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数学分析试题及答案

数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。

答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。

答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。

答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。

答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。

答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。

3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。

答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。

大学数学分析试题及答案

大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。

答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。

答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。

答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。

答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。

答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。

令f'(x)=0，解得x=2。

在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。

因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。

2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。

答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。

数学分析习题精选精解

数学分析习题精选精解数学分析是数学中的一个重要分支，其核心内容是函数论和微积分学。

在学习数学分析的过程中，习题的练习是不可或缺的一环。

通过多做习题，巩固知识点、提高解题能力和思维能力，进而提高数学水平。

下面我们选取一些经典的数学分析习题，进行精选精解。

一、极限【例1】设$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=a$，求$a$的值。

【解】这是一个简单的极限问题，我们采用夹逼法求解。

显然有$\sqrt[n]{n-1}<\sqrt[n]{n}<\sqrt[n]{n+1}$。

那么$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n+1}}=1$。

因此，$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=1$。

二、导数与微分【例2】已知$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x-a},x\geqa\\0,x<a\end{cases}$，求$f'(a)$和$f''(a)$。

【解】首先，我们求$f'(x)$。

当$x\geq a$时，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-a}}$。

当$x<a$时，$f'(x)=0$。

因此，$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{\sqrt{x-a}}{x-a}}=\lim\limits_{x\to 0}{\dfrac{\sqrt{x}}{x}}=+\infty$。

