2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2习题第一章导数及其应用滚动训练一Word版含解析

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2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章导数及其应用 1.6 Word版含解析

§1.6 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点一微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )；②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃb a c d x ＝cx |b a (c 为常数)．②ʃb a x n d x ＝ ⎪⎪1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)．③ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a .④ʃb a cos x d x ＝sin x |b a .⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)． ⑥ʃb ae x d x ＝e x |b a .⑦ʃb a a x d x ＝ ⎪⎪a x ln a b a (a >0且a ≠1)．⑧ʃb a x d x ＝⎪⎪⎪2332x b a (b >a >0)．知识点二定积分和曲边梯形面积的关系思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．梳理设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃb a f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图③，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.1．若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．( × ) 2．微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( √ )3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ )类型一求定积分命题角度1 求简单函数的定积分例1 计算下列定积分．(1)ʃ10(2x ＋e x )d x ；(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ； (3)π220(sin cos )d ;22x x x -⎰ (4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )|21。

2018年高中数学人教A版选修2-2第1章导数及其应用1.1.3习题含解析.docx

人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修2-2 习题1.1.3导数的几何意义课时过关 ·能力提升基础巩固1 已知函数y=f (x)的图象如图所示,则f'( x A)与f'( x B)的大小关系是()A.f' (x A)>f' (x B )B.f' (x A )<f' (x B )C.f' (x A )=f' (x B )D.不能确定解析由题图知f(x)在点A,B处的切线斜率kA,k B 满足kA<k B< 0.由导数的几何意义,得f' (x A)<f' ( x B) .答案 B2 已知曲线y=f (x)= x2- 2上一点P- ,则曲线在点 P 处的切线的倾斜角为 ()A.30°B.45°C.135°D.165 °解析∵y=x2 -2,- --∴y'====x.∴y'|x= 1= 1.∴曲线在点P-处切线的斜率为1,即切线的倾斜角为45°.故选 B.答案 B3若曲线y=f ( x)=x2在点 P 处的切线斜率为k,则当 k= 2 时点 P 的坐标为 () A.( -2,-8) B.( -1,-1)C.(1,1)D. --解析设点 P 的坐标为 ( x0,y0),-则 k=f' (x0) =1-( x+ 2·x0)= 2x0,=即2x0 =2.所以x0= 1,此时y0 == 12=1.故点 P 的坐标为 (1,1).故选 C.答案 C4 已知曲线y=f (x)= 2x2+ 4x在点P处的切线斜率为16,则点 P 的坐标为.解析设P(x0,2 + 4x0),-则 f'(x0)=== 4x0+ 4.∵f' (x0)= 16,∴4x0+ 4= 16.∴x0= 3.故点 P 的坐标为 (3,30) .答案 (3,30)5 已知函数y=f (x),y=g ( x),y=h ( x)的图象如图所示:其对应导数的图象如图①②③:则曲线 y=f' (x)对应图象;曲线 y=g' (x)对应图象; 曲线 y=h' (x)对应图象. (只填序号 )解析由导数的几何意义 ,知 y=f (x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则曲线 y=f' (x)对应图象②;y=g (x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故曲线 y=g'( x)对应图象③;y=h ( x)上任一点处的切线斜率都大于零 ,且先小后大 ,故曲线 y=h' (x)对应图象①.答案② ③ ①6 若曲线y=f ( x)= 2x2-4x+p与直线y= 1相切,则p=.解析设切点坐标为 (x0,1),∵f' (x0)=2-==(2 x+ 4x0-4)= 4x0- 4, 由题意知 4x0-4=0,∴x0= 1,即切点坐标为(1,1).∴1=2-4+p. ∴p= 3.答案 37 若直线l与曲线C满足下列两个条件:(1)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切 ;(2)曲线 C 在点 P 附近位于直线l 的两侧 ,则称直线l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①直线 l :y= 0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x 3②直线 l :x=- 1 在点 P(- 1,0)处“切过”曲线 C:y= (x+ 1) 2③直线 l :y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y= sin x④直线 l :y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y= tan x⑤直线 l :y=x- 1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y= ln x答案①③④8 求证:函数f(x)=x+图象上各点处的切线的斜率小于1.证明∵f' (x)=-=-= 1- < 1,∴f(x) =x+ 图象上各点处的切线的斜率小于 1.9 已知曲线y=f (x)=上的两点 P(2,-1),Q -.-求:(1) 曲线在点 P、点 Q 处的切线的斜率 ;(2)曲线在点 P、点 Q 处的切线方程 .分析由导数的几何意义 ,可知求曲线在点 P、点 Q 处的切线斜率即求曲线在x= 2,x=- 1 处的导数 ,求出斜率就易求切线方程了 .解把 P(2,-1)代入 y=,得 t= 1,即 y= .--所以 y'=---=-=--3人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修2-2 习题=- --. -(1)曲线在点 P 处的切线斜率为y'|x= 2 ==1,-曲线在点 Q 处的切线斜率为y'|x=- 1 = .(2)曲线在点 P 处的切线方程为y-(- 1)=x- 2,即 x-y-3= 0,曲线在点 Q 处的切线方程为y-[x-(-1)], 即 x-4y+ 3=0.能力提升1 曲线y=x3+ 11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为()A.- 9B.-3C.9D.15解析由已知得切线的斜率k=y'|x= 1= 3,所以切线方程为y-12= 3(x-1),即 3x-y+ 9=0.令 x= 0,得 y= 9,所以切线与 y 轴交点的纵坐标为9.答案 C2 下列说法正确的是()A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.过曲线上一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若 f' (x0)不存在 , 则曲线 y=f (x)在点 (x0,f(x0)) 处无切线D.若曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0 ))处有切线 ,则 f'(x0) 不一定存在解析当切线平行 ( 或重合 ) 于 y 轴时 ,切线斜率不存在,则 f' (x0)不存在.答案 D★ 3 已知a> 0,f(x)=ax2+bx+c ,曲线y=f (x)在点P(x0,f(x0))处的切线的倾斜角的取值范围为,则点 P 到曲线 y=f (x)的对称轴的距离的取值范围是()A. B.C. D.--解析 f'(x)=-===2ax+b.4因为曲线在点P(x0,f(x0))处的切线的倾斜角的取值范围为,所以 0≤2ax0+b ≤1,又点 P 到曲线 y=f (x)的对称轴的距离为.所以.答案 B4 已知曲线y=f (x)=x3上一点 P,则 f(x) 在点 P 处的切线的斜率为,在点 P 处的切线方程为.解析由导数的定义易得f' (x0)=,所以 f(x) 在处的切线的斜率为 4.所以切线方程为 y- =4(x-2),即12x-3y-16= 0.答案 412x-3y-16= 05 如图是函数f( x)及f(x)在点P处切线的图象,则f(2)+f' (2)=.解析由题意可得 f(x)在点 P 处的切线方程为=1,其斜率 k=- =- .又点 P(2,f(2)) 为切点 ,∴f' (2)=-,且= 1,解得 f(2)= .∴f(2)+f' (2)= .答案6 已知曲线y=f (x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则 a=.解析因为 f'(a)=-= 3a2,所以曲线在点 (a,a3)处的切线方程为y-a3= 3a2(x-a ),切线与 x 轴的交点坐标为.所以三角形的面积为-·|a3|=, 解得 a= ±1.答案±1★7 已知函数y=f (x)= -1(a>0)的图象在x= 1处的切线为 l, 求 l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.分析先求出 f(x)在 x= 1 处的切线 l 的方程 ,再求得 l 与两坐标轴围成的三角形的面积,利用不等式求面积的最小值 .解∵ y=-1-+ 1=,∴.当 x 无限趋近于0 时 ,趋近于,5即f'(x)= .∴f' (1)= .又f(1)= -1,∴f(x) 在 x= 1 处的切线l 的方程是y- +1= (x-1).令x= 0,得 y=- -1.令 y= 0,得 x=.∴l 与两坐标轴围成的三角形的面积为S= --=×(2+ 2)= 1.当且仅当a=,即 a= 1 时 ,直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小,且最小值为 1.6。

