九年级下册《三角函数的应用》综合练习2(坡度、坡角)

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新北师版九年下册三角函数的应用及解直角三角形辅导培训卷

三角函数的应用【知识要点】实际应用中的几个主要概念（1）仰角和俯角从下往上看，视线与水平线的夹角角做仰角。

从上往下看，视线与水平线的夹角角做俯角。

（两者的范围都是0°到180°）(2)坡度与坡角坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫坡比，记作i ，i=h:l 。

坡面与水平面的夹角较坡角，记作！坡比等于坡角的正切值。

（3）方向角1。

定义:一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度。

2。

度量：方向角系分由南北起算，角度值在零度及九十度之间。

（注意：方位角和方向角的区别）【经典例题】例1、甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.i=h:lhl坡角300450AE D练习1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥AB 的长．例2、从A 处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B 处,观测铁塔的顶部的仰角是45°,求铁塔高.练习2、如图，为测得峰顶A 到河面B 的高度h ，当游船行至C 处时测得峰顶A 的仰角为α，前进m 米至D 处时测得峰顶A 的仰角为β(此时C 、D 、B 三点在同一直线上). (1)用含α、β和m 的式子表示h ；(2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h 的值. （精确到0.1m ，2≈1.41，3≈1.73）300450DCBA例3、. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝高23米，坝面宽BC ＝6米，根据条件求：坝底宽AD 和斜坡AB 的长。

练习3、如图1-34，沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽2米，坡度由原来的1︰2改成1︰2.5，已知坝高6米，坝长50米.（1）求加宽部分横断面AFEB 的面积；（2）完成这一工程需要多少方土？例4、如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东60°方向上, 它沿正南方向航行70海里,到达位于灯塔P 的南偏东30°方向的B 处,问此时,海轮距离灯塔P 多远?N东北BAP练习4、如图，海岛A 四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西︒60，航行20海里后到C 处，见岛A 在北偏西︒30，货轮继续向西航行，有无触礁危险？ABC 3060【巩固练习】一、相信你一定能选对！1、如图1-32，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工. 从AC 上的一点B ，取∠ABD= 145°，BD = 500米，∠D = 55°. 要使A 、C 、E 在同一条直线上，则开挖点E 离点D 的距离是（）.A. 500·sin55°B. 500·cos55°C. 500·tan55°D. 500·cos35°2、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（） A.1 B.2 C.22 D.22(第2题图) (第3题图) (第4题图)3、如图，CD 是平面镜，光线从A 出发经CD 上点E 发射后照射到B 点。

九年级数学下册综合算式专项练习题三角函数运算

九年级数学下册综合算式专项练习题三角函数运算在九年级数学下册中，我们经常会遇到综合算式的题目，其中也包括了三角函数运算的题目。

三角函数是三角学中的重要概念，涉及到了角的概念和三角比的计算。

通过练习这些综合算式专项练习题，我们可以更好地理解和掌握三角函数的相关知识，提高数学解题的能力。

一、已知三角函数的值求角的大小1. 已知正弦函数sin(x) = 0.5，其中x为锐角，求x的大小。

解析：根据正弦函数的定义可知，sin(x) = 对边/斜边。

已知sin(x) = 0.5，代入得对边/斜边 = 0.5，假设斜边为2，那么对边就是1。

根据勾股定理可计算出邻边的长度，再利用三角函数的定义计算出角的大小。

2. 已知余弦函数cos(y) = 0.8，其中y为钝角，求y的大小。

解析：与上一题类似，根据余弦函数的定义可知，cos(y) = 邻边/斜边。

已知cos(y) = 0.8，代入得邻边/斜边 = 0.8，假设斜边为5，那么邻边就是4。

根据勾股定理可计算出对边的长度，再利用三角函数的定义计算出角的大小。

二、已知角的大小求三角函数的值1. 已知角A的大小为30°，求sin(A)的值。

解析：根据三角函数的定义可知，sin(A) = 对边/斜边。

已知角A的大小为30°，可通过构造一个30-60-90的特殊三角形，根据比例关系计算出对边与斜边的比值，进而计算出sin(A)的值。

2. 已知角B的大小为45°，求tan(B)的值。

解析：根据三角函数的定义可知，tan(B) = 对边/邻边。

已知角B的大小为45°，可通过构造一个45-45-90的特殊三角形，根据比例关系计算出对边与邻边的比值，进而计算出tan(B)的值。

三、综合运算题1. 若sin(x) = 0.6，cos(y) = 0.8，求sin(x+y)的值。

解析：根据三角函数的和差公式，sin(x+y) = sin(x)·cos(y) +cos(x)·sin(y)。

北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用同步测试题(有答案)

∴货船的航行速度是．
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：∵，，米，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴米∴学校要购买米的草皮才能正好铺满空地．
故答案为：．
15.
【答案】
【解答】
解：由于山路的坡角为度，则坡角的正弦值，
∴他在竖直方向上上升的高度（米）．
16.
【答案】
【解答】
解：在中，（米）．
17.
【答案】
【解答】
解：由已知得，
则斜坡的坡度．
故选.
10.
【答案】
A
【解答】
故选：．
二、
11.
【答案】
【解答】
解：在中
，
∴．
故答案为：．
12.
【答案】
海里/分
【解答】
解：作，
∵，，
∴海里，则海里，
在中，，
则，
解得，
在中，海里，
海里/分．
故答案为：海里/分．
13.
【答案】
【解答】
解：如图，在直角中，，，，
∴，．
在直角中，，，，
∴，
∴，
（参考数据：，，，．）
26.某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，．请求出点到的距离．
参考数据：，，
参考答案
一、
1.
【答案】
B
【解答】
解：如图，
由已知得：，，米．
∵，
∴ (米)．
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意得：，
25.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端、间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点的一点，并测得＝米，点位于点的北偏西方向，点位于点的北偏东方向．

九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》综合练习2(含答案)

30°，45°，60°角的三角函数值一、请准确填空(每小题3分，共24分)1.如图1，在平面直角坐标系中，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为(4，3)则sin α=______，cos α=______.2.已知α是锐角，且2cos α=1，则α=______；若tan(α+15°)=1，则tan α=______.3.如图2，B 、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60 m ，则点A 到对岸BC 的距离是_____m.ABC30ABC o图1图2 图34.要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______.5.已知tan α·tan30°=1，且α为锐角，则α=______.6.设β为锐角，且x 2+2x+sin β=0的两根之差为2，则β=______.7.在△ABC 中，∠C=90°.若3AC=3BC ，则∠A 的度数是______，cosB 的值是______.8.如图3，某建筑物BC 直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20 cm ，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm 时，按一阶算，3取1.732)二、相信你的选择(每小题3分，共24分)9.在△ABC 中，AB=AC=4，BC=2，则4cosB 等于（） A.1B.2C.15D.41510.△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=23，则△ABC 的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定11.令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（） A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<cD.a<c<b12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（） A.tanA=AAcos sin B.sin 2A+sin 2B=1 C.sin 2A+cos 2A=1D.sinA=sinB13.在△ABC 中，若|sinA －23|+(1－tanB)2=0，则∠C 的度数是（） A.45°B.60°C.75°D.105°14.已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC+AC=3+3，则BC 等于（） A.3B.3C.23D. 3+115.若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°16.某人沿着坡度为1∶3的山坡前进了1000 m ，则这个人所在的位置升高了（）A.1000 mB.500 mC.5003 mD.331000 m 三、考查你的基本功(共24分) 17.(16分)计算或化简： (1)sin45°·cos60°－cos45°·sin30°; (2)5tan30°－2(cos60°－sin60°). (3)(23tan30°)2005·(22sin45°)2004; (4)2(2cos45°－tan45°)－(tan60°+sin30°)0－(2sin45°－1)－1.18.(8分)已知△ABC 中，∠C=90°，AC=m ，∠BAC=α(如图4),求△ABC 的面积.(用α的三角函数及m 表示)ABCm图4图5四、生活中的数学(共18分)19.(9分)“郑集中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC= 40 m ，BC=25 m ，请求出这块花圃的面积.20.(9分)如图5，某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后便接到气象部门通知，一台风中心正由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B 处的货船是否会受到台风的侵袭？说明理由.五、探究拓展与应用(共10分)21.(10分)(1)如图6中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律.123(注:AB 1 =AB 2=AB 3 )① B 1B 2B 3 AC②图6(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.参考答案一、1.53 54 2.60° 33 3.30 4.435.60°6.30°7.60° 238.26二、9.A 10.B 11.A 12.D 13.C 14.B 15.B 16.B 三、17.(1)0;(2)3338-;(3)21;(4)－22. 18.解：∵tan α=ACBC ， ∴BC=AC·tan α=m·tan α.S △ABC =21AC·BC=21m 2tan α.四、19.解：作CD ⊥AB. ∵∠A=30°,∴CD=21AC=21×40=20(m),AD=22CD AC -=203(m), BD=22CD BC -=15(m).(1)当∠ACB 为钝角时，AB=AD+BD=203+15,∴S △ABC =21AB·CD=21(203+15)×20=(2003+150)(m 2).(2)当∠ACB 为锐角时，AB=AD －BD=203－15.∴S △ABC =21AB·CD=21(203－15)×20=(2003－150)(m 2).20.解：AB=16×20=320(海里), 作BD ⊥AC 垂足为D. ∵∠BAC=30°,∴sin30°=ABBD，BD=AB·sin30°=160. ∵160<200,∴B 处的货船会受到影响. 五、21.(1)由图①知 sinB 1AC 1=111AB C B ，sinB 2AC 2=222AB CB ，sinB 3AC 3=333AB C B . ∵AB 1=AB 2=AB 3且B 1C 1>B 2C 2>B 3C 3, ∴111AB C B >222AB C B >333AB C B . ∴sinB 1AC 1>sinB 2AC 2>sinB 3AC 3. 而∠B 1AC 1>∠B 2AC 2>∠B 3AC 3, 而对于cosB 1AC 1=11AB AC , cosB 2AC 2=22AB AC , cosB 3AC 3=33AB AC . ∵AC 1<AC 2<AC 3,∴cosB 1AC 1<cosB 2AC 2<cosB 3AC 3. 而∠B 1AC 1>∠B 2AC 2>∠B 3AC 3. 由图②知sinB 3AC=33AB CB , ∴sin 2B 3AC=2323AB C B . ∴1－sin 2B 3AC=1－2323AB C B =232323AB C B AB =232AB AC . 同理,sinB 2AC=22AB C B ，1－sin 2B 2AC=222AB AC ， sinB 1AC=21AB C B ，1－sin 2B 1AC=212AB AC . ∵AB 3>AB 2>AB 1,∴232AB AC <222AB AC <212AB AC .∴1－sin 2B 3AC<1－sin 2B 2AC<1－sin 2B 1AC. ∴sin 2B 3AC>sin 2B 2AC>sin 2B 1AC. ∵∠B 3AC ，∠B 2AC ，∠B 1AC 均为锐角, ∴sinB 3AC>sinB 2AC>sinB 1AC. 而∠B 3AC>∠B 2AC>∠B 1AC. 而对于cosB 3AC=3AB AC, cosB 2AC=2AB AC, cosB 1AC=1AB AC. ∵AB 3>AB 2>AB 1,∴3AB AC <2AB AC <1AB AC. ∴cosB 3AC<cosB 2AC<cosB 1AC. 而∠B 3AC>∠B 2AC>∠B 1AC.结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小.(2)由(1)知sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°, cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.。