再求$f''(x)$。

当$x\geq a$时，$f''(x)=\dfrac{-1}{4(x-a)^{\frac{3}{2}}}$。

数学分析经典习题

数学分析经典习题1.设p(x)=2+4x+3x^2+5x^3+3x^4+4x^5+2x^6,对于满⾜0<k<5的k,定义I_k=\int_0^{+\infty}\frac{x^k}{p(x)}dx,对于怎样的k, I_k最⼩?Hint：进⾏倒代换再相加.2.(2018年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营)已知n\in\mathbb{N},n\geq 2,设0<\theta<\pi,证明: \sin\frac{\theta}{2}\sum_{k=1}^n\frac{\sink\theta}{k}<1.3.(2011年最新⼤学⽣数学竞赛预测试题，西西)求极限\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\int_0^{\pi/2}x\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^4dx.\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}\left(\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}-\sum_{k=n+1}^\infty\frac{n^k}{k!}\right).\int_0^{\pi/2}\ln (\cos x)\ln (\sin x)\cdot \sin 2xdx.求⽆穷级数\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\cos\left(\frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}}\right).⾥⾯还很多有意思的题！4.物理⾥⾯的:\frac{1}{xy}=\int_0^\infty\frac{da}{(ax+(1-a)y)^2},\quad \det A=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{\theta A\eta}d\theta d\eta.5.计算第⼆型曲线积分I=\oint_C\frac{e^y}{x^2+y^2}[(x\sin x+y\cos x)dx+(y\sin x-x\cos x)dy],其中C:x^2+y^2=1,取逆时针⽅向.解:事实上,\begin{align*}I&=\oint_C\frac{e^y}{x^2+y^2}[(x\sin x+y\cos x)dx+(y\sin x-x\cos x)dy\\&=\int_0^{2\pi}e^{\cos t}\cos(\sint)dt=\int_0^{2\pi}e^{e^{it}}dt=\frac{1}{i}\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z}dz=2\pi\lim_{z\to 0}e^z=2\pi.\end{align*}6.(国际最佳问题征解)T210,P210.试证明下⾯等式成⽴:\int_0^{\infty}\frac{dx}{\Gamma (x)}=\int_0^1\left[1+\frac{e}{x}-\frac{e}{1!(x+1)}+\frac{e} {2!(x+1)}-\cdots\right]\frac{dx}{\Gamma (x)}.T211.证明:若0<x<1,则\prod_{n=1}^\infty\left(1-x^{2n-1}\right)=1/\left[1+\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n(n+1)/2}}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots (1-x^n)}\right].T213.求证丅式成⽴:e^x=\frac{(1-x^2)^{1/2}(1-x^3)^{1/3}(1-x^5)^{1/5}\cdots}{(1-x)(1-x^6)^{1/6}(1-x^{10})^{1/{10}}\cdots},\quad |x|<1等式右端的分式中,分⼦中的x的指数是含奇数个不重复素数因⼦的整数,⽽在分母中的x的指数是含偶数个不重复素数因⼦.证.考虑函数f(x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu (n)\ln (1-x^n)}{n},\quad |x|<1其中\mu (n)是Mobius函数,那么f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu (n)}{n}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{mn}}{m}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{nm}x^{nm},\quad |x|<1在这个展开式中, x^m的系数是\sum_{n|m}\frac{\mu (n)}{m}=\frac1m\sum_{n|m}\mu (n)=0,\quad m\neq 1因此f(x)=x,所以e^x=\sum_{n=1}^\infty(1-x^n)^{-\mu (n)/n},由此得证.数列a_0,a_1,\ldots,a_n满⾜a_0=\frac{1}{2},a_{k+1}=a_k+\frac{1}{n}a_k^2,k=0,1,\ldots,n-1,试证1-\frac{1}{n}<a_n<1.这是1980年芬兰等四国数学竞赛试题,是这次竞赛中得分率最低的⼀道题,竞赛委员会公布的解答也很繁琐,苏淳教授曾运⽤数学归纳法采⽤加强命题的技巧给出了较为简捷的证明.下⾯是种更直截了当的证明.来⾃朱华伟《奥数讲义-⾼⼀上》证.由已知得\frac{1}{a_{k-1}}-\frac{1}{a_k}=\frac{1}{n+a_{k-1}},从⽽a_n>a_{n-1}>\cdots>a_1>a_0=\frac12,所以\frac{1}{a_{k-1}}-\frac{1}{a_k} <\frac{1}{n},\quad k=1,2,\ldots,n累加得\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_n}<1,所以\frac{1}{a_n}>2-1=1,即a_n<1,从⽽有\frac{1}{a_{k-1}}-\frac{1}{a_k}>\frac{1}{n+1},\quad k=1,2,\ldots,n累加得\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_n}>\frac{n}{n+1},即\frac{1}{a_n}<2-\frac{n}{n+1}=\frac{n+2}{n+1},从⽽a_n>\frac{n+1}{n+2}>\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n},故1-\frac{1}{n}<a_n<1.另外可参考：叶军《数学奥林匹克教程》P259.注意到\frac{\sin \pi x}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right),令x=i并由\sin (ix)=i\sinh x可知\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{2\pi}.设有正实数列\{a_n\}使得表达式\frac{a_k+a_n}{1+a_ka_n}的值仅依赖于脚标之和k+n,也就是当k+n=m+l时,必有\frac{a_k+a_n}{1+a_ka_n}=\frac{a_m+a_l}{1+a_ma_l},求证:数列\{a_n\}有界.证.为⽅便起见,记A_{k+n}=\frac{a_k+a_n}{1+a_ka_n},则A_n=A_{1+(n-1)}=\frac{a_1+a_{n-1}}{1+a_1a_{n-1}},\quad n>1考察函数f(x)=\frac{a_1+x}{1+a_1x},其中x>0.容易验证f(x)\geq \begin{cases} \frac{1}{a_1}, & \text{如果$a_1>1$}\\ 1, & \text{如果$a_1=1$}\\ a_1, & \text{如果$0<a_1<1$}\\ \end{cases}因此,对任意a_1值,都存在\alpha\in (0,1],使得f(x)\geq \alpha,从⽽对任何n,都有A_n\geq\alpha,其中\alpha可取a_1与1/a_1中较⼩者.这样便有A_{2n}=A_{n+n}=\frac{2a_n}{1+a_n^2}\geq\alpha,即\alpha a_n^2-2a_n+\alpha\leq 0,解得\frac{1-\sqrt{1-\alpha^2}}{\alpha}\leq a_n\leq \frac{1+\sqrt{1-\alpha^2}}{\alpha}.于是,只要取m=(1-\sqrt{1-\alpha^2})/\alpha,M=(1+\sqrt{1-\alpha^2})/\alpha,则对⼀切n,均有m\leq a_n\leq M,即数列\{a_n\}有界.注:满⾜题意的⾮常数数列是存在的,例如,令p>q\geq 1,则数列a_n=\frac{p^n-q}{p^n+q},\quad n=1,2,\ldots便具有上述性质.来源：朱华伟《奥数讲义-⾼⼀上》P84.证明⽅程f(x)=(2n+1)x^{2n}-2nx^{2n-1}+(2n-1)x^{2n-2}-\cdots+3x^2-2x+1=0⽆实根.证.令x=-c\leq 0,则f(-c)=(2n+1)c^{2n}+2nc^{2n-1}+(2n-1)c^{2n-2}+\cdots+3x^2+2c+1>0.因此原⽅程⽆负根,也⽆零根.下⾯证明原⽅程⽆正根.注意到(x+1)^2f(x)=(2n+1)x^{2n+2}+(2n+2)x^{2n+1}+1,其系数均⾮负,因此(x+1)^2f(x)⽆正根,即f(x)也⽆正根.综上所述, f(x)=0⽆实根.解⽅程\begin{cases} x_1+x_2+\cdots+x_n=n,\\ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=n,\\ \vdots\\ x_1^n+x_2^n+\cdots+x_n^n=n.\\ \end{cases}解.作以x_1,x_2,\ldots,x_n为根的多项式\begin{align*}f(x)&=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\&=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\end{align*}则f(x_k)=x_k^n+a_{n-1}x_k^{n-1}+\cdots+a_1x_k+a_0=0,\quad k=1,2,\ldots,n于是\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)&=\sum_{k=1}^{n}\left(x_k^n+a_{n-1}x_k^{n-1}+\cdots+a_1x_k+a_0\right)\\&=\sum_{k=1}^{n}x_k^n+a_{n-1}\sum_{k=1}^{n}x_k^{n-1}+\cdots+a_1\sum_{k=1}^{n}x_k+\sum_{k=1}^{n}a_0=0,\end{align*}由⽅程组可知n+a_{n-1}n+\cdots+a_1n+a_0n=0,从⽽f(1)=1+a_{n-1}+\cdots+a_1+a_0=0.这说明x=1为f(x)的⼀个根.不妨设x_n=1,由原⽅程组得x_1^k+x_2^k+\cdots+x_{n-1}^k=n-1,\quad k=1,2,\ldots,n-1仿上⼜可得x_1,\ldots,x_{n-1}中有⼀个为1.继续下去,必有x_1=x_2=\cdots=x_n=1.