边值问题的变分形式

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5.1 5.2两点边值问题

考虑混合边值问题。在上满足
在上满足
以乘（1.1）两端multiplyby，得到
（6）
利用边值条件，得到
定义双线性形式：
则（6）可写成
。
定理2设是上述边值问题的解的充要条件是：且满足变分方程
。对任意
5.3 Ritz-Galerkin方法
思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。
变分原理：求，使
（8）
例利用Ritz-Galerkin方法求解边值问题：
本问题有精确解：
Ritz-Galerkin方法通常选取的子空间有两种，一种其基底选为
另外一种基底选为
为使满足边值条件，取
将表成
：，满足方程
从而得到
：，代到方程（14），得到Ritz-Galerkin方程：
解得，故
表1计算结果比较
0.044
考虑混合边值问题。在上满足
在上满足
以乘（1.1）两端multiplyby，得到
（6）
利用边值条件，得到
定义双线性形式：
则（6）可写成
。
定理2设是上述边值问题的解的充要条件是：且满足变分方程
。对任意
5.3 Ritz-Galerkin方法
思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。
变分原理：求，使
（8）
证明：注意当时，
（16）
如果是边值问题（10）的解，则，从而
，对任意
由（14），有
这说明使达到极小值。
反之，若使达到极小值，则由（14）及（16），得
对任意（18）
取，则
，对任意
根据变分法基本原理，满足方程
，
所以，（18）化为

常微分方程的边值问题

常微分方程的边值问题一、引言在数学中，微分方程是研究自然界中变化和发展的重要工具。

它描述了物体在不同变化条件下的行为规律，并被广泛应用于物理、工程、经济等领域。

边值问题是微分方程中的一个重要分支，它关注的是在一定边界条件下的解。

二、常微分方程常微分方程是指只含有关于一个自变量的一阶或高阶导数的方程。

一般形式为：[F(x, y, y’, y’’, , y^{(n)}) = 0]其中，x是自变量，y是未知函数。

常微分方程的求解可以分为两种类型：初值问题和边值问题。

三、边值问题的定义边值问题是指在一定边界条件下，求解微分方程的解。

对于二阶常微分方程，边值问题的一般形式为：[y’‘(x) = f(x, y, y’)， a < x < b， y(a) = , y(b) = ]其中，a和b是给定的边界点，()和()是给定的边界值。

四、边值问题的求解方法边值问题的求解可以分为两种方法：迭代方法和直接方法。

4.1 迭代方法迭代方法是通过不断迭代逼近的方式求解边值问题。

常用的迭代方法有有限差分法和有限元法。

4.1.1 有限差分法有限差分法是一种将微分方程转化为差分方程进行求解的方法。

它将求解域离散化，并通过差分近似来近似微分项，最终通过迭代逼近求得边界值。

有限差分法的基本思想是将求解域划分为若干个离散的网格点，然后使用近似公式将微分项替换为差分项，从而得到差分方程。

通过迭代求解差分方程，最终得到边界条件下的解。

4.1.2 有限元法有限元法是一种将微分方程转化为代数方程组进行求解的方法。

它通过将求解域划分为有限个小区域，然后在每个小区域上选择一个试验函数来代表解，在满足边界条件的情况下，通过最小化误差的方法得到近似解。

有限元法的基本思想是将求解域划分为若干个小单元，然后在每个小单元上选择一个适当的试验函数，通过建立弱形式和加权残差方法得到代数方程组，最终通过迭代求解代数方程组得到边界条件下的解。