2018-2019版高中数学第一章导数及其应用滚动训练一新人教A版选修2-2

第一章导数及其应用滚动训练一(§1.1～§1.2)一、选择题1．自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．从x0到x1的平均变化率B．在x＝x1处的变化率C．在x＝x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数考点平均变化率题点函数的平均变化率答案 A解析ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0表示函数从x0到x1的平均变化率．2．下列求导结果正确的是( )A．(a－x2)′＝1－2x B．(2x3)′＝3xC．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x)]′＝12x 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 B解析根据题意，依次分析选项：对于A，(a－x2)′＝a′－(x2)′＝－2x，故A错误；对于B，(2x3)′＝()′＝2×32×＝3x，故B正确；对于C，(cos 60°)′＝0，故C错误；对于D，[ln(2x)]′＝(2x)′12x＝1x，故D错误．故选B.3．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为( )A.13B．0C．1 D．2考点导数乘除法则及运算题点导数乘除法则及运算答案 C解析 y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )，由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.4．曲线y ＝ln x 在点M 处的切线过原点，则该切线的斜率为( )A ．1B ．eC ．－1eD.1e 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 D解析设M (x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 得y ′＝1x，所以切线斜率k ＝＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．由题意得0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)＝－1，即ln x 0＝1，所以x 0＝e.所以k ＝1x 0＝1e，故选D. 5．已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋1(a ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 016)＋f (－2 016)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)等于( )A ．2 017B ．2 016C ．2D ．0 考点导数的加减法则及运算题点导数的加减法则及运算答案 C解析函数的导数f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，则f ′(x )为偶函数，则f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝f ′(2 017)－f ′(2 017)＝0，由f (x )＝a sin x ＋bx 3＋1，得f (2 016)＝a sin 2 016＋b ·2 0163＋1， f (－2 016)＝－a sin 2 016－b ·2 0163＋1，则f (2 016)＋f (－2 016)＝2，则f (2 016)＋f (－2 016)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝2＋0＝2，故选C.6．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．2答案 A解析由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.7．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出四个函数：①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x ，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，其中有“巧值点”的函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 B解析根据题意，依次分析所给的函数：①若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，由x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，①符合要求；②若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，②不符合要求；③f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求； ④f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝1cos 2x，即sin x cos x ＝1，变形得sin 2x ＝2，无解，④不符合要求，故选B. 8．若函数f (x )＝－1be ax (a >0，b >0)的图象在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值为( )A ．4B ．2 2C ．2 D. 2 考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 D解析函数的导数为f ′(x )＝－1be ax ·a ，所以f ′(0)＝－1b e 0·a ＝－a b，即在x ＝0处的切线斜率k ＝－a b ，又f (0)＝－1b e 0＝－1b，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b ，所以切线方程为y ＋1b ＝－a bx ，即ax ＋by ＋1＝0. 圆心到直线ax ＋by ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1，所以a 2＋b 2＝1≥2ab ，即0<ab ≤12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1，所以(a ＋b )2＝2ab ＋1≤1＋1＝2，即a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，所以a ＋b 的最大值是2，故选D.二、填空题9．已知函数f (x )＝mx m －n 的导数为f ′(x )＝8x 3，则m n＝________. 考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案 14解析 ∵函数f (x )＝mx m －n 的导数为f ′(x )＝m (m －n )x m －n －1，∴m (m －n )＝8且m －n －1＝3，解得m ＝2，n ＝－2，由此可得m n ＝2－2＝14. 10．若某物体做运动方程为s ＝(1－t )2(位移单位为m ，时间单位为s)的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度v 为________ m/s.考点导数的几何意义的应用题点导数的物理意义答案 0.4解析 ∵s ＝t 2－2t ＋1，∴s ′＝2t －2，∴v ＝s ′|t ＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．11．函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝________.考点导数的乘除法则及运算题点导数的乘除法则及运算答案－6解析 ∵f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)，令g (x )＝x (x －2)(x －3)(x －4)，则f (x )＝(x －1)g (x )∴f ′(x )＝(x －1)′g (x )＋(x －1)g ′(x )＝g (x )＋(x －1)g ′(x )，则f ′(1)＝g (1)＋(1－1)g ′(1)＝g (1)，∵g (1)＝1×(1－2)(1－3)(1－4)＝－6，∴f ′(1)＝g (1)＝－6.12．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 2解析令y ′＝2x －1x ＝1，得x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍去，故当点P 坐标为(1,1)时，它到已知直线的距离最小，最小距离d ＝|1－1－2|2＝ 2. 三、解答题13．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线，求切线l 的方程．考点求函数在某点处的切线方程题点求函数在某点处的切线方程解 ∵f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1，∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1，∴f ′(0)＝－1， ∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝cos x ＋e －x ＋x2 016，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2 017(x )等于( ) A ．－sin x ＋e －xB ．cos x －e －xC ．－sin x －e －xD ．－cos x ＋e －x 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 C解析 f 1(x )＝f ′(x )＝－sin x －e －x ＋2 016x 2 015，f 2(x )＝f 1′(x )＝－cos x ＋e －x ＋2 016×2 015×x 2 014，f 3(x )＝f 2′(x )＝sin x －e －x ＋2 016×2 015×2 014x 2 013，f 4(x )＝f 3′(x )＝cos x ＋e －x ＋2 016×2 015×2 014×2 013x 2 012，…，∴f 2 016(x )＝f ′2 015(x )＝cos x ＋e －x＋2 016×2 015×2 014×2 013× (1)∴f 2 017(x )＝－sin x －e －x ，故选C.15．已知函数f (x )＝x 3－3x 及曲线y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)若直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点P ，求直线l 的方程；(2)若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，且切点异于点P ，求直线l 的方程．考点求函数过某点的切线方程题点求函数过某点的切线方程解 (1)由f (x )＝x 3－3x ，得f ′(x )＝3x 2－3.过点P 且以P (1，－2)为切点的直线l 的斜率为f ′(1)＝0，故所求直线l 的方程为y ＝－2.(2)设过点P (1，－2)的直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，x 30－3x 0)．由f ′(x 0)＝3x 20－3，得直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．又直线l 过点P (1，－2)，所以－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，即(x 0－1)2(x 0＋2)＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故直线l 的斜率k ＝－94，故直线l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.3.3 Word版含解析

