信号与系统自测题(第3章连续时间信号与系统的频域分析)

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信号与系统不挂科-3-连续时间信号的频域分析

双边幅度谱为单边幅度谱幅度取一一半以后偶延拓拓（除直流分量量），直流分量量不不变。
双边相位谱为单边相位谱直接奇延拓拓。
例例题3-2 试作出例例3-1信号的双边频谱。
例例题3-3
一一周期信号为f
(t)
=
2
+
3
cos(t
−
π 6
)
+
sin(3t
−
π 6
)
−
2
cos(5t
−
π 3
)；
试分别作出此信号的单、双边幅度图和相频图。
*
F(
j
ω)]，f
3(t
)
↔
1 (2π)2
[F
(
jω)
*
F
(
jω)
*
F
(
jω)]。
例例题3-14
求g6(t)cos 5t的傅里里里叶变换。
时域微分性质
若f (t) ↔ F( jω)，则
df (t) dt
↔ jωF( jω)
dn f (t) dtn
↔ ( jω)nF(
jω)
时域积分性质
若f (t)
↔
t
「信号与系统不挂科」第三讲讲义
3.1.傅里叶级数与信号的频谱
3.1.1.傅里里里叶级数
三⻆角形式的傅里里里叶级数
周期为T的信号fT (t )满足足狄利利克雷雷条件，可展开为傅里里里叶级数：
fT (t )
=
a0 2
+∞
+ ∑ (an cos nΩt
n=1
+ bn sin nΩt)
其中Ω
=
2π T
称为基波⻆角频率，f

＜信号与系统学习指导＞第三章自测题(参考答案)

k =1
∞
∞
y (t ) = c0 + ∑ [ck cos(kω 0t ) + d k sin( kω 0t )]
k =1
求三角形式傅里叶级数的系数；（2）如 z (t ) = a0 + c0 + x(t)
∑
k =1
∞
[ck cos(kω 0t ) + d k sin( kω 0t )] ，求信号 z(t)。
y1 (t ) = ∑ a1k e jkω0t
k = −∞ ∞
t
-T
，则有 k≠0 时，
-4/T -T 图(b’)4/T
T
a1k =
Eω 0 T 4
π
Sa(kω 0
T E kπ E ) = Sa ( ) ， a10 = 2 4 2 2
设 y (t ) = ∑ a k e jkω0t ，则有 a k = a1k =
＜信号与系统学习指导＞ P69 第三章自测题
3.1 选择题（1）连续时间周期信号的傅里叶变换是（ C ） A．连续的； B. 周期性的； C. 离散的； D. 与非周期的相同（2）连续时间信号 x(t ) = [sin(100t ) / 50t ] cos(1000t ) ，该信号的频带为（ B ）；
2 0
（5）满足狄里赫利收敛条件时，傅里叶变换与原周期信号 x(t ) 之间（
C ）
A. 处处相等；
B. 只能保证傅里叶级数系数有界；
C. 除 x(t ) 不连续的 t 值外，处处相等； D. 处处不相等，但能量相同。
（6）满足傅里叶级数收敛条件时，周期信号 x(t ) 的平均功率（
D ）
A. 大于各谐波分量平均功率之和； B. 不等于各谐波分量平均功率之和； C. 小于各谐波分量平均功率之和； D. 等于各谐波分量平均功率之和。

信号与系统第3章习题答案

第3章傅里叶变换与连续系统的频域分析3.1 证明函数集{}0cos ,0,1,2,n t n ω=在区间()00,2πω内是正交函数集。

证明: 对任意的自然数n,m (n ≠m),有220000011cos cos [cos()+cos()]22n t m tdt n m t n m t dt ππωωωωωω=+-⎰⎰=0证毕 3.2 一个由正弦信号合成的信号由下面的等式给出：()10cos(800)7cos(1200)5cos(1600)43x t t t t πππππ=++-- （1）画出这个信号的频谱图，表明每个频率成分的复数值。

对于每个频率的复振幅，将其实部和虚部分开或者将其幅度和相位分开来画。

（2）()x t 是周期信号吗？如果是，周期是什么？（提示：按照最小公倍数计算）（3）现在考虑一个新的信号：()()5cos(1000)2y t x t t ππ=++，请问，频谱如何变化？()y t 是周期信号吗？如果是，周期是什么？解：（1）频谱图如下ωX(j ω) 05107 800π 1600π1200π107 -5振幅图（2）()x t 三项都是周期信号，周期分别为1/400、1/600、1/800，所以()x t 是周期信号，周期为为1/400、1/600、1/800的最小公倍数为1/200。

（3）根据频谱的分析()y t 比()x t 多了一个频谱分量，频率为1/500，所以()y t 还是周期信号，周期为1/200和1/500的最小公倍数1/100。

3.3 求下列每个信号的傅里叶级数表示式。

（1）200j te；（2）(1)cos 4t π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）cos 4sin 8t t +；（4）()x t 是周期为2的周期信号，且(),11t x t e t -=-<<（5）()x t ，如题图3.3所示。

题图3.3（6）()x t 是周期为4的周期信号，且sin 02()024t t x t t π≤≤⎧=⎨≤≤⎩（7）2sin tω)(ωϕ800π1200π4π-3π相位图解（1）该信号为虚指数信号，自身就是指数级数，频0200ω=，周期100T π=三角级数为200cos(200)sin(200)j t e t j t =+ （2）基频04πω=，周期8T = 三角级数(1)2cos cos sin 4244t t t πππ-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦指数级数44444422()cos sin 24422222(1)(1)44t t t tj j j j t tj j t t e e j e e j e j e ππππππππ---⎡⎤⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦=-++ （3）自身为三角级数cos 4sin 8t t +，基频04ω=，周期2T π=指数级数44888448()cos 4sin8222222j t j t j t j t j t j t j t j t e e j e e je e e je t t -----+-+=+=++-（4）周期T=2；基频0ωπ=11011 1.17522t e e a e dt ----===⎰11212(1)()cos()21()n t n e e a e n t dt n ππ----+==+⎰ 11212()(1)sin()21()n t n e e n b e n t dt n πππ-----==+⎰ 三角级数：1() 1.175[cos()sin()]nn n x t an t b n t ππ∞-=++∑1(1)11111(1)()22(1)2(1)jn jn k t jn t n e e e e F e e dt jn jn πππππ+-+-------===++⎰ 指数级数：11(1)()()2(1)k jntjn tnn n e e x t F ee jn ππ-∞∞=-∞=-∞--==+∑∑（5）由图可知，周期T=2；基频0ωπ=，且该信号为奇信号00n a a ==11022sin()(1)n n b t n t dt n ππ-==-⎰三角级数：111122(1)()(1)sin()sin()n n n n x t n t n t n n ππππ-∞∞-==-=-=∑∑111(1)2n n n F jb n π-=-=- 指数级数：11()(1)jntn jn t n n n x t F ee n ππ∞∞-=-∞=-∞==-∑∑ （6）周期T=4；基频02πω=2001sin()04a t dt π==⎰ 21sin()cos(/2)2n a t n t dt ππ==⎰⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n 0n ,)n 4(42π201sin()sin(/2)2n b t n t dt ππ==⎰0 三角级数：11()[cos(/2)n n x t a n t ππ∞==+∑/22/2202sin(/2)21sin()(4)402jn jn t n j n e n F t e dt n n πππππ--⎧≠±⎪==-⎨⎪=±⎩⎰指数级数： ()jntnn x t F e∞=-∞=∑（7）21cos(2)sin 2t t -=2211()24j tj t e e -=-+三角级数为0211,22a a ==-，其他系数为0 指数级数: x(t)=2211()24j tj t e e --+ 3.4 给定周期方波()x t 如图题图3.4所示，求该信号的傅里叶级数（包括三角形式和指数形式）。

