第二节 直线与圆的位置关系
直线和圆的位置关系2
课外练习
如图，一热带风暴中心O距A岛为2千米，风
暴影响圈的半径为1千米.有一条船从A岛出发沿
AB方向航行，问∠BAO的度数是多少时船就会进 入风暴影响圈？
B A O
挑战自我！
如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, ∠C= 30° ，AD=1，AB=2.
试猜想在BC是否存在一点P，使得⊙P与线段CD、
AB都相切，如存在，请确定⊙P的半径.
A D
B
30
C
； http://gzsn.pro 广州SN ；
面蛮族の头领,那名蛮皇级别の练家子,眼看着自己の子弟竟然在短短の两分钟内,死伤过半,愤怒の大吼起来.双手拍打着胸前恐怖の肌肉,不再去管,还在自相残杀の蛮族子弟,愤然の一跃,如同一只发狂の公牛般,朝白重炙这边の小队冲来. "夜十七你去顶住他,月仙姑,你配合风蒙干掉这大 个子." 夜十三看了一眼冲过来の蛮族蛮皇,不以为意,淡淡の说道.从队伍中派出三名诸侯境强者,前去堵截他.这名蛮皇虽然防御超强,刚才の几轮攻击,他没有受到丝毫伤害.但是在三名诸侯境强者攻击下,应该跑不了了. 夜十三安排好后,再次朝蛮族小队望去,却发现少部分没有受伤の蛮族 竟然开始四处散开横冲直撞疯狂の逃跑开去,连忙快速下令起来："不好！要跑了,白家子弟,全体冲锋！花家刺客和风家剑客速度刺杀逃跑蛮族……额！蛮皇开始逃跑了,夜十七快留下他！" 白重炙手握着青龙匕,早就在等夜十三下令.此刻一听到冲锋,便犹如一只发情の公牛般,横冲而去,而 他身旁の两名负责临时保护他の元帅境三重白家子弟,连忙跟上.这小祖宗要是受伤了,他们可是会被夜十三给骂死の. "咻！" 白重炙丝毫不含糊,也不顾及身后の两名临时保镖の呼声.一百米距离,瞬间即到.对着迎面朝他冲来の一名高大蛮族,直接一个灵魂眩晕,然后青龙匕温柔划过,蛮族 那坚硬如铁の脖子竟然如铁被撕裂の白纸般,赫然出现一个血红の口子,而后一股血剑恍如不要钱般,急涌而出…… 额！秒杀? 身后の两名元帅境の练家子一愣.纷纷睁大了眼睛,相互对视一眼.这名蛮族按照身材比例,估计最少都是蛮帅级别の练家子啊?寒公子竟然可以秒杀?然而他们一愣之 后,却发现白重炙犹如一条泥鳅般,竟然钻入了蛮族群中. 两人心中大骇,连忙不敢多想,速度战气全力运转,手中の长刀出现一道道闪亮吞吐不停の刀芒.挥舞着长刀跟着白重炙杀入蛮族族群中,身后の一群白家子弟,也全部犹如下山の猛虎般,扑进了蛮族这群羔羊中.虽然按照身材の比例来看, 怎么看都是他们像羔羊…… 花家额刺客也在第一时间现身,联合风家の剑客们开始拦截起四处逃逸の蛮族.只是很明显,这些没有受太重伤害,并且在第一时间反应过来,四处奔逃の蛮族,都是高手,基本来最少都是蛮将蛮帅级别.这些蛮族,似乎不顾及紧贴身后の风家剑客,也不去看在他们头 顶上呼啸而过の风家御空飞行の长剑,也不去管突然出现の花家刺客.只是挥舞着粗大の手臂,胡乱挥舞着,护住头部,然后朝着一个方向,犹如一个巨型移动の铁人般.疯狂の横冲直撞奔跑着.风家の飞剑,将他们の裸露の身体划得伤痕累累,血流不止,花家の刺客,诡异の刺杀都没有停止他们の 步伐.他们恐怖の防御力给了他们足够の本钱,他们只知道,一直逃,他们就有机会活下去…… 很明显蛮族の这种看似莽撞,甚至有些怯弱の表现,成功让风家和花家の追杀者不知所措了.在追杀了几里之后,无奈の选择了放弃,按照以往の计划,追杀不能超过预定距离,否则容易造成被反伏击. 猎杀了几名倒霉蛋之后,风家花家子弟,迅速回防. 夜十七、月仙姑和风蒙也同样遇到了相同の困扰. 蛮族小队の这名蛮皇一开始,疯狂の朝自己这方の阵营冲过来时候.