【精准解析】2021届高考数学一轮知能训练：第五章第2讲等差数列

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2021年高考数学一轮复习第五章第2讲知能训练轻松闯关

2021年高考数学一轮复习第五章第2讲知能训练轻松闯关1．(xx·高考重庆卷)在等差数列{a n}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( ) A．5 B．8C．10 D．14解析：选B.法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.2．(xx·潍坊质检)已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝( )A．1 B．2C．3 D.5 3解析：选B.在等差数列{a n}中，S3＝3（a1＋a3）2＝3（a1＋6）2＝12，解得a1＝2，又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d＝2.3．(xx·新乡许昌平顶山第二次调研)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，a3＝5，S k＋2－S k＝36，则k的值为( )A．8 B．7C．6 D．5解析：选A.设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得2d＝a3－a1＝4，得d＝2，所以a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.S k＋2－S k＝a k＋2＋a k＋1＝2(k＋2)－1＋2(k ＋1)－1＝4k＋4＝36，解得k＝8.4．已知函数f(x)＝2x，等差数列{a n}的公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)＝( )A．0 B．2－6C．2－2 D．－4解析：选B.依题意得a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝2－5×2＝－8，所以f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)＝2a1＋a2＋…＋a10＝2－6，故选B.5．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若S n≤S k对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为( )A．{5} B．{6}C．{5，6} D．{7}解析：选C.在等差数列{a n}中，由S10>0，S11＝0，得S 10＝10（a1＋a10）2>0⇒a1＋a10>0⇒a5＋a6>0，S 11＝11（a1＋a11）2＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{a n}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥S n，其中n∈N*，所以k＝5或6.6．(xx·高考北京卷)若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．解析：∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.∴数列的前8项和最大，即n＝8.答案：87．(xx·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n}为该等差数列，依题意得a1＋a n＝124＋1564＝70.∵S n＝210，S n ＝n（a1＋a n）2，∴210＝70n2，∴n＝6.答案：68．设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．解析：由a n＝2n－10(n∈N*)知{a n}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，a n≤0，当n>5时，a n>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.答案：1309．各项均为正数的数列{a n}满足a2n＝4S n－2a n－1(n∈N*)，其中S n为{a n}的前n项和．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a2n＝4S n－2a n－1，①a2n＋1＝4S n＋1－2a n＋1－1.②②－①得a2n＋1－a2n＝4a n＋1－2a n＋1＋2a n＝2(a n＋1＋a n)，即(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)＝2(a n＋1＋a n)．∵数列{a n}各项均为正数，∴a n＋1＋a n>0，a n＋1－a n＝2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n＝2n－1.10．(xx·南昌模拟)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝an－12a n－1＋1(n∈N*，n≥2)，数列{b n}满足关系式b n＝1an(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：∵b n＝1an，且a n＝an－12a n－1＋1，∴b n＋1＝1an＋1＝1an2a n＋1＝2a n＋1an，∴b n＋1－b n＝2a n＋1an－1an＝2.又b1＝1a1＝1，∴数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又b n＝1an，∴a n ＝1bn＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.1．已知函数y＝a n x2(a n≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2a n－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图象过点(2，8)，则a7的值为( )A.12B．7C．5 D．6解析：选C.由题意知y′＝2a n x，∴2a n＝2a n－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴a n－a n－1＝12.又n ＝1时其图象过点(2，8)，∴a 1×22＝8，得a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，a n ＝n 2＋32，得a 7＝5.2．(xx·高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn }是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题．3．(xx·东北三校联考)已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n ＋1＋a na n －1＝2，则a 12＝________．解析：∵a n a n ＋1＋a n a n －1＝2，∴1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝12，公差为1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 12＝16.答案：164．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 答案：19415．(xx·高考湖北卷)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.6．(选做题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．解：(1)证明：依题意，a 2＝9a 1＋10＝100，故a 2a 1＝10.当n ≥2时，a n ＋1＝9S n ＋10，a n ＝9S n －1＋10，两式相减得a n ＋1－a n ＝9a n ，即a n ＋1＝10a n ，a n ＋1a n＝10，故{a n }为等比数列，且a n ＝a 1q n －1＝10n (n ∈N *)， ∴lg a n ＝n .∴lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋1)－n ＝1，即{lg a n }是等差数列．(2)由(1)知，T n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝3－3n ＋1. (3)∵T n ＝3－3n ＋1， ∴当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为{0，1，2，3，4，5}．7f31468 7AEC 竬20306 4F52 佒Q23516 5BDC 寜22538 580A堊33339 823B 舻|r&TZJ25579 63EB 揫。

高三数学一轮复习5.2等差数列部分重点、考点知识、高考真题讲解及练习

项起是等差数列；
11）若数列
{an
}
是等差数列，前
n
项和为
S
n
，则
{
Sn n
}
也是等差数列，其首项和
{an
}
的首
1 项相同，公差是{an} 公差的 2 ；
12）若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x d , x, x d ；若四个数成等差数
列，则通常可设这四个数分别为 x 3d , x d , x d , x 3d ；
A． B． C． D．
【解答】解：∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5=5，S8=36，
t
∴
t
，
解得 a1=1，d=1，
∴an=1+（n﹣1）×1=n，
∴
=
=
，
∴数列
的前 n 项和为：
Sn= 故选：B．
=1﹣
．
13．（2018•齐齐哈尔一模）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3=3，S4=14．则 {an}的公差为（） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解答】解：设等差数列{an}的公差为 d，∵a3=3，S4=14． ∴a1+2d=3，4a1+ d=14，
∴数列{an}是首项为 24，公差为 2 的等差数列，
∴Sn=24n+
=﹣n2+25n=﹣（n﹣ ）2+ ．
∴要使此数列的前 n 项和 Sn 最大，则 n 的值为 12 或 13．
故选：C．
12．（2018•宣城二模）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5=5，S8=36，则数列的前 n 项和为（）
A．20 B．35 C．45 D．90 【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=