信号与系统-003第三章连续信号与系统的频域分析

3
5
4 sin(2n 1)t 0 t T
n1 2n 1
说明：非周期信号通过周期延拓也可展开成傅里叶级数，但在结果中应标明t的取值范围。
当n→∞时正交函数集完备，谐波分量无限多，均方误差为0；
§3.1 信号的正交分解与傅里叶级数
一、三角傅里叶级数
f
t
a0 2
n1
(an
cos nt
解：
f1
t
a0 2
n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)
T
a0
2 T
T 0
f
(t)dt
2
2
[
dt
T
dt]
0
T0
T
2
T
an
2T
T0
f
(t) cos ntdt
22 [
cos ntdt
T
cos ntdt]
T0
T
0
2
2
bn T
T
f (t)sin ntdt
0
2[
T
2 sin ntdt
n 1
二、指数傅里叶级数
当所取函数无穷多个时，指数函数集{e jnt , n为任意整数}也是一个完备的正交函数集
周期为T的任意函数f(t)可以展开成指数傅里叶级数。
f (t) C0 C1e jt C2e j2t Cne jnt C1e jt C2e j2t Cne jnt
n 0, 1, 2,....
1 2
n
•
An
e jnt
称为：n次谐波分量的复数振幅
f (t) Cne jnt
n

连续时间信号与系统的频域分析报告

连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。

本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。

2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。

傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。

具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。

3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。

频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。

通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。

系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。

4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。

通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。

常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。

5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。

通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。

6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。

通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。

进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。

7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。

频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。

总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。

频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。

信号与系统-第三章连续信号与系统的频域分析

T 2 T 2
f (t )e
jn0t

1 dt T

2

2
Ae jn0t dt
Ae T jn0
jn 0t

2

2
n0 n0 sin( ) sin( ) 2A A 2 2 n0 T n 0 T 2
sin x 令 Sa ( x) 称为抽样函数或取样函数 x

n 1,2,
2 bn f (t ) sin n 0 tdt n 1,2, 《信号与系统》 SIGNALS AND SYSTEMS 返回 T T
ZB
2 0 为基波频率，n0为谐波频率，an 和bn为傅里叶系数， T

[]dt表示从任意起始点开始，取一个周期 T为积分区间。
A cos(n t )
n 0 n n 1

n

Fn e jn0t
n

Fn e j ( n 0t n )
说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅里叶系数 An或 Fn 反映了不同谐波分量的幅度， n 或 n 反映了不同谐波分量的相位。频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域角度反映了该信号携带的全部信息。返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB

4A n 0 2A n 0 sin( ) sin( ) n 0T 2 n 2
f (t )
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
A T
n 1

2A n sin( 0 ) cosn 0t n 2

信号与系统第三章习题答案

d (t - 1) « e- jw
\ e-2( t -1)d (t - 1) « e- jw
(8) U (t ) - U (t - 3) Q 根据傅里叶变换的线性性质可得： 1 U (t ) « p d (w ) + jw 1 U (t - 3) « e - j 3w (p d (w ) + ) jw \ U (t ) - U (t - 3) « ( 1- e - j 3w )(p d (w ) + 1 ) jw
U (t - 1) « e - jw (pd (w ) +
t 1 U ( - 1) « 2e - j 2w (pd (2w ) + ) 2 j 2w Q d (aw ) = 1 d (w ) a
\ 2e- j 2wpd (2w ) = 2pd (2w )w =0 = pd (w ) \ 2e - j 2w (pd (2w ) +
e - jtd (t - 2 ) « e - j 2(w +1)
(6) e -2( t -1)d (t - 1) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 可得： e -2( t -1)d (t - 1) = d (t - 1) d (t ) « 1 (t = 1)
d F ( jw ) - 2 F ( jw ) dw
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t ) y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
（1）求系统的频率响应 H（jw）和冲激响应 h（t）；（2）若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，求系统的零状态响应 y f (t ) 。解：方程 1：

信号与系统第3章选择题

6. 下列有关傅里叶变化计算错误的是（）。
A. ��(�� − 2��) = �� 2�� 2��
第三章连续时间信号和系统的频域表示与分析
选择题（答案+解析）
1. 周期信号的傅里叶级数的两种表示形式是（）。
A. 三角函数，反三角函数
B. 三角函数，指数
C. 指数，幂函数
D. 指数，对数
解析：B 周期信号的傅里叶级数有三角函数形式和指数形式。
2. 关于欧拉公式正确的是（）。（多选）
A.
cos(��0��)
C. ��″ + 3��′ + 2 = ��′ + 2��
D. ��″ − 3��′ + 2 = ��′ + 2��
解析：C 考察频响函数与微分方程间的转化。
B.
2 ��
�2
−
��−��
−
��−2��
C.
1 ��
�2
+
��−��

信号与系统第三章习题答案

T 0
−
T 0
e−
jnω0t dt
( ) =
1 − jnω0T
e− jnω0T
+
1 jnω0T
+
1 jnω0T 2
Te
−
jnω0
T
−1 − jnω0
e− jnω0t T 0
=
1 jnω0T
+
1 j2 n 2ω02T 2
e− jnω0T
−1 =
1 j2nπ
+
1 n 2π
2
1−
e− j2 nπ
=1 j2 nπ
n = ±1, ±2,L
∫ ∫ F0
=
1 T
T f (t ) dt = 1
0
T
T 0
1−
1 T
t
dt
=
1 2
该信号的指数型傅里叶级数为
( ) ∑∞
ft =
1 e jnω0t
n=−∞ j 2nπ
98
其频谱图如图３．２（ｂ）所示。
（２）由图３．１（ｂ）可知，其周期为T = 2π ，其频ω0 = 1，信号的解析式为：
2πn
100
即
bn
=
−
2E nπ
n为奇数
0
n为偶数
故得信号的傅里叶级数展开式为
f
(t )
=
−
2E π
sin
ω0t
+
1 sin 3
3ω 0t
+
1 sin 5
5ω 0t
+
L
+
1 n
sin
nω0 t
+

信号与系统自测题(第3章参考答案)

《信号与系统》自测题第3章连续时间信号与系统的的频域分析一、填空题1、周期信号的傅里叶级数的两种表示形式是三角函数形式和指数形式。

2、信号的频谱包括两部分，他们分别是幅度谱和相位谱。

3、从信号频谱的连续性和离散型来考虑，非周期信号的频谱是连续的。

4、周期信号的频谱是离散的。

5、时域为1的信号傅里叶变换是2()πδω。

6、已知()x t 的傅里叶变换为()X j ω，则1()(3)x t x t =的傅里叶变换为 1()33X j ω 7、频谱函数1()[(2)(2)]2F u u ωωω=+--的原函数()f t =1(2)Sa t π。

8、频谱函数()(2)(2)F ωδωδω=-++的傅里叶反变换()f t =cos(2)t π。

9、已知()f t 的频谱函数为()F j ω，则函数0()j t df t e dtω-的频谱函数为0()j F ωωω+。

10、若()f t 的频谱函数为()F j ω，则0()j t f t e ω-的傅里叶变换为0()F ωω+，()df t dt 的傅里叶变换为()j F ωω。

11、()t δ的傅里叶变换是 1 。

12、已知()x t 的傅里叶变换为()X j ω，则1()()3y t x t =的傅里叶变换为3(3)X j ω 。

13、常见的滤波器有低通、高通和帯通。

14、对带宽为20kHz 的信号()f t 进行抽样，其奈奎斯特间隔N T = 25 s μ；信号(2)f t 的带宽为 40 kHz ，其奈奎斯特频率N f = 80 kHz 。

15、人的声音频率为3003400Hz ，若对其无失真采样，则最低采样频率应为6800Hz 。

16、对频带为020kHz 的信号进行抽样，最低抽样频率为40kHz 。

17、无失真传输系统的频率响应函数为0()j t H j Keωω-=。

二、单项选择题1、狄里赫利条件是傅里叶级数存在的（ B ）。

信号与系统：第三章连续信号频域分析

一.周期信号傅立叶级数展开
1. 三角形式傅立叶级数
cos(nt),sin(nt), n 0,1,... 在( t0，t0 +T )为完备正交函数集。
对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成：
f (t) a0 an cos nt bn sin nt n1
2
（基频）
T
则在 ( t1，t2)上任意函数 f(t)可用表示为：
f(t) C1f1(t) C2f2(t)Ckfk(t) Cnfn(t)
其中
Ck
t2 t1
f (t)
f k (t)dt
t2
f
2
k (t) dt
t1
（傅立叶系数）
定理2. 若f(t)可用完备正交函数集{ f1(t) ，…， fn(t) }表示，则
可见，周期信号可分解为直流，基波和各次谐波的线性组合。
6
例题求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。
已知： f (t) A t T0
,
T0 / 2 t T0 / 2
解：
1 T0 A
a0 T0
2 T0
2
T0
tdt
0
an
2 To
To /2 A f (t) cos ntdt T To / 2 o
对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成：
f (t)
Fne jnt
n
其中： Fn
T
0 T
f e
(t )e e jnt
jnt dt jnt dt
1 T
0
T f (t)e jnt dt
0
F0 A0
Fn

信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析

实验三连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义;2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用;3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义;4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。

基本要求:掌握LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB 描述方法,深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB 计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。

二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性,也称为频率响应特性,简称频率响应(Frequency response),就是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。

上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(t h t x t y =,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:)()()(ωωωj H j X j Y =3、1或者: )()()(ωωωj X j Y j H =3、2)(ωj H 为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。

即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3、3由于H(j ω)实际上就是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换,如果h(t)就是收敛的,或者说就是绝对可积(Absolutly integrabel)的话,那么H(j ω)一定存在,而且H(j ω)通常就是复数,因此,也可以表示成复数的不同表达形式。

在研究系统的频率响应时,更多的就是把它表示成极坐标形式:)()()(ωϕωωj ej H j H = 3、4上式中,)j (ωH 称为幅度频率相应(Magnitude response),反映信号经过系统之后,信号各频率分量的幅度发生变化的情况,)(ωϕ称为相位特性(Phase response),反映信号经过系统后,信号各频率分量在相位上发生变换的情况。

