°＋°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：[答案]α＋ (α＋°)＋ (α＋°)＝[解析]观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即°＋°＝°，°＋°＝°；°＋°＝°，°＋°＝°.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出：α＋(α＋°)＋(α＋°)＝.．在△中，不等式＋＋≥成立，在四边形中不等式＋＋＋≥成立，在五边形中＋＋＋＋≥成立，猜想在边形…中有不等式：成立[答案]＋＋＋…＋≥[解析]不等式的左边是个内角倒数的和，右边分子是，分母是(－)π，故在边形…中有不等式＋＋＋…＋≥成立．．在平面几何里有射影定理：设△的两边⊥，是点在上的射影，则＝·．拓展到空间，在四面体－中，⊥平面，点是在平面内的射影，类比平面三角形射影定理，△、△、△三者面积之间关系为[答案]＝△·△[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱与一侧面垂直的四棱锥的侧面的面积，将此直角边在斜边上的射影及斜边的长，类比到△在底面的射影△及底面△的面积可得＝△·△．三、解答题．设平面内有条直线(≥)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一。
2017-2018学年高中数学选修1-2教材用书;第二章推理与证明2.1.2 演绎推理含答案
2．1。
2演绎推理演绎推理[提出问题］看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，（22 012＋1）是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；（2）两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面,如果直线a是其中一个平面内的一条直线,那么a平行于另一个平面．问题1：这两个问题中的第一句都说的是什么?提示：都说的是一般原理．问题2：第二句又说的是什么？提示：都说的是特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断．［导入新知]1．演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况;（3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提:M是P.小前提:S是M.结论：S是P.[化解疑难］演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中．（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．（3）演绎推理是由一般到特殊的推理．把演绎推理写成三段论的形式［例1] 将下列演绎推理写成三段论的形式．（1）一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．（2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°。
（3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2（n≥2）的数列｛a n｝为等差数列．［解］(1)一切奇数都不能被2整除，（大前提)75不能被2整除，（小前提）75是奇数．(结论)(2）三角形的内角和为180°，(大前提)Rt△ABC是三角形，（小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)（3）平行四边形对角线互相平分，（大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形对角线互相平分．(结论）(4）数列｛a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则｛a n｝为等差数列，(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1）＋2］＝3(常数)，（小前提）通项公式为a n＝3n＋2(n≥2）的数列{a n}为等差数列．(结论)［类题通法］三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c"．其中，b⇒c为大前提,提供了已知的一般性原理;a ⇒b为小前提,提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．［活学活用］把下列推断写成三段论的形式：（1)y＝sin x(x∈R)是周期函数．（2)若两个角是对顶角,则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角,则∠1和∠2相等．解：（1)三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提y＝sin x(x∈R）是周期函数．结论(2）两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提∠1和∠2是对顶角，小前提∠1和∠2相等．结论三段论在证明几何问题中的应用[例2] 用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角△ABC中，AD,BE是高，D，E为垂足，M为AB的中点．求证：ME＝MD。
2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明考前过关训练 新人教A版选修1-2
推理与证明(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若有一段演绎推理:“大前提:对任意实数a,都有=a.小前提:已知a=-2为实数,结论:=-2.这个结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】选A.因为n为偶数时,若有意义,则a≥0.故大前提错误.2.(2016·济宁高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是( )A.P(n)对n∈N*成立B.P(n)对n>4且n∈N*成立C.P(n)对n=5成立D.P(n)对n=3不成立【解析】选D.因为P(n)对n=4不成立,所以A错误.无法判断n>4时,P(n)是否成立.假设P(n)对n=3成立,则根据推理关系,得P(n)对n=4成立,与条件P(n)对n=4不成立矛盾.所以假设不成立.3.证明命题:“f(x)=e x+在(0,+∞)上是增函数”,现给出的证法如下:因为f(x)=e x+,所以f′(x)=e x-.这因为x>0,所以e x>1,0<<1,所以e x->0,即f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,此处使用的证明方法是( )A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】选A.本证明是从已知条件出发用已知定理证得结论,是综合法.4.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b大小不确定【解析】选B.因为c>1,所以a>0,b>0,又a=-=,b=-=,因为+>+所以<所以a<b正确.5.(2016·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号选手进入30秒跳绳决赛D.9号选手进入30秒跳绳决赛【解题指南】从进入立定跳远决赛的8人中,按知道的成绩由小到大找出哪几个人必进入决赛.【解析】选B.进入立定跳远决赛的学生是1到8号.由同时进入两项决赛的有6人可知,1号到8号恰有6人进入30秒跳绳决赛.在1号到8号的30秒跳绳决赛成绩中,3,6,7号学生的成绩高于1,4,5号学生,1号和5号成绩相同,所以1,3,5,6,7号学生必进入30秒跳绳决赛.6.(2016·榆林高二检测)对非零实数x,y,z,定义运算“⊕”满足:(1)x⊕x=1;(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z,若f(x)=e2x⊕e x-e x⊕e2x,则下列判断正确的是( )A.f(x)是增函数又是奇函数B.f(x)是减函数又是奇函数C.f(x)是增函数又是偶函数D.f(x)是减函数又是偶函数【解析】选A.在(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z中,令x=y=z,得x⊕(x⊕x)=(x⊕x)·x,再由(1)x⊕x=1,得x⊕1=x;在(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z中,令z=y,得x⊕(y⊕y)=(x⊕y)·y,从而(x⊕y)·y=x⊕1=x,所以x⊕y=,所以f(x)=e2x⊕e x-e x⊕e2x=e x-e-x,故f(x)既是增函数又是奇函数.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知椭圆中有下列结论:椭圆+=1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线+=0上,类比上述结论可推出:双曲线-=1(a>0,b>0)上斜率为1的弦中点在直线________上.