2021年高考数学一轮总复习 5-2 等差数列练习新人教A版

2021年高考数学一轮总复习 5-2 等差数列练习新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为( )A．1 B．2C．3 D．4解析a1＋a5＝2a3＝10，则a3＝5，所以d＝a4－a3＝7－5＝2.答案B2．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )A．58 B．88C．143 D．176解析方法1：S11＝a1＋a11×112＝a4＋a8×112＝88.方法2：S11＝11a6＝11×8＝88.答案B3．(xx·太原市测评)设等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，则下列结论正确的是( )A．S n＝na n－3n(n－1) B．S n＝na n＋3n(n－1)C．S n＝na n＋n(n－1) D．S n＝na n－n(n－1)解析设公差为d＝2，an＝a1＋(n－1)d，a1＝a n－2n＋2，S n ＝a 1＋a n n 2＝na n －n (n －1)，选D.答案 D4．(xx·石家庄质检)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析由S n －S n －3＝51得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10.答案 C5．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析 ∵⎩⎨⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎨⎧a 5>0，a 6<0.∴S n 的最大值为S 5. 答案 C6．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，Sm＝0，S m＋1＝3，则m＝( )A．3 B．4C．5 D．6解析由题意得a m＝S m－S m－1＝0－(－2)＝2，a m＋1＝S m＋1－S m＝3.由{a n}等差可得d＝a m＋1－a m＝1，由a m＝2，S m＝0得：a1＋(m－1)＝2，ma1＋m m－12＝0，解得a1＝－2，m＝5.故选C.答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101＝________.解析由2a n＋1＝2a n＋1，得a n＋1－a n＝12，故数列{a n}是首项为2，公差为12的等差数列，所以a101＝2＋100×12＝52.答案528．(xx·广东卷)在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.解析利用等差数列的性质可求解，∵a3＋a8＝10，∴3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.故填20.答案209．(xx·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n 的最小值为________．解析 {a n }是等差数列，由S 10＝0得a 1＋a 10＝0即2a 1＋9d ＝0；由S 15＝15a 8＝25，得a 8＝53，即a 1＋7d ＝53，解得a 1＝－3，d ＝23，此时nS n ＝n 33－10n 23，令f (x )＝x 33－10x 23，令f ′(x )＝x 2－203x ＝0得x ＝203；f (x )在x ＝203处取极小值，检验n ＝6时，6S 6＝－48；n ＝7时，7S 7＝－49.故nS n 的最小值是－49.答案－49三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(xx·全国大纲卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.11．(xx·浙江卷)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11. 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11 ＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.12．(xx·广东中山二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.(1)求S n的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使a n≥S n.解(1)设公差为d，则由S2 009＝0⇒2 009a1＋2 009×2 0082d＝0⇒a1＋1 004d＝0，d＝－11 004a1，a1＋a n＝2 009－n1 004a1，∴S n＝n2(a1＋a n)＝n2·2 009－n1 004a1＝a12 008(2 009n－n2)．∵a1<0，n∈N*，∴当n＝1 004或1 005时，S n取最小值1 0052a1.(2)a n＝1 005－n1 004a1，S n ≤a n⇔a12 008(2 009n－n2)≤1 005－n1 004a1.∵a1<0，∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，解得1≤n≤2 010.故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 010，n∈N*}．40181 9CF5 鳵e22490 57DA 埚Xt31867 7C7B 类7+iz 39904 9BE0 鯠22128 5670 噰34908 885C 衜-。

2021届新高考数学一轮：第五章第2讲等差数列

有
3.平常学习过程中，能通过题目
关知识解决相应的问题.
强化对基础知识的认识、理解和
4. 体会等差数列与一次函数应用，以便解决与其他章节有联
的关系
系的题目
1.等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母___d___表示.
考点 2 等差数列的基本性质及应用
例 2：(1)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝1，
S30＝5，则 S40＝( )
A.7
B.8
C.9
D.10
思维点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n 项和公式求S40；
4.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，则数列{an} 的前 9 项和等于____2_7___.
解析：∵当 n≥2 时，an＝an－1＋12，且 a2＝a1＋12， ∴{an}是以 1 为首项，12为公差的等差数列. ∴S9＝9×1＋9×2 8×12＝9＋18＝27.
考点 1 等差数列的基本运算
或 Sn＝na1＋nn2－1d.
5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数). 6.等差数列的常用性质 (1)若数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}，{pan}(p 是常数) 都是等差数列. (2)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq；特别地，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am＋an＝2ap.
第2讲等差数列

2021年高考数学第五章第2课时知能演练轻松闯关新人教A版(1)

2021年高考数学第五章第2课时知能演练轻松闯关新人教A 版一、选择题1．(2021·高考福建卷)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，那么数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(2021·高考辽宁卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，那么该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176解析：选＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.3．(2021·广州市调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，那么S 10－S 7的值是( ) A ．24 B ．48 C ．60D ．72解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝8S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48，应选B.4．已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1n 为奇数n n 为偶数，那么a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝( )A．4 800 B．4 900 C．5 000 D．5 100解析：选C.由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100 ＝2×49×2＋982＋100＝5 000.5．(2021·东北三校联考)等差数列{a n }中，S 15＞0，S 16＜0，那么使a n ＞0成立的n 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.依题意得S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，即a 8＞0；S 16＝16a 1＋a 162＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＜0，即a 8＋a 9＜0，a 9＜－a 8＜0.因此使a n ＞0成立的n 的最大值是8，应选C.二、填空题6．(2021·高考江西卷)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，假设a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，那么a 5＋b 5＝__________.解析：设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，那么c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.答案：357．在数列{a n }中，假设点(n ，a n )在通过点(5,3)的定直线l 上，那么数列{a n }的前9项和S 9＝________.解析：∵点(n ，a n )在定直线l 上， ∴数列{a n }为等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d . 将(5,3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5. ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.答案：278．(2021·南京模拟)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设S 3S 6＝13，那么S 6S 7＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，那么S 3S 6＝3a 1＋3d6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，因此S 6S 7＝6a 1＋15d7a 1＋21d ＝2735. 答案：2735三、解答题9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，那么a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，因此S k ＝ka 1＋k k －12·d ＝2k ＋k k －12×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，因此T n ＝n 2＋n ＋12＝n n ＋32.10．已知数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且知足a n＋2＋a n＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n是数列{|a n|}的前n项和，求S n.解：(1)由2a n＋1＝a n＋2＋a n可得{a n}是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0；n ≥6时，a n ＜0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n n ≤5，n 2－9n ＋40n ≥6.一、选择题1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且知足S 15＞0，S 16＜0，那么S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( )解析：选C.∵S 15＞0，∴a 1＋a 15＞0，即2a 8＞0，∴a 8＞0.又S 16＜0，∴a 1＋a 16＜0，∴a 8＋a 9＜0，∴a 9＜0，∴S 8最大，a 1＞a 2＞…＞a 8＞0＞a 9＞…，∴S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中，S 8a 8最大．2．(2021·滨州模拟)若是数列{a n }知足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，那么那个数列的第10项等于( )解析：选D.∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n，∴数列{1a n }是首项为12，公差为12的等差数列．∴1a 10＝12＋9×12＝5，∴a 10＝15. 二、填空题3．在等差数列{a n }中，知足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项的和，假设S n 取得最大值，那么n 等于________．解析：3a 4＝7a 7，∴3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， ∴a 1＝－334d >0，∴d <0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝d4(4n －37)，当n ≤9时，a n >0，n ≥10时，a n <0， ∴使S n 取得最大值时的n ＝9. 答案：94．(2021·江西省重点中学联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 412－S 39＝1，那么公差为__________．解析：依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案：6 三、解答题5．(2021·济南模拟)设同时知足条件：①b n＋b n＋22≤b n＋1(n∈N*)；②b n≤M(n∈N*，M是与n无关的常数)的无穷数列{b n}叫“特界”数列．(1)假设数列{a n}为等差数列，S n是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求S n；(2)判定(1)中的数列{S n}是不是为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋9n .(2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝S n ＋2－S n ＋1－S n ＋1－S n2＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1＜0，得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N *)，那么当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．。

