高考电路概率

1.1 试题回顾2010年普通高考全国卷II 第20题: 如图1-1, 由M 到N 的电路中有4个元件, 分别标有1T , 2T , 3T , 4T , 电流能通过1T , 2T , 3T 的概率都是p , 电流能通过4T 的概率是0.9, 电流能否通过各元件相互独立. 已知1T , 2T , 3T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求p ;（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率;（Ⅲ）ζ表示1T ,2T ,3T ,4T 中能通过电流的元件个数，求ζ的期望.图1-11.2 解读试题试题提供了以下信息: 1.电流能否通过各元件相互独立——独立事件的概率; 2.电流能通过各元件与不能通过各元件——对立事件的概率; 3. 电流能在M 与N 之间通过（如图）——事件与事件之间的关系, 和事件, 积事件, 独立事件的概率, 互斥事件的概率; 4. 离散型随机变量的数学期望. 1.3 解题思路记i A 表示事件: 电流能通过i T , 1,2,3,4.iA 表示事件: 1T , 2T , 3T 中至少有一个能通过电流.B 表示事件: 电流能在M 与N 之间通过.MN1T 4T 3T2T（Ⅰ）123A A A A =⋅⋅且1A , 2A , 3A 相互独立. 3123123()()()()()(1)P A P A A A P A P A P A p =⋅⋅==-, 又 ()1()10.9990.001,P A P A =-=-= 故3(1)0.001p -=, 即0.9p =.（Ⅱ）电流能在M 与N 之间通过有三条路径: 1）电流通过元件4T , 即事件4A 发生; 2）电流通过元件13,T T , 即事件413A A A 发生; 3）电流通过元件23,T T , 即事件4123A A A A 发生. 因此4413412344134123()()()()()P B P A A A A A A A A P A P A A A P A A A A =+⋅⋅+⋅⋅⋅=+⋅⋅+⋅⋅⋅ 44134123()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A =+⋅⋅+⋅⋅⋅ 0.90.10.90.90.10.10.90.9=+⨯⨯+⨯⨯⨯ 0.9891=.（Ⅲ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9, 且电流能否通过各元件相互独立. 故ζ～B （4,0.9），从而E ζ=40.9 3.6⨯=.2 探讨题目背景——系统可靠性该题目以系统可靠性问题作为背景, 来考查学生分析和解决问题的能力. 所谓系统的可靠性, 就是系统在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力. 这个能力的大小通常用可靠度, 即概率来衡量.系统是由子系统或元件连接而成的. 常见的连接方式有如下几种: ①串联; ②并联; ③串了并; ④并了串; ⑤桥式系统; ⑥表决系统（即当n 个元件中有k 个或k 个以上元件正常工作时系统才正常工作）. 前五种连接方式如以下各图所示, 如果以上系统各元件正常工作的概率（即可靠度）均为(01),p p <<且各元件正常工作与否相互独立, 则可求出上述各系统正常工作的概率.① 串联系统（图2-1）图2-1要使系统AB 正常工作, 每一个元件必须正常工作. 而每个元件正常工作的概率为p , 再由各元件是否正常工作是相互独立, 故该系统正常工作的概率为n AB P p =.② 并联系统（图2-2）图2-2要使系统CD 正常工作, n 个元件中至少有一个元件正常工作. 第一个元件不正常工作的概率为()1p -, 由独立性, n 个元件都不正常工作的概率为(1)n p -, 再由对立事件概率公式, 至少有一个元件正常工作的概率为1(1)n CD p p =--.③ 串了并系统（图2-3）图2-3EF11a ………… …… 12a 1n a 2na 22a 1m a 2m a mna 21a CD12 n…A21 n B.….要使系统EF 正常工作, m 个串联系统中必须至少有一个系统正常工作. 由①知, 第一个串联系统正常工作的概率为n p , 从而不正常工作的概率为(1)n p -, 由独立性,m 个串联系统都不正常工作的概率为(1)n m p -, 再由对立事件的概率公式, 得至少有一个串联系统正常工作的概率为1(1)n m EF p p =--.④ 并了串系统（图2-4）图2-4要使系统GH 正常工作, n 个子系统都必须正常工作. 由②知, 第一个子系统正常工作的概率为1(1)m p --, 由独立性, n 个子系统都正常工作的概率为1(1)nmGH p p ⎡⎤=--⎣⎦.⑤ 桥式系统（图2-5）图2-5当元件3正常工作时, 系统JK 变成了并了串, 且系统JK 正常工作的概率为22321(1)(2)p p p p ⎡⎤--⋅=-⎣⎦; 当元件3不正常工作时, 系统JK 变成了串了并, 1 2345J H…11a 21a 1m a 12a 22a 2m a 1na 2na mna GH………且系统JK 正常工作的概率为2222(1)1(1)(2)(1)p p p p p ⎡⎤---=--⎣⎦, 由全概率公式, 系统JK 正常工作的概率为3222(2)(2)(1)JK P p p p p p =-+--.