直线与圆相交的弦长问题

直线与圆相交弦长问题

二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2＜r ；性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．解析：法一：法二：[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x截得的弦长为27，求圆C 的方程．解析：[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解析：三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B2＜r ；性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，二、典例与练习[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．[解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)，∴|OC |＝|－1|2＝22.∵r ＝22， ∴|BC |＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12， ∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. [练习已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有⎝⎛⎭⎪⎫|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．。

圆被直线截的弦长公式推导

圆被直线截的弦长公式推导
（最新版）
目录
1.圆和直线的基本概念
2.弦的定义和性质
3.弦长公式的推导过程
4.结论
正文
一、圆和直线的基本概念
圆是一个平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合。

直线是无限延伸的、无宽度的、由无数个点组成的平面几何图形。

二、弦的定义和性质
弦是圆上任意两点间的线段。

弦有两个端点，可以分为直径和非直径弦。

直径是连接圆上任意两点且通过圆心的弦，非直径弦则不穿过圆心。

弦的长度被称为弦长。

三、弦长公式的推导过程
为了推导弦长公式，我们需要先了解一个重要的几何定理：相交弦定理。

相交弦定理指出，如果两个弦相交于圆内，那么它们所截得的弦长相等。

现在，我们考虑一个圆被一条直线截得的情况。

设圆心为 O，直线与圆相交于点 A 和 B，弦 AB 为所求弦。

我们可以将弦 AB 分为两个部分：OA 和 OB。

根据相交弦定理，OA 和 OB 的长度相等。

根据圆的定义，OA 和 OB 的长度都等于圆的半径 r。

因此，弦 AB 的长度等于 OA 和 OB 的长度之和，即 AB = OA + OB = 2r。

所以，弦长
公式可以表示为：AB = 2r。

四、结论
通过相交弦定理的推导，我们得到了圆被直线截得的弦长公式：AB = 2r。

直线与圆的相交问题

a 1
2、（2010.江西.10）直线 y kx 3与圆
( x 2) 2 ( y 3) 2 4 相交于 M、N两点
若 MN 2 3 ，则 k 的取值范围就（B ）
3 ( A)[ ,0] 4 2 3 3 ( B)[ , ] (C)[ 3, 3] ( D)[ ,0] 3 3 3
y 3 4 x x 有公共点，则 b 的取值范
2
围是______.
解释：曲线
1 y 3
2
y 3 4 x x 2 3 ( x 2) 2 4
所以原曲线方程化简为
2
( x 2) ( y 3) 4 （1 y 3）
表示的是直线y=3下方的半圆（包括边界）
解释：圆心（2,3）到直线 y kx 3 的距离
2 4 k 2 2 d MN 2 r d 2 4 2 2 3 2 k 1 k 1 3 3 2 3k 1 k 3 3
2k
故选B
还有其他解法吗？
y
3
o
2
x
题型三：由相交求参数
例3、(2010· 湖北，9)若直线 y x b 与曲线
2 2
故选D
还有其他解法吗？
练一练：
1、设直线 ax y 3 0 与圆 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
相交于 A、B 两点，且 AB 2 3 ，则
a _____ .
解释：由题知，弦心距
d a1
2 2
2tx y 2 t 0
(t R) 的位置关系为（
）
（A）相离（B）相切（C）相交（D）以上情况均有可能 2 2 解释：圆方程变为 ( x 1) ( y 2) 9 圆心到直线的距离

直线被圆截得的弦长公式

直线被圆截得的弦长公式
直线被圆截得的弦长公式是等于对应圆心角的一半大小的正弦值乘以半径再乘以二，弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。

弦长公式指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。

圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。

考查的主要内容包括：直线与圆锥曲线公共点的个数问题；弦的相关问题（弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等）；对称问题；最值问题、轨迹问题和圆锥曲线的标准方程问题等。