他们三人在夜十三の命令之下,迅速摆好阵型,准备把这个大个子给留在这里.只是这个看似傻乎乎の大个子,在半路竟然突 然转向,让后速度陡然提升,开始疯狂逃跑起来.夜十七他们一愣,立刻反应过来,三人飞快地跟了上去,想留下蛮皇. 只是这名蛮皇の防御力超级强悍,而且始终闭着眼睛,护着头部,只是一个劲の疯跑着.他这一闭眼一抱头,月家和风家の诸侯境强者便没办法了,月家幻术只能通过眼睛攻击.风 家の飞剑虽然能刺破蛮皇の皮肉,但是这点小伤对于三米多高の蛮皇来说不算什么.夜十七の气场一直笼罩着蛮皇,手中の长刀也是刀芒闪耀.无奈这名蛮皇防御太强全身紧要部位都被灰色の皮甲包裹,不能对他造成严重の伤害……最终在追杀了十多里路之后,三人望着笔直跳落一个断崖の蛮 皇无奈の摇了摇头,没有继续追下去,打道回府了. 额……十多里路,以他们の速度,几个呼吸就迅速折回了.只是回到原先の场地他们却看到奇异の一幕,让他们集体一怔.他们看到白家子弟集体围着一群蛮族,围而不攻.而蛮族群中一个全身都是血迹の黑衣青年,竟然独自一人在群战一群蛮族. 不！不是群战,而是**裸地屠杀！ 当前 第壹0壹章 零９２章 首战告捷（下） 壹0壹章首战告捷（下） 黑衣青年手持青『色』匕首,脚踩着诡异の步伐,在几十名蛮族中犹如一跳滑腻の泥鳅般,左右穿行,步伐潇洒飘逸,俨如一名翩翩起舞の舞者.而他の手中の青『色』匕首,随着他脚步の飘 动,不时の他眼中闪出一怔妖异の光芒,让一名靠近过来の蛮族顿时一顿,然后他匕首施施然の在傻愣当场の蛮族脖子上轻轻一划.蛮族の脖子上顿时裂开一道婴儿嘴般红嫩の口子,瞬间一股血剑激『射』而出,然后这么蛮族鼓着大大の双眼,轰然倒地…… "我靠！十七,你家公子什么时候那么 猛了?他眼中の光芒是月家幻术?手中の青『色』匕首最少都是宝器吧?夜青牛太上长老の奔牛步,怎么在这小子脚下变得那么潇洒飘逸了?" 风蒙『摸』了『摸』脑袋,贪婪の望着白重炙手中の青『色』匕首.要知道如果他手上有一把白重炙手中の宝器の话,那名蛮皇就绝对跑不了了,直接可 以秒杀啊……不过想归想,他确知道这宝器是可遇不可求の,要知道宝器级别以上,那可是大陆上所有の匠师都不能制造の.大陆上稀少の宝器,以及双手可数の圣器,都只能从一个地方侥幸获得.那就是大陆第一绝地——落神山.而以他の实力,进落神山去,则十有**会陨落…… 月仙姑,当然不 是仙姑,也没有仙女の气质.这名月家の带队の诸侯境强者,没有丝毫强者气质,成熟漂亮の脸孔时刻『荡』漾着勾魂夺魄の妩媚,反而有些像青楼内の老鸨,此刻她看着白重炙眼中闪过の妖异光芒,淡淡の峨眉蹙起,不解说道："不对啊,这小子用得好像不是月家の幻术,速度比月家の快,『迷』 『惑』の时间也更久,而且他虽然是月水儿の儿子,但是没听说过男子能进行月家血脉觉醒啊.学习月家幻术啊?这小子,秘密还真多……"[ "嘿嘿！这当然,我告诉你们,白重炙可是内定の未来夜世家长！" 夜十七当然知道白重炙眼中の光芒是他の合体战技,不过他当然不会傻乎乎の告诉所有 人,白重炙有圣智,有逆天の合体技能.只是看着面前这个逐渐成长起来の青年,想着他亲和没有丝毫架子の笑容,以及和他们极为亲切关系.日后一旦白重炙成为夜世家长,他们和夜十三の日子,想必不会过得太差吧…… 月倾城和夜轻舞两人の表情极其复杂.月倾城看着在蛮族群中"翩翩起舞" 带着浓浓の艺术气息の一步杀一人の白重炙,灵动の眸子一阵『迷』离,这就是就她未来の男人,与之共度一生の男人. 想着白重炙在前去静湖岛の小船上,自信从容地解说自己『吟』唱の曲调,并且一眼就认出了她の身份.想着白重炙在静湖岛上,白重炙豪迈睥睨天下那首《破阵子》.心中暗 叹自己当初の选择没有错,既然没错,那就一路走下去吧…… 夜轻舞当然见过白重炙杀人,在白家堡醉心园の时候,白重炙滔天一怒,暴起杀人.