4.2 直接方法直接方法是通过对微分方程进行直接求解的方法，其中最常用的方法是变分法。

数值分析中的变分法及其收敛性

数值分析中的变分法及其收敛性在数值分析中，变分法（Variational Method）是一种通过变分问题求解数值解的方法。

它利用泛函分析的理论和方法，通过构建一个被最小化的泛函，来求解给定问题的最优解。

本文将介绍变分法的基本原理，并讨论其在数值分析中的应用以及收敛性。

一、变分法的基本原理变分法的基本原理可以通过极小化泛函的方法进行描述。

对于一个给定的泛函J[y]，其中y是一个函数，我们的目标是找到一个y*，使得J[y*]达到最小值。

为了找到这个最小值，我们可以将问题转化为一个极小化问题，即找到一个y*，使得对于任意的形状变化δy，J[y*]的变化率为零。

这可以通过求解变分问题来实现：δJ[y*] = 0，对任意δy通过变分法，我们可以通过求解变分问题来得到原问题的最优解。

二、变分法在数值分析中的应用1. 最小化问题：变分法可以用于最小化问题的求解。

例如，对于一个函数y(x)，我们可以通过构建一个泛函J[y]，然后使用变分法来求解最小化问题。

2. 边值问题的求解：变分法在边值问题的求解中也有广泛的应用。

通过构建适当的泛函，我们可以将边值问题转化为一个变分问题，并通过变分法来求解。

3. 偏微分方程的数值解：变分法在偏微分方程的数值解中也有重要的应用。

通过构建适当的泛函，并选择合适的试验函数空间，我们可以使用变分法来求解偏微分方程的数值解。

三、变分法的收敛性在使用变分法求解数值问题时，我们更关注的是变分法的收敛性。

收敛性指的是在一系列逼近过程中，逼近的解是否趋近于真实的解。

对于变分法而言，它的收敛性与使用的试验函数空间以及变分问题的性质有关。

1. 试验函数空间的选择：试验函数空间的选择对于变分法的收敛性至关重要。

通常，我们会选择适当的空间，使得试验函数满足一定的光滑性和边界条件。

选择合适的空间可以提高解的逼近精度，从而提高收敛性。

2. 变分问题的性质：变分问题的性质也会影响到变分法的收敛性。

如果变分问题满足一定的正则性条件，如强解的存在性和唯一性等，那么变分法的收敛性可以得到保证。

应用PDE讲义10_变分形式

微分方程定解问题或特征值问题与一定条件下变分问题之间存在的一种等价关系，可以通过求解相应变分问题得到微分方程定解问题或特征值问题的解，也是构造微分方程数值解法的基础．主要内容： §1 变分法基本问题 ................................................................................................ 3
考虑满足 Euler 特征方程的曲线这种曲线叫极值曲线．对于变分学的基本问题，通过给定点存在一族单参数极值曲线．现在假定判是我们寻求极大或极小曲线的两端点之一．给了任一极值曲线，当其他极值曲线趋来越接近这极值曲线时，其他极值曲线的交点的极限就
变分基本问题的 Lagrange 的方法，问题是使作用积分
，，
极大或极小，其中，的新曲线
待定。Lagrange 引进通过端点，和
而不是去改变极大或极小化曲线的个别坐标。其中，是 Lagrange 引
进的特殊符号，用来表示整个曲线的变分．在积分的被积
函数中引进了一条新的曲线，当然就改变了
“ 的系数必须为 0”，即
0 就这样，Lagrange 得到了 Euler 方程，这一推导方法及其记号，至今还在使用．
9
再按 Lagrange 的思路考察变端点问题。对于下列形式的作用积分
，，
在端点，和，的取值不定。则一阶变分
0
由于
，
和都是独立的变分，
数必须为 0”就推得 Euler 方程
1.1 最初的问题.................................................................................................... 3 1.2 Euler 的贡献................................................................................................... 5 1.3 Lagrange 方法论........................................................................................... 7 §2 边值问题的变分原理 ...................................................................................... 13 2.1 动力学的等价原理 ................................................................................... 13 2.2 Dirichlet 原理 ............................................................................................ 18 2.3 边值问题变分原理 .................................................................................. 24 §3 Sturm—Liouville 问题变分形式 ................................................................. 32 3.1 Rayleigh 商................................................................................................... 32 3.2 最小特征值变分原理 ............................................................................. 33 3.3 非减特征值序列变分原理.................................................................... 35 练习 10......................................................................................................................... 39

