第二章一元函数的连续性

第二章 一元函数的连续性教学目标：1.深刻理解函数连续性的概念2.熟练掌握讨论函数连续性的基本方法3.深刻理解和掌握闭区间上连续函数的性质4.熟练应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧教学重点与难点：1.讨论函数连续性的基本方法2.应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧§2.1 连续函数的基本性质及其有关证明题要点 要证)(x f 在I 上连续, 只要证()00)(lim ,0x f x f I x xx =∈∀→.常用方法:(1) 利用定义: 0>∀ε,0>∃δ,当δ<-0x x 时, ()()ε<-0x f x f ; (2) 利用左右极限: ()()0)0(000-==+x f x f x f ; (3) 利用序列的语言: {}()00)(,x f x f x x n n →→∀有;(4) 利用邻域的语言: 0>∀ε,0>∃δ,使得()[]()()()εεδδ+-⊂+-0000,,x f x f x x f ; (5) 利用连续函数的四则运算性质.间断点定义.设()f x 在0x 的某去心邻域内有定义.(1).若()0lim x x f x +→和()0lim x x f x -→都存在,但不相等,则称0x 是()f x 的第一类间断点. (2).若()0lim x x f x +→和()0lim x x f x -→至少有一个不存在,则称0x 是()f x 的第二类间断点. (3).若()0lim x x f x +→和()0lim x x f x -→都存在,且相等,即()0lim x x f x →存在,但()f x 在0x 无意义,或()f x 在0x 有意义,但()()00lim x x f x f x →≠,则称0x 是()f x 的可去间断点.例1.讨论函数()()222531lim 143n xn n x x f x e x x x →∞+-=+---的连续性,并指出不连续点的类 型.解:(1).()()222252311lim 1431n nx n n nx x f x e x x x-→∞-+-=+---()()2511,1,311,1,43,1,232, 1.2x x e x x x e x x x x ex e x -⎧+->⎪-⎪+-<≠⎪--⎪=⎨-=⎪⎪⎪-=-⎪⎩ ()2531143xx e x x -+--1xe x +- 1x e x +-∙ ∙ ∙ ∙ 1- 0 1 图 2.1.4(2).因为()()11lim lim 1xx x f x e x e ++→→=+-=, ()()2511312lim lim 1437xx x x e f x e x x --→→-=+-=---, ()()()2151131lim lim 12243x x x x f x e x e x ++-→-→--=+-=---, ()()111lim lim 12x x x f x e x e ---→-→-=+-=-,())2531143xx x x f x e x x -=+-=∞--. 故()f x 在()(),11,1,⎛⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭连续,在121,x x =-=3,1x =间断,且131,1x x =-=是()f x 的第一类间断点,2x =()f x 的第二类间断点.例2.讨论函数()sgn sinf x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的连续性,并指出不连续点的类型. 解:因为01x n ≠时,0sin 0x π≠,故1()f x x n ≠在时连续.又因为01x n =时,0sin sin 0(1,2,......)n n x ππ===±±,且1lim ()1x n f x -→=,01lim ()1x n f x +→=-（n 为奇数）;1lim ()1x n f x -→=-，01lim ()1x n f x +→=（n 为偶数）,故01x n=是第一类间断点(1,2,......)n =±±. 因此1()f x x n ≠在时连续,当01x n=时间断,且是第一类间断点(1,2,......)n =±±.连续函数的应用例1 设)(x f 是[]b a ,上的单调递增函数,其值域为()()[]b f a f ,.证明)(x f 在[]b a ,上连续. 证明 反证法. 假若结论不成立,即存在[]b a x ,0∈使得)(x f 在0x 不连续. 由于)(x f 是单调递增的,0x 是第一类间断点（P73，Ex 6）.因此()()000--x f x f 与()00)0(x f x f -+中至少有一个大于0（否则若()()000-≤x f x f ,()00)0(x f x f ≤+,则()()0)0(000-≤≤+x f x f x f ,而)(x f 是单调递增的, ()0)0(00+≤-x f x f ,()()0)0(000-==+x f x f x f 矛盾!）不妨设()()0000>--x f x f ,即()()000->x f x f .从而()()000-x f x f 与之间的任何数都不在()()[]b f a f ,之内.再由)(x f 是单调递增的,矛盾!故)(x f 在[]b a ,上连续.例2 证明Riemann 函数⎝⎛>==为无理数当为既约分数当x q qp q p x q x R ,00,,,1)(,在无理点上连续,在有理点上间断. 证明 （1）先证)(x R 在有理点上间断.