高考数学一轮复习强化训练第五章数列第2讲等差数列

第2讲等差数列1.[命题点1/2021新高考卷Ⅱ]记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求使S n ＞a n 成立的n 的最小值.解析（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则由题意，得{a 1+2d =5a 1+10d ，（a 1＋d)(a 1+3d ）=4a 1+6d ，解得{a 1＝－4，d =2，所以a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2n －6.（2）解法一 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （2n －10）2＝n 2－5n ，则由n 2－5n ＞2n －6，整理得n 2－7n ＋6＞0，解得n ＜1或n ＞6. 因为n ∈N *，所以使S n ＞a n 成立的n 的最小值为7.解法二由S n ＞a n 得S n －1＞0（n ≥2），即（a 1＋a n －1)(n －1）2＞0，所以a 1＋a n －1＝2n －12＞0，解得n ＞6，所以n 的最小值为7.2.[命题点2/多选]两个等差数列{a n }和{b n }，其公差分别为d 1和d 2，其前n 项和分别为S n 和T n ，则下列说法正确的是（ AB ）A.若{√S n }为等差数列，则d 1＝2a 1B.若{S n ＋T n }为等差数列，则d 1＋d 2＝0C.若{a n b n }为等差数列，则d 1＝d 2＝0D.若b n ∈N *，则{a b n }也为等差数列，且公差为d 1＋d 2 解析由题意得S n ＝d 12n 2＋（a 1－d 12）n ，T n ＝d 22n 2＋（b 1－d22）n .若数列{√S n }为等差数列，则由等差数列通项公式的特征，可得a 1－d 12＝0，即d 1＝2a 1，所以选项A 正确；S n ＋T n ＝d 1＋d 22n 2＋（a 1＋b 1－d 12－d 22）n ，由等差数列通项公式的特征，可得d 1＋d 22＝0，即d 1＋d 2＝0，所以选项B 正确；当d 1＝0或d 2＝0时，数列{a n b n }为等差数列，所以选项C 错误；因为a n ＝a 1＋（n －1）d 1，b n ＝b 1＋（n －1）d 2，b n ∈N *，所以a b n ＝a b 1＋（n －1）d 2＝a 1＋[b 1＋（n －1）d 2－1]d 1＝（a 1＋b 1d 1－d 1）＋（n －1）d 1d 2，可知数列{a b n }是等差数列，且公差为d 1d 2，所以选项D 错误.故选AB.3.[命题点2/2021全国卷乙]记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n ＝2. （1）证明：数列{b n }是等差数列.（2）求{a n }的通项公式.解析（1）因为b n 是数列{S n }的前n 项积，所以当n ≥2时，S n ＝b n b n －1，代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n ＝2，整理可得2b n －1＋1＝2b n ，即b n －b n －1＝12（n ≥2）. 又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32，故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列. （2）由（1）可知，b n ＝n+22，则2S n ＋2n+2＝2，所以S n ＝n+2n+1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n+2n+1－n+1n ＝－1n （n+1）. 当n ＝1时，a 1＝32≠－11×2＝－12，故a n ＝{32，n =1，－1n （n+1），n ≥2.4.[命题点4]在等差数列{a n }中，若a 10a 9＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n ＞0成立的正整数n 的最大值是（ C ）A.15B.16C.17D.14 解析因为等差数列{a n }的前n 项和有最大值，所以等差数列{a n }为递减数列，又a 10a 9＜－1，所以a 9＞0，a 10＜0，所以a 9＋a 10＜0，所以S 18＝18（a 1＋a 18）2＝9（a 9＋a 10）＜0，且S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9＞0.故使得S n ＞0成立的正整数n 的最大值为17.。

高三数学一轮复习第五章第2课时知能演练轻松闯关新人教版

1．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34解析：选B.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝25a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263d ＝－43，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.2．(2011·高考大纲全国卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析：选 D.∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5. 3．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于________．解析：∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39,3a 6＝27，∴a 4＝13，a 6＝9，则S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 4＋a 6)＝92×(13＋9)＝99.答案：994．(2012·荆州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . 解：a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16.d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.174解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8×8－1d2＝304a 1＋4×4－1d2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14d ＝1，故a 4＝a 1＋3＝134，故选C.2．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 5＋a 6＝π4，则cos S 9的值为( )A.12B.22C ．－12D ．－22解析：选D.由等差数列的性质可知，a 4＋a 6＝2a 5，故a 5＝π12，所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝9π12＝3π4，所以cos S 9＝cos 3π4＝－22，故选D. 3．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋n (a ∈R)，则下列关于数列{a n }的说法正确的是( ) A ．{a n }一定是等差数列B ．{a n }从第二项开始构成等差数列C ．a ≠0时，{a n }是等差数列D ．不能确定其是否为等差数列解析：选A.由等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n n －1d 2＝(a 1－d 2)n ＋d 2n 2可知，该数列{a n }一定是等差数列．4．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( ) A ．9 B ．12 C ．16 D ．17解析：选A.S 4＝1，S 8－S 4＝3，而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列，即各项为1,3,5,7,9，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.故选A. 5．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( ) A ．11 B ．19 C ．20 D ．21解析：选B.∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19. 二、填空题6．(2011·高考湖南卷)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.解析：设等差数列的公差为d .由a 1＝1，a 4＝7，得3d ＝a 4－a 1＝6，故d ＝2，∴a 5＝9，S 5＝5a 1＋a 52＝25. 答案：257．(2011·高考广东卷)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9－S 4＝0，即a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0,5a 7＝0，故a 7＝0.而a k ＋a 4＝0，故k ＝10. 答案：108．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.解析：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴数列{a n }为等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d . 将(5,3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5.∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.答案：27 三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项和S 10＝185.求数列{a n }的通项公式a n . 解：设数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝8，S 10＝185，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝810a 1＋10×92d ＝185，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5d ＝3，所以a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2，即a n ＝3n ＋2.10．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k k －12·d ＝2k ＋k k －12×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n 2＋2n 2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n 2＋n ＋12＝n n ＋32.11．(2012·金华联考)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．解：(1)设公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，联立解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)1a n a n ＋1＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋2.∵T n ≤λa n ＋1，∴n2n＋2≤λ(n＋2)．∴λ≥n2n＋22.又n2n＋22＝12n＋4n＋4≤124＋4＝116.∴λ的最小值为116.。