常微分方程边值问题的解法

常微分方程边值问题的解法常微分方程是描述自然科学、工程技术和经济管理等领域中各种变化规律的一个基础理论。

而边值问题是求解一些微分方程的重要问题之一，涉及到数学、物理、化学等多个领域。

在本文中，我们将讨论常微分方程边值问题的解法。

1. 边值问题的定义在微分方程解的过程中，边值问题（Boundary Value Problem, BVP）是指在区间 $[a,b]$ 上求解微分方程的解，同时已知$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$ 的问题。

边值问题是对初值问题（Initial Value Problem, IVP）的一种自然延伸，在一定范围内对变量的取值进行限制，使得解的可行域更为明确。

举例来说，对于经典的二阶线性微分方程$$ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \quad a<x<b $$ 如果边界条件是$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$，则这个微分方程就是一个边值问题。

2. 常用解法对于一般的常微分方程边值问题，没有通用的方法可以求出其解析解，必须采用一些数值计算的方法进行求解。

常用的边值问题的解法大致有以下几种：（1）求解特殊解的方法这种方法常用于求解具有周期性边界条件的问题。

如果问题中的边界条件满足：$y(a)=y(b)=0$，则可以将问题转化为一个周期问题，即 $y(a+k)=y(b+k)$，其中 $k=b-a$。

这时，边值问题就变成了求解这个方程的周期解，例如，可以使用Fourier 级数来求解。

（2）变分法变分法是一种基于求解最小值的方法，可以用来求解一类线性边值问题。

其基本思路是将原问题转化为求一个积分的最小值。

对于一般的边值问题 $y''+f(x)y=g(x)$，可以构造一个变分问题：$$ \delta\int_a^b \left(y'^2-f(x)y^2-2gy\right) \mathrm{d}x=0 $$ 这个问题的解可以通过对变分问题的欧拉方程求解而得到。

分数微分方程的初值问题和边值问题

分数微分方程的初值问题和边值问题一、初值问题初值问题指的是给定一个微分方程和一个初始条件，求解出满足初始条件的特解的问题。

分数微分方程的初值问题通常形式如下：$D^{\alpha}y(t) = f(t, y(t)), y(0) = y_0$其中$D^{\alpha}$表示分数阶导数，$f(t, y(t))$是关于$t$和$y(t)$的函数，$y(0) = y_0$是初始条件。

解决这个问题的关键在于对分数阶导数进行变换和处理。

对于初值问题，我们需要基于给定的微分方程和初始条件，通过数值求解或者变换换元求解等方法得出满足初始条件的特解。

在实际问题中，初值问题常常出现在动力学系统、生态学模型和物理问题中。

通过求解初值问题，我们可以得到系统的初始状态，进而进行进一步的分析和预测。

二、边值问题边值问题是指给定微分方程在一定范围内的边界条件，求解出满足边界条件的特解的问题。

分数微分方程的边值问题一般形式如下：$D^{\alpha}y(t) = f(t, y(t)), y(a) = y_1, y(b) = y_2$其中$D^{\alpha}$表示分数阶导数，$f(t, y(t))$是关于$t$和$y(t)$的函数，$y(a) = y_1, y(b) = y_2$是边界条件。

