广东省深圳市明珠学校14—15学年上学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)
深圳市高二上学期期中数学试卷含答案
深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则A．B．C．D．2．已知平面向量，，且//，则＝A．B．C．D．3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，在区间上为增函数的是A．B．C．D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为A．B．C．D．7．已知椭圆+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l 交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为A．B．C．D．8．下列导数运算正确的是A．B．C．D．9．已知，则A．B．C．D．10．己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是A．B．C．D． 511．若，，则的最小值为A．B．C．D．f x xf x恒成立，则不等式的12．设是定义在上的奇函数,且,当时，有()()解集为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____．14．已知实数x，y满足条件的最小值为_____．15．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_____．16．若数列的首项，且，则=_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤０，q：2﹣m ≤ x ≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝10，S6＝72，b n＝a n－30，(1)求通项公式a n；(2)求数列{b n}的前n项和T n的最小值．19．（本小题满分12分）中，内角的对边分别为，的面积为，若．（1）求角；（2）若，，求角．20．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，抛物线y2= –x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．21．（本小题满分12分）设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.22．（本小题满分12分）已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A A A B B C D B C D13．14．15．16．17．【答案】（1）；（2）【解】（1）由x2﹣2x﹣8≤０得﹣2≤x≤４，即p：﹣2≤x≤４，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴，解得：m≥４．（2）∵“ｐ∨q”为真命题，“ｐ∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．18．【答案】(1)；（2）.【解】(1)由a3＝10，S6＝72，得解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.19．【答案】(1) ; (2) 或【解】(1) 中，(2) ，，由得且B>A或或20．【答案】（1）证明见解析；（2）.【证明与解答】（1）显然k≠０．联立，消去x，得ky2+y–k=0．如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠０，x2≠０，由根与系数的关系可得y1+y2=–，y1·y2=–1．因为A，B在抛物线y2=–x上，所以=–x1，=–x2，·=x1x2．因为k OA·k OB=·=–1，所以OA⊥OB．（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=ON·|y1|+ON·|y2|=ON·|y1–y2|=×1×，所以，解得k=±．21．【解析】⑴，由已知，，故a= - 2，b= - 2.，当时，，当时，，故f(x)在单调递减，在单调递增；⑵，即，设，，所以g(x)在递增，在递减，所以max26()(2)1eg x g．当x≥０时，.22．【答案】（1）;（2）．【解】（1）解：∵点在椭圆上，∴，又∵离心率为，∴，∴，∴，解得，，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，联立，得，设，，则，，∴，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，得的中点，∴直线的方程为，，令得，∴直线经过定点，当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．。
广东省深圳市明珠学校高二化学上学期期中试题
明珠学校2014-2015学年高二上学期期中考试化学试卷(满分：100分 时量：90分钟)一、单项选择题（本题包括20小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题2分，共40分）1．燃料电池能有效提高能源利用率，具有广泛的应用前景。
下列物质均可用作燃料电池的燃料，其中最环保的是（ ）A ．甲醇B ．天然气C ．氢气D ．液化石油气2．在下列平衡2CrO 42-(黄色)+ 2H +Cr 2O 72-(橙红色)+ H 2O 中，溶液介于黄和橙红色之间，今欲增加溶液的橙红色，则要在溶液中加入A ．H +B ．OH -C ．K +D ．H 2O3．已知：某温度下,H 2(g)+I 2(g) 2HI(g)的平衡常数为K 1 ；1/2H 2(g)+ 1/2I 2(g) HI(g)的平衡常数为K 2，则K 1、K 2的关系为A ．K 1= 2K 2B ．K 1= K 22C ．K 1 = K 2D ．不能确定4．在一定条件下体积不变的密闭容器中，反应2A(g)+2B(g)3C(g)+D(g)达到平衡状态的标志是（ ）A ．单位时间内生成2n mol A ，同时生成n mol DB ．容器内压强不随时间而变化C ．单位时间内生成n mol B ，同时消耗1.5n mol CD ．容器内混合气体密度不随时间而变化5．参照反应Br+H 2―→HBr +H 的能量对反应历程的示意图，下列叙述中正确的是（ ）A ．正反应为吸热反应B ．正反应为放热反应C ．加入催化剂，该化学反应的反应热增大D ．从图中可看出，该反应的反应热与反应途径有关6．.家用铁锅用水清洗放置后，出现红棕色的锈斑，在此过程中不发生的化学反应是（ ）A ．4Fe （OH ）2 + 2H 2O + O 2 == 4Fe （OH ）3B ．2Fe + 2H 2O + O 2 == 2Fe （OH ）2C ．2H 2O + O 2 + 4e －== 4OH －D ．Fe – 3e － == Fe 3+7．对于可逆反应：2A(ｇ)＋B(ｇ)2C(ｇ) △H ＜0，下列各图正确的是υ(正) υ υ(逆) B 压强P ω(C) 100℃ 500℃时间t A有催化剂 无催化剂 C 时间t c (C) A 的转化率 100℃ 10℃ 压强P8. 以惰性电极电解足量CuSO4溶液，若阳极析出气体0.01mol，则阴极上析出Cu为A.0．64gB.1.28gC.2.56gD.5.12g9．下列有关金属腐蚀与防护的说法正确的是（）A.纯银器表面在空气中因电化学腐蚀渐渐变暗B.当镀锡铁制品的镀层破损时，镶层仍能对铁制品起保护作用C.在海轮外壳连接锌块保护外壳不受腐蚀是采用了牺牲阳极的阴极保护法D.可将地下输油钢管与外加直流电源的正极相连以保护它不受腐蚀10．可确认发生了化学平衡移动的是( )A．化学反应速率发生了改变B．有气态物质参加的可逆反应达到平衡后，改变了压强C．由于某一条件的改变，使平衡混合物中各组分的浓度发生了不同程度的改变D．可逆反应达到平衡后，使用催化剂11．如图所示是298 K时，N2与H2反应过程中能量变化的曲线图，下列叙述正确的是( )A．该反应的热化学方程式为：N2＋3H22NH3ΔH＝－92 kJ/molB．a曲线是加入催化剂时的能量变化曲线C．加入催化剂，该化学反应的反应热改变D．在温度、体积一定的条件下，若通入2 mol N2和6 mol H2反应后放出的热量为Q kJ，则184＞Q12、已知：① 1molH2分子中化学键断裂时需要吸收436kJ的能量、② 1molCl2分子中化学键断裂时需要吸收243kJ的能量、③由H原子和Cl原子形成1molHCl分子时释放431kJ 的能量。
广东省深圳市高二数学上学期期中试题 理-人教版高二全册数学试题
广东省深圳市2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|4},{|230}M x x N x x x =<=--<，则集合MN =（ ）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{32|<<x x }D ．{21|<<-x x }2．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）A. 15B.14C. 13D. 12 3．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．22a b > B ．ac bc > C ．22ac bc > D ．a c b c ->- 4．在ABC ∆中，45,60,1B C c =︒=︒=，则最短边的长等于（ ）A ．．12 D5. 已知-7,1a ,2a ,-1四个实数成等差数列，-9,1b ,2b ,3b ,-1五个实数成等比数列， 则 221()b a a -=（ ）A. 6B. -6C.±6D.986．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）A.185B.43 C.23D. 877．一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A. 63B. 108C. 75D. 83 8．在⊿ABC 中，BCb c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ．直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形9．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2110．设关于x 的不等式：220x ax -->解集为M ，若2M M ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,(1,)3-∞+∞ B ．(,)3-∞ C ．,1)3 D ．(311．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是 ( ) A ．15海里/时 B ．5海里/时 C ．10海里/时D ．20海里/时12．将全体正奇数排成一个三角形数阵:1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……按照以上排列的规律,第100 行从左向右的第20个数为( ) A ．9941 B ．9901 C ．9911 D ．9939二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 在ABC ∆中，045,B c b ===A ＝_____________ 14．若不等式260ax bx ++>的解集是()1,3-，则b a +的值为15．当R x ∈时，不等式012>+-kx kx 恒成立，则k 的取值范围是_____________ 16．等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项之和，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，则① 此数列的公差d ＜0 ② S 9一定小于S 6③ a 7是各项中最大的一项 ④ S 7一定是S n 中的最大值 其中正确的是 （填入你认为正确的所有序号）三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17. （本题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知11012,30.a a ==（1）求通项n a ；（2）若n S =242, 求n 的值．18.（本题满分10分）△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =．（1）求b 的值；（2）求sinC 的值．19.（本题满分12分）在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积.20.（本题满分12分）解关于x 的不等式(3)()0ax x a +-<21.（本题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1) 求a n 及S n ； (2) 令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .22．（本题满分14分） 对于函数 )x (f ，若存在 R x ∈0，使 00x )x (f = 成立，则称0x 为)x (f 的“滞点”。
广东省深圳市明珠学校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题
明珠学校2014－2015学年第一学期期中考试试卷年级 高二 学科 文科数学 （满分 150 分 时量 120 分钟）一、选择题（每道题只有一个答案，共10道题，每道题5分，共50分） 1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中 （ ） A.真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2. 已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==,则公比q=（ ） A.21-B.21C.2D. -23.命题“存在R x ∈0，020≤x”的否定是( )A.不存在R x ∈0，02≤x B.存在R x ∈0，020>xC.对任意的R x ∈0，02≤x D.对任意的R x ∈0，020>x4.2-<x 是不等式042>-x 成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件 5．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ） A.22a b > B.1ba< C. c b c a -<- D. 33a b --< 6.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．23B ．95C ．135D ．1387．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．98．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =( ) A.－4 B.－6 C.－8 D.－109．若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A.最大值为1B.最小值为1C.最大值为2D.没有最大、小值10.设)(x f 是奇函数，对任意的实数y x ,，有,0)(,0),()()(<>+=+x f x y f x f y x f 时且当则)(x f 在区间],[b a 上 （ ）A ．有最大值)(a fB ．有最小值)(a fC ．有最大值)2(ba f + D ．有最小值)2(ba f + 二、填空题：(本题共5小题，每小题5分，共25分．)11. 已知等比数列{}n a 的前n 项为n S ,22=a ,165=a ,则5S = . 12.不等式012<+-x x 的解集为 . 13.在下列结论中， ①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件 ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件 ③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件 ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件 正确的是 . 14．已知两个正实数y x ,满足4=+y x ,则使不等式x1+y4≥m 恒成立的实数m 的取值范围是__________.15. 将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第5个数为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共6大题，共75分）16.（本小题满分12分）在等差数列{}n a ，11=a ，6321=++a a a (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 前n 项和n S17.（本小题满分12分）已知p: 64≤-x ,q: ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
广东省深圳市高级中学—学年度高二数学上学期期中试题
高级中学2014-2015学年第一学期期中测试高二数学（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共50分，第Ⅱ卷为11-20题，共100分，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共50分)一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 命题p ：3是奇数，q ：5是偶数，则下列说法中正确的是( ) A ．p 或q 为真 B ．p 且q 为真 C ．非p 为真 D ．非q 为假2. “02=-x x ”是“1=x ”的( )A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 圆心在直线270x y --=上，且与y 轴交于点(0,4)A -,(0,2)B -的圆的标准方程为 （ ）A. 22(3)(2)5x y -+-= B. 22(2)(3)5x y +++= C. 22(2)(3)5x y -++= D. 22(2)(3)5x y -+-= 4. 若直线0x y a ++=与圆22()2x a y -+=相切，则a =（ ）A ．1B ．－1CD ．1或－15. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. y x =D. 12y x =±6. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极大值点（ ） A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个7. 过点P （－1，4）作圆0126422=+--+y x y x 的切线，则切线长为（ ） A ．3B ．5C ．10D ．58. 与直线430x y -+=平行的抛物线22y x =的切线方程是( ) A ．410x y -+= B.410x y --= C ．420x y --=D.420x y -+=9. O 为坐标原点，F 为抛物线C :2y = 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4 10. 已知()x f x x e =⋅，方程()()()210f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）A. 21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B. 21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ C. 21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ D. 212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知x x x f cos ln )(+=，则'()2f π= .12. 2,10x R x ax ∃∈-+≤为假命题，则实数a 的取值范围为 . 13. 若椭圆2215x y m+=的离心率为105，则实数m 的值为 .14. 设F 1, F 2是双曲线C: 22221a x y b-= (a>0, b>0)的两个焦点，若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则双曲线C 的离心率为 .三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分12分）已知函数()sin(),(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω和()12f π的值；（2）求函数()f x 的最大值及相应x 的集合.16. （本小题满分12分）设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B.（1）求弦AB 的垂直平分线方程； （2）求弦AB 的长.17. （本小题满分14分）设函数x e x x f 221)(=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]2,2[-∈x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分14分）设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，椭圆C 上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的动点，1(0,)2Q ，求PQ 的最大值.19. （本小题满分14分） 如图所示，抛物线E 关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.（1）求抛物线E 的标准方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及 直线AB 的斜率．20. （本小题满分14分）已知函数()axf x a x =++21，()ln g x a x x =-（a >0）. （1）当a =1时，求函数()f x 的极值；（2）求证：对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <成立.高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学（文科）答题卷一、选择题（每题5分，10题共50分）二、填空题（每题5分，4题共20分）11. 12.13. 14.三、解答题：(本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)15. （本小题满分12分）16. （本小题满分12分）17. （本小题满分14分）18. （本小题满分14分）19. （本小题满分14分）20.