2021届高考数学一轮知能训练第五章数列第2讲等差数列含解析

第2讲等差数列1．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若a2＋a5＋a8＝30，则下列一定为定值的是( ）A．S6 B．S7 C．S8 D．S92．（2014年天津）设{a n｝是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )A．2 B．－2C。

12D．－错误!3．(2017年新课标Ⅲ)等差数列｛a n}的首项为1，公差不为0。

若a2,a3，a6成等比数列,则数列{a n｝的前6项和为( ）A．－24 B．－3 C．3 D．84．(2019年陕西西安八校联考）设数列{a n}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6,S n是数列｛a n}的前n项和,则( ）A．S4<S3 B．S4＝S3C．S4>S1 D．S4＝S15．(2019年河南洛阳统考)设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且a1〉0，a3＋a10>0,a6a7〈0，则满足S n〉0的最大自然数n的值为( )A．6 B．7 C．12 D．136．已知数列｛a n}满足a n＋1－a n＝2，a1＝－5，则|a1｜＋|a2|＋…＋|a6｜＝( ）A．9 B．15 C．18 D．307．（多选)设{a n}是等差数列，S n为其前n项和,且S7<S8,S8＝S9>S10，则下列结论正确的是（）A．d〈0B．a9＝0C．S11>S7D．S8、S9均为S n的最大值8．（多选)已知两个等差数列｛a n｝和错误!的前n项和分别为S n和T n，且错误!＝错误!，则使得错误!为整数的正整数n的值为（)A．2 B．3 C．4 D．149．（2019年江苏)已知数列｛a n}（n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和．若a 2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．10．(2019年北京）设｛a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1）求｛a n}的通项公式；(2)记｛a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．11．（2018年新课标Ⅱ）记S n为等差数列｛a n｝的前n项和，已知a1＝－7,S3＝－15。

2021年高考数学一轮复习第五章第5讲知能训练轻松闯关

2021年高考数学一轮复习第五章第5讲知能训练轻松闯关1．(xx·山西省四校联考)设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n2，当a n为偶数时，3a n＋1，当a n为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎨⎧a n2，当a n为偶数时，3a n＋1，当a n为奇数时，注意递推的条件是a n(而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．(xx·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1a n，则b n ＋1＝2a 1a n+1，由于{2a 1 a n}是递减数列，则b n >b n＋1，即2 a 1 a n >2 a 1 a n+1 .∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0. 4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，则a n ＝( )A ．(n －2)·2nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝⎛⎭⎪⎫1－12n解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n ，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)．设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n ＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n －2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n ＝1时，上式成立，所以选A.5．(xx·湖南澧县一中等三校联考)在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等比数列，其公比为1q ，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q 3.又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即a 1（1－q n ）1－q ≤1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．(xx·高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：67．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2.再由答案：228．设S n是数列{a n}的前n项和，若S2nSn(n∈N*)是非零常数，则称数列{a n}为“和等比数列”．若数列{2b n}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n＝2·4n－1＝22n－1，bn ＝2n－1.设数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝n2，T2n＝4n2，所以T2nTn＝4，因此数列{b n}是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设b n＝log2a n，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项公式a n.解：(1)证明：∵b n＝log2a n，∴b n＋1－b n＝log2an＋1an＝log2q为常数，∴数列{b n}为等差数列且公差d＝log2q.(2)设数列{b n}的公差为d，∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2.∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0. ∴⎩⎨⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎨⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝16. ∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．(xx·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，所以，a1a2a3…a n＝2n（n＋1）2＝(2)n(n＋1)．故数列{b n}的通项公式为b n＝n(n＋1)(n∈N*)．(2)①由(1)知c n＝1an－1bn＝12n－⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1(n∈N*)，所以S n＝1n＋1－12n(n∈N*)．②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，c n＝1n（n＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n（n＋1）2n－1，而n（n＋1）2n－（n＋1）（n＋2）2n＋1＝（n＋1）（n－2）2n＋1>0，得n（n＋1）2n≤5×（5＋1）25<1，所以，当n≥5时，c n<0.综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k＝4.39408 99F0 駰30563 7763 督24758 60B6 悶[37622 92F6 鋶35390 8A3E 訾II358368BFC 诼#21186 52C2 勂34050 8502 蔂<.。

2025年高考数学一轮复习-5.2-等差数列【课件】

1.(2023·四川成都第二次诊断性检测)已知数列的前项和为 ,若 , ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由，得 ,即 ,所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故选C.
√
2.已知数列的前项和且 , ,则 ( )
第2项
差
等差中项
[提醒] 理解定义要注意三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.
2.等差数列的基本公式
（1）通项公式： ______________.
（2）前项和公式: ________.
3.等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和.
2.(2023·山东淄博模拟)已知数列 , 都是等差数列， , 分别是它们的前项和，并且 ,则 ___.
2
解析：因为 , 为等差数列，所以 .
核心考点师生共研
02
考点一等差数列的基本量运算（自主练透）
1.(2023·广东盐田高中模拟)设等差数列的前项和为，若，，则 ( )
5.2 等差数列
课标要求
考情分析
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前项和公式.3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数、二次函数的关系.
考点考法：以考查等差数列的通项、前项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点.本讲内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模
√
考点三等差数列的性质及应用（多维探究）