对于这类问题，通常需要借助特殊的边值求解方法，如变分法、极值原理等来求解。

边值问题在工程领域的应用非常广泛，比如悬链线问题、热传导问题等都可以建模为边值问题来求解。

通过求解边值问题，我们可以得到系统在特定边界条件下的特解，进而为工程实践提供参考和指导。

总结回顾分数微分方程的初值问题和边值问题在数学和工程领域都具有重要意义。

通过求解初值问题，我们可以得到系统的初始状态，进行进一步分析；而通过求解边值问题，我们可以得到系统在特定边界条件下的特解，为工程实践提供指导。

个人观点初值问题和边值问题都是分数微分方程中的经典问题，对于深入理解和应用分数微分方程非常重要。

变分形式

2∑ aikξ i(0 ) = bk ,
i =1 n
k = 1, 2, L, n
不难看出, 若令
1 J ( x ) = ( Ax, x ) − (b, x ) 2
则二次函数J(x)于x0取极值的必要条件是: x0是
(1.1)
Ax = b
(1.2)
的解。为进一步研究二次函数J(x)于x0的极值性质，考虑实变量函数
x ∈R
(1.4)
其中J(x)是由(1.1)定义的二次函数 (2)求下列方程组
Ax = b
(1.5)
J(x)称为Rn上的二次泛函。
, 它由矩阵A J(x)由两部分组成: 第一部分是两次项决定; 第二部分是一次项(b,x) ,它由向量b决定。下面证明定理1.1: 1 ϕ ( λ ) = J ( x0 + λx ) = ( A( x0 + λx ), ( x0 + λx )) − (b, ( x0 + λx )) 2 λ2 λ 1 λ = ( Ax0 , x0 ) + ( Ax0 , x ) + ( Ax, x0 ) + Ax, x ) − ( b, x0 ) − λ ( b, x ) ( 2 2 2 2
第2章边值问题的变分形式
第二章边值问题的变分形式从本章开始, 将逐步涉及用有限元方法求解微分方程的边值问题，这种方法属于变分法的范畴, 是古典的变分法与分片多项式差值相结合的产物。这种结合使得有限元方法不仅保持了变分法的优点, 而且可以通过一种标准的过程在电子计算机上实现, 从而弥补了古典变分方法的不足。 “有限元方法” (Finite Element Method) 这一术语首次出现于R. W. Clough 1960年9月发表的一篇讨论平面弹性力学问题的力学论文中。然而, 这种方法的思想却早已有之。故“谁首先”、“在何时” 提出有限元方法的问题在数学家、物理学家和工程师之间就有三种不同的答案。

数学中的变分法

数学中的变分法数学中的变分法是一种重要的数学分析方法，它在各个领域具有广泛的应用。

本文将介绍变分法的基本概念、原理和应用，以及一些典型的例子。

一、基本概念1.1 变分问题在数学中，变分法主要用于研究变分问题。

所谓变分问题，是指要找到一个函数，使得特定的泛函取得极值。

泛函是一个对函数进行操作的函数，通常表示为一个积分形式。

1.2 泛函泛函是一个映射，它将一个函数空间中的每个函数映射到一个实数。

泛函的极值问题是变分法关注的核心内容。

二、原理与方法2.1 欧拉-拉格朗日方程变分法的核心思想是通过欧拉-拉格朗日方程来求得泛函的极值。

欧拉-拉格朗日方程是微分方程的一种形式，其推导基于变分学习中的一些基本假设。

2.2 性质与特点变分法具有以下性质和特点：（1）对连续问题和离散问题皆适用；（2）使用变分法可以简化求解过程；（3）可以应用于求解一些无法通过传统数学方法解决的问题。

2.3 常用方法常见的变分法方法包括变分法、极大极小值原理、最小二乘方法等。

这些方法在不同的数学问题中有不同的应用。

三、应用领域3.1 物理学中的应用变分法在物理学中有广泛的应用，例如，它可以用于解决力学、电磁学、量子力学等领域的问题。

其中，著名的费马原理和哈密顿原理就是基于变分法的。

3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法可以应用于结构力学、流体力学、电气工程等领域。

例如，通过应用变分法，可以得到最优化设计问题的解。

3.3 经济学中的应用变分法在经济学中也有一些应用。

例如，在经济学中，当我们面临一个最优决策问题时，可以把问题转化为一个泛函的极值问题，并使用变分法求解。

四、典型例子4.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题。

我们可以通过变分法来解决最短路径问题，其中泛函表示为路径长度的积分形式。

4.2 边值问题边值问题是微分方程中常见的问题。

通过应用变分法，我们可以将边值问题转化为泛函的极值问题，并进一步求解。

4.3 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要定理之一。

微分方程数值解法第四版课后答案

§2 一维差分格式 P671. 用有限体积法导出逼近微分方程（2.2.1）的差分方程。

2. 构造逼近(")"(')',()'()0,()'()0pu qu ru fu a u a u a u a++=====的中心差分格式。

§3 矩形网的差分格式P751. 用有限体积法构造逼近方程()[((,(2.3.21)u u k u k k f x x y y∂∂∂∂-∇∇=-+=∂∂∂∂ 的第一边值问题的五点差分格式，这里min (,)0.k k x y k =≥>2. 用有限体积法构造逼近方程（2.3.21）的第二边值问题的五点差分格式。

