2020-2021高中目标测试题2：弧度制

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7.1.2弧度制及其与角度制的换算—2020-2021学年高一下学期人教B版第三册同步习题

弧度制及其与角度制的换算一、选择题1．－25π6的角是( ) A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角2．若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 23．与30°角终边相同的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z }B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．{α|α＝2k π＋π6，k ∈Z }4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题5．(1)把67°30′化成弧度＝________.(2)把35π化成度＝________.6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π))的形式是________．7．已知一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，则扇形的圆心角为________．三、解答题8．已知角α的终边与－253π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值．9．已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S 的最大值．10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .弧度制及其与角度制的换算1．解析：因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角．答案：D2．解析：r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．答案：A3．解析：∵30°＝30×π180 rad ＝π6rad ， ∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选D. 答案：D4．解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.答案：C5．解析：(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π. (2)35π＝⎝⎛⎭⎫3π5×180π°＝108°. 答案：(1)38π (2)108° 6．解析：－570°＝－(570×π180 )rad ＝－196π rad ，－196π＝－4π＋56π. 答案：－4π＋56π 7．解析：设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r ＋2α. 又∵r ＝2，∴α＝π6. 答案：π68．解析：∵253π与－253π的终边关于x 轴对称，且253π＝8π＋π3， ∴α与π3的终边相同． ∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )．∵－π<α3<π，∴－π<2k π3＋π9<π. 当k ＝－1时，α3＝－5π9∈(－π，π)；当k ＝0时，α3＝π9∈(－π，π)；当k ＝1时，α3＝7π9∈(－π，π)． ∴在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π9. 9．解析：(1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10，则α＝l r＝2(rad)．故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.10．解析：(1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

2020学年新教材高中数学课时训练(三十二)弧度制新人教A版必修第一册(2021-2022学年)

课时跟踪检测(三十二) 弧度制A级——学考水平达标练1．下列命题中,正确的是( )A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径长的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角解析：选D 根据１弧度的定义可知D正确．2.半径为１,圆心角为错误!的扇形的面积为（ )A.错误!Ｂ．错误!未定义书签。

C．πﻩD。

错误!未定义书签。

解析:选Ａ由扇形面积公式得:S=错误!×ｒ2×|α｜＝错误!未定义书签。

×12×错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

,故选A．3.（2０18·湖南师大附中高一期中)在区间(0,2π)内与－＼ｆ(34π，5）终边相同的角是( ）A。

错误!ﻩＢ。

错误!未定义书签。

C．错误!ﻩ D.错误!解析：选D因为-错误!＝-8π+错误!，所以－错误!未定义书签。

与错误!终边相同，选D。

4.自行车的大链轮有8８齿，小链轮有2０齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是(）Ａ。

5π1１B。

＼ｆ（44π,5)C。

错误! D.错误!未定义书签。

解析：选Ｂ由题意,当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过错误!周,小链轮转过的弧度是错误!未定义书签。

×2π=错误!。

5．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度为（）A.错误!未定义书签。

πＢ.-错误!πC．＼f（7,18)πﻩＤ.-＼f(7,18)π解析:选B显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了错误!周,转过的弧度为错误!×２π=－错误!未定义书签。

π。

6.若角α的终边与错误!未定义书签。

角的终边关于直线ｙ=x对称，且α∈错误!未定义书签。

，则α=___＿＿___.解析：由题意知,角α与＼ｆ（π,３)角的终边相同，则错误!未定义书签。

＋2π=错误!未定义书签。

π，错误!未定义书签。

-2π＝-＼f(５,３）π，π3－4π＝-错误!未定义书签。

人教a版数学高一单元测试卷第2课时弧度制含解析

第2课时弧度制1.2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝12|α|·r 2(α是弧度数且0<α<2π)．3．角度与弧度互化一、选择题1．－315°化为弧度是( )A ．－43πB ．－5π3C ．－7π4D ．－76π答案：C解析：－315°×π180＝－7π42．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π3cm ，它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：A解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.3．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6 D.2π3 答案：C解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C.4．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案：D解析：由弧度的定义，知D 正确．5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D 解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .6．下列终边相同的一组角是( )A ．k π＋π2与k ·90°，(k ∈Z )B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )C ．k π＋π6与2k π±π6，(k ∈Z )D.k π3与k π＋π3，(k ∈Z ) 答案：B解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍．二、填空题7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．答案：－23π3解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋56·2π＝－23π3 三、解答题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．解：∵圆弧半径R ＝2 km ＝2 000 m ，火车速度v ＝30 km/h ＝253m/s ，∴经过10 s 后火车转过的弧长l ＝253×10＝2503(m)，∴火车经过10 s 后转过的弧度数|α|＝l R ＝25032 000＝124.11．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤r <0，∴k ＝－3，－2，－1.∴与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.(3)令0≤r ＝76π＋2k π＜5π，∴k ＝0,1，∴与α终边相同的角为76π，196π.12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA 围绕点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则θ等于( )A ．－4π B．－6π C ．－8π D．－10π 答案：B解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA 旋转了π3＋2π3＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA 按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.13．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z， P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π6，k ∈Z，试确定M 、N 、P 之间满足的关系．解：解法一：集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6，m ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z .所以M N ＝P .解法二：M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m ＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ； P ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3k ＋16π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ＝N .所以M ⊆N ＝P .。