（本小题满分14分）高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学（文科）答题卷解：（1）∵函数()sin()6f x x πω=+的周期是π且0ω>T ππω∴==2，解得2ω= … ……………………………………………………3分∴()sin(2)6f x x π=+…………………………4分∴3()sin(2)sin 121263f ππππ=⨯+==………………………………………6分（2）∵1sin(2)16x π-≤+≤ ………………………………………….8分∴当22()62x k k Z πππ+=+∈即()6x k k Z ππ=+∈时()f x 取得最大值1 (10)分此时x 的集合为{,}6x x k k Z ππ=+∈…………………………………….12分16. （本小题满分12分）解：（1）圆方程可整理为：4)1(22=+-y x ，圆心坐标为（1，0），半径r=2 ............2分 易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而23,321=∴-=k k AB ………….4分 所以，由点斜式方程可得：),1(230-=-x y整理得：0323=--y x ………………….6分（2）圆心（1，0）到直线,13323|12|013222=++==++d y x 的距离为……….8分故.135592)133(22||22=-⨯=AB ………………12分 17. （本小题满分14分） 解:（1）)2(2121)(2+=+='x x e e x xe x f xx x..............................2分令0)2(>+x x e x，得20-<>x x 或，∴)(x f 的增区间为)2,(-∞-和),0(∞+ ...............................4分令0)2(<+x x e x ，得02<<-x ，∴)(x f 的减区间为)0,2(- ..................................6分 （2）因为当]2,2[-∈x 时，不等式恒m x f <)(成立等价于max ()f x m < ………………………...8分因为]2,2[-∈x ，令0)(='x f ，得2-=x ，或0=x ，∴2max ()2f x e = ………………………….12分 ∴22e m > ……………………………………….14分 18. （本小题满分14分）解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12,F F 两点的距离之和是4，得24a =即2a =，又3(1,)2A 在椭圆上，223()1212b∴+=，解得23b =，于是21c =所以椭圆C 的方程是22143x y += ………………………6分(2).设(,)P x y ，则22143x y +=，22443x y ∴=- …………………….8分 222222214111713()4()52343432PQ x y y y y y y y =+-=-+-+=--+=-++…10分又y ≤≤Q .....................................12分∴当32y =-时，max PQ = ………………………14分 19. （本小题满分14分）解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．.......................................1分∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. ………………………...3分 故所求抛物线的方程是y 2＝4x …………………………….4分 准线方程是x ＝－1. …………………………….6分 (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . ……………………….8分 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1 ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4. …………………………12分 由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k AB＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－ 1(x 1≠x 2)． ...........................................14分 20.（本小题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111…………….1分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,)-∞-1(,)-11(,)+∞1………5分∴当x =-1时，()f x 有极小值，极小值为12当x =1时，()f x 有极大值，极大值为32…………………………7分 （2）()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111. 当a >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(,)01上单调递增，在(,e]1上单调递减，且2e (e)(0)e 1a f a a f =+>=+. 所以(0,e]x ∈时，min ()f x a = ……………………..9分因为()ln g x a x x =-，所以()1a g x x '=-，令()0g x '=，得x a =①当0e a <<时，由()0g x >'，得0x a <<；由()0g x <'，得x a >，所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在(,e]a 上单调递减.所以max ()()ln g x g a a a a ==-. 因(ln )(2ln )(2ln e)0a a a a a a a a --=->-=>，对任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x < ………………………………12分②当e a ≥时，()0g x '≥在(0,e]上恒成立，所以函数()g x 在(0,e]上单调递增，max ()(e)e <g x g a a ==-.()f x '-+-()f x↘↗↘x(,)-∞-1(,)-11(,)+∞1()f x ' -0 +0-()f x↘↗↘所以对于任意(]12,0,e x x ∈，仍有12()()g x f x <.综上所述，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <. …………………14分。
2023-2024学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．43．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=15．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1 B ．√32C ．√22D ．127．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，35] B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝1010．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ）A ．点（4，0）在圆M 内B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√512．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ ．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 ． 四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程． 18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1：（x +2）2+y 2＝1，圆O 2：（x ﹣2）2+y 2＝1，点H （1，0），一动圆M 与圆O 1内切、与圆O 2外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ；（2）令c n =an b n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立；（3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：由等差数列的性质可知a 4+a 8＝a 5+a 7＝20， 又a 7＝12，故a 5＝8，设等差数列的公差为d ，则d =a 7−a57−5=12−82=2， 所以a 4＝a 5﹣d ＝8﹣2＝6． 故选：C ．2．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：依题意，由a 3a 8＝a 7， 可得a 1q 2•a 1q 7＝a 1q 6，化简整理，得a 1q 3＝1，即a 4＝1， ∴公比q =a5a 4=21=2．故选：B ．3．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．3解：根据题意，直线l 1：3x +y ﹣5＝0，其斜率k 1＝﹣3，直线l 2：x ﹣ay ＝0，其斜率k 2=1a， 若两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则有（﹣3）×1a=−1，解可得a ＝3， 故选：D ．4．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=1解：∵椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)， ∴c ＝1，b =√3，∴a 2＝b 2+c 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．故选：B ．5．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．27解：由等比数列的性质可知，a 2a 4=a 32， ∴3a 32=4a 3， 又∵a 3≠0，∴a 3=43， ∵a 6＝2a 5，∴公比q =a6a 5=2，∴a 1=a 3q2=434=13， ∴{a n }的前6项和S n =a 1(1−q 6)1−q =13(1−26)1−2=21．故选：C ．6．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：如图，不妨设F 为双曲线C ：x 23−y 2=1的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，a 2＝3，b 2＝1，则c ＝2， 点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，∠POF =π6，|PF |＝1，PF sin∠POF =OF sin∠OPF，sin ∠OPF =2×121=1，所以OP ⊥PF ，OP =√3， ∴S △OPF =12×√3×1=√32． 故选：B ．7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(0，35]B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)解：△MF 1F 2的面积为12|F 1F 2|⋅|y M |，因为△MF 1F 2的内切圆半径为c2，所以△MF 1F 2的面积可表示为12（2a +2c ）×c2，所以12×2c ×|y M |=12（2a +2c ）×c 2，所以|y M |=a+c2，因为|y M |≤b ，所以a+c 2≤b ，两边平方得：（a+c 2）2≤b 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以（a+c 2）2≤a 2﹣c 2，整理得：5c 2+2ac ﹣3a 2≤0，因为离心率e =ca，所以5e 2+2e ﹣3≤0，解得：0＜e ≤35． 故选：A ． 8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)解：设P （x ，y ），|PB|≥b ⇒√x 2+(y −b)2≥b ⇒x 2+y 2−2by ≥0(∗)， 由x 2a 2−y 2b 2=1⇒x 2=a 2(1+y 2b 2)，代入不等式*中，整理得c 2b 2y 2−2by +a 2≥0恒成立，则Δ=4b 2−4a 2c 2b2≤0⇒b 4≤a 2c 2⇒b 2≤ac ⇒c 2−a 2≤ac ⇒e 2−e −1≤0，解得1−√52≤e ≤1+√52，又e ＞1，则1＜e ≤1+√52； 故选：A ．二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝10解：设数列{a n }的公差为d ，由a 2+a 8＝2a 5＝2，知选项A 正确；a 3a 7＝（a 5﹣2d ）（a 5+2d ）=a 52−4d 2＝1﹣4d 2，由于d 不确定，所以B 错误；由S 9=(a 1+a 9)⋅92=9a 5＝9，知选项C 正确； S 10＝S 9+a 10＝9+a 5+5d ＝10+5d ，由于d 不确定，所以D 错误． 故选：AC ．10．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．点（4，0）在圆M 内 B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切解：x 2+y 2﹣4x +3＝0整理得：（x ﹣2）2+y 2＝1，∵x ＝4，y ＝0时x 2+y 2﹣4x +3＝3＞0，∴点（4，0）在圆M 外，A 错；∵圆心M （2，0）在直线x +3y ﹣2＝0上，∴圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称，B 对； ∵圆M 半径为1，故C 错；∵圆心M （2，0）到直线x −√3y =0的距离为d =|2|√1+3=1，与半径相等，∴直线x −√3y =0与圆M 相切，D 对． 故选：BD ． 11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√5解：不妨设双曲线的右焦点为F （c ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时直线l 的方程为y ＝k （x ﹣c ），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y =k(x −c)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2+2a 2k 2cx ﹣a 2（k 2c 2+b 2）＝0，此时b 2﹣a 2k 2≠0且Δ＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=−2a 2k 2c b 2−a 2k2，x 1x 2=−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2，所以|AB|=√1+k 2√(−2a 2k 2c b 2−a 2k2)2−4[−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2]=2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，不妨设线段AB 的中点M （x 0，y 0），此时x 0=x 1+x 22=−a 2k 2c b 2−a 2k 2，y 0=k(x 0−c)=k(−a 2k 2c b 2−a 2k 2−c)=−b 2kcb 2−a 2k2，即M(−a 2k 2c b2−a 2k2，−b 2kc b2−a 2k2)，因为k ≠0，线段AB 的中垂线的斜率为−1k ，则线段AB 的中垂线所在直线方程为y +b 2kcb 2−a 2k 2=−1k (x +a 2k 2cb 2−a 2k2)， 令y ＝0，解得x =−k 2c 2b2−a 2k2，即D(−k 2c 3b 2−a 2k2，0)， 所以|DF|=|−k 2c 3b 2−a 2k2−c|=b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，因为|AB|≥√2|DF|，所以2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|≥√2b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，整理得2a ≥√2c ， 则e =c a ≤22=√2， 又双曲线的离心率e ＞1，则双曲线的离心率取值范围为(1，√2]． 故选：BC ．12．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4解：对于A ，由a 1＝1，a 2＝1，且a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，可得斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，则a 8＝21，故A 正确； 对于B ，由斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且2023＝3×674+1，所以a 2023是奇数，故B 正确； 对于C ，因为a 2＝a 3﹣a 1，a 4＝a 5﹣a 3，⋯，a 2022＝a 2023﹣a 2021，相加可得：a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023﹣1，故C 错误；对于D ，因为斐波那契数列总满足a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，且a 1＝a 2＝1，所以a 12=a 2a 1，a 22=a 2a 2=a 2(a 3−a 1)=a 2a 3−a 2a 1，a 32=a 3a 3=a 3(a 4−a 2)=a 3a 4−a 3a 2， 类似的有，a n 2=a n a n =a n (a n+1−a n−1)=a n a n+1−a n a n−1，其中n ≥2， 累加得a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2=a n ⋅a n+1，则S n =π4(a 12+a 22+⋯+a n 2)=π4a n a n+1，故S 2023a 2023⋅a 2024=π4，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ 99 ．解：∵a n =1√n+1+√n=√n +1−√n ，∴S n ＝（√2−1）+（√3−√2）+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， ∵S n ＝9， ∴√n +1−1＝9， n +1＝100， 解得n ＝99． 故答案为：99．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ √3 ． 解：由圆的方程（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2，则其圆心为（3，1）， 圆心到直线的距离d =|3−1|√1+1=√2，弦长的一半为1，r =√(√2)2+12=√3．故答案为：√3． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 [√66，√55] ．解：设A （x 1，y 1），则由AF 1→⋅AF 2→=4c 2可得：(−c −x 1，−y 1)⋅(c −x 1，−y 1)=x 12−c 2+y 12=4c 2，可得x 12+y 12=5c 2，即A 点在以（0，0）为圆心，半径为√5c 的圆上；又A点在椭圆上，即可得圆x 12+y 12=5c 2与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1有交点，根据对称性可知b ≤√5c ≤a ，即5c 2≤a 2≤6c 2，所以可得离心率e ∈[√66，√55]． 故答案为：[√66，√55]． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 (−23，0) ． 解：∵椭圆方程：x 24+y 23=1，∴A （﹣2，0），B （2，0），又k 1＝2k 2，设l AC ：y ＝k 1（x +2），l BD ：y ＝k 2（x ﹣2）．设C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）． 联立{y =k 1(x +2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 12)x 2+16k 12x +(−12+16k 12)=0，∴x A +x C =−16k 123+4k 12，∴x C =−16k 123+4k 12−x A =−16k 123+4k 12−(−2)=6−8k 123+4k 12，因为k 1＝2k 2， ∴x C =6−8k 123+4k 12=6−32k 223+16k 22，∴C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，联立{y =k 2(x −2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 22)x 2−16k 22x +(−12+16k 22)=0，得x B +x D =16k 223+4k 22，∴x D =16k 223+4k 22−x B =16k 223+4k 22−2=−6+8k 223+4k 22，∴D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)，由C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)得，l CD ：9k 2x+(8k 22−3)y +6k 2=0，即8k 22y +(9x +6)k 2−3y =0过定点(−23，0)．故答案为：(−23，0)．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程．解：（1）由圆C 1：（x +1）2+y 2＝4，可得圆C 1的圆心为C 1（﹣1，0），半径为r 1＝2， 圆C 1与圆C 2的方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：x +3y ﹣1＝0， 圆心C 1到x +3y ﹣1＝0的距离为d 1=√105，所以PQ =2√r 12−d 12=6√105； （2）M （1，0），C 2（0，3），当△MNC 2的面积最大时，NC 2⊥MC 2， 又k MC 2=3−00−1=−3，所以k NC 2=13，所以直线NC 2的直线方程为y =13x +3， 由{x 2+(y −3)2=10y =13x +3，解得{x =−3y =2或{x =3y =4， 所以N （﹣3，2）或N （3，4），所以MN 方程：x +2y ﹣1＝0或2x ﹣y ﹣2＝0．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）， 由b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2 可得： {b 1q +2a 1+d =105a 1+10d =5b 1q 2+3(a 1+d)⇒{q =2d =2， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝2n +1， 数列{b n } 的通项公式是b n =2n−1．