§4 三角形网的差分格式 P802. 构造逼近方程()[()()],(2.3.21)u u k u k k f x x y y∂∂∂∂-∇∇=-+=∂∂∂∂的三角网差分格式。

第三章抛物型方程的有限差分法§1 最简差分格式P112 2题§2 稳定性与收敛性P121 1题P121 2题§3 Fourier方法 P127 1题§4 判别差分格式稳定性的代数准则P132 3题第四章双曲型方程的有限差分法§1 波动方程的差分逼近 P158 1题P158 2题§3 初值问题的差分逼近P174 3 （4.3.32）第五章边值问题的变分形式与Ritz-Galerkin法§1 二次函数的极值 P185 1题§3 两点边值问题 P198 1题P198 3题§4 二阶椭圆边值问题 P205 3题P205 4题。

一类具间断系数的边值问题的变分与泛函解法

同介质组成的物体的热传导问题等，于这一类问基题，文通过使用内边界条件，此类边值问题的解法，以拓宽解偏微分方程的思路，并使一些复杂方程问题简单化．
有关问题及符号
考虑如下形式的边值问题（：Ｐ）
Ｌ一一（（）＋（）＋（））＋
／，，２ ‘（ｙ，）∈ Ｑ，
、
＋似一０，，） ∈ Ｓ，（ｙ，．
证明了边值问题、分问题与泛函极值问题三者之间变
覃思乾
ＱＩＳ— ｉｎＮｉｑａ
（玉林师范学院数学与计算机科学系，西玉林广
５７０，ｉａ３００Ｃｈｎ）
５７０）３００
（ｐｒｍｅｔｏａｈｍａｉｎｍｐｔｒＳｉｎｅＹｕｉａｈｒ ’ Ｃｏｌｇ，ｌＧｕｎｘ，ＤｅａｔｎｆＭｔｅｔｓａｄＣｏｕｅｃｅｃ，ｌＴｅｃｅｓｃｎｌｅＹｕｉｅｎ，ａｇｉ
值问题，例如由不同介质拼成的膜的平衡问题或由不
定常态热传导、电场、场、流等，常都可以归结磁渗通
为椭圆型偏微分方程的边值问题．少文献已对带边不值条件的椭圆型偏微分方程的解法进行了研究，如文
摘要：过使用内边界条件，一类具有间断系数的三维偏微分方程的边值问题的解法能够转化为变分与泛函通使极值问题的解法，复杂方程问题简单化．使

数学学院硕士研究生课程内容简介

数学与统计学院硕士研究生课程内容简介学科基础课-------------------- 泛函分析--------------------课程编号：1 课程类别：学科基础课课程名称：泛函分析英文译名：Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：1 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学、运筹与控制论、课程与教学论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。

内容简介：本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert 空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。

主要教材：张恭庆、郭懋正：《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，1990年版。

参考书目（文献）：1．定光桂：《巴拿赫空间引论》，科学出版社，1984年版。

2．M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Functional Analysis, 1972.3．K. Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition, 1980.4．张恭庆、林源渠：《泛函分析讲义》(上册)，北京大学出版社，1987。

5．V. Barbu, Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, 1976.6．A. Pazy, Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, 1983.-------------------- 非线性泛函分析--------------------课程编号：2 课程类别：学科基础课课程名称：非线性泛函分析英文译名：Nonlinear Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：2 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：应用数学、基础数学、运筹学与控制论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，应用数学系教师。

平面二阶偏微分方程组的边值问题

平面二阶偏微分方程组的边值问题
平面二阶偏微分方程组是将二阶变分操作应用到平面区域上的一种重要方法，其又称为非线性偏微分方程系统或二阶偏微分方程组。

这种方程组常常被用来求解弹性理论、热传导、流体动力学等众多物理现象中的重要问题，这些现象处于不同的变量域。

对平面二阶偏微分方程组的边界值问题提出的要求是提供一组独立的条件，用于定义边界上的解，即在边界上解的某个变量的值必须可以从边界上的这组条件中确定，而这组条件又是由解的一些给定特性定义的。