高考数学总复习第五章第2课时知能演练+轻松闯关文试题

【优化方案】2021年高考数学总复习第五章第2课时知能演练+轻松闯关文’创作人：历恰面日期： 2020年1月1日1．(2021·高考卷)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，那么S 5＝________.解析：设等差数列的公差为d .由a 1＝1，a 4＝7，得3d ＝a 4－a 1＝6，故d ＝2，∴a 5＝9，S 5＝5a 1＋a 52＝25.答案：252．在数列{a n }中，假设点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，那么数列{a n }的前9项和S 9＝________.解析：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴数列{a n }为等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d .将(5,3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5. ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.答案：273．数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4，∴a n ＝4n －2.那么b n ＝12a n －30＝2n －31. ①解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤02n ＋1－31≥0，得292≤n ≤312.∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }的前15项为负值，∴S 15最小，由①可知{b n }是以b 1＝－29为首项，d ＝2为公差的等差数列， ∴S 15＝15×－29＋2×15－312＝15×－60＋302＝－225.一、选择题1．(2021·高考卷)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，那么a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18d ，那么d ＝a 3－a 2＝2，因此a 10＝a 2＋8d ＝2＋2×8＝18.2．(2021·调研)假设数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋n (a ∈R )，那么以下关于数列{a n }的说法正确的选项是( )A ．{a n }一定是等差数列B ．{a n }从第二项开场构成等差数列C ．a ≠0时，{a n }是等差数列D ．不能确定其是否为等差数列n 项和公式S n ＝na 1＋n n －1d 2＝(a 1－d 2)n ＋d 2n 2可知，该数列{a n }一定是等差数列．3．(2021·高考大纲全国卷Ⅱ)假如等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35解析：选C.∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.4．等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，那么数列{ab n }是( ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8D ．等差数列且公差为9ab n ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ＋a 1－2＝2b 1＋2(n －1)×3＋a 1－2＝6n ＋a 1＋2b 1－8，故ab n ＋1－ab n ＝6，即数列{ab n }是等差数列且公差为6.应选B.5．数列{a n }为等差数列，假设a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，那么使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21解析：选B.∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19. 二、填空题6．(2021·高考卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，假设S 3＝3，S 6＝24，那么a 9＝________.解析：设等差数列公差为d ，那么S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，①S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.② 联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 答案：157．数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，那么数列的通项公式为________．解析：由a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，得1a n －1a n ＋1＝1，即1a n ＋1－1a n ＝－1，又1a 1＝－1，那么数列{1a n}是以－1为首项和公差的等差数列，于是1a n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴a n ＝－1n.答案：a n ＝－1n8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5T n ＝S n n2，假如存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，那么M 的最小值是________．解析：∵{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，可解得a 1＝1，d ＝4，从而S n ＝2n 2－n ，∴T n ＝2－1n，假设T n ≤M 对一切正整数n 恒成立，那么只需T n 的最大值≤M 即可．又T n ＝2－1n<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2.答案：2 三、解答题9．(2021·高考卷)等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，那么a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或者k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.10．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝(1＋i)(1－i)，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，n ∈N *，求S n 的解析式．解：(1)∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，n ∈N *， ∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，∴数列{a n }为等差数列．又∵a 1＝8，a 4＝(1＋i)(1－i)＝2，d ＝a 4－a 14－1＝－2.∴a n ＝8＋(－2)(n －1)＝－2n ＋10. (2)令a n ＝－2n ＋10＝0，那么有n ＝5.∴|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋10，n ≤5，2n －10， n ≥6.∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝8n ＋n n －12(－2)＝－n2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋(－a 6－a 7－…－a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2(－52＋9×5)－(－n 2＋9n )＝n 2－9n ＋40.综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.11．(探究选做)数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n a n ＋12，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解：(1)证明：S n ＝a n a n ＋12，n ∈N *，n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 1＋12，∴a 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n 2S n －1＝a 2n －1＋a n －1⇒2a n ＝2(S n －S n －1)＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)， ∴数列{a n }是等差数列． (2)由(1)得a n ＝n ，S n ＝n n ＋12，∴b n ＝12S n ＝1nn ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 创作人：历恰面日期： 2020年1月1日。

山东专用2021版高考数学一轮复习第五章数列第二讲等差数列及其前n项和学案含解析

第二讲等差数列及其前n项和ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一等差数列的有关概念（1）等差数列的定义如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的差等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公差__，通常用字母__d__表示，定义的表达式为__a n＋1－a n＝d__（n≥2)．（2)等差中项如果a,A，b成等差数列，那么__A__叫做a与b的等差中项且__A＝错误!__。

(3）通项公式如果等差数列｛a n｝的首项为a1，公差为d，那么通项公式为a n ＝__a1＋(n－1)d__＝a m＋(n－m）d(n，m∈N＊）．(4）前n项和公式:S n＝__na1＋错误!d__＝__错误!__.知识点二等差数列的性质已知数列｛a n｝是等差数列,S n是其前n项和．(1）若m 1＋m 2＋…＋m k ＝n 1＋n 2＋…＋n k ，则am 1＋am 2＋…＋am k ＝an 1＋an 2＋…＋an k .特别地，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝__a p ＋a q __。

（2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为__kd __.(3）数列S m ,S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(4){错误!｝为等差数列．(5)n 为奇数时，S n ＝na 中，S 奇＝__错误!__a 中, S 偶＝__错误!__a 中，∴S 奇－S 偶＝__a 中__.n 为偶数时，S 偶－S 奇＝nd 2. (6）数列{a n }，｛b n ｝是公差分别为d 1,d 2的等差数列，则数列{pa n ｝，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列（p ,q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.错误!错误!错误!错误!1．等差数列前n 项和公式的推证方法__倒序相加法__。