2021_2020学年高中数学课时分层作业2弧度制和弧度制与角度制的换算(含解析)新人教B版必修4

课时分层作业(二) 弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．－25π6的角是( ) A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 D [因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边一样，为第四象限的角．] 2．假设2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，那么这个圆心角所对的扇形面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2 A [r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．] 3．与30°角终边一样的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋π6，k ∈Z D [∵30°＝30×π180 rad ＝π6rad ， ∴与30°终边一样的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，应选D.]4．扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，那么扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 C [设扇形的半径为r ，弧长为l ，那么由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.]5．假设一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为( )A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2C [设圆的半径为r ，那么圆内接正三角形边长为3r ，所以圆心角的弧度数为3r r ＝3.]二、填空题6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π))的形式是________．－4π＋56π [－570°＝－⎝⎛⎭⎪⎫570×π180rad ＝－196π rad， ∴－196π＝－4π＋56π.] 7．一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，那么扇形的圆心角为________． π6 [设扇形的圆心角为α，那么π3＋4＝2r ＋2α. 又∵r ＝2，∴α＝π6.] 8．经过点P (a ，a )(a ≠0)的角α的集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π＋π4，k ∈Z [当a >0，点P (a ，a )在第一象限，此时α＝2k π＋π4，k ∈Z ； a <0，点P (a ，a )在第三象限，此时α＝2k π＋54π，k ∈Z ，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π＋π4，k ∈Z .] 三、解答题9．角α的终边与－253π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值． [解] ∵253π与－253π的终边关于x 轴对称，且253π＝8π＋π3， ∴α与π3的终边一样．∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )． ∵－π<α3<π，∴－π<2k π3＋π9<π. 当k ＝－1时，α3＝－5π9∈(－π，π)；当k ＝0时，α3＝π9∈(－π，π)；当k ＝1时，α3＝7π9∈(－π，π)． ∴在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π9. 10．一个扇形的周长是40，(1)假设扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S 的最大值．[解] (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，那么由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝20，r ＝10，那么α＝l r＝2(rad)．故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[等级过关练]1．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，那么该弧所对的圆心角是原来的( )A.12倍 B ．2倍 C.13倍 D ．3倍D [设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为l r ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，那么弧度数变为32l 12r ＝3·l r ，即弧度数变为原来的3倍．] 2．假设α是第三象限的角，那么π－α2是( ) A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角B [因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ， k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，－k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ，故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z . 当k 为偶数时，π－α2在第一象限；当k 为奇数时，π－α2在第三象限，应选B.] 3．(1)把67°30′化成弧度＝________.(2)把35π 化成度＝________. (1)38π (2)108° [(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π. (2)35π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π5×180π° ＝108°.] 4．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________．π－2 2(π－2) [由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)r r＝π－2(rad)，扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2)．]5．半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .[解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。

2020学年高中数学课时分层作业2弧度制(含解析)新人教A版必修4(2021-2022学年)

课时分层作业(二)(建议用时:４５分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中,错误的是(）A.“度”与“弧度＂是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的错误!,1rad的角是周角的错误!未定义书签。

C.1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关D[ 无论是角度制度量角还是弧度制度量角,都与圆的半径没有关系．]2.错误!未定义书签。

是（）A.第一象限角ﻩB.第二象限角Ｃ．第三象限角ﻩ D.第四象限角B［错误!未定义书签。

＝4π+错误!未定义书签。

．∵错误!未定义书签。

π是第二象限角，∴错误!未定义书签。

是第二象限角．]３．在０到2π范围内,与角-错误!终边相同的角是(）A.错误!B.错误! C．错误!未定义书签。

D．错误!C［与角－错误!未定义书签。

终边相同的角是２ｋπ＋错误!,ｋ∈Z,令k＝1，可得与角-错误!终边相同的角是错误!未定义书签。

，故选C。

]4．下列表示中不正确的是( )A．终边在ｘ轴上角的集合是｛α|α＝kπ，k∈Z}B.终边在y轴上角的集合是错误!C．终边在坐标轴上角的集合是错误!未定义书签。

Ｄ.终边在直线y＝x上角的集合是错误!D [对于A,终边在x轴上角的集合是错误!，故Ａ正确;对于B，终边在y轴上的角的集合是错误!,故B正确;ﻬ对于C，终边在ｘ轴上的角的集合为错误!，终边在ｙ轴上的角的集合为错误!未定义书签。