其中，一种常见的边界条件是“自由边界”，在这种情况下，在边界上得到的解值必须满足解在边界点处满足一定标准，如解必须是一个恒定的特定值，这也就确定了边界条件。

另一种常见的边界条件是“内禀边界”，这种边界条件要求解的某个变量只有在某个内禀函数下才能被确定，故边界条件也可以称为内禀函数条件。

在这种情况下，边界上具体的解值可以根据所计算出来的内禀函数来计算，然后可以得到特定的边界条件，而这些边界条件也是独立的，可以用于求解整个问题。

总之，平面二阶偏微分方程组的边界值问题可以抽象地认为是将某个物理场的动力学特性定义在边界上的一种重要的分析方法，它是从二阶变分的角度来理解平面问题的解的一种重要框架，是解决物理量在多变量域中的多维动力学问题中的常用方法。

地球物理中常用数值解法基本原理-有限元素法

极小，即要给出 u 属于哪一个函数空间。从位能的计算公式看出，为使积分有意义，必须对 u，f 作必要的限制。但又不能限制过严而把取
极小值的函数 u* u* x 排斥在外。因此，适当地选取函数空间十分
重要。这样的空间称为 Sobolev（索波列夫）空间。
设 I a,b, I a,b 。用 L2 I 表示由定义在 I 上的平方可
点不等式），
则 x, y 称为 x，y 之间的距离，R 称为距离空间。
设 f x 是距离空间 X 到 R1(数轴)的映射，则称 f x 为泛
函。
第一节几个基本概念
线性空间：设 k 是实（或复）数域，若下列条件成立，便称 X 为一实（复）
线性空间：
1）可以在集合 X 中定义加法运算，即对任何 x, y, z X ，则 x y X ，且满足 x y y x （交换律），
第一节几个基本概念
有限元法的基本问题可归纳为：（1）把问题转化成变分形式；（2）选定单元的形状，对求解域作剖分；（3）构造基函数或单元形状函数；（4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）；（5）提供有限元方程的有效解法；（6）收敛性及误差估计。
第一节几个基本概念
测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接推广。
积的可测函数组成的空间，内积和范数分别为
第三节两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡
L2 I 关于“加法”及“数乘”运算是线性空间，关于（，）是完全内积空间，因此 L2 I 是 Hilbert（希尔伯特）空间。
定义
f 是 f 的广义导数。 H 1 I 是线性空间。于 H 1 I 引进内积
在线性赋范空间中，可以用范数定义距离：
若 x, y X ,则 x, y x y

一类边值问题的变分与泛函极值解法

引设，，， ∈Ｃ面，果 … （，，，ｄｙ＝，理１（Ｙ）ｏ）：（如，。（：ｘｄ０Ｖ））ｄｚ ∈Ｃ（）立则ｇ面成，
Ｉ
，，－●－ｒ
●
Ｄ Ⅱ
Ｄ ”
ｆ，，（ ’ ）＝０，．
证：用反证法，果ｆｘ，，如（Ｙ）≠０由，，，），（ｙｚ连续性可知，存在一点（，ｏ０ ∈ ｎ及一个充分小ｏｙ，）
ｃｌ
（２）
其中门为上的一个有界单连通开区域，是ｎ的闭包，五Ｓ为ｎ的边界曲面，ｎ为曲面Ｓ上单位法向量
ｐ，，）ｃ（，（，），，，）ｃ（，（，）ｃ（，（，＝（ ∈ 西）ｇ，＝，（： ∈ 。五）口，＝ ∈ 。）ｐｘ，）≥ Ｐ０＞０ｑｘ，，（，
柯云泉
（兴文理学院绍数学系，江浙绍兴３２ｏ）１ｏｏ
摘
要：主要讨论一类三维偏微分方程边值问题的解，化为变分问题与泛函极值问题的解，出了边值问题、分问题、转给变
泛函授值问题三者之问的关系．美链词：值问题；分问题；函极值问题边变泛中图分类号：１４３Ｏ７５文献标识码：Ａ文章编号：０８２３（０２０ — Ｏ３— ４１０ — ９Ｘ２０）１０２０
维普资讯
第２卷第１２期２【０）２年３月