也是这种妖异の光芒一闪,然后把帝王境の夜荣直接给秒杀了.想着醉心园内,那傲然站立の年轻身影,此刻已经从一名青涩の青年逐渐成熟起来.看着 一眼『迷』醉爱慕眼神の月倾城,想着那日在醉心园,毫无考虑,直接灵魂献祭,の那名白衣白发の夜轻语.夜轻舞心里涌起一股莫名の情愫,有些酸楚,有些妒忌,还有茫然…… 这场屠杀,没有持续多少时间.看着最后一名蛮族倒在地上,白重炙抬手擦了擦脸上の血迹,但却感觉越擦越脏.没有时 间去想为何众人集体在看着自己.只是快速の将手在衣服上擦了擦,开始更加忙碌起来. 众人也开始忙碌起来,把尸体开始集中起来,等着白重炙收取积分.一番,是
4.2.1 第二课时 直线与圆的位置关系
解
设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线 2x＋y－5＝0 与 2x＋y＋15＝0 平行， |15－－5| ∴2r＝ ＝4 5，∴r＝2 5， 22＋12 |2a＋b＋15| ∴ ＝r＝2 5，即|2a＋b＋15|＝10① 22＋1
|2a＋b－5| ＝r＝2 5，即|2a＋b－5|＝10② 22＋1 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， b－1 1 ∴ ＝ ③ a－2 2
解． 消去 y， 整理得(1＋t2)x2＋2(t2－3t)x＋(t2－6t＋8)＝0 有解． 所以，Δ＝4(t2－3t)2－4(1＋t2)(t2－6t＋8)≥0， 4 即 6t－8≥0，解得 t≥ . 3 y＋2 4 故 的最小值是 . 3 x＋ 1
返回
y＋2 法二：令 ＝ k， x＋1 则k表示圆上任一点与(－1，－2)点连线的斜率， ∴kx－y＋k－2＝0， |0－1＋k－2| 由 ≤ 1， k2 ＋ 1 4 得 k≥ . 3 y＋2 4 ∴ 的最小值为 . 3 x＋ 1
解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过 A(3,4)的直线方程为 y －4＝k(x－3)，即 kx－y＋4－3k＝0， |2k－1＋4－3k| 4 由 ＝ 1 ，得 k ＝ . 3 1＋k2 4 所以切线方程为 y－4＝ (x－3)，即 4x－3y＝0. 3 当所求直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝3，也符合题意． 故所求直线方程为 4x－3y＝0 或 x＝3.
)
解析：圆的圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距离小 于或等于圆的半径1， |b×0＋a×0－ab| 即 ≤ 1， a2＋b2 a2＋b2 1 1 即 2 2 ≥1，则 2＋ 2≥1. a b a b
答案： Dຫໍສະໝຸດ 返回y 3．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么x的最大 值是________． y 解析：设 x ＝k，则y＝kx，(x－2)2＋k2x2＝3，整理得
高中数学知识点：直线与圆的位置关系
高中数学知识点：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.
有两组实数解时，直线l与圆C相交；
有一组实数解时，直线l与圆C相切；
无实数解时，直线l与圆C相离.
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：
当d r
<时，直线l与圆C相交；
当d r
=时，直线l与圆C相切；
当d r
>时，直线l与圆C相离.