【解析】结合椭圆、双曲线方程结构特征可知,斜率为1的弦中点应在直线-=0上.答案:-=08.对奇数列1,3,5,7,9,…,进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…试观察猜想每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为____________.【解析】由于1=13,3+5=8=23,7+9+11=27=33,13+15+17+19=64=43,…,猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3.答案:f(n)=n39.(2016·天津高二检测)如图所示是一个有n层(n≥2,n∈N*)的六边形点阵,它的中心是一个点,算作第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,第n层每边有n个点,则这个点阵共有________个点.【解析】设第n层共有a n个点,结合图形可知a1=1,a2=6,…,a n+1=a n+6(n≥2,n∈N*),则a n=6+(n-2)×6=6n-6(n≥2,n∈N*),前n层所有点数之和为S n=1+=3n2-3n+1,故这个点阵共有3n2-3n+1个点.答案:3n2-3n+1三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.【证明】假设a,b,c中至少有一个不大于0,不妨设a≤0,若a<0,则由abc>0,得bc<0,由a+b+c>0得,b+c>-a>0,所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0,这与已知ab+bc+ac>0矛盾.又若a=0,则abc=0与abc>0矛盾.“a≤0”不成立,所以a>0,同理可证b>0,c>0.11.(2016·安庆高二检测)设f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).(1)5=2+3请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示.(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.【解析】(1)由f(3)g(2)+g(3)f(2)=·+·=,又g(5)=,因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:因为f(x)=,g(x)=(大前提).所以g(x+y)=,g(y)=,f(y)=,(小前提及结论)所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=·+·==g(x+y).【补偿训练】1.如图(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD·BC;若类比该命题,如图(2),三棱锥A-BCD中, AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题是否是真命题.图(1) 图(2)【解析】命题是:三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有=S△BCM·S△BCD,是一个真命题.证明如下:在图中,连接DM,并延长交BC于点E,连接AE,BM,CM,则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC,所以AD⊥AE.又AM⊥DE,所以AE2=EM·ED.于是==·=S△BCM·S△BCD.2.(2016·肥城高二检测)已知数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-a n).试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值.【解析】因为a n=,f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-a n),所以f(1)=1-a1=1-=,f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·=×=,f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)=×=,由此猜测f(n)=.。
人教A版数学选修1-2练习：第2章 推理与证明 2.1.1
第二章 2.1 2.1.1A级基础巩固一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(B)A．28B．32C．33D．27[解析]由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9，12…，故x＝20＋12＝32.2．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是(D)①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[解析]由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D．3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是(B)A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[解析]观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适(C)A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．5．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )A ．B ．△C ．▭D ．○[解析] 图形涉及○、△、▭三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上才合适．6．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( C )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”[解析] 选项A ，“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，∵0乘任何数都等于0；选项B ，“(a ·b )c ＝ac ·bc ”是错误的，不符合乘法的运算性质；选项C ，“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)”是正确的；选项D ，“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”是错误的，如(3＋2)2≠32＋22，故选C ．二、填空题7．高三某班一学习小组的A 、B 、C 、D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D 在__画画__.[解析] ∵以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：打篮球 画画 跳舞 散步 A × × B × × C × × D××则由表格知A 篮球 画画 跳舞 散步 A×√×B √××C ××D ××∵③“C在散步”是∴C在散步，则D在画画，故答案为画画．8．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立，在四边形中不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立，在五边形中1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立，猜想在n边形A1A2…A n中有不等式：__1A1＋1A2＋1A3＋…＋1A n≥n2(n－2)π__.[解析]不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n－2)π，故在n边形A1A2…A n中有不等式1A1＋1A2＋1A3＋…＋1A n≥n2(n－2)π成立．三、解答题9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n>4时，求f(n)(用n表示)．[解析](1)如图所示，可得f(4)＝5.(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5.…∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝12(n＋1)(n－2)．B级素养提升一、选择题1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( B )A ．27B ．28C ．29D ．