常微分方程边值问题有限元

常微分方程边值问题有限元有限元法可归结为如下几个步骤：1.转换成变分问题（应该会用到边界条件）2）对解域进行刨分（可以是不均匀）3）构造基函数（本篇采用基于线性插值的基函数）4）推导出有限元方程5）求解有限元方程6）收敛性和误差估计# 奇怪：这个库必须放在最前面才能一次加载成功usingPlotsgr()# 解决Colab不显示输出数学公式的问题using Markdown: MD, LaTeXfunction latex(expr)expr |> tex |> LaTeXend;考虑两点边值问题：\[ \begin{aligned} &Lu=-\frac{d}{dx}\left(p\frac{du}{dx}\right)+qu=f ,\qquad a < x < b \\ & u(a)=0,\frac{d}{dx}u(b)=0 \end{aligned} \]对应的变分方程(用到两个边界条件)：\[ \begin{aligned}&a(u,v)=(f,v),\qquad \forall v \\ & a(u,v)=\int^b_a{\left(p\frac{du}{dx}\frac{dv}{dx}+quv\ right)dx}\end{aligned} \]区间剖分（可以不均匀）：\[ a = x_0 < x_1 < \dots < x_n=b \\ h_i=x_i-x_{i-1}, \qquad h = \mathrm{max} \{h_i\} \]与此对应的近似解序列 $\{u_i\}$ （待求）为：\[ u_0=0, u_1,u_2,\dots,u_n \]通过这 $n+1$ 个点的值可进行线性插值得到近似解$u_h(x)$ ：\[ \begin{aligned}u_h(x)=\frac{x_i-x}{h_i}u_{i-1}+\frac{x-x_{i-1}}{h_i}u_i,\qquad x_{i-1} < x < x_i \end{aligned} \]可引入线性无关的“山形函数”序列 $\varphi_i(x)$ 构成基底：\[ \boxed{\xi = \frac{x-x_{i-1}}{h_i}\qquad x_{i-1} < x < x_i\qquad 0<\xi<1} \]\[ \varphi_0(x)=\left\{\begin{aligned}&1-\xi, &x_0 < x < x_1 \\ &0, & 其它\end{aligned}\right . \]\[ \varphi_i(x)=\left\{\begin{aligned}&\xi, &x_{i-1} < x < x_i \\ &1-\xi,& x_i < x < x_{i+1} \\ &0, & 其它\end{aligned}\right . \qquad i=1,2,\dots,n-1 \]\[ \varphi_n(x)=\left\{\begin{aligned}&\xi, &x_{n-1} < x < x_n \\ &0, & 其它\end{aligned}\right . \]不难验证，前面的线性插值函数 $u_h(x)$ ，可用这个序列$\varphi_i$ 为基底展开(下面考虑了 $u_0=0$ )：\[ u_h(x)=\sum^n_{i=1}{u_i \varphi_i(x)} \]由图可知（亦可简单验算）：\[ \varphi_i(x)\varphi_j(x)=0, \qquad |i-j|\ge 2 \\\frac{d\varphi_i}{dx}\frac{d\varphi_j}{dx}=0, \qquad|i-j|\ge 2 \]所以 $a(\varphi_i,\varphi_j)$ 的非零值只可能有：\[ \begin{aligned}&a(\varphi_{1},\varphi_1),a(\varphi_ {2},\varphi_1) \\ &a(\varphi_{j-1},\varphi_j),a(\varphi_{j},\varphi_j),a(\varphi_{j+1} ,\varphi_j),\qquad j=2,\dots,n-1\\ & a(\varphi_{n-1},\varphi_n),a(\varphi_{n},\varphi_{n}) \end{aligned} \]可分别算出这三类非零值：\[ a(\varphi_{j-1},\varphi_j)=\int^1_0{\left[-h_j^{-1}p(x_{j-1}+h_j\xi)+h_j q(x_{j-1}+h_j\xi)(1-\xi)\xi\right]d\xi} \]\[ \begin{aligned}a(\varphi_j,\varphi_j)&=\int^1_0{\le ft[h_j^{-1}p(x_{j-1}+h_j\xi)+h_j q(x_{j-1}+h_j\xi)\xi^2\right]d\xi} \\ &+\int^1_0{\left[h_{j+1}^{-1}p(x_{j}+h_{j+1}\xi)+h_{j+1} q(x_{j} +h_{j+1}\xi)(1-\xi)^2\right]d\xi}\end{aligned} \] \[ a(\varphi_{j+1},\varphi_j)=\int^1_0{\left[-h_{j+1}^{-1}p(x_{j}+h_{j+1}\xi)+h_{j+1}q(x_{j}+h_{j+1}\xi)(1-\xi)\xi\right]d\xi} \]\[ a(\varphi_n,\varphi_n)=\int^1_0{\left[h_n^{-1}p(x_{n-1}+h_n\xi)+h_n q(x_{n-1}+h_n\xi)\xi^2\right]d\xi} \]using SciPy# # “山形”基函数#functio n φ(t,i,x,h,n)if i >1&& t>=x[i-1] && t<=x[i]return (t-x[i-1])/h[i-1]elseif i < n+2&& t>x[i] && t<=x[i+1]return1-(t-x[i])/h[i]elsereturn0endend;# # a(φ_i,φ_j)## 假设已有p(t),q(t)#functionaa(i,j,x,h,n)if abs(i-j) >=2return0;end;if i==j-1α(ξ)=-p(x[j-1]+h[j-1]*ξ)/h[j-1]+h[j-1]*q(x[j-1]+h[j-1]*ξ)*(1-ξ)*ξ;return SciPy.integrate.quad(α, 0, 1)[1];end;if i==j && j<n+1β(ξ)=p(x[j-1]+h[j-1]*ξ)/h[j-1]+h[j-1]*q(x[j-1]+h[j-1]*ξ)*ξ^2+p(x[j]+h[j]*ξ)/h[j]+h[j]*q(x[j]+h[j]*ξ)* (1-ξ)^2;return SciPy.integrate.quad(β, 0, 1)[1];end;if i==j && j==n+1βn(ξ)=p(x[j-1]+h[j-1]*ξ)/h[j-1]+h[j-1]*q(x[j-1]+h[j-1]*ξ)*ξ^2;return SciPy.integrate.quad(βn, 0, 1)[1];end;if i==j+1γ(ξ)=-p(x[j]+h[j]*ξ)/h[j]+h[j]*q(x[j]+h[j]*ξ)*(1-ξ)*ξ;return SciPy.integrate.quad(γ, 0, 1)[1];end;end;正式求解的julia代码：using Random# 参数选定a=0; b=1f(t)=(pi^2/2)sin(pi*t/2);p(t) =1;q(t) = pi^2/4;function NSolve(n)# 随机生成的不均匀的区间刨分h = [0.5*rand()+0.5for i in1:n];h = (b-a)*h/sum(h);x = zeros(n+1);x[1]=a; x[n+1]=b;x[2:n]=[sum(h[1:i]) for i in1:(n-1)];h[n]=x[n+1]-x[n];# 待求近似解u = zeros(n+1);# 计算a(φ_i,φ_j)矩阵A = [aa(i,j,x,h,n) for j in2:n+1, i in2:n+1];# 计算(f,φ_j)列向量fφ = [SciPy.integrate.quad(t->f(t)*φ(t,j,x,h,n), x[j-1],(j==n+1? b : x[j+1]))[1] for j in2:n+1];# 解出插值端点值u[2:n+1] = in v(A)*fφ;# 近似解序列(x,u)end;做为对比，也可解出精确解：using SymPy@vars ty = SymFunction("y")diffeq =-diff(y(t),t,2)+(PI^2/4)y(t)⩵(PI^2/2)*sin(t*PI/2)# 通解ex = dsolve(diffeq, y(t))# 根据边界条件确定积分常数ex1 = rhs(ex)ex2 = diff(ex1,t)eqs = [ex1(t=>0)⩵0,ex2(t=>1)⩵0]C = solve(eqs,[Sym("C1"