1.3.3 函数的最大(小)值与导数课时过关·能力提升基础巩固1已知f (x )是[a ,b ]上的连续函数,且在(a ,b )内可导,则下列结论中正确的是( )A.f (x )的极值点一定是最值点B.f (x )的最值点一定是极值点C.f (x )在[a ,b ]上可能没有极值点D.f (x )在[a ,b ]上可能没有最值点解析根据函数的极值与最值的概念判断知选项A,B,D 都不正确,只有选项C 正确.答案C2若函数f (x )=-x 3+3x 2+9x+a 在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为()A.-5B.7C.10D.-19解析f'(x )=-3x 2+6x+9=-3(x 2-2x-3)=-3(x+1)(x-3).令f'(x )=0,得x=-1或x=3.f (-1)=1+3-9+a=a-5,f (-2)=8+12-18+a=a+2.由题意知f (-2)=f (x )max =2+a=2,∴a=0,∴f (x )min =f (-1)=a-5=-5.答案A3函数f (x )=x e -x 在[0,4]上的最大值为( )A.0B.1eC.4e 2D.2e 2解析f'(x )=1-x e x ,令f'(x )=0,得x=1.当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )的最大值为f (1)=1e .答案B4已知f (x )=2x 3-6x 2+a (a 为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数f (x )在[-2,2]上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.-8解析f'(x )=6x 2-12x ,令f'(x )=0,得x=0或x=2.由f (-2)=-40+a ,f (0)=a ,f (2)=-8+a ,则f (0)=a=3⇒f (-2)=-40+a=-37.故选A.答案A5若函数f (x )=x 3+2ax 2+1在区间[0,1]上的最小值为f (1),则a 的取值范围为 .解析f'(x )=3x 2+4ax ,f (x )在[0,1]上的最小值为f (1),说明f (x )在[0,1]上单调递减,所以当x ∈[0,1]时,f'(x )≤0恒成立,即3x+4a ≤0恒成立.所以a ≤-34x 恒成立.故a ≤-34.答案(-∞,-34]6函数f (x )=x 3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是 .解析f'(x )=3x 2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x )=0,则x=-1或x=1(舍去).f (-1)=3,f (0)=1,f (-3)=-17,所以f (x )max =f (-1)=3,f (x )min =f (-3)=-17.答案3,-177求函数y=f (x )=x 3-32x 2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解先求导数,得y'=3x 2-3x.令y'=0,即3x 2-3x=0,解得x 1=1,x 2=0.因为f (-2)=-9,f (0)=5,f (1)=92,f (2)=7,故y max =7,y min =-9.8已知函数f (x )=x 3-ax 2+bx+c (a ,b ,c ∈R ),(1)若函数f (x )在x=-1和x=3处取得极值,试求a ,b 的值;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,6]时,f (x )<2|c|恒成立,求c 的取值范围.解(1)f'(x )=3x 2-2ax+b , ∵函数f (x )在x=-1和x=3处取得极值,∴-1,3是方程3x 2-2ax+b=0的两根.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.6 Word版含解析

= (2-1)6- (1-1)6= .
能力提升
1若S1= x2dx,S2= dx,S3= exdx,则S1,S2,S3的大小关系为()
A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3
C.S2<S3<S1D.S3<S2<S1
解析S1= x2dx= x3 ×23- ×13= ,S2= dx=lnx =ln2-ln1=ln2<lne=1,S3= exdx=ex =e2-e=e(e-1)>e> ,
A.4x+3B.3x+4
C.-4x+2D.-3x+4
解析由题知f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0),
则 f(x)dx= (ax+b)dx
= axdx+ bdx= a+b=5,
xf(x)dx= x(ax+b)dx
= (ax2)dx+ bxdx= a+ b= .
由解得a=4,b=3,
故f(x)=4x+3.
1
课时过关·能力提升
基础巩固
1下列定积分的值等于1的是()
A. xdxB. (x+1)dx
C. 1dxD. dx
解析 1dx=x =1-0=1,故选C.
答案C
2 dx的值为()
A.-2ln 2B.2ln 2
C.-ln 2D.ln 2
解析 dx=lnx =ln2.
答案D
3 (x3+x2-30)dx的值为()
(1) (2x+3)dx;
(2) (4x-x2)dx;
(3) (x-1)5dx.
解(1)因为(x2+3x)'=2x+3,