已知\begin{align*}\begin{cases}\frac{x^2}{2^2-1^2}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1,\\\frac{x^2}{4^2-1^2}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1,\\\frac{x^2}{6^2-1^2}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2} {6^2-7^2}=1,\\\frac{x^2}{8^2-1^2}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1.\end{cases}\end{align*}求x^2+y^2+z^2+w^2的值.解.x,y,z,w能满⾜给定的⽅程组等价于t=4,16,36,64满⾜⽅程\frac{x^2}{t-1}+\frac{y^2}{t-9}+\frac{z^2}{t-25}+\frac{w^2}{t-49}=1.去分母,当t\neq 1,9,25,49时,关于t的⽅程等价于\begin{align*}(t-1)(t-9)(t-25)(t-49)-x^2(t-9)(t-25)(t-49)-y^2(t-1)(t-25)(t-49)\\-z^2(t-1)(t-9)(t-49)-w^2(t-1)(t-9)(t-25)=0.\end{align*}后⾯的⽅程是关于t的四次⽅程, t=4,16,36,64是这个⽅程的4个已知根,也就是它的全部根,故⽅程等价于(t-4)(t-16)(t-36)(t-64)=0.由于上⾯两个⽅程中t^4的系数都是1,故其余各次幂的系数也应相等.⽐较t^3的系数可得1+9+25+49+x^2+y^2+z^2+w^2=4+16+36+64.于是得到x^2+y^2+z^2+w^2=36.本题也可以利⽤进⾏求解.\begin{enumerate}\item 设p(x)为任⼀个⾸项系数为正数p_0的实系数多项式,且p(x)⽆实零点.证明:必有实系数多项式f(x)和g(x),使得p(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2.\item 证明:若Q(x)是⾸项系数为正的实系数多项式,且有实数a使得Q(a)<0,则Q(x)必有实零点.\end{enumerate}由共轭复数运算可知,若p(a+bi)=0,则p(a-bi)=0,因此p(x)的虚零点是成共轭对出现的.由于p(x)⽆实零点, p(x)必为偶数次多项式.令其次数为2n,且零点为x_i,\overline{x_i},i=1,2,\ldots,n,则p(x)=\left[\sqrt{p_0}\prod_{i=1}^{n}(x-x_i)\right]\left[\sqrt{p_0}\prod_{i=1}^{n}(x-\overline{x_i})\right].令q(x)=\sqrt{p_0}\prod_{i=1}^{n}(x-x_i),则p(x)=q(x)\overline{q(x)}.由于q(x)为复系数多项式,必有实系数多项式f(x)与g(x),使得q(x)=f(x)+ig(x),则\overline{q(x)}=f(x)-ig(x),于是p(x)=[f(x)+ig(x)][f(x)-ig(x)]=f^2(x)+g^2(x).(2)利⽤反证法.假设Q(x)⽆实零点,由于Q(x)为实系数多项式,且其⾸项系数为正.因此由(1)可知,必有实系数多项式f(x)和g(x),使得Q(x)=f^2(x)+g^2(x),由此可知Q(a)=f^2(a)+g^2(a)>0,与题意Q(a)<0⽭盾.来源：朱华伟《奥数讲义-⾼三下》P14.(Steiner定理)边长⼀定的n边形中,以存在外接圆者的⾯积最⼤.(等周定理)周长⼀定的n边形中,以正n边形的⾯积最⼤.定理.圆内接n边形中以正n边形的周长最⼤.叶军，P282.P354.P276\frac{a^r}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^r}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^r}{(c-a)(c-b)}=\begin{cases}0,&r=0,1\\1,&r=2\\a+b+c,&r=3\end{cases}叶军P68，余红兵、严镇军《构造法解题》(2011年⼭西⾼中数学联赛)三⾓形ABC三个内⾓的度数满⾜\frac{A}{B}=\frac{B}{C}=\frac13,求T=\cos A+\cos B+\cos C的值.证明\lim_{n\to\infty}\left(1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}\right)e^{-n}=\frac{1}{2}.设\frac12<\alpha<\frac23,r=[n^\alpha],把e^n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{n^k}{k!}表⽰为\sum_{k=0}^{n-r}\frac{n^k}{k!}+\sum_{k=n-r+1}^{n}\frac{n^k}{k!}+\sum_{k=n+1}^{n+r}\frac{n^k}{k!}+\sum_{k=n+r+1}^{2n+1}\frac{n^k}{k!}+\sum_{k=2n+2}^{\infty}\frac{n^k}{k!}=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5.由于\begin{align*}\frac{n^{n-k+1}}{(n-k+1)!}/\frac{n^{n+k}}{(n+k)!} &=\frac{n(n+k)(n+k-1)}{n^3}\cdot\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\cdots\left(1-\frac{(k-2)^2}{n^2}\right)\\&\geq 1-\frac{1^2+\cdots+(k-2)^2}{n^2}=1+o(1),\quad 1\leq k\leq r\end{align*}且S_3=S_2+o(S_2),\quad n\to\infty利⽤Stirling公式进⼀步估计S_1,S_4,S_5,可以证得S_1=o(S_2),S_4=o(S_2),S_5=o(S_2),由此得到结论.来源：《546个早期俄罗斯⼤学⽣数学竞赛题》T73，P77.设X_i,1\leq i\leq n是相互独⽴的随机变量,且X_i\sim P(1) (泊松分布),则Y_n=X_1+X_2+\cdots+X_n\sim P(n),⽽EY_n=DY_n=n.由中⼼极限定理可知\frac{Y_n-n}{\sqrt{n}}\to N(0,1),所以\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}P(Y_n\leq n)=\lim_{n\to\infty}P\left(\frac{Y_n-n}{\sqrt{n}}\leq 0\right)=\Phi (0)=\frac12.另外可参考：博⼠数学论坛《数学分析解答库》计算\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{(1+x^2)^n}dx.来源：《546个早期俄罗斯⼤学⽣数学竞赛题》T541，P64.解.令\delta=n^{-2/5},那么\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{(1+x^2)^n}dx=2\int_{\delta}^{+\infty}\frac{\cos x}{(1+x^2)^n}dx+\int_{-\delta}^{\delta}\frac{\cos x}{(1+x^2)^n}dx.先估计前者,由于\left|\int_{\delta}^{+\infty}\frac{\cos x}{(1+x^2)^n}dx\right|\leq \int_{\delta}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^n}.令x=\sqrt{(1+\delta^2)y-1},那么当n\geq 2时,有\begin{align*}\int_{\delta}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^n}&=\int_{1}^{\infty}\frac{(1+\delta^2)^{1-n}}{2\sqrt{(1+\delta^2)y-1}y^n}dy\\&\leq\frac{1}{2} (1+\delta^2)^{1-n}\int_{1}^{\infty}\frac{dy}{y^2\sqrt{y-1}}.\end{align*}⽽\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}(1+n^{-4/5})^{1-n}=0,这表明\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{(1+x^2)^n}dx=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_{-\delta}^{\delta}\frac{\cos x}{(1+x^2)^n}dx.⼜\ln \cos x-n\ln (1+x^2)=-\left(n+\frac12\right)x^2+nO(x^4).因为在[-\delta,\delta]上,有x^4\leq\delta^4\leq x^{-8/5},此时有\ln \cos x-n\ln (1+x^2)=-\left(n+\frac12\right)x^2+O(n^{-3/5}).于是得到\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_{-\delta}^{\delta}\frac{\cos x}{(1+x^2)^n}dx=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_{-\delta}^{\delta}e^{-(n+1/2)x^2}dx.令y=\sqrt{n+1/2}x,则\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_{-\delta}^{\delta}e^{-(n+1/2)x^2}dx=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\frac12}}\int_{-\delta\sqrt{n+1/2}}^{\delta\sqrt{n+1/2}}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy=\sqrt{\pi}.\end{align*}T545.设\varphi(z)=\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{n^z}.证明:对于任何实数t有\varphi(1+it)\neq 0.⾸先研究函数\varphi_4(z)=\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{n^z},并证明\varphi_4(1+it)\neq 0,\quad \forall t\in\mathbb{R}我们有\mathrm{Re}\varphi_4(1+it)=\sum_{n=1}^{4}\frac{\cos (t\ln n)}{n}\geq 1+\frac{\cos x}{2}-\frac13+\frac{\cos 2x}{4},这⾥x=t\ln 2.⽽\begin{align*}1-\frac13+\frac{\cos x}{2}+\frac{1}{4}(2\cos^2 x-1)&=\frac{5}{12}+\frac12(u+u^2)\\&\geq \frac{5}{12}+\min_{|u|\leq 1} (u+u^2)=\frac{7}{24}.\end{align*}也就是\mathrm{Re}\varphi_4(1+it)\geq 7/24,因此当t\in\mathbb{R}时,有\varphi_4(1+it)\neq 0,⽽\mathrm{Re}\varphi_5(1+it)\geq \mathrm{Re}\varphi_4(1+it)-\frac15\geq \frac{7}{24}-\frac15=\frac{11}{120}.因此,对于t\in\mathbb{R}有\varphi(1+it)\neq 0. 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数学分析经典二十题(微分部分)解答