设0x 为有理点,qpx =0（为既约分数, 0>q ）.则01)(0>=qx R .由无理点集在实数集中的稠密性,存在无理点列{}()时当∞→→n x x n 0,但()()01100>=-=-qq x R x R n （对任意正整数n ）,即)(n x R 不收敛到)(0x R .所以)(x R 在有理点处不连续.（2）再证)(x R 在[]1,0内无理点上连续.设为[]1,00∈x 无理点,则0)(0=x R .0>∀ε,由)(x R 的定义可知, ε≥)(x R 的点x 在[]1,0上最多只有有限多个(事实上,要ε≥)(x R 的x 必须为有理点.设q p x =,则ε≥=q q p R 1)(,p ≤0ε1≤<q .可见满足此不等式的有理数q p 最多只有有限个).分别记为n x x x ,,,21 .令{}0,,,,min 01010>--=-x x x x x x n n δ,则在),(00δδ+-x x 内不含有ε≥)(x R 的点,即有()()()ε<=-x R x R R 0x .所以)(x R 在[]1,0内无理点上连续.（3）)(x R 以1为周期.事实上, x 为无理数, ()10)(+==x R x R ;若qpx =,0>q ,q p ,为互质整数.则q q p x +=+1,而q 与q p +互质整数,所以x +1也为有理数,所以()11)(+==x R qx R .故)(x R 以1为周期.（4）)(x R 在一切无理点上连续.注 1)0(=R ,因qp=0为既约分数且0>q ,只能有1,0==q p .例3 若)(x f 在()1,0内有定义,且)(x f e x 与()x f e -在()1,0内都是单调递增的,试证)(x f 在()1,0内连续.证明 (1)任取0x ()1,0∈,因()x f e -在()1,0内单调递增知,当0x x >时,有()x f e -()0x f e -≥,()≥0x f e ()x f e ,()()x f x f ≥0 (1),即)(x f 单调递减.故对任意0x ()1,0∈,()00-x f 与)0(0+x f 均存在.(2)由)(x f e x 单调递增知,当0x x >时,有)(x f e x )(00x f e x ≥.令+→0x x 时,有)0(00+x f e x )(00x f e x ≥,即()00)0(x f x f ≥+ (2).(3) 在(1)式中令+→0x x 得()0)(00+≥x f x f (3),由(2)(3)知()0)(00+=x f x f .类似可证()0)(00-=x f x f .所以)(x f 在0x 处连续.由0x 的任意性,)(x f 在()1,0内处处连续.例4 设)(x f 在()b a ,上只有第一类间断点,且()b a y x ,,∈∀有()()2)2(y f x f y x f +≤+. 证明 )(x f 在()b a ,上连续.证明 任取0x ()b a ,∈ ,当0x x a <<时,由条件()()2)2(00x f x f x x f +≤+.令-→0x x ,则-→+002x x x ,()()20)0(00x f x f x f +-≤-,即()00)0(x f x f ≤- (1).当b x x <<0时,由条件()()2)2(00x f x f x x f +≤+,令+→0x x ,则+→+002x x x ,()()20)0(00x f x f x f ++≤+,即()00)0(x f x f ≤+ (2).故再设b x x x a <<<<201且0212x x x =+,则有()()2)2(2121x f x f x x f +≤+.在此式中令-→01x x ,+→02x x , 则()()200)(000-++≤x f x f x f (3).由(1)(2)(3)三式得出()()0)0(000-==+x f x f x f .所以)(x f 在0x 处连续.由0x 的任意性,)(x f 在()b a ,内处处连续.例5 设)(x f 在(,)-∞+∞上有定义, 且(1) 具有介值性即(若()21)(x f x f <<μ,则存在ξ介于1x 与2x 之间,使得μξ=)(f ); (2) 对任意有理数r ,集合(){}r x f x =为闭集. 试证 )(x f 在(,)-∞+∞上连续. 证明（反证法）若)(x f 在某一点0x 处不连续,则存在00>ε,使得01>∀n,n x ∃,虽然nx x n 10<-,但()()00ε≥-x f x f n ,即{}()时当∞→→n x x n 0,但(){}n x f 在()()()0000,εε+-x f x f 之外.从而在()()()0000,εε+-x f x f 之外至少一侧(例如在右侧)含有(){}n x f 的无穷多项,满足()00)(ε+>x f x f kn.在()()()0000,εε+-x f x f 内任取一有理数r ,由介值性,对每一k n x ,存在k ξ介于0x 与k n x 之间,使得()() ,2,1==k r f k ξ.因0x x k n →,所以0x k →ξ()时当∞→k ,这表明0x 是(){}r x f x =的一个聚点.据已知条件(2)知,(){}r x f x x =∈0,即()r x f =0,这与()r x f <0矛盾!例6 证明 (1) 若函数)(x f ,)(x g 连续,则()()(){}x g x f x ,min =ϕ,()()(){}x g x f x ,max =ψ也连续.(2) 设)(1x f ,)(2x f ,)(3x f 在[]b a ,上连续,令)(x f 的值等于三值)(1x f ,)(2x f ,)(3x f 中介于其他二值之间的那个值. 