2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用检测A

第一章检测(A )(时间:90分钟　满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x 2+ax+b 在点(0,b )处的切线方程是x-y+1=0,则( )A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a ,∴曲线y=x 2+ax+b 在(0,b )处的切线的斜率为a ,切线方程为y-b=ax ,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f (x )=ax 5+bx 3+c 满足f'(1)=2,则f'(-1)等于( )A.-1 B.-2C.2D.0解析f'(x )=5ax 4+3bx 2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f (x )=a ln x+x 在x=1处取得极值,则a 的值为( )A. B.-1 C.0D.-1212解析f'(x )=+1,令f'(x )=0,得x=-a ,ax 易知函数f (x )在x=-a 处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f (x )的导数f'(x )=a (x+1)(x-a ),且f (x )在x=a 处取得极大值,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,+∞)答案B5设f (x )=f (x )d x 等于( ){x 2,x ∈[0,1],1x,x ∈(1,e ],则∫e0A. B. C. D.43546576解析f (x )d x=x 2d x+d x=x 3+lnx.故选A.∫e 0∫10 ∫e 11x 13|10|e1=43答案A6已知点P 在曲线y=上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )4e x+1A.B.[0,π4)[π4,π2)C. D.(π2,3π4][3π4,π)解析因为0>y'=≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以≤α<π.-4ex(e x+1)2=-4e x +2+1e x 3π4答案D7(e x +2x )d x 等于( )∫1A.1B.e -1C.eD.e +1解析∵(e x +x 2)'=e x +2x ,∴(e x +2x )d x=(e x +x 2)=(e 1+12)-(e 0+0)=e .∫1|10答案C8设a ∈R ,若函数y=e ax +3x ,x ∈R 有大于零的极值点,则( )A.a>-3B.a<-3C.a>-D.a<-1313解析令y'=a e ax +3=0,∴e ax =-.3a 设x=x 0为大于0的极值点,∴=-.eax 03a ∴a<0,ax 0<0.∴0<<1,eax 0即0<-<1.∴a<-3.3a 答案B9设a<b ,函数y=(x-a )2(x-b )的图象可能是( )解析y'=2(x-a )(x-b )+(x-a )2=(x-a )(3x-a-2b ),令y'=0,得x=a 或x=.a +2b 3∵a<b ,∴a<.a +2b3∴当x=a 时,y 取极大值0;当x=时,y取极小值,且极小值小于零.故选C .a +2b3答案C10若函数f (x ),g (x )满足f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函∫1-1数:①f (x )=sin x ,g (x )=cos x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.1212其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析对于①,sin x ·cos x d x∫1-11212=sin x d x=sin x d x∫1-11212∫1-1=(-cos x ){-cos 1-[-cos(-1)]}12|1-1=12=(-cos 1+cos 1)12=0.故①为一组正交函数;对于②,(x+1)(x-1)d x=(x 2-1)d x∫1-1∫1-1=-1-(13x 3-x)|1-1=13(-13+1)=-2=-≠0,2343故②不是一组正交函数;对于③,x ·x 2d x=x 3d x==0.∫1-1∫1-1(14x 4)|1-1故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11d x= .∫-1-21(11+5x )3解析取F (x )=-,110(5x +11)2从而F'(x )=.1(11+5x )3则d x=F (-1)-F (-2)∫-1-21(11+5x )3=-.110×62+110×12=110‒1360=772答案77212若函数f (x )在x=a 处的导数为A (aA ≠0),函数F (x )=f (x )-A 2x 2满足F'(a )=0,则A= . 解析由题知f'(a )=A ,又F'(x )=f'(x )-2A 2x ,且F'(a )=f'(a )-2aA 2=A-2aA 2=0.∵aA ≠0,∴A=.12a 答案12a13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,∴f'(t )=+1,∴f'(1)=2.1t 答案214设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .1x解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=,可得y'=-,因为曲线y=(x>0)在点P 处1x 1x 21x 的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-=-1,解得x P =1,由y=,得y P =1,故所求点P 的坐标1x 2P1x 为(1,1).答案(1,1)15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .∫10解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴f (x )d x=(ax+4-3a )d x∫1∫10=a+4-3a=1,[12ax 2+(4-3a )x ]|10=12∴a=.∴b=.∴f (x )=x+.65256525答案f (x )=x+6525三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分d x 的值.∫0-1 x 2x 2+2x解d x=d x∫0-1 x 2x 2+2x∫0-1 x 2+2x -2x x 2+2x =d x∫0-1 (1-2x +2)=1d x-d x∫0-1∫0-12x +2=1-2d x=1-2ln(x+2)=1-2ln 2.∫0-11x +2|0-117(8分)已知曲线f (x )=2x 3-3x ,过点M (0,32)作曲线f (x )的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N (x 0,2-3x 0),x 30由导数的几何意义知切线的斜率k 就是切点处的导数值,而f'(x )=6x 2-3,所以切线的斜率k=f'(x 0)=6-3.x 20所以切线方程为y=(6-3)x+32.x 20又点N 在切线上,所以2-3x 0=(6-3)x 0+32,解得x 0=-2.x 30x 20故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=x 3+3-ln x的单调区间.13解函数的定义域为(0,+∞),y'=x 2-.1x =(x -1)(x 2+x +1)x 令y'>0,则解得x>1;{(x -1)(x 2+x +1)x>0,x >0,令y'<0,则{(x -1)(x 2+x +1)x<0,x >0,解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f (x )=a (x-5)2+6ln x ,其中a ∈R ,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6).(1)确定a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间与极值.解(1)因f (x )=a (x-5)2+6ln x ,故f'(x )=2a (x-5)+.6x 令x=1,得f (1)=16a ,f'(1)=6-8a ,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-16a=(6-8a )(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.12(2)由(1)知,f (x )=(x-5)2+6ln x (x>0),12f'(x )=x-5+.6x =(x -2)(x -3)x 令f'(x )=0,解得x 1=2,x 2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x )>0,故f (x )的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x )<0,故f (x )的单调递减区间为(2,3).由此可知f (x )在x=2处取得极大值f (2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f (3)=2+6ln 3.9220(10分)已知f (x )=a (x-ln x )+,a ∈R .2x -1x 2(1)讨论f (x )的单调性;(2)当a=1时,证明f (x )>f'(x )+对于任意的x ∈[1,2]成立.32解(1)f (x )的定义域为(0,+∞).f'(x )=a-.a x ‒2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=.a (x -1)x 3(x -2a)(x +2a)①0<a<2时,>1,2a 当x ∈(0,1)或x ∈时,f'(x )>0,f (x )单调递增,(2a,+∞)当x ∈时,f'(x )<0,f (x )单调递减.(1,2a)②a=2时,=1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.2a ③a>2时,0<<1,2a 当x ∈或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,(0,2a)当x ∈时,f'(x )<0,f (x )单调递减.(2a,1)综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;(1,2a )(2a,+∞)当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f (x )在内单调递增,在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.(0,2a )(2a,1)(2)由(1)知,a=1时,f (x )-f'(x )=x-ln x+=x-ln x+-1,x ∈[1,2].2x -1x 2‒(1-1x‒2x2+2x 3)3x +1x 2‒2x 3设g (x )=x-ln x ,h (x )=-1,x ∈[1,2].3x +1x 2‒2x 3则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=≥0,x -1x可得g (x )≥g (1)=1,当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=,-3x 2-2x +6x 4设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减,因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0.所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.由h (1)=1,h (2)=,可得h (x )≥h (2)=,1212当且仅当x=2时取得等号.所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=,32即f (x )>f'(x )+对于任意的x ∈[1,2]成立.32。