，故合在一起即为错误!未定义书签。

∪错误!=错误!，故C正确；对于D,终边在直线ｙ＝ｘ上的角的集合是错误!未定义书签。

,故Ｄ不正确．]5.已知扇形的弧长是4 cm,面积是2 ｃm2,则扇形的圆心角的弧度数是（ )Ａ.1 Ｂ.2C.４ﻩD．１或4C [因为扇形的弧长为4 cm ，面积为2 cm 2，所以扇形的面积为错误!×4×ｒ=２,解得r ＝1（cm),则扇形的圆心角的弧度数为＼f （4,1)=4.故选C.]二、填空题6．把角－错误!π用角度制表示为____＿＿＿_．－1 215° [－错误!π=－错误!×180°=－1 2１５°.］７.在△ABC 中,若A ∶B ∶C ＝3∶5∶７,则角A ,B ，C 的弧度数分别为____＿_____＿＿__. 错误!未定义书签。

2020-2021学年北师大版高中数学必修四《弧度制》课时练习及解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修四§3 弧度制课时目标1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____．2．角度制与弧度制的换算3设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则一、选择题1．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1 D ．2sin 13．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．π4B ．－π4C ．34πD ．－34π6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式是________． 8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____． 9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______．10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________．三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°；(2)236π；(3)－4．12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．§3 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝lr终边的旋转方向正数负数 0 2．2π360° π 180° π180 ⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° 3．απR 180 αR απR 2360 12αR 212lR作业设计 1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1．]3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎨⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2，解得⎩⎨⎧ r ＝1α＝4或⎩⎨⎧r ＝2α＝1．]4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．] 5．D [∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，∴θ＝－34π．]6．B [设扇形内切圆半径为r ，则r ＋r sinπ6＝r ＋2r ＝a ．∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2．S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2．∴S 内切∶S 扇形＝2∶3．] 7．－10π＋74π解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， ∴－1 485°可以表示为－10π＋74π．8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25．9．73π或103π 解析－76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π． 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π，π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π． 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角．(2)236π＝2π＋116π， ∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ． ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r)r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad ．∴当半径为10 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm 2． 13．4 2解析设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ． ∴圆弧所对圆心角|θ|＝42rr ＝42．14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3 (cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R)R＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c216．当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c216．。

人教版高中数学必修四二弧度制含解析

课时达标检测（二）弧度制一、选择题1．下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径长的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角答案：D2．1 920°化为弧度数为( )A.163B.323C.16π3D.32π3 答案：D3.29π6是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：B4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3B.2π3C. 3D ．2答案：C5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}答案：B二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________．答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z}7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案：38．若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4的终边相同的角有________．答案：2π5，9π10，7π5，19π10三、解答题 9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π. ∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z. 又γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.11．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．解：∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝6×23π＝4π， ∴AB 的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

弧度制练习(含答案)

厦门外国语学校高一下学期校本作业（2）班级: 姓名: 座号__________弧度制一、选择题1、若α是第四象限角，则απ-是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 2、若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3. 求值：1333-tan sincosπππ··等于（）A.14B. 34C. 12D. 324、下列各组角中，终边相同的角是（）A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（）A ．B ．C ．D ．6、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k A ,6παα与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n B ,63ππββ的关系是（） A 、B A ⊂ B 、B A ⊃ C 、B A = D 、B A ⊆7．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin 8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（）A ．2°B ．2C ．4°D ．49．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )2222)1cos 1sin D.(1 21.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 10．下列命题中正确的命题是( )A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系)(22Z k k ∈+=+ππβα)(2Z k k ∈+=+ππβα)(2Z k k ∈+=+ππβα)(Z k k ∈+=+ππβα二、填空题：11、7弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 12．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .13．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 .14、在半径为2米的圆中，1200的圆心角所对的弧长为__________________ 15、一个扇形OAB 的面积是1，它的周长为4，求中心角的弧度数为______ 三、解答题： 16、求值：2cos 4tan6cos6tan3tan3sinππππππ-+17、已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .18、单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转6π弧度/秒，N 点按顺时针转3π弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.19、圆周上点A （1，0）依逆时针方向作匀速圆周运动，已知A 点1分钟转过)(0πθθ<<角，2分钟第一次到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ ．20、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R 。