信号与系统第3章连续信号与系统的频域分析习题答案

第!章!连续信号与系统的频域分析习题三详解!!"!证明题图!!"所示矩形函数"!#"与##$%$#"$为整数$在区间!&%’!"上正交&题图!!"证!因为#’!&"!#"#$%$#(#%#!&#$%$#(#&#’!!#$%$#(#%&所以"!#"与##$%$#’$为整数$在区间!&%’!"上正交&!!#!设"!#"的正交展开式为"!#"%$()%&*)+)!#"试证明"!#"和#*&%*"%*’%’%*$$是一一对应关系&证!因为"!#"%$()%&*)+)!#"%*&+&!#",*"+"!#",’,*)+)!#",’,*(+(!#"而#+)!#"$为正交函数集%故有##’#""!#"+)!#"(#%##’#"*&+&!#"+)!#"(#,##’#"*"+"!#"+)!#"(#,’!,##’#"*)+’)!#"(#,’,##’#"*(+(!#"+)!#"(#%*)##’#"+’)!#"(#即*)%##’#""!#"+)!#"(###’#"+’)!#"(#故"!#"与#*&%*"%’%*($一一对应&()*(!!!!设!)!#"%"!!!)&""%#%)&!!#其他试问函数组#!"!#"%!’!#"%!!!#"%!*!#"$在!&%*"区间上是否为正交函数组%是否为归一化正交函数组%是否为完备正交函数组%并用它们的线性组合精确地表示题图!!’所示函数"!#"&解!据!)!#"的定义式可知!"!#"%!’!#"%!!!#"%!*!#"的波形分别如题解图!!!"所示&题图!!’题解图!!!"!!不难得到#*&!)!#")!-!#"(#%&)&-")%#-!!可知在!&%*"区间!)!#"为归一化正交函数集&从而有"!#"%!"!#",&!+!’!#","!+!!!#",’!*!#"!!!!$!证明下列函数集在#&%#&,’!"!"&区间上是正交函数集%#&为任意一个正实数&!""##$%$"&#%%-.$"&#"$/&%0"%0’%’$*!’"#12$"&#"$/&%0"%0’%’$&证!!""略&!’"因为##&,’!"&#&12$"&#!12."&#"’(#%##&,’!"&#&12!$&.""&#(#%&.&$’!"&.%()*$故该函数集在#&%#&,’!"!"&区间上是正交函数集&(3*(!!%!试求题图!!!所示信号的三角型傅里叶级数展开式%并画出频谱图&题图!!!解!!/"因为/&%’0#&&0’1(#%1/$%’0#&&0’1#$%$##(#%&2$%’0#&&0’1%-.$##(#!!!#%’!0"%’10&#$%$##$!"#&&0’%&’1$!$为奇数&’1!’$&""!!$%"%’%!()*%’"所以"!#"%1’&$4$%"’1!!’$&""%-.’!0!’$&""+,#!2"因为/&%’#0*&0*1(#%1/$%’0#0*&0*1#$%$##(#!!!#%’!0"%’10%-.$##$#0*&0*%’1$!%-.$!!"’%’1$!$%"%+%5%’&’1$!$%!%)%""()*%’%&’1!!’$&""!&""$!!$%"%’%!%’2$%&所以"!#"%"’1&$4$%"’1!!’$&""!&""$#$%’!!’$&""0!"#(5*(!!&!试求题图!!*所示周期信号的指数型傅里叶级数系数3$%并画出其幅度谱&题图!!*解!!/"3$%"#0’&1%-.’!0#1&2$’!0#(#%10#0’&12’!#&1&2’!#’2)1&2$’!0#(#%1’20#0’&12!"&$"’!0#&1&2!",$"’!!"#(#%1’20!12!"&$"’!0#!2!"&$"’!0&!1&2!",$"’!0#!&2!",$"’!+,-.00’&%112!"&$"!&"&*!!"&$"&1&2!",$"!&"*!!",$+,"%1!!"&$’"%$%&%4’%4*%’&%$为奇数%且’$’&"&"*2$1%$%4()*"!!!2"解法类似!/"%略%结果如下-3$%’1!!"&$’"%$为偶数&%$()*为奇数(&+(!!!*"3$%"0##&,$’#&&$’11&2$’!0#(#%101&2$’!"&#&2$’!"&#&,$’#&&$’!!!"&%"0"%11&2$’!"&!#&&$’"&1&2$’!"&!#&,$’"2’!$%11&2’!$"&#&)12$!"&$&1&2$!"&$2’$!%1$067!$!"&$"1&2’$!"&#&!5"!略"!!’!!略"!!(!设"!#"是满足以下两个条件的周期信号-条件"-"!#"/8"!8#"*条件’-"#00!"’/8"!#"&试证明"!#"中只含有奇次谐波的正弦分量&证!因为"!#"/8"!8#"所以"!#"为奇函数%即/&/&%/$/&&"!#"中仅有2$项%即"!#"中只含正弦分量%有2$%’#&&0’"!#"%-.$##(#,’0#’&"!#"%-.$##(#!!!#%’!0"上式第一项中用#,0’代换#%可得2$%’#0’&"#,0!"’%-.$##,0!"’(#,’#0’&"!#"%-.$##(#!!根据条件’%有2$%’#0’&&"!#"%-.!$##,$!"(#,’0#0’&"!#"%-.$##(#%*0#’&"!#"%-.$##(#%$为奇数&%$()*为偶数故"!#"中只含有奇次谐波的正弦分量&!!)!设周期信号"!#"的指数型傅里叶级数系数为3$%试证明("!#"(#的指数型傅里叶级数系数为2$"&3$式中"&/’!!"&("+(证!因为"!#"的傅里叶级数系数为3$%所以"!#"%$4$%&43$12$"&#%!!"&%’!0上式两端对#求导%有("!#"(#%$4$%&42$"&3$12$"&#故("!#"(#的指数型傅里叶级数系数为2$"&3$&!!"*!设有一周期信号"!#"%其基波频率为"&/’!%且"!#"的指数型傅里叶级数为"!#"%$!$%&!3$12$’!#这里%3&/"*30"/".**30’/".’*30!/".!&试写出"!#"的三角型傅里叶级数表达式&解!因为"!#"%$!$%&!3$12$##%$!$%&!3$12$’!#!!!#%"&%’!"%3&,$!$%"’’3$’#$%!$##,%$"而3$/"3$"12%$"3&"/"%"30""/"*%"30’"/"’%"30!"/"!%"/%’/%!/&所以"!#"%","*6’#$%’!#,"’6’#$%*!#,"!6’#$%9!#%","’#$%’!#,#$%*!#,’!#$%9!#!!!!""!求题图!!9所示信号的傅里叶变换&题图!!9解!3!2""%#4&4"!#"1&2"#(#%#"&’1&2"#(#,#’"1&2"#(#%"&2"’1&2"#’"&,1&2"#’+,’"%&"2"1&2"’,1&2"&+,’(’+(!!!!"#!求题图!!)所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换&题图!!)解!!/""!#"/’10#80’/#/0’&()*其余!!3!2""%#’&0’’10#1&2"#(#%’10)"&2"#0’&0’#(1&2"!"#%2’1"0#1&2"#0’&0’&#0’&0’1&2"#(+,#%2’1"00’1&2"0’,12"0!"’&"&2"1&2"#0’&0+,’%2’1"00#$%"0’,"2"1&2"0’&12"0!"+,’%2’1"#$%"0’&67"0!"+,’!!!"&&"当"%&时%3!2""%#’&0’’1#(#%&!2"!略"!*""!#"%1%-."&#%&/#/0!!!"&%’!0"&%()*其余!!3!2""%#0&1%-."&#1&2"#(#%1’2#0&1&2!"&"&"#&1&2!","&"+,#(#%1’2"&2!"&"&"1&2!"&"&"0&!"","2!","&"1&2!","&"0&!"+,"%1’""&"&1&2!"&"&"0&!""&"","&1&2!","&"0&!"+,"%1’!"’&"’&"!","&"1&2!"&"&"0&!"&"&"1&2!","&"0&’"+,&%1’!"’&"’&""12"&0&1&2"&!"0,"&12"&0,1&2"&!"+,01&2"0&’"#$&%1"&"’&"’&1&2"0&+,"!!!"&"&%’!0"(!+(当"%"&%’!0时%!!3!2""%#&1%-."&#1&2"&#(#%#0&1%-."&##$%"&#&2%-."&+,#(#%1#0&"’%-.’"&#&2"’!"&#$%’"&#+,"(#%10’2因此3!2""%1"&"’&"’&!1&2"0&"""&"&%’!010’2"%"&%’!