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题第1章导数及其应用1.3.1 含答案

选修2-2 第一章 1.3 1.3.1一、选择题1．在下列结论中，正确的有导学号 10510175( ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的，则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] A[解析] 分别举反例：(1)y ＝ln x ，(2)y ＝1x (x >0)，(3)y ＝2x ，(4)y ＝x 2，故选A.2．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则导学号 10510176( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤13[答案] A[解析] f ′(x )＝3ax 2－1≤0恒成立，∴a ≤0.3．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是导学号 10510177( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) [答案] D[解析] 设F (x )＝f (x )g (x )，当x <0时， ∵f ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0. ∴F (x )当x <0时为增函数．∵F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－F (x )．故F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上亦为增函数．已知g (－3)＝0，必有F (－3)＝F (3)＝0.构造如图的F (x )的图象，可知F (x )<0的解集为x ∈(－∞，－3)∪(0,3)．故选D.4．(2016·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是导学号10510178()A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2x ln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是导学号10510179()[答案] C[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.6．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则导学号 10510180( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2017)>e 2017f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2017)>e 2017f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2017)<e 2017f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2017)<e 2017f (0) [答案] C[解析] ∵函数F (x )＝f (x )ex 的导数f ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0，∴函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的减函数，∴F (2)<F (0)，即f (2)e 2<f (0)e 0，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2017)<e 2017f (0)．故选C. 二、填空题7．(2016·烟台高二检测)函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________.导学号 10510181[答案] (－∞，－1)[解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为 (2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．8．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.导学号 10510182[答案] (－∞，0][解析] ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3，又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数， f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．9．(2016·长沙高二检测)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________.导学号 10510183[答案] b ≤－1[解析] f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋bx ＋2≤0，∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1.三、解答题10．(2016·太原高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a 、b ∈R )的图象过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.导学号 10510184(1)求a 、b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)∵函数f (x )的图象过点P (1,2)， ∴f (1)＝2. ∴a ＋b ＝1.①又函数图象在点P 处的切线斜率为8， ∴f ′(1)＝8，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴2a ＋b ＝5.②解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3，令f ′(x )>0，可得x <－3或x >13；令f ′(x )<0，可得－3<x <13.∴函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13).一、选择题1．(2015·新课标Ⅱ理，12)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是导学号 10510185( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)[答案] A[解析] 记函数g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，因为当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，故当x >0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)上单调递增，且g (－1)＝g (1)＝0.当0<x <1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x <－1时，g (x )<0，则f (x )>0，综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.2．(2016·北京高二检测)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是导学号 10510186( )①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x ，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，⑤f (x )＝x ＋1xA ．2B ．3C ．4D ．5[答案] B[解析] ①中的函数f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，要使f (x )＝f ′(x )，则x 2＝2x ，解得x ＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则e －x ＝－e －x ，由对任意的x ，有e－x>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则ln x ＝1x，由函数f (x )＝ln x 与y ＝1x 的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则tan x ＝1cos 2x，即sin x cos x ＝1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则x ＋1x ＝1－1x 2，即x 3－x 2＋x ＋1＝0，设函数g (x )＝x 3－x 2＋x＋1，g ′(x )＝3x 2－2x ＋1>0且g (－1)<0，g (0)>0，显然函数g (x )在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.二、填空题3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(2a －3)x －1.导学号 10510187 (1)若f (x )的单调减区间为(－1,1)，则a 的取值集合为________． (2)若f (x )在区间(－1,1)内单调递减，则a 的取值集合为________． [答案] (1){0} (2){a |a <0}[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2a －3＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)． (1)∵f (x )的单调减区间为(－1,1)， ∴－1和1是方程f ′(x )＝0的两根，∴3－2a3＝1，∴a ＝0，∴a 的取值集合为{0}． (2)∵f (x )在区间(－1,1)内单调递减，∴f ′(x )<0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y ＝f ′(x )开口向上，一根为－1，∴必有3－2a3>1，∴a <0，∴a 的取值集合为{a |a <0}．4．在区间[－a ，a ](a >0)内图象不间断的函数f (x )满足f (－x )－f (x )＝0，函数g (x )＝e x ·f (x )，且g (0)·g (a )<0，又当0<x <a 时，有f ′(x )＋f (x )>0，则函数f (x )在区间[－a ，a ]内零点的个数是________.导学号 10510188[答案] 2[解析] ∵f (－x )－f (x )＝0，∴f (x )为偶函数， ∵g (x )＝e x ·f (x )，∴g ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )]>0， ∴g (x )在[0，a ]上为单调增函数，又∵g (0)·g (a )<0，∴函数g (x )＝e x ·f (x )在[0，a ]上只有一个零点，又∵e x ≠0，∴f (x )在[0，a ]上有且仅有一个零点，∵f (x )是偶函数，且f (0)≠0，∴f (x )在[－a ，a ]上有且仅有两个零点．三、解答题5．(2016·广德高二检测)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .导学号 10510189 (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a <0时f ′(x )＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：∞)．(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ，由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立，即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h (x )＝1x －x 2，x ∈[1,2]，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x )<0，∴h (x )在[1,2]上为减函数．h (x )min ＝h (2)＝－72，∴a ≤－72，故a 的取值范围为{a |a ≤－72}．6．(2016·山师附中高二检测)已知函数f (x )＝a ln x ＋2a 2x ＋x (a >0)．若函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直.导学号 10510190(1)求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝a x －2a 2x 2＋1，∵f ′(1)＝－2，∴2a 2－a －3＝0， ∵a >0，∴a ＝32.(2)f ′(x )＝32x －92x 2＋1＝2x 2＋3x －92x 2＝(2x －3)(x ＋3)2x 2，∵当x ∈(0，32)时，f ′(x )<0；当x ∈(32，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )的单调递减区间为(0，32)，单调递增区间为(32，＋∞)．。