30[解析] 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，…，故第七个三角形数为21＋7＝28.2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( A )A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性大D ．黑色的可能性大[解析] 由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．二、填空题3．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中的最大数是b ，则a ＋b ＝__30__.[解析] 根据图中的“分裂”规律，可知a ＝21，b ＝9，故a ＋b ＝30. 4．(陕西卷文)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 …据此规律，第n 个等式可为__1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n __.[解析] 等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得．三、解答题5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1、S 2、S 3、S 4，并猜想S n 的表达式．[解析] 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53；∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．6．已知命题，若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b >0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ，n ∈N *，且m ≠n )．类比上述结论，求b m ＋n ，并说明理由．[解析] 类比得结论：b m ＋n ＝n －mb n a m. 理由：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＋n ＝b m q n . 又∵b m b n ＝b 1q m －1b 1q n －1＝q m －n ＝a b ，∴q ＝(a b )1m －n.因此，b m ＋n ＝b m q n＝a ·(a b )n m －n ＝(b n a m )1n －m＝n －mb n a m. 7．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系．[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC .证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ，∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE .∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE ，S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .由Ruize收集整理。
高中数学选修1-2(人教A版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习及答案
sin (200 ∘ + α) + cos (200 ∘ + α + 30∘ ) + sin α cos (α + 30∘ ) =
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分别为 S 1 ，S 2 ，EF ∥ AB 且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m : n ，则 △OEF 的面积 S 0 与
S 1 ，S 2 的关系是 (
)．
mS 1 + nS 2 m+n − − − − m√S 1 + n√S 2 − − C．√S 0 = m+n
A．S 0 =
答案： C
nS 1 + mS 2 m+n − − − − n√S 1 + m√S 2 − − D．√S 0 = m+n
B．S 0 =
4. 观察 sin 220 ∘ + cos 250 ∘ + sin 20∘ cos 50∘ = 个与以上两式规律相同的一个等式
答案：
．
3 3 ，sin 215 ∘ + cos 245 ∘ + sin 15∘ cos 45∘ = ，写出一 4 4 3 4
3. 如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥ DC，AB = a，CD = b (a > b) 若 EF ∥ AB，EF 到 CD 与
ma + nb ．试用类比的方法，推想出下述问题的结 m+n 果．在上面的梯形 ABCD 中，延长梯形两腰 AD ，BC 相交于 O 点，设 △OAB，△OCD 的面积 AB 的距离之比为 m : n ，则可推算出：EF =
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1. 下列说确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论无法判定正误
2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明章末检测 新人教A版选修1-2
第二章推理与证明章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．③②①C．②③①D．②①③解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．答案：D2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D不是无理数”，即“2＋3是有理数”．3)AB1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C(四面体每一个顶点与对面重心的连D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．答案：D4．求证：3＋7<2 5.证明：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7<25，只需证明(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，即21<5，只需证明21<25.因为21<25成立，所以不等式3＋7<25成立．上述证明过程应用了( )A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．答案：B5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是( )开始第1次第2次第3次A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．答案：C6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.答案：A7．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R)”，其反设正确的是( ) A ．a ，b 至少有一个不为0 B ．a ，b 至少有一个为0 C ．a ，b 全不为0 D ．a ，b 中只有一个为0解析：“a ，b 全为0”的反设应为“a ，b 不全为0”，即“a ，b 至少有一个不为0”． 答案：A8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2. 答案：C9．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( ) A ．2 B ．4 C.152D.172解析：在等比数列{a n }中，q ＝2≠1， 设首项为a 1≠0，则S 4＝a 1－q 41－q＝15a 1，又a 2＝a 1q ＝2a 1，故S 4a 2＝15a 12a 1＝152. 答案：C10．下列不等式中一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R)D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1. 答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP ，用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP12.2＋23＝2 23， 3＋38＝ 4 415……若 6＋a b ＝6a b(a ，b 均为实数)，猜想，a ＝解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 35 13．观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为____________．