()*0!5"!略"!!"!!试用"!#"的傅里叶变换3!2""表示如下函数的傅里叶变换-!""#"!’#"*!’"!#&’""!#"*!!"!#&’""!&’#"*!*"#("!#"(#*!+"!"&#""!"&#"&解!!"""!#"%#"!’#"因为"!’#"0"’32"!"’所以#"!’#"02’(32"!"’("%2*(3!2""("!’""!#"%!#&’""!#"#"!#"02(3!2""("%!’"!#"0’3!2""因此!#&’""!#"02(3!2""("&’3!2""!!""!#"%!#&’""!&’#"因为"!&’#"0"’3&2"!"’#"!&’#"02’(3&2"!"’("%&2*(3!2""("&’"!&’#"0&3&2"!"’所以!#&’""!&’#"0&2*(3!2""("&3&2"!"’!*""!#"%#("!#"(#因为("!#"(#02"3!2""(*+(所以#("!#"(#02+2"3!2"",7%&3!2""&"(3!2""("!+""!#"%!"&#""!"&#"!!#"!#"0237!2""!#,"""!#,""0212"37!2""!"&#""!"&#"021&2"+37!2"","%&"%21&2"(3!&2""(!&""%&21&2"(3!&2""("!!"$!!略"!!"%!利用傅里叶变换证明如下等式-!"""!#4&4%-."#"("%"#1&&"#%#&!’"#4&4%-./"/"("%!’/’证!!""因为6:.!#"0’2"所以!&"’2+,"%"’!#4&4’2"12"#("%"!#4&4"2"+#$%"#,2%-."#,("%"!#4&4%-."#"("%6:.!#"%"%#1&&"%#%#&故原式得证&!’"因为+’/!#"0’/67!"/"所以!&"’/67!/"+,"%"’!#4&4’/67!/""12"#("%+’/!#"当#%&时%有"!#4&4/67!/""("%"即"!#4&4/%-./"/"("%"故#4&4%-./"/"("%!’/’(++(!!"&!已知题图!!3所示信号""!#"的频谱函数为3"!2""%8!"",29!""%式中8!""/9!""均为"的实函数%试求"’!#"的频谱函数3’!2""&题图!!3解!参见题解图!!"9&已知题解图!!"9""!#"03"!2""%8!"",29!"""!!#"%’""#!"’因此"!!#"0’6’3"!2’""%*8!’"",2*9!’"""*!#"%"!!#","!!&#"故"*!#"0*3"!2’"",*3"!&2’""!!%*8!’"",2*9!’"",*8!&’"",2*9!&’""!!%38!’"""+!#"%"*!#&’","*!#,’"故"+!#"038!’""!1&2’",12’""!!%"98!’""#$%’"而原题图中"’!#"%"+!#"#$%"&!#%故3’!2""%3+8!’!"&"&!""#$%’!"&"&!",8!’!","&!""#$%’!","&!",(9+(!!!!"’!据傅里叶变换的定义及性质%利用三种以上的方法计算题图!!5所示各信号的傅里叶变换&题图!!5解!!7"方法"!按定义求&!3!2""%#&&$’!",’$#"1&2"#(#,#$’&"&’$!"#1&2"#(#%$’67’"$!"*方法’!利用时域积分性质&""!#"的一阶/二阶导数如题解图!!")"所示&题解图!!")"!!":"!#"%’$&#,$!"’&*$&!#",’$&#&$!"’":"!#"0’$12$’"&*$,’$1&2$’"%’$12$*"&1&2$*!""’""!#"0’$12$*"&1&2$*!""’!2""’%$’67’"$!"*方法!!利用时域卷积性质&""!#"可以看做题解图!!")’所示"’!#"与"’!#"的卷积%则有""!#"%’$"’!#"’"’!#"而"’!#"0$’67"$!"*故""!#"0’$$’67"$!"+,*’%$’67’"$!"*()+(题解图!!")’!2"方法"!按定义求&""!#"%+$!#",+$’!#"而+$!#"0$67"$!"’+$’!#"0$’67"$!"*故""!#"%$67"$!"’,$’67"$!"*方法’!利用时域积分性质&""!#"的导数如题解图!!")!所示&题解图!!")!!"7"!#"%&#,$!"’,&#,$!"*&&#&$!"*&&#&$!"’!!"7"!#"%12"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$’故""!#"012"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$’2"%$67"$!"’,$’67"$!"*方法!!利用时域卷积性质&!!""!#"%’#,$!"’,’#,$!"*&’#&$!"*&’#&$!"’而’!#"0!&!"","2"""!#"0!&!"","2!""12"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$+,’%"2"12"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$+,’%$67"$!"’,$’67"$!"*(3+(!!"(!求题图!!"&!/"/!2"所示3!2""的傅里叶反变换"!#"&题图!!"&解!!/"因为3!2""%1+’"&!""1&2"#&又67!#"0!+’!""67!"&#"0!"&+’""!"&%!"&+’"&!""即1"&!67!"&#"01+’"&!""所以1"&!67+"&!#&#&",01+’"&!""1&2"#&故"!#"%1"&!67+"&!#&#&",!2"3!2""%3!""12%!""而%!""%!’%&"&%"%&&!’%&%"%"()*&!3!2""%1+"&","&!"’12!’,1+"&"&"&!"’1&2!’!%21+"&","&!"’&21+"&"&"&!"’又!67!#"0!+’!""!67"&’!"#0’!"&+"&!""即!"&’!67"&’!"#0+"&!""故!"!#"%21"&’!67"&’!"#1&2"&’#&67"&’!"#12"&’+,#%21"&’!67"&’!"#1&2"&’#&12"&’+,#%’1!#%-.’"&’!"#(5+(!!!!")!试求下列信号的频谱函数-!""%-.#)%-.’##’*!’"+’!!#")#$%+#*!!"1&!’,’#"&!#"*!*"6:.!#")+’!#"&解!!""%-.#)%-.’##’%’67!#")67!’#"而67!#"0!+’!""%!67!’#"0!’+*!""故’67!#")67!’#"0"’!6’!+’!""’!’+*!""%3!2""3!2""%!’!",!"&!/"/&"!&"/"%"!’!!&"""/"/!&’"’1()*!3!2""如题解图!!"5"所示&题解图!!"5"!’"+’!!#"0’!67!!""+’!!#")#$%+#0’!6"’67!!!",+"",67!!!"&++,""!%!+67!!!",+"",67!!!"&+"",题解图!!"5’!!"1&!’,’#"&!#"%1&’&!#"01&’!*"6:.!#")+’!#"的波形如题解图!!"5’所示%即6:.!#")+’!#"%&’!#,"",’’!#"&’!#&""又’!#"0!&!"","2"故6:.!#")+’!#"0!&!"","2+,")’&12"&1&2!""!%!&!"","2+,")&12"’&1&2"!"’+,’!%!&!"","2+,"*)%-.’"!"’!%*2"%-.’"!"’(&9(!!#*!求下列函数的傅里叶反变换"!#"-!"""!’,2""’*!’"&’"’*!!"&!"&"&"*!*"+’"&!""&解!!""因为1&’#’!#"0"’,2"所以"!’,2""’01&’#’!#"’1&’#’!#"%#1&’#’!#"!’"因为6:.!#"0’2"所以!&2#"6:.!#"0’-"!""7%&’2"’故&’"’0#6:.!#"!!"因为"0’!&!""而")12"&#0’!&!"&"&"所以&!"&"&"0"’!12"&#!*"因为+’"&!#"0’’"&’67!"&""而’’"&’67!"&#"0’!+’"&!""所以+’"&!""0’"&’!67!"&#"!!#"!已知"!#"’"7!#"%!"&#"1&#’!#"%求信号"!#"&解!设"!#"03!2""%因为"!#"’"7!