证明)(x f 在[]b a ,上连续.(3) 令()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤-=时当时当时当n x n n x n x n x x u n n, )(x f 为实函数,试证明 )(x f 连续当且仅当()[]x f u x g n n =)(对任意固定的n ,都是x 的连续函数. 证明 (1) ()()()()()2x g x f x g x f x --+=ϕ,()()()()()2x g x f x g x f x -++=ψ ;(2) ()()x f x f x f x f 321)()(++=()()(){}x f x f x f 321,,max -()()(){}x f x f x f 321,,min -; (3) ()[]x f u x g n n =)(n x f n ++-=)()((){}n x f n ,,max --(){}n x f n ,,min --(由（2）))(x f =(){}n x f ,max -(){}x f n ,min --)(x f =()()2nx f n x f --+-()()2nx f n x f +---()()2nx f x f n --+=.由连续函数的运算性质即知它们连续.例7 设)(x f 在[]b a ,上连续. 证明()t f x M xt a ≤≤=sup )(，()t f x m xt a ≤≤=inf )(在[]b a ,上连续.证明 由连续函数在闭区间上必取上,下确界可知)(x M ,)(x m 在[]b a ,上处处有定义.又因上确界随取值区间扩大而增大知, )(x M 单调递增,故每点的单侧极限存在. 任取0x []b a ,∈,只需证()()0)0(000-==+x M x M x M ()t f x M xt a ≤≤=≤s u p )( (1).由)(x M 递增,有()00)0(x M x M ≤-.又[]0,x a x ∈∀有)(x f ()()()0sup 0-≤=≤≤≤x M x M t f xt a ,所以()()()0s u p000-≤=≤≤x M x f x M x x a .故(1)式左等式成立. 下用反证法证明()00)0(x M x M =+.因)(x M 单调递增, ()()000+≤x M x M .假设()()000+<x M x M ,则取充分小的00>ε,使得()()0000+<+x M x M ε.于是对任意0x x >,有()()0000+<+x M x M ε()t f x M xt a ≤≤=≤sup )(.由上确界的定义,存在[]x a t ,∈使得()()0000εε+≤+x M x f ()t f < (2). 但在[]0,x a 上. ()()00sup )(x M t f x f x t a =≤≤≤.所以(2)式中的[]x x t ,0∈,即存在00>ε,0>∀δ,当δ<-0x t 时,有()()00ε≥-x f t f ,即)(x f 在0x 处不连续,矛盾!所以即,)(x M 在[]b a ,上连续, )(x m 在[]b a ,上连续可类似证明.例8 设)(x f 在(,)-∞+∞内对一切x 都有()2)(x f x f =,且)(x f 在0=x 与1=x 处连续.证明)(x f 为一常数.证明 （1）0>∀x ,由条件, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x f x f x f x f 214121)(.又)(x f 在1=x 处连续且当∞→n 时，1221→=nnx x ,故()1lim lim )(2121f x f x f x f n nn n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→. （2）当0<x 时, ()()1)(2f x f x f ==(由(1), 02>x ).（3）当0=x 时, 因)(x f 在0=x 处连续. ()()()()10000lim )0(0f f f x f f x ≡-=+==→.故()1)(f x f ≡常数..例9 设)(x f 是[]b a ,上的连续函数,且()x f 在[]b a ,上是单调的. 证明)(x f 在[]b a ,上也是单调的.证明 若)(x f 在[]b a ,上恒有0)(≥x f 或恒有0)(≤x f ,则由()x f 单调及()()x f x f ±=可推出)(x f 单调.若)(x f 在[]b a ,上既取正值又取负值.不妨设21x x <,满足0)(1>x f ,0)(2<x f .由连续函数的介值性定理,存在201x x x <<,使得0)(0=x f .从而()()()2010x f x f x f <=>,这与()x f 是单调的矛盾!例10 设)(x f 在[]b a ,上连续,且对任意[]b a x ,∈,存在[]b a y ,∈使得()()x f y f 21≤. 证明存在[]b a ,∈ξ在使得0)(=ξf .证明 任取0x []b a ,∈,则存在[]b a x ,1∈使得()()0121x f x f ≤.又存在[]b a x ,2∈使得()()1221x f x f ≤.如此下去,存在数列{}[]b a x n ,⊂,使得()()121-≤n n x f x f ),3,2( =n .从而有()()021x f x f nn ≤.显然有()0→n x f )(∞→n .因{}[]b a x n ,⊂是有界数列,故存在收敛子列{}k n x .设[]b a x k n k ,lim ∈=∞→ξ,则由)(x f 在ξ的连续性得()0lim =∞→k n k x f ,即()0=ξf ,故0)(=ξf .