直线与圆相交的弦长问题

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直线与圆的弦长

直线与圆的弦长【整理】

直线与圆的弦长公式是：弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]，其中k为直线斜率，(x1,y1)，(x2,y2)为直线与曲线的两交点，“││”为绝对值符号，“√”为根号。

弦长公式，指直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

弦长公式：

抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物。

线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2

y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A。﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚。

x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2。

x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚。

直线与圆相交的弦长公式推导过程

直线与圆相交的弦长公式是指直线与圆相交时所形成的弦的长度。要推导出该公式，我们需要先从圆的性质出发，并结合几何性质进行推导。

首先，我们需要了解圆的一些基本概念和性质。圆是由一条不断延伸的曲线组成的，它的每个点与圆心的距离相等，这个距离称为半径。此外，圆上的点与圆心之间形成的线段称为弦。在这个过程中，我们引入了以下两个定义：

1. 笔直通过圆心的弦称为直径。直径的长度等于两个端点与圆心之间的距离的两倍。

2. 未通过圆心的弦称为弧。

现在，我们考虑一个直线与圆相交的情况。假设直线与圆的交点分别为A和B，圆上另一点为C。根据圆的性质，这三个

点构成的线段AC、BC以及AB对应着三条弦。

现在，我们需要使用几何性质来推导弦长公式。首先，我们观察到弦AB与圆心O所对的两个角：∠AOB和∠ACB。根据

几何性质，这两个角占据了同样的圆心角。由于一个圆心角对应一个弧，∠AOB所对应的弧AB与弦AB的长度是对应相等的。

接下来，我们观察∠ACB这个圆心角所对的弧AC。由于

∠ACB没有过圆心O，弧AC与弦AB的长度是不对应的。但是，根据圆的性质，如果我们沿着弧AC逆时针旋转到弧BC，

这个旋转的角度也是∠ACB所对应的角度。由此，我们可以推论出弧AC与弦BC的对应相等。

综上所述，我们得出结论：直线与圆相交时所形成的弦的长度相等。即弦AB = 弦BC。

最后，我们来推导出直线与圆相交的弦长公式。设弦AB的长度为x，则弦BC的长度也为x。根据定义，直径等于弦长的两倍。设直径的长度为d，则有2x = d。整理得到x = d/2。

直线与圆所截弦长公式

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

直线与圆所截弦长公式是几何学中重要而基础的知识点。当一个直线与一个圆相交时，构成的弦是直线与圆的一个重要交点。在几何学中，我们经常需要求解直线与圆所截弦的长度，这就需要运用直线与圆所截弦长公式。下面我们将详细介绍直线与圆所截弦长公式的推导过程及其应用。

我们需要明确的是在几何学中，有一个重要的定理：当直线与圆相交时，直线与圆所截弦长的乘积等于两条弦分割的线段之积。即设直线AB与圆O相交于点A、B，则有AO×OB=AO'×OB'。A、B为直线AB与圆O的交点，O为圆心，而A'、B'则是弦AB分割的两段。

根据上述定理，可以推导出直线与圆所截弦长公式。假设直线AB 与圆O相交于点A、B，圆心为O，弦AB分割为AO'和OB'两段。设弦长为L，AO的长度为x，OB的长度为y，则有x+y=L。根据定理可知，AO×OB=AO'×OB'，即x×y=(L-x)×(L-y)。

化简上式，可得到x×y=L²-Lx-Ly。然后通过齐次二次方程的求解方法，可以得到x和y的值。进而可以求得AO和OB的长度，即直线与圆所截弦的长度。

除了直线与圆所截弦长的求解，直线与圆的位置关系也是几何学

中的一个重要问题。当直线与圆相交时，有六种可能的位置关系：相

交两点、内切、相切、外切、相离、内含。每种情况下，弦的长度和

位置都有不同的特点和计算方法。

在实际问题中，直线与圆所截弦长公式的应用是非常广泛的。数学、物理、工程学等领域的问题中，经常需要计算直线与圆相交时弦

长的长度。在工程设计中，有时需要计算杆件与圆轴相交时的弦长，

直线与圆的弦长问题例题

问题：

已知圆C的圆心坐标为(x_0,y_0)，半径为r，直线l的方程为y=kx+b，求直线l与圆C的交点的弦长s。

解：

设直线l与圆C的交点为A(x_1,y_1)和B(x_2,y_2)，则有(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2=r^2