2018-2019版高中数学第一章导数及其应用滚动训练二新人教A版选修2-2

第一章导数及其应用滚动训练二(§1.3～§1.4)一、选择题1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案 C解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点．2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．a＝1C．(－∞，1] D．(0,1)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数单调性求参数(或其范围)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案 C解析依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，由于a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．4．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时的x 值为( )A ．0 B.π6 C.π3D.π2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析由f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得sin x ＝12，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )>0；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，故当x ＝π6时取得最大值．5．已知函数f (x )＝x 2(ax ＋b )(a ，b ∈R )在x ＝2处有极值，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(0,2) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间答案 B解析 ∵f (x )＝ax 3＋bx 2，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ×22＋2b ×2＝0，3a ＋2b ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，则0<x <2.6．已知f (x )＝x ＋bx在(1，e)上为单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，1]∪[e 2，＋∞) B ．(－∞，0]∪[e 2，＋∞) C ．(－∞，e 2]D ．[1，e 2]考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析若b ≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，若b >0，则函数的导数f ′(x )＝1－b x 2＝x 2－bx2，由f ′(x )>0得x >b 或x <－b ，此时函数单调递增，由f ′(x )<0得－b <x <b ，此时函数单调递减，若函数f (x )在(1，e)上为单调递增函数，则b ≤1，即0<b ≤1，若函数f (x )在(1，e)上为单调递减函数，则b ≥e，即b ≥e 2，综上b ≤1或b ≥e 2，故选A.7．已知函数f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案 B解析从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．8．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]考点利用导数求函数中参数的取值范围最新中小学教案、试题、试卷题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 C解析当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x2x＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题9．若函数f (x )＝x 3＋32x 2＋m 在区间[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案 2解析 f ′(x )＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1. 又f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，最新中小学教案、试题、试卷∴当x ∈[－2,1]时，最大值为f (1)＝m ＋52，∴m ＋52＝92，∴m ＝2.10.已知函数f (x )的导函数f ′(x )是二次函数，如图是f ′(x )的大致图象，若f (x )的极大值与极小值的和等于23，则f (0)的值为________．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案 13解析 ∵其导函数的函数值应在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数， ∴函数在x ＝－2时取得极大值，在x ＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f (0))对称，由f (x )的极大值与极小值之和为23，得f (－2)＋f (2)＝2f (0)，∴23＝2f (0)，则f (0)的值为13. 11．已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e解析 ∵f ′(x )＝e x(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1. 三、解答题12．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4) 考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题。

高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习及答案

解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
求下列函数的导数：（1）y = e3x+2 ；（2）ln(2x − 1)．
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ；（2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程描述：利用导数求函数的切线方程步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ；步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )．例题：求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程．解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
1 ；（4）f (x) = √x． x8
1 ) = (x−8 )′ = −8x−9 ； x8 1 1 1 1 （4）f ′ (x) = (√x )′ = (x 2 )′ = x− 2 = ． 2 2√x
求下列函数的导数：
ex ． x2 解：（1）y ′ = (sin x − cos x)′ = (sin x)′ − (cos x)′ = cos x + sin x；（2）y ′ = (x ln x)′ = x ′ ln x + x(ln x)′ = ln x + 1 ； (e x )′ ⋅ x 2 − e x ⋅ (x 2 )′ ex (x − 2) ex ′ （3）y ′ = ( ． = = ) x2 x3 x4

高中人教A版选修2-2 第一章导数及其应用【答案及解析】

13．【解析】因为函数，所以，
因为是函数的一个极值点，所以，，所以，故答案为 .
14．【解析】由是定义在R上的奇函数，可得，
当时，，当，即有，，，
则导数为，，又切点为，切线方程为，
即 .故答案为： .
15．【解析】时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．
16．【解析】由题知， .
.
在上单调递增；在上单调递减，易知在区间上的最大值为，，，都有成立，即在上的最大值大于等于在上的最大值，即，即，解得
17．（1）；（2）1
【解析】（1），，
∵ ，，∴ ．
由正弦定理可知 .
（2）∵ ，，∴ ．
设，则，
在△ 与△ 中，由余弦定理可知，
3．C【解析】因为（），所以，
由得，所以，当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
又函数在区间上不是单调函数，
所以有，解得 .故选C
4．C【解析】函数是偶函数，排除选项；
当时，函数，可得，
当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项
5．B【解析】 , , , , ,……则是一个周期为4的周期函数，
人教A版选修2-2 第一章导数及其应用
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知，则（）
A． B． C． D．
2．曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
3．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．函数的图象大为（）
A． B． C． D．

2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题第一章导数及其应用 1.6 Word版含解析

()
.
()由
得()
.
()(),
取()(),
则'().
所以
.
()令()
则()()()().
★已知()求的值使().
解分<<和≤≤两种情况讨论:
当<<时()()
().
整理,得,
即.
∴()().
∵>,∴.
又<<,∴(舍去).
当≤≤时,
()()()
()
()()()
(),
∴,即或,满足条件.
综上所述,当或时,使().
微积分基本定理
课时过关·能力提升ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基础巩固
下列定积分的值等于的是()
.()
解析,故选.
答案
的值为()
解析.
答案
()的值为()
.
解析()()()×().故选.
答案
若,则常数的值为.
解析∵,∴.
答案
若(),则.
答案
若()().
解析()().
答案
如图,曲线与直线ππ所围成图形的面积.
答案
★已知函数()(≠),若()()≤≤,则的值为.
解析()()
,
∵≤≤,∴.
答案
计算下列定积分:
()();
()();
()().
解()因为()',
所以()()
×(×).
()因为',
所以()
.
()因为'(),
所以()()
()().
能力提升
若,则的大小关系为()
<<<<
<<<<