例11 设[][]1,01,0:→f 为连续函数,且0)0(=f ,1)1(=f ,x x f f =))((,试证x x f =)(.证明 (1) 先证)(x f 为单射. 设[]1,0,21∈x x 且()21)(x f x f =,则())())((21x f f x f f =,即21x x =.所以)(x f 为单射.(2) 再证)(x f 是严格单调的.若)(x f 不严格单调,则存在321x x x <<使()21)(x f x f <,()32)(x f x f >或. ()21)(x f x f >,()32)(x f x f <下证情形1,情形2可类证.对任意μ满足()(){}()231,maxx f x f x f <<μ.由)(x f 连续及介值性定理,存在()211,x x ∈ξ，()322,x x ∈ξ使()21)(ξμξf f ==.但这与)(x f 为单射相矛盾!故)(x f 严格单调. (3) 又0)0(=f ,1)1(=f ,故)(x f 必是严格单调递增的.(4) 若x x f ≤)(,则)())((x f x f f ≤,所以)(x f x ≤,进而x x f =)(;若)(x f x ≤,则()))((x f f x f ≤,所以x x f ≤)(,进而x x f =)(.综上可知x x f =)(.例12 设)(x f 是[]b a ,上的增函数,但不一定连续,如果a a f ≥)(,b b f ≤)(,试证存在[]b a x ,0∈使得00)(x x f =.证明 令(){}x x f x M ≥=.因a a f ≥)(,知M a ∈,φ≠M .又M 有上界,由确界原理, M sup 存在.令M x sup 0=.(1)若M x ∈0,则00)(x x f ≥.若b b f =)(,则结论得证;若b b f >)(,则M b ∉.当0x x >时,令+→0x x ,则00)0(x x f ≤+.又)(x f 是增函数,从而()00)0(x f x f ≥+,所以00)(x x f ≤,故00)(x x f =.(2)若M x ∉0,则存在{}M x n ⊂,使0x x n <且0lim x x n n =∞→.因M x n ∈,n n x x f ≥)(.令∞→n ,则-→0x x n ,从而有()00)0(x f x f ≥-.又M x ∉0,00)(x x f <,所以()0)(00-<x f x f .而)(x f 是增函数,进而)()0(00x f x f ≤-,矛盾！综上可知存在[]b a x ,0∈使得00)(x x f =.练习 设)(x f 是[]1,0上的增函数,且0)0(>f ,1)1(<f ,试证存在()1,00∈x 使得200)(x x f =.提示 构造集合(){}2x x f x M ≥= ,令M x sup 0=，类似例12来证明.§2.2 一致连续性一、 利用一致连续的定义及其否定形式证题要点 设)(x f 在I 上有定义(I 为开,闭,半开半闭有限或无限区间) ,则(1))(x f 在I 上一致连续0>∀⇔ε,0>∃δ,当I x x ∈'','且δ<-'''x x 时, 有()()ε<-'''x f x f .(2) )(x f 在I 上非一致连续00>∃⇔ε,0>∀δ,I x x ∈∃''',δδ虽δδδ<-'''x x , 但()()0'''εδδ≥-x f x f 00>∃⇔ε,01>∀n ,I x x n n ∈∃''',( ,2,1=n )虽nx x n n 1'''<-, 但()()0'''ε≥-n n x f x f .特别,若00>∃ε ,I x x n n ∈∃''',( ,2,1=n )虽a x x im n n nn ==+∞→+∞←''''lim , 但()()0'''ε≥-n n x f x f ( ,2,1=n ),则可断定)(x f 在I 上非一致连续.(3) 若)(x f 在I 上满足利普希兹条件:()()''''''x x L x f x f -≤-(I x x ∈∀'','),其中L 为常数. ,则)(x f 在I 上一致连续.特别,若)(x f 在I 上有有界导函数,则)(x f 在I 上满足利普希兹条件.例1 证明()x x f sin =在()+∞,0上一致连续.证明 (1) 先证()x x f sin =在[)+∞,1上一致连续.事实上,0>∀ε,02,2min >⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∃πεδ,当[)+∞∈,1,21x x 且δ<-21x x 时, 有()()21x f x f -21sin sin x x -=2sin2cos22121x x x x -⋅+=2sin221x x -≤21x x -≤2121x x x x +-≤221x x -≤ε<(2) 补充定义0=x 时, ()00=f ,则()x x f sin =在[]1,0上连续,从而在[]1,0上一致连续.故()x f 在[)+∞,0上一致连续,进而()x f 在()+∞,0上一致连续.注 2121s i n s i n x x x x -<-,x x <sin ,()+∞∞-∈,x .例2 证明()xx f 1sin=在()1,0上非一致连续.,但在[)1,a 上一致连续(10<<a ). 证明 (1) 在()1,0内取21,1'''πππ+==n x n x nn ,取210=ε,则0>∀δ, 只要n 充分大总有δπ<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2121'''n n x x n n , 但()()0'''12sin sin επππ>=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-n n x f x f n n .