贵州省凯里市第一中学2016届高三数学一轮总复习 专题一 集合(含解析)

专题一、集合抓住3个高考重点
重点 1 集合的含义与表示
1.集合的含义，元素与集合的关系
2.集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图法
[高考常考角度]
角度 1 现有三个实数的集合，既可以表示为{,,1}b a a
，也可以表示为2{,,0}a a b +，则20142014a b +=____1____
解析：由已知得 0b a
=及0a ≠，所以0b =于是211a a ==>=（舍去）或1a =-，故201420142014(1)1a b +=-=
角度2设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2
x S ∈.给出如下三个命题： ①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =
，则02
m -≤≤.其中正确命题的个数是（ D ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：若
1,m =则211,{1}l l S l l
≥⎧=>=∴=⎨≤⎩，故①正确； 若1,2m =-当12x =-时，214
x S =∈，故min 14l =， 当x l =时，22x l S =∈，则201l l l ≤=>≤≤，故m a x 1l =，则114
l ≤≤，故②正确； 若1,2l =
则221201
2
m m m m ⎧≤⎪⎪=>≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩，故③正确. 重点 2 集合间的基本关系
1.集合的子集与真子集、空集、集合的相等
[高考常考角度]
角度1 设22{(,)(1)1},{(,)0},A x y x y B x y x y m =+-==++≥若A B A = ，则m 的取值
范围是
__1,)+∞___
解析：由A B A A B ==>⊆ ，需使得圆落在0x y m ++≥表示的区域内，即直线与圆相切或相离
1||11
m m ≥=>≥+=>≥，故1,)m ∈+∞ 角度2若{1},{1}P x x Q x x =<>-，则（ C ）
A. P Q ⊆
B. Q P ⊆
C. R P Q ⊆ð
D. R Q P ⊆ð 解析：{1}{1}R P x x P x x =<=>=≥ðR P Q =>⊆ð，故选C
角度3设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1
{|||N x x i =-<，i 为虚数单位，
x ∈R }，则M N 为（ C ）
A. (0,1)
B. (0,1]
C. [0,1)
D.
[0,1]
点评：确定出集合的元素是关键.本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点. 解析：由22|cos sin ||cos2|[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =；
因为1
||x i -<，所以||x i +，即|()|x i --x ∈R ，所以11x -<<，即(1,1)N =-；
所以[0,1)M N = ，故选C.
重点 3 集合的运算
1.集合的全集与补集、交集、并集
[高考常考角度]
角度1 50名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是 （B ）
A ．35
B ．25
C ．28
D ．15
解：利用韦恩图分析，全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x 人；
由跳远及格40人，可得仅跳远及格的人数为40x -人；
由铅球及格31人，可得仅铅球及格的人数为31x -人； 2项测验成绩均不及格的有4人
∴403145025x x x x -+-++==>= 故选B
角度2 （2011江西）若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}
U M N ===,则集合{5,6}等于
（ D ）
A. M N
B. M N
C. ()()U U M N 痧
D. ()()U U M N 痧
解：
{}1,2,3,4M N = ,M N =∅ ,()(){
1,2,3,4,5,6}U U M N = 痧,()(){}5,6U U M N ⋂=痧
说明：对偶原理及其应用
突破2个高考难点
难点1 补集思想的应用
典例 已知集合2{|20},{|49},A x x x a B x a x a =++≤=≤≤-若,A B 中至少有一个不是空集，则a 的取值范围是_____(,1][3,)-∞+∞ ______
解析：由,A B 中至少有一个不是空集的反面是,A B 全为空集，则有4401349a a a a -<⎧=><<⎨>-⎩
， 从而则满足题意的a 的取值范围是(,1][3,)-∞+∞
难点2 集合创新问题的探究
典例 设数集3
1{|},{|},43
M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤且,M N 都是集合{|01}Q x x =≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的“长度”的最小值是（ C ）
A ．13
B ．23
C ．112
D ．512
解析：由已知,M Q N Q ⊆⊆可得010,3414m m m ≥⎧⎪=>≤≤⎨+≤⎪⎩ 1011331n n n ⎧-≥⎪=>≤≤⎨⎪≤⎩
当,m n 取上下限时，有3[0,]4M = 或1[,1],4
M = 1[0,]3N =或2
[,1]3
N = 取m 的最小值0，n 的最大值1，得3[0,],4M = 2[,1]3
N = 3223[0,][,1][,]4334M N == ，此时集合M N 的“长度”取到最小值，为
3214312
-=，故选C
规避2个易失分点
易失分点1 忽视空集
典例 设{|26},{|23},A x x B x a x a =≤≤=≤≤+若B A ⊆，则实数a 的取值范围是___[1,)+∞________
易失分提示：由B A ⊆可知，有B =∅和B ≠∅两种情况，容易忽略空集的情况. 解析：当B =∅时，233a a a >+=>>
当B ≠∅时，2322
1336a a a a a ≤+⎧⎪≥=>≤≤⎨⎪+≤⎩
综上得 1[1,)a a ≥=>∈+∞
易失分点2 忽视集合中元素的三特性
典例 设数集2{1,3,},{,1},A x B x ==且{1,3,}A B x = ，则x 的不同取值的个数是（ B ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
易失分提示：不能从222
1,3,x x x x ===来考虑，否则会得出5个值，必须考虑元素的互异性.
解析：由2{1,3,}A B x A B A x A ===>⊆=>∈ 且21x ≠ 当23x =
时，x =
当2x x =时，0x =或1x =（舍去）故1x =，所以符合题意的x 的不同取值的个数为3个，选B
直接思考：A 中有3个元素，B 中有2个元素，但A B 中有3个元素，故有2个元素重复，
所以当23x =
时，x =
当2x x =时，0x =或1x =（舍去）故1x =，
所以符合题意的x 的不同取值的个数为3个，选B。