求JK P 的另一个方法是利用加法公式和独立性. 设i A =“第i 个元件正常工作”, i=1,2,3,4,5.则系统JK 正常工作, 1413525,,A A A A A A A 三条线路中至少有一条正常工作, 即1413525()JK P P A A A A A A A = , 再由加法公式与独立性, 也可求得上述结果, 这里就不详述了.⑥ 表决系统由于系统正常工作的条件是: n 个元件中至少k 个正常工作, 所以由独立性与二项概率公式知, n 个元件中恰有j 个正常工作的概率为(1)j j n j n C p p --, 从而表决系统正常工作的概率为(1)nj j n j n j k P C p p -==-∑.注1 有了上面推导出的6种系统的概率, 我们再来看2010年普通高考全国卷II 第20题求电流能在M 与N 之间通过的概率, 我们将元件1T ,2T ,3T 看作一个系统C, 即并了串系统, 由结论④知, P(C)=21(1)0.891p p ⎡⎤--⋅=⎣⎦, 再将系统C 和元件4T 看成一个新的系统D, 即并联系统, 则由结论②知,()1(1)(1())10.10.10910.01090.9891P D p P C =---=-⨯=-=.即电流能在M 与N 之间通过的概率为0.9891. 注2 将高考试题目做适当的变形与延伸.变形1 一元件或系统能正常工作的概率称为元件或系统的可靠性, 如图2-6, 设有5个独立工作的元件1、2、3、4、5按先串联后并联的方式连接, 设元件的可靠性均为p , 试求系统的可靠性.图2-6解 由结论①知, 支路1, 支路2, 支路3能正常工作的概率分别为22,,p p p ；再由结论③知, 该系统正常工作的概率为2254321(1)(1)22P p p p p p p p =---=--++.变形2 一元件或系统能正常工作的概率称为元件或系统的可靠性, 设有5个独立工作的元件1、2、3、4、5按如图2-7所示方式联结, 设元件的可靠性均为p , 试求系统的可靠性.图2-7解 将元件1,2,3看成子系统1A , 则子系统1A 正常工作的概率, 由结论③知2231()1(1)(1)P A p p p p p =---=+-.将元件4,5看成子系统2A , 则子系统2A 正常工作的概率, 由结论②知22()1(1)(2)P A p p p =--=-.最后将子系统1A , 2A 合并, 可看成系统④, 即并了串系统, 由结论④知, 该系统能正常工作的概率为23(2)()P p p p p p =-⋅+-.延伸 用2n 个相同的元件（例如整流二极管）组成一个系统, 有两种不同1234 5123 45的联结方式, 第Ⅰ种是先串联后并联（如图2-8所示）; 第Ⅱ种是先并联后串联（如图2-9所示）.图2-8图2-9如果各个元件能否正常工作是相互独立的, 每个元件能正常工作的概率为r （元件或系统能正常工作的概率通常称为可靠度）, 试比较两个系统哪一个更可靠些？解 有了上面的结论后, 该题解答起来非常容易. 由结论③知, 系统Ⅰ的可靠度为211(1)(2)n n n R r r r =--=-. 对于系统Ⅱ, 由结论④知,[]221(1)(2)(2)nnn nR r r r r r ⎡⎤=--=-=-⎣⎦. 利用数学归纳法, 可以证明当n ≧2时, 总有(2)2n n r r ->-成立. 从而当n ≧2时, 有21R R >, 即系统Ⅱ比系统Ⅰ更可靠些.这是一个颇有启发性的例子, 用相同的元件组成一个系统, 完成相同的功能, 只是由于设计的联结方式不同, 得到的可靠度就不同. 从而告诫我们, 事先应精心设计以提高产品或工程的可靠度, 这是可靠性工程学中的一个重要课题.通过上述分析, 不难看出, 今年的概率考题, 综合性较强, 考查知识点多,1 2n …1n2 1 … …2 n 12n既突出了基本概念, 又对学生分析和解决问题的能力提出了较高的要求, 但是我们将上述问题的背景进行探讨, 得出一般结论后再来解高考题, 问题就变得非常容易了, 不管我们怎样再对类似这一类题目进行变形, 题目最后都会回归到上述的6个系统中来, 如此看来, 我们做这样的拓展是十分有必要的.3 概率教学近几年高考数学命题特别注重考查考生的“数学基础知识, 基本技能, 数学思想方法和数学本质的理解水平”的命题原则, 许多题目取材于生活中的实例或课本的基本题以及改造, 即使是综合题也是由若干个基础题整合加工而成, 可以清楚地看到概率考题源于生活, 题量和分值大. 因此, 在今后的概率教学我们应注意如下几个方面:（1）注意加强基础教学高中新课标教材概率教学的重点内容有等可能事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、n次独立重复试验中恰好（或至少或至多）发生k次的概率等常见的概率的计算; 离散型随机变量的分布列、期望、方差、标准差的计算等, 在2010年高考概率试题中, 所有试卷都考了互斥事件、独立事件、伯努利概型和离散型随机变量的分布列的构造及数学期望, 所以, 随机变量及其分布是高考的重要基础, 将每年都出现在高考命题中. 