北师大版初三数学9年级下册第1章 1.5三角函数的应用解答题专题训练 (含答案)

北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》解答题专题训练（附答案）1．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据AM＝4米，AB＝8米，∠MBC＝30°，∠MAD＝45°，则警示牌的高CD为多少米？（结果精确到米，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝：2．若新坡角下留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡CD的坡度为：1．求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，≈1.73）．4．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53】5．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）6．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）7．如图，宿豫区某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高3米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有30米的距离（B、F、C在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）若要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离．（结果精确到1m）（参考数据：sin22°，cos22°≈，tan22°≈）8．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i＝1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD＝8x（m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→B）到达B地，平均速度是2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．9．缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．10．如图所示是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应当前进或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）11．一扇窗户如图1所示，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，如图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，支点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D在一条直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE ＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）当∠CAB＝35°时，求窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数．（2）当窗扇关闭时，图中点E，A，D，C，B都在滑轨MN上，求此时点A与点B之间的距离．（3）在（2）的前提下，将窗户推开至四边形ACDE为矩形时，求点A处的滑块移动的距离．12．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）13．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度i＝1：1（即DB：EB＝1：1，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）14．如图，一辆摩托单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于底面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）15．停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位不足，停车资源结构性失衡，中心城区供需差距大等等．如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，车架中立管BC的长为60cm，后轮切地面L于点D．（参考数据：sin72≈0.95，cos18°≈0.95，tan43.5°≈0.9 5）（1）求∠ACB的大小（精确到1°）（2）如果希望车座B到地面的距离B'E′为96.8cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？（结果取整数）17．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交通，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC＝5.5米，CD＝3米，EF＝0.4米，∠CDE＝162°．（1）求∠MCD的度数；（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离．（精确到百分位）（参考数据；sin72°＝0.95，cos72°≈0.31，tan72°＝3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）18．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈20．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sin l8°＝0.309，cos l8°＝0.951，tan l8°＝0.325】22．如图1是儿童写字支架示意图，由一面黑板，一面白板和一块固定支架的托盘组成，图2是它的一个左侧截面图，该支架是个轴对称图形，∠BAC是可以转动的角，B，C、D，E和F，G是支架腰上的三对对称点，是用来卡住托盘以固定支架的．已知AB＝AC＝60cm，BD＝CE＝DF＝EG＝10cm．（1）当托盘固定在BC处时，∠BAC＝32°，求托盘BC的长；（精确到0.1）（2）当托盘固定在DE处时，这是儿童看支架的最佳角度，求此时∠BAC的度数．（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，sin16°＝0.28，sin20°＝0.34，sin25°＝0.42．）23．如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书AB长20cm，台灯上半节DE长40cm，下半节DC长50cm．当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角即∠EDC＝120°，下半节DC与写字台FG的夹角即∠DCG＝75°，求BC的长．（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G在同一条直线上．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41，结果精确到0.1）24．如图，一架梯子底端放在一处斜坡上，顶端靠在墙上，已知梯子与坡面的夹角α＝75°，斜坡CD与地面的夹角β＝30°，BC＝1米，CD＝2米，求梯子顶端到地面的距离AB．25．据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．【参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25】26．如图是菏泽银座地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）27．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．参考答案1．解：在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，∴DM＝AM⋅tan45°＝4（m），在Rt△BMC中，∠MBC＝30°，∴CM＝BM⋅tan30°，∵BM＝AM+AB＝4+8＝12（m），∴CM＝12×≈6.92（m），∴CD＝CM﹣DM＝6.92﹣4≈3（米），答：警示牌的高CD为3米．2．解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10，∵坡面DC的坡度为i＝：2，∴tan∠CDB＝，在Rt△BCD中，＝，∴BD＝×10＝14.14，∵10+10﹣14.14＝5.86＞3，∴离原坡角（A点处）10米的建筑物不需要拆除．3．解：在Rt△BAE中，tan∠BAE＝，即＝2.5，解得，AE＝64.8，在Rt△DCE中，tan∠DCE＝，即＝，解得，CE＝102.08，AC＝CE﹣AE＝102.08﹣64.8≈37.3（米），答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．4．解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF＝AH＝3.5m，∠HAF＝90°，∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF＝，∴CF＝8sin28°＝8×0.47＝3.76，∴CE＝CF+EF＝3.76+3.5≈7.3（m），答：操作平台C离地面的高度为7.3m．5．解答：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×＝2，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝2，在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4，AD﹣AB＝4﹣4≈1.66．答：改善后滑板会加长1.66米．6．解：（1）过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，则∠CEP＝∠PFD＝90°，由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，tan32.3°＝，∴PE＝x•tan32.3°，同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，∴PF＝x•tan55.7°，由PF﹣PE＝EF＝CD＝42，可得x•tan55.7°﹣x•tan32.3°＝42，解得：x＝50∴楼间距AB＝50m，（2）由（1）可得：PE＝50•tan32.3°＝31.5m，∴CA＝EB＝90﹣31.5＝58.5m由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．7．解：（1）过点EE作EM⊥AB于点M，设AB＝x，在Rt△ABF中，∵∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF+FC＝x+30，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝22°，AM＝AB﹣CE＝x﹣3，，∴，解得x＝25，∴办公楼AB的高度为25m．（2）在Rt△AEM中，∵，∴＝≈59m，答：A，E之间的距离约为59m．8．解：（1）∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEF＝∠CFE＝90°，∴DE∥CF，∵DC∥AB，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝DC＝8x，∵＝＝，∴EA＝BF＝3x，∴AD＝BC＝5x，∴AB＝AE+EF+BF＝14x，∴天桥总长和马路宽度AB的比＝18x：14x＝9：7．（2）由（1）可知，AB＝14x，AD+CD+BC＝18x，由题意：＝﹣12.8，解得x＝2，∴14x＝28，答：马路宽度AB的长为28m，9．解：如图，作DH⊥水平线于H，AG⊥水平线于G，BE⊥DH于E，AC⊥DH于F．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠α＝16°，AB＝700，由sinα＝，可求BC的长．即BC＝AB•sinα＝700sin16°，在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∠β＝16°，BD＝AB＝700，由sinβ，可求DE的长．即DE＝BD•sinβ＝700sin20°，由矩形性质，可知EF＝BC＝700sin16°，FH＝AG＝126．从而，可求得DH的长．即DH＝DE+EF+FH＝700sin20°+700sin16°+126．10．解：过点F作FH⊥DK于H，过点E作EL⊥FH于L，在Rt△FGH中，cos∠FGH＝．∴GH＝GF•cos∠FGH＝100×0.17＝17，在Rt△EFL中，∠EFL＝180°﹣125°﹣10°＝45°，EF＝166﹣100＝66cm，∴EL＝≈46.5cm，DH＝DC+CG+GH＝48+15+17＝80，∴小强的头距墙：80﹣46.5＝33.5，而洗漱盆的中心距墙48÷2＝24，小强应该向前移动：33.5﹣24≈9.5（cm）．11．解：（1）∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四边形DEAC是平行四边形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠CAB＝35°．（2）由题意AB＝AC+BC＝20+30＝50（cm），（3）当四边形DEAC是矩形时，AB＝＝10（cm），∴点A处的滑块移动的距离＝（50﹣10）cm．12．解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，则∠FHE＝60°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM＝AB＝2.2392，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，∴sin60°＝＝，∴FG≈2.17（m），∴FM＝FG+GM≈4.4（米），答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．13．解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°﹣∠EAC＝50°，AB＝≈＝＝x，在Rt△EBD中，∵i＝DB：EB＝1：1，∴BD＝BE，∴CD+BC＝AE+AB，即2+x＝4+x，解得x＝12，即BC＝12，答：水坝原来的高度为12米．14．解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CH cot68°＝0.4x，由AB＝49 知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝4，∴EF＝BE sin68°＝3.72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），答：点E到地面的距离约为66.7cm．15．过点A作OB的垂线AC，垂足是C，在Rt△ACO，AO＝1.2，∠AOC＝40°∵sin40°＝，∴AE＝OA sin40°≈0.64×1.2＝0.768＜0.8，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．16．解：（1）∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l∴AD∥CF∥HE，∵AD＝33cm，CF＝33cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝33cm，∵BE＝90cm，∴BH＝57cm，在Rt△HCB中，sin∠BCH＝＝＝＝0.95，∴∠ACB＝72°．（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝67cm．故BB'＝B'C﹣BC＝67﹣60＝7（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是7cm．17．（1）如图，延长ED，AM交于点P，∵DE∥AB，MA⊥AB∴EP⊥MA，即∠MPD＝90°∵∠CDE＝162°∴∠MCD＝162°﹣90°＝72°；（2）如图，在Rt△PCD中，CD＝3米，∠MCD＝72°，∴PC＝CD•cos∠MCD＝3×cos72°≈3×0.31＝﹣0.93米∵AC＝5.5米，EF＝0.4米，∴PC+AC﹣EF＝0.93+5.5﹣0.4＝6.03米答：摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米．18．解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，由题意可得，四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，则AC＝AB＝8cm，∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，则FM＝41.76cm，∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝＝＝0.26，解得：EF＝3.9，故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．19．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝AB sin∠BAF＝2sin37°≈＝1.2．∴真空管上端B到AD的距离约为1.2米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝AB cos∠BAF＝2cos37°≈1.6，∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝0.7米，在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴＝，∴AD＝1.75米，∴BC＝DF＝AD﹣AF＝1.75﹣1.6＝0.15≈0.2∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．20．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5米，BH＝5≈8.65（米），∴DH＝15（米），在Rt△ADH中，AH＝≈＝20（米），∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．21．解：由题意可得：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠DCB＝∠CDB＝45°，∴BC＝BD＝7，在Rt△ABC中，∠BAC＝18°，BC＝7，tan∠BAC＝，∴，∴AD＝21.538﹣7＝14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91＜3，答：AD之间的距离约为14.54米，此轿车没有超速．22．解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝60cm，∴∠CAH＝∠BAC＝16°，∴Rt△ACH中，CH＝sin16°×AC，∴BC＝2CH＝2×sin16°×60≈33.6cm；（2）如图，连接DE，过A作AP⊥DE于P，∵AD＝AE＝60﹣10＝50，∴PE＝DE＝×33.6＝16.8，∠BAC＝2∠CAP，∴Rt△APE中，sin∠PAG＝＝≈0.34，又∵sin20°＝0.34，∴∠PAE＝20°，∴∠BAC＝40°．23．解：如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形．∴DM∥ON，∴∠DCN＝∠CDM＝75°，∴∠EDM＝120°﹣75°＝45°，∵DE＝40cm，∴EM＝DM＝ON＝20≈28.2（cm），在Rt△DCN中，CN＝CD•cos75°≈13（cm），∵OB＝10，∴BC＝ON﹣OB﹣CN＝28.2﹣10﹣13＝5.2（cm）．24．解：作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．则四边形DEBF是矩形．在Rt△DCF中，DF＝EB＝CD•sin30°＝1，CF＝CD•cos30°＝，∴DE＝BF＝1+，在Rt△ADE中，∠ADE＝75°﹣30°＝45°，∴AE＝DE＝1+，∴AB＝AE+EB＝2+．25．解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠EDF＝∠ABC＝14°．在Rt△EDF中，∠DFE＝90°，∵cos∠EDF＝，∴DF＝DE•cos∠EDF＝2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.47．∵限高杆顶端到桥面的距离DF为2.47米，小于客车高2.5米，∴客车不能通过限高杆．26．解：由已知有：∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°，又∵tan∠BAE＝，∴BD＝AB•tan∠BAE，又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，∴CE＝CD•cos∠BAE＝（BD﹣BC）•cos∠BAE＝（AB•tan∠BAE﹣BC）•cos∠BAE＝（10×0.4040﹣0.5）×0.9272≈3.28（m），答：CE的长度为3.28m．27．解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD＝，AC＝18、∠CAD＝30°，∴AD＝＝＝＝12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF＝x米，则BF＝AB+AF＝9+x（米），在Rt△BEF中，BE＝＝＝18+x（米），由题意知AD＝BE＝18+x（米），∵CF＝10，∴AC＝AF+CF＝10+x，由cos∠CAD＝可得＝，解得：x＝3+2，则AD＝18+（3+2）＝24+2，∴CD＝AD sin∠CAD＝（24+2）×＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+；方法二：设CD＝x，∵∠CAD＝30°，∴BE＝AD＝2CD＝2x，AC＝＝＝x，∵CF＝10，∴AF＝AC﹣CF＝x﹣10，∵AB＝9，∴BF＝AB+AF＝9+x﹣10，∵∠EBF＝45°，∴由cos∠EBF＝可得＝，解得：x＝12+，即CD＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+．答：风筝原来的高度C1D为（+）米。