#"03!2"")2"3!2""%2"3’!2""而!"&#"1&#’!#"0"2","&2"2",!""7!%"2","&"!2",""’!%2"!2",""’("9(所以3’!2""%"!2",""’3!2""%4"2","故"!#"%41&#’!#"!!##!已知一系统由两个相同的子系统级联构成%子系统的冲激响应为;"!#"%;’!#"%"!#激励信号为"!#"&试证明系统的响应<!#"/8"!#"&证!因为6:.!#"0’2"所以’2#0’!6:.!8""即"!#026:.!8""系统函数=!2""/26:.!8"";26:.!8""/8"故>!2""/=!2"")3!2""/83!2""因此<!#"/8"!#"!!#!!设"!#"的傅里叶变换为3!2""%且3!2""%&’"’2"<试在2"<条件下化简下式-!+"!#"’67!?#",!!解!因为+’?!#"0’?67!?""所以’?67!?#"0’!+’?!""67!?#"0!+’?!""而!+"!#"’67!?#",0?!3!2"")!+’?!"+,"!/3!2"")+’?!""又因为3!2""/&%"""2"<%且?2"<%故!+"!#"’67!?#",03!2""即!+"!#"’67!?#",/"!#"(’9(!!#$!试求题图!!*所示各周期信号的频谱函数&解!由3!2""%’!$4$%&43$&!"&$#"!/"/!2"略&!*"因为3$%1$067$!$!"01&2$##&所以3!2""%’!$4.%&41$067$!$!"01&2$##+,&&!"&$#"%1#$$4$%&467$!$!"1&2$##&&!"&$#"!5"因为3$%*1$’!’%$为奇数&%$()*为偶数所以3!2""%’!$4$%&4*1$’!’&!"&$#"%$为奇数&%$()*为偶数%31!$4$%&4"$’&!"&$#"%$为奇数&%$()*为偶数!!#%!!略"!!#&!对下列信号求奈奎斯特间隔和频率-!""67!"&&#"*!’"67’!"&&#"*!!"67!"&&#",67!+&#"*!*"67!"&&#",67’!9&#"&解!!""因为+’&&!#"0’&&67!"&&""所以67!"&&#"0!"&&+’&&!"""</"&&=7(.%%!"</"&&’!/+&!>?0%/"’"</!"&&%%!"%/"0%/"&&!>?!’"对67’!"&&#"%有"</’&&=7(.%%!"</"&&!>?(!9(故0%/!’&&%%!"%/’&&!>?!!""</"&&=7(.%故0%/"’"</!"&&%%!"%/"&&!>?!*""</"’&=7(.%故0%/"’"</!"’&%%!"%/"’&!>?!!#’!已知一线性时不变系统的方程为(’<!#"(#’,*(<!#"(#,!<!#"%("!#"(#,’"!#"求其系统函数=!2""和冲激响应;!#"&解!由系统方程可得=!2""%2",’!2""’,*2",!%2",’!2",""!2",!"%"’2",","’2",!故;!#"/"’18#,"’18!!"#’!#"!!#(!已知-"!#"%’#$%55)#)%-.+#!#*!!;!#"%’#$%"&&&#)%-.*#!#试用傅里叶变换法求"!#"’;!#"&解!"!#"/’#$%55)#)%-.+#!#/"&!67!+#")#$%55)#而67!+#"0!++"&!""故3!2""/"&!;"’!++"&!"855)",!++"&!",55)+,"/+"&!"855)",+"&!",55)"而;!#"/’#$%"&&&#)%-.*#!#/3!67!*#"#$%"&&&#同理=!2""/+3!"8"&&&",+3!","&&&"<@!2""/3!2"")=!2""/+9!"8555",+9!",555"因此"!#"’;!#"/!8"+<@!2"",/9!67!!#"#$%555#/’#$%555#)%-.!#!#(*9(题图!!""!!#)!如题图!!""所示系统%其中-;"!#"%%-.’#!#;’!#"%’!)%-.#!#)%-.’#!#试求整个系统的冲激响应;!#"&解;"!#"/%-.’#!#/’!67!’#";"!#"0+*!"";’!#"/’!%-.#!#)%-.’#!#其中%-.#!#/"!67!#"0+’!""%-.’#!#/’!67!’#"0+*!""因此;’!#"0"’!)’!)+’!""’+*!""/=’!2""=’!2""如题解图!!’5"所示&题解图!!’5"而=!2""/="!2"")=’!2""/+*!"")=’!2""=!2""如题解图!!’5’!/"所示%而=!2""可表示为=/!2""与=2!2""之和%=/!2""和=2!2""如题解图!!’5’!2"/!*"所示&题解图!!’5’(+9(=!2""/=/!2"",=2!2""/+*!"",+"!""’+!!""故;!#"/!8"+=!2"",/%-.’#!#,’!)%-.#’!#)%-.!#’!#!!!*!已知"!#"/67!"##"%@!#"/#$%"&#%且"&3"#&求题图!!"’!/"所示系统的输出<!#"&题图!!"’解!因为+’"#!#"0’"#67!"#""所以’"#67!"##"0’!+’"#!""67!"##"0!"#+’"#!""从而有"!#"@!#"0!’"#+’"#!"8"&",+’"#!","&+,">!2""/!1’"#+’"#!"8"&"182!"8"&"#&,+’"#!","&"182!","&"#+,&而+’"#!""0"#!67!"##"+’"#!""182"#&"#!67+"#!#8#&",+’"#!"8"&"182!"8"&"#&0"#!12"&#67+"#!#8#&",从而有!1’"#+’"#!"8"&"182!"8"&"#&01’12"&#67+"#!#8#&",故<!#"/167+"#!#8#&",#$%"&#(99(!!!"!已知系统如题图!!"!所示%其中-"!#"%3#$%"&&#)#$%+&&#%!!@!#"%#$%+&&#理想低通滤波器的系统函数=!2""/’!","’&"8’!"8"’&"%试求系统响应<!#"&题图!!"!解!"!#"@!#"/3#$%"&&#)#$%’+&&##$%"&&#0!+&!","&&",&!"8"&&",#$%+&&#0!+&!",+&&",&!"8+&&",#$%’+&&#0"’!!’+&!","&&&",&!"8"&&&",’&!"",/!’+’&!"",&!","&&&",&!"8"&&&","!#"@!#"03)"’!)!’’+’&!","&&",’&!"8"&&",&!",""&&",&!",5&&",&!"85&&",&!"8""&&",>!2""/*!+&!","&&",&!"8"&&",故<!#"/*#$%"&&#%!#4!84%4"!!!#!已知系统的传输函数如题图!!"*所示%若输入"!#"%$4$%&#$%$#%试求响应<@!#"&题图!!"*解!"!#"%$4$%&#$%$#%",#$%#,#$%’#,’%!!#2&>@!2""%!+"!#",)=!""1&2’"%!+’!#",#$%#’!#",)=!""1&2’"%’!+’!#",1&2’",!+#$%!#"’!#",1&2’"因此<@!#"%’’!#&’",#$%!#&’"’!#&’"()9(!!!!!!!理想低通滤波器具有特性=!2""/+’""182"#&&试证明它对于信号""!#"/!""&!#"和"’!#"/67!""#"的响应是一样的&证!因为&!#"0"%所以""!#"/!""&!#"0!"">"!2""/!""+’""182"#&而"’!#"/67!""#"因为+’""!#"0’""67!""""所以’""67!""#"0’!+’""!""即67!""#"0!""+’""!"">’!2""/!""+’""!"")=!2""/!""+’"!""182"#&>"!2""/>’!2""故<"!#"/<’!#"!!!$!一个因果线性时不变滤波器的系统函数是=!2""/8’2"&求系统对下列信号"!#"的响应<!#"-!"""!#"/12#*!’""!#"/%-."&#)’!#"%求稳态响应<%!#"*!!"3!2""/"2"!9,2""*!*"3!2""/"’,2"&解!!""/!’"略&!!"!!>!2""/3!2"")=!2""/"2"!9,2"")!8’2""/8’9,2"故<!#"/8’189#’!#"!*">!2""/3!2"")=!2""/8’2"’,2"/8’,*’,2"故<!#"/8’&!#",*18’#’!#"!!!%!!略"(39(。