要点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.。
湘教版数学九年级下册《2.5.1直线与圆的位置关系》教学设计
湘教版数学九年级下册《2.5.1直线与圆的位置关系》教学设计一. 教材分析《2.5.1直线与圆的位置关系》是湘教版数学九年级下册第五章第二节的内容。
本节主要介绍了直线与圆的位置关系，包括相交、相切和相离三种情况，并学习了如何判断直线与圆的位置关系以及如何求出圆的弦长和圆心角。
这一节的内容是学习圆的性质和圆的方程的基础，对于学生来说非常重要。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了相似多边形的性质、圆的定义和性质、垂径定理等知识。
但是，对于判断直线与圆的位置关系以及求解弦长和圆心角，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察和操作，理解直线与圆的位置关系，并掌握求解弦长和圆心角的方法。
三. 教学目标1.理解直线与圆的位置关系，包括相交、相切和相离。
2.学会判断直线与圆的位置关系以及求解弦长和圆心角的方法。
3.培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直线与圆的位置关系的判断，弦长和圆心角的求解。
2.教学难点：理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，以及求解弦长和圆心角的公式。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和操作，发现直线与圆的位置关系。
2.使用多媒体辅助教学，展示直线与圆的位置关系的动态过程，帮助学生直观理解。
3.通过小组合作学习，让学生在讨论和交流中，掌握判断直线与圆位置关系的方法。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.直线与圆的位置关系的动态演示软件。
3.圆规、直尺等绘图工具。
4.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示直线与圆的位置关系的动态过程，引导学生观察和思考直线与圆的位置关系。
提问：直线与圆可能出现哪几种位置关系？学生回答后，教师进行总结。
2.呈现（10分钟）教师讲解直线与圆的位置关系的判断方法，以及求解弦长和圆心角的方法。
通过示例，让学生理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，以及求解弦长和圆心角的公式。
人教版必修二直线与圆的位置关系
考虑斜率
不存在的 x 情况
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9
课堂回眸
d
d
d
r
r
r
几何法：d和r的关系 代数法：△
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10
巩固练习 P128 练习2、3、4
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11
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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7
方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径 的大小关系判断.
1.把直线方程化为一般式，并求出圆心坐标 和半径r； 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的 距离d； 3.比较d与r的大小关系：
若d＞r，则直线与圆相离； 若d＝r，则直线与圆相切； 若d＜r，则直线与圆相交．
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8
y
Mo
2
在平面几何中，直线与圆的位置 关系有几种？
• 相离 • 相切 • 相交
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3
在平面几何中，我们怎样判断直 线与圆的位置关系？
几何法
d
d
d
r
r
r
d<r
d=r
d>r
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4
代数法
△＞0
△＝0
已知直线3x+y-6=0和圆
心为C的圆x2＋y2-2y-4=0,判断直线与圆
4．2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系
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1
问题 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布
在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域。 已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小 岛中心正北40km处。如果轮船沿直线返港，那么 它是否会有触礁危险？
人教版数学九年级上册24.2.2.1《直线与圆的位置关系》说课稿
人教版数学九年级上册24.2.2.1《直线与圆的位置关系》说课稿一. 教材分析《直线与圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第二节的一部分，这部分内容是整个初中数学的重要知识之一。
在此之前，学生已经学习了直线、圆的基本性质和图形的相互关系。
通过这部分的学习，学生能够更深入地理解直线与圆的位置关系，为后续解析几何的学习打下基础。
本节内容主要包括直线与圆相切、相交两种情况。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究直线与圆的位置关系，并通过数学推导证明相关结论。
学生需要理解并掌握直线与圆的位置关系，能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直线、圆的基本性质和图形相互关系有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能会对直线与圆的位置关系的理解存在一定的困难，特别是对相交和相切的判断。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，针对学生的实际情况进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆相交、相切的方法。
2.过程与方法目标：通过观察图形、实例分析、数学推导等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直线与圆的位置关系的理解和判断方法。
2.教学难点：对相交和相切的判断，以及相关数学推导。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例分析、小组讨论、数学推导等教学方法，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示直线与圆的位置关系，帮助学生理解和掌握相关知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示实际生活中的直线与圆的例子，如自行车轮子、地球表面的经纬线等，引导学生关注直线与圆的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍直线与圆的位置关系的概念，引导学生思考如何判断直线与圆的位置关系。
直线与圆的位置关系(公式及技巧)
PA·PB＝PC2
五、圆内接四边形的性质定理和判定定理
性 质 圆互内补接四边形对角 定 理
四边形 ABCD
内接于⊙O， A＋C＝π，B＋D＝π
判 如果四边形的对
定 角互补 ，则此四
定 边形内接于圆
理
在四边形ABCD中， A＋C＝π或B＋D ＝π，则四边形 ABCD内接于圆
1．如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切 点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝ 120°，则∠APB＝________.