2020-2021学年第二学期开学高一新教材三角函数模拟考试题

2020-2021学年第二学期开学高一新教材三角函数模拟考试题时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 如果，那么等于()A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以．2. 若是第二象限角,下面各角中属于第四象限角的是 ( )A. B.C. D.【答案】A【解析】因为的终边与的终边关于轴对称,由于是第二象限角,所以是第三象限角,从而是第四象限角,故选A.3. 全集,则图中阴影部分表示的集合为( )A. 或B.C. D.【答案】D【解析】阴影部分表示的集合是.依题意知,, ∴,故选D.4. 已知向量与向量共线，其中是的内角，则角的大小为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵∥,∴∴,∵∴所以，故应选C．5. 在中,若,,则的值为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】在中,由,得,由,得,∴.6. 化简的结果是()A. B.C. D.【答案】C【解析】原式可化成：7. 将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数图象向左平移个长度单位，得到，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）得到...8. 的值为()A. B.C. D.【答案】B【解析】9. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则（）A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】∵，，解得或，因为，则，即.10. 在半径不相等的两个圆内，弧度的圆心角()A. 所对弧长相等B. 所对弦长相等C. 所对弧长等于各自半径D. 所对弦长等于各自半径【答案】C【解析】解：由的定义可知：所对应的弧长等于该扇形的半径由此可知选11. 若点在第一象限，则在内的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵所以，且或，得的取值范围是，故选B．12. 函数的定义域为,值域为,则的最大值和最小值之和为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】如图,当时,值域为,且最大, 当时,值域为,且最小,∴最大值与最小值之和为.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. __________．【答案】【解析】．14. 电流强度I(安培)随时间(秒)变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是__________安培．【答案】【解析】由题意可知，，当时，安培．15. 若函数，满足，则的值为__________.【答案】【解析】由题意，因为为对称轴，又的周期是，故是与相邻的对称轴；而是两相邻对称轴中间的的零点.即.16. 在中,角所对的边分别是,若,且边上的高等于,则的周长的最大值__________ .【答案】【解析】由题可知,,故,即.又,则,所以周长最大值为.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，且，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1），∴的最小正周期．（2），由可知，，，∴．18. 已知点是函数图象上的任意两点,且角的终边经过点,若时,的最小值为. (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调递减区间; (3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)角的终边经过点,,∵,∴. 由时,的最小值为,得,即,∴, ∴. (2),即, ∴函数的单调递减区间为. (3)当时,,于是等价于,由,得的最大值为, ∴实数的取值范围为.19. 已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1），；（2），【解析】（1）因为，为第三象限角，；．（2）由（1）得，．20. 已知函数．(1)当有实数解时，求的取值范围；(2)当时，有，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）方程有解，即方程有解，令, ∴；（2）由（1）可知：，要使，∴.21. (1)已知扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数. (2)一个扇形的周长为,当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.【答案】(1)(2)2弧度,最大面积.【解析】(1)设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，则，∴又∵，即，∴，即，∴. 当时，，则（舍去）当时，，则.即扇形圆心角的弧度数为. (2)解法一：设扇形的圆心角为,半径为，面积为,则由,得. 由，得,解得.故. ∵，当且仅当,即时，等号成立.∴当时，有最大值故当扇形的圆心角等于2弧度时，扇形面积最大,最大面积是。

湘教版高中数学必修二3.1《弧度制》同步测试.doc

数学：3.1《弧度制》同步测试（湘教版必修2）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各组角中，终边相同的角是A.2πk 与k π+2π(k ∈Z) B.k π±3π与3πk (k ∈Z) C.(2k +1)π与(4k ±1)π (k ∈Z)D.k π+6π与2k π±6π(k ∈Z) 2.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） A. α+β=πB. α－β=2πC. α－β=（2k +1）πD. α+β=(2k +1)π3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 A.3π B.32π C.3D.24.在半径为10 cm 的圆中，34π的圆心角所对弧长为 A.340π B.320π C.3200πD.3400π 5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 A.3π B.－3πC.6π D.－6π 6.圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 A.2πcm 2B.23πcm 2 C.πcm 2D.3π cm 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分.把答案填在题中横线上） 7.4弧度角的终边在第象限.8.－1223πrad 化为角度应为 . 9.设α,β满足－2π＜α＜β＜2π，则α－β的范围是 . 10.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍.11.若角α的终边与58π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与4α角的终边相同的角是 .三、解答题（本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（8分）1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.13.（10分）已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？14.（10分）如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.参考答案一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B 二、7.三 8.－345° 9.－π＜α－β＜0 10.3111.52π109π 57π 1019π 三、12.解：由已知可得r =21sin 1,∴l=r ·α=21sin 1S 扇=21l ·r =21·r 2·α=21·21sin12=21sin21213.解：∵l =20－2r∴S =21lr =21 (20－2r )·r =－r 2+10r=－(r －5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2 此时，α=rl =55220⨯-=2(rad) 14.解：A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π 14分钟后回到原位，∴14θ=2k π, θ=72πk ，且2π＜θ＜43π， ∴θ=74π或75π。