（2）∵a n b n =(2n +1)×2n−1，数列{a n •b n }的前n 项和T n ， ∴T n =3+5×2+7×22+⋯+（2n +1）×2n ﹣1，2T n =3×2+5×22+⋯+（2n ﹣1）×2n ﹣1+（2n +1）×2n ，∴﹣T n ＝3+2×（2+22+2n ﹣1）﹣（2n +1）×2n=3+2×2(2n−1−1)2−1−（2n +1）×2n ＝2n +1﹣1﹣（2n +1）×2n ，∴T n =(2n −1)×2n +1．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设圆心为M（x0，0），且x0是整数．则点（x0，0）到直线4x﹣3y+7＝0的距离为3．得022=3，所以x0＝2．轨迹方程：（x﹣2）2+y2＝9；（2）联立轨迹方程与直线方程，（x﹣2）2+y2＝9与ax﹣y+4﹣2a＝0，因为直线与圆有两个交点，所以Δ＞0，得a∈(−∞，−√73)∪(√73，+∞)，（3）存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．理由如下：设l的方程为y=−1a(x−3)−1，由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上，所以a＝1，所以存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O1：（x+2）2+y2＝1，圆O2：（x﹣2）2+y2＝1，点H（1，0），一动圆M与圆O1内切、与圆O2外切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程E；（2）是否存在一条过定点的动直线l，与E交于A、B两点，并且满足HA⊥HB？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．解：（1）由圆O1方程知：圆心O1（﹣2，0），半径r1＝1；由圆O2方程知：圆心O2（2，0），半径r2＝1，设动圆M的半径为r，∵动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，∴|MO1|＝r﹣1，|MO2|＝r+1，∴|MO2|﹣|MO1|＝2，且2＜|O1O2|＝4，∴动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，∴a＝1，c＝2，b2＝4﹣1＝3，∴动圆圆心M 的轨迹方程E 为：x 2−y 23=1(x ≤−1)；（2）设直线l 为x ＝my +n ， 把x ＝my +n 代入x 2−y 23=1，并整理得（3m 2﹣1）y 2+6mny +3n 2﹣3＝0， ∴Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2﹣1）（3n 2﹣3）＞0，即3m 2+n 2﹣1＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则y 1+y 2=−6mn 3m 2−1，y 1y 2=3n 2−33m 2−1， ∴x 1x 2=(my 1+n)(my 2+n)=m 2y 1y 2+mn(y 1+y 2)+n 2=m 2×3n 2−33m 2−1+mn ×−6mn3m 2−1+n 2=−3m 2−n 23m 2−1＞0，∴3m 2﹣1＜0，又∵x 1+x 2＝（my 1+n ）+（my 2+n ）＝m （y 1+y 2）+2n =m ×−6mn 3m 2−1+2n =−2n3m 2−1＜0，∴n ＜0，∵HA ⊥HB ，∴HA →⋅HB →=0，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2＝0，∴x 1x 2﹣（x 1+x 2）+y 1y 2+1＝0， ∴−3m 2−n 23m 2−1−−2n 3m 2−1+3n 2−33m 2−1+1=0，即n 2+n ﹣2＝0，解得n ＝﹣2或n ＝1，当n ＝1时，直线l 为x ＝my +1，过H （1，0），不合题意，舍去； 当n ＝﹣2时，直线l 为x ＝my ﹣2，过定点（﹣2，0）．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ； （2）令c n =a nb n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立； （3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ． 解：（1）由S n =log √3(T n )，令n ＝1得，a 1=S 1=log 312(T 1)=2log 3(b 1)=2log 313=−2，设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＝a 1+3d ＝4，解得d ＝2，∴a n ＝﹣2+2（n ﹣1）＝2n ﹣4，S n =n(a 1+a n )2=n(−2+2n−4)2=n 2−3n ， 即log √3(T n )=n 2−3n ，可得T n =(√3)n 2−3n．（2）存在，理由如下： 由（1）可得：T n =(√3)n2−3n，当n ≥2时，则T n−1=(√3)(n−1)2−3(n−1)=(√3)n2−5n+4，可得b n =T nT n−1=(√3)2n−4=3n−2； 当n ＝1时，b 1=13也满足上式，所以b n =3n−2(n ∈N ∗)． 故c n =a nb n =2n−43n−2， 要使c n ﹣1＝c n +c n +1成立，即2n−63n−3=2n−43n−2+2n−23n−1，解得n ＝4，此时c 3=23，c 4=49，c 5=29，满足：2c 4＝c 3+c 5， 即c 4为c 3，c 5的等差中项， ∴存在n ＝4符合题意．（3）d n ＝2a n +7＝2（2n ﹣4）+7＝4n ﹣1，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1=(−1)n(4n+1)(4n−1)(4n+3)=(−1)n2(14n−1+14n+3)， Y 2n =12[−(13+17)+(17+111)−(111+115)+⋯+(18n−1+18n+3)]=12(−13+18n+3)=−4n24n+9． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．解：（1）由题意可知P （0，b ），F 1（﹣c ，0），设M （x ，y ）， 因为PF 1→=2F 1M →，可得（﹣c ，﹣b ）＝2（x +c ，y ），所以x =−32c ，y =−b2，而M 在椭圆上，所以94c 2a2+b 24b 2=1，即9c 24a 2+14=1，而2c ＝2√3，则c =√3，解得a 2＝9，b 2＝6，所以椭圆C 的标准方程为：x 29+y 26=1；（2）设P （x 0，y 0），PM →=λPF 1→，PN →=μPF 2→，则M （（1﹣λ）x 0，−√3λ，（1﹣λ）y 0）， 代入椭圆的方程：[(1−λ)x 0−√3λ]29+(1−λ)2y 026=1，即（1﹣λ）2（x 029+y 026）−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1， 因为P 在椭圆上，所以x 029+y 026=1，所以（1﹣λ）2−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1，可得λ=x 0+3√3x 0+23， 同理可得μ=0√3x 0−23，所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN=|PF 1|⋅|PQ||PM|⋅|PQ|+|PF 2|⋅|PQ||PN|⋅|PQ|=12λ+12μ=12（0√3x 0+3√3+0√3x 0−3√3）＝1+9x 02−27，因为x 02∈[0，9），所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN∈（12，23]，且当x 0＝0时，即P 为短轴的顶点时，取到最大值23．。
明珠学校2014~2015学年第一学期期中考试试卷
明珠学校2014～2015学年第一学期期中考试试卷年级高一学科政治命题人常光(满分_100_分时间_90 _分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号、班级填写在答题卷上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案点涂黑。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共24题，每题2分，共48分。
在每题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列属于商品的是( )①有偿使用的塑料袋②赠送同学的礼物③向地震灾区空投的援助物资④家庭用的自来水A.①③B.①②C.①④D.③④假定市场上待售商品1 000亿元,且这些待售商品的价值都得到实现。
如果发行纸币2 000亿元。
据此回答2～3题:2、此时,一元纸币相当于货币的购买能力。
( )A.0.5元B.2元C.4元D.1元3、当上述现象发生时,会出现的经济现象是( )A.纸币购买力提高B.物价上涨,纸币贬值C.商品销售困难,阻碍商品流通D.出现物价总水平持续下跌现象4、消费者总是想用同样多的货币买到更多的商品。
但从长远来看，物价持续下降、通货紧缩却不是我们所希望的，因为这会导致( )A．流通中的货币量增加→居民购买力下降→社会有效需求不足→生产萎缩B．社会投资减少→生产萎缩→失业率上升→经济衰退C．生活资料价格下降→居民购买力上升→居民消费需求增加→物价上涨D．生产资料价格下降→企业生产成本降低→企业经济效益提高→经济过热5、我们这些没有稳定收入的高一学生很难申请到银行发行的信用卡，是因为（）A．银行信用卡是商业银行对资信状况良好的客户发行的一种信用凭证B．银行信用卡具有能够减少现金的使用，简化收款手续，方便银行和商家的功能C．银行信用卡是商业银行对年满18周岁的客户发行的一种信用凭证D．银行信用卡具有消费、转账结算、存取现金、信用贷款等功能6、某童装生产企业主通过信用卡透支解决了在购买布料时资金不足的问题，这表明信用卡具有()①消费功能②融资功能③储蓄功能④支付功能A．①③B．①④C．②③D．②④7、生活中我们经常会遇到这样的情形：两个人在同一家商店砍价买同一种商品，不会砍价的人往往买得贵一些。
2014-2015年广东省深圳高中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2014-2015学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）抛物线y2=16x的焦点为（）A．（0，2） B．（4，0） C．D．3．（5分）若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（）A．，+，﹣B．，+，﹣C．，+，﹣D．+，﹣，+24．（5分）若点P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=05．（5分）命题p：不等式x（x﹣1）＜0的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：“A=B”是“sinA=sinB”成立的必要非充分条件，则（）A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真6．（5分）若向量=（1，λ，1），=（2，﹣1，1）且与的夹角的余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或7．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0） B． C．D．（2，2）8．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．10．（5分）命题“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是．11．（5分）若直线y=x﹣m与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是．12．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=1，平面ABEF⊥平面ABCD，则点D到平面BCF的距离为．13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、有焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为．14．（5分）已知P是椭圆=1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若，则△F1PF2的面积为．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．18．（14分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l 的方程．19．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．20．（14分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．2014-2015学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立故a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2为假命题故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件故选：A．2．（5分）抛物线y2=16x的焦点为（）A．（0，2） B．（4，0） C．D．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=8，∴=4，故焦点坐标为（4，0），故选：B．3．（5分）若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（）A．，+，﹣B．，+，﹣C．，+，﹣D．+，﹣，+2【解答】解：∵（+）+（﹣）=2，∴，+，﹣共面，不能构成基底，排除A；∵（+）﹣（﹣）=2，∴，+，﹣共面，不能构成基底，排除B；∵+2=（+）﹣（﹣），∴，+，﹣，+2共面，不能构成基底，排除D；若、+、﹣共面，则=λ（+）+m（﹣）=（λ+m）+（λ﹣m），则、、为共面向量，此与{、、}为空间的一组基底矛盾，故，+，﹣可构成空间向量的一组基底．故选：C．4．（5分）若点P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=0【解答】解：圆心C（3，0），，∴MN方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故选：D．5．（5分）命题p：不等式x（x﹣1）＜0的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：“A=B”是“sinA=sinB”成立的必要非充分条件，则（）A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真【解答】解：由题意命题p：不等式x（x﹣1）＜0的解集为{x|0＜x＜1}，为真命题；因为“A=B”是“sinA=sinB”成立的充分不必要条件，所以命题q是假命题．故选：A．6．（5分）若向量=（1，λ，1），=（2，﹣1，1）且与的夹角的余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或【解答】解：∵向量=（1，λ，1），=（2，﹣1，1），且与的夹角的余弦值为，∴•=||×||cos＜，＞=××=×；又•=1×2+λ×（﹣1）+1×1=3﹣λ，∴=3﹣λ；两边平方得=（3﹣λ）2，整理得5λ2﹣36λ+52=0，解得λ=2，λ=．故选：D．7．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0） B． C．D．（2，2）【解答】解：由题意得F（，0），准线方程为x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入抛物线y2=2x 得x=2，故点M的坐标是（2，2），故选：D．8．（5分）已知圆O：x2+y2=r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by+r2=0，那么（）A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离【解答】解：由题意可得a2+b2＜r2，OP⊥l1．∵K OP=，∴l1的斜率k1=﹣．故直线l1的方程为y﹣b=﹣（x﹣a），即ax+by﹣（a2+b2）=0．又直线l2的方程为ax+by﹣r2=0，故l1∥l2，圆心到直线l2的距离为＞=r，故圆和直线l2相离．故选：A．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是①②③（填上你认为正确的命题的序号）．【解答】解：①若x，y互为倒数，则xy=1成立；②逆命题是“三角形全等则面积一定相等”正确则其否命题正确，③若m≤1则△=4﹣4m≥0方程有根原命题正确则其逆否命题正确④若A∩B=B应是B⊆A则其逆否命题不正确．故答案是①②③10．（5分）命题“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是∃x0∈R有|x﹣2|+|x ﹣4|≤3．【解答】解：“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是∃x0∈R，有，|x﹣2|+|x﹣4|≤3故答案为∃x0∈R有|x﹣2|+|x﹣4|≤311．（5分）若直线y=x﹣m与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（﹣，﹣1] ．【解答】解：∵表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．作出曲线的图象，在同一坐标系中，再作出直线y=x﹣m，平移过程中，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，直线与曲线相切时，可得，=1∴m=﹣当直线y=x﹣m经过点（﹣1，0）时，m=﹣1，直线y=x+1，而该直线也经过（0，1），即直线y=x+1与半圆有2个交点故答案为：（﹣，﹣1]．12．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=1，平面ABEF⊥平面ABCD，则点D到平面BCF的距离为．【解答】解：如右图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴点D到平面BCF的距离可化为点A到平面BCF的距离，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，∴平面BCF⊥平面ABEF，∴点A到平面BCF的距离可化为平面ABEF内点A到直线BF的距离，则在平面ABEF内，BF=，则××h=×4×1，则h=．故答案为：．13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、有焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为1＜e≤2．【解答】解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得，∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故答案为：1＜e≤2．14．（5分）已知P是椭圆=1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若，则△F1PF2的面积为．【解答】解：已知P是椭圆=1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则：|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=8在△PF1F2中，利用余弦定理得：|PF2|cosθcosθ=解得：则：|PF1||PF2|=12故答案为：三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由，得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集，又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）．所以当a＞0时，有，解得1＜a≤2，当a＜0时，显然A∩B=∅，不合题意．所以实数a的取值范围是1＜a≤2．16．（12分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF 的法向量，∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．18．（14分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：k PA k PB=∴，化简，整理得故P点的轨迹方程是，（x≠±）（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2+4kx=0∴x1+x2=，x1 x2=0，|MN|=，整理得，k4+k2﹣2=0，解得k2=1，或k2=﹣2（舍）∴k=±1，经检验符合题意．∴直线l的方程是y=±x+1，即：x﹣y+1=0或x+y﹣1=019．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===．∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA 1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A 1B1C1的法向量，得．于是===，∴．∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．20．（14分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由题意，解得a2=4，b2=2．所以，椭圆C的方程为．故点P（1，）（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为．由得，．设A（x A，y A），B（x B，y B），则，同理可得．则，．所以直线AB 的斜率为定值．（Ⅲ）设AB 的直线方程为，由得．由，得m 2＜8．此时，．由椭圆的方程可得点P （1，），根据点到直线的距离公式可得P 到AB 的距离为，由两点间的距离公式可得=，故===≤×=．因为m 2=4使判别式大于零，所以当且仅当m=±2时取等号，所以△PAB 面积的最大值为．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°AB E挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F第21页（共21页）。
2023-2024学年广东省深圳市名校高二上学期期中联考数学试题