解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号正负交替出现，可以用(－1)n ＋1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n n ＋2，所以第n 个式子可为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋214. 已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．若定义在区间D 上的函数f (x )对于 D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sinx 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：332三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解：由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132， 即⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.17．(12分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式．解析：依题意得，f 1(x )f ＝xx ＋2＝x＝2－x ＋f ＝3－x ＋f n (x )＝xn－x ＋2n(x ＞＜b ，且f (a )＞f (b )． ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ，－lg x ，＜x ＜∵0＜a ＜b ，f (a )＞f (b )．∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上， 又由于0＜a ＜b ，故必有a ∈(0,1)． 若b ∈(0,1)，显然有0＜ab ＜1； 若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )＞0，有－lg a －lg b ＞0， ∴lg(ab )＜0，∴0＜ab ＜1.19．(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列． (1)比较b a 与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角． 解析：(1) b a < cb.证明如下： 要证b a <c b ，只需证b a <c b. ∵a ，b ，c >0，∴只需证b 2<ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c≥21ac，∴b 2≤ac .又a ，b ，c 均不相等，∴b 2<ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：解法一：假设角B 是钝角，则cos B <0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac>0，这与cos B <0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．解法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b >a ，b >c ，所以1a >1b >0，1c >1b>0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．20．(13分)(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明|f ′(x )|≤2A .解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)解：当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)．故A ＝3α－2. 当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1， 则A 是|g (t )|在[－1,1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4a ＝－α－28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1,1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|， ＝－α＋8α>0.6α＋8α. (3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1， 所以|f ′(x )|≤1＋α<2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A .所以|f ′(x )|≤2A .21．(14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 解析：(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 22＝4a 1＋5， 又a n >0，∴a 2＝4a 1＋5.(2)当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1， ∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2， 又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14成等比数列．∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)知a 1＝1.又a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴a n ＝2n －1. (3)证明：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1n －n ＋＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.。
人教A版数学选修1-2练习：第2章 推理与证明 2.1.2
第二章 2.1 2.1.2A级基础巩固一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确[解析]函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的．”中的小前提是(D)A．①B．②C．①②D．③[解析]本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．3．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于(A)A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理[解析]大前提为所有金属都能导电，小前提铁是金属，结论为铁能导电，故选A．4．有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在(A)A．大前提B．小前提C．结论D．以上都不是[解析]∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选A．5．(2019·广东东莞石竹附中高二月考)某演绎推理的“三段”分解如下：①函数f(x)＝lg x是对数函数；②对数函数y＝log a x(a>1)是增函数；③函数f(x)＝lg x是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是(C)A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．②→③→①[解析]由题意可知，大前提是“对数函数y＝log a x(a>1)是增函数”，小前提是“函数f(x)＝lg x是对数函数”，结论是“函数f(x)＝lg x是增函数”，故选C．6．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(C)A．类比推理B．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．二、填空题7．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是__②__.(填写序号)[解析] 推理：“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③正方形是平行四边形．”中 大前提：矩形是平行四边形； 小前提：正方形是矩形； 结论：所以正方形是平行四边形． 故小前提是：②正方形是矩形． 故答案为②.8．已知sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2mm ＋5，其中α是第二象限角，则m ＝__8__.[解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝1， sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2m m ＋5， ∴(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1， 整理得m 2－8m ＝0. ∴m ＝0或m ＝8. 