则 f 的函数值的全体 f (x) | x ∈ R 为至多可数集．如果上述 “f (x) 的极大（小）值点” 改成 “f 的极大或极小值点” ，其结论是否仍成立？证明事实上，我们可以证明实函数 f (x) 的极值至多可数．先考虑 f (x) 的极大值点．这时，记 δk =
∞ ∪ k= 1
k= 1
eS ．
并且 bn+1 = (1 + an+1 )bn
4. 设 an > 0， Sn =
n ∑ k= 1
bn ，从而 {bn } 单调递增且有上界 eS ，这就保证了 {bn } 收敛． ■ ak ， Tn =
n ∑ ak ，且 lim Sn = +∞．证明： lim Tn = +∞． n→+∞ n→+∞ S k= 1 k
n ∑
数学分析经典二十题（微分部分）
· 3 ·
最终
√ ( ) 2 y0 − y0 −4 α2 − 1 1 lim Sn = + 1 = α = ． 2 n→∞ α α −1 2 (
n→∞
■
6. 设 xn > 0．证明： (1) lim x 1 + x n +1 xn )n e
(2) 上式中的 e 为最佳常数．
∆x →0
= f (x)
即 f (x) 在 R 上连续．将函数方程的两边对 y 在 [0 1] 上积分得到，
数学分析经典二十题（微分部分）
· 5 ·
∫1
0
∫1
f (x + y) dy = f (x) + f (y) dy ．
0
因此
f (x) =
∫ x +1