2023-2024学年广东省深圳市名校高二上学期期中联考数学试题1. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点B 与点A(−3,6,1)关于平面Oxy 对称，则B 的坐标为（ ）A ． (3,6,1)B ． (−3,−6,1)C ． (−3,6,−1)D ． (−3,−6,−1)2. 已知向量a →=(−1,1,2),b →=(−2,0,−1)，则2a →−b →=（ ）A ． (−4,2,3)B ． (4,−2,−3)C ． (0,−2,−5)D ． (0,2,5)3. 经过A(0,√3),B(3,0)两点的直线的倾斜角为（ ）A ． 5π6B ． π6C ． 2π3D ． π34. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A ． AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ．C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D ． D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗5. 若直线l 的斜率大于1，则l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ． (π4,+∞) B ． (π4,π2) C ． (π4,π2]D ． (π4,π)6. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB⟂AC,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AD →在向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为（ ）A ． 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ D ． 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗7. 已知直线l 1的倾斜角是直线l 2的倾斜角的2倍，且l 1的斜率为−34，则l 2的斜率为（ ）A ．3或 −13B ．3C ． 13 或 −3D ． 138. 在三棱锥A −BCD 中，AB =AC =AD =6,AB,AC,AD 两两垂直，E 为AB 的中点，F 为AD 上更靠近点D 的三等分点，O 为ΔBCD 的重心，则O 到直线EF 的距离为（ ）A ．2B ．1C ． 2√265D ． √2659. 已知直线l 的倾斜角为2π3，则l 的方向向量可能为（ ）A ． (1,−√3)B ． (√3,−1)C ． (−2,2√3)D ． (2√3,−2)10. 已知{a →,b →,c →}是空间的一个基底，则可以与向量α→+c →,b →−c →构成空间的一个基底的向量是（ ）A ． a →+b →B ． a →C ． 2a →+2b →+c →D ． a →−b →+2c →11. 如图，在圆台OO′中，AB,A′B′分别为圆O,O 的直径，AB ∥A′B′,AB =3A′B′=12，圆台OO′的体积为104π3,C 为内侧AB̂上更靠近B′的三等分点，以O 为坐标原点，下底面垂直于AB 的直线为x 轴，OB,OO′所在的直线分别为y,z 轴，建立空间直角坐标系，则（ ）A ． O′ 的坐标为 (0,0,2)B ． AC →=(−√3,7,2)C ．平面 ABC 的一个法向量为 (2,1,√3)D ． O′ 到平面 ABC 的距离为 2√21712. 在正四面体ABCD 中，M,N 分别是AD,BC 的中点，AB =2√6，则（ ）A ． MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =24B ． MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗C ． ⟨BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩>π3 D ．异面直线 MN 与 BD 所成的角为 π313. 已知a →=(0,1,m),b →=(0,n,−3)分别是平面α,β的法向量，且α//β，则mn =__________. 14. 已知点A(1,2),B(2,3)，点C 在x 轴上，ΔABC 为直角三角形，请写出C 的一个坐标：________．15. 在空间直角坐标系中，向量a =(sinα,−cosα,1),b ⃗ =(2cosθ,1,2sinθ)，则a →·b →的最大值为________．16. 在三棱锥P −ABC 中，底面ABC 为正三角形，PA⟂平面ABC ，PA =AB ，G 为ΔPAC 的外心，D 为直线BC 上的一动点，设直线AD 与BG 所成的角为θ，则θ的取值范围为__________．17. 已知直线l 1经过A(m,3),B(1,m)两点，l 2经过P(2,1),Q(4,2)两点．(1)若l 1//l 2，求m 的值；(2)若l 1,l 2的倾斜角互余，求m 的值．18. 在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的三个顶点为A(0,−1,1),B(0,1,2),C(3,1,3)．(1)求D 的坐标；(2)求四边形ABCD 的面积．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PC⟂底面ABCD ，且PC =1．(1)证明：BD⟂PA ．(2)若PB⃗⃗⃗⃗⃗ =3PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求二面角P −AC −E 的余弦值． 20. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑P −ABC 中，PA⟂平面PBC ，BC⟂平面PAB ，D 为PC 的中点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BC →=c →，用a ，b ⃗ ，c 表示DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2,E,F,G 分别是AA 1,BC,C 1D 1的中点(1)证明：B 1D⟂平面EF .(2)在直线DB 上是否存在点P ，使得B 1P||平面EFG ？若存在，请指出P 的位置；若不存在.请说明理由.22. 如图，A,B,C 为圆柱底面圆周上三个不同的点，AA 1,BB 1,CC 1分别为半圆柱的三条母线，且C 是弧AB 的中点，O,E 分别为AB,BB 1的中点.(1)证明：A1C1||平面ACE.(2)若AA1=4AB=8,F是弧A1B1上的动点（含弧的端点），求OF与平面ACE所成角的正弦值的最大值.。
广东省深圳市明珠学校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题(有答案)AwHnwn
明珠学校2014--2015第一学期期中考试数学试卷年级： 高二 学科： 理科数学 （满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分）1．若0<<b a ，则下列不等式①a b ab +<, ②33b a >,③011<<ab , ④b a < 中，正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 2. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 3．已知p ：|x |<3；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点(,)A x y 在第一象限且在直线22=+y x 上移动，则y x 22log log +（ ） A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为2 D.没有最大、小值 5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若1595,,a a a 成等比数列,那么公比为 ( ) A ．B ．C ．．D.6．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋12-n ，…的前n 项和为（ ） A.2n －n －1B.2n +1－n －2C.2nD.2n +1－n8、如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x ≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2f x x =；③()21xf x x x =++．其中属于有界泛函的是（ ）A ．①③B ．②C ．③D ．①② 二、填空题（共30分，每小题5分）9.写出命题P ：01),0,(2≤++-∞∈∃x x x 的否定_______________________:P ⌝； 10．不等式034≤+-x x 的解集为 ； 11. 已知等比数列{a n }的前n 项和121+⋅=-n n t s ，则实数 t 的值为 ________.12．已知两个正实数y x ,满足1=+y x ,则使不等式x1+y4≥m 恒成立的实数m 的取值范围是__________.13．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若am 2＜bm 2, 则a ＜b ;③若三个实数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则 a b c == ；④若不等式220ax bx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -=-10.其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)14.在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈. 则1a ＝ ，经猜想可得到n a ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为2n S n = ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．16．(本小题满分12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1=0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分14分）已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞ (Ⅰ)当12a =时,求函数()f x 的最小值;(Ⅱ)若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的首项11=a ，*∈∀N n ，nnn a a a +=+221． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S ；(3)求证：*∈∀N n ，3 (2)232221<++++n a a a a ．19. (本小题满分12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.如何合理安排生产计划 ,使公司可获得最大利润？最大利润为多少？20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，已知123,5a a ==，其前n 项和nS 满足).3(22112≥+=+---n s s s n n n n.(1) 求43,a a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式n a ；(3)令11+=n n n a a b ,试求一个函数()f x ,使得对于任意正整数n 有61)(...)2()1(21<+++=n f b f b f b T n n ，且对于任意的1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，m T n > .2014--2015第一学期期中考试参考答案年级：高二 学科： 理科数学（满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分）1---8: BCBAD, BBC8. ①对于()1f x =，当0x =时，有()100f x M =>⨯=，()1f x =不属有界泛函; 对于②()2f x x =，当0x ≠时，有()f x x x=无最大值，()2f x x =不属于有界泛函；对于③()21xf x x x =++，当0x ≠时，有()22114131324f x xx x x ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()21x f x x x =++ 二、填空题（共30分，每小题5分）9. 01),0,(2>++-∞∈∀x x x 10. (]4,3- 11. -2 12. (]9,∞- 13. ①②④ 14.6, 6n三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （12分） 解：（1）;nn n b n a 21,12=-= ……6分 (2) ;62)32(1+-=+n n x n T ……12分 16. （12分）解：命题p ： 1≤a ， 命题q ：130-≤≥≥∆a a 或即： ……………6分因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以P 、Q 一真一假……………8分 即：① ⎩⎨⎧<<-≤311a a 或 ②⎩⎨⎧≥-≤>311a a a 或 ………………………10分解得; 311≥≤<-a a 或……………12分 17. （15分）⑴由n n n a a a +=+221，得21111+=+n n a a ，21111=-+n n a a ………………2分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=n a ，公差21=d 的等差数列………………3分 212111+=-+=n n a n ……4分，所以*∈∀N n ，12+=n a n ………………5分 (2)12+=n nS n ………………9分 (3) )1(4)1(422+<+=n n n a n 244+-=n n ……11分2>n 时，由以上不等式得)144()4434()3424(112212+-++-+-+<+=∑∑==n n a a ni ini i Λ……13分 14241+-+=n 3<……14分 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*∈∀N n ，312<∑=ni n a ……15分．18. （14分） 解(Ⅰ) 12a =时,2221121()2'()10222x f x x f x x x x -=++⇒=-=>(因为1x ≥) 所以,()f x 在[1,)+∞上单调递增,故1x =时,()f x 取得最小值72.………………6分(Ⅱ) 因为对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,即220x x a ++>恒成立,只需22a x x >--恒成立，只需2max (2)a x x >--,因为21(2)3x x x ≥⇒--≤-,所以,实数a 的取值范围是(3,)-+∞.………………14分19．（12分）[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y ………………2分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X ………………6分画可行域如图所示, ………………8分 目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400zx 43+-这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z ………………12分20. （15分）解：（1）17,943==a a .………………4分（2）由题设知21122(3)n n n n n S S S S n -----=-+≥，即112(3)n n n a a n ---=≥.由累加法可得：21n n a =+.………………8分 （3）11111111()(21)(21)22121n n n nn n n n b a a +++===-++++. ..................10分 则2223111111()(1)()(2)2212122121n T f f =-⋅+-+++++ (1111)()()22121n n n f n ++-++. 令1()2n f n -=， 则22311111[()()221212121n T =-+-+++++ (11)111111()]()2216212121n n n +++-=-<++++. …12分 若n T m >，则有1111(),22121n m +->++ 化简得：1321,16n m +>--即解不等式23log (1)116n m>---. 当23log (1)1116m --<-，即1015m <<时，取01n =即可. 当23log (1)1116m --≥-，即11156m ≤<时，则记3(1)116m---的整数部分为s ，取01n s =+即可. ………………14分综上可知，对任意1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，n T m >，即1()2x f x -=为所求函数. ……15分。
2023-2024学年广东省深圳市校联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳市校联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （2，3，﹣1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣2，3，﹣1） B ．（2，﹣3，﹣1）C ．（2，3，1）D ．（﹣2，﹣3，1）2．直线2x ﹣y ﹣4＝0的一个方向向量为（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．（3，﹣1）D ．（1，2）3．已知直线l 的方向向量e →=(1，−2，−2)，平面α的法向量n →=(2，λ，−1)，若l ∥α，则λ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣24．已知a ，b ∈R ，则“直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知空间三点A （1，﹣1，2），B （3，0，﹣1），C （2，3，﹣3），则向量AB →与CB →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，经过点P （x 0，y 0，z 0），且法向量为m →=(A ，B ，C)的平面方程为A （x ﹣x 0）+B （y ﹣y 0）+C （z ﹣z 0）＝0，经过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为n →=(a ，b ，c)(abc ≠0)的直线l 的方程为x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x ﹣7y +z ﹣4＝0，经过（0，0，0）的直线l 的方程为x2=y 3=z−1，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√217B ．√219C ．√2114D ．√2167．已知直线y ＝2x +m 与曲线y =√4x −x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围为（ ） A ．[0，2√5−4)B ．[0，2√5−4]C ．[−2√5−4，0)D ．[−2√5−4，0]8．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），点P 在平面ABC 内，且OP ⊥平面ABC ，则|BP |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．√263D ．√423二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于直线l ：√3x ﹣y ﹣1＝0，下列说法正确的有（ ） A ．过点（√3，﹣2） B ．斜率为√3 C ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为110．若平面α⊥β，平面α的法向量为n →=(2，1，−4)，则平面β的一个法向量可以是（ ） A ．（2，0，1）B ．（﹣2，﹣1，4）C ．（1，2，1）D ．(1，12，−2)11．已知圆心为C 的圆x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0与点A （0，﹣5），则（ ） A ．圆C 的半径为2 B ．点A 在圆C 外C ．点A 与圆C 上任一点距离的最大值为3√2D ．点A 与圆C 上任一点距离的最小值为√212．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其中以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1=√6B ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√66C ．AC 1⊥平面A 1BDD ．AA 1与平面ABCD 所成角的余弦值为√34三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l 1：2x +ay ﹣4＝0与直线l 2：（a ﹣1）x +3y ﹣4＝0平行，则实数a 的值为 ．14．已知直线l 的方向向量为（﹣3，m ，2），平面α的法向量为（n ，3，4），且l ⊥α，则2m +n ＝ ． 15．已知圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36与圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4只有一条公切线，则a 2+b 2＝ ． 16．四面体ABCD 各顶点坐标为（2，2，1），（2，1，0），（0，1，1），（0，2，0），则它的外接球的表面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝120°，F 为CD 的中点，PB ＝2，以B 为坐标原点，BA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出B ，D ，P ，F 四点的坐标；（2）求cos〈PD →，BF →〉．18．（12分）已知△ABC 的三个顶点是A （2，3），B （1，2），C （4，﹣4）． （1）求BC 边上的高所在直线l 1的方程；（2）若直线l 2过点C ，且点A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程． 19．（12分）已知圆C 经过A （0，2），B （1，1），且圆心在直线l 1：2x +y ﹣4＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）若从点M （3，5）发出的光线经过直线l 2：x +y ﹣1＝0反射后恰好平分圆C 的圆周，求反射光线所在直线的方程．20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面三角形ABC 是边长为4的正三角形，侧面ACC 1A 1是菱形，且平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，C 1G →=2GC →． （1）证明：EF ∥平面ABB 1A 1；（2）若①三棱锥C 1﹣ABC 的体积为8；②C 1C 与底面ABC 所成角为60°；③异面直线B 1B 与AE 所成的角的大小为30°．