因此, 必须注意加强基础教学, 讲清有关概念和公式, 以课本的例题、习题为基本问题, 进行类比教学.（2）教学应注意联系生产和生活实践2010年高考概率的全部试题都以联系生产生活实践来设计. 如: 全国Ⅰ卷以某杂志对稿件的评审为背景; 全国Ⅱ卷以系统可靠性为背景; 北京卷陕西卷以学生身高为背景; 四川卷以有奖购物为背景; 湖南卷以城市居民用水量为背景; 辽宁卷以药物实验为背景; 福建卷山东卷以知识竞赛为背景; 广东卷以食品检验为背景; 江苏卷以产品质量与利润为背景; 新课标卷以某地区老年人是否需要志愿者帮助为背景等. 近几年概率试题均考查了运用概率知识解决实际问题的能力, 这就要求教师注意从课本内容中提炼出具有社会价值的数学应用背景, 启发引导学生经常关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展等各个方面. 所以, 概率教学应重视问题的背景及概率在生产和生活实践以及科学领域中的应用.（3）注意化归与转化的统一求某些复杂事件的概率时, 通常利用化归与转化的数学思想和方法, 将所求事件进行转化. 例如将所求事件分解成一些彼此互斥的事件之和; 直接计算所求事件的概率较繁时, 可间接地先求得对立事件的概率, 再求出符合条件的事件概率; 将所求事件分解成一些彼此相互独立的事件之积. 在利用上述方法求复杂事件概率的时候, 一般可分三步进行: ①列出题中涉及的各个事件, 并用适当的符号表示它们; ②理清各事件之间的关系, 列出关系式; ③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.例如,(2007年福建文科卷)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2 米高度成功的概率分别为0.7,0.6, 且每次试跳成功与否相互之间没有影响, 求(1)甲试跳三次, 第三次才成功的概率; (2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (3)甲、乙各试跳两次, 甲比乙的成功次数恰好多一次的的概率.分析与解答 设i A 表示甲第i 次试跳成功,i B 表示乙第i 次试跳成功. 则()0.7i P A =，()0.6i P B =.（1） P(123A A A )=1()P A 2()P A 3()P A =0.3×0.3×0.7=0.063. （2） 设“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C, 则P(C)=1-1()P A 2()P A =1-0.3 ×0.4=0.88.(3)设“甲两次试跳中成功i 次”为事件i M ,“乙两次试跳中成功 i 次”为事件i N (i=0,1,2), 因为事件“甲、乙各试跳两次, 甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1M 0N +2M 1N , 且事件1M 0N 和事件2M 1N 为互斥事件, i M 与i N 为独立事件. 因此()()()()()()()102110211021122122+=0.70.30.40.70.60.40.3024.P M N M N P M N P M N P M P N P M P N C C +=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=通过以上试题的分析, 我们可以体会出高考试题中概率问题的解法蕴涵着非常丰富的数学思想和方法, 因此我们在教学中要重视通性通法的教学, 重视数学思想方法的教学, 淡化特殊的技巧.（4）注意处理横向教学概率试题已经出现多方面的横向交汇, 注重知识的综合性和灵活性运用, 在教学时要注意挖掘知识间的内在联系, 如概率与函数的交汇、概率与方程的交汇、概率与不等式的交汇、概率与数列的交汇、概率与几何的交汇等等. （5）注意加强新增内容教学《普通高中数学课程标准（实验）·数学3》中概率新增加的古典概型, 几何概型, 条件概率等在今后的教学中必然予以特别地关注. 有实用价值的数学, 教师在教学中不但不能任意删减, 反而应教好它, 用好它. 注重数学的实用价值, 是新课标呈现的显著特点, 在以后高考卷中也必有体现.4 生活中的概率在日常生活中, 概率论的应用更是普遍, 几乎无处不在. 如竞选活动、解释自然规律、掷骰子、抓阄、玩扑克牌、预测销售量、人寿保险等, 一位哲学家曾说过：“概率是人生的指南”. 我们会经常在概率意义上进行判断和做出决策. 随着生产的发展和科学技术水平的提高, 概率已渗透到我们生活的各个领域, 用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析, 常常会得到深刻的结果. 4.1凭运气能通过考试吗？日常生活中我们总希望自己的运气能好一些, 碰运气的也大有人在, 就像考生面临考试一样, 这其中固然有真才实学者, 但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者. 