2020-2021学年人教版高一数学必修四专题同步测试卷：任意角和弧度制

【点睛】
本题考查扇形的面积公式和计算能力，属于基础题.
2．C
【分析】
将变形为的形式即可选出答案.
【详解】
因为，所以与终边相同的角可以表示为，故选C．
【点睛】
本题考查了与一个角终边相同的角的表示方法，属于基础题.
3．C
【分析】
根据已知条件得到，，即有角和的终边关于轴对称．
【详解】
解：，，
，，，
，，即有角和的终边关于轴对称，
故选：．
【点睛】
本题考查终边相同的角，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．C
【解析】
由扇形的面积公式得：S= lR，
因为扇形的半径长为2,面积为8，
所以扇形的弧长l=8.
设扇形的圆心角的弧度数为α，
由扇形的弧长公式得：l=|α|R，且R=2
所以扇形的圆心角的弧度数是4.
A．1B．4C．1或4D．2或4
二、填空题
13．设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．
14．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是_________
15．已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积
16．若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为____________.
【最新】人教版高一数学必修四专题同步测试卷：任意角和弧度制
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在单位圆中，面积为1的扇形的圆心角为（）
A．1弧度B．2弧度C．3弧度D．4弧度
2．与终边相同的角可以表示为

高中试卷-专题5.1 任意角与弧度制(含答案)