故()x f 在()1,0上非一致连续.(2) 0>∀ε,取02>=εδa ,当[)1,,21a x x ∈且δ<-21x x 时, 有()()21x f x f -211sin 1sinx x -= 211sin 211cos 22121x x x x -⋅+=211sin 221x x -≤2111x x -≤2121x x x x ⋅-≤2a δ<ε=,故()x f 在[)1,a 上一致连续.例3 证明()x x x f ln =在[)+∞,1上一致连续.证明 因()x x x f ln =,求导得()022ln '>+=x x x f ,[)+∞∈,1x .()04ln ''<=xx x x f .故()x f '在[)+∞,1上严格单调递减.又()01lim 22ln lim 'lim ==+=+∞→+∞→+∞→xx x x f x x x ,()122ln lim 'lim 11=+=++→→xx x f x x ,所以()x f '在[)+∞,1上有界.从而存在常数0>M ,使得()M x f ≤'[)+∞∈,1x .从而0>∀ε,取0>=Mεδ,则当[)+∞∈,1,21x x 且δ<-21x x 时, 有()()21x f x f -()()21'x x f -=ξ21x x M -≤MM ε⋅<ε=,其中ξ介于21,x x 之间,故()x f 在[)+∞,1上一致连续.注 若)(x f 在I 上有有界导函数,则)(x f 在I 上满足利普希兹条件.从而)(x f 在I 上一致连续,进而连续.例4 证明)(x f 在I 上一致连续{}I x n ⊂∀⇔',{}I x n ⊂''只要0'''→-n n x x 就有()()0'''→-n n x f x f (+∞→n ).证明 必要性 因)(x f 在I 上一致连续,故0>∀ε,0>∃δ,当I x x ∈'','且δ<-'''x x 时, 有()()ε<-'''x f x f (1).但0'''→-n nx x ,(+∞→n ).所以对上述0>δ,存在0>N ,当N n >时, δ<-'''n n x x .从而由(1)式()()ε<-'''n nx f x f ,即()()0'''→-n n x f x f (+∞→n ). 充分性 若)(x f 在I 上非一致连续,则00>∃ε,01>∀n,I x x n n ∈∃''',( ,2,1=n )尽管nx x n n 1'''<-, 但()()0'''ε≥-n n x f x f .可见0'''→-n n x x 但()()0'''→-n n x f x f (+∞→n )不成立,矛盾.例5 设I 是有限区间,)(x f 在I 上有定义.试证明)(x f 在I 上一致连续⇔)(x f 把柯西列 映射为柯西列.证明 必要性 因)(x f 在I 上一致连续,故0>∀ε,0>∃δ,当I x x ∈'','且δ<-'''x x 时, 有()()ε<-'''x f x f (1). 设{}n x 为柯西列,则对上述0>δ,存在0>N ,当N m n >,时, δ<-m n x x .从而由(1)式()()ε<-m n x f x f ,即()}{n x f 也为柯西列.充分性 若)(x f 在I 上非一致连续,则00>∃ε,01>∀n,I x x n n ∈∃''',( ,2,1=n )尽管nx x n n 1'''<-, 但()()0'''ε≥-n n x f x f ( ,2,1=n ).又I 是有限区间, I x n ∈'( ,2,1=n ),知{}'nx 存在收敛子序列{}'kn x .因0'''→-n nx x(+∞→n ),故{}''nx 中相应的子序列{}''k n x 也收敛于相同的极限.从而穿插之后,序列'''11,n n x x ,'''22,n n x x ,…,''',k k n n x x ,…,也收敛为柯西列,但其像序列)(),('''11n n x f x f ,)(),('''22n n x f x f ,…,)(),('''kk n n x f x f ,…,恒有()()0'''ε≥-k k n nx f x f ,不是柯西列,与已知矛盾.注 I 对有限性只在充分性用到,对无穷区间必要性仍成立.例6 设)(x f 在有限开区间()b a ,上连续.试证)(x f 在()b a ,上一致连续⇔极限)(lim x f ax +→及)(lim x f b x -→存在且有限.证明 必要性 由条件,0>∀ε,0>∃δ,当()b a x x ,'','∈且δ<-'''x x 时, 有()()ε<-'''x f x f (1).故()b a x x ,'','∈∀,δδ+<<+<<a x a a x a '','时,有δ<-'''x x 时,从而由(1)有()()ε<-'''x f x f .由柯西收敛准则知, )(lim x f a x +→存在(有限),同理可证)(lim x f b x -→存在(有限).充分性 令()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+→→,lim ,,lim )(x f x f x f x F b x a x b x b x a a x =<<=,则)(x F 在[]b a ,上连续.由Cantor 定理, )(x F 在[]b a ,上一致连续,从而)(x F 在()b a ,上一致连续,即)(x f 在()b a ,上一致连续.