第三章连续时间信号与系统的频域分析习题

0

例3-5.
2 求傅里叶变换 2 t2 1 1 1 1 1 t Re e 解：因为 2 2 2 2 j j j f t
使用对称性 F jt 2f
n n为奇数或零

n sa F ns 2
例3-9.
如图所示系统，已知激励f(t)的傅里叶变换 F(jw)=G4(w)，子系统H(jw)=jsgn(w)。求系统的零状态响应y(t) 解：对于本题，最简单解法是： X(jw)= jsgn(w)G4(w)=j(G2(w-1)- G2(w+1))使得 sint ，而 f t sin 2t 2 cos t sint xt 2 sint t t t 所以
1

T

以它为基周期的周期脉冲波是高频丙类功率放大电路中使用的输出电流波形
f t cos 1t cos f矩形 t
例3-11：导通角2θ余弦脉冲波
f t E cos 1t － cos 1 2 Sa m cos m1t m 1

ht sat
t f t e cos 0t u t 例3-4. 求傅里叶变换解： t 1 e u t j 1 1 1 j t e cos0t ut 2 j 0 j 0 j 2 0 2
2j
sin 0 t f t j
例3-7.
已知带限信号f(t) 的最高频率为 100Hz，若对下列信号进行时域采样，求最低采样频率。（1） f(3t) ，（2） f (2t) ，（3） f(t) * f(2t) ，（4） f(t) + f (2t) 。解：（1）由于是把信号在时域压缩3倍，因此频谱扩展3倍，使得最高频率为300Hz，这样，由时域采样定理知最低采样频率为600Hz。（2）由于三角函数的倍角公式，使得平方后频带加倍，所以，由时域采样定理知最低采样频率为400Hz 。（3） f(2t)的频带为f(t)频带的两倍； 1 f t f 2t F F 使得信号的频带与f(t)的频带相同，所以最低采样频率为 2 200Hz 2。（ 4 ）加性信号取决于最高频带分量，所以最低采样频率为 400Hz 。

南航金城信号与线性系统课后答案第三章连续系统的频域分析习题解答

— P3-1 —第三章连续系统的频域分析习题解答3-1 已知函数集}sin ,2sin ,{sin nt t t ，n 为正整数。

证明该函数集在区间(0, 2π)内为正交函数集；试问该函数集在区间(0, π!2)内是否为正交函数集？解：(1)证：⎩⎨⎧=>≠=++---=⎰. , 0π; , 0]π2)sin[(]π2)sin[(21sin sin }{π20r i r i r i r i r i r i rtdt it 可见满足正交函数集的条件。

