随机过程作业题及参考答案(第一章)

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随机过程作业和答案第一二章

随机过程作业

第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。求X(t)的一维和二维分布。

解先求一维分布。当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t

故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。这亦是随机过程X(t)的一维分布。再求二维分布。当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t

因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。则其线性变换也服从正态分布。

且

所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵的二维正态分布。

P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数

(2) 二维分布函数

解 (1) 先求

所以

1)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,

0)(t t t EX +=+===212121

211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡++++22

12121

1111t t t t t t )

,0x x F )

πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4

F x π。 X()cos ,442A A ππ==显然，三值

，，易知它仅取22

《概率论与随机过程》习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。解：⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⨯=n n n

n S 100,

,0 ，其中n 为小班人数。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品

都取出，记录抽取的次数。解：{}10,,4,3 =S 。

（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。解：{} ,11,10=S 。（5）一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职

务），观察选举的结果。解：{}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为

正组长，B 为副组长，余类推。

（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解：{}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种

颜色。解：{}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连

续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

清华大学随机过程答案1

{(
0
)( 2
)}
Cξ (t1, t2) = E
η
cos
t1
−
1 2
cos
t1
η
cos
t2
−
1 2
cos
t2
= E {η2}
cos t1 cos t2 −
E
{η} cos t1
cos t2
+
1 4
cos t1
cos t2
=
1 3
cos t1 cos t2
−
1 2
cos t1 cos t2
+
1 4
cos t1
其中 n = 1, 2 . . . , k = 1, 2 . . .
3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的概率为 q，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = ξi。
即 {ξ (t)} 为严平稳随机过程。
7. 定义随机过程 x(t) = a − bt，其中，a~N (0, σ) 和 b~N (0, σ) 为独立的高斯随机变量，证

(完整版)随机过程题库1

随机过程综合练习题

一、填空题(每空3 分)

第一章

1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则

X1 X2 X n 的特征函数是。

2．E E(X Y) 。

3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。

4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。

5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则

X1 X 2 X n 的特征函数是。

6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。

第二章

7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。

8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。9．正交增量过程满足的条件是。10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。

第三章

11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为；

方差函数为。

12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它

们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。

13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程，

( t)n e n! 14．

15．240000 16．复合；17．

71 4

P X(t s) X(s) n

14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望

随机过程-习题-第1章

1.1 某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 和B ，从1=t 秒开始，每隔1秒有一乘客

到达车站。如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21

登上B 车，各乘客登哪一辆

车是相互统计独立的，并用j ξ代表j t =时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则

1=j ξ，乘客登上B 车则0=j ξ，即{}21

1==j P ξ,{}

10==j P ξ，当n t =时在A 车上的乘客数为

∑==n

j j n 1

ξη

n η是一个二项式分布的计算过程。

（1）求n η的概率分布，即{}；n k k P n ,,2,1,0? ===η

（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如21=t 时921=η，且22

=t 时又有一个乘客登上A 车，则22=t 时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。

(1) 解：n t =时在A 车上的乘客数n η服从二项分布，即

{}{}(){}()

),,2,1,0(2101n k C P P C k P n

k n k

n j k

j k

n =⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=====-ξξη

(2) 解： A 车的出发时间t 服从负二项分布。设在n 时刻第10位乘客登上A 车，即A 车出发时间n t =，那么在前1-n 个时刻登上A 车的乘客数为9，登上B 车的乘客数为10-n ；若设乘客登A 车概率为p (=1/2)，登B 车概率为q (=1/2)，则随机变量n t =的概率为

{}(

n n n C p q

p C n t P ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=

=---219110

991

其中， ,12,11,10=n 。

随机过程作业题及参考答案(第一章)

随机过程作业题及参考

答案(第一章)

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第一章随机过程基本概念

P39

1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。解：

1 当0cos 0t ω=，02

t k π

ωπ=+

，即0112t k πω⎛⎫=

+ ⎪⎝⎭

（k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02

t k π

ωπ≠+

，即0112t k πω⎛⎫

≠

+ ⎪⎝⎭

（k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦.

()[]()22

000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦.

()()20~0cos X t N t ω∴，. 则(

)2202cos x t

f x t ω-

=；.