圆的弦长的计算公式

圆的弦长的计算公式圆的弦长公式知识梳理⼀、直线与圆的位置关系 1．⼏何判定法：设r 为圆的半径，d 为圆⼼到直线的距离： (1)d >r ?圆与直线相离； (2)d ＝r ?圆与直线相切； (3)d由?=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax 消元，得到⼀元⼆次⽅程的判别式Δ，则 (1)Δ>0?直线与圆相交； (2)Δ＝0?直线与圆相切； (3)Δ<0?直线与圆相离．⼆、圆的切线问题 1.切线⽅程（1）圆()()222x a y b r -+-=上⼀点()00,P x y 处的切线⽅程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=（2）圆220x y Dx Ey F ++++=上⼀点()00,P x y 处的切线⽅程为0000022x x y y x x y y D E F ++++++=g g 2.切线长公式过圆外⼀点()00,P x y 引圆的切线，设点为T ,则切线长MT =MT =三、弦长问题 1.⼏何法直线l 与圆C 交于,A B 两点，圆⼼C 到直线l 的距离为d ，则圆的半径r ，d 与弦长AB 的⼀半构成直⾓三⾓形的三边，即2222AB d r ??+=，故求出2AB 后再求AB ． 2.代数法——弦长公式设圆()()222x a y b r -+-=，直线l ：y kx b =+，则l 被圆截得的弦长L =或L =典型例题例1：已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值．解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利⽤弦长公式求解．答案：(1)解法⼀：由?x 2＋y －12＝5mx －y ＋1－m ＝0，消去y 整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.∵Δ＝(－2m 2)2－4(m 2＋1)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，对⼀切m ∈R 成⽴，∴直线l 与圆C 总有两个不同交点．解法⼆：由已知l ：y －1＝m (x －1)，故直线恒过定点P (1,1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P (1,1)在圆C 内．∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)解法⼀：圆半径r ＝5，圆⼼(0,1)到直线l 的距离为d ，d ＝r 2－?|AB |22＝32.由点到直线的距离公式，得|－m |m 2＋－12＝32，解得m ＝± 3.解法⼆：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x2] ＝(1＋k 2)100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ∴m ＝± 3.练习1：直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交，截得的弦长为45，求l 的⽅程．答案：解法⼀：设直线l 的⽅程为y －5＝k (x －5)且与圆C 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，y －5＝k x －5x 2＋y 2＝25消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0.∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0. 解得k >0.x 1＋x 2＝－10k 1－k k 2＋1，x 1x 2＝25k k －2k 2＋1. 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1＝4 5.两边平⽅，整理得：2k 2－5k ＋2＝0.解得：k ＝12，或k ＝2.故直线l 的⽅程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －5＝0.解法⼆：如图所⽰，|OH |是圆⼼到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的⼀半，在Rt △AHO 中，|OA |＝5，|AH |＝12|AB |＝12×45＝25，∴|OH |＝|OA |2－|AH |2＝ 5. ∴|51－k |k 2＋1＝ 5.解得：k ＝12或k ＝2. ∴直线l 的⽅程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －练习2：求直线:360l x y +-=被圆22:240C x y y +--=解得的弦长答案：解法⼀：圆22:240C x y y +--=可化为()2215x y +-=∴圆⼼()0,1C ,半径5r =点C 到直线l 的距离为22301610231d ?+-==+ ∴()222210105222ABr d ??=-=-= ? ???∴10AB = 解法⼆：联⽴直线l 与圆C 的⽅程22360240x y x y y +-=??+--=? 消去y 得：2320x x -+=设两交点,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y 由韦达定理有12123,2x x x x +==g ∴弦长()2 21334210AB =+--?=g 例2：已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0.求两圆的公共弦所在的直线⽅程及公共弦长．解析：因两圆的交点坐标同时满⾜两个圆⽅程，联⽴⽅程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线⽅程．利⽤勾股定理可求出两圆公共弦长．答案：设两圆交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标是⽅程组x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的解①②①－②得 3x －4y ＋6＝0.∵A 、B 两点坐标都满⾜此⽅程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线⽅程．易知圆C 1的圆⼼(－1,3)，半径r ＝3. ⼜C 1到直线AB 的距离为 d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝232－? ????952＝245.即两圆的公共弦长为245.课后练习1．已知圆C 和y 轴相切，圆⼼在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的⽅程．答案：由题意可设圆⼼坐标为(a ，a 3)，圆的半径R ＝|a |，由题意得(|a －a3|2)2＋(7)2＝a 2，∴a 2＝9，a ＝±3.故所求圆的⽅程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得弦长是( )A.6B.522C ．1 D.2答案 A。

两个圆的公共弦长公式

两个圆的公共弦长公式
两圆公共弦长公式如下：
弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]
其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点。