的度数
四、圆中的比例线段
相
交 圆的两条相交弦，被交点 弦 定 分成两段的积 相等
理
PA·PB＝PC·PD
割 从圆外一点引圆的两条割线，
线 这点到每条割线与圆的交点的
定 两条线段长的积相等
理
PA·PB＝PC·PD
从圆外一点引圆的一条割线 切 割 和一条切线，切线长是这点 线 定 到割线与圆的两个交点的线 理
解析：∵AD＝4DB，
∴OC＋OD＝4(OC－OD)，
即3OC＝5OD，cos2θ＝2cos2θ－1＝2
(OD )2 1 2 ( 3)2 1 7 .
OC
5
25
答案：
5．如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的 垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB， 且AE＝2，则AB＝________，AC＝________， BC＝________.
解：由已知△ABC是直角三角形，易知∠CAB=30°， 由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF=30°， 由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°，知∠DCA=60°， 故在Rt△ADC中，∠DAC=30°. 法一：连结BE，如图(1)所示， ∠EAB=60°=∠CBA， 则Rt△ABE≌Rt△BAC， 所以AE=BC=3.
第2章 2.5 2.5.1 直线与圆的位置关系
直线与圆位置关系的综合
【例 4】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报， 台风中心位于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径为 30 km 的圆 形区域，已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变 航线，那么它是否会受到台风的影响？
[思路探究] 先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有 关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数 问题来解决．
(2)[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点 A 在圆外，故切线有两条． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k， 则切线方程为 y＋3＝k(x－4)，即 kx－y－4k－3＝0. 设圆心为 C， 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，
所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1， 所以 k2＋8k＋16＝k2＋1，解得 k＝－185. 所以切线方程为－185x－y＋125－3＝0， 即 15x＋8y－36＝0.
[跟进训练] 2．若圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线 2ax＋by＋6＝0 对
称，则由点(a，b)向圆 C 所作的切线长的最小值为________．
4 [因为圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，所以圆心 C(－1,2)在直线 2ax＋by＋6＝0 上，所以－2a＋2b＋ 6＝0，即 a－b＝3.又圆的半径为 2，
4．若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的
切线方程为________．
x＋2y－5＝0 [由题意，得 kOP＝21－－00＝2，则该圆在点 P 处的切 线的斜率为－12，所以所求切线方程为 y－2＝－12(x－1)，即 x＋2y－5 ＝0.]
高中数学必修二直线与圆的位置关系
课题：直线与圆的位置关系一、教学内容分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的公共点的个数，圆心与直线的距离d与半径r的关系来判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法都是以结论性的形式呈现,虽然是定量的展现，但实质还是定性研究（d与r都是直接给数据或者利用几何证明来得出d与r的数量关系）.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法，也就是定量研究.解决问题的方法主要是几何法(d-r法)和代数法（Δ法）.其中几何法是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后,比较与半径r的关系从而作出判断.而代数法是结合直线方程与圆的方程，通过联立方程形成方程组，转化为二次方程根的判别问题从而做出判断。
两种方法学生都可以自己讨论得到,通过具体问题学生掌握“代数法”与“几何法”,明确代数法更具有一般性,几何法则紧扣圆的几何特性，充分利用圆的性质。
所以在研究直线与圆的位置关系时“几何法”更实用一些.通过教学想让学生体会：解析几何的核心就是坐标法，计算是必不可少的，提高计算能力也是必要的。
但解析几何终究研究的是几何问题，深入研究几何图形的特性，再用代数方法去解决可以减少计算量从而提高解题效率。
含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也可适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,想要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质.二、学生情况分析学生在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系，前面已经学习了直线方程、圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离等知识，具备了利用方程及图形研究直线与圆的位置关系的基本能力。
判断直线与圆的位置关系方法
判断直线与圆的位置关系方法一、点到直线的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，点的坐标为(x1,y1)。
点到直线的距离公式为：d=，A*x1+B*y1+C，/√(A^2+B^2)。