九年级数学下册三角函数的综合练习题

九年级数学下册三角函数的综合练习题（正文开始）本篇文章为九年级数学下册三角函数的综合练习题，旨在帮助同学们巩固和应用所学的三角函数知识。

请同学们认真阅读题目，并按要求进行解答。

题目一：已知∠A 是一个锐角，且sinA = 0.6，求cosA、tanA 的值。

解答：根据三角函数的定义可知，sinA = 对边/斜边。

设对边为x，斜边为1，那么根据题意可得 x/1 = 0.6，解得 x = 0.6。

根据勾股定理可得，邻边为√(1^2 - 0.6^2) = √0.64 = 0.8。

所以，cosA = 邻边/斜边 = 0.8/1 = 0.8。

tanA = 对边/邻边 = 0.6/0.8 = 0.75。

题目二：已知∠B 是一个钝角，且cosB = 0.3，求sinB、cotB 的值。

解答：根据三角函数的定义可知，cosB = 邻边/斜边。

设邻边为x，斜边为1，那么根据题意可得 x/1 = 0.3，解得 x = 0.3。

根据勾股定理可得，对边为√(1^2 - 0.3^2) = √0.91 ≈ 0.953。

所以，sinB = 对边/斜边 = 0.953/1 = 0.953。

cotB = 斜边/对边= 1/0.953 ≈ 1.049。

题目三：已知∠C 是一个直角，且tanC = 2，求sinC、cosC 的值。

解答：根据三角函数的定义可知，tanC = 对边/邻边。

设对边为x，邻边为1，那么根据题意可得 x/1 = 2，解得 x = 2。

根据勾股定理可得，斜边为√(2^2 + 1^2) = √5 ≈ 2.236。

所以，sinC = 对边/斜边= 2/2.236 ≈ 0.894。

cosC = 邻边/斜边= 1/2.236 ≈ 0.447。

题目四：已知∠D 是一个钝角，且sinD = 0.4，求cosD、cotD 的值。

解答：根据三角函数的定义可知，sinD = 对边/斜边。

设对边为x，斜边为1，那么根据题意可得 x/1 = 0.4，解得 x = 0.4。

三角函数专练-坡角问题

三角函数应用专练-坡角问题1．有一斜坡AC，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AB为5m，B，C在同一水平地面上．（1）求斜坡AC的水平宽度BC的长；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝3m，EF＝2m．将该货柜沿斜坡向上运送，当CF＝4m，求点D离地面的高．（结果精确到0.1m）2．如图所示，台阶CD为某校运动场观赛台，台阶每层高0.3米，AB为运动场外的一幢竖直居民楼，且AC＝51.7米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得居民楼在地面上的影长AE＝30米．（参考数据：≈1.73）（1）求居民楼的高度约为多少米？（2）当α＝45°时，请问在台阶的MN这层上观看比赛的学生是否还晒到太阳？请说明理由．3．如图是投影仪安装截面图．教室高EF＝3.5m，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝1.2m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，AD∥EF，∠ACB＝45°．求屏幕下边沿离地面的高度CF（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan15°≈0.27，tan30°≈0.58）4．小明在参加学校组织的重走长征路的活动中，发现了一个山坡上的亭子，为了测得亭子的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长是0.5米，此时，亭子AB的影子落在斜坡坡面上的点F处．经测量山坡的坡比为1：，坡顶C与亭子底部B的距离为4米，与点F的距离为2米，坡脚D与点F的距离为1米，且亭子底部所在平面BC与地面DE平行．求亭子AB的高度．（结果保留根号）5．2013年9月23日强台风“天兔”登陆深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角为∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝3m．求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）6．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，坡角∠BAD＝68°．为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长（精确到0.1米）；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12′≈0.85，tan49°30′≈1.17）。

中考数学复习《解直角三角形的应用-坡度坡角问题》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《解直角三角形的应用-坡度坡角问题》专项练习题-附带有答案一、单选题1．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A．125B．512C．513D．12132．某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（）A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα3．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，堤高BC=4m，则坡面AB的长度是（）mA．8 B．16 C．4√5D．4√34．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B处，那么tan∠BAP=（）A．45B．65C．√55D．2√555．如图，斜面AC的坡度为1：2，AC=3 √5米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+ √5）米6．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了__米．(sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)（）A．415 B．280 C．335 D．2507．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯坡面BC的坡度i=1：√3，则电梯坡面BC的坡角α为（）A．15°B．30°C．45°D．60°8．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB，AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（）（参考数据：sin8°≈425tan8°≈17sin10°≈950tan10°≈528）A．3.5米B．2.5米C．4.5米D．5.5米二、填空题9．某人沿着坡度i=1：√3的山坡起点向上走了50米，则他离地面高米．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）10．如图，一辆小车沿着坡度为i=1：√3的斜坡向上行驶了90米，则此时该小车离水平面的垂直高度为米.11．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是cm.12．如图，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶为10°，已知山坡的坡脚为15°，则树AB的高= （精确到0.1m）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）．13．江边有一处高10米，背水坡角为45°的防洪大堤，大堤的横截面为梯形ABCD，其中CD∥AB，∠DAB= 45°（如图）．某防洪指挥部发现该大堤急需加固，经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是沿背水坡面AD用土石进行加固，使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比为1：√3．则加固后坝底增加的宽度AF=米．三、解答题14．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形DE= 10m，其坡度为i1=1:√3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2=1:4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：√3≈1.732√17≈4.122）15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地BC//AD，BE⊥AD斜坡AB长26m，斜坡AB 的坡比为12：5为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求BE的高度．（2）如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移多少m时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°≈1.2)16．我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5，√3≈1.73)17．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E 点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1︰2.4.（1）求斜坡CD的高；（2）求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）18．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC//AD,BE⊥AD，斜坡AB长√106m，坡度i=9:5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，为52地质人员勘测，当坡角不超过45∘时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE．（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米?答案1．D2．B3．C4．A5．A6．B7．B8．B9．2510．4511．27012．23.2m13．10√3−714．解：∵DE=10m，其坡度为i1=1:√3∴在Rt△DCE中∴解得DC=5∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD=5∵斜坡AF的坡度为i2=1:4∴ABBF =14∴BF=4AB=20在Rt△ABF中AF=√AB2+BF2=5√17≈20.61（m）∴斜坡AF的长度为20.61米．15．（1）解：作∠DAG=50°，AG交BC于G，过点G作GH⊥AD于H则BEHG为矩形∴GH=BE BG=EH设BE=12xm∵斜坡AB的坡比为12：5∴AE=5xm由勾股定理得：(5x)2+(12x)2=262解得：x=2(负值舍去)∴BE=24m，AE=12m ∴GH=BE=24m；（2）解：在Rt△GAH中则24AH≈1.2解得：AH=20∴EH=AH−AE=10(m)∴BG=EH=10m 答：坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．16．解：在Rt△BAE中，∠BAE=68°，BE=162米，∴AE= BEtan∠BAE ≈1622.5=64.8(米).在Rt△DEC中，∠DCE=60°，DE=176.6米，∴CE= DEtan∠DCE =√3≈102.08(米)∴AC=CE-AE≈102.08-64.8=37.28≈37.3(米)，即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为37.3米. 17．（1）解：如图，作EM⊥BC交BC的延长线于M∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，DC=BC=26米，设DM=x米，则CM=2.4x米在Rt△DCM中，∵DM2+CM2=DC2，∴x2+(2.4x)2=262，解得x=10，即斜坡CD的高度为10米.（2）解：作EN⊥AB于N由⑴知CM=24米，EM=10+0.8=10.8米，BM=BC+CM=26+24=50米∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC∴四边形ENBM是矩形.∴EN=BM=50米，BN=EM=10.8米.在Rt△AEN中∵∠AEF=15°∴AN=EN﹒tan15°≈50×0.27≈13.5∴AB=AN+BN=13.5+10.8=24.3米.18．（1）解：∵坡度i=9:5∴BEAE =95，设BE=9x AE=5x根据勾股定理BE2+AE2=AB2则81x2+25x2=(52√106)2，解得x=52∴BE=52×9=452m；（2）解：如图，连接AF，过点F作FH⊥AD于点H由（1）得AE=52×5=252m设BF=xm∵FHAH=tan∠FAH=tan45°=1∴452x+252=1，解得x=10∴BF至少是10米。