请选择一个条件求平面EFG 与平面ABB 1A 1所成角（锐角）的余弦值．21．（12分）直线l ：（m +1）x +（2m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣4y ﹣3＝0． （1）证明：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标； （2）当直线l 被圆C 截得的弦最短时，求此时l 的方程；（3）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当△ABC 的面积最大时，求直线l 方程．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，平面ABCD ⊥平面P AB ，AB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝CD ＝2AB ＝2，PD ＝2P A ．（1）若△ABP 与△DCP 相似，三棱锥A ﹣PBC 的外接球的球心恰为PC 中点，求AB 与平面PCA 所成角的正弦值；（2）求四棱锥P﹣ABCD体积的最大值．2023-2024学年广东省深圳市校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （2，3，﹣1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣2，3，﹣1） B ．（2，﹣3，﹣1）C ．（2，3，1）D ．（﹣2，﹣3，1）解：根据空间直角坐标系中点的对称的性质，M （2，3，﹣1）关于平面yOz 对称的点的坐标为M ′（﹣2，3，﹣1）． 故选：A ．2．直线2x ﹣y ﹣4＝0的一个方向向量为（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．（3，﹣1）D ．（1，2）解：2x ﹣y ﹣4＝0变形为y ＝2x ﹣4， 故2x ﹣y ﹣4＝0的方向向量是m →=（1，2）， 只有选项D 符合，其他选项均不合要求． 故选：D ．3．已知直线l 的方向向量e →=(1，−2，−2)，平面α的法向量n →=(2，λ，−1)，若l ∥α，则λ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为l ∥α，故e →=(1，−2，−2)与n →=(2，λ，−1)垂直， 故e →⋅n →=(1，−2，−2)⋅(2，λ，−1)=2−2λ+2=0，解得λ＝2． 故选：C ．4．已知a ，b ∈R ，则“直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直， 则a （a ﹣1）+3（a ﹣1）＝0， 解得a ＝﹣3或1，故“直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直”是“a ＝1”的必要不充分条件． 故选：B ．5．已知空间三点A （1，﹣1，2），B （3，0，﹣1），C （2，3，﹣3），则向量AB →与CB →的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：因为AB →=(2，1，−3)，CB →=(1，−3，2)， 所以cos〈AB →，CB →〉=−714×14=−12，又＜AB →，CB →＞∈（0，π），所以 〈AB →.CB →〉=2π3． 故选：C ．6．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，经过点P （x 0，y 0，z 0），且法向量为m →=(A ，B ，C)的平面方程为A （x ﹣x 0）+B （y ﹣y 0）+C （z ﹣z 0）＝0，经过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为n →=(a ，b ，c)(abc ≠0)的直线l 的方程为x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x ﹣7y +z ﹣4＝0，经过（0，0，0）的直线l 的方程为x2=y 3=z−1，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√217B ．√219C ．√2114D ．√216解：由题意得，直线l 的方向向量为n 1→=(2，3，−1)，平面α的法向量为m 1→=(2，−7，1)， 设直线l 与平面α所成角的大小为θ， 则sinθ=|cos〈n 1→，m 1→〉|=√4+9+1×√4+49+1=|4−21−1|√14×√54=√217．故选：A ．7．已知直线y ＝2x +m 与曲线y =√4x −x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围为（ ） A ．[0，2√5−4)B ．[0，2√5−4]C ．[−2√5−4，0)D ．[−2√5−4，0]解：曲线y =√4x −x 2表示圆（x ﹣2）2+y 2＝4在x 轴的上半部分，当直线y ＝2x +m 与圆（x ﹣2）2+y 2＝4相切时，√5=2，解得m =±2√5−4，当点（0，0）在直线y ＝2x +m 上时，m ＝0， 可得m ∈[0，2√5−4)，所以实数取值范围为[0，2√5−4)．故选：A ．8．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），点P 在平面ABC 内，且OP ⊥平面ABC ，则|BP |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．√263D ．√423解：由A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），得AB →=(−1，−1，2)，AC →=(0，−2，2)， 设平面ABC 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=−x −y +2z =0n →⋅AC →=−2y +2z =0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝1， 故n →=(1，1，1)，又OB →=(0，1，2)，OP ⊥平面ABC ，所以OP →=|OB →⋅n →||n →|=√3，又|OB →|=√02+12+22=√5，所以|BP|=√|OB →|2−|OP →|2=√5−3=√2． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于直线l ：√3x ﹣y ﹣1＝0，下列说法正确的有（ ） A ．过点（√3，﹣2） B ．斜率为√3 C ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1解：对于直线l ：√3x ﹣y ﹣1＝0，取x =√3时，y ＝2，故A 错误； 取x ＝0时，y ＝﹣1，即直线在y 轴上的截距为﹣1，故D 错误； 化直线方程为斜截式：y =√3x −1，可得直线的斜率为√3，故B 正确； 设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ=√3，θ＝60°，故C 正确． 故选：BC ．10．若平面α⊥β，平面α的法向量为n →=(2，1，−4)，则平面β的一个法向量可以是（ ） A ．（2，0，1）B ．（﹣2，﹣1，4）C ．（1，2，1）D ．(1，12，−2)解：根据题意，n →=(2，1，−4)与平面β的法向量数量积为零，对A ：因为（2，1，﹣4）•（2，0，1）＝4﹣4＝0，满足题意，故A 正确； 对B ：因为（2，1，﹣4）•（﹣2，﹣1，4）＝﹣4﹣1﹣16＝﹣21≠0，故B 错误； 对C ：因为（2，1，﹣4）•（1，2，1）＝2+2﹣4＝0，满足题意，故C 正确； 对D ：因为(2，1，−4)⋅(1，12，−2)=2+12+8=212≠0，故D 错误． 故选：AC ．11．已知圆心为C 的圆x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0与点A （0，﹣5），则（ ） A ．圆C 的半径为2 B ．点A 在圆C 外C ．点A 与圆C 上任一点距离的最大值为3√2D ．点A 与圆C 上任一点距离的最小值为√2解：由圆x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0得（x ﹣2）2+（y +3）2＝2，知半径为√2，故A 错误；把点A （0，﹣5）代入圆的方程x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0的左边代数式有02+（﹣5）2﹣4×0+6×（﹣5）+11＝6＞0，所以点A 在圆C 外，故B 正确；圆心C 到A 的距离为|⬚|=√(2−0)2+(−3+5)2=2√2，所以圆C 上任一点到A 的距离的最大值为2√2+√2=3√2，最小距离为2√2−√2=√2；故CD 正确； 故选：BCD ．12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其中以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1=√6B ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√66C ．AC 1⊥平面A 1BDD ．AA 1与平面ABCD 所成角的余弦值为√34解：由题可得：|AB →|=|AD →|=|AA 1→|=1，AB →⋅AD →=AB →⋅AA 1→=AD →⋅AA 1→=12， 对于A ，因为AC 1→=AB →+BC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→， 所以|AC 1→|=√(AB →+AD →+AA 1→)2=√AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA →1=√1+1+1+2×12+2×12+212=√6，故A 正确；对于B ，因为BD 1→=AD 1→−AB →=AD →+AA 1→−AB →，AC →=AD →+AB →，所以BD 1→⋅AC →=(AD →+AA 1→−AB →)⋅(AD →+AB →)=1，|BD 1→|=√2，|AC →|=√3， 所以|cos ＜BD 1→，AC →＞|=|BD 1→⋅AC →||BD 1→|⋅|AC →|=√66，故B 正确；对于C ，因为BD →=AD →−AB →，BA 1→=AA 1→−AB →，所以AC 1→⋅BD →=(AB →+AD →+AA 1→)⋅(AD →−AB →)=0，AC 1→⋅BA 1→=(AB →+AD →+AA 1→)⋅(AA 1→−AB →)=0， 又因为BD ∩BA 1＝B ，所以AC 1⊥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，由题意知，AA 1在平面ABCD 上的射影为AC ，所以AA 1与AC 的夹角即为所求，因为AA 1→⋅AC →=AA 1→⋅(AB →+AD →)=AA 1→⋅AB →+AA 1→⋅AD →=1， 所以|cos ＜AA 1→，AC →＞|=|AA 1→⋅AC →||AA 1→||AC →|=11×√3=√33，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l 1：2x +ay ﹣4＝0与直线l 2：（a ﹣1）x +3y ﹣4＝0平行，则实数a 的值为 ﹣2 ． 解：由于直线l 1：2x +ay ﹣4＝0与直线l 2：（a ﹣1）x +3y ﹣4＝0平行， 故2×3﹣a （a ﹣1）＝0，解得a ＝3或﹣2； 当a ＝3时，两直线重合， 故a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．已知直线l 的方向向量为（﹣3，m ，2），平面α的法向量为（n ，3，4），且l ⊥α，则2m +n ＝ ﹣3 ． 解：设平面的法向量（n ，3，4）为m →， 因为l ⊥α， 所以m →∥l →，所以有−3n=m 3=24⇒{m =32n =−6⇒2m +n =2×32−6=−3．故答案为：﹣3．15．已知圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36与圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4只有一条公切线，则a 2+b 2＝ 16 ． 解：圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36，则圆心C 1（a ，0），半径r 1＝6， 圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4， 则圆心C 2（a ，0），半径r 2＝2，圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36与圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4只有一条公切线， 则两圆内切，即|C 1C 2|＝r 1﹣r 2， 故√a 2+(−b)2=4，即a 2+b 2＝16． 故答案为：16．16．四面体ABCD 各顶点坐标为（2，2，1），（2，1，0），（0，1，1），（0，2，0），则它的外接球的表面积为 6π ．解：设四面体ABCD 外接球的球心为（x ，y ，z ），则（x ﹣2）2+（y ﹣2）2+（z ﹣1）2＝（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+z 2＝x 2+（y ﹣1）2+（z ﹣1）2＝x 2+（y ﹣2）2+z 2，解得{ x =1y =32z =12， 即四面体ABCD 外接球的球心为（1，32，12），则外接球的半径为√12+(32−2)2+(12)2=√62，即它的外接球的表面积为4π×(√62)2=6π．故答案为：6π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝120°，F 为CD 的中点，PB ＝2，以B 为坐标原点，BA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出B ，D ，P ，F 四点的坐标； （2）求cos〈PD →，BF →〉．解：（1）由题意知，△BCD 是等边三角形，∠ABD ＝60°，BD ＝2，所以BF =√3，所以B （0，0，0），D （1，√3，0），P （0，0，2），F （0，√3，0）；（2）PD →=（1，√3，﹣2），BF →=（0，√3，0），所以cos ＜PD →，BF →＞=PD →⋅BF→|PD →||BF →|=0+3+01+3+4×3=√64． 18．（12分）已知△ABC 的三个顶点是A （2，3），B （1，2），C （4，﹣4）．（1）求BC 边上的高所在直线l 1的方程；（2）若直线l 2过点C ，且点A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：（1）由B （1，2），C （4，﹣4）．所以k BC =−4−24−1=−63=−2， 所以BC 边上的高所在直线l 1的斜率为k =12，则BC 边上的高所在直线l 1的方程y −3=12(x −2)，即x ﹣2y +4＝0．（2）因为点A ，B 到直线l 2的距离相等，所以直线l 2与AB 平行或通过AB 的中点，①当直线l 2与AB 平行，因为k AB =3−22−1=1=k l 2，且l 2过点C ， 所以l 2方程为y +4＝x ﹣4，即x ﹣y ﹣8＝0．②当直线l 2通过AB 的中点D(32，52)， 所以k CD =−4−524−32=−135， 所以l 2的方程为y +4=−135(x −4)，即13x +5y ﹣32＝0．综上：直线l 2的方程为x ﹣y ﹣8＝0或13x +5y ﹣32＝0．19．（12分）已知圆C 经过A （0，2），B （1，1），且圆心在直线l 1：2x +y ﹣4＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）若从点M （3，5）发出的光线经过直线l 2：x +y ﹣1＝0反射后恰好平分圆C 的圆周，求反射光线所在直线的方程．解：（1）由题知AB 中点为(12，32)，k AB =2−10−1=−1， 所以AB 的垂直平分线方程为y −32=x −12，即x ﹣y +1＝0，联立{x −y +1=02x +y −4=0，解得{x =1y =2，即圆心为（1，2）， 所以圆C 的半径为r =√(1−0)2+(2−2)2=1，故圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1．（2）设M 关于l 2的对称点为N （x ，y ），则直线MN 与l 2垂直，且MN 的中点(x+32，y+52)在直线l 2上，则{x+32+y+52−1=0y−5x−3=1，解得N （﹣4，﹣2）， 由题意知反射光线过圆心，故y−2−4=x−1−5，即4x ﹣5y +6＝0． 20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面三角形ABC 是边长为4的正三角形，侧面ACC 1A 1是菱形，且平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，C 1G →=2GC →．（1）证明：EF ∥平面ABB 1A 1；（2）若①三棱锥C 1﹣ABC 的体积为8；②C 1C 与底面ABC 所成角为60°；③异面直线B 1B 与AE 所成的角的大小为30°．请选择一个条件求平面EFG 与平面ABB 1A 1所成角（锐角）的余弦值．（1）证明：取A 1B 1的中点M ，连接ME ，MB ，则ME ∥B 1C 1∥BF ，ME =12B 1C 1=12BC ＝BF ，∴四边形MEFB 为平行四边形，∴EF ∥MB ，∵EF ⊄平面ABB 1A 1，MB ⊂平面ABB 1A 1，∴EF ∥平面ABB 1A 1．（2）解：过点C 1作C 1O ⊥AC 于O ，连接OB ，∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ，∴C 1O ⊥平面ABC ，选择条件①：三棱锥C 1﹣ABC 的体积V =13•C 1O •S △ABC =13•C 1O •12×4×2√3=8，∴C 1O ＝2√3， 在Rt △C 1OC 中，OC =√CC 12−C 1O 2=2， ∴点O 为AC 的中点，∴OB ⊥AC ，故以O 为原点，OB 、OC 、OC 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （2√3，0，0），E （0，﹣2，2√3），F （√3，1，0），G （0，43，2√33），A （0，﹣2，0），C （0，2，0），C 1（0，0，2√3）， ∴EF →=（√3，3，﹣2√3），EG →=（0，103，4√33）， AB →=（2√3，2，0），BB 1→=CC 1→=（0，﹣2，2√3），设平面ABB 1A 1的一个法向量为m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅AB →=0m →⋅BB 1→=0，即{2√3a +2b =0−2b +2√3c =0，令a ＝1，则b =−√3，c ＝﹣1， ∴平面ABB 1A 1的一个法向量为m →=（1，−√3，﹣1），设平面EFG 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EF →=0n →⋅EG →=0，即{√3x +3y −2√3z =0103y −4√33z =0， 令y ＝1，则x =2√33，z =5√36，∴n →=（2√33，1，5√36）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2√33−√3−5√36√5×√43+1+2512=−7√265265， 故平面EFG 与平面ACC 1A 1所成的二面角（锐角）的余弦值为7√265265．选择条件②：∵C 1C 与底面所成的角为60°，∴∠C 1CO ＝60°，∴OC ＝2，∴点O 为AC 的中点，∴OB ⊥AC ，下面的过程同条件①中的步骤．选择条件③：∵BB 1∥AA 1，∴∠A 1AE 即为异面直线BB 1与AE 所成的角，即∠A 1AE ＝30°，∵AA 1＝4，A 1E ＝2，∴∠AA 1E ＝60°，即∠C 1CO ＝60°，下面的过程同条件②中的步骤．21．（12分）直线l ：（m +1）x +（2m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣4y ﹣3＝0．（1）证明：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标；（2）当直线l 被圆C 截得的弦最短时，求此时l 的方程；（3）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当△ABC 的面积最大时，求直线l 方程．解：（1）证明：由题意知l 可化为m （x +2y ﹣7）+（x +y ﹣4）＝0，故{x +2y −7=0x +y −4=0，解得P （1，3）， ∴直线l 恒过定点P （1，3）．（2）∵C ：x 2+y 2﹣6x ﹣4y ﹣3＝0，∴圆C 的圆心为（3，2），半径r ＝4，如图所示：k PC =2−33−1=−12，当直线l 被圆截得的弦长最短时，l 与PC 垂直，k 1＝2，∴y ﹣3＝2（x ﹣1），即2x ﹣y +1＝0．（3）S △ABC =12r 2sin ∠ACB ，且∠ACB 为钝角，∴当CP ⊥I 时sin ∠ACB 有最大值，即面积有最大值，此时同（2），即l ：2x ﹣y +1＝0．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，平面ABCD ⊥平面P AB ，AB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝CD ＝2AB ＝2，PD ＝2P A ．（1）若△ABP 与△DCP 相似，三棱锥A ﹣PBC 的外接球的球心恰为PC 中点，求AB 与平面PCA 所成角的正弦值；（2）求四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值．解：（1）由题意知BP ：PC ＝1：2，∵平面ABCD ⊥平面P AB ，平面ABCD ∩平面P AB ＝AB ，且BC ⊥AB ，BC ⊂平面APB ，∴BC ⊥平面APB ，∴BC ⊥BP ，又∵BC ＝2，BP =2√3，PC =4√3， 又∵三棱锥A ﹣PBC 外接球的球心恰为PC 中点，∴P A ⊥AC ，AC =√AB 2+BC 2=√5，∴PA 2=163−5=13，即PA =1√3， ∵P A 2+AB 2＝PB 2，∴P A ⊥AB ，又∵V C ﹣ABP ＝V B ﹣P AC ，∴13×2×12×1×√3=13×12×√3×√5×ℎ，∴ℎ=25， 设AB 与平面PCA 所成角的正弦值为θ，∴sinθ=2√51=2√55． 即AB 与平面PCA 所成角的正弦值为2√55．（2）易知四边形ABCD 的面积为3，如图以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，易知点P 在平面yOz 内，设P （0，y ，z ），A （0，1，0），D （2，2，0），由PD ＝2P A 得4+（y ﹣2）2+z 2＝4（y ﹣1）2+4z 2，即3y 2+3z 2﹣4y ﹣4＝0，即(y −23)2+z 2=169， ∴P 轨迹是在面yOz 上，以(0，23，0)为圆心，43为半径的圆，∴要使四棱锥P ﹣ABCD 体积最大，即P 到平面ABCD 距离最大，且最大值为43， ∴四棱锥P ﹣ABCD 体积最大值V =13×43×12(1+2)×2=43．。