当两个圆相交时，两个交点的连线叫公共弦。

（若只有一个交点，则称公共点。

）两圆心所在直线垂直平分公共弦。

两个圆若是相交，则至多交于2点。

而将两圆的方程相减即是默认两条方程中有共同的解X、Y。

而减后的方程必定满足X、Y（就是两个交点），换句话说，就是两个交点所共同满足的直线方程。

而我们知道，平面内2点间有且只有1条直线，那么这条直线就是所求的公共弦。

直线与圆相交求弦长

直线与圆相交求弦长
【典型例题】
1、直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25 相交，截得弦长l为 4 5 , 求m的方程.
解：设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径
r
=
5，弦长的一半
l 2

2
5,
所以由勾股定理，得：d

2
52 2 5
5,
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即
故a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 25 0 或 2 x 5 y 25 0 ;
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
(2)连接MB，MQ，设 P(x,y),Q(a,0),由点M， P，Q在一直线上，得 2 y 2,(A)
a x
由 |M B|2|M P||M Q|,即 x2(y2)2 a241,(B ) 把（A）及（B）消去a，并注意到y<2 ，可得
x2(y7)21(y2). 4 16
2 k 1k2 1k2 1 0(1k2)11k21k22, 即k2＝3，故k＝± 3 . 答案：A
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，
Q是x轴上的动点，QA，QB分别切
⊙M于A，B两点，(1)如果| A B | 4 2
求直线MQ的方程；
的方程为
y + 3 = k (x + 3)，即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的
距离 2 3k 3 因此 2 3k 3
d
.
5,
k2 1
k2 1

直线被圆截弦长问题

直线截圆弦长问题—求弦长一
直线被圆截得的弦长问题,两种解题方法：
①利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形,结合勾股定理进
行求解.
②斜率为k的直线l与圆C交与Ax1,y1,Bx2,y2两点,则AB=
1+k2 2
1x
x 弦长公式
1、求直线l：2x-y-2=0被圆C:x-32+y2=9截得的弦长AB的长;
2、求直线l：3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦长AB的长;
3、求圆心在1,-2、半径为2√5的圆在x轴上截得的弦长;
直线与圆弦长问题—求圆的方程二
1、已知圆的圆心在x轴上,半径是5,且以A5,4为中点的弦长是2√5,求这个圆的方程;
2、已知圆的圆心为C-1,3,直线3x+4y-7=0被圆截得的弦长为
5
6
8
,求圆的方程;
3、已知圆C的圆心在直线l1：x-y-1=0上,圆C与直线l2:4x+3y+14=0相切,且圆C截得直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6,求圆的方程;
直线圆弦长问题—求直线方程三
1、已知过点M-3,-3的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4√5,求直线l的
方程;
2、已知直线l经过点P-4,-3,且被圆x+12+y+22=25所截得的弦长为8,求直线l的方
程; 3.已知点P0,5及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0,若直线l过点P且被圆C截得的弦长为
4 3 ,求直线l的方程。