人教版九年级下知识点试题精选-解直角三角形的应用-坡度坡角问题

解直角三角形的应用-坡度坡角问题一．选择题（共20小题）1．如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm，宽30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡．现台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，若将坡角∠BCA设计为30°，则AC的长度应为（）A．cm B．cm C．60cm D．cm2．如图是一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=140°，BC的长是8米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h 可以表示为（）A．8sin40°米B．8cos40°米C．8tan40°米D．8tan50°米3．测得某坡面垂直高度为2m，水平宽度为4m，则坡度为（）A．1：B．1：C．2：1 D．1：24．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角为α，则高度BC为（）A．20cosα米B．米C．20sinα米D．米5．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡角为α，堤坝高BC为50米，则迎水坡面AB的长度是（）A．50•tanα米B．50•sinα米C．米D．米6．某人沿着坡度i=3：4的斜坡前进了100米，此时他比原来的位置高了（）A．100米B．60米C．80米D．不能确定7．某人沿坡角为α的斜坡前进了50米，则他上升的最大高度是（）A．B．50sinα米C．米D．50conα米8．如果某人沿坡度为1：3的斜坡向上行走a米，那么他上升的高度为（）A．3a米B．C．D．9．如图，在坡比为1：2的斜坡上有两棵树AC、BD，已知两树间的坡面距离AB=米，那么两树间的水平距离为（）米．A．B． C． D．410．若斜坡AB的坡度i=1：，那么坡角α=（）A．30°B．45°C．60°D．75°11．已知甲、乙两坡的倾斜角分别为α、β，若甲坡比乙坡陡，则下列选项成立的是（）A．cosα＜cosβB．cosα＞cosβC．sinα＜sinβD．tanα＜tanβ12．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2：3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）A．7米 B．9米 C．12米D．15米13．如图，2008年的大雪将张大爷的电线压断了，为了给居住在山坡上的张大爷能在2008年春节用上电，有关部门准备从山脚下沿着山坡拉线（家用电线2根），现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，垂直高度为38m那么需要准备的电线长为（）A．19m B．38m C．76m D．152m14．如图所示，河堤横断面堤高BC=米，迎水坡面AB的坡度为（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，又称坡比），则AC的长是（）A．米B．10米C．15米D．10米15．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为6米，下底为10米，高为2米，那么拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（）A．，60°B．1，45°C．，60° D．，30°16．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米17．如图，在高为2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．2（+1）m B．4m C．（+2）m D．2（+3）m18．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为（）m．A．B．C．1 D．419．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡比为i=1：的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5m B．6m C．7m D．8m20．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米二．填空题（共20小题）21．某水库大坝的横断面是梯形，大坝迎水斜坡的坡度，则迎水坡的坡角为．22．在坡度为1：3的斜坡上，小明走了200米，则他的高度上升了米．23．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为，则此拦水坝斜坡的坡度为．24．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为米．25．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为．26．某段迎水坡的坡比为i=1：，则它的坡角a的度数为．27．一辆骑车沿着一山坡行使了1300米，其铅直高度上升了500米，则山坡的坡度是．28．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，那么该斜坡的坡比是．29．如图，有一斜坡AB长40m，此斜坡的坡角为60°，则坡顶离地面的高度为．（答案可以带根号）30．如图，当小明沿坡度i=1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC=米．（结果可以用根号表示）．31．如图，一山坡的坡比为1：2，某人从山脚下的A点走了500米后到达山顶的点B．那么这人垂直高度上升了米．32．某风景区山高AB为700米，为了游客的方便，景区设置了索道，如图，索道路线为C→D→A，其中C是山脚，D是中转站．已知中转站D到山底的垂直高度为300米，D与B的水平距离为300米，∠DCB=30°，缆车的速度为5米/秒，那么如果坐缆车上山，从山底到山顶大约需分钟．33．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如图所示的育苗棚，棚宽a=3m，棚顶与地面所成的角约为25°，长b=9m，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需m2．（利用计算器计算，结果精确到1m2）34．如图，大坝横截面是梯形ABCD，CD=3m，AD=6m．坝高是3m，BC坡的坡度i=1：3，则坡角∠A=，坝底宽AB=（m）．35．一个人从山下沿30°的山坡走了500米，则此人上升了米．36．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了500m，则他升高了m．37．一斜面的坡度i=1：0.75，一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米，那么这个物体升高了米．38．某坡面的坡角为60°，则该坡面的坡度i=．39．某山路坡面坡度i=1：3，沿此山路向上前进了100米，升高了米．40．如图，已知斜坡AB 的坡度为1：3．若坡长AB=10m，则坡高BC=m．三．解答题（共10小题）41．如图是某地地质科考队在海拔高度CE为5000米的雪山进行科学研究，已知科考队的营地B在海拔1000米处，峰顶为C点，坡面BC的坡角∠CBF=45°，坡面AB的坡角∠BAE=30°，一名队员在B处测得从C处开始有雪崩发生，雪崩在坡面BC上平均速度为每秒80米．（1）求雪崩到达营地B的时间．（2）如果坡面AB上安全点D的海拔高度为700米，科考队迅速撤离到安全点D，若雪崩在坡面AB上平均速度为每秒30米，科考队的速度至少为多少？（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：，）42．如图，已知一水坝截面为梯形，坝顶宽为4m．坝高6m，迎水坡的坡度为1：，背水坡角为60°，求坝底宽．43．学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3（即为CD与BC的长度之比）．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．44．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度（精确到1cm）45．如图，一正方体包装箱沿斜面坡角为30°的电梯上行，已知正方体包装箱的棱长为2米，电梯AB长为16米，当正方体包装箱的一个顶点到达电梯上端B 时，求另一顶点C离地面的高度．（参考数据：≈1.73）46．如图：某水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高BH为20米，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡角为45°．求（1）斜坡AB的坡角；（2）坝底宽AD（精确到1米）．（参考数据：，）47．为促进江南新区的发展，長江三桥在区政府的统一指导下夜以继日的修建中，为方便残疾人通行，政府计划在位于南滨路桥头处修建一锲形残疾人通道，如图，该楔形斜坡BC长20米，坡角为12°，区领导为进一步方便残疾人的轮椅车通行，准备把坡角降为5°．（1）求斜坡新起点到原起点B的距离（精确到0.1米）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09）（2）某6人工程队承担这项改进任务（假设每人毎天的工怍效率相同），5天刚好完成该项工程；但实际工作2天后．有2人因其它工作调离；剩余的工程由余下的4人独自完成，为了不延误工期，每人的工作效率提高了a%，结果准时完成该项工程，求a的值．48．游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘坐缆车到C：另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到C．已知在A处观测C，得仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距离AE=1500米，A、B的竖直距离BE=750米，索道BC坡度i=2：3，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F．（1）求索道BC的长；（参考数据：tan31°≈0.6，cos31°≈0.9，≈3.6）（2）已知登山步道长2100米，缆车运行的平均速度为150米/分钟，盘山公路长20000米．现有甲、乙两位游客分别从西坡和北坡上山，二人同时出发，结果乙比甲早10分钟到达C．若甲沿登山道步行平均速度是乙开车上山平均速度的，求甲沿登山步道步行的平均速度（单位：米/分钟）．49．如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的坡长为AE，背水面坡角β=45°．若原坡长AB=16m，求改造后的坡长AE（结果保留根号）．50．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）解直角三角形的应用-坡度坡角问题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm，宽30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡．现台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，若将坡角∠BCA设计为30°，则AC的长度应为（）A．cm B．cm C．60cm D．cm【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由坡角∠BCA=30°，求得CD的长，继而求得答案．【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60cm，BD=20×3=60cm，∵坡角∠BCA=30°，∴BD：CD=1：，∴CD=BD=×60=60cm，∴AC=CD﹣AD=60﹣60=60（﹣1）cm．故选B．【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．2．如图是一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=140°，BC的长是8米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h 可以表示为（）A．8sin40°米B．8cos40°米C．8tan40°米D．8tan50°米【分析】过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，在Rt△BCE中，易求得∠CBE=40°，已知了斜边BC为8m，根据直角三角形的性质即可求出CE的长，即表示出高度h．【解答】解：过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E；在Rt△CBE中，∠CBE=180°﹣∠CBA=40°；已知BC=8m，则CE=BC•sin40°，即h=8sin40°米．故选：A．【点评】正确地构造出直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解，是解决此题的关键．3．测得某坡面垂直高度为2m，水平宽度为4m，则坡度为（）A．1：B．1：C．2：1 D．1：2【分析】坡比=斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为1：n 的形式即可．【解答】解：∵斜坡的垂直高度为2米，水平宽度为4米，∴坡比i=2：4=1：2．故选D．【点评】本题考查了坡度的求法；注意最后的结果应写成1：n的形式．4．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角为α，则高度BC为（）A．20cosα米B．米C．20sinα米D．米【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数关系，BC=AB•sinα．代入数据即可得出高度BC．【解答】解：由题意，在Rt△ABC中，∠A=α，由三角函数关系可知，BC=AB•sinα=20sinα（米）．故选：C．【点评】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．5．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡角为α，堤坝高BC为50米，则迎水坡面AB的长度是（）A．50•tanα米B．50•sinα米C．米D．米【分析】根据解直角三角形的知识可知：=sinα，即可求出AB．【解答】解：∵=sinα，∴AB==．故选D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题，掌握三角函数的定义是解答本题的关键．6．某人沿着坡度i=3：4的斜坡前进了100米，此时他比原来的位置高了（）A．100米B．60米C．80米D．不能确定【分析】由题意可得出坡角的正切值，运用勾股定理可得出位置提高的高度．【解答】解：由题意得，BC：AB=3：4，AC=100米．设BC=3x，AB=4x，∴（3x）2+（4x）2=10000，∴x=20，BC=60．故选B．【点评】本题在于考查解直角三角形的应用和坡度的定义，注意画出图形会使问题变得简单．7．某人沿坡角为α的斜坡前进了50米，则他上升的最大高度是（）A．B．50sinα米C．米D．50conα米【分析】在三角函数中，根据坡度角的正弦值=垂直高度：坡面距离即可解答．【解答】解：如图，∠A=α，∠C=90°，AB=50，则他上升的高度BC=ABsinα=50•sinα．故选B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．8．如果某人沿坡度为1：3的斜坡向上行走a米，那么他上升的高度为（）A．3a米B．C．D．【分析】首先根据题意画出图形，由某人沿坡度为1：3的斜坡向上行走a米，可得AE：CE=1：3，AC=a，然后AE=x米，则CE=3x米，由勾股定理用x表示出得AC的长，继而求得答案．【解答】解：如图：根据题意得：AC=a，i=1：3，∴i==，设AE=x米，则CE=3x米，∴AC==x（米），∴x=a，解得：x=a，∴AE=a米．即他上升的高度为a米．故选D．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度不大，注意掌握坡度的定义及应用，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在坡比为1：2的斜坡上有两棵树AC、BD，已知两树间的坡面距离AB=米，那么两树间的水平距离为（）米．A．B． C． D．4【分析】由坡度求出坡角的余弦值，根据三角函数的定义求解．【解答】解：由于坡度i=1：2，则坡角α的余弦值为cosα=，∴两树间的水平距离为AB•cosα=2×=4．故选D．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．10．若斜坡AB的坡度i=1：，那么坡角α=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据斜坡AB的坡度i=1：，可得tanα=，然后求出α的度数．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i=1：，∴tanα=，∴∠α=30°．故选A．【点评】本题考查了坡度和坡角，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．11．已知甲、乙两坡的倾斜角分别为α、β，若甲坡比乙坡陡，则下列选项成立的是（）A．cosα＜cosβB．cosα＞cosβC．sinα＜sinβD．tanα＜tanβ【分析】若甲坡比乙坡更陡些，则α＞β；再根据锐角三角函数的变化规律解答：正弦和正切都是随着角的增大而增大，余弦和余切都是随着角的增大而减小．【解答】解：根据题意，得α＞β．根据锐角三角函数的变化规律，只有A正确．故选A．【点评】考查了坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数值的变化规律，难度不大．12．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2：3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）A．7米 B．9米 C．12米D．15米【分析】梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．【解答】解：∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，∴DE=6米．又∵EF=AB=3．∴CD=6+3+6=15米．故选D．【点评】此题主要考查等腰梯形的性质和坡度问题；注意坡度=垂直距离：水平距离．13．如图，2008年的大雪将张大爷的电线压断了，为了给居住在山坡上的张大爷能在2008年春节用上电，有关部门准备从山脚下沿着山坡拉线（家用电线2根），现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，垂直高度为38m那么需要准备的电线长为（）A．19m B．38m C．76m D．152m【分析】要求需要准备的电线长，只要求出AC的长度即可，利用30°的正弦的概念求解即可．【解答】解：∵已知垂直高度为38m，根据三角函数得到：AC=2BC=76m，又∵家用电线2根，∴需要准备的电线长为76×2=152m，故选D．【点评】本题主要考查了解直角三角形的条件，应用了：直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．14．如图所示，河堤横断面堤高BC=米，迎水坡面AB的坡度为（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，又称坡比），则AC的长是（）A．米B．10米C．15米D．10米【分析】Rt△ABC中，已知坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC=5米，tanA=；∴AC=BC÷tanA=15米；故选C．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．15．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为6米，下底为10米，高为2米，那么拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（）A．，60°B．1，45°C．，60° D．，30°【分析】从上底两个顶点向下底引垂线，构造出两个直角三角形和一个矩形，利用等腰梯形的性质得到DF长，进而得到坡度、坡角．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F，BE⊥CD于E．AB=6m，DC=10m，AF=BE=2m，∵AF⊥DC，BE⊥DC，四边形ABCD为等腰梯形．∴四边形AFEB是矩形，△ADF≌△BCE，∴AB=EF=6m，∴DF=EC=（BC﹣AD）=（10﹣6）=2m，∵tanD===1．∴坡度是1：1，∵tanD==1，∴∠D=45°，故选B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．16．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米【分析】先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．【解答】解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．17．如图，在高为2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．2（+1）m B．4m C．（+2）m D．2（+3）m【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．在△ABC中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC的长，进而求得地毯的长度．【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC），在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°．∵tanA=，∴AC=BC÷tan30°=2．∴AC+BC=2+2．故选A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC的直角边的和．18．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为（）m．A．B．C．1 D．4【分析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长，【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2m，cos∠A=，∴cos30°=，∴AB===m，故选：A．【点评】此题是解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，主要考查了特殊角的三角函数值，三角函数的定义，关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．19．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡比为i=1：的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5m B．6m C．7m D．8m【分析】利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．【解答】解：∵水平距离为4m，坡比为i=1：，∴铅直高度为×4=3m．根据勾股定理可得：坡面相邻两株数间的坡面距离为=5（m）．故选A．【点评】本题主要考查直角三角形问题．利用坡度tanα=0.75=求解．20．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2=1952，解得x≈75m，DE=75m，CE=2.4x=180m，EB=BC﹣CE=306﹣180=126m．∵AF∥DG，∴∠1=∠ADG=20°，tan∠1=tan∠ADG==0.364．AF=EB=126m，tan∠1==0.364，DF=0.364AF=0.364×126=45.9，AB=FE=DE﹣DF=75﹣45.9≈29.1m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．二．填空题（共20小题）21．某水库大坝的横断面是梯形，大坝迎水斜坡的坡度，则迎水坡的坡角为30°．【分析】设迎水坡的坡角为α，根据坡度的概念得到tanα=i=1：，利用特殊角的三角函数值即可得到α．【解答】解：设迎水坡的坡角为α，∴tanα=i=1：，∴α=30°．故答案为30°．【点评】本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正切．也考查了特殊角的三角函数值．22．在坡度为1：3的斜坡上，小明走了200米，则他的高度上升了20米．【分析】根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB的长度即可求得AC的值，即可解题．【解答】解：∵坡度为1：3，∴tanB==，设AC=x，BC=3x，则x2+（3x）2=2002，解得：x=20，故答案为20．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了坡度的定义以及直角三角形中三角函数值的计算．23．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为，则此拦水坝斜坡的坡度为45°．【分析】从上底两个顶点向下底引垂线，构造出两个直角三角形和一个矩形，利用等腰梯形的性质得到DF长，进而得到坡度、坡角．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，AB=6，DC=10，AF=BE=2．∵AF⊥DC，BE⊥DC，ABCD为等腰梯形．∴DF=EC=2，AB=EF=6．∵tanC===．坡角∠C=45°．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及等腰梯形的性质的应用．解题的关键是正确的构造直角三角形．24．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为12米．【分析】在Rt△ABE中，根据tan∠BAE的值，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．【解答】解：因为tan∠BAE=，设BE=12x，则AE=5x；在Rt△ABE中，由勾股定理知：AB2=BE2+AE2，即：132=（12x）2+（5x）2，169=169x2，解得：x=1或﹣1（负值舍去）；所以BE=12x=12（米）．故答案为：12．【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用．25．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为1：2．【分析】利用勾股定理求得水平距离．根据坡度定义求解．【解答】解：∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米．此时他与水平地面的垂直距离为2米，根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为4米．所以这个坡面的坡度比为2：4=1：2．【点评】本题比较容易，考查坡度的定义．26．某段迎水坡的坡比为i=1：，则它的坡角a的度数为30°．【分析】根据i的比值可以求得AB、BC的长度的比值，即可求得tan∠BCA，根据特殊角的三角函数值的计算即可解题．【解答】解：由题意知：i=1：，即BC=AB，∴tan∠BCA=，∴∠BCA=30°．故答案为30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数的计算，三角函数值在直角三角形中的运用．27．一辆骑车沿着一山坡行使了1300米，其铅直高度上升了500米，则山坡的坡度是5：12．【分析】利用勾股定理求得水平宽度，把铅直高度除以水平宽度即可．【解答】解：根据题意，他水平移动的距离应该是=1200．那么山坡的坡度=500：1200=5：12．【点评】本题考查坡度的定义．28．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，那么该斜坡的坡比是．【分析】直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案．【解答】解：∵某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，∴水平距离BC==6（m），则该斜坡的坡比是：=．故答案为：．【点评】此题主要考查了坡度的定义，正确把握定义是解题关键．29．如图，有一斜坡AB长40m，此斜坡的坡角为60°，则坡顶离地面的高度为20m．（答案可以带根号）【分析】由题意可得：∠ACB=90°，AB=40m，∠A=60°，然后在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=40m，∠A=60°，∴在Rt△ABC中，BC=AB•sin60°=40×=20（m），即坡顶离地面的高度为：20m．故答案为：20m．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意利用解直角三角形的知识求解是关键．30．如图，当小明沿坡度i=1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC=30米．（结果可以用根号表示）．【分析】直接利用坡度的定义得出设BC=x，则AC=3x，进而利用勾股定理得出即可．【解答】解：∵小明沿坡度i=1：3的坡面由A到B行走了100米，∴设BC=x，则AC=3x，故x2+（3x）2=1002，解得：x=10，那么小明行走的水平距离AC=30（m）．故答案为：30．【点评】此题主要考查了坡度和坡角问题以及勾股定理，得出BC的长是解题关键．31．如图，一山坡的坡比为1：2，某人从山脚下的A点走了500米后到达山顶的点B．那么这人垂直高度上升了100米．【分析】设这人垂直高度上升x米，根据坡比为1：2，可得此人水平向右走了2x米，然后根据此人沿山坡走了500米，利用勾股定理求解．【解答】解：设这人垂直高度上升x米，则此人水平向右走了2x米，∵AB=500m，∴=500，解得：x=100．故这人垂直高度上升100米．故答案为：100．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡比构造直角三角形，利用勾股定理求解，难度一般．32．某风景区山高AB为700米，为了游客的方便，景区设置了索道，如图，索道路线为C→D→A，其中C是山脚，D是中转站．已知中转站D到山底的垂直高度为300米，D与B的水平距离为300米，∠DCB=30°，缆车的速度为5米/秒，那么如果坐缆车上山，从山底到山顶大约需3分钟．【分析】根据DF和∠DCB即可求出CD的长，已知AE、DE的长根据勾股定理即可求得AD的长，根据AD、CD的长即可求得游客要走的距离，根据速度计算时间即可解题．【解答】解：DF=300米，∠DCB=30°，。