2021年高考数学一轮复习第五章第二节等差数列及其前n项和演练知能检测文

2021年高考数学一轮复习第五章第二节等差数列及其前n 项和演练知能检测文[全盘巩固]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝15，S 5＝55，则数列{a n }的公差是( )A.14B ．4C ．－4D ．－3 解析：选B ∵{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，a 3＝11，∴公差d ＝a 4－a 3＝4.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝9，S 6＝6a 1＋6×52d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2，则a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝3(a 1＋7d )＝45.3．(xx·辽宁高考)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D ∵{a n }是等差数列，∴设a n ＝a 1＋(n －1)d .∵d >0，∴{a n }是递增数列，故p 1是真命题；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n 的对称轴方程为n ＝－a 1－d 2d .当－a 1－d 2d >32时，由二次函数的对称性知a 1>2a 2，{na n }不是递增数列，p 2是假命题；a n n ＝d ＋a 1－dn，当a 1－d >0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递减数列，p 3是假命题；a n ＋3nd ＝4nd ＋a 1－d,4d >0，{a n ＋3nd }是递增数列，p 4是真命题．故p 1，p 4是真命题．4．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.用S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 解析：选B ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n ≥0且a n ＋1≤0，n ∈N *，则有n ＝20.5．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.94 B.32 C.53D ．4解析：选A 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝________.解析：a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 1＋77－1d2＝21d ，而a k ＝a 1＋(k －1)d ＝(k －1)d ，所以(k －1)d ＝21d ，d ≠0，故k ＝22. 答案：228．在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值为________．解析：∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，即a 1＋a 10×102＝30，a 1＋a 10＝6，∴a 5＋a 6＝6，∴a 5·a 6≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5＋a 622＝9.答案：99．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n >1且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n ＝________.解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：1010．设S n 是数列{a n }的前n 项和且n ∈N *，所有项a n >0，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34.(1)证明：{a n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n ＋2a n －3)－14(a 2n －1＋2a n －1－3)．∴4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1. 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)．∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. 11．已知公差大于零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项公式a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{}b n 是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c . 解：(1)∵数列{}a n 为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴通项公式a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，∴S n ＝na 1＋n n －12×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18，∴当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c.∵数列{}b n 是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.12．已知数列{a n }是等差数列，b n ＝a 2n －a 2n ＋1. (1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)若a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 26＝143－13k (k 为常数)，求数列{b n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，若数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在实数k ，使S n 当且仅当n ＝12时取得最大值？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：设{a n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a 2n ＋1－a 2n ＋2)－(a 2n －a 2n ＋1)＝2a 2n ＋1－(a n ＋1－d )2－(a n ＋1＋d )2＝－2d 2，∴数列{b n }是以－2d 2为公差的等差数列．(2)∵a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 26＝143－13k ，∴13d ＝13－13k ，∴d ＝1－k ，又13a 1＋1313－12×2d ＝130，∴a 1＝－2＋12k ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(－2＋12k )＋(n －1)(1－k )＝(1－k )n ＋13k －3，∴b n ＝a 2n －a 2n ＋1＝(a n ＋a n ＋1)(a n －a n ＋1)＝－2(1－k )2n ＋25k 2－30k ＋5. (3)存在满足题意的实数k .由题意可知，当且仅当n ＝12时S n 最大，则b 12>0，b 13<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－241－k 2＋25k 2－30k ＋5>0，－261－k 2＋25k 2－30k ＋5<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋18k －19>0，k 2－22k ＋21>0，解得k <－19或k >21.故k 的取值范围为(－∞，－19)∪(21，＋∞)．[冲击名校]1．已知数阵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31a 32 a 33中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22＝8，则这9个数的和为( )A ．16B ．32C ．36D ．72解析：选D 依题意得a 11＋a 12＋a 13＋a 21＋a 22＋a 23＋a 31＋a 32＋a 33＝3a 12＋3a 22＋3a 32＝9a 22＝72.2．(xx·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n的最小值为________．解析：由S n ＝na 1＋n n －12d ，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝0，15a 1＋105d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，则S n ＝－3n ＋n n －12·23＝13(n 2－10n )，所以nS n ＝13(n 3－10n 2)，令f (x )＝13(x 3－10x 2)，则f ′(x )＝x 2－203x ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x －203，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，203时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞时，f (x )单调递增，又6<203<7，f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以nS n 的最小值为－49. 答案：－49[高频滚动] 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋3n ，若a n ＋1a n ＋2＝80，则n 的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2解析：选A 由S n ＝－n 2＋3n ，可得a n ＝4－2n ，因此a n ＋1·a n ＋2＝[4－2(n ＋1)][4－2(n ＋2)]＝80，即n (n －1)＝20，解得n ＝－4(舍去)或n ＝5.2．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：6432605 7F5D 罝Y30011 753B 画<21443 53C3 參22782 58FE 壾34838 8816 蠖29033 7169 煩20996 5204 刄39665 9AF1 髱xP40111 9CAF 鲯。