注 (1))(x f 在()b a ,上是否一致连续取决于)(x f 在端点附近的状态.应用本例容易判别x x x f sin 1)(=在()1,0上一致连续,而xx g 1sin )(=,x x h ln )(=,在()1,0上非一致连续. (2) )(x f 在()b a ,上一致连续,则)(x f 在()b a ,上是有界;反之,)(x f 在()b a ,上连续有界,不一定一致连续,如xx f 1sin)(=. (3) ()b a ,改为无穷区间时,本例的必要性不成立.如()x x g x x f sin ,)(==在()+∞∞-,上一致连续,但在端点∞±处无极限,但对无穷区间充分性仍成立.例7 设)(x f 在()b a ,上有连续的导函数,且)('lim x f ax +→及)('lim x f bx -→存在且有限..试证 (1))(x f 在()b a ,上一致连续; (2)极限)(lim x f ax +→及)(lim x f bx -→均存在. 证明(1)因)('x f 在()b a ,上有连续,且)('lim x f ax +→及)('lim x f bx -→均存在,令()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+→→,'lim ,','lim )(x f x f x f x F b x a x b x b x a ax =<<=,则)(x F 在[]b a ,上连续.由Cantor 定理, )(x F 在[]b a ,上一致连续,从而)(x F 在[]b a ,上有界,即)('x f 在[]b a ,上有界.于是存在常数0>L ,使得(),'L x f ≤()b a x ,∈.从而0>∀ε,取0>=Lεδ,则当()B A x x ,,21∈且δ<-21x x 时, 有()()21x f x f -()()21'x x f -=ξ21x x L -≤LL ε⋅<ε=,其中ξ介于21,x x 之间,故()x f 在()b a ,上一致连续.(2) 由例6知)(x f 在()b a ,上一致连续, 必有极限)(lim x f ax +→及)(lim x f bx -→均存在.例8 若)(x f 在()b a ,上一致连续,则)(x f 在()b a ,上有界.证明 (直接证法) 设)(x f 在()b a ,上一致连续,则0>∀ε,0>∃δ,当()b a x x ,,21∈且δ<-21x x 时, 有()()21x f x f -ε<.取1=ε,令自然数n 满足δ<n1.将区间()b a ,进行n 等分,分点为()a b nia x i -+=(1,,2,1-=n i ). 任取()b a x ,∈,则当],[1i i x x x -∈时,有()()1<-i x f x f .从而()()1+<i x f x f (1,,2,1-=n i ).令(){}1max 11+=-≤≤i n i x f M 则()b a x ,∈∀有()M x f <,所以)(x f 在()b a ,上有界.(直接证法) (反证法) 若)(x f 在()b a ,上无界,则存在{}()b a x n ,'⊂使得()()11+>+n n x f x f ( ,2,1=n ).由致密性定理, {}'n x 存在收敛子序列{}'kn x .由柯西收敛准则,知0>∀δ,0>∃N ,当N k >时,有δ<--1k k n n x x .但是另一方面又有()()()()111>-≥-++k k k k n n n n x f x f x f x f .由此可知)(x f 在()b a ,上非一致连续,矛盾.例9 若)(x f 在[)+∞,a 上连续且A x f x =+∞→)(lim (有限),则)(x f 在[)+∞,a 上一致连续.证明 (1) 因A x f x =+∞→)(lim ,则由柯西收敛准则,0>∀ε,a >∆∃,当∆>'','x x 时, 有()()ε<-'''x f x f (*).(2) 由Cantor 定理,)(x f 在[]1,+∆a 上连续,从而一致连续.故对此0>ε,01>∃δ,当[]1,'','+∆∈a x x 且1'''δ<-x x 时, 有()()ε<-'''x f x f (**).(3)令{}1,1min δδ=,则当a x x ≥'','且δ<-'''x x 时, '','x x 要么同属于[]1,+∆a ,要么同属于[)+∞∆,,从而由(*)与(**)知()()ε<-'''x f x f ,即)(x f 在[)+∞,a 上一致连续.注 )(l i m x f x +∞→不是有限值时此结论也有可能成立.例如()x x x f ln =在[)+∞,1上一致连续.例10 设)(x f 在[)+∞,a 上一致连续, )(x ϕ在[)+∞,a 上连续且()0])([lim =-+∞→x x f x ϕ,证明)(x ϕ在[)+∞,a 上也一致连续.证明(1) 因()0])([lim =-+∞→x x f x ϕ,则0>∀ε,a >∆∃,当∆>x 时, 有()()3εϕ<-x x f ,又)(x f 在[)+∞,a 上一致连续, 故对此0>ε,01>∃δ,当a x x ≥'','且1'''δ<-x x 时, 有()()3'''ε<-x f x f ,如此当∆>'','x x 且1'''δ<-x x 时, 有()()'''x x ϕϕ-()()''x f x -≤ϕ()()'''x f x f -+()()''''x x f ϕ-+εεεε=++<333 (*).(2) 由Cantor 定理, )(x ϕ在[]1,+∆a 上连续,从而一致连续.故对此0>ε,02>∃δ,当[]1,'','+∆∈a x x 且2'''δ<-x x 时, 有()()εϕϕ<-'''x x (**).