2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用检测B

第一章检测(B )(时间:90分钟　满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知f (x )=2x +ln x ,则f'(2)等于( )A.0B.4ln 2+12C.ln 4D.e 2答案A2若f (x )=x 2-2x-4ln x ,则f (x )的单调递增区间为( )A.(-1,0)B.(-1,0),(2,+∞)C.(2,+∞)D.(0,+∞)解析由题意知,f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2x-2-,4x =2(x 2-x -2)x =2(x +1)(x -2)x 由f'(x )>0,得x>2.答案C3函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于( )A.1B.2C.3D.4解析∵y'=2(x+1)(x-1)+(x+1)2,∴y'|x=1=4.答案D4已知某列车沿直线轨道前进,刹车后列车的速度为v (t )=18-6t ,则列车的刹车距离为( )A.27B.54C.81D.13.5解析令v (t )=0,得18-6t=0,得t=3,所以列车的刹车距离为v (t )d t=(18-6t )d t=(18t-3t 2)=27.∫3∫3|30答案A5曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为( )xx +2A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2解析∵y'=,∴曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为y'|x=-1==2.2(x +2)22(-1+2)2故切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.答案A6对任意的x ∈R ,函数f (x )=x 3+ax 2+7ax 不存在极值的充要条件是( )A.0≤a ≤21 B.a=0或a=7C.a<0或a>21 D.a=0或a=21解析f'(x )=3x 2+2ax+7a ,当Δ=4a 2-84a ≤0,即0≤a ≤21时,f'(x )≥0恒成立,函数不存在极值.故选A.答案A7已知f (x )=kx 2+2x+2k 在(1,2)内有极值点,则k 的取值范围是( )A.-1<k<-B.k<-1或k>-1212C.<k<1D.k<或k<11212解析f'(x )=2kx+2,由题意知f'(1)·f'(2)<0,即(2k+2)(4k+2)<0,解得-1<k<-.12答案A8对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f (x )的零点B.1是f (x )的极值点C.3是f (x )的极值D.点(2,8)在曲线y=f (x )上解析f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0,①若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0,②若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3,即f=3,即c-=3.③(-b 2a )b 24a 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-=3,4a 24a 解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B,C,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .答案A9直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A. B.2C.D.43831623解析由题意可知,l 的方程为y=1.如图,点B 的坐标为(2,1),故所求面积S=4-2d x=4-2,故选C.∫20x24(x 312)|20=83答案C10若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+x-9都相切,则a 等于( )154A.-1或-2564B.-1或214C.-或-742564D.-或774解析设直线与曲线y=x 3相切的切点为P (x 0,y 0),则消去y 0解得x 0=0或x 0=.故切线斜率k=3=0或k=3.{y 0=x 30,y 0=3x 20(x 0-1),32x 20x 20=274若k=0,切线方程为y=0,由{y =0,y =ax 2+154x -9,消去y ,得ax 2+x-9=0,154其判别式Δ=0⇒a=-;2564若k=,切线方程为y=(x-1),274274由消去y ,{y =274(x -1),y =ax 2+154x -9,得ax 2-3x-=0,其判别式Δ=0⇒a=-1.94答案A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知2≤(kx+1)d x ≤4,则实数k 的取值范围为 .∫21答案[23,2]12函数y=x e x 在其极值点处的切线方程为 .解析令y'=(x+1)e x=0,得x=-1,则切点为.∵函数在极值点处的导数为0,即切线斜率为0,则切(-1,-1e )线方程为y=-.1e 答案y=-1e13设函数f (x )=sin θ·x 3+cos θ·x 2+tan θ,其中θ∈,则导数f'(1)的取值范围是 .1332[0,5π12]解析因为f'(x )=sin θ·x 2+cos θ·x ,3所以f'(1)=sin θ+cos θ=2sin .3(θ+π3)因为0≤θ≤≤θ+,5π12,π3π3≤3π4所以≤sin ≤1.22(θ+π3)故≤f'(1)≤2.2答案[,2]214已知函数y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,其中k ∈N *.若a 2k a 1=16,则a 1+a 3+a 5的值是 .解析由于y'=2x ,则函数y=x 2(x>0)在点(a 1,)(a 1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).a 21令y=0,得a 2=8.同理函数y=x 2(x>0)在点(a2,)(a 2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).a22令y=0,得a 3=4,依次同理求得a 4=2,a 5=1.所以a 1+a 3+a 5=21.答案2115已知函数y=f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0),B ,C (1,0),函数y=xf (x )(0≤x ≤1)的图象(12,5)与x 轴围成的图形的面积为 .解析由题意f (x )={10x ,0≤x ≤12,-10x +10,12<x ≤1,则xf (x )={10x 2,0≤x ≤12,-10x 2+10x ,12<x ≤1.所以xf (x )与x 轴围成图形的面积为10x 2d x+(-10x 2+10x )d x∫120 ∫112 =x 3103|12+(5x 2-103x 3)|112=.103×18+(5-103)‒(54-103×18)=54答案54三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)设函数f (x )=.e xx (1)求函数f (x )的单调区间;(2)若k>0,求不等式f'(x )+k (1-x )f (x )>0的解集.解(1)f'(x )=e x -e x =e x .1x 1x 2x -1x 2由f'(x )=0,得x=1.当x<0时,f'(x )<0;当0<x<1时,f'(x )<0;当x>1时,f'(x )>0.所以f (x )的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0),(0,1).(2)由f'(x )+k (1-x )f (x )=e x =·e x >0,得(x-1)(kx-1)<0.x -1+kx -kx 2x 2(x -1)(-kx +1)x 2故当0<k<1时,解集是;{x |1<x <1k}当k=1时,解集是⌀;当k>1时,解集是.{x |1k<x <1}17(8分)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在x=-与x=1处都取得极值.23(1)求函数f (x )的解析式;(2)求函数f (x )在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解(1)f'(x )=3x 2+2ax+b ,由题意得{f '(-23)=0,f '(1)=0,即{43-4a3+b =0,3+2a +b =0,解得经检验符合题意,{a =-12,b =-2,所以f (x )=x 3-x 2-2x.12(2)由(1)知f'(x )=3(x-1),令f'(x )=0,得x 1=-,x 2=1,(x +23)23当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x-2(-2,-23)-23(-23,1)1(1,2)2f'(x )+0-0+f (x )-6↗极大值2227↘极小值-32↗2由上表知f (x )max =f (2)=2,f (x )min =f (-2)=-6.18(9分)求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积S.解由方程组解得抛物线与直线的交点坐标为(2,2)及(8,-4).{y 2=2x ,y =4-x ,取x 为积分变量,由图可得S=A 1+A 2,∵A 1=-(-)]d x∫20 [2x2x =2d x=2,2∫20 x 122·23x 32|20=163A 2=[4-x-(-)]d x∫822x =(4-x+)d x∫822x =,(4x -12x 2+223x 32)|82=383∴S==18.163+38319(10分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x (0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元).(1)写出y 与x 的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大,并求出最大利润.解(1)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x )元,月平均销售量为a (1-x 2)件,则月平均利润y=a (1-x 2)·[20(1+x )-15]=5a (1+4x-x 2-4x 3)(0<x<1).(2)由y'=5a (4-2x-12x 2)=0,得x=.12(x =-23舍去)当0<x<时,y'>0,函数为增函数;12当<x<1时,y'<0,函数为减函数,12所以函数y=5a (1+4x-x 2-4x 3)(0<x<1)在x=处取得极大值,也是最大值.12故改进工艺后,产品的销售价为20×=30(元)时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大,最(1+12)大为元.45a420(10分)已知函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=kx (k ∈R ).(1)证明:当x>0时,f (x )<x ;(2)证明:当k<1时,存在x 0>0,使得对任意的x ∈(0,x 0),恒有f (x )>g (x );(3)确定k 的所有可能取值,使得存在t>0,对任意的x ∈(0,t ),恒有|f (x )-g (x )|<x 2.(1)证明令F (x )=f (x )-x=ln(1+x )-x ,x ∈[0,+∞),则有F'(x )=-1=.11+x -xx +1当x ∈(0,+∞)时,F'(x )<0.所以F (x )在[0,+∞)内递减,故当x>0时,F (x )<F (0)=0,即当x>0时,f (x )<x.(2)证明令G (x )=f (x )-g (x )=ln(1+x )-kx ,x ∈[0,+∞),则有G'(x )=-k=.1x +1-kx +(1-k )x +1当k ≤0时,G'(x )>0,故G (x )在[0,+∞)内递增,G (x )>G (0)=0,故任意正实数x 0均满足题意.当0<k<1时,令G'(x )=0,得x=-1>0,1-k k=1k 取x 0=-1,对任意x ∈(0,x 0),有G'(x )>0,1k 从而G (x )在[0,x 0)内递增,所以G (x )>G (0)=0,即f (x )>g (x ).综上,当k<1时,总存在x 0>0,使得对任意x ∈(0,x 0),恒有f (x )>g (x ).(3)解法一当k>1时,由(1)知,对于∀x ∈(0,+∞),g (x )>x>f (x ),故g (x )>f (x ),|f (x )-g (x )|=g (x )-f (x )=kx-ln(1+x ).令M (x )=kx-ln(1+x )-x 2,x ∈[0,+∞),则有M '(x )=k--2x11+x =,-2x 2+(k -2)x +k -1x +1故当x ∈时,M'(x )>0,(0,k -2+(k -2)2+8(k -1)4)M (x )在内递增,[0,k -2+(k -2)2+8(k -1)4)故M (x )>M (0)=0,即|f (x )-g (x )|>x 2.所以满足题意的t 不存在.当k<1时,由(2)知,存在x 0>0,使得当x ∈(0,x 0)时,f (x )>g (x ).此时|f (x )-g (x )|=f (x )-g (x )=ln(1+x )-kx.令N (x )=ln(1+x )-kx-x 2,x ∈[0,+∞),则有N'(x )=-k-2x1x +1=,-2x 2-(k +2)x +1-kx +1当x ∈时,N'(x )>0,(0,-(k +2)+(k +2)2+8(1-k )4)N (x )在内递增,故N (x )>N (0)=0,即f (x )-g (x )>x 2.[0,-(k +2)+(k +2)2+8(1-k )4)记x 0与中的较小者为x 1,则当x ∈(0,x 1)时,恒有|f (x )-g (x )|>x 2.-(k +2)+(k +2)2+8(1-k )4故满足题意的t 不存在.当k=1时,由(1)知,当x>0时,|f (x )-g (x )|=g (x )-f (x )=x-ln(1+x ).令H (x )=x-ln(1+x )-x 2,x ∈[0,+∞),则有H'(x )=1--2x=.11+x -2x 2-xx +1当x>0时,H'(x )<0,所以H (x )在[0,+∞)内递减,故H (x )<H (0)=0.故当x>0时,恒有|f (x )-g (x )|<x 2.此时,任意正实数t 均满足题意.综上,k=1.解法二当k>1时,由(1)知,对于∀x ∈(0,+∞),g (x )>x>f (x ),故|f (x )-g (x )|=g (x )-f (x )=kx-ln(1+x )>kx-x=(k-1)x.令(k-1)x>x 2,解得0<x<k-1.从而得到,当k>1时,对于x ∈(0,k-1),恒有|f (x )-g (x )|>x 2,故满足题意的t 不存在.当k<1时,取k 1=,从而k<k 1<1.k +12由(2)知,存在x 0>0,使得x ∈(0,x 0),f (x )>k 1x>kx=g (x ),此时|f (x )-g (x )|=f (x )-g (x )>(k 1-k )x=x.1-k2令x>x 2,1-k2解得0<x<,此时f (x )-g (x )>x 2.1-k2记x 0与的较小者为x 1,当x ∈(0,x 1)时,恒有|f (x )-g (x )|>x 2.1-k2故满足题意的t 不存在.当k=1时,由(1)知,x>0,|f (x )-g (x )|=g (x )-f (x )=x-ln(1+x ).令M (x )=x-ln(1+x )-x 2,x ∈[0,+∞),则有M'(x )=1--2x=.11+x -2x 2-xx +1当x>0时,M'(x )<0,所以M (x )在[0,+∞)内递减,故M (x )<M (0)=0.故当x>0时,恒有|f (x )-g (x )|<x 2,此时,任意正实数t 均满足题意.综上,k=1.。