2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为

()cos 2t X t t π⎧=⎨⎩，出现正面，出现反面

假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为

。试确定()X t 的一维分布函数12F x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；和()1F x ；，以及二维分布函数12112F x x ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，；，

。

解：

11101222

《随机过程》课后习题解答

（2）（3）
其期望和方差；证明对具有相同的参数的 b 的分布，关于参数 p 具有可加性。
解（1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)

x
0
p 1 ( jt b ) x
的分布。证（1） lim f (t ) lim
t 0
e jt (1 e jnt ) 1 e jt (1 e jt ) lim 1 jt t 0 n(1 e ) n t 0 1 e jt e jt (1 e jnt ) 1 (1 e jt ) jt lim e lim 1 n(1 e jt ) n t 0 t 0 1 e jt
1 1 2
1 1
＝＝
1
e
jt1 x
dx [cos t2 y j ( x 3 y xy 3 ) sin t2 y ]dy
0
1
1 sin t1 sin t2 t1t2
10、已知四维随机向量 ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) 服从正态分布，均值向量为 0，协方差矩阵
E 1X 2X3X 4）。为 B ( kl )44, 求（X
9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为

随机过程第一章习题答案

1
似水年华轻轻一瞥，年华似水轻描淡写
3. X (t )的一维分布：P{X (t ) 1} p, P{ X (t ) 0} 1 p X (t )的二维分布： P{X (t1 ) 1, X (t2 ) 1} p 2 , P{X (t1 ) 0, X (t2 ) 1} p(1 p) P{X (t1 ) 1, X (t2 ) 0} p(1 p), P{X (t1 ) 0, X (t2 ) 0} (1 p) 2
2
似水年华轻轻一瞥，年华似水轻描淡写
8.mY (t ) E[Y (t )] 1 P{ X (t ) x} 0 P{ X (t ) x} P{ X (t ) x} FX (t; x) Y (t )Y ( s)的分布律为：
Y(t)Y(s) P 0 1-P1 1 P{X(t)<=x, X(s)<=x }=P1
n n1 t t e (t ) n1 e t , t 0 ( n) (n 1)! 由于运输流强度每分钟30辆，即每秒0.5辆，即 0.5
w n (n, ), 其密度函数为：f (t ) P{w n x}
x
f (t )dt
2 2 E[ X 2 XYt2 XZt2 2 XYt1 Y 2t1t2 YZt1t2 XZt12 YZt12t2 Z 2t12t2 ] 2 EX 2 t1t2 EY 2 t12t2 EZ 2

《随机过程》第一章习题

第一章随机过程及其分类

1、设随机向量),(Y X 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布)1,0(N 。

（a ）分别写出随机变量Y X +和Y X -的分布密度

（b ）试问：Y X +与Y X -是否独立？说明理由。

2、设X 和Y 为独立的随机变量，期望和方差分别为211,σμ和2

22,σμ。

（a ）试求XY Z =和X 的相关系数；

（b ） Z 与X 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

3、设}0),({≥t t X 是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，试求方差函数)]()([T t X t X D +-。

4、考察两个谐波随机信号)(t X 和)(t Y ，其中：

)cos()(),cos()(t B t Y t A t X c c ωφω=+=

式中A 和c ω为正的常数；φ是[]ππ,-内均匀分布的随机变量，B 是标准正态分布的随机变量。

（a ）求)(t X 的均值、方差和相关函数；

（b ）若φ与B 独立，求)(t X 与)(t Y 的互相关函数。

5、设0);sin()(≥=t Yt X t ξ，而随机变量X 、Y 是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布，

试求此过程的均值函数及相关函数。

6、设随机向量()()∑=,~,21μτN X X X ，其中：()()ττμμμ2,1,21==，

西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案

随机过程习题解答

第一章习题解答

1．

设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,

P X k pq

k ===。求

X 的特征函数，EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。解

()()jtx

jtk k X k f t E e

e pq ∞

===

∑ =

()1jt k jt

k p

p qe qe ∞

-∑

又

200

()k

k k q q

E X kpq p kq p p p ∞

∞

======∑∑

（其中 0

(1)n

n n n nx n x x ∞

∞

====+-∑∑∑）

令 0

()(1)n

n S x n x ∞

==+∑

则 10

()(1)1x

n k n x

S t dt n t dt x x

∞

+===

-∑∑⎰⎰

同理 2

(1)2k

k k k k k k

x k x kx x ∞

∞

∞=====+--∑∑∑∑

令2

()(1)

k S x k x ∞

==+∑ 则

()(1)