广东省深圳市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省深圳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x∈N|x2-2x≤0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数为（）A . 3B . 4C . 7D . 82. （2分） (2019高一下·宿迁期末) 在中，角的对边分别为，若，则形状是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰或直角三角形3. （2分）已知，则是成立的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2017高一下·简阳期末) 设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=3，a+b=2 的最大值为（）A . 2B .C . 1D .5. （2分） (2016高一下·南平期末) 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=﹣1，S4=14，则a4等于（）A . 2B . 4C . 6D . 86. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知等比数列满足，且，则当时，（）A .B .C .D .7. （2分）阅读如图所示的程序框图，若输入变量n为100，则输出变量S为（）A . 2500B . 2550C . 2600D . 26508. （2分）(2016·商洛模拟) △ABC中，B=60°，最大边与最小边的比为，则△ABC的最大角为（）A . 60°B . 75°C . 90°D . 105°9. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，且S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20=（）A . 54B . 48C . 32D . 1610. （2分）(2017·鹰潭模拟) 已知x，y满足，则z=x2+6x+y2+8y+25的取值范围是（）A . [ ，81]B . [ ，73]C . [65，73]D . [65，81]11. （2分）(2017·潮南模拟) 在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C等于（）A . 30°B . 150°C . 30°或150°D . 60°或120°12. （2分）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A .B .C .D . 5二、填空 (共4题；共5分)13. （2分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是________a+b的取值范围是________．14. （1分）(2020·淮南模拟) 若实数x，y满足则的最大值为________．15. （1分）若数列{an}是正项数列，且，则 =________．16. （1分） (2017高二上·张掖期末) 不等式（x+1）（2﹣x）＜0的解集为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2018高三上·泉港期中) 已知等差数列的前n项和为，，．Ⅰ 求数列的通项公式；Ⅱ 设，求证：数列是等比数列，并求的前n项和．18. （5分） (2019高三上·天津期末) 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知．1 求角C的大小19. （10分） (2016高二上·枣阳开学考) 已知f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且b2﹣6b+9≤0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞0，解关于x的不等式x2﹣（a2+a+1）x+a3+3＜f（x）．20. （5分） (2019高一上·柳江期中) “2019年”是一个重要的时间节点——中华人民共和国成立70周年，和全面建成小康社会的关键之年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就.趁此良机，李明在天猫网店销售“新中国成立70周年纪念册”，每本纪念册进价4元，物流费、管理费共为元/本，预计当每本纪念册的售价为元（时，月销售量为千本.（I）求月利润（千元）与每本纪念册的售价X的函数关系式，并注明定义域：（II）当为何值时，月利润最大？并求出最大月利润.21. （5分）(2019·河西模拟) 已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列．（Ⅰ）求的值和的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和．22. （10分） (2017高一下·启东期末) 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA= asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。
2023-2024学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题。
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若i 为虚数单位，则复数z =2−i1−i的实部为（ ） A ．12B ．32C ．−12D ．−322．直线l ：x ﹣y +1＝0关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．x +y ﹣1＝0B ．x ﹣y +1＝0C ．x +y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝03．已知|a →|=3，|b →|=4，且a →与b →的夹角θ＝150°，则|a →+b →|为（ ） A ．√25−10√3B ．√25−11√3C ．√25−12√3D ．√25−13√34．在三棱锥P ﹣ABC 中，AP 、AB 、AC 两两互相垂直，AP ＝3，AB ＝1，AC =√15，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．20πC ．25πD ．36π5．数学上规定，圆锥的顶点到该圆锥底面圆周上任意一点的连线叫圆锥的母线；沿圆锥的任意一条母线剪开展开成平面图形即为一个扇形；展开后的扇形的半径就是圆锥的母线，展开后的扇形的弧长就是圆锥底面周长；通过展开，就把求立体图形的侧面积转化为了求平面图形的面积．设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，则展开后的扇形半径为l ，弧长为圆锥底面周长2πr ，扇形的面积公式为：S =12×扇形半径×扇形弧长=12×l ×2πr =πrl ．故圆锥侧面积公式为S ＝πrl ．已知圆锥的底面直径为2√3，轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π6．正三棱锥O ﹣ABC 的侧棱长为4，底面边长为6，则顶点O 到底面ABC 的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数（x ，y ）表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝60°，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算cos ∠MPN 的值为（ ）A ．√714B ．√77C ．√715D ．2√7158．已知直线l ：x +y ﹣1＝0截圆Ω：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）所得的弦长为√14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l '：（1+2m ）x +（m ﹣1）y ﹣3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值范围为（ ） A ．[2−√2，2+√3] B ．[2−√2，2+√2] C ．[√6−√2，√6+√3] D ．[√6−√2，√6+√2] 二、多项选择题。
2014-2015第2学期深高级高二期中考(理科)数学试卷
2014-2015学年深圳市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，）1．（5分）从一副扑克牌（54张）中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是（）A．B．C．D．2．（5分）设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．B．1﹣p C．1﹣2p D．3．（5分）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写（）A．i＜5？，B．i≤5？，C．i＜5？，D．i≤5？，4．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，95．（5分）如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（5分）学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班1颗，则不同的发放方法共（）A．4种B．20种C．18种D．10种8．（5分）容量100的样本数据，按从小到大的顺序分8组，如表：第三组的频数和频率分别是（）A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和9．（5分）“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2．则含有数字0，1，2，且有两个相同数字的四位数的个数为（）A．18 B．24 C．27 D．3610．（5分）一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（）A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.411．（5分）相关变量x、y的样本数据如下表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为=1.1x+a，则a=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.412．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为．14．（5分）若（x2﹣）6的二项展开式中x3项的系数为，则实数a=．15．（5分）某数学老师身高175cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是172cm、169cm、和181cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．16．（5分）如图所示的程序框图，若输入n=2015，则输出的s值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17．（10分）将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望．18．（12分）已知二项展开式中第三项的系数为180，求：（Ⅰ）含x3的项；（Ⅱ）二项式系数最大的项．19．（12分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：（Ⅰ）求a的值和ξ的数学期望；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．20．（12分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员土的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为‘满意’，否则为“不满意”，请完成下列表格：〔3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：22．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？2014-2015学年深圳市高级中学高二（下）期中数学试卷（理）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015春•深圳校级期中）从一副扑克牌（54张）中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是（）A．B．C．D．【分析】用K的扑克张数除以一副扑克的总张数即可求得概率．【解答】解：∵一副扑克共54张，有4张K，∴正好为K的概率为=，故选D．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．2．（5分）（2012•历下区校级模拟）设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．B．1﹣p C．1﹣2p D．【分析】随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ＞1）=p，得到P（1＞ξ＞0）=﹣p，再根据对称性写出要求概率．【解答】解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ＞1）=p，∴P（1＞ξ＞0）=﹣p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故选D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题的主要依据是曲线的对称性，这种问题可以出现在选择或填空中．3．（5分）（2015•深圳二模）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写（）A．i＜5？，B．i≤5？，C．i＜5？，D．i≤5？，【分析】根据流程图所表示的算法功能可知求的值，从而应该利用来累加，根据循环的次数，可得处理框应填结果．【解答】解：程序框图是计算的值，则可利用循环结构累加，共循环4次，则第一个处理框应为i＜5，然后计算，第二空应填写．故选：C．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，本题属于基础题．4．（5分）（2010•湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．5．（5分）（2015•湖北模拟）如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由边长为的正方形面积减去半径为的四分之一圆的面积得到．【解答】解：如图，由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，∵试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2×2=4，空白区域的面积是2（4﹣π）=8﹣2π，∴阴影区域的面积为4﹣（8﹣2π）=2π﹣4∴由几何概型公式得到P==﹣1，故选B．【点评】本题考查几何概型、等可能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答．6．（5分）（2010•江西）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C8820（﹣1）8=1即为所求【解答】解：中，令x=1得展开式的各项系数和为1的展开式的通项为=令得含x4项的系数为C8820（﹣1）8=1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故选项为B【点评】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．7．（5分）（2015春•深圳校级期中）学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班1颗，则不同的发放方法共（）A．4种B．20种C．18种D．10种【分析】根据题意，分2种情况讨论，①、将3个排球、1个篮球分给4个班，②、将2个排球、2个篮球分给4个班，分别求出每种情况的发放方法数目，由分类计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，①、将3个排球、1个篮球分给4个班，在4个班中取出3个，分得排球剩余1个班分得篮球即可，则有C43=4种情况，②、将2个排球、2个篮球分给4个班，在4个班中取出2个，分得排球剩余2个班分得篮球即可，则有C42=6种情况，则共有6+4=10种发放方法，故选D．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意篮球、排球之间是相同的．8．（5分）（2010•云南模拟）容量100的样本数据，按从小到大的顺序分8组，如表：第三组的频数和频率分别是（）A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和【分析】由容量100的样本数据知有100个数字，而其他组的数字个数都是已知，得到要求的结果，根据样本容量和本组数据的个数得到本组数据的频率．【解答】解：∵由容量100的样本数据知有100个数字，而其他组的数字个数都是已知，∴频数为100﹣（10+13+14+14+13+12+90）=14频率为．故选A．【点评】本题考查频率分布，这种问题通常以选择和填空的形式出现，是能得分的题目．9．（5分）（2012•深圳一模）“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2．则含有数字0，1，2，且有两个相同数字的四位数的个数为（）A．18 B．24 C．27 D．36【分析】分一下几类：①四位数中含有2个0②四位数中含有2个1③四位数中含有2个2，根据分类计数原理，结合排列组合的知识可求【解答】解：根据题意分以下几类①四位数中含有2个0：先从1，2中选出1个放在首位，有种选法，然后再把余下的1个数与2个0一起排列，有种，共有=6个②四位数中含有2个1：先让4个数全排，去掉0排在首位的，然后再除以两个1的重复1情况，共有=9③四位数中含有2个2：共有9个根据分类计数原理可知，共有6+9+9=24故选B【点评】本题主要考查了分类计数原理及排列组合知识在求解实际问题中的应用，属于基础试题10．（5分）（2015春•深圳校级期中）一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（）A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4【分析】由题意知ξ=0，1，2，3，当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中，当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中，当ξ=3时，表示第一次射中，算出概率和期望．【解答】解：由题意知ξ=0，1，2，3，∵当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，∴P（ξ=0）=0.43，∵当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中∴P（ξ=1）=0.6×0.42，∵当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中∴P（ξ=2）=0.6×0.4，∵当ξ=3时，表示第一次射中，∴P（ξ=3）=0.6，∴Eξ=2.376．故选C．【点评】本题在解题过程中当随机变量为0时，题目容易出错同学们可以想一想，模拟一下当时的情况，四颗子弹都用上说明前三次都没有射中，而第四次无论是否射中，子弹都为0．11．（5分）（2014•深圳一模）相关变量x、y的样本数据如下表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为=1.1x+a，则a=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【分析】由样本数据可得，=3，=3.6，代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：由题意，==3，==3.6，∵回归直线方程为=1.1x+a，∴3.6=1.1×3+a，∴a=0.3．故选：C．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．12．（5分）（2012•铁东区校级模拟）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P （η≥2）的值为（）A．B．C．D．【分析】根据随机变量ξ～B（2，p），，写出概率的表示式，求出其中P的值，把求得的P的值代入η～B（4，p），求出概率．【解答】解：∵随机变量ξ～B（2，p），，∴1﹣p0•（1﹣p）2=，∴P=，∴η～B（4，），∴P（η≥2）=+=，故选B．【点评】本题考查二项分布及独立重复试验的模型，本题解题的关键是首先根据条件求出题目中要用的P 的值，在根据二项分布的概率公式得到结果．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2015春•深圳校级期中）甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 1.2．【分析】由题意知，在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，得到本题是一个独立重复试验，试验的次数是3，事件发生的概率已知，根据独立重复试验的期望公式得到结果．【解答】解：设甲在途中遇红灯次数为ξ，∵在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是∴ξ～B（3，），∴Eξ=3×=1.2．故答案为：1.2【点评】本题是一个独立重复试验，在近几年的高考中这种题目越来越重要，是一种经常出现的选择或填空题，是一个基础题．14．（5分）（2013•莱城区校级模拟）若（x 2﹣）6的二项展开式中x 3项的系数为，则实数a= ﹣2 ．【分析】由二项式定理可得（x 2﹣）6的二项展开式的通项，令x 的指数为3，可得r 的值为3，代入通项可得含x 3项，结合题意，可得（﹣）3×C 63=，解可得答案．【解答】解：（x 2﹣）6的二项展开式的通项为T r +1=C 6r×（x 2）6﹣r×（﹣）r=（﹣）r ×C 6r ×x12﹣3r，令12﹣3r=3，可得r=3， 此时T 4=（﹣）3×C 63×x 3，又由题意，其二项展开式中x 3项的系数为，即（﹣）3×C 63=，解可得a=﹣2； 故答案为﹣2．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是正确写出该二项式展开式的通项．15．（5分）（2015春•深圳校级期中）某数学老师身高175cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是172cm 、169cm 、和181cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 184 cm ．