(x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2=r^2

y_1=kx_1+b

y_2=kx_2+b

解得：

x_1=dfrac{x_0+r{1+k^2}{1+k^2}

y_1=kx_1+b

x_2=\dfrac{x_0-r\sqrt{1+k^2}{1+k^2}

y_2=kx_2+b

则弦长s为：

s=s(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=2r\r{1+k^2}{1+k^2}。

直线与圆的弦长公式

直线和圆是几何学中常见的两种基本图形。当这两者相交时，我们通常会关注到弦长，即直线在圆上所截取的线段的长度。弦长公式是一种用于计算直线与圆相交时弦长的数学公式。在本文中，我们将介绍直线与圆的弦长公式，并阐述其推导过程及应用领域。

一、直线与圆的基本概念

在介绍弦长公式之前，我们先来了解一些与直线和圆相关的基本概念。

1. 直线：直线是由无穷多个点构成的，且在任意两点之间都能找到另一个点的轨迹。直线既没有长度也没有宽度，是一种无限延伸的几何图形。

2. 圆：圆是由一条封闭曲线组成的，所有在曲线内部距离圆心相等的点构成圆。圆由一个中心点和一个半径决定。

3. 弦：弦是一条连结圆上两个不同点的线段。弦的两个端点位于圆的边界上。

二、直线与圆的相交情况

直线和圆的相对位置关系可以分为3种情况：相离、相切和相交。

1. 直线与圆相离：当直线和圆没有交点时，它们被认为是相离的。

2. 直线与圆相切：当直线恰好与圆边界的一个点相接触时，两者被

认为是相切的。

3. 直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，两者被认为是相交的。

三、直线与圆的弦长公式的推导

在推导弦长公式之前，我们需要引入两个重要的定理，即相交弦定

理和弦切角定理。

1. 相交弦定理：若两条不同弦在圆内相交，则它们互相交换位置，

得到的仍然是相交的两条弦。

2. 弦切角定理：在圆内，由同一条弦所截取的两个弧上所对的弧度

相等。

基于这两个定理，我们可以推导出直线与圆的弦长公式。

设直线与圆相交于A、B两点，圆心为O，半径为r。我们要求的是弦AB的长度。

根据弦切角定理，我们找到弦AB所对的圆心角α。

圆与直线的弦长公式

圆与直线的弦长公式是数学中最基础的概念之一。这个公式可以计算出一个圆或一条直线的弦长，即圆或直线上任意一点到圆心或直线起点的距离，它在许多科学和工程领域都有重要的应用，比如船舶航海中的圆弧航行，它可以帮助测量船只的航行路线和航行时间，又如银行的存款计算，它可以帮助更好地估算利息。

圆的弦长公式定义为：C=2πr，其中C表示圆的弦长，2π表示圆的周长，r表示圆的半径，通过圆的半径就可以计算出圆的弦长。

直线的弦长公式定义为：L=√(x2-x1)2+(y2-y1)2，其中L表示直线的弦长，x2-x1表示直线横坐标间的距离，y2-y1表示直线纵坐标间的距离，通过计算两个坐标间距离的平方和的平方根就可以计算出直线的弦长。

应用示例：

1.算一个半径为6m的圆的弦长：

C=2πr

=2π*6

=37.68m

2.算以坐标(5,5)和坐标(10,7)两点间的直线弦长：

L=√(x2-x1)2+(y2-y1)2

=√(10-5)2+(7-5)2

=√(52+22)

=√(25+4)

=√29

=5.39m

以上就是圆与直线的弦长公式的一般情况。它们在实际应用中有着各种各样的变体，其基本原理在不同的应用场景下没有变化，不断推动着各种科学技术的发展和进步。

当然，圆与直线的弦长公式也具有一定的局限性。它只能用于圆和直线，而对于非圆形和非直线几何形状，比如椭圆、圆弧、三角形等，就不能满足需求了。因此，为了更准确地测量几何图形的弦长，研究者们发展出了一系列更加复杂的计算公式。比如，计算椭圆弦长的椭圆面积公式，计算圆弧弦长的圆弧面积公式，计算三角形弦长的勾股定理等。