(完整word版)数学分析复习题及答案(word文档良心出品)

数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。

（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。

（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。

（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。

4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。

5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。

一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。

, , 当时, , 则。

2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。

五、1.证明:, , 当时, ；得证。

2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。

综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。

, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。

数学分析课外习题

数分课外习题1．设00>>a x ，0,23121>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n x a x x n n n ，证明数列{}n x 收敛并求其极限 . 2．求.2cos 2cos 2cos2cos lim 32nn x x x x∞→并由此证明Vieta 公式： 2121212121212121212++⋅+⋅=π3．用N -ε语言证明，若实数列}{n x 满足()0lim 2=--∞→n n n x x ，则.0lim1=--∞→nx x n n n4．证明：.613lim 11lim 12132∑∑=∞→=∞→==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i n ni n n i n i 并求.)0(,1lim 12>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=∞→a a n i n i n5．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→nn x n n n n x f 1111lim )(1，写出)(x f 的表达式及定义域 . 6．设1,1>>b a ，函数:f R →R 在0=x 附近有界，且对任意实数x ，)()(x bf ax f =，证明：)(x f 在零点连续 .7．设)(,)(x g x f 为周期函数，且0))()((lim =-+∞→x g x f x ，证明：g f ≡ .8．设)(,)(t b t a 为]1,0[上连续函数，1)(0<≤≤λt a ，求证：方程 ))()((max 10t xa t b x t +=≤≤的解为 )(1)(max10t a t b x t -=≤≤ .9．设函数)(x f 在),0[+∞连续，有界，求证：0>∀λ，存在数列+∞→n x ，使.0))()((lim =-+∞→n n n x f x f λ10．请问是否存在R 上的连续函数，使它的任一函数值都被恰好取到两次或都被恰好取到三次？ 11．求证：在R 上不存在可导函数)(x f 满足.33)(22+-=x x x f 12．设()N ∈+=+n xy n ,122，求.)1()(n y13．Riemann 函数:R R →R 的定义是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉>==.,00,1;0,1)(Q x q qx x R 且q p ,为互素整数；求极限 )(lim 0x R x x →，其中∈0x R .14．证明Riemann 函数)(x R 处处不可导 .15．构造可导函数)(x f ，使)(x f 在有理数点的函数值为有理数，而导数值为无理数 . 16．证明：当)1,(-∞∈x 时，.4arctan 11arctanπ+=-+x x x 17．求和：∑=nk kx k 1sin ，∑=nk kx k 1.cos18．设N ∈n m ,，证明：∑=⎩⎨⎧=--≤=-nk nmk n k n m n n m k C 0.,!)1(;1,0)1( 19．已知：函数)(x f 在区间]1,0[上连续，在)1,0(可导，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，求证：∈∀λR ，)1,0(∈∃ξ，使1])([)('=--ξξλξf f . 20．对于R 上函数)(x f ，记)(lim )(x f f x +∞→=+∞，.)(lim )(x f f x -∞→=-∞ 设)(,)(x g x f 在R 上可导，∈∀x R ，0)('≠x g ，且)(+∞f ，)(-∞f ，)(+∞g ，)(-∞g 存在，证明：.)(')(')()()()(..,),(ξξξg f g g f f t s =-∞-+∞-∞-+∞+∞-∞∈∃21．设)(,)(x g x f 可导，且对一切x 都有0)(')(')()(≠x g x f x g x f ，那么在)(x f 的任何两个零点之间，至少有)(x g 的一个零点 . 22．设:f R →R 有二阶连续导数，且∈∀x R ，1|)('|≤x f ，此外.4)0(')0(22=+f f 证明：∈∃0x R ，使.0)('')(00=+x f x f23．设→],[:b a f R 在],[b a 可导且.)(')('b f a f = 证明：.)()()('..,),(aa f f f t sb a --=∈∃ξξξξ24．函数)(x f 在],[b a 上二次可导且.0)(')('==b f a f 证明：.)()()(4)(''..,),(2a fb f a b f t s b a --≥∈∃ξξ25．设函数)(x f 在),[+∞a 可导，当a x ≥时有.|)(||)('|x f x f ≤ 求证：.0)(≡x f 26．设函数)(x f 在),0[+∞可导，且21)(0x xx f +≤≤，证明：().11)('..,0222ξξξξ+-=>∃f t s27．设函数)(x f 在]1,0[连续，在)1,0(可导，.1)0()1(=-f f 求证：对于1,,2,1,0-=n k ，存在)1,0(∈k ξ，使.)1()!1(!!)('1k n k k k k k n k n f -----=ξξξ28．设I 为开区间，函数)(x f 在I 上为凸函数的一个充要条件为：.,)()()(..,,I x c f c x a x f t s a I c ∈∀+-≥∃∈∀29．求极限：（1）;11lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅∞→e x x x x （2）;arccos 2lim /10xx x ⎪⎭⎫⎝⎛→π（3）.arctan 2lim xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→π30．设.1,sin ,0sin 101≥=>=+n x x x x n n 证明：.13lim=∞→n n x n31．设.1,1ln 1,011≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+>=+n n y n y c y n n 求极限：.lim n n y ∞→32．画出xe x y -=2的图形 .33．设⎰+=xdt t t x f 11ln )(，对于0>x ，求)1()(xf x f + . 34．设函数)(x f 连续可导,1)1(=f ,且当1≥x 时有)(1)('22x f x x f +=, 证明：)(lim x f x +∞→存在，且.41)(lim π+≤+∞→x f x35．设函数)(x f 在]1,0[上二阶连续可导，.1)1(',0)0(')1()0(====f f f f证明：()4)(''12≤⎰dx x f ，并指出等号成立的条件 . 36．设)0()(≥=x x y φ是严格单调增加的连续函数，)(,0)0(y x ψφ==是它的反函数，证明：⎰⎰≥>+∞≥≥+ba b a abdy y dx x 0)0)(,0()()(φψφ，等号成立当且仅当)(a b φ=。

数学分析试题库--计算题、解答题

数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限 1.24lim 2n n n →∞-- ； 2.111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⨯⨯+； 3.01lim sin x x e x →-；4.10(1)lim xx x ex →+-；5.31lim 1n n n →∞--；6.211lim(1)nn n n →∞++；7.612sin lim cos3x xxπ→-； 8.011lim()1x x x e →--；9. x xxx x sin tan lim 0--→; 10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+ ；求下列函数的导数或微分11.cos x y e x =；12.ln(ln )y x =；13.sin x y x =；14.求函数sin y x =的各阶导数；15.sin 2x y e x =16.ln(cos ln )y x x =+17.sin (cos )x y x =18. 求函数cos y x =的各阶导数；19．设x x y 1tan 3+=，求dx dy ；20.设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33v u d uv d ； 21. 32(arctan )y x =，求y ';22.x x y x =，求y '; 23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x t t 所确定的函数的二阶导数22d y dx ; 24. 设3x y x e =, 试求(6)y .25. 试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ 所确定的函数()y f x =的二阶导数26.求函数()11++=x x x f 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点. 27．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(x x x x x f m （m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时，f在0=x 连续；（2）m 等于何值时，f 在0=x 可导；（3）m 等于何值时，f '在0=x 连续.28．试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？29．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(24x x x x x f（1）证明：0=x是极小值点；（2）说明f 的极小值点0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.30．若对任何充分小的0>ε，f 在],[εε-+b a 上连续，能否由此推出f 在),(b a 内连续. 31. 试求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.32. 试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值：34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间及拐点. 35.举例说明:在有理数集内,确界原理和单调有界定理一般都不成立.36..举例说明:在有理数集内,聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.37.设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫== ⎪⎨⎬+⎝⎭⎩⎭.问能否从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,说明理由. 38.求不定积分.39.求不定积分(0)a >. 40.求不定积分arctan x xdx ⎰.41.求不定积分2321x dx x ++⎛⎜⎠.42.求不定积分. 43.求不定积分53cos dx x -⎰. 44.计算定积分1ln e x dx ⎰.45.计算定积分10⎰. 46.计算定积分10arcsin xdx ⎰. 47.求极限2222111lim 122n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭. 48.设()f x 在[,]a b 上连续,()()()x a F x f t x t dt =-⎰.求()F x ''.49.求由椭球面2222221y x z a b c++=所围立体的体积. 50.求椭圆22221y x a b+=所围的面积. 51.求摆线(sin ),(1cos )(0),02x a t t y a t a t π=-=->≤≤的弧长. 52.求平面曲线sin ,0y x x π=≤≤绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积.53.讨论无穷积分20x xe dx +∞-⎰是否收敛?若收敛,则求其值. 54.讨论无穷积分21(1)dx dx x x +∞+⎰是否收敛?若收敛,则求其值. 55.利用级数敛散性定义验证级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑是否收敛.若收敛,求其和数. 56.判断级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性. 57.判断级数121n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑的敛散性. 58.判断级数()121sin n n n∞=-∑是绝对收敛,条件收敛还是发散. 59. 判断级数1sin ,(0,2)n nx x n π∞=∈∑是绝对收敛,条件收敛还是发散. 60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn n n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 61. )(x f n =221x n nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性.62. 函数列在]1,0[上是否一致收敛？63. )(x f n 2222x n xe n -=在R 内是否一致收敛？64.函数列在] 1 , 0 [上是否一致收敛？65. 求幂级数 ++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 66. 计算积分⎰-=102dx e Ix , 精确到0001.0. 67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.68. 求幂级数∑∞=+0!1n n x n n 的和函数. 69. 展开函数x e x x f )1()(+=.70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π. 试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n 2sin )(12的值， ,2,1=n . 72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内, 试求)(x f 的Fourier 级数展开式.73.设求在],[ππ-内)(x f 的以π2为周期的Fourier 级数展开式.74. 设)(x f 是以π2为周期的连续函数,其Fourier 系数为,,,0n n b a a ,2,1=n .试用,,,0n n b a a 表示函数x x f x F cos )()(=的Fourier 系数 75. 试求极限.42lim)0,0(),(xyxy y x +-→ 76. 试求极限.)()cos(1lim 222222)0,0(),(y x y x ey x y x ++-→ 77. 试求极限.1sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 78. 试讨论.lim 422)0,0(),(y x xy y x +→ 79. 试求极限.11lim 2222)0,0(),(-+++→y x y x y x80. ),(xy y x f u+=,f 有连续的偏导数，求 .,y u x u ∂∂∂∂ 81. ,arctan xy z =,x e y = 求.dxdz 82. 求抛物面 222y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程及法线方程.83. 求5362),(22+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 84. 求函数)2(),(22y y x e y x f x ++=的极值.85. 叙述隐函数的定义.86. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.87. 叙述隐函数可微性定理的内容.88. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.89. 讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数)(x f y =的一阶及二阶导数. 90. 讨论方程在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.91. 设函数23(,,)f x y z xy z =, 方程(1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =;(2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值.92. 讨论方程组在点)2,1,1,2(0P 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。