与圆的两条弦相关的定理

与圆的两条弦相关的定理1.引言1.1 概述概述部分的内容可以写为：引言部分将对与圆的两条弦相关的定理进行介绍和探讨。

圆是几何学中重要的基本概念之一，而与圆的两条弦相关的定理则是圆与直线的关系中的重要内容。

本文将围绕与圆的两条弦相关的定理展开论述。

首先，将简要介绍圆及其基本性质，如半径、直径和圆心等概念。

接着，将具体阐述与圆的两条弦相关的定理的基本定义、性质和推论。

通过对这些定理的探索，我们可以深入理解圆与直线之间的关系，并在实际问题中灵活运用。

文章的结构按照引言、正文和结论三个部分展开。

在引言部分，我们将概述与圆的两条弦相关的定理的目的和结构。

在正文部分，我们将逐个论述与圆的两条弦相关的定理，并探索其具体的应用场景和推导过程。

在结论部分，我们将对本文所阐述的定理和内容进行总结，并展望未来与圆的两条弦相关的定理的发展方向。

通过本文的探讨，读者可将对与圆的两条弦相关的定理有更深入的理解和认识。

无论是在学习数学知识的过程中，还是在解决实际问题时，对于与圆的两条弦相关的定理的掌握和应用将发挥重要的作用。

在实际应用中，这些定理可以用来计算圆的面积、解决几何题目等。

因此，对于与圆的两条弦相关的定理的研究和应用具有重要的意义。

文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构：本文主要分为三个部分，包括引言、正文和结论。

1. 引言：1.1 概述在本部分，我们将简要介绍与圆的两条弦相关的定理，并指出这些定理的重要性和应用领域。

1.2 文章结构本部分将详细介绍本文的结构和内容安排，让读者对全文有一个清晰的认识。

1.3 目的本部分将阐述本文的写作目的和研究意义，为读者提供了解本文的动机和价值。

2. 正文：2.1 第一个要点在本部分，我们将详细介绍与圆的两条弦相关的第一个定理，并给出定理的证明过程和举例说明，以加深读者对该定理的理解和应用能力。

2.2 第二个要点在本部分，我们将详细介绍与圆的两条弦相关的第二个定理，并给出定理的证明过程和举例说明，以加深读者对该定理的理解和应用能力。

圆被直线截的弦长公式推导

圆被直线截的弦长公式推导《圆被直线截的弦长公式推导》对于圆被直线截的情况，弦长是一个常见而重要的数学概念。

在本文中，我们将深入探讨圆被直线截的弦长公式的推导过程，从而更好地理解这一数学知识。

1. 弦长的定义让我们回顾一下弦长的定义。

在圆内，如果一条直线恰好与圆相交于两点，那么这条线段就是圆的弦，而两点之间的距离即为弦长。

弦长的大小取决于弦在圆内的位置和倾斜程度，因此我们需要找出一种方法来准确计算它。

2. 圆被直线截的情况当一条直线与圆相交时，会形成两条弦，分别称为大弦和小弦。

我们可以利用几何知识和三角函数来推导出圆被直线截的弦长公式。

假设直线与圆的交点分别为A和B，圆心为O，我们可以根据三角形AOB 的特性来求解弦长。

3. 弧度制和弧长在推导弦长公式之前，我们需要先了解弧度制和弧长的概念。

弧度制是一种角度的度量方式，它是以半径长为单位来度量圆的周长。

而弧长则是圆上一段弧所对应的圆周长的长度，它与弧度的关系为弧长 =弧度× 半径。

4. 推导弦长公式通过利用三角函数，我们可以建立起弦长与圆的半径、弦在圆上的夹角之间的关系。

具体来说，我们可以利用正弦函数来表示弦长和弦的夹角之间的关系，从而得到圆被直线截的弦长公式。

5. 个人观点和总结在我看来，弦长是与圆相关的重要概念之一，它不仅在几何学中起着重要作用，而且在物理学和工程学中也有广泛的应用。

通过深入探讨圆被直线截的弦长公式的推导过程，我们不仅可以更好地理解数学知识，而且能够锻炼我们的逻辑思维能力和数学推导能力。

圆被直线截的弦长公式的推导涉及到几何知识、三角函数和圆的性质，通过深入研究这一过程，我们可以更好地理解和应用这一数学概念。

希望本文的讨论能够帮助你更好地掌握圆被直线截的弦长公式，并且对数学知识有着更深入的理解和认识。

圆被直线截的弦长公式推导，是几何学中一个非常重要的问题。

这个问题不仅仅在数学中有着重要的地位，同时也与物理学、工程学等其他科学领域有着密切的联系和应用。

平行线与圆的相交弦长

平行线与圆的相交弦长平行线和圆是几何学中的基本概念，它们之间的关系及其相交弦长的计算是应用广泛的数学问题。

本文将探讨平行线与圆的相交弦长的计算方法，并通过实例进行详细说明。

一、平行线与圆的关系平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线，它们的斜率是相等的。

圆是具有同心圆和半径相等的特点，由圆心和半径可以唯一确定一个圆。

当平行线与圆相交时，它们的相交弦长可以根据一些几何原理进行计算。

二、相交弦长计算方法1. 第一种情况：平行线与圆在同一平面内只有一条相交弦假设有一圆O，圆心为O，半径为r，和两条平行线l1和l2，l1和l2均与圆相交于相交弦AB。

根据几何原理可知，直径与所在弧上的弦垂直，因此AO⊥AB，BO⊥AB。

设垂足分别为H1和H2，连接OH1和OH2，因为OH1=OH2=r，所以三角形OAH1和OAH2是等腰直角三角形。

设CA为l1与圆的交点，BD为l2与圆的交点。

根据三角形的性质，可以得出以下关系：AO=OC=OH1=OH2=r∠AH1O=∠AOH1=90°∠AH2O=∠AOH2=90°∠AH1C=∠ACH1∠AH2D=∠ADH2∠ACH1=∠ADH2由于l1与l2平行，所以∠ACH1和∠ADH2是对应角，对应角相等。