直线过定点与圆所截弦长最短说明

直线过定点与圆所截弦长最短说明这个题目是讨论如何通过一个定点，在平面上与一个给定的圆相交，使得连接这个点和圆相交弦的长度最短。换句话说，就是找到与圆相交的弦中长度最短的那条。

答案是这条弦一定是过圆心和定点的直线所截下来的。这是因为圆心到弦的垂线是弦的中垂线，而直线与圆的交点距离圆心最远的位置就是在这条中垂线上。同时，直线与圆的交点也会把这条弦分成两个小段，而过圆心和定点的直线所截下来的弦长度则是从弦的一个端点到圆心的距离再加上圆心到另一个端点的距离，这个长度显然比其他弦都要短，因此是最短的。

总之，这道题需要运用几何推理和直观理解，结合图像来理解和解决问题，涉及到圆的性质与直线的性质，属于初中数学里的基础内容。

圆和直线的弦长公式

圆与直线的弦长公式：d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2)。弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。

圆是一种几何图形。根据定义，通常用圆规来画圆。同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是一种概念性的图形。

人教A版高中数学必修2课件4.2.1直线与圆相交求弦长课件

知识点—— 直线与圆相交求弦长
直线与圆相交求弦长
【求法】 1直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法： ①利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解. ②斜率为k的直线l与圆C交与A（x1，y1）， B（x2，y2）两点，则 AB 1 k 2 x1 x2 2.求两圆公共弦长有两种解题方法： ①联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间距离公式进行求解. ②求出两圆公共弦所在直线的方程，将问题转化为直线被圆截得的弦长问题. 方法一：勾股定理法方法二：弦长公式法.
7 2 1 x ( y ) ( y 2). 4 16
2
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
1、已知直线y＝kx+1与x2＋y2＝1相交于P、Q 1 两点，O为坐标原点，若 OP OQ , 2 则k的值为( ) A．± 3 B．±1 C．± 2 D．－ 3
直线与圆相交求弦长
【变形训练】解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立两个方程得x2+(kx+1)2＝1,即(1+ k2)x2＋2kx＝0, 2k 解得x1＝0, x2＝ 1 k 2 ，则y21＝1, 1 k 2k 1 , 故 OP OQ x1 x2 y1 y2 y2 k 2 2
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
4 2 | AB | 2 2 2 2 1 2 2 ) 1 ( ) , 解 (1)由 | AB | 可得 | MP | | MA | ( 2 3 3 3 2 | MB | | MP | | MQ | 得 | MQ | 3, 由相似比得

论直线与圆的相交弦长最值问题

对于直线与圆的相交弦长最大与最小说明

大家都是到当一直线与圆相交肯定有弦长。那其弦长的最值也就是高考的热点。很多人一看这样就想到韦达定理+弦长公式。可以说这是95%的人想法这是肯定的。毕竟圆锥曲线老师整天说联立方程什么的造成一定的思维定势。我也不说那么多现在我来说明下简单方式.

有没想过点到直线的距离公式呢

想必大家疑惑弦长不是有弦长公式么还用这干嘛。你也不想想弦长公式还要用韦达定理联立什么的计算量不用说肯定很大.

圆的半径都是不变的。变得不就是d么这样不就是有一个变量么不用去用两个变量公式。R^2-d^2=h^2/4 h为弦长这个式子简单明了吧一般看到这样不用多说许多人直接基本不等式化到最后的时候用的。这时你错了。你妹学过画图么- -既然只有一个变量画图多爽快.这时你会发现一个定律了。如下

由题可知y-1=k(x-2) d大家自己算吧这时我们一下都可以算弦长可当你画图就是这样了

从图中我们不难看出有时d是变量并且我们一下就能看出弦长的最值范围当d 最大是弦长最小反之最大。所以我们可以得出这个结论。做这种题时画图最便捷只要是整数一般口算一下就完成了分数就动一下笔