数学分析习题精选

数学分析习题精选数学分析是高等数学中最重要、最基础的一个分支。

许多数学理论和应用都需要借助分析的思想和方法才能得到深入的理解和深刻的推广。

因此，在学习数学的过程中，尤其是进入大学后，对数学分析的掌握是至关重要的。

众所周知，数学分析的学习光靠课堂讲解是远远不够的，要真正掌握它，还需要大量的习题实践。

因此，习题是巩固数学分析基础、提高数学分析水平的不可或缺的重要环节。

在这里，就为大家推荐一些数学分析习题，希望能对广大读者的数学学习和提高有所帮助。

1. 极限和连续1）证明：$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ = 0.2）设$f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，且极限$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$。

证明：对于任意的常数$c_1<c_2$，存在某个$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$c_1<A<f(x)<c_2$。

3）设$f(x)$在区间$I=[a,b]$上关于$x_0$对称（即$f(2x_0-x)=f(x)$），且在$x_0$处可导。

证明：$f(x)$在点$x_0$的左、右导数相等。

2. 导数和微分1）设$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(x)$在$\{x_n\}$处取到最大值。

证明：$f'(x_n)=0$。

2）设$f(x)$在$(a,b)$内可导，且$f'(a)f'(b)<0$。

证明：在区间$(a,b)$内，$f(x)$必有唯一的极值点。

3）$\arctan x$在原点处的任意阶导数。

3. 积分1）证明：在区间$(0,+\infty)$上，$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x} dx=\frac{\pi}{2}$。

2）设$f(x)$在区间$[0,1]$上单调递减，$g(x)$在区间$[0,1]$上连续并且非负。

数学分析精选习题

数学分析精选习题数学分析是一门基本学科，是其他大多数数学分支学科的基础和突破口。

学习数学分析时，除了理论知识的掌握，习题的做法与解法也是非常重要的一部分。

下面我将介绍一些精选的数学分析习题。

一、一元积分学1、计算定积分 $\int_{1}^{2}(x-1)^{2} dx$分析：将 $(x-1)^{2}$ 展开后，进行积分，得到$\int_{1}^{2}x^{2}-2x+1dx$，计算可得 $\frac{1}{3}$。

2、计算定积分 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)^{2}}$分析：利用换元法可得到$\int\frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C$，代回原式，得到$\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$。

二、多元积分学1、计算二重积分 $\iint_{D}xydxdy$，其中 $D=\{(x,y)|1\leqx\leq 2,0\leq y\leq1\}$分析：直接进行积分即可得到 $\frac{3}{4}$。

2、计算三重积分 $\iiint_{\Omega}xe^{x}\sin y dxdydz$，其中$\Omega=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq\pi,0\leq z\leq2\}$分析：先对 $x$ 进行积分，得到 $\frac{1}{2}(e-e^{0})$，然后对 $y$ 进行积分，得到0，最后对 $z$进行积分，得到 $2(e-1)$。

三、微分方程1、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}+y=1-x$，$y(0)=0$。

分析：通过对变量分离的方法，得到 $y=1-x-Ce^{-x}$，代入初始条件，得到 $y=1-(x+1)e^{-x}$。

2、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}-y=x^{2}$。

分析：先考虑齐次线性微分方程，可得 $y_{c}=Ce^{x}$，然后考虑非齐次线性微分方程的特解，通过猜测法，得到特解为$y_{p}=Ax^{2}+Bx+C$，代入原方程进行化简，得到 $A=1,B=-2,C=2$，故该方程的解为 $y=e^{x}+x^{2}-2x+2$。

数学分析(上)_习题集(含答案)