因此，根据相交弦的性质可得：AB=CH1+HD所以，只需计算出CH1和HD的长度，就可以得出相交弦AB的长度。

2. 第二种情况：平行线与圆在同一平面内有两条相交弦假设有一圆O，圆心为O，半径为r，和两条平行线l1和l2。

与第一种情况类似，可以得到将圆分割成两个等腰直角三角形的两条相交弦AC和BD。

根据相交弦的性质可得：AC=CH1+HDBD=CH2+HD其中，CH1和CH2分别是l1与圆相交的两个弦的长度，HD是两条弦的公共部分的长度。

根据几何原理可知，CH1=CH2，因为l1与圆相交的两条弦等长。

因此，可以将AC和BD的长度相加，再减去HD的长度，即可得到两条相交弦的总长度。

直线和圆的位置关系的性质直线与圆位置关系的判定方法直线与圆相交的弦长公式

直线与圆的位置关系：由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

其图像如下：1、由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

2、性质：（1）直线l和⊙O相交d＜r（2）直线l和⊙O相切d=r；（3）直线l和⊙O相离d＞r。

直线和圆的位置关系的性质：（1）直线l和⊙O相交d＜r（2）直线l和⊙O相切d=r；（3）直线l和⊙O相离d＞r。

直线与圆位置关系的判定方法：(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由推出mx2+nx+p=0，利用判别式△进行判断．△>0则直线与圆相交；△=0则直线与圆相切；△<0则直线与圆相离．(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆，圆心到直线的距离d<r则直线和圆相交；d=r则直线和圆相切；d>r则直线和圆相离．特别提醒:(1)上述两种方法，以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷，而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断．(2)直线与圆相交，应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，可使解法简单.直线与圆位置关系的判定方法列表如下：直线与圆相交的弦长公式：（1）几何法：如图所示，直线l与圆C相交于A、B两点，线段AB 的长即为l与圆相交的弦长。

设弦心距为d，半径为r，弦为AB，则有|AB|=（2）代数法：直线l与圆交于直线l的斜率为k，则有当直线AB的倾斜角为直角，即斜率不存在时，|AB|=①相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

直线被圆截弦长问题

直线截圆弦长问题—求弦长〔一〕
直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法：
①利用半径 r 、弦心距 d 和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理
进行求解 .
②斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交与 A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕两点，那么AB =
1+k2x1 x2 〔弦长公式〕
1、求直线 l ： 2x-y-2=0被圆C:〔x-3〕2+y2=9截得的弦长AB的长。

2、求直线 l ： 3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦长AB的长。

3、求圆心在〔 1， -2 〕、半径为2√ 5 的圆在 x 轴上截得的弦长。

可编辑可修改
直线与圆弦长问题—求圆的方程〔二〕
1、圆的圆心在x 轴上，半径是5，且以 A(5,4) 为中点的弦长是2√ 5, 求这个圆的方程。

2、圆的圆心为C〔 -1,3 〕，直线 3x+4y-7=0 被圆截得的弦长为
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，求圆的方
5程。

可编辑可修改3、圆 C 的圆心在直线l 1： x-y-1=0上，圆 C 与直线 l 2:4x+3y+14=0相切，且圆
C截得直线 l 3:3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆的方程。

2、直线 l 经过点 P(-4 ， -3),且被圆〔 x+1〕2+〔y+2〕2=25 所截得的弦长为8，
求直线 l 的方程。

直线圆弦长问题—求直线方程〔三〕
1、过点 M(-3 ，-3) 的直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为4√5，求直线
l的方程。