1.当d>r时，直线与圆无交点，直线与圆相离。
2.当d=r时，直线与圆只有一个交点，该交点即为点到直线的垂线与圆的交点。
3.当d<r时，直线与圆有两个交点，求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。
二、点到圆的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，点的坐标为(x1,y1)。
点到圆的距离公式为：d=√((x1-h)^2+(y1-k)^2)。
1.当d>r时，直线与圆无交点，直线与圆相离。
2.当d=r时，直线与圆只有一个交点，该交点即为点到圆的垂线与圆的交点。
3.当d<r时，直线与圆有两个交点，求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。
三、直线与圆的交点公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，直线与圆的交点分别为(x1,y1)和(x2,y2)。
则交点的坐标有以下两种求解方法：1.代入方程法：将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程。
解这个方程可以得到x1和x2的值，将其代入直线的方程即可得到相应的y值。
最终求出交点的坐标。
2.垂线法：设直线的方程为y = kx + b，对其求出斜率 k 并确定直线的垂线的斜率为 -1/k。
将直线的方程代入圆的方程得到一个关于 x 的一元二次方程，解这个方程可以得到 x1 和 x2 的值，将其代入直线的方程即可得到相应的 y 值。
最终求出交点的坐标。
以上是判断直线与圆的常用方法，可以根据具体问题选择合适的方法来解决。
同时也需要注意解析几何中的一些特殊情况，如直线与圆相切、相交、相离等情况，对于这些情况需要综合考虑以上的公式和几何特性来判断两者的位置关系。
直线与圆的位置关系课件
直线与圆相离
1
外切
直线与圆相离，并且与圆有且仅有一
外离不相交
2
个切
分离。
3
外离相离
直线与圆没有任何交点或切点，但它 们还是有一定的接近性。
直线与圆相切
1
切点性质
直线与圆相切于一个切点，切点在圆上。
2
法线性质
直线在切点处垂直于圆的切线。
圆的定义和特征
圆
圆是由一条曲线围成的，所有 点到圆心的距离相等。
球体
球体是三维空间中由一条曲线 围成的，所有点到球心的距离 相等。
气旋
气旋是带状大气旋转体，呈圆 形或类似圆形的自然现象。
直线与圆的位置关系分类
1 相离
直线和圆没有交点，彼 此没有相交。
2 相切
直线切到圆的边界，只 有一个接触点。
3 相交
3
角度性质
直线与半径的夹角等于切线与半径的夹角，并且都是直角。
直线与圆相交
1
交点性质
直线与圆相交于两个交点，交点分别
切线性质
2
在圆内和圆外。
直线通过切点，既是直线也是圆的切
线。
3
夹角性质
直线与切线的夹角等于直线与半径的 夹角。
直线与圆相切的性质
1 唯一性
直线和圆之间最多只能有一个切点。
2 切点位置
切点在圆上，与圆的切线垂直。
3 切线方向
切线通过切点，既是直线也是圆的切线。
直线与圆相交的性质
1 交点个数
2 切点位置
直线和圆相交于两个交 点，分别在圆内和圆外。
切点在圆上，与圆的切 线垂直。
3 夹角性质
直线与切线的夹角等于 直线与半径的夹角。
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解：(1)证明：如图所示，连接 DE，根据题意，在△ADE 和△ACB AD AE 中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即 AC ＝AB，
又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB.所以 C，B，D，E 四点共圆．
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(2)当 m＝4，n＝6 时，方程 x2－14x＋mn＝0 的两根为 x1＝2，x2 ＝12. 故 AD＝2，AB＝12.取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于点 H，连接 DH. 因为 C，B，D，E 四点共圆， 所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH. 由于∠BAC＝90°， 1 故 GH∥AB，HF∥AC，HF＝AG＝5，DF＝2×(12－2)＝5，DH ＝ HF2＋DF2＝ 52＋52＝5 2， 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2.
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(2013· 天津模拟 )如图，PA 是圆 O 的切线，
切点为 A，PA＝2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于点 B，PB ＝1，求圆 O 的半径 R.
PA2 4 解：由切割线定理可得：PA ＝PB· PC，即 PC＝ PB ＝1＝4，
2
所以 BC＝PC－PB＝3，因为 AC 是圆 O 的直径， 所以∠ABC＝90°，所以 AB2＝BC· PB＝3. AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，即 AC＝2R＝2 3， 所以 R＝ 3.
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[听前试做] (1)如图所示，连接 OP，OM.
因为 AP 与⊙O 相切于点 P，所以 OP⊥AP. 因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点，所以 OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由于圆心 O 在∠PAC 的内部， 可知四边形 APOM 的对角互补， 所 以 A，P，O，M 四点共圆． (2)由(1)得 A，P，O，M 四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM. 由(1)得 OP⊥AP.由圆心 O 在∠PAC 的内部可知∠OPM＋∠APM ＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.