山东2021新高考数学一轮复习第五章数列52等差数列学案含解析

山东2021新高考数学一轮复习第五童数列5.2等差数列学案含解析20XX年复习资料教学复习资料级:第二节等差数列2020考纲考情知识梳理知识点一等差数列与等差中项1. 定义(1) 文字语言：从第2项起,每一项与它的前一项的羞都等于回一个常数： (2) 符号语言：©口一如=〃(“丘2, 〃为常数).2. 等差中项：若三个数“，A,"组成等差数列，则&叫做“，b 的等差中项.知识点二等差数列的通项公式与前"项和公式1.通项公式：cin —tn + (n — 1 )d.I 2.s”3严品导.知识点三等差数列的性质1.在等差数列｛如中,tin =a m +(n —m)d(m , n^N*).2・已知等差数列｛⑷｝中，若加+“=p+g(〃“ n, p, gWNJ,则a n +a m =a p +a q ・课标要求考情分析1•理解等差数列的概念.2. 掌握等差数列的通项公式与前“项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4. 了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.1•本节是高考重点考查的内容，涉及等差数列的左义、等差中项、通项公式、前“项和公式及性质等内容.2.命题形式多种多样，一般以选择题或填空题的形式考查等差数列的基本运算与简单性质，解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.»ZHISHISHULI ZHENOUANZ )CE知帜締理诊斯自测3. 若｛"”｝是等差数列，公差为〃，则a*, ak+mt如2m，…伙，加EN")是公差为的等差数列.4. 若&为等差数列｛伽｝的前畀项和，则数列S加Sm-S叭S3加一S切…也是等差数列.1. 思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“ J ”或"X ”)(1) 等差数列｛4｝的单调性是由公差d决定的.(J )(2) 若｛血｝是等差数列，公差为〃，则数列｛知｝也是等差数列.(J )(3) 若｛如｝, ｛%｝都是等差数列，则数列｛皿”+也｝也是等差数列.(V )(4) 等差数列的前“项和公式是关于〃的二次函数，若一个数列的前“项和为二次函数，则该数列为等差数列.(X )解析：(1)因为在等差数列伽｝中，当公差d>0时，该数列是递增数列，当公差d<0时，该数列是递减数列，当公差〃二0时，该数列是常数数列，所以命题正确.(2) 因为｛“”｝是等差数列，公差为d,所以心”+1)-心“二3d(与»值无关的常数)，所以数列｛心”｝也是等差数列•(3) 设等差数列｛“"｝, ｛仇｝的公差分别为d\ , di ,则pein +1 + qhn + 1 - (pa,t + qbn) = p(dn+] -a n)+ q(b”+]・b…) = pd\ + qd?(与n值无关的常数),即数列｛pa. +血｝也是等差数列.(4) 由等差数列的前“项和公式可知，当公差dHO时等差数列的前n项和公式是关于"的二次函数，若一个数列的前“项和为二次函数，当常数项等于零时，该数列为等差数列，当常数项不等于零时，则该数列不是等差数列，所以命题错误.2. 小题热身(1) 在等差数列｛““｝中，“2=2, “3=4,则“io= 18.(2) 已知等差数列｛伽｝的前“项和为Sn，若“1 = 一5, S9=27,则公差d=2.⑶在等差数列｛"“｝中，若“3 + "4 + “5 + "6 + "7 =450,则"2 +"8= 180.(4) 在等差数列｛如｝中，S6=4, $8=24,则512=12.(5) 已知等差数列｛&｝中，1心1=1小1,公差d<0,则使数列心｝的前"项和S“取最大值的正整数"的值是5或6.解析：⑴等差数列｛““｝的公差〃二"3 - “2 二4-2 二2 , go二“2 + 8〃二2+ 8X2 二18.(2) 由等差数列的前n项和公式必一“ +p-〃，得27 = 9X(・5) + 寸・〃,解得d =2.(3) 由等差数列的性质得as + U4 + as + a6 + cij = 5as = 450 , .'.as = 90 , :.ai + as二2as = 180.(4) 由等差数列的性质可知S6 ,S|2 - s6, S,s - S|2成等差数列，所以2X(Si2 - 4)二4+ 24 ■S12 ,解得S12 = 12.(5) 设等差数列｛如｝的首项为a\,公差为(1,由1心1 = I的I ,得l"i + 2JI=k/i + &/I ,解得a\ 二-5〃或〃二0(舍去)，贝IJ尙+5d二a二0 ,心0 ,故使前〃项和必取最大值的正整数〃是5考点一等差数列的基本量运算【例1】(1)(2019-全国卷I )设必为等差数列｛為｝的前畀项和.已知S F O, “5=5, 则()A ・ a n =2n —5B ・為=3〃—10C ・ S,i=2/t 2^8nD ・ S n =^i 2—2n⑵(2019•全国卷川)记S “为等差数列S"｝的前H 项和.若“"0, “2 = 3®,则欝=【解析】(1)解法1:设等差数列｛如的公差为d,4X3 4“ 1 + --d = 0 f a\ + 4 J = 5 ,:.a n - a\ + (;J - 1 )d =・ 3 + 2(n - 1) = 2?? - 5 , n(n - 1)S n = nd} + — ------- d = n 2 - 4〃•故选 A.解法2 :设等差数列{心}的公差为d ,4X34a } += 0 f% = - 3 , 解得] 选项 A ,t/i=2Xl -5= - 3 ; [d = 2.选项 B ,5 = 3X1 - 10= -7 ,排除 B ; 选项 C , Si=2-8= -6 ,排除 C ;i3选项D二齐2二违，排除D •故选A ・(2)设等差数列伽｝的公差为d ,由a 2 = 3ai ,或 6.即 ci] + d 二 3t/i ,得 d 二 2ti \ ,所以* =10尙+5t/i+5><4» KAODtANVANJIU MiNGXIQUILV考点探究Bf]晰规律10X910“] +【答案】(DA (2)4方法技巧等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量5, d, “, S” 一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.叽变式训缓1. 在等差数列仏｝中，若S"为前”项和,2“7=血+5,则$］的值是(A ) A ・55B ・11C ・50D ・60解析：解法1 :设等差数列｛如的公差为d ,由题意可得2(m+6d)二山+7〃 + 5 ,得m + 5d 二5 ,则 S n = 1 k/i + U ^U \/= 1 lG/i + 5J) = 11 X5 = 55 ,故选 A.解法2 :设等差数列｛©｝的公差为d ,由加7二“8 + 5 ,得2("6 + d)二“6 + 2J + 5 ,得“6=5 ,所以 Sn = 11^6 = 55 ,故选 A.2. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问％得几何？ ”其意思为'‘已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？ ”( “钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得 ___________ 钱.(C )解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为a - 2d ,・〃，“，"+ d , " + 2〃，由题意可得:・ 2t/ + “ ・ d + " + a + d + “ + 2d 二 5 ,<// - 2d + a ・ d 二"+ “ + d + " + 2d ,1 4・・・这个问题中，甲所得为1・2X(为二*钱).故选C.5-3 4-3C3-2 5-4 B D1-6100考点二等差数列的判定与证明【例2】已知数列｛如｝的前"项和为S” "1 =扌，Sn=n 2a n —n(n — 1), n G N*.(1) 证明：数列'::字是等差数列：⑵求S”.【解】(1)证明:仙詁，S n = n 2a n - n(n - 1) , zzeN* ,・••当 H M2 时 f Un — Sn ~ Sn - \ >:.S n = n 2(S n -Sn-i)- n (H - 1), .