【分析】利用最小二乘法求回归系数，得回归直线方程，代入儿子的身高可得即可预测变量孙子的身高． 【解答】解：根据题意可得：∴==172， ==175，直接计算得：===1，=﹣=175﹣1×172=3，∴预测该教师孙子的身高y=x+=1×181+3=184cm，故答案为：184．【点评】本题考查线性回归方程，列出表格是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（5分）（2015•固原校级二模）如图所示的程序框图，若输入n=2015，则输出的s值为．【分析】模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求s=sin+sin+…+sin的值，观察规律可得sin的取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，从而可得s=sin+sin+sinπ+sin=．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求s=sin+sin+…+sin的值，∵因为sin取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，∴2014=335*6+4，所以s=sin+sin+…+sin=sin+sin+sinπ+sin=．故答案为：．【点评】本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17．（10分）（2015春•深圳校级期中）将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望．【分析】由题意知巧合数ξ的可能取值是0、1、2、3、4，当ξ=0时表示没有巧合数，试验包含的所有事件是四个数在四个位置排列，而满足条件的事件是没有巧合数，共有3×3种结果，类似的可以做出其他的概率，得到期望．【解答】解：设ξ为巧合数，则ξ的可能取值是0、1、2、3、4，当ξ=0时表示没有巧合数，试验包含的所有事件是四个数在四个位置排列，共有A44种结果，而满足条件的事件是没有巧合数，共有3×3种结果，类似的可以做出其他的概率，则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=0，P（ξ=4）==，∴Eξ=0×+1×+2×+3×0+4×=1．∴巧合数的期望为1．【点评】让学生进一步理解期望是反映随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．区别随即机变量的期望与相应数值的算术平均数．18．（12分）（2015春•深圳校级期中）已知二项展开式中第三项的系数为180，求：（Ⅰ）含x3的项；（Ⅱ）二项式系数最大的项．【分析】（Ⅰ）根据第三项的系数为180求得n=10，再求出通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得含x3的项．（Ⅱ）二项式系数最大的项为中间项，再利用通项公式求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：第三项的系数为，=45，求得n=10，可得通项公式为，令，得r=6，∴含x3的项为．（Ⅱ）二项式系数最大的项为中间项，即．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．19．（12分）（2009•陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：（Ⅰ）求a的值和ξ的数学期望；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【分析】（1）对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是1，即P1+P2+…=1．借此，我们可以求出a值，再利用数学期望的定义求解．（2）由题意得，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的事件分解成两个互斥事件之和，分别求出这两个事件的概率后相加即可．【解答】解：（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解得a=0.2，ξ的概率分布为∴（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每月均被投诉1次”则由事件的独立性得P（A1）=C21P（ξ=2）P（ξ=0）=2*0.4*0.1=0.08P（A2）=[P（ξ=1）]2=0.32=0.09∴P（A）=P（A1）+P（A2）=0.08+0.09=0.17故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，通常情况下，都是先求出随机变量取每个值时的概率、再得其分布列、最后用数学期望与方差的定义求解；求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率．20．（12分）（2015•惠州模拟）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式求解即可．（2）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，由题意知抽取的次数可能的取值是1、2、3、4，求出概率的分布列，然后求解期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”，…（1分）因为奇数加偶数可得奇数，所以所以所得新数是奇数的概率等于．…（4分）（2）ξ所有可能的取值为1，2，3，4，…（5分）根据题意得P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=…（9分）故t=3的分布列为…（10分）E（ξ）=．…（12分）【点评】本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力．21．（12分）（2014•深圳二模）某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员土的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为‘满意’，否则为“不满意”，请完成下列表格：〔3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：【分析】（1）求出任选一名员工，它的得分大于45分的概率，即可估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）根据所给数据，可得2×2列联表；（3）求出k，与临界值比较，即可得出能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关．【解答】解：（1）从表中可知，30名员工中有8名得分大于45分，所以任选一名员工，它的得分大于45分的概率是=，所以估计该企业得分大于45分的员工人数为900×=240；（2）表格：〔3）k=≈8.571＞6.635．因为P（K2＞6.635）=0.010，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关．【点评】本题考查了古典概型，列联表，独立性检验的方法等知识，考查了学生处理数据和运算求解的能力．22．（12分）（2015•深圳二模）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？【分析】（1）利用描点法可得数据的散点图；（2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程；（3）根据（2）的性回归方程，代入x=25求出PM2.5的浓度．【解答】解：（1）散点图如图所示．…（2分）（2）∵，，…（6分），，，，…（9分）故y关于x的线性回归方程是：．…（10分）（3）当x=25时，y=1.28×25+4.88=36.88≈37所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37．…（12分）【点评】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力．。
广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=2．（5分）不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=6，前7项和S7=84，则a6等于（）A．18 B．20 C．24 D．325．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件6．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定8．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8二、填空题：本大题共6小题．每小题5分，满分30分9．（5分）命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=．11．（5分）若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=．13．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知锐角△ABC的面积等于3，且AB=3，AC=4．（1）求sin（+A）的值；（2）求cos（A﹣B）的值．16．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=（）2，n∈N+，求{a n}的前n项和．17．（14分）已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．18．（14分）设f（x）=ax2+bx，1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（﹣2）的取值范围．19．（14分）已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．20．（14分）已知等比数列{a n}满足：a2=4公比q=2，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=b n﹣a n+（n∈N*）．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项a n和b n；（2）设c n=（n∈n*），证明：++…+＜．广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．2．（5分）不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）考点：绝对值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：首先题目求不等式||＞的解集，考虑到分析不等式||＞含义，即的绝对值大于其本身，故可以得到的值必为负数．解得即可得到答案．解答：解：分析不等式||＞，故的值必为负数．即，解得0＜x＜2．故选A．点评：此题主要考查绝对值不等式的化简问题，分析不等式||＞的含义是解题的关键，题目计算量小，属于基础题型．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过可行域内的点B时，从而得到m值即可．解答：解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选C．点评：本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=6，前7项和S7=84，则a6等于（）A．18 B．20 C．24 D．32考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由S7=84结合等差数列的性质求得a4=12，再由等差中项的概念列式求解a6的值．解答：解：在等差数列{a n}中，由S7=84，得：，即a4=12，又a2=6，∴a6=2a4﹣a2=2×12﹣6=18．故选：A．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，关键是由S7=84求得a4，是基础题．5．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．解答：解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B点评：本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．6．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．解答：解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．故选C点评：本题主要考查余弦定理的应用．注意与正弦定理的巧妙结合．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定考点：余弦定理；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b=，根据＞0判断出a＞b．解答：解：∵∠C=120°，c=a，∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2﹣b2=ab，a﹣b=，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=，∴a＞b故选A点评：本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．8．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8考点：带绝对值的函数；函数最值的应用．专题：选作题；不等式．分析：分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．解答：解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．点评：本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题．每小题5分，满分30分9．（5分）命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是∀x∈R，e x≤x．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：本题要求出命题的否定，由于命题是一个特称命题，故其否定是不念旧恶全称命题，特称命题的否定的书写格式书写即可解答：解：∵p：“∃x∈R，e x＞x∴￢p：∀x∈R，e x≤x故答案为∀x∈R，e x≤x点评：本题考点是命题的否定，考查命题否定的定义及命题否定的书写格式，属于基本题，在书写命题的否定时要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的书写形式是全称命题，解答此类题时要正确书写．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．解答：解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11．（5分）若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c．解答：解：由题意知，把点（﹣2，）代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为，∴a=4，b=2，c==2，则其焦距为4．故答案为4，点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及椭圆方程中a、b、c之间的关系．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=4．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由于{a n} 为等比数列，由可求得q．解答：解：∵{a n} 为等比数列，S n为其前n项和，公比为q，又∴①﹣②得：3a3=a4﹣a3=a3（q﹣1），∵a3≠0，∴q﹣1=3，q=4．故答案为：4．点评：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，着重考查公式的应用与解方程的能力，属于基础题．13．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是4．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：把式子变形=，使用基本不等式求出其最小值．解答：解：==≥2+2=4，当且仅当ab=1，a（a﹣b）=1即a=，b=时等号成立，故答案为4．点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．解答：解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知锐角△ABC的面积等于3，且AB=3，AC=4．（1）求sin（+A）的值；（2）求cos（A﹣B）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用三角形的面积公式列出关系式，将AB，AC的值代入求出sinA的值，根据A为锐角，求出cosA的值，原式利用诱导公式化简后将cosA的值代入计算即可求出值；（2）利用余弦定理列出关系式，将AB，AC，以及cosA的值代入求出BC的长，再由AC，BC，sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵AB=3，AC=4，S△ABC=AB•AC•sinA=×3×4×sinA=3，∴sinA=，又△ABC是锐角三角形，∴cosA==，∴sin（+A）=cosA=；（2）∵AB=3，AC=4，cosA=，∴由余弦定理BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=9+16﹣12=13，即BC=，由正弦定理=得：sinB==，又B为锐角，∴cosB==，则cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．16．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=（）2，n∈N+，求{a n}的前n项和．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意分别求得a1与a2，即得公差，进而可求出数列的和．解答：解：∵S n=（）2≥0，∴等差数列{a n}是递增数列d＞0．∴a1=，即=0，∴a1=1，∴a1+a2=，即（a2+1）（a2﹣3）=0，∴a2=3，∴d=3﹣1=2．∴s n=n+=n2．点评：本题考查等差数列的性质及求和公式的运用，考查学生的计算能力．17．（14分）已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；规律型．分析：根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q 为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．解答：解：∵若命题p：函数y=c x为减函数为真命题则0＜c＜1当x∈时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；当p真q假时，0＜c≤当p假q真时，c≥1故c的范围为（0，1，+∞）点评：本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．18．（14分）设f（x）=ax2+bx，1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（﹣2）的取值范围．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合；转化思想．分析：要求f（﹣2）的取值范围，解题的思路为：由f（x）关系式推出f（﹣2）与f（1）和f（﹣1）的关系，再利用f（1）和f（﹣1）的范围，即可得f（﹣2）的范围．解答：解：法一：设f（﹣2）=mf（﹣1）+nf（1）（m、n为待定系数），则4a﹣2b=m（a﹣b）+n（a+b）．即4a﹣2b=（m+n）a+（n﹣m）b．于是得，解得，∴f（﹣2）=3f（﹣1）+f（1）．又∵1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，∴5≤3f（﹣1）+f（1）≤10，故5≤f（﹣2）≤10．点评：由a＜f1（x1，y1）＜b，c＜f2（x1，y1）＜d，求g（x1，y1）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g（x1，y1）=pf1（x1，y1）+qf2（x1，y1），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得g（x1，y1）取值范围．19．（14分）已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求△PF1F2的面积．解答：解：（1）依题意得|F1F2|=2，又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=4=2a，∴a=2，∵c=1，∴b2=3．∴所求椭圆的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）设P点坐标为（x，y），∵∠F2F1P=120°，∴PF1所在直线的方程为y=（x+1）•tan 120°，即y=﹣（x+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解方程组并注意到x＜0，y＞0，可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴S△PF1F2=|F1F2|•=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．20．（14分）已知等比数列{a n}满足：a2=4公比q=2，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=b n﹣a n+（n∈N*）．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项a n和b n；（2）设c n=（n∈n*），证明：++…+＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件得，所以S n=b n﹣（2n﹣1），由此能推导出数列{}是首项为b1+2=4，公比为4的等比数列，从而得到．（2）由，得，所以=，由此能证明．解答：（1）解：由a2=4，q=2得，，（2分）∵S n=b n﹣a n+（n∈N*），∴S n=b n﹣（2n﹣1），（n∈N*），则当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=，（4分）∴，（5分）∴，（7分）∵，∴b1=2，（8分）∴数列{}是首项为b1+2=4，公比为4的等比数列，（9分）∴=4n，∴．（10分）（2）证明：由，得，（11分）∵==，k=1，2，3，…，n．（13分）∴．（14分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．。