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与圆有关的比例线段问题的常见类型及解题策略 (1)证明比例线段(或线段乘积)． 利用相交弦定理或切割 线定理证明． (2)求线段的长度．可依题已知条件、相交弦定理或切割 线定理找到比例线段，进而求线段长度． (3)证明三角形相似．可依题设及相交弦定理、切割线定 理找到三角形相似的条件即可证明．
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[听前试做] (1)由切割线定理，得 QA2＝QC· QD＝4⇒QA＝2，则 PB＝PA＝2QA＝4. (2)
如图所示，由切割线定理得 PA2＝PB· PC＝PB· (PB＋BC)，即 62＝ PB· (PB＋9)， 解得 PB＝3(负值舍去)． 由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA， AB AP AB 6 又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则CA＝ CP，即 8 ＝ ，解 3＋ 9 得 AB＝4.
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证明四点共圆的常用方法 (1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角 互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等． 当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．
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已知 D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合．已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关 于 x 的方程 x2－14x＋mn＝0 的两个根． (1)证明：C，B，D，E 四点共圆； (2)若∠BAC＝90°，且 m＝4，n＝6，求点 C，B，D，E 所在 圆的半径．
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[例 2] (2015· 临汾模拟 )如图所示，已知 AP 是⊙O 的切线，P 为切点， AC 是⊙O 的割线， 与⊙O 交于 B， C 两点， 圆心 O 在∠PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点．
(1)证明：A，P，O，M 四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM 的大小．
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，
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3．弦切角定理及其推论 (1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的 一半 (2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 ． 4．圆中的比例线段 线段长的积 相等 . ．
(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条 (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线 ，该点到每条割线与 圆的交点的两条线段长的积 相等 . (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线 ，切线长是这点 到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 .
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[例 3] (2014· 湖南高考节选 )如图，已知 AB，BC 是⊙O 的两条弦， AO⊥BC，AB＝ 3，BC＝2 2，求⊙O 的半径．
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[听前试做] 设 AO，BC 的交点为 D，由已知可得 D 为 BC 的中点，则在直角 三角形 ABD 中，AD＝ AB2－BD2＝1，设圆的半径为 r，延长 AO 交 圆 O 于点 E，由圆的相交弦定理可知 BD· CD＝AD· DE，即( 2)2＝2r－ 3 1，解得 r＝2.
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[例 1] (1)(2014· 湖北高考节选 )如图，P 为⊙O 外一点，过 P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为 A，B.过 PA 的中点 Q 作割线交 ⊙O 于 C，D 两点．若 QC＝1，CD＝3，求 PB 的长． (2)(2014· 重庆高考节选 )过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切 点)，再作割线 PBC 分别交圆于 B，C.若 PA＝6，AC＝8，BC＝9， 求 AB 的长．
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圆周角、弦切角定理的作用 圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系， 从而证明三角形全 等或相似，也可用于求线段长或角的大小及与圆的切线有关的问题．
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︵ ＝BD ︵ ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线 如图，已知圆上的弧AC 交于 E 点．求证： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE· CD.
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第二节
直线与圆的位置关系
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考纲下载 1．会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性 质定理．
2．会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理
与判定定理、切割线定理．
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1．圆周角 (1) 定 理 ： 圆 上 一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所 对 的 圆 心 角 一半 ． (2)推论 1：①同弧或等弧所对的圆周角 相等 ． ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等 ． (3)推论 2：①半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ． ②90°的圆周角所对的弦是 直径 ． 2．圆的切线 (1)判定定理：经过半径的外端并且 垂直于 这条半径的直线 是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线 垂直于 经过切点的半径． (3)切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线 ， 切线长 相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
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2个结论——直线与圆位置关系的两个相关结论 (1)切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直 的直线过圆心； (2)相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切 线的长． 2种思路——解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论； (2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时， 可转化为证 明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式” ．在证明 中有时还要借助中间比来代换．
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︵ ＝BD ︵ ，所以∠BCD＝∠ABC.又因为 EC 与圆相 证明：(1)因为AC 切于点 C，根据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD. ︵ 上的圆周角，∠ACB 等于AB ︵ 上的圆周角， (2)因为∠ECA 等于AC ︵ 上的圆周角， 所以∠ECB 等于CAB 故∠ECB＝∠CDB， 又由(1)知∠EBC BC CD ＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故 BE＝ BC，即 BC2＝BE· CD.
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