又∵α是第二象限角， ∴sin α>0，cos α<0. ∴m ＝8. 三、解答题9．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD .求证：四边形ABCD 为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．[解析] ①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等， 则这两个三角形全等．(大前提) 如果△ABC 和△CDA 的三边对应相等． (小前提) 则这两个三角形全等． (结论)符号表示：AB ＝CD 且BC ＝DA 且CA ＝AC ⇒△ABC ≌△CDA .②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于： 对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等． (大前提) 如果△ABC 和△CDA 全等， (小前提) 则它们的对应角相等， (结论)符号表示：△ABC ≌△CDA ⇒∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B ＝∠D .③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提) 直线AB 、DC 和直线BC 、AD 被直线AC 所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]则AB ∥DC ，BC ∥AD .[结论(同理)]④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形． (大前提) 四边形ABCD 中，两组对边分别平行， (小前提) 四边形ABCD 为平行四边形．(结论) 符号表示：AB ∥DC 且AD ∥BC ⇒四边形ABCD 为平行四边形．B 级 素养提升一、选择题1．“在四边形ABCD 中，∵AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形”．上述推理过程( A )A ．省略了大前提B ．省略了小前提C ．是完整的三段论D ．推理形式错误[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”． 2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( B )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误[解析] 用小前提“S 是M ”，判断得到结论“S 是P ”时，大前提“M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分．3．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式[解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．二、填空题4．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__A 城市__.[解析] 由甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A ，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A 城市．5．以下推理中，错误的序号为__①__. ①∵ab ＝ac ，∴b ＝c ； ②∵a ≥b ，b >c ，∴a >c ；③∵75不能被2整除，∴75是奇数； ④∵a ∥b ，b ⊥平面α，∴a ⊥α.[解析] 当a ＝0时，ab ＝ac ，但b ＝c 未必成立． 三、解答题6．用三段论证明：已知{a n }是各项均为正数的等差数列，l ga 1，l ga 2，l ga 4成等差数列，又b n ＝1a 2n，n ＝1,2,3…，证明{b n }为等比数列．[解析] 因为l ga 1，l ga 2，l ga 4成等差数列， 所以2l ga 2＝l ga 1＋l ga 4，即a 22＝a 1·a 4. 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，这样d 2＝a 1·d ，从而d (d －a 1)＝0. 而d ＝0，则{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列．若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n －1)·d ＝2n ·d ， b n ＝1a 2n ＝1d ·12n .这时{b n }是首项为b 1＝12d ，公比为12的等比数列．综上知{b n }为等比数列．7．用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角三角形ABC 中，AD ，BE 是高线，D 、E 为垂足，M 为AB 的中点．求证：ME ＝MD .[证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形， (大前提) 在△ABD 中，AD ⊥CB ，∠ADB ＝90°，(小前提)∴△ABD 为直角三角形． (结论)同理△ABE 也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提) M 是直角三角形ABD 斜边AB 上的中点，DM 为中线， (小前提)∴DM ＝12AB (结论)，同理EM ＝12AB .∵和同一条线段相等的两条线段相等， (大前提) 又∵DM ＝12AB ，EM ＝12AB(小前提) ∴ME ＝MD(结论)．8．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上为增函数． [解析] (1)因为f (x )是R 上的偶函数， 所以对一切x ∈R ，都有f (x )＝f (－x )， 即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ＝1a ex ＋a e x ， 整理得(1a －a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 恒成立．因e x －1e x 不恒为0，故1a －a ＝0，所以a ＝±1.又a >0，所以a ＝1.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋1e x 1－e x 2－1e x 2＝(e x 2－e x 1)·(1e x 1＋x 2－1)＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2.因为x 1>0，x 2>0且x 1<x 2， 所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2>0，所以e x 2－x 1>1,1－e x 1＋x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．由Ruize收集整理。
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第二章 2.2 2.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是导学号 18674198( C ) A ．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B ．综合法又叫顺推证法或由因导果法C ．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法D ．分析法又叫逆推证法或执果索因法[解析] 综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项C 错误．2．“对任意角θ，都有cos 4 θ－sin 4 θ＝cos2 θ”的证明过程：“cos 4 θ－sin 4 θ＝(cos 2 θ－sin 2 θ)(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos2 θ”应用了导学号 18674199( B )A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．间接证法[解析] 证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法． 3．若a <b <0，则下列不等式中成立的是导学号 18674200( C ) A ．1a <1bB ．a ＋1b >b ＋1aC ．b ＋1a >a ＋1bD ．b a <b ＋1a ＋1[解析] ∵a <b <0，∴1a >1b ，又∵b >a ，∴b ＋1a >a ＋1b.4．