《数学分析（上）》课程习题集一、单选题1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（）（A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f（D ）A 、B 、C 都不对2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（）（A ）3 （B ）4 （C ）3-（D ）4-3. 函数1sin )1()(--=x x xx x f ，则0=x 是)(x f 的（）（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跃度非0的第一类间断点（D ）第二类间断点4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 在0=x 处的导数为（）（A ）1-（B ）0 （C ）1 （D ）不存在5. 当x ∆充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ∆与微分y d 的关系是（）（A ）y y d =∆（B ）y y d <∆（C ）y y d >∆（D ）y y d ≈∆6. 与x y 2=相同的函数有（）（A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y =（D ）xy 211=（E ）2)2(x y =7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（）（A ）是上确界（B ）是下确界（C ）可能是上确界也可能是下确界（D ）不是上、下确界8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（）（A ）)1ln(x +与x ；（B ）x cos 1-与2x ；（C ）x+11与x -1 ；（D ）11-+x 与x9. 下面哪个极限值为0（）（A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sinlim0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（）（A ）必可导（B ）是)(x f 可导的充分条件（C ）是)(x f 可导的必要条件（D ）是)(x f 可导的充要条件11. 函数)1ln(2x x y ++=是（）（A ）偶函数（B ）奇函数（C ）非奇非偶函数（D ）奇、偶函数12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数），则（）（A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在（D ）数列}{n x 的极限一定不存在13. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（）（A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数（B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数（C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数（D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数15. 设⎰-=xdt t x f cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时)(x f 是)(x g 的（）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小（D ）同阶但非等价无穷小16. 设点a 是)(x f 的连续点，是)(x g 的第一类间断点，则点a 是函数)()(x g x f +的（）（A ）连续点（B ）可能是连续点，亦可能是间断点（C ）第一类间断点（D ）可能是第一类间断点，亦可能是第二类间断点17. 下列函数相同的是（）（A ）xxx f =)(与1)(=x g （B ）x x f lg 2)(=与2lg )(x x g =（C ）x x f 2)(π=与)arccos (arcsin )(x x x x g +=（D ）x x f =)(与2)(x x g = （E ）11)(24+-=x x x f 与1)(2-=x x g18. 设⎰-=xa dt t f ax x x F )()(2，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F a x （）（A ）2a （B ）)(2a f a（C ）0 （D ）不存在19. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（）（A ） 1+x sin（B ）1-x sin （C ）1+x cos（D ）1-x cos20. 设数列0)(lim =∞→n n n n n y x y x 满足与，则下列断言正确的是（）（A ）若n x 发散，则n y 必发散（B ）若n x 无界，则n y 必有界；（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 21. 设[x]表示不超过x 的最大整数，则][x x y -=是（）（A ）无界函数（B ）周期为1的周期函数（C ）单调函数（D ）偶函数22. 当0→x 时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（）（A ）)1ln(x + （B ）1-xe （C ）x x sin tan -（D ）x cos 1-23. 设及)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →均存在，则)()(limx g x f x x →（）（A ）存在（B ）存在但非零（C ）不存在（D ）不一定存在24. 若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内,0)(>'x f 且0)(<''x f 。

数学分析部分重要习题

1．求()112.....lim 0s s ss n n s n +→∞+++>解由定积分的定义，有111012.....11lim lim 1ss s s n s s n n i n i x dx n n n s +→∞→∞=+++⎛⎫=== ⎪+⎝⎭∑⎰。

2求极限()22211221lim 1sin 1sin ....1sin n n n n n n n n n πππ→∞-⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解由于()()353sin .....03!5!x x x x o x x -=-+-=→，311lim 10nn k k n n →∞=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑ 所以有 ()22211221lim 1sin 1sin ....1sin n n n n n n n n n πππ→∞-⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22111lim 1lim nnn n k k k k k k n n n n n ππ→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑()12056x x dx ππ=+=⎰3．利用积分定义求极限l i n →∞。

解1!112e x p l n e x p l n l n ....l nn n n n n n n nn ⎡⎤⎡⎤==+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由()exp xe x =的连续性有1!112exp ln exp ln ln ....ln n n n n n n n n n n →∞⎡⎤⎡⎤==+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11012explim ln ln ....ln ln n n e xdx e n n n -→∞⎡⎤=+++==⎢⎥⎣⎦⎰。

4．计算20π⎰解20π⎰20ππ=⎰ππ=222cos 2sin 22x xdx dx πππ=+=⎰⎰。

5求 20sin 1cos x xI dx x π=+⎰。

数学分析习题集3篇

数学分析习题集第一篇：函数极值与最值1. 求函数 $f(x)=2x^3-6x^2-12x+20$ 的极值。

2. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+3}$ 的最大值和最小值。

3. 求函数 $f(x)=\ln\left(x^2-2x+3\right)$ 的最大值和最小值。

4. 求函数 $f(x)=\sqrt{2-x-x^2}$ 的最大值和最小值。

5. 求函数 $f(x)=\dfrac{x}{1-x}$ 在 $(-\infty,1)$ 上的最大值和最小值，并说明在何处取得。

6. 已知函数 $y=\sin x+\cos x$，求其最大值和最小值。

7. 已知函数 $y=x^3-3x+2$，求其极值和最值。

8. 求函数 $f(x)=\sin x\cos x+\dfrac{1}{4}$ 的最大值和最小值。

9. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值和最小值。

10. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ 的最大值和最小值。

第二篇：导数与微分1. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。

2. 求函数 $f(x)=\ln\left(x^2-2x+3\right)$ 在$x=1$ 处的导数和微分。

3. 求函数 $f(x)=\sin 2x$ 在 $x=0$ 处的导数和微分。

4. 求函数 $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。

5. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-5x+6}$ 在 $x=1$ 处的导数和微分。

6. 求函数 $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ 在$x=\dfrac{\pi}{4}$ 处的导数和微分。