3. 点 P〔0，5〕及圆 C：x2+y2+4x-12y+24=0,假设直线l过点P且被圆C截得的弦
长为 4 3 ,求直线l的方程。

人教A版高中数学必修2课件4.2.1直线与圆相交求弦长课件

故 a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 2 5 0或2 x 5 y 2 5 0;
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 (2)连接MB，MQ，设 P ( x, y ), Q(a,0), 由点M， 2 y2 P，Q在一直线上，得 ,(A) a x 由 | MB |2 | MP | | MQ |,即 x 2 ( y 2)2 a 2 4 1,( B ) 把（A）及（B）消去a，并注意到y<2 ，可得
2k 1 k2 1 k2 1 0 ( ) 1 , 2 2 2 1 k 1 k 1 k 2 即k2＝3，故k＝± 3. 答案：A
1 k 1 k
直线与圆相交求弦长
பைடு நூலகம்【变形训练】 2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1， Q是x轴上的动点，QA，QB分别切 4 2 ⊙M于A，B两点，(1)如果 | AB | 3 求直线MQ的方程； (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.
知识点—— 直线与圆相交求弦长
直线与圆相交求弦长
【求法】 1直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法： ①利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解. ②斜率为k的直线l与圆C交与A（x1，y1）， B（x2，y2）两点，则 AB 1 k 2 x1 x2 2.求两圆公共弦长有两种解题方法： ①联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间距离公式进行求解. ②求出两圆公共弦所在直线的方程，将问题转化为直线被圆截得的弦长问题. 方法一：勾股定理法方法二：弦长公式法.
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
4 2 | AB | 2 2 2 2 1 2 2 ) 1 ( ) , 解 (1)由 | AB | 可得 | MP | | MA | ( 2 3 3 3 2 | MB | | MP | | MQ | 得 | MQ | 3, 由相似比得

两个圆相交的公共弦长公式

两个圆相交的公共弦长公式标题：两个圆相交的公共弦长公式导语：两个圆相交时，我们更关心的是它们之间的公共弦长。

在数学中，我们可以通过一些公式来计算这个公共弦长。

本文将为您介绍两个圆相交的公共弦长公式。

一、切线与弦长的关系当两个圆相交时，我们可以发现，相交点两侧的切线与它们之间的弦长有着密切的关系。

具体而言，我们可以通过下面的公式来计算公共弦长。

公式一：公共弦长等于切线两端的弦长之和减去两个圆心之间的距离。

公共弦长 = 弦长1 + 弦长2 - 圆心距离二、余弦定理除了切线与弦长的关系外，我们还可以利用余弦定理来计算两个圆相交时的公共弦长。

余弦定理是三角学中的重要公式，通过计算两边和夹角的关系来求解第三边的长度。

公式二：公共弦长等于根号下（半径1的平方 + 半径2的平方 - 2倍半径1半径2的余弦）。

公共弦长= √(半径1² + 半径2² - 2 * 半径1 * 半径2 * 余弦θ)其中，半径1和半径2分别为两个相交的圆的半径，θ为两个圆心之间的夹角。

总结：无论是通过切线与弦长的关系还是利用余弦定理，我们都可以计算出两个圆相交时的公共弦长。

在实际问题中，这些公式为我们提供了便利，帮助我们更好地理解和分析圆之间的关系。

通过理论计算，我们能够更准确地预测圆的相交情况，为解决实际问题提供支持。

补充说明：虽然本文只介绍了两个圆相交情况下的公共弦长公式，但是对于更复杂的情况（如多个圆相交），我们也可以利用类似的方法来计算。

同时，还可以通过几何图形的分析来推导公共弦长的计算公式，这需要更深入的数学知识和技巧。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的需要选择使用合适的方法和公式来计算公共弦长。

直线过定点与圆所截弦长最短证明

直线过定点与圆所截弦长最短证明
设圆的圆心为 $O$，直线与圆的交点为 $A$，圆上一点为 $B$，弦 $BC$ 为圆的直径，直线过的定点为 $P$。
由于直线 $PA$ 过定点 $P$，我们可以将直线 $PA$ 看作一个已知长度的线段。现在我们需要证明，对于任意通过定点 $P$ 的直线，其与圆的交点 $A$ 到圆上任意一点 $B$ 所构成的弦的长度均大于直径 $BC$。
而弦 $AB$ 的长度小于直径 $BC$，因此 $AD$ 的长度小于 $PA$，即 $\frac{BC}{AD}>\frac{PA}{PB}$。因此，$\frac{PB}{PA}>\frac{PA}{PB}$，这与两个正数的比值不可能大于 1 的性质矛盾，因此假设不成立。
因此，对于任意通过定点 $P$ 的直线，其与圆的交点 $A$ 到圆上任意一点 $B$ 所构成的弦的长度均大于直径 $BC$。因此，与定点 $P$ 相交的弦长最短的直线必然是过点通过定点 $P$ 的一条直线 $l$ 与圆交于 $A$ 和 $B$ 两点，且弦 $AB$ 的长度小于直径 $BC$。此时，我们连接点 $O$ 和点 $A$，作直线 $AD$ 与直线 $l$ 平行，交圆于点 $C$。根据平行线之间的比例定理，可以得到：
\frac{PB}{PA}=\frac{BC}{AD}PAPB=ADBC