专题5.1 任意角与弧度制一、角的相关概念1.角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3.按照角的旋转方向可将角分为如下三类：4.相反角如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.二、象限角1.若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2.若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．3.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．(3)n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)αn所在象限的判断方法4.已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．三、终边相同的角1.设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝□01α＋k ·360°，k ∈Z }．2.对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k ∈Z ，即k 为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．四、角的单位制1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.2.长度等于半径长的圆弧所对的□03圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3.弧度数的计算4.角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．五、角度与弧度的换算1.角度制与弧度制的换算2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度π6π4π3π22π33π45π6π六、扇形的弧长及面积公式1.设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l ＝n πr180＝αr ，扇形的面积：S ＝n πr 2360＝12lr ＝12α·r 2.一、单选题1．与525-o 角的终边相同的角可表示为（）A ．525360k k Z -×Îo o（）B ．185360k k Z +×Îo o（）C ．195360k k Z +×Îo o （）D ．195360k k Z -+×Îo o （）【来源】河南省南阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】C【解析】解：525=1952360--´o o o ，所以525-o 角的终边与195o 角的终边相同，所以与525-o 角的终边相同的角可表示为195360k k Z +×Îo o（）.故选：C 2．下列与角23p的终边一定相同的角是（）A ．53πB ．()43k k Z pp -ÎC ．()223k k Z pp +ÎD ．()()2213k k Z pp ++Î【来源】吉林省松原市重点高中2021-2022学年高一3月联考数学试卷【答案】C 【解析】对于选项C ：与角23p的终边相同的角为()223k k Z p p +Î，C 满足.对于选项B ：当()2k n n Z =Î时， ()442,33k n k Z n Z p pp p -=-ÎÎ成立；当()21k n n Z =+Î时，()()44212,333k n n k Z n Z p p pp p p -=+-=-ÎÎ不成立.对于选项D ：()()2521233k k k Z p p p p ++=+Î不成立.故选: C 3．在0°到360o 范围内，与405o 终边相同的角为（）A ．45-o B ．45o C ．135o D ．225o【答案】B【解析】：因为40536045=+o o o ，所以在0°到360o 范围内与405o 终边相同的角为45o ；故选：B 4．角76p所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】广西桂林市奎光学校2021-2022学年高一下学期热身考试数学试题【答案】C 7362p pp <<Q ，\角76p 位于第三象限.故选：C.5．已知角2022a =o ，则角a 的终边落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为20222225360a ==+´o o o ，而222o 是第三象限角，故角a 的终边落在第三象限.故选：C.6．下列说法正确的是（）A ．终边相同的角相等B ．相等的角终边相同C ．小于90°的角是锐角D ．第一象限的角是正角【答案】B【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A 不正确；相等的角终边一定相同；所以B 正确；小于90°的角是锐角可以是负角，C 错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D 错误．故选：B.7．135-o 的角化为弧度制的结果为（）A ．32p -B ．35p -C ．34p -D ．34p 【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】C【解析】π3135π rad 1418035-´-==-o．故选：C.8．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67p ，扇面所在大圆的半径为20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（）A ．288pB ．144pC ．487p D ．以上都不对【来源】陕西省西安市蓝田县2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】由题意得，大扇形的面积为11612002020277S p p=´´´=，小扇形的面积为21619288277S p p=´´´=，所以扇面的面积为12120019214477S S p pp -=-=.故选：B9．把375-°表示成2πk q +，k Z Î的形式，则q 的值可以是（）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-【来源】河南省安阳市滑县2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】∵37515360-=-°-°°，∴π3752πrad 12æö-°=--ç÷èø故选：B10．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =2AB =，则图中¼ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A ．2pB ．23pC ．3pD ．3p-【来源】海南省琼海市嘉积中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=-，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r éù-+=ëû，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB pÐ=，因此221222233MBB AOB S S S p p=-=´´=V 弓形扇形.故选：B11．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4p米，肩宽约为8p米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】江苏省南通市如东县2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】解：由题得：弓所在的弧长为：54488l pppp =++=；所以其所对的圆心角58524p p a ==；\两手之间的距离2sin1.25 1.7684d R p=»．故选：B ．12．“a 是第四象限角”是“2a是第二或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【来源】河南省新乡市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】A【解析】当a 是第四象限角时，3222,2k k k Z pp a p p +<<+Î，则3,42k k k Z p ap p p +<<+Î，即2a 是第二或第四象限角.