北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》同步练习

1.5三角函数的应用1.如图,一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达A 点时,从地面C 处的雷达站测得AC 的距离是6km ,仰角是43o ,1s 后,火箭到达B 点,此时测得BC 的距离是6.13km ,仰角为45.54o ,这枚火箭从A 点到B 点的平均速度是多少?(精确到0.01km s )2．如图1—62所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，自A 处经半小时到达B 处，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°的方向上，在B 处看见小岛C 在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?3.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A ，B 相距3米,探测线与地面的夹角分别是30o 和60o (如图),试确定生命所在点C 的深度.(结果精确到0.1米,参考数据:2 1.41≈,3 1.73≈)O AB CABCD30o60o4．如图1—63所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A处向北偏西60°的AC方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响：(1)B处是否会受到台风的影响?清说明理由；(2)为避免卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完货物?(精确到0.1小时，3≈1.732)5．如图l—64所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB=400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区?(参考数据：3≈1.732)6．如图1—65所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经C 地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1 km,参考数据：2≈1.413≈1.73)7.气象台发布的卫星云图显示,代号为W 的台风在某海岛(设为点O )的南偏东45o 方向的B 点生成,测得1006OB km =.台风中心从点B 以40km h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km h 的速度向北偏西60o 方向继续移动.以O 为原点建立如图所示的直角坐标系．(1)台风中心生成点B 的坐标为 ,台风中心转折点C 的坐标为；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？参考答案1. 解:在Rt BCO ∆中,sin OB BCO BC∠=∴sin 6.13sin45.54 4.375OB BC BCO =⋅∠=⨯≈o 在Rt ACO ∆中,sin OA ACO AC∠=∴sin 6sin43 4.092OA AC ACO =⋅∠=⨯≈o∴ 4.375 4.0920.28AB OB OA =-=-≈答:这枚火箭从A 点到B 点的平均速度是0.28km s .2．提示：不会进入危险区．3. 解:过C 作CD AB ⊥于点D∵探测线与地面的夹角为30o 和60o∴30CAD ∠=o ,60CBD ∠=o 在Rt ACD ∆中,tan CD CAD AD∠=∴3tan tan 30CD CD AD CD CAD ===∠o 在Rt BCD ∆中,tan CD CBD BD∠=∴3tan60CD BD ==o又∵3AD BD AB -==333CD -= 解得333 1.73 2.62CD ⨯==≈∴生命所在点C 的深度约为2.6米．4．解：(1)如图1—66所示，过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △ABD 中，BD=12AB ＝160海里＜200海里，所以B 处会受到台风的影响． (2)以B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ．由(1)可知BD ＝160海里，又BE ＝200海里，则DE=120海里，所以AE ＝3－120)海里．设卸货时间为t ，则t 1603120-≈3.9(小时)，所以在3.9小时内卸完货才不会受台风影响．5．解：如图1—67所示，过A 作AP ⊥MN 于点P ，由题意可知∠ABP=∠PAB=45°，因为MB ＝400米，所以MP －BP=MB ＝400米，所以AP ．1tan 30o－AP ·1tan 45o=4003AP －AP=400，3＋1)≈546.4米＞500米，所以输水路线不会穿过居民区．6．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △CDA 中，∠A ＝30°，AC ＝10km ，∴CD ＝12AC ＝5 km ，AD ＝ACcos 30°＝53km ．在Rt △BDC 中，∠B=45°，∴BD ＝CD=5km ，BC=sin 45CDo=＝52km ，∴AB ＝AD ＋BD=(53＋5)km ，∴AC ＋BC －AB ＝10＋52－(53＋5)＝5＋52－53≈5＋5×1.4l －5×1.73＝3.4(km)．即隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走约3.4 km ．7. 解(1) (1003,1003)- :(1003,2001003)- (2)过点C 作CD OA ⊥于点D ,则1003CD =,30ACD ∠=o 在Rt ACD ∆中,cos CD ACD AC∠=∴1003200cos CD AC ACD ===∠∵20020630-=,6511+=∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．A BD/y kmx kmO45o60oC。

北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的应用》练习题

1．4《三角函数的应用》练习题一、选择题1、如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是A.10 mB.3310m C.225m D.53mA BDC5m2、为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)．则该坡道倾斜角α的正切值是（）A．14B．4C．117D．4173、如图．先锋村准备在坡角α为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cos a B．5cos aC．5sin a D．5sin a4、如图．在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0．75的山坡上种树，也要求株距为4m．那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5m B．6m C．7m D．8mα5米AB5、如图．小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得BAD∠＝30°．在C点测得BAD∠＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为（）米．A．25B．253C．10033D．25253+6、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．83米C．833米D．433米二、填空题7、如图．市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为35．则坡面AC的长度为m．8、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25个坡面的坡度为_________．9、如图．一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．则海轮行驶的路程AB为___ __________海里（结果保留根号）．10、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．11、如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，3cos4BAC∠=．则梯子长AB= 米．12、小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全，他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1．80m，则小明拓宽了行路通道_________m．（结果保留三个有效数字，参考数据:sin15°≈26．cos15°≈0．97）三、解答题13、如图1—62所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，自A处经半小时到达B处，在A处看见小岛C在船的北偏东60°的方向上，在B处看见小岛C在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?14、海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向．求此时灯塔B到C处的距离．15、如图．某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的.，结果保留整数）．坡度为i=1∶0．5，求山的高度．（不计测角仪的高度，3173216、如图1—63所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A处向北偏西60°的AC方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响：(1) B处是否会受到台风的影响?清说明理由；(2)为避免卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完货物?(精确到0.131.732)17、武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°．已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到001.米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到001.米）18、气象台发布的卫星云图显示,代号为W 的台风在某海岛(设为点O )的南偏东45方向的B 点生成,测得1006OB km .台风中心从点B 以40km h 的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C 处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km h 的速度向北偏西60方向继续移动.以O 为原点建立如图所示的直角坐标系．(1)台风中心生成点B 的坐标为 ,台风中心转折点C 的坐标为；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

九年级下册《三角函数的应用》综合练习2(坡度、坡角)(2021年整理)

九年级下册《三角函数的应用》综合练习2(坡度、坡角)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级下册《三角函数的应用》综合练习2(坡度、坡角)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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三角函数的应用（坡度、坡角）◆随堂检测1、某斜坡的坡度为i=1：3，则该斜坡的坡角为______度．2、以下对坡度的描述正确的是（ )．A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数;B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比；C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比;D．坡度是指倾斜角的度数3、某人沿坡度为i=1：3的山路行了20m,则该人升高了（）．A．203m B．20340.103.3m C m D3m4、斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于（）．A．35 B．45C．1：43D．1：0.755、在坡度为1:1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m,•则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（）．A．4m B．213m C．3m D．413m◆典例分析水库拦水坝的横断面为梯形ABCD，背水坡CD的坡比i=1：3，•已知背水坡的坡长CD=24m,求背水坡的坡角α及拦水坝的高度．解：过D作DE⊥BC于E．∵该斜边的坡度为1：3，则tanα=，∴α=30°，3在Rt△DCE中，DE⊥BC，DC=24m．∴∠DCE=30°，∴DE=12（m）．故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m．点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形,再利用三角函数值求出坡角即可.◆课下作业●拓展提高1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，•要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m(精确到0．1m）．（•可能用到的数据2≈1。

北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题(附答案)