(3)令{}21,,1min δδδ=,则当a x x ≥'','且δ<-'''x x 时, '','x x 要么同属于[]1,+∆a ,要么同属于[)+∞∆,,从而由(*)与(**)知()()εϕϕ<-'''x x ,即)(x ϕ在[)+∞,a 上一致连续.例11设)(x f 在[)+∞,0上一致连续,且对任意0>x 有0)(lim =++∞→n x f n , ,2,1=n .试证0)(lim =+∞→x f n .证明 (1) 因)(x f 在[)+∞,0上一致连续,故0>∀ε,0>∃δ,当0'','≥x x 且δ<-'''x x 时, 有()()2'''ε<-x f x f (*).(2)取自然数k 满足δ<k 1,将区间k 等分,记分点为kix i =(k i ,,2,1 =).这时间距1--i i x x δ<=k1. (3)由已知条件,对每个kix i =有0)(lim =++∞→n x f i n .从而存在0>i N ,使当i N n >时,有()2ε<+n x f i .令}{max 1i ki N N ≤≤=,则当N n >时, ()2ε<+n x f i (k i ,,2,1 =) (**).(4) 取0>=∆N ,来证∆>x 时()ε<x f .事实上,对任意N x >,记[]N x n ≥=,其中[]x 表示小于x 的最大整数.因[]1,0∈-n x ,故存在},,2,1{k i ∈使得()δ<--ixn x ,即()δ<+-i x n x .由式(*),()()2'''ε<-x f x f .再由(**)式,()()()()εεε=+<+++-≤22i i x n f x n f x f x f ,故0)(lim =+∞→x f n .三.零点存在定理的应用定理1(零点存在定理).若()f x 在[],a b 连续,且()()0f a f b <,则至少存在(),a b ξ∈，使得()0f ξ=,即()0f x =在(),a b 至少有一根.图 2.2.1定理2(零点存在定理).若()f x 在[],a b 连续,且()()0f a f b ≤,则至少存在[],a b ξ∈，使得()0f ξ=,即()0f x =在[],a b 至少有一根.例1.设()f x ,()g x 在[],a b 连续,且()()(),()f a g a f b g b ><,证明:方程()()f x g x =在(),a b 至少有一个根. 证明:令()()[](),,F x f x g x x a b =-∈,则()F x 在[],a b 连续,且()()()()()0,()0F a f a g a F b f b g b =->=-<,故由零点存在定理,方程()()f x g x =在(),a b 至少有一个根.例2.设()f x 在[],2a a b +连续,证明:至少存在[],a a b ξ∈+，使得()()()()()122f b f f a b f a ξξ+-=+-. 证明:令()()()()()()[]12,,2F x f x b f x f a b f a x a a b =+--+-∈+, 则()F x 在[],a a b +连续,且()()()()()()122F a f a b f a f a b f a =+--+- ()()()()122f a b f a b f a =+-++; ()()()()()()1222F a b f a b f a b f a b f a +=+-+-+-()()()()122f a b f a b f a ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭,故()()0F a F b ≤,于是由零点存在定理,至少存在[],a a b ξ∈+，使得()()()()()122f b f f a b f a ξξ+-=+-. 例3.设()f x 在R 连续,()()33,,,,22a b a b a b R a b f f f a b f a +-⎛⎫⎛⎫∈<>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,证明:存在[],a b ξ∈使得22b a b a f f ξξ+-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.证明:令(),22b a b a F x f x f x x R +-⎛⎫⎛⎫=+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()F x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦连续,且 ()3302222b a b a a b a b F a f a f a f f +-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;()()022222b a b a b a b a b a F f f f a b f a ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故由零点存在定理,存在[],,2a b a a b ξ+⎛⎫∈⊂ ⎪⎝⎭，使得22b a b a f f ξξ+-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例4.设()f x 在[],2k k +连续,()()1f k f k =+,证明:至少存在[],1k k ξ∈+，使得()()11,2,...f f n n ξξ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.