2018-2019年人教A版数学选修2-2同步练习：第一章+导数及其应用+1.7.1+Word版含解

1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用一、非标准1.曲线y=x3与直线y=x所围封闭图形的面积S等于()A.(x-x3)d xB.(x3-x)d xC.2(x-x3)d xD.2(x-x3)d x解析:如图,阴影部分的面积S=2(x-x3)d x.故选C.答案:C2.如图,阴影部分的面积为()A.9B.C.D.解析:由求得两曲线交点为A(-2,-4),B(1,-1).结合图形可知阴影部分的面积为S=[-x2-(x-2)]d x=(-x2-x+2)d x=.答案:B3.已知函数y=x2与y=kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为,则k=()A.3B.2C.1D.解析:由消去y得x2-kx=0,所以x=0或x=k,则所求区域的面积为S=(kx-x2)d x=,则k3=27,解得k=3.答案:A4.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积S为()A. B. C. D.解析:作出曲线y=x2,y=x3的草图,所求面积即为图中阴影部分的面积.解方程组得曲线y=x2,y=x3交点的横坐标为x=0及x=1.因此,所求图形的面积为S=(x2-x3)d x=.答案:A5.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0所围成的平面图形的面积为()A.4B.3C.2D.1解析:如图,由x2+2=3x,得x=1,x=2,直线y=3x与抛物线y=x2+2的交点坐标为(1,3),(2,6), 所求的面积为S=(x2+2-3x)d x+(3x-x2-2)d x==1.答案:D6.椭圆=1围成的面积是.解析:设椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1,则由对称性,得椭圆面积S=4S1.在第一象限内椭圆方程可化为y=,故S1=d x=d x.而d x表示以5为半径的圆的面积,如图.从而d x=π·52=.故S1==5π,从而S=20π.答案:20π7.直线x=,x=与曲线y=sin x,y=cos x围成平面图形的面积为. 解析:由图可知,图形面积S=(sin x-cos x)d x=(-cos x-sin x)==-(-)=2.答案:28.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.解析:f'(x)=3x2+2ax+b⇒f'(0)=b⇒b=0,令f(x)=0⇒x=-a(a<0),=S==⇒a=-3.答案:-39.计算由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积.解：解法一:由得抛物线与直线的交点为P(1,-1),Q(9,3)(如图所示),所以S=-(-)]d x+d x=2d x+d x===10.解法二:抛物线和直线方程可改写为x=y2,x=2y+3,则S=(2y+3-y2)d y==10.10.求曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.解:由定积分的性质与微积分基本定理,得S=S1+S2=(t2-x2)d x+(x2-t2)d x==t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+,t∈(0,1),所以S'=4t2-2t,所以t=或t=0(舍去).当t变化时,S',StS'-0 +S↘极小值↗所以当t=时,S最小,且S min=.。

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2习题 第一章 导数及其应用滚动训练一Word版含解析

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 导数及其应用 1.6 Word版含解析