•.(”2 - l)S,t = /»2S…. 1 + n(n - 1), n 2 - 1n 2Sn 二S n - 1 + 1 ,n(n - 1) n(n ・ 1)办+ 1n•I~~~Sn —Sn ・ I + 1 ・n"・1H + 1(2)由(1)知—S fl =l+(n- 1)X1 ,:.S n = n- ------ = -------/：+ 1 H+ 1方法技巧判断数列｛““｝是否为等差数列，通常有两种方法：①泄义法，证明g 一如、=孔&2, 〃为常数)，用泄义法证明等差数列时，常选用两个式子如或如一伽尸〃，但它们的意义不同,后者必须加上；②等差中项法，证明2心=如“+如2&2)・叽变式训绒4设数列｛如满足5 = 1,如1=4_么g NJ ・•••数列臥｝是首项为1,公差为1的等差数列・（1）求证：数列'土｝是等差数列：（2）设b…=—.求数列｛如的前n 项和Tn."加一14解：（1）证明:= --------- ,4 - a n1111・•・ ----- - ------- =—7 -------- ・ ------- Un 令 I ■ 2 Un ~ 2 ------- —— _ 2 如■ 24 - Un又 U} = 1 ,・•・一-—=-1 , a\ - 24〃a 2n + 1:.b n =——= ----------------1 2（2〃 - 1） 2n4/J 2"（2/J - 1）（2〃+ 1）（In ・ 1）（2〃+ 1）=1+孔2n ・ 1 2n+lJ f1人 1 1 1 1 1 I 1_A i••Tn = bi+ bi + b 3+ …+ b n -n + 2^ _ 亍 +3 _ 5 + 5 _ 7 ++2… _ i ' 2n + J = n + 2n+ ・2n+ 1，•数列｛射的前“项和T rt = n +—考点三等差数列的性质应用命题方向1等差数列项的性质【例3】（1）记&为等差数列｛血｝的前”项和.若如+厲=24, 56=48,则伽｝的公是以-1为首项，-g 为公差的等差数列.-1 +（7? - 1）n +1 T"差为()A・1 B・2C・4 D・8(2)在等差数列｛"“｝中，已矢口"3 + "8=10,则3"5 + "7=()A・10 B・18 C・20 D・28【解析】(1)设公差为d,贝lj "4 + U5 = U\+ 3〃 + E + 4d = 24 9 Sb6X5 2m + 7d二24 ①，二6山+宁〃二48，联立得［一〔6“1 + 15〃二48 ②，0X3 > ②得(21 ・ 15)d二24,6〃二24 ,所以〃二4.(2)因为"3 +偽二10，所以由等差数列的性质，得G5 + G6 = 10 ,所以3“5 + cii = 2as+ 2“6 — 20.【答案】(DC (2)C命题方向2等差数列和的性质【例4】⑴已知等差数列｛“”｝的前"项和为S”，S6=-5S3^0,则*=()A・18 B・13C・一13D・一18⑵等差数列｛""｝的前”?项和为S",若公差">0, (S8—S5)(S9-S5)<0,贝|J( )A・“7=0B・ k/7l=k/slC・1"71>皿1 D. k/7l<k/d(3)已知等差数列｛如｝的前n项和为S”如=9,才一寺=一4,则数列｛心｝的前n项和Sn = ___________ -【解析】⑴设S3二"，则S6二-5".•••｛“”｝为等差数列,, S6・S3 , S9・S6成等差数列.即"，-6“，S9 - S6 成等差数列，- S6 二-13", 即,二-18a ,燈二-18 ,故选 D.(2) •.公差d>Q ,又•••⑸-S00 - S5)<0,.•.S Q S S ,:.Ss<S5<S^),.•・么6 + "7 + 心<0 1 "6 + "7 + “8 + </9>0 ,・・.a?v0 , ay + t/s>0 . k/7l<^sl > 故选D.(3) 由等差数列｛如｝的性质知，｛存｝为等差数列，其首项为半二仝，公差/满足¥-¥二4(/'二-4, 解得/ = - 1 ,所以存二9 + (— 1)X(・ 1)二7+10, 所以S n= - n2 +10”.【答案】(1)D (2)D (3)-n2+10n方法技巧等差数列的性质(1) 项的性质：在等差数列｛"”｝中,m-\-n=p+q(m, n, p, gGN"),则如(2) 和的性质：在等差数列｛“”｝中，S"为其前"项和，贝IJ〔I)S2n = n(a1 + U2it)=…=” (““ + "卄I)：②S2/1 -1=(2“ —1 )u…:③Sn, Sx_Sn,S3" —S2/1, ••诚等差数列.d对点训缓1 .(方向1)已知数列｛如｝满足2如=如l+l如心22), "2 + "4 + "6= 12, “1 + “3+"5 = 9, 则"]+么6 = ( B )A・ 6 B・ 7 C. 8 D. 9解析：由题意知，数列｛"“｝是等差数列，将"2 +"4 +"6二12与a] + "3 +"5二9相加可得33+ “6)= 12 + 9 = 21 ,所以a\ +06 = 7 ,故选 B.2.(方向1)在等差数列｛/｝中,若ai+“9=8,则3+血尸一“5=( A )A・60 B・56 C・12 D・4解析:在等差数列中a\ + th) = U2 +心=2as = 8 f所以(“2 + “a)'・tc = 64 - 4 = 60 ,故选3. (方向2)已知等差数列仏｝, ｛鬧的前n项和分别为必,T沪若对于任意的自然数弘汁黯则^松=(A)考点四等差数列的最值【例5】已知数列｛“”｝是一个等差数列，且“2=1, “5=—5・(1) 求｛如｝的通项公式“”；(2) 求｛“”｝前”项和S n 的最大值.【解】 ⑴根据等差数列通项公式“”二5 + (— 1)〃变形有a… = a m + (n-m)d ,则公差 Un - Clm C15 - U2 -5-1d = -------- ,所以 d = ----------- = ------ 二.2 ,所以通项公式 a n = a 2 + (/? - 2)J= 1 + (n ・ 2)X (・n - m 5-2 5-22)= -2n + 5.n(n - 1) n(n - 1)(2)根据等差数列前H 项和公式Sn = Ml + —2—d 有Sn = 3" + —5—X ( -2)= -n 2 +4n ,配方得S…= - (n - 2尸+ 4 ,根据二次函数图象及性质可知，当n = 2时，前“项和取得最大值,最大值为4.方法技巧求等差数列前n 项和的最值的方法(1) 二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前”项和的最值，但要注意” GN*.(2) 图象法：利用二次函数图象的对称性来确定“的值，使S”取得最值.如鼻0,(3) 项的符号法：当心0, dvO 时，满足| “的项数小使久取最大值；当水0,Un ♦ 1 W0血WO,(/>0时，满足 .°的项数宀使必取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最 I 如&0 小，若有零项，则使&取最值的“有两个.叽变式训线(2019-北京卷)设｛如是等差数列，创=一10,且</2+10,心+8,心+6成等比数列.11（“] +6/11）解析: “3 + a\s a3 2tb ） cn 伽 + U3 a\ + aw------- + ------ = --- 二 --- + --- ;—= -------- = ------2（加 + 隔）bi + /?io 2（〃i+bii ） b\ + b\\ 2 _____ 5ii 11(仞+加)一几 2X11-3 4X11-3 IQ二计,故选A.(1) 求｛伽｝的通项公式：⑵记｛如｝的前”项和为S”，求S”的最小值. 解：(1)设｛如的公差为d.因为«1= - 10 ,所以U2 —・ 10 + d ,3 二・ 10 + 2J , "4 二-10 + 3d.因为“2 + 10 ,心+ 8,04 + 6成等比数列,所以(43 + 8)2 = (az + 10)3 + 6).所以(・2 + 2z/)2二〃(・4 + 3d)・解得d = 2.所以cin = ci\ + (n - 1 )d = 2// - 12.(2) 由⑴知,a n = 2n- 12.所以，当n^l时,a n>0 ;当nW6时，心00・所以，S,t的最小值为S5二So二-30.结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

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