(1)x

k k

k k k S t dt k t dt k x

kx ∞

∞

+====+=+=∑∑∑⎰）

2、（1）求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为

（2）其期望和方差；

（3）

证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解（1）设X 服从(,)p b Γ分布，则（2）'1()(0)X

p E X f

∴==

（4）

若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则

同理可得：()()i i P X b f t b jt

∑=∑-

3、设ln (),()(k

钱敏平-龚光鲁-随机过程答案(部分)

随机过程课后习题答案

第一章

第二题：已知一列一维分布{();1}n F x n ≥，试构造一个概率空间及其上的一个相互独立的随机变量序列{(,);1}n n ξ⋅≥使得(,)n ξ⋅的分布函数为()n F x 。

解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某一随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。

所以可以假设有相互独立的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ，如果令1(,)()n n n F ξθ-⋅=，则有(,)n ξ⋅为服从分布()n F x 的随机变量。又由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ⋅≥之间相互独立，则其中任意有限个随机变量12(,),(,),...,(,)n i i i ξξξ⋅⋅⋅的联合分布为：

11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅

再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯一的概率测度P 使得：

11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅

应用随机过程课后习题解答毛用才胡奇英

第一章习题解答

1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。求X 的特征函

数，EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是参数。解

()()jtx

jtk

k X k f t E e

pq ∞

===

∑

()k jtk

k p q e

∞

==∑ =0

()1jt k

k p

p qe qe ∞

-∑

又

200

()k

k k q q

E X kpq p kq p p p ∞∞

======∑∑

222

()()[()]q D X E X E X P =-=

〔其中 00

(1)n

n n n n nx

n x x ∞

∞

====+-∑∑∑〕

令 0

()(1)n n S x n x ∞

==+∑

那么 1000

()(1)1x

n k n x

S t dt n t dt x x

∞

+===

-∑∑⎰⎰

220

1()()(1)11(1)1(1)x

n n d

S x S t dt dx

x x

nx x x x ∞

=∴=

-∴=-=

---⎰∑

同理 2

(1)2k

k k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞

=====+--∑∑∑∑

令20

()(1)k k S x k x ∞

==+∑ 那么

()(1)(1)x

k k k k k S t dt k t dt k x

kx ∞∞

∞

+====+=+=∑∑∑⎰〕

2、〔1〕求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为

1,0()0,0()

0,0p p bx

b x e x p x b p p x --⎧>⎪

清华大学随机过程作业1

清华大学电子工程系版权所有
1 概率论与随机过程 (2) ，homework1_intro © 清华大学电子工程系 1. 袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币两面都有国徽）。在袋中任取一只，将它掷 r 次。已知每次都得到国徽，问取得的硬币是正品的概率。 2. 考虑一个如下定义的离散时间随机过程 X (n) , n = 1, 2, · · · 。无限次抛掷一枚硬币，对 n = 1, 2, · · · ，如果第 n 次抛掷结果为正面，则 X (n) = (−1) ；如果第 n 次抛掷结果为反面，则 X (n) = (−1)
n+1 n
。
(1) 试画出随机过程 {X (n)} 的典型样本轨道。 (2) 求随机过程 {X (n)} 的一维概率分布列。 (3) 对两时刻 n, n + k ，求 X (n) 和 X (n + k ) 的两维联合分布列，n = 1, 2, · · · , k = 1, 2, · · · 。 3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的概率为 q ，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q ，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = i=1 ξi 。 (1) 求 {η (n)} 的均值函数。 (2) 求 {η (n)} 的自相关函数 Rηη (n1 , n2 )。 (3) 给定时刻 n1 , n2 ，求随机过程 {ξ (n)} 的二维概率密度函数及相关函数。 4. ([1] 第一章习题 7) 设有随机过程 {ξ (t) , −∞ < t < ∞}，ξ (t) = η cos (t)，其中 η 为均匀分布于（0,1）间的随机变量，求 {ξ (t)} 的自相关函数 Rξ (t1 , t2 )，自协方差函数 Cξ (t1 , t2 )。 5. ([1] 第一章习题 3) 设有一随机过程 ξ (t)，它的样本函数为周期性的锯齿波。图 1 画出了两个样本函数图。各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不