证明:当1n =时,取k ξ=,则()1f f n ξξ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.当1n >时,令()()[]1,,1F x f x f x x k k n ⎛⎫=+-∈+ ⎪⎝⎭,()11...n F k F k F k n n -⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1211...n n f k f k f k f k f k f k n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()10f k f k =+-=.若()0F k =,或10F k n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,…,或10n F k n -⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则取k ξ=,或取1k n ξ=+,…,或取1n k nξ-=+即可.若()0F k ≠,10F k n ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭,…,10n F k n -⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭,则必存在{},0,1,2,...,1i j n ∈-，使得110F k F k i j ⎛⎫⎛⎫+⋅+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,于是故由零点存在定理,至少存在11,k k i j ξ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，使得()()11,2,...f f n n ξξ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故至少存在[],1k k ξ∈+，使得()()11,2,...f f n n ξξ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.例5.设()f x 在R 连续,且()()()()()()f f f f f f x x =,证明:至少存在ξ∈R ，使得()()()ff f ξξ=. 证明:令()()()()F x f f f x x =-,若()F x 在R 不变号,不妨设()()()()0F x f f f x x =->,x R ∈,则()()()ff f x x >,x R ∈.于是()()()()()()()()()f f f f f f x f f f x x >>,x R ∈.此与已知矛盾.故存在,a b R ∈,使得()()()()0F a f f f a a =->;()()()()0F b f f f b b =-<,于是由零点存在定理,至少存在(),a b ξ∈,或(),b a ξ∈,使得()()()f f f ξξ=.例6.(广义零点存在定理)设()f x 在[],a b 单增,且()(),f a a f b b ≥≤,证明:至少存在[],a b ξ∈，使得()f ξξ=.证明:作直线y x =,则()()()(),,,a f a b f b 分别在y x =的上、下方,取12a bc +=,若 ()()11,c f c 在y x =的上,则得证. 若()()11,c f c 不在y x =的上,则存在闭区间[]11,a b ,其两端点()()()()1111,,,a f a b f b 分别在y x =的上、下方.这样一直反复做下去得闭区间套[]{},nna b 满足:(1).[][]11,,n n n n a b a b ++⊇()1,2,...n =;(2).()lim 0n n n b a →∞-=;(3).()()()(),,,n n n n a f a b f b 分别在y x =的上、下方,于是,由闭区间套定理,存在唯一的[],n n a b ξ∈()1,2,...n =，使得lim ,lim n n n n a b ξξ→∞→∞==.又因()f x 在[],a b 上单增,故()()()()lim ,lim n n n n f a f f b f ξξ→∞→∞==.而()()()(),,,n n n n a f a b f b 分别在y x =的上、下方,故()(),.n n n n f a a f b b ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩,或()(),n n n f a a f b ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩于是,()()lim lim ,lim lim .n n n n n n n n f a a f b b →∞→∞→∞→∞⎧≥⎪⎨≤⎪⎩,或()()lim lim ,lim lim .n n n n n n n n f a a f b b →∞→∞→∞→∞⎧≤⎪⎨≥⎪⎩()(),.f f ξξξξ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩,或()(),.f f ξξξξ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩故至少存在[],a b ξ∈，使得()fξξ=x图 2.2.2。