广东省深圳市明珠学校2014_2015学年高一数学上学期期中试题
明珠学校2014~2015学年第一学期期中考试试卷高一数学（满分：150分 时量：120分钟）一．选择题：（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共50分）.1.已知集合{}{}1,2,3,4,2,3,4M N ==，则 ( )A.N M ∈B.N M ⊆C.N M ⊇D.N M =2.已知函数1-=x y 的定义域为集合A ，函数xy -=31的定义域为集合B ，则 =⋂B A ( )1|.{>x x A 或}3<x B.}31|{≤≤x x C.}31|{<≤x x D.φ3.下列各式正确的是 （ ）A. 222log 5log 6log (56)⋅=⨯B.332log 4log 5log (45)+=+C.111824(0)a a a a ⋅=>D.)0(12123231>=⋅--a aa a 4.定义在R 上的偶函数()f x ，在(0,)+∞上是增函数，则 （ ）A ． (3)(4)()f f f π<-<-B ．()(4)(3)f f f π-<-<C ．(3)()(4)f f f π<-<-D ．(4)()(3)f f f π-<-<5.三个数20.520.5,log 0.5,2a b c ===之间的大小关系是 ( )A.a c b <<B.b c a <<C.b a c <<D.a b c <<6．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤ －3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥37.下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A ．2()f x x =,()g x x = B ．()f x x =，2()x g x x = C ．2()ln f x x =，()2ln g x x = D ．x a a x f log )(=)1,0(≠>a a ,33)(x x g =8.图中的图象所表示的函数的解析式为 （ ）A ．|1|23-=x y (0≤x ≤2)B ．|1|2323--=x y (0≤x ≤2)C ．|1|23--=x y (0≤x ≤2)D ．|1|1--=x y (0≤x ≤2)9.设全集U 是实数集R ，2|{>=x x M 或}2-<x 与{}|31N x x x =≥<或都是U的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为 （ ）.A. {}|21x x -≤<B. {}|22x x -≤≤C. {}|12x x <≤D. {}|2x x <10.已已知函数,1,()(4)2, 1.2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 （ ）()+∞,1 B ．()8,1 C ．()8,4 D ．[)8,4二、填空题：（每小题5分，共20分）11.设函数()()2log 3f x x =-，则函数()f x 的定义域是________________.12.函数1(0)2xy x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭的值域是 ________________. 13，已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ,那么=)2(f14.已知函数()f x 由右表给出，则____________，满足(())(3)f f x f >的x 的值是_________________.三．解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共80分).15.（12分）已知全集{}{},42,14U R A x x B x x ==-≤≤=-<≤.(1)求A B ； (2)求U C B ；16.（12分）设函数2211)(xx x f -+=．①判断它的奇偶性； ○2 求证：)()1(x f xf -=17.．（14分）计算下列各式的值:⑴ 74log 2327log lg25lg473+++. ⑵232021)23()278()6.9()412(-+--- +6323 1.512⨯⨯ ;18(14分) (1) 判断并证明函数f(x)=x x 4+的奇偶性 (2) 证明函数 f(x)=x x 4+在),2[+∞∈x 上是增函数，并求)(x f 在]8,4[上的值域。
广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷
广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷一、单选题1．直线30x y -+=的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π32．圆22(2)(3)2x y +++=的圆心和半径分别是（）A ．()2,3,2--B ．()2,3,3-C ．()2,3--D ．()2.3-3．设,x y ∈R ，向量()()(),2,2,2,,2,3,6,3a x b y c ===- ，且,a c b ⊥ ∥c，则x y +=（）A ．8-B ．2-C ．2D ．84．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线,,,OB AC M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G在线段MN 上，且2GN MG =，现用向量,,OA OB OC 表示向量OG，设OG xOA yOB zOC =++ ，则x y z ++=（）A ．23B ．1C ．13D ．125．()1,1,2a =- ，()0,1,1b =- ，()3,5,c k =- ，若a ，b ，c共面，则实数k 为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 为CD 的中点，则点B 到平面1AEC 的距离等于（）A ．3B ．4C D 7．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 为正方形，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，则直线,AC FB 所成角的余弦值为（）A B C D 8．已知点O 是坐标原点，点M 是圆22:(3)(4)1C x y -++=上的动点，当动点P 在直线40x y ++=上运动时，PM PO +的最小值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5二、多选题9．下列说法命题正确的是（）A ．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,3,5,0,2,2,2,5,1ABC -----，则,,A B C 三点共线B ．若直线l 的方向向量为()3,0,1e =- ，平面α的法向量为()9,0,3n =-，则l ∥αC ．已知())0,1,4,1a b ==-，则a在b 上的投影向量为b- D ．已知三棱锥O ABC -，点P 为平面ABC 上的一点，且()1,2OP OA mOB nOC n m =++∈R ，则12m n +=10．下列说法正确的是（）A ．若直线的一个方向向量为()2,3，则该直线的斜率为32k =B ．“1a =”是“直线210a x y -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件C ．圆22:(1)(1)10C x y +++=与x 轴相交于,A B 两点，则6AB =D ．圆221:(1)1C x y +-=与圆222:4C x y +=的位置关系为内切11．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，且][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，则（）A ．当1λ=时，1A P PB +B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三、填空题12．如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB的坐标为()3,4,2，则四棱锥1B ABCD -的体积为.13．若()()1,0,1,0,2,2a b ==，则sin ,a b =.14．圆224x y +=与圆22+44120x y x y -+-=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为.四、解答题15．在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()140,a x y a a +-+=∈R .(1)若1a =，求过点()1,0且与直线l 平行的直线方程；(2)若直线l 与圆22:(2)(2)8C x y -++=相切，求a 的值.16．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，1190,60,BAD DAA BAA M ∠=︒∠=∠=︒为11A C 与11B D 的交点.设1,,AB a AD b AA c === .(1)用,,a b c 表示BM ，并求BM 的值；(2)求1BM AC ⋅的值.17．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，,AB AC PA ⊥⊥平面ABCD ，且1PA AB AC ===，点E 是PD 的中点.(1)求证：AC PB ⊥；(2)求二面角E AC B --的大小.18．已知圆()222:()()0M x a y a r r ++-=>的圆心M 在直线y x =上，且直线34150x y ++=与圆M 相切.(1)求圆M 的方程；(2)设圆M 与x 轴交于,A B 两点，点P 在圆M 内，且2||PM PA PB =⋅.记直线,PA PB 的斜率分别为1k 和2k ，求12k k ⋅的取值范围.19．如图1所示，在ABC V 中，,D E 分别为,AB AC 的中点，O 为DE 的中点，满足4AB AC BC ===.将ADE V 沿DE 折起到ADE V 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2.(1)求证：1A O 平面BCED ；(2)求直线1AC 和平面1A BD 所成角的正弦值；(3)线段1AC 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC 求出1A F FC 的值；若不存在，说明理由.。
广东省深圳市明珠学校2014-2015学年高二上学期生物期中试题及答案
深圳明珠学校2014—2015学年第一学期期中考试试卷高二年级生物（满分100分考试时间90分钟）一、单项选择题：本大题共20小题，每小题2分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.在我国北方，游泳爱好者冬泳入水后，身体立即发生一系列生理反应，以维持体温稳定。
此时，机体不会．．发生的反应是( )A.兴奋中枢神经系统，加强肌肉收缩B.通过反射活动引起皮肤毛细血管收缩C.通过神经系统减少汗腺分泌D.抑制垂体活动导致甲状腺激素分泌减少2.下图为人体内体温与水平衡调节的示意图，有关叙述正确的是（）①当受到寒冷刺激时，a、b、c激素的分泌均会增加②c激素分泌增多，可促进骨骼肌与内脏代谢活动增强，产生热量增加③下丘脑是体温调节中枢④下丘脑具有渗透压感受器，同时能合成、释放e激素⑤寒冷刺激使下丘脑分泌促甲状腺激素释放激素，直接促进甲状腺的活动来调节体温A．①②③ B．①②④ C．②④⑤ D．③④⑤3.下列各项中属于体液免疫的是( )A．效应T细胞促使癌细胞发生细胞凋亡B．呼吸道黏膜分泌黏液黏附病原体C．登革热病毒刺激人体产生抗体D．淋巴结内的吞噬细胞吞噬侵入人体的流感病毒4.人食用被诺如病毒（NV）污染的食物会导致呕吐与腹泻，而NV极易变异，下列推断不合理的是( )A．胃酸能杀死部分NV属于特异性免疫B．NV极易变异，人类很难研究相应的疫苗C．人体有多种抗NV的抗体，可能是因为NV表面存在多种抗原蛋白D．特异性的效应T细胞能促使被NV入侵的靶细胞裂解5.图示某些生物学概念间的关系，其中Ⅰ代表整个大圆，Ⅱ包含Ⅳ。
下列各项不符合图示关系的是( )A.Ⅰ体液 Ⅱ细胞外液 Ⅲ细胞内液 Ⅳ组织液B.Ⅰ突触 Ⅱ突触前膜 Ⅲ突触后膜 Ⅳ突触小泡C.Ⅰ病毒 ⅡRNA 病毒 ⅢDNA 病毒 ⅣHIVD.Ⅰ免疫 Ⅱ特异性免疫 Ⅲ非特异性免疫 Ⅳ细胞免疫6.扦插时，保留有芽和幼叶的插条比较容易生根成活，这是因为芽和幼叶能A ．迅速生长B ．进行光合作用C ．产生生长素D ．储存较多有机物7.右图表示水平放置植物的生长情况。
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明珠学校2014--2015第一学期期中考试数学试卷 年级： 高二 学科： 理科数学（满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分）1．若0<<b a ，则下列不等式①a b ab +<, ②33b a >,③011<<ab , ④b a < 中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数3．已知p ：|x |<3；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点(,)A x y 在第一象限且在直线22=+y x 上移动，则y x 22log log +（ ） A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为2 D.没有最大、小值 5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若1595,,a a a 成等比数列,那么公比为 ( ) A ．B ．C ．．D.6．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9 7．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋12-n ，…的前n 项和为（ ）A.2n －n －1B.2n +1－n －2C.2nD.2n +1－n8、如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x ≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2fx x =；③()21xf x x x =++．其中属于有界泛函的是（ ）A ．①③B ．②C ．③D ．①② 二、填空题（共30分，每小题5分）9.写出命题P ：01),0,(2≤++-∞∈∃x x x 的否定_______________________:P ⌝； 10．不等式034≤+-x x 的解集为 ； 11. 已知等比数列{a n }的前n 项和121+⋅=-n n t s ，则实数 t 的值为 ________.12．已知两个正实数y x ,满足1=+y x ,则使不等式x1+y4≥m 恒成立的实数m 的取值范围是__________. 13．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若am 2＜bm 2, 则a ＜b ; ③若三个实数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则 a b c == ；④若不等式220axbx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -=-10.其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)14.在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈. 则1a ＝ ，经猜想可得到n a ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为2n S n= ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．16．(本小题满分12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得 x 20＋(a －1)x 0＋1=0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分14分）已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞ (Ⅰ)当12a =时,求函数()f x 的最小值; (Ⅱ)若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的首项11=a ，*∈∀N n ，nnn a a a +=+221．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S ； (3)求证：*∈∀N n ，3 (2)232221<++++n a a a a ．19. (本小题满分12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.如何合理安排生产计划 ,使公司可获得最大利润？最大利润为多少？20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，已知123,5a a ==，其前n 项和nS 满足).3(22112≥+=+---n s s s n n n n .(1) 求43,a a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式n a ； (3)令11+=n n n a a b ,试求一个函数()f x ,使得对于任意正整数n 有61)(...)2()1(21<+++=n f b f b f b T n n ，且对于任意的1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，m T n> .2014--2015第一学期期中考试参考答案 年级：高二 学科： 理科数学 （满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分） 1---8: BCBAD, BBC8. ①对于()1f x =，当0x =时，有()100f x M =>⨯=，()1f x =不属有界泛函;对于②()2f x x =，当0x ≠时，有()f x x x=无最大值，()2f x x =不属于有界泛函；对于③()21xf x x x =++，当0x ≠时，有()22114131324f x xx x x ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()21xf x x x =++ 二、填空题（共30分，每小题5分）9. 01),0,(2>++-∞∈∀x x x 10. (]4,3- 11. -2 12. (]9,∞- 13. ①②④ 14.6, 6n三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （12分） 解：（1）;n n n b n a 21,12=-= ……6分 (2) ;62)32(1+-=+n n x n T ……12分16. （12分）解：命题p ： 1≤a ， 命题q ：130-≤≥≥∆a a 或即： ……………6分因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以P 、Q 一真一假……………8分即：① ⎩⎨⎧<<-≤311a a 或 ②⎩⎨⎧≥-≤>311a a a 或 ………………………10分解得; 311≥≤<-a a 或……………12分 17. （15分）⑴由nn n a a a +=+221，得21111+=+n n a a ，21111=-+n n a a ………………2分所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=n a ，公差21=d 的等差数列………………3分212111+=-+=n n a n ……4分，所以*∈∀N n ，12+=n a n ………………5分 (2)12+=n nS n ………………9分 (3) )1(4)1(422+<+=n n n a n 244+-=n n ……11分 2>n 时，由以上不等式得)144()4434()3424(112212+-++-+-+<+=∑∑==n n a a ni in i i ……13分 14241+-+=n 3<……14分 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*∈∀N n ，312<∑=ni n a ……15分．18. （14分） 解(Ⅰ) 12a =时,2221121()2'()10222x f x x f x x x x -=++⇒=-=>(因为1x ≥)所以,()f x 在[1,)+∞上单调递增,故1x =时,()f x 取得最小值72.………………6分 (Ⅱ) 因为对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,即220x x a ++>恒成立,只需22a x x>--恒成立，只需2max (2)a x x >--,因为21(2)3x x x ≥⇒--≤-, 所以,实数a 的取值范围是(3,)-+∞.………………14分19．（12分）[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y ………………2分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X ………………6分画可行域如图所示, ………………8分 目标函数Z=300X+400Y 可变形为 Y=400zx 43+- 这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4)280016001200max =+=∴Z ………………12分20. （15分）解：（1）17,943==a a .………………4分（2）由题设知21122(3)n n n n n S S S S n -----=-+≥，即112(3)n n n a a n ---=≥. 由累加法可得：21n n a =+.………………8分 （3）11111111()(21)(21)22121n n n nn n n n b a a +++===-++++. ………………10分 则2223111111()(1)()(2)2122121n T f f =-⋅+-++++…1111()()22121nn n f n ++-++. 令1()2n f n -=， 则22311111[()()212121n T =-+-++++…11111111()]()2216212121n n n +++-=-<++++. …12分 若n T m >，则有1111(),21n m +->+ 化简得：1321,16n m +>--即解不等式23log (1)116n m>---.当23log (1)1116m --<-，即1015m <<时，取01n =即可. 当23log (1)1116m --≥-，即11156m ≤<时，则记3(1)116m---的整数部分为s ，取01n s =+即可. ………………14分 综上可知，对任意1(0,)m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，n T m >，即1()2x f x -=为所求函数. ……15分。