北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题（附答案）一、解答题1．（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°．2．计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°的值．3．（1）计算：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°；（参考公式：sinα=sin(180°−α)）（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根，求2√2bcos260°−√2的S值．4．如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G H AG=AH．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AG=2EG=1．①求sin∠BAE；②求▱ABCD的面积．5．如图在Rt△ABC中∠ACB=90°D是BC上一点过点C作CE⊥AD垂足为E．连接BE并延长交AC于点F．(1)求证：CD2=ED⋅AD；(2)若D为BC的中点ACBC =23求sin∠CEF的值．6．如图一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A其正下方水平面上的点记作点B) 小李站在附近的水平地面上他想知道自己到古塔的水平距离便利用无人机进行测量但由于某些原因无人机无法直接飞到塔顶进行测量因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°点A B C O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处再调整飞行方向继续匀速飞行8秒到达塔顶已知无人机的速度为5米/秒∠AOC=75°求小李到古塔的水平距离即BC的长．7．在综合实践课中小明同学利用无人机测量小山AB的高度．如图CD是小明同学无人机飞到小山AB的右上方时测得山顶A的俯角为37°,AP=10米测得小明同学头顶C的俯角为53.5°,PC=80米．已知小明的身高CD为1.8米求小山AB的高度．（已知AB,CD分别与水平线BD垂直且在同一平面内参考数据：sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75sin53.5°≈0.80cos53.5°≈0.59tan53.5°≈1.35）8．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间小刚站在雕像前自C处测得雕像顶A的仰角为53°小强站凤栖堂门前的台阶上自D处测得雕像顶A的仰角为45°此时两人的水平距离EC为0.45m已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．9．如图甲、乙两艘货轮同时从A港出发分别向B D两港运送物资最后到达A港正东方向的C港装运新的物资甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：√2≈1.41√3≈1.73√6≈2.45）(1)求B C两港之间的距离；(2)若甲货轮的速度为20海里/小时乙货轮的速度为30海里/小时（停靠B D两港的时间相同）哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．10．冬季是滑雪的最佳时节亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图其中的两条初级滑雪道的线路为：①A→B→C→D；②A→E→D．点A是雪道起点点D是雪道终点点B、C、E是三个休息区．经勘测点B在点A的南偏东30°方向1800米处点C 在点B的正南方向2000米处点D在C的西南方向点E在点A的西南方向1300米处点E在点D的正北方向．（参考数据：√2≈1.414√3≈1.732）(1)求CD的长度；（精确到1米）(2)小外一家周末去亚布力滑雪小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．11．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时将细线一端固定在量角器圆心O处另一端系小重物G测量时使支杆OM、量角器90∘刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①）绕点O转动量角器使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②）此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等请写出这两个角相等的证明过程．(2)拓展应用：公园高台上有一凉亭为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④）同学们经过讨论决定先在水平地面上选取观测点E、F E、F、H在同一直线上分别测得点P的仰角a=45∘、β=30∘测得E、F间的距离2米点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH的长（结果保留根号）12．如图Rt△ABO中∠ABO=90°AB=2反比例函数y=−8x的图象经过点A．(1)求点A的坐标．(2)直线CD垂直平分AO交AO于点C交y轴于点D交x轴于点E求线段OE的长．13．随着南海局势的升级中国政府决定在黄岩岛填海造陆修建机场设立雷达塔．某日在雷达塔A 处侦测到东北方向上的点B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域且以30 海里/时的速度往正南方向航行我方与其进行多次无线电沟通无果后这艘渔船行驶了1 小时10 分到达点A 南偏东53°方向的C 处与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截其中海警船位于与A 相距100 海里的D 处．(1)求AC的距离和点D 到直线BC的距离；(2)若海警船航行速度为40 海里/时可侦测半径为25 海里当海警船航行1 小时时是否可以侦测到菲律宾渔船为什么？（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）14．综合实践活动中某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和CD的高因为这两栋建筑物高度相同于是这个小组设计出一种简捷的方案如图所示：（1）把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上调整位置使直角尺的两边EM EN所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部A和C；（2）用皮尺度量BE和DE的长度；（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A B C D E M N均在同一平面内．测得BE=9m DE=36m．请求出这两栋建筑的高度．15．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的底座下方是台阶台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面DE的坡度i=1:√3坡面DE的长为2.4m．(1)计算坡面DE的铅直高度；(2)如图3 为了测量纪念碑的高度亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高1.64m的测角仪GH测得纪念碑碑身顶端A的仰角是35°继续向纪念碑前进8.1m到达点K处此时测得纪念碑顶端45°求纪念碑的实际高度AC．（结果精确到0.01参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）16．如图1是超市的手推车如图2是其侧面示意图已知前后车轮半径均为5cm两个车轮的圆心的连线AB与地面平行测得支架AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°CD=50cm．(1)求扶手前端D 到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅 EF 为小坐板打开后椅子的支点H 到点C 的距离为10cm DF =20cm EF∥AB ∠EHD =45° 求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号） 17．千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一也是重庆的“网红打卡地”之一某校数学兴趣小组的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度如图2 他们在桥下水平地面上架设测角仪CM （测角仪垂直于地面放置）此时测得桥塔最高点A 的∠ACE =30∘ 然后将测角仪沿MB 向前水平移动132米达到点N 处并测得桥塔最高点A 的∠ADE =45∘ 测角仪高度CM =DN =1.6米．（点M N B 在同一水平线上 AB ⊥BM ）（结果保留整数参考数据：√2≈1.41 √3≈1.73）(1)求桥塔的高度AB 约为多少米？(2)如图3 在（1）的条件下小语同学在洪崖洞的某地Q 处测得千厮门大桥桥塔最高点A 的∠AQG =30∘ 最低点B 的∠BQG =60∘ 则小语同学所在地Q 与AB 的水平距离约为多少米？ 18．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.9945 sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.0018 sin29°+sin 261°≈0.482+0.872=0.9873 sin37°+sin 253°≈0.602+0.802=1.0000 sin 245°+sin 245=(√22)2+(√22)2=1．据此嘉嘉猜想：对于任意锐角α β 若α+β=90° 均有sin 2α+sin 2β=1．(1)当α=30°β=60°时验证sin2α+sin2β=1是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立请结合如图所示Rt△ABC给予证明其中∠A所对的边为a∠B所对的边为b斜边为c；若不成立请举出一个反例；(3)利用上面的证明方法直接写出tanα与sinαcosα之间的关系．19．阅读与思考阅读下列材料并解决后面的问题．在锐角△ABC中∠A∠B∠C的对边分别是a b c过C作CE⊥AB于E（如图1）则sinB=CEa sinA=CEb即CE=asinB CE=bsinA于是asinB=bsinA即bsinB=asinA．同理有csinC =asinAcsinC=bsinB所以asinA=bsinB=csinC．即：在一个锐角三角形中各边和它所对角的正弦的比相等．运用上述结论和有关定理在锐角三角形中已知三个元素（至少有一条边）就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料完成下列各题：(1)如图1 在△ABC中∠A=60°∠C=45°BC=30则AB=______；(2)如图2 一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向距离灯塔50海里的A处它沿正北方向航行一段时间后到达位于灯塔北偏东45°方向上的B处此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）(3)在（2）的条件下试求75°的正弦值．（结果保留根号）20．如图1 正方形ABCD中P是边AD上任意一点Q是对角线AC上的点且满足∠PBQ=45°．(1)①求证：△PDB∽△QCB；②DPCQ=；(2)如图2 矩形ABCD中AB=12AD=5P、Q分别是边AD和对角线AC上的点∠PBQ=∠ACB DP=3求CQ的长；(3)如图3 菱形ABCD中DH⊥BA交BA的延长线于点H．若DC=5对角线AC=6P、Q分别是线段DH和AC上的点tan∠PBQ=34PH=85求CQ的长．参考答案：1．解：（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°=(sin230°+cos230°)+2sin60°+tan45°−tan60°=1+2×√32+1−√3=2+√3−√3=2；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°=√(1−tan60°)2−√3=√(1−√3)2−√3=√3−1−√3=−1．2．解：tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°＝（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45°＝1．3．（1）解：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin2150°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin230°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2 =2×(12)2−6×(√3)2×4×[1−(12)2]2×1+4×(√22)214×√32=−107√348；（2）解：∵a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根∴(x+3)(x−1)=0解得a=−3b=1或b=−3a=1当a=−3b=1时则2√2bcos260°−√2=12×(−3)+√2 14×1−√2=−26+20√231；当b=−3a=1时则2√2bcos260°−√2=12×1+√2 14×(−3)−√2=−26+4√223；4．（1）证明：∠AE⊥BC AF⊥CD∠∠AEB＝∠AFD＝90°∠∠BAG＝90°−∠ABE∠DAH＝90°−∠ADF ∠四边形ABCD是平行四边形∠∠ABE＝∠ADF∠∠BAG＝∠DAH∠AG＝AH∠∠AGH＝∠AHG∠∠AGB＝∠AHD∠在△ABG 和△ADH 中{∠AGB ＝∠AHD∠BAG ＝∠DAH AG =AH∠△ABG≌△ADH∠AB ＝AD∠▱ABCD 是菱形；（2）①解：∠AD∥BC∠△ADG ∽△EBG∠AD BE =AG EG∠AG =2,GE =1∠AD BE =AG EG =2∠在菱形ABCD 中 AB =AD∠BE AB =12 ∠AE ⊥BC∠sin∠BAE =BE AB =12； ②∠sin∠BAE =12∠∠BAE =30°∠cos∠BAE =cos30°=AE AB =√32∠AB =2√3=BC∠S ▱ABCD =BC ×AE =2√3×3=6√3．