湖南大学《随机过程》课程习题集

湖南大学本科课程《随机过程》习题集

主讲教师：何松华教授

第一章：概述及概率论复习

1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，

求其中有次品的概率。

1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再

放回，求第3次才取得合格品的概率。

1.3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求

乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。

1.4 设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放

回，求连续n 次取得合格品的概率。

1.5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且

0()00

A Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩

其中λ≥0为常数，求常数A 、B 的值。

1.6设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞

(1) 求系数A 、B ；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。

1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为

6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩

(1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2)问X 、Y 是否相互独立？

1.8已知随机变量X 的概率密度分布函数为

2()()]2X X X x m f x σ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。求Y 的概率密度分布函数。

智慧树知到答案随机过程章节测试答案

第一章单元测试

1、多选题：

设随机过程X(t)=At+(1-A)B, -∞＜t＜∞. 其中随机变量A与B独立同分布，

P(A=0)=0.4, P(A=1)=0.6. 则以下选项正确的有（）.

选项：

A:P(X(0)=1, X(1)=0)=0.24.

B:P(X(0)=1, X(1)=1)=0.24.

C:P(X(0)=0, X(1)=1)=0.36.

D:P(X(0)=0, X(1)=0)=0.16.

答案: 【P(X(0)=1, X(1)=0)=0.24. ;

P(X(0)=0, X(1)=0)=0.16.】

2、单选题：

设随机过程X(t)=At+(1-A)B, -∞<t<∞. 其中随机变量A与B独立同分布，P(A=0)=0.4, P(A=1)=0.6. 则自相关函数等于（）.

选项：

A:.

B:.

答案: 【.

】

3、判断题：

如果两个正态过程的均值函数和自协方差函数相同，则它们对应的有限维分布相同. （）

选项：

A:错

B:对

答案: 【对】

4、单选题：

设随机过程X(t)=At+B, -∞＜t＜∞. 其中随机变量A与B独立同服从区间(0, 2)上均匀分布. 则以下选项正确的是（）.

选项：

A:自协方差函数

B:自相关函数

C:自相关函数. D:自协方差函数

答案: 【自协方差函数

】

5、多选题：

设随机过程X(t)=At+B, -∞＜t＜∞. 其中随机变量A与B独立同服从区间(0, 2)上均匀分布. 则以下选项正确的有（）.

选项：

A:X(2)-X(1)与X(0)同分布.

B:X(1)-X(0)~U(0, 2).

随机过程第一章习题解答

第一章习题解答

1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。求

X 的特征函数，EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。解

()()jtx

jtk k X k f t E e

e pq ∞

===

∑ 0

()k jtk

k p q e

∞

==∑ =0

()1jt k

jt k p

p qe qe

∞

-∑ 又

()k

k k k q q E X kpq p kq p

p p

∞∞

======∑∑ 222

()()[()]q D X E X E X P =-=

（其中 00

(1)n

n n n n nx

n x x ∞

∞

====+-∑∑∑）

令 0

()(1)n n S x n x ∞

==+∑

则 1

000

()(1)1x

n k n x S t dt n t

dt x

∞

+===

=-∑∑⎰⎰ 20

220

()()(1)11(1)1(1)x

n n d

S x S t dt dx

x x

nx x x x ∞

=∴=

=-∴=-=

---⎰∑

同理 2

(1)2k

k k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞

=====+--∑∑∑∑

令20

()(1)k k S x k x ∞

==+∑ 则

()(1)(1)x

k k k k k S t dt k t dt k x

kx ∞∞

∞

+====+=+=∑∑∑⎰）

2、（1）求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为

1,0

()0,0()0,0p p bx

b x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨

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