当324a p =为第二象限角，但32pa =不是第四象限角，故“a 是第四象限角”是“2a 是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A13．在Rt POB V 中，90PBO Ð=°，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若弧AB 等分POB V 的面积，且AOB a Ð=弧度，则（）A ．tan a a =B ．tan 2a a =C ．sin 2cos a a =D ．2sin cos a a=【来源】上海市川沙中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题【答案】B【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r a .直角三角形POB 中，tan PB r a =，△POB 的面积为21tan 2r a ××.由题意得22112tan 22r r a a ´=××，所以tan 2a a =.故选：B14．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为R ，则一个“花瓣”的面积为（）A ．2π12R -B ．2π22R -C ．2π14R -D ．()2π1R-【来源】辽宁省沈阳市第八十三中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题【答案】B【解析】因为弓形的圆弧所在圆的半径为R ，所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为2p，所以弓形的面积221142S R R p =´-，所以一个“花瓣”的面积为2π22R -，故选：B.15．设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）.现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（）A ．(1p-B ．(2pC ．4pD ．3p æççè【来源】上海市嘉定区第二中学2021-2022学年高一下学期第一次质量检测数学试题【答案】B【解析】由图可知，圆O 的半径为2r =，正方形ABCD 的边长为2a =，以正方形的边为弦所对的圆心角为3p，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次，设第i 次滚动时，点A 的路程为i m ，则163m AB pp=´=，2m =，363m AD pp=´=，40m =，因此，点A 所走过的路程为()(123432m m m m p +++=+.故选：B.16．用半径为2，弧长为2p 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（）A B C D ．4p【来源】第8章立体几何初步（典型30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A 版2019必修第二册）【答案】B【解析】令圆锥底面半径为r ，则22p p =r ，因此1r =\圆锥的高为：h ==\圆锥的体积2113p =´´=V 故选：B17．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A ．(3p -B ．1)p -C ．1)pD ．2)p【来源】陕西省西安市临潼区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,a b ，则a b = ，又2a b p +=，解得(3a p =故选:A 18．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为3p，弦长等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为A ．3pB ．3pC ．92D ．112-【来源】辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题【答案】D【解析】在圆心角为3p ，弦长等于2米的弧田中，半径为2是，矢=12(弦×矢+矢²)=((211122222éù´+=-⎢⎥ëû，故选D.19．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A ．3pB ．3p-C ．6pD ．6p-【来源】江西省景德镇市第一中学2021-2022学年高一（重点班）上学期期末数学试题【答案】C【解析】：分针转一周为60分钟，转过的角度为2p将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为12.126p p ´= 故选C ．20．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为23p ，弧长为2p 的扇形，则该圆锥的体积为（）A B ．C D 【来源】河南省杞县高中2021-2022学年高一下学期6月月考数学试卷【答案】A【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则223l p p =，解得3l =，又22p p =r ，解得1r =，所以圆锥的高为h ==所以圆锥的体积为213V r h p ==.故选：A .二、填空题21圆锥的体积为______【来源】河北省沧衡八校联盟2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】2π3【解析】设该圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由212=，得l =因为2πr =1r =，所以该圆锥的体积为212ππ133´´=.故答案为：2π322．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积21(2弦矢矢)=´´+，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为23p ，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号）【答案】92+【解析】设弧田的圆心为O ，弦为AB ，C 为AB 中点，连OC 交弧为D ，则OC AB ^，所以矢长为CD ，在Rt AOC △中，6AO =，3AOC p Ð=，所以13,2OC OA AC ===，所以3,2CD OD OC AB AC =-===所以弧田的面积为()()2211933222AB CD CD ×+=+=+.故答案为：92.23．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O （半径为20cm ）中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S，当12S S =时，扇形的现状较为美观，则此时扇形OCD 的半径为__________cm【答案】1)【解析】设,AOB q Ð=，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为1r，12S S =Q，即2212r r r -=，所以2212r r ==，所以1r r =20,r cm =，所以11)r cm =，故答案为：1).24．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.【答案】(40p+【解析】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ^，由条件可知QT =，60PQ = 所以sin QPO Ð=，所以3QPO pÐ=，23QPT p Ð=，所以月牙泉的周长(260403l p p p =´+´=+.故答案为：(40p +25．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1π3121sin 2323´´´-´´´=26．若扇形的周长为定值l ，则当该扇形的圆心角()02a a p <<=______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.【来源】江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一强化班上学期期末数学试题【答案】 2 2116l 【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为ra 故2r r la +=扇形的面积22111(2)222S r r l r lr r a ==-=-由二次函数的性质，当4l r =时，面积取得最大值为2116l 此时12r l a =，2a =故答案为：2，2116l。