5．（1）证明：∵ CE ⊥AD ∠ACB =90°∴∠CED =∠ACB =90°∵∠CDE +∠DCE =90°,∠DCE +∠ACE =90°∴∠ACE =∠CDE∴△CDE∽△ADC∴CD AD =DE CD∴ CD 2=ED ⋅AD ；（2）解：∵D为BC的中点∴BD=CD∵CD2=ED⋅AD∴BD2=ED⋅AD∴BDAD =DEBD∵∠ADB=∠ADB∴△ABD∽△BED∴∠ABD=∠BED∴∠AEF=∠BED=∠ABD ∵∠AEF+∠CEF=90°∴sin∠CEF=cos∠ABD∵∠ACB=90°ACBC =23设AC=2k,BC=3k∴AB=√AC2+BC2=√13k∴cos∠ABD=BCAB =√13k=3√1313∴sin∠CEF=3√1313．6．解：过点O作OD⊥BC交BC的延长线于点D过点O作OE⊥AB垂足为E如图所示：由题意得：AO=8×5=40米OC=4×5=20米OE=BD OE∥BD∴∠EOC=∠OCD=45°∵∠AOC=75°∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°在Rt△OCD中CD=OC⋅cos45°=20×√22=10√2米在Rt△AOE中OE=AO⋅cos30°=40×√32=20√3米∴OE=BD=20√3米∴BC=BD−CD=20√3−10√2米∴小李到古塔的水平距离即BC的长为20√3−10√2米．7．解：如图过点C作CE⊥AB于点E过点P作PF⊥CE于点F过点A作AG⊥PF于点G则四边形BECD和四边形AEFG都是矩形∴AE=FG BE=CD.在Rt△APG中由题意知∠PAG=37°,AP=10米∠PG=sin∠PAG⋅AP=sin37°×10≈0.60×10=6（米）在Rt△PCF中由题意知∠PCF=53.5°,PC=80米∠PF=sin∠PCF⋅PC=sin53.5°×80≈0.80×80=64（米）∴AB=AE+BE=FG+CD=PF−PG+CD=64−6+1.8=59.8（米）．答：小山AB的高度约为59.8米．8．（1）解：∠凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∠DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∠由题意得四边形NFDE是矩形∠FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∠FD=MF=(x−0.15)m∠NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∠tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．9．（1）解：过点C作CM⊥AB于点M∠甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港∠∠ADC=90°∠DAC=∠DCA=45°AD=40海里∠AD=CD=40海里∠AC=√AD2+DC2=40√2海里∠乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．∠∠CAM=∠ABN=30°∠CBN=90°−15°=75°∠∠ABC=∠CBN−∠ABN=45°在Rt△ACM中∠CAM=30°∴CM=12AC=40√2×12=20√2（海里）AM=AC⋅cos30°=20√6（海里）在Rt△BCM中∠ABC=45°∴CB=CMsin45°=40（海里）BM=CM=20√2海里∴B C两港之间的距离约为40海里；（2）解：乙货轮先到达C港理由如下：∠甲货轮航行的路程=AD+DC=40+40=80（海里）∠甲货轮航行的时间=8020=4（小时）∠乙货轮航行的路程=AB+BC=20√6+20√2+40（海里）∠乙货轮航行的时间=20√6+20√2+4030=2√6+2√2+43≈3.91（小时）∵3.91<4∴乙货轮先到达C港．10．（1）解：过B作BL⊥DE于L交AN于N过作EK⊥AN于K过C作CM⊥DE于M∵点E在点A的西南方向∴∠EAK=45°∴△AEK是等腰直角三角形∴EK=AK=√22AE=√22×1300≈919.38（米）∵∠BAN=30°∠ANB=90°∴BN=12AB=12×1800=900（米）∵DE∥BC CM⊥DE BL⊥DE EK⊥AN NL⊥DE ∴四边形ELNK BCML是矩形∴BC=BL NL=EK EL=KN ML=BC∵BL=NB+NL=900+919.38=1819.38（米）∴MC=1819.38米∵∠MCD=45°∴△MCD是等腰直角三角形∴CD=√2MC≈2573（米）；（2）解：滑雪道线路①全程=AB+BC+CD=1800+2000+2572.6=6372.6（米）∴小外滑行的时间是6572.6÷5≈1274.5（秒）≈21.2（分钟）∵小外途经的每个休息区都各休息了5分钟∴小外在滑雪道线路①共用时21.2+5×2=31.2（分钟）∵AN=√3NB≈1558.8（米）∴NK=AN−AK=1558.8−919.38=639.42（米）∴EL=KN=639.42米∴ME=ML+EL=2000+639.42=2639.42（米）∵△CDM是等腰直角三角形∴MD=MC=1819.9米∴滑雪道线路②全程=AE+ME+MD=1300+2639.42+1819.9=5759.32（米）∴小外的爸爸滑行的时间是5759.32÷3≈1919.8（秒）≈32.0（分钟）∵小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟∴小外先到达终点D．11．解：（1）目标P的仰角是图②中的∠POC目标P的仰角与图②中的∠NOG相等证明∵∠COG=90∘∠AON=90∘∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON；（2）解：由题意可得O1O2=2O1E=O2F=DH=1.5米由图可得tanβ=PDO2D tanα=PDO1D∴O2D=PDtanβO1D=PDtanα∵O1O2=O2D−O1D=2∴2=PDtanβ−PDtanα∴PD=2tanαtanβtanα−tanβ∴PH=PD+DH=2tan45∘tan30∘tan45∘−tan30∘+1.5=(52+√3)米．故PH的值为(52+√3)米．12．（1）解：∵AB=2∴点A的横坐标为−2∵A点在反比例函数y=−8x的图象上∴y=−8−2=4∴A(−2,4)．（2）解：∵A(−2,4)∠AB=2BO=4∠AO=√22+42=2√5∠CD垂直平分AO∠OC=12AO=√5CD⊥AO∠∠DOE=90°∠∠1+∠3=90°=∠2+∠3∠∠1=∠2∠sin∠1=sin∠2∠OC OE =ABOA即：√5OE=2√5解得：OE=5．13．（1）解：作DE⊥BC于E AF⊥BC于F=35设AF=x海里由题意得BC=30×76∠∠BAF=45°,∠ACF=53°x∠BF=AF=x，FC=AF÷tan53°=34x=35∠x+34解得x=20x=15∠34∠AC=√AF2+CF2=25∠CD=AD−AC=75∠DE=CD⋅sin∠ECD=CD⋅sin53°=60答：AC的距离为25海里点D到直线BC的距离为60海里；（2）能理由如下：设1小时后海警船到达点G菲律宾渔船到达点H则DG=40CH=30由（1）知CE=CD⋅cos53°=45∠HE=CE−CH=15GE=DE−DG=20由勾股定理得：GH=√HE2+GE2=25故可以侦测到菲律宾渔船．14．解：如图由题意得AB⊥BD CD⊥BD∴∠BEA+∠BAE=90°∠ECD+∠DEC=90°∵∠MEN=90°∴∠BEA+∠DEC=90°∴∠BAE=∠DEC∴tan∠BAE=tan∠DEC即BEAB =CDED设AB=CD=x可得9x =x36解得x=18经检验x=18是原方程的解答：两栋楼的高度为18m．15．（1）解：如图所示：过点D作DH⊥FE于点H∠i=DHEH =√3∠设DH=xm EH=√3xm∠∠DHE=90°,DE=2.4m∠DH2+HE2=DE2∠x2+(√3x)2=2.42解得：x=±1.2（负值舍去）∠CF=DH=1.2m∠坡面DE的铅直高度为1.2m；（2）设AM=ym∠∠AMI=90°,∠AIM=45°∠∠MAI=45°∠∠MAI=∠AIM∠MI=AM=ym∠∠AHM=35°，∠AMH=90°∠tan35°=AMMH≈0.700∠yMH∠MH≈y0.7∠MH−MI=8.1−y=8.1∠y0.7∠y=18.9∠AM=18.9m∠AF=AM+MF=18.9+1.64=20.54(m)∠AC=AF−CF=20.54−1.2=19.34(m)．∠纪念碑的实际高度AC为19.34m．16．（1）解：如图2 过C作CM⊥AB垂足为M又过D作DN⊥AB垂足为N过C作CG⊥DN垂足为G则∠DCG=60°．则四边形CMNG为矩形CM=NG∵AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°∴∠A=∠B=30°AC=30cm．则在Rt△AMC中CM=12∵在Rt△CGD中sin∠DCG=DGCD=50cmCD=25√3(cm)．∴DG=CD⋅sin∠DCG=50⋅sin60°=50×√32又GN=CM=30cm前后车轮半径均为5cm∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5=25√3+30+5=(35+25√3)(cm)；（2）解：∵EF∥CG∥AB∴∠EFH=∠DCG=60°∵CD=50cm椅子的支点H到点C的距离为10cm DF=20cm∴FH=20cm如图2 过E作EQ⊥FH垂足为Q设FQ=x在Rt△EQF中∠EFH=60°∴EF=2FQ=2x EQ=√3x在Rt△EQH中∠EHD=45°∴HQ=EQ=√3x∵HQ+FQ=FH=20cm∴√3x+x=20解得x=10√3−10．∴EF=2(10√3−10)=20√3−20(cm)．答：坐板EF的宽度为(20√3−20)cm．17．（1）解：如图所示延长CD交AB于点F由题意得：CD=MN=132DF=BN∠AFD=90°CM=DN=BF=1.6设DF=x则CF=x+132在Rt△ADF中∠ADF=45°∴AF=x在Rt△ACF中∠ACE=30°tan30°=AFCF =xx+132≈0.58∴x≈182经检验x≈182是原方程的解且符合题意∴AB=AF+BF=182+1.6≈184米∴桥塔的高度约为184米（2）解：延长QG交AB于点M由题意可知QM⊥AB AB=184∵∠AQG=30°∠BQG=60°∠A=60°∠B=30°设AM=y则BM=184−ytan∠A=tan60°=QMAM≈1.73tan∠B=tan30°=QMBM≈0.58tan30°tan60°=AMBM=y184−y=0.581.73解得：y≈46.2∴QM=AM·tan60°=46.2×√3=80故Q处与AB的水平距离约为80米18．（1）解：∠sin30°=12sin60°=√32∠sin2α+sin2β=(12)2+(√32)2=1结论成立；（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac sinβ=bc且a2+b2=c2∠sin2α+sin2β=(ac )2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1故结论成立；（3）解：tanα=sinαcosα理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac cosα=bctanα=ab∠tanα=acbc=sinαcosα∠tanα=sinαcosα．19．（1）解：由题意可知：asinA =bsinB=csinC∠∠A=60°∠C=45°BC=30∠BC sin60°=ABsin45°即√32=√22∠AB=10√6故答案为：10√6．（2）解：如图：由题意可知∠APE=60°，∠BPF=45°AB∥EF AP=50海里asinA =bsinB=csinC∠∠A=∠APE=60°，∠B=∠BPF=45°∠BP sin60°=APsin45°即√32=√22∠BP=25√6∠B处与灯塔的距离为25√6海里故答案为：25√6．（3）解：如图：由题可知PA=50海里PC⊥AB∠∠EPC=∠FPC=90°∠∠APE=60°∠BPF=45°∠∠APC=30°∠bPC=45°∠∠APB=∠APC+∠BPC=75°在Rt△APC中AC=12PA=25海里PC=√32PA=25√3海里在Rt△BPC中BC=PC=25√3海里∠AB=AC+BC=(25+25√3)海里由前面定理可知：ABsin∠APB =PAsin∠B则25+25√3sin75°=50sin45°∠sin75°=25+25√350×√22=√2+√64∠75°的正弦值√2+√64．20．（1）解：①∵四边形ABCD为正方形BD AC是对角线∴∠PDB=∠QCB=∠DBC=45°∴∠QBC+∠DBQ=45°∵∠PBQ=45°∴∠PBD+∠DBQ=45°∴∠QBC=∠PBD∴△PDB∽△QCB；②∵四边形ABCD为正方形∴BC=DC∠BCD=90°∴BD=√BC2+DC2=√2BC∵△PDB∽△QCB∴DPCQ =BDBC=√2BCBC=√2；故答案为：√2；（2）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC OA=OD∠DAB=90°∴∠ACB=∠OAD=∠ODA=∠OBC∵∠PBQ=∠ACB∴∠PBQ=∠OBC∴∠PBD+∠DBQ=∠QBC+∠DBQ∴∠PBD=∠QBC ∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AB=12AD=5∴BD=√AB2+AD2=13∵BC=AD=5DP=3∴QC3=513∴QC=1513；（3）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为菱形AC BD是对角线∴AC⊥BD∴AO=OC=12AC=3∴BO=√BC2−OC2=√52−32=4∴tan∠DBC=OCOB =34∵tan∠PBQ=34∴∠DBC=∠PBQ∴∠DBQ+∠PBD=∠DBQ+∠QBC ∴∠PBD=∠QBC∵DH⊥BH AC⊥BD∴∠DBC+∠ACB=90°∵四边形ABCD为菱形BD是对角线∴∠ABD=∠CBD∴∠HDB=∠ACB∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AC=6∴OC=OA=12AC=3∵AB=BC=DC=5∴OB=OD=4即BD=8∵12AC⋅BD=AB⋅DH∴5DH=12×6×8∴DH=245∵PH=85∴DP=DH−PH=245−85=165∴165QC=85∴QC=2．。