证毕。

(2) }{]2π)sin[(]2π)sin[(21sin sin ,2π0ri r i r i r i rtdt it r i ++---=≠⎰/时不恒为0，可见在此区间上不是正交函数集。

3-2 证明图示矩形脉冲信号f (t )在区间(0, 1)内与t n t t πc o s , ,π2cos ,πcos 正交，n 为正整数。

证：.πcos ,,π2cos ,πcos )( )1 ,0(, ,0πsin ππcos πcos )( 10 10 正交与内在为正整数t n t t t f n n n Atdt n A tdt n t f ∴===⎰⎰3-3 将图示周期信号展开为三角型傅立叶级数。

解：(a);πd sin π212π 0 0 m m U t t U a ==⎰ ⎪⎩⎪⎨⎧==-=-++==⎰⎰ ,5 ,3 ,1 , 0 ,6 ,4 ,2 ,)1(π2d ])1sin()1[sin(π2d cos sin π222ππn n n U t t n t n U tnt t U a mmm n [sin 41212)(1, 0 1 ,2 sin sin 221 0t U t f n n U dt nt t U b n m mm n ⎰∞=++=∴⎪⎩⎪⎨⎧≠===ππππ(b) f 2(t )求二阶导数如中图，t— 2 —).5cos 513cos 31(cos π42)( 22;,4,2 , 0 ,3,1 ,π4)πcos 1(8)1()(82)1(8)1(8)]2()([42)j (222200222222222 0 2j j j j+++-=⇒==⎪⎩⎪⎨⎧==-=--=--==-=-=--=----⎰--t t t E E t f E aA n n n E n n E e T n E F A e T E e T E dt e T t t T E T F n n n n t n n n n TT n ΩΩΩΩΩΩΩ且显然/故πψδδππ3-4 图题3-4所示信号展开为指数型傅里叶级数。

信号与系统第3章习题和重点

ZB
3-26
已知 f (t) = f1(t) + f2(t)的频谱密度函数 F(ω) = 4Sa(ω) − j
4
ω
，
为偶函数，为奇函数，且 f1(t)为偶函数， f2(t)为奇函数，试求 f1(t)和 f2(t) 。解：由题意知
f1(t) ↔4Sa(ω) = AτSa( 2 ∴f1(t) = 2g2(t)
F = n 1 T 1 T
∫ ∫
3T 4 T 4
f (t)e− jnω0tdt
L − 2 L 2 2 2 −2T −T 0 T 2T t
() 1
− jnω0 T 2 ) = 1 (1−e− jnπ )
−
=
T 1 δ (t) −δ (t − )e− jnω0tdt = (1−e T 2 T − 4
0
T
ZB
3-4 已知周期信号 f (t)的前四分之一周期的波形如图所且其余每一段四分之一周期的波形要与之相同，示，且其余每一段四分之一周期的波形要与之相同，试整个周期的波形。就下列情况分别画出 f (t)整个周期的波形。为偶函数，解：(1) f (t)为偶函数，且只含偶次谐波
f (t)
∞
F(ω) =
∫ = e e ∫
=
−∞ 0 2t − jωt
e2tε(−t)e− jωtdt dt
−∞ (2− jω)t 0 e
2 − jω −∞
ZB
1 = 2 − jω 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
3-19 设 f (t) ↔F(ω) ，试证：试证：（1） ∫ ∞ f (t)dt = F(0) ） −
解： (2) 为非周期信号 T →∞

信号与系统第三章习题部分参考答案

↔ 2π e−a⎜−ω⎜
（4）单边指数信号 ∵ e−atu(t) ↔ 1 a + jw
∴ 1 ↔ 2π e−a(−w)u(−w) a + jt
即 1 ↔ 2π eawu(−w) a + jt
3.20 求下列各傅里叶变换的原函数
（1） F (ω) = δ (ω − ω0 ) （2） F (ω) = u(ω + ω0 ) − u(ω − ω0 )；
2π
（2）[1 + mf (t)]cos(w0t) = cos(w0t) + mf (t) cos(w0 (t)
↔
π [δ
(w
+
w0
)
+
δ
(w
−
w0
)]
+
m 2
{F[
j(w
+
w0
)
+
F[
j(w
−
w0
)]}
（3） f (6 − 3t) = f [−3(t − 2)] ↔ 1 F (− 1 jw)e− j2w
−τ τ
w
方法二利用时域微分性质
对 f(t)求一阶导数得到
f
′(t)
=
1 τ
G2τ
(t)
−
δ
(t
+
τ
)
−
δ
(t
−
δ
)
F1 (w) = 2sa(wτ ) − 2 cos(wτ )
F1 (0) = 0
F (w) =
F1 (w) jw
+
πF1
(0)δ
(w)
=
j
2 [cos(wτ ) − sa(wτ )] w

第3章信号与系统的频域分析 (1)

这个问题的实质就是找一个最佳系数C12，使Ve的模最小。如左上图所示，知V1垂直于V2时，Ve的模才能最小。 2 2012-8-10
V e V1 c12 V 2
此时，
c12 V 2 V 1 cos
c 12 V 1 cos V
2
所以最佳系数为
随着角的增加，直至

V1V V
2012-8-10

2
t1
f 1 ( t ) f 2 ( t ) dt 0
5
2 信号的正交分解 *正交函数集：设一函数集
t2 t1
g ( t ) g 1 ( t ), g 2 ( t ),...,
* j
g N ( t ) ,
t ( t1 , t 2 ) 若 g i (t )g
f 1(t)，其误差信号为
f e ( t ) f 1 ( t ) c12 f 2 ( t )
平方误差定义为： E e

t2
2
t1
f e (t )
dt
改变c12的大小，如果使Ee 为最小时相应的c12＝0，称 f 1(t) 和 f 2(t)在区间（t1 ,t2)上正交。判定两信号正交的条件： t *
正交性：
t0 T
cos n t cos m tdt
t0

0 T /2
mn mn

2012-8-10
t0 T
sin n t sin m tdt
cos n t sin n tdt
t0
t0 T

0 T /2
mn mn
t0

0 0
mn mn

信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析

实验三连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。

基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。

二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。

上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。

即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。

在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。

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