7. 求函数 $f(x)=\ln\left(\dfrac{x^2}{1-x}\right)$ 在 $x=0$ 处的导数和微分。

数学分析1练习题

数学分析1练习题一、判断题1、非空有界数集S 必有正常上确界和下确界；2、单调数列必有极限；3、有界数列必有极限；4、有极限的数列一定单调；5、有极限的数列一定有界；6、设f x ()在a b (,)内连续，则f x ()在a b (,)内一定取得最大值和最小值；7、设f x ()在a b (,)内连续，则f x ()在a b (,)内一定一致连续性； 8、设函数f x ()在点x 0连续，则函数f x ()在点x 0一定可导； 9、设函数f x ()在点x 0可导，则函数f x ()在点x 0一定连续； 10、设f x -'0()和f x +'0()均存在，则f x '0()一定存在； 11、设f x -'0()和f x +'0()均存在，则f x ()在点x 0一定连续； 12、函数f x ()在点x 0取得极值，则必有f x '=0()0； 13、若f x '=0()0，则x 0为函数f x ()的极值点； 14、点x f x 00(,())为曲线y f x =()的拐点，则必有f x ''=0()0；15、若f x ''=0()0，则点x f x 00(,())为曲线y f x =()的拐点；16、若x xf x →'0lim()不存在，则f x '0()一定不存在；17、设f x C a b ∈()[,]，在a b (,)内可导，则一定不存在a b ∈(,)ξ，使得f '=()0ξ；18、设函数f x ()在点x 0可微，则函数f x ()在点x 0一定可导； 19、若x xf x →0lim()存在，则函数f x ()在点x 0一定连续； 20、若x xf x →0lim()不存在，x x g x →0lim ()也不存在，则x x f x g x →±0lim[()()]一定不存在； 21、若x xf x →0lim()不存在，x x g x →0lim ()存在，则x x f x g x →⋅0lim[()()]一定不存在； 22、若x xf x →0lim()不存在，x x g x →0lim ()存在，则x x f x g x →±0lim[()()]一定不存在；23、x x x x x xxx→→--==3300tan sin lim lim 0sin ；二、填空题1、设f x ()的定义域为[0,1]，则f x 2()的定义域为；2、n n n n →∞-+=+22321lim23； 3、n nn→∞=ln lim； 4、x x x→=01lim sin ； 5、x x x→=0sin5lim tan 3 ； 6、x xx x →=20sin 5limtan 3 ； 7、x x x→+=0ln(1)lim； 8、x x e x→-=01lim； 9、x xx→-=201cos lim ； 10、曲线x y x x +=-3231的垂直渐近线为； 11、曲线x y x x+=-2231的水平渐近线为；12、曲线x y x x+=-32342的斜渐近线为；13、设f x x =()sgn ，则x =0为函数f x ()的间断点； 14、设xx f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩sin ,0()2,，则x =0为函数f x ()的间断点；15、设f x x =()tan ，则x =2π为函数f x ()的间断点；16、设f x x=1()sin ，则x =0为函数f x ()的间断点；17、曲线f x x =()ln 在点(1,0)的切线方程为； 18、()n nx =()； 19、()n x =()sin ；20、()x =(2009)sin ； 21、()n x =()cos ； 22、()x =(2009)cos ；23、设x t y t t ⎧=+⎨=-⎩2ln(1)arctan ，则dydx = ，d dy dt dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，d y dx =22；24、曲线f x x x =-32()3的拐点为； 25、曲线f x =()的拐点为； 26、函数f x x x =-54()5在-[1,2]上的最大值为；最小值为；27、设f x x x x =---()(1)(2)(3)，则f x '=()0有个根。

数学分析练习题

数学分析练习题一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间(-∞, -4)上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 无单调性D. 无法确定2. 若函数f(x)在点x=a处连续，且f(a)=0，则f(x)在x=a处的极限值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 对于函数f(x) = sin(x)，其在x=π/2处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定4. 若f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x) =：A. 3x^2 - 12x + 11B. x^3 - 6x^2 + 11C. 3x^2 - 12xD. 3x^2 - 12x + 105. 函数f(x) = e^x在区间[0, 1]上的最大值是：A. 1B. eC. e^1D. 无法确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7，求f''(x) = __________。

7. 若函数f(x) = ln(x) + 1，求f(1) = __________。

8. 函数f(x) = x^2 + 1在x=2处的切线斜率是 __________。

9. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5，求f'(1) = __________。

10. 函数f(x) = cos(x)在区间[0, π]上的最大值是 __________。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 5在x=1处的泰勒展开式。

12. 证明函数f(x) = x^2在区间(0, 1)上是凹函数。

13. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

四、解答题（每题15分，共40分）14. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

数学分析基础试题

数学分析基础试题试题一：函数极限与连续性1. 求极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

解：根据“三角函数极限公式”可得：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$2. 设函数$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$，判断$f(x)$在$x = 0$处是否连续。

解：要判断$f(x)$在$x = 0$处是否连续，需满足以下三个条件：（1）存在$f(0)$：由定义可知$f(0) = 0$。

（2）$\lim_{x \to 0} f(x)$存在：对于$x \neq 0$，由于$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$，所以：$$-|x|^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq |x|^2$$利用夹逼定理可得：$$\lim_{x \to 0} (-|x|^2) = 0, \quad \lim_{x \to 0} |x|^2 = 0$$因此，$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。

（3）$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$：由（1）（2）可知，$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，即$f(x)$在$x = 0$处连续。

试题二：导数与微分1. 求函数$f(x) = \sin^2 x + 4x^2 - 3x - 2$的导函数。

解：由导数的四则运算法则可得：$$f'(x) = (2\sin x \cos x) + (8x - 3)$$化简得：$$f'(x) = 2\sin 2x + 8x - 3$$2. 设函数$y = e^x \sin x$，求$y''$。

解：根据求导法则可得：$$y' = e^x \cos x + e^x \sin x$$再次求导得：$$y'' = e^x \cos x - e^x \sin x + e^x \sin x + e^x \cos x = 2e^x \cos x$$试题三：积分与微积分基本定理1. 求积分$\int (4x^3 + 5x^2 - 2x + 3) \ dx$。