北师大版九年级下三角函数应用题练习

北师大版九年级下三角函数应用题练习1．如图：6-5-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=____. 2．如图6-5-9，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _______米（精确到0.1米）图6-5-8 图6-5-93．如图6-5-10，在高离铁塔150米的A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.52米，则塔高BE=_______（精确到0.1米）图6-5-10 图6-5-114．某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30°，则坝高为_______ 米. 5．升国旗时，某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为_______ 米，（用含根号的式子表示）6．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方面再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为_______.7．若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m，则树高h的取值范围是（）A．3<h≤5 B、5<h<10 C.10<h<15 D.h>158．河堤的横断面如图6-5-11所示.堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米.那么斜坡AB的坡宽I是（）A．1：3 B、1：2.6 C.1:2.4 D.1:29.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角.房屋朝南的窗子高AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12），那么挡光板AC的宽度至少应为（）图6-5-12 图6-5-13A．1.8tan80°m B.1.8cos80°m C.m D.1.8cot80°m10.如图6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB 的坡角为45°，斜坡CD 的坡度 I=1：2，则坝底AD 的长为（）A ．42米B 、（30+24 ）米C 、78米D 、（30+8 ）米11、如图6-5-14，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为a,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）A ． B.C.sinaD.112、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定13、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=54，则AC=（） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 14、若∠A 是锐角，且sinA=31，则（）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<90015、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（）A 、74B 、31C 、21D 、016、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（）A 、1：1：2B 、1：1：2C 、1：1：3D 、1：1：2217、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB18．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=3219．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（）A ．（3，12）B ．（-3，12）C ．（-3，-12）D ．（-12，-32）20．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米21．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m21、如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米22、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（）．（A ）30海里（B ）40海里（C ）50海里（D ）60海里23、甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.24、从A 处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B 处,观测铁塔的顶部的仰角是 45°,求铁塔高.25、九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度3m CD =，标杆与旗杆的水平距离15m BD =，人的眼睛与地面的高度 1.6m EF =，人与标杆CD 的水平距离2m DF =，求旗杆AB 的高度．45︒30︒BA D C26、如图所示，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?28、公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠=︒QPN30，点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？N.。

北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的应用》同步练习2

《三角函数的应用》同步练习21. (10分)有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为23米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.2. (10分)如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).太阳光线B60︒DA 36︒C3. (10分)如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.NQAMP● 4. (10分) 如图，湖泊中央有一个建筑物AB ，某人在地面C 处测得其顶部A 的仰角为60°，然后自C 处沿BC 方向行100m 至D 点，又测得其顶部A 的仰角为30°，求建筑物AB 的高．(精确到0.01m ，3≈1.732)5. (12分)如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).6. (12分) 今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上．前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上．在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条航继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？(3≈1.73)7. (12分)以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°, 如图所示,问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?B30︒DA60︒C E8. (12分)如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.乙教学楼甲教学楼B30︒DAC南9. (12分)如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b 的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm 2,求α的度数.bα【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。