那么对于一场正规的考试, 仅凭运气能通过吗？我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题：假设试题满分为100分, 除去写作15分外, 其余85道题是单项选择题, 每题有A ，B ，C ，D 四个选项. 这种情况会经常使个别学生产生碰运气和侥幸心理, 那么靠运气能通过英语四级考试吗？答案是否定的, 假设写作得10分, 及格按60分算, 则85道题必须答对50道题以上, 可以看成85重伯努利试验, 每道题做对记作事件A, 则1(),4P A =3().4P A = 记{}508550B A =重伯努利试验中事件出现次，于是5050855011508513()()()0.8721044P B C --=≈⨯.这概率非常小, 相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.872人能通过. 所以靠运气通过考试是不可能的. 这告诉我们, 在生活和工作中, 无论做什么事都要脚踏实地, 对生活中的某些偶然事件要理性地分析、对待. 4.2 抽签公平吗？生活中, 有时我们会用抽签的方法来决定某件事情, 那么中签与抽签先后是否有关呢？我们用一道概率题目来说明问题：设袋中装有a 只白球, b 只红球, k 个人依次在袋中取一只球, （1）作放回抽样（即前一人取一只球观察其颜色后放回袋中，后一人再取一只球）,（2）作不放回抽样（即前一人取一只球观察其颜色后不放回袋中, 后一人再取一只球）.求第i(i=1,2,…,k)人取到白球（记为事件B ）的概率().k a b ≤+（1）放回抽样的情况: 第1人取到白球的概率为aa b + , 因是作放回抽样, 第2人，第3人，…，第i 人取到白球的概率均为a a b +, 即().aP B a b=+（2）不放回抽样的情况: k 个人各人取一只球, 每种取法是一个基本事件, 共有k a b A +种取法. 当事件B 发生时, 第i 人取的应是白球, 它可以是a 只白球中的任意一只, 有a 种取法, 其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只, 共有11k a b A -+-种取法, 于是11()/k ka b a b aP B a A A a b-+-+=⋅=+. 值得注意的是P(B)与i 无关, 即k 个人取球, 尽管取球的先后次序不同, 各人取到白球的概率是一样的, 大家机会相等, 所以先抽签和后抽签中签的概率是相等的, 故抽签是公平的. 4.3 生日缘分在平常的生活中, 我们偶尔会遇到这样的巧合, 某某和某某生日相同, 他们被认为是“很有缘分”, 仔细想想我们能碰上这种“巧合”的机会是否真的很难得呢？我们来解答一下: 设某班级有n 个人（365n ≤）, 求至少有两个人的生日在同一天的概率为多大?假定一年按365天计算, 令{}A n =个人中至少有两人的生日相同， 则{}A n =个人的生日全不相同. 则365365!()365365n n n n C n A P A ⋅==. 而()()1P A P A +=, 于是365365!()11365365(365)!nn nA P A n =-=--. 这是历史上非常有名的“生日问题”, 对一些不同的n 值, 计算得相应的P(A)值如下表：n10 20 23 30 40 50 ()P A0.120.410.510.710.890.97上表所列的答案足以引起多数读者的惊奇, 因为“一个班级中至少有两人的生日相同”这个事件发生的概率, 并不如大多数人直觉中想象的那么小. 由表中可以看出, 当班级的人数为23时, 就有半数以上的班级会发生上述事件, 而当班级的人数达到50时, 竟有97%的班级会发生上述事件. 当然, 这里讲的“半数以上”、“有97%”都是就概率而言, 这就要求班级的数目相当多. 4.4 彩票问题彩票是现代城乡居民经济生活中的一个热点, “以小博大”的发财梦, 是不少彩民购买彩票的共同心态. 那么购买彩票真的能让我们如愿以偿吗？我们以某省发行的“36选6+1”福利彩票为例. “36选6+1”的方案是这样的: 先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号, 再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码; 从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复）, 根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级, 不考虑号码顺序, 中奖等级如下表.中奖 等级 36选6+1（6+1/36）基本号码 特别号码 说明 一等奖 ●●●●●● ★ 选7中（6+1） 二等奖 ●●●●●● 选7中（6） 三等奖●●●●●〇 ★选7中（5+1）四等奖 ●●●●●〇 选7中（5） 五等奖 ●●●●〇〇 ★ 选7中（4+1） 六等奖 ●●●●〇〇选7中（4） 七等奖●●●〇〇〇 ★选7中（3+1）注：●为选中的基本号码；★为选中的特别号码；〇为未选中的号码。