直线与圆相交求弦长

则k的值为( )
2
A．± 3
B．±1
C．± 2
D．－ 3
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立两个方程得x2+(kx+1)2＝1,即(1+ k2)x2＋2kx＝0, 解 y2 得xk1＝10 ,2xkk2＝2 1 21kk2 ，1 1 则k ky2 21＝,故1,O P O Q x 1 x 2 y 1 y 2
知识点——
直线与圆相交求弦长
直线与圆相交求弦长
【求法】
1直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法： ①利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解. ②斜率为k的直线l与圆C交与A（x1，y1），
B（x2，y2）两点，则 AB 1k2 x1x2
2.求两圆公共弦长有两种解题方法： ①联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间距离公式进行求解. ②求出两圆公共弦所在直线的方程，将问题转化为直线被圆截得的弦长问题. 方法一：勾股定理法方法二：弦长公式法.
x2(y7)21(y2). 4 16
所以，所求直线l有两条，它2 们的方程分别为
y + 3 = 1 (x + 3)，或y + 3 = 2(x + 3).
即x +2y =2 0，或2x – y + 3 = 0.

直线被圆所截弦长最短例题

设一条直线与圆相交，该直线被圆所截的弦中，弦长最短的情况发生在直线与圆的切点处。这是因为圆上的切线与半径垂直，而半径是弦的一半，因此切点是弦的中点。在这个位置，弦的两端到切点的距离最短。

让我们用一个例子来说明：

假设有一个半径为r 的圆，直线与圆相交于 A 和 B 两点。要找到使得弦AB最短的直线，我们需要找到直线与圆的切点。

1. 画一个半径AO，其中O是圆心。

2. AO与切点T的连线垂直于切线AB。

3. 直线AT 是最短的弦。

这就是直线被圆截弦长最短的基本思路。在具体问题中，你可能会面对一些特殊的几何形状，但这个基本原理仍然适用。

高中数学直线与圆相交求弦长问题练习题.

直线与圆相交求弦长问题练习题

1、在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4 相交于A，B两点，则弦AB的长等于()

A．3 B．2

C. D．1

2、已知两圆

:210240

C x y x y

+-+-=，22

:2280

C x y x y

+++-=，

求它们的公共弦长。

答案

1、[答案] B

[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝＝1，

弦AB 的长|AB |＝2

2. [答案]52

[解析]

由两圆12C C ，方程可知公共弦方程为240x y -+=， ∴圆1C 圆心(15)-，

到直线（公共弦）的距离为d ==．

∴

弦长2==

弦长公式圆与直线

弦长公式圆与直线，是指圆周上任意一点和直线之间的距离。它

是围绕椭圆形状的弧度计算而来，广泛应用于空间几何学，可以帮助

人们计算椭圆形状的弧度和距离的大小。

弦长公式圆与直线的公式表示如下：弦长C = 2 * π * a * ( 1

–cosα ) / α，其中a 是圆的半径，α是两点所形成的角的大小，位于-π/2 到π/2之间。

根据公式，可以计算当α=0时，弦长C=2*π*a，也就是圆的周长，而α=π/2时，弦长C=π*a，也就是圆的直径。

除了用于计算椭圆形状的弧度，弦长公式圆与直线还可以用于计

算椭圆内部和外部两点之间的距离。例如，如果有起点A和终点B，可

以通过弦长公式来计算AB之间的距离。

此外，弦长公式也可以用于计算直线上任意两点之间的距离以及

曲线上两点之间的弧长。这些计算都是根据两点之间的角度和距离来

计算的。

总之，弦长公式圆与直线是一种有用的工具，可以帮助人们计算

椭圆形状的弧度和距离，也可以用于计算直线上和曲线上两点之间的

距离。通过使用这一工具，人们可以更准确地计算出椭圆形状的弧度

和距离，从而更好地理解几何中的圆形形状。

圆与直线相交的弦长公式

圆与直线相交的弦长公式是一种用来计算圆与直线相交时弦长的公式。它可以帮助我们计算出圆与直线相交时弦的长度。

圆与直线相交的弦长公式是：弦长=2*√(r^2-d^2)，其中r是圆的半径，d是圆心到直线的距离。

首先，我们需要确定圆的半径r，以及圆心到直线的距离d。然后，将这两个值代入弦长公式，就可以得到圆与直线相交时弦的长度。

例如，假设圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么圆与直线相交时弦的长度就是2*√(5^2-3^2)=2*√16=4.47。

圆与直线相交的弦长公式是一种非常有用的公式，它可以帮助我们计算出圆与直线相交时弦的长度。它的使用非常简单，只需要确定圆的半径和圆心到直线的距离，然后将这两个值代入弦长公式，就可以得到圆与直线相交时弦的长度。