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为导学号 18674201( B )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定[解析] q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为导学号 18674202( A )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 二、填空题6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是__a ≠b 且a ≥0，b ≥0__.导学号 18674203[解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0只需a ≠b 且a 、b 都不小于零即可．7．在算式30－△＝4×□中的△，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，□)应为__(10,5)__.导学号 18674204[解析] 设(△，□)为(a ，b )，则30－a ＝4b ， 即a ＋4b ＝30，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·a ＋4b 30＝5＋4b a ＋ab 30≥5＋430＝310，当且仅当4b a ＝ab ，即a ＝2b 时等号成立．又有a ＋4b ＝30，可得a ＝10，b ＝5. 三、解答题8．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .导学号 18674205[解析] 解法一(分析法)：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，即要证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2)>lg(abc )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc .∵a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc >0.(*) 又∵a 、b 、c 是不全相等的正数， ∴(*)式中等号不成立，∴原不等式成立． 解法二(综合法)：∵a 、b 、c ∈R *，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥ab >0，·c ＋a 2≥ab >0. 又∵a 、b 、c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc . ∴lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)>lg (abc )．∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .B 级 素养提升一、选择题1．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是导学号 18674206( C )A ．aB ．bC ．cD ．不确定[解析] ∵b －c ＝1＋x －11－x ＝－x 21－x <0，∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a <b <c .2．在△ABC 中，“AB →·AC →>0”是“△ABC 为锐角三角形”的导学号 18674207( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件[解析] ∵AB →·AC →>0，∴∠A 为锐角，但∠B 、∠C 的大小不确定，故选B ．3．在R 上定义运算⊙︰a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为导学号 18674208( B )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1＋∞)D ．(－1,2)[解析] x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1.4．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是导学号 18674209( D ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b [解析]3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b .∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ； 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a . 二、填空题5．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为__m >n __.导学号 18674210[解析] 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b >0，所以a ＋b2>a ＋b2，所以m >n . 6．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan (x －π4)＝__－3__.导学号 18674211[解析] ∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan (x －π4)＝tan x －11＋tan x＝－3.7．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝ －12.导学号 18674212 [解析] 条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式平方相加可推得结论cos (α－β)＝－12.三、解答题8．已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.导学号 18674213[分析] 这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结论特点和条件a ＋b ＋c ＝1的合理应用．可用综合法和分析法两种方法证明．[解析] 解法一：(综合法)(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c －1)＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 解法二：(分析法)要证(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8成立，只需证1－a a ·1－b b ·1－c c≥8成立．∵a ＋b ＋c ＝1，∴只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－c c ≥8成立，即b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥8.只需证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ≥8成立．而2bc a ·2ac b ·2abc ≥8显然成立，∴(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8成立．C 级 能力提高1．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是__①③⑤__(写出所有正确命题的编号).导学号 18674214①ab ≤1 ②a ＋b ≤2 ③a 2＋b 2≥2 ④a 3＋b 3≥3 ⑤1a ＋1b ≥2[解析] 本题考查了不等式的有关性质和推理论证能力．令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确.2．已知：a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1.导学号 18674215求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2. 下面是证明过程：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8. ∵a ＋b ＝1，∴即证2a ＋1·2b ＋1≤2， 只需证(2a ＋1)(2b ＋1)≤4，即证ab ≤14.∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14. ∵ab ≤14成立，因此2a ＋1＋2b ＋1≤22成立．试分析找出上述证明过程中的错误，并给予订正． [解析] 上述解法中，对ab ≤14的证明是错误的．因为ab ≤a ＋b2成立的条件是a ≥0，b ≥0， 而原题条件是a ≥－12，b ≥－12，不满足上述条件．正确解答为：在错解中，得2a ＋1·2b ＋1≤2.∵a ≥－12，b ≥－12，∴2a ＋1≥0,2b ＋1≥0. ∴2a ＋1·2b ＋1≤(2a ＋1)＋(2b ＋1)2＝2(a ＋b ＋1)2＝2，即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．。