2020学年高中数学课下梯度提能(二)弧度制新人教A版必修4(2021-2022学年)

课下梯度提能（二）一、题组对点训练对点练一弧度的概念1．下列叙述中正确的是( ）A．1弧度是1度的圆心角所对的弧Ｂ.１弧度是长度为半径的弧C.１弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位解析：选D由弧度的定义知，选项D正确.2.与角-错误!终边相同的角是(）A．错误!未定义书签。

B。

错误!未定义书签。

C.错误!未定义书签。

D。

错误!未定义书签。

解析:选C与角-＼f（π,6)终边相同的角的集合为｛α|α=-π6＋2kπ,ｋ∈Z},当k=１时,α=-错误!未定义书签。

+2π＝错误!未定义书签。

，故选Ｃ.３．角-＼f（29，12)π的终边所在的象限是()Ａ.第一象限Ｂ．第二象限C.第三象限 D．第四象限解析：选Ｄ -＼f(２9，１２）π＝－4π＋＼f（19，12)π，错误!未定义书签。

π的终边位于第四象限,故选Ｄ.对点练二角度与弧度的换算4.下列转化结果错误的是()A.60°化成弧度是错误!B.－错误!π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－错误!未定义书签。

πＤ。

错误!化成度是15°解析：选Ｃ对于A，６0°=６0×错误!=错误!未定义书签。

;对于Ｂ，－错误!未定义书签。

＝-＼f(10,3）×１８0°=-600°;对于C，-150°=-１50×π180＝-错误!π；对于D,错误!＝错误!×180°=15°。

5．把角-69０°化为２kπ＋α(0≤α<2π，k∈Ｚ）的形式为________．解析:法一：－690°＝－错误!未定义书签。

=－错误!π。

∵－错误!π＝－4π+错误!,∴-690°＝-4π＋错误!未定义书签。

.法二:-69０°＝-2×36０°+３0°，则－690°＝－4π+错误!未定义书签。

高中数学专题：弧度制的定义(4个考点六大题型) 试卷及答案

专题6.2弧度制的定义（4个考点六大题型）【题型1 弧度制表示角的集合】【题型2 角度与弧度的互化】【题型3 弧长的有关计算】【题型4 扇形面积的计算】【题型5 扇形中的最值问题】【题型6 扇形弧长公式与面积公式的应用】【题型1 弧度制表示角的集合】N M⋂N N2023春·山东潍坊570写成2.2023·上海高一专题练习）终边与坐标轴重合的角的集合为【题型2 角度与弧度的互化】210化为弧度是（C表示成【题型3 弧长的有关计算】200的圆心角所对的弧长为高一校联考阶段练习）设时钟时针长5cm1．（2023春·北京延庆·高一统考期末）在半径为4m的扇形中，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）(2)若16C =，16S =，求扇形的半径和圆心角．【题型5 扇形中的最值问题】(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【题型6 扇形弧长公式与面积公式的应用】35π(2)求扇形的弧长及阴影部分的面积.专题6.2弧度制的定义（4个考点六大题型）【题型1 弧度制表示角的集合】【题型2 角度与弧度的互化】【题型3 弧长的有关计算】【题型4 扇形面积的计算】【题型5 扇形中的最值问题】【题型6 扇形弧长公式与面积公式的应用】【题型1 弧度制表示角的集合】N M⋂N NA【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系570写成2 =-5705705π.65π.π5π⎧⎫ππ⎧⎫5π7512=π,Z 2k ∈330角的终边与30-即π6-OB 为终边的角为2S ⎧=⎨⎩所以终边落在阴影部分内的角的集合为：π306rad =7π2106=2）知：以射线OA 为终边的角为210化为弧度是（C3602π=弧度，所以π1180 =π210210180=-⨯. 2023·全国·高三专题练习）15【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解1π180151212==. 15高一课前预习）把下列角度化为弧度：＝ rad=180将弧度转化为度即可180π⎛⨯ ⎝150；（2）根据角度和弧度互化公式进行求解即可；5050=⨯950950=-180150π⎫=-⎪⎭.π100rad πrad 1809180π=将角度化为弧度，并得到其所在象限；180将弧度化为角度，并写出与π510510180==⨯17π2π6=， ∴角α是第二象限角.180330⎫=-⎪⎭，终边相同的角可表示为·360330,Z k k θ=-∈， 0θ︒≤≤()0360330360Z k k ∴≤⋅-≤∈，即)1112k ≤≤， 1k ∴=，∴在[0,360︒内与角β终边相同的角为30︒.【题型3 弧长的有关计算】【详解】在ABC中，3π2.全国·高三专题练习）单位圆中，200的圆心角所对的弧长为半径围成的扇形的面积为10 9π/10200的弧度数是10π9，1620，15π4高一假期作业）已知扇形的圆心角为10，求扇形的弧长．360）直接用扇形的弧长公式求解；）根据条件列方程组可得弧长和半径，进而可得圆心角113π3-211，所以AOB为等边三角形，所以25π，又6S=AOB。

高中弧度试题及答案

高中弧度试题及答案1. 已知一个圆的半径为5，求圆心角为π/4弧度时，圆弧的长度。

答案：根据圆弧长度公式L = rθ，其中 r 为半径，θ 为圆心角（以弧度为单位），代入数据得L = 5 × π/4 = 5π/4。

2. 一个扇形的圆心角为π/3弧度，半径为6，求该扇形的面积。

答案：扇形的面积公式为A = 1/2 × r² × θ，代入数据得 A =1/2 × 6² × π/3 = 18π/3 = 6π。

3. 将角度制下的45°转换为弧度制。

答案：45° = 45 × π/180 = π/4 弧度。

4. 一个圆的周长为20π，求该圆的半径。

答案：圆的周长公式为C = 2πr，代入数据得20π = 2πr，解得 r = 10。

5. 一个扇形的圆心角为5π/6弧度，求该扇形的弧长。

答案：设该扇形的半径为r，则弧长L = r × 5π/6，但半径未知，无法计算具体数值。

6. 已知一个扇形的圆心角为2π/3弧度，半径为8，求该扇形的面积。

答案：扇形的面积公式为A = 1/2 × r² × θ，代入数据得 A =1/2 × 8² × 2π/3 = 32π/3。

7. 将弧度制下的3π/2弧度转换为角度制。

答案：3π/2 弧度= (3π/2) × 180/π = 270°。

8. 一个圆的半径为7，圆心角为π/2弧度，求该圆弧的长度。

答案：根据圆弧长度公式L = rθ，代入数据得L = 7 × π/2 =7π/2。

9. 已知一个扇形的面积为9π，圆心角为π/4弧度，求该扇形的半径。

答案：由扇形面积公式A = 1/2 × r² × θ，得 r² = 2A/θ，代入数据得 r² = 2 × 9π/(π/4) = 72，解得 r = √72。

2020-2021高中目标测试题2：弧度制

7.1.2弧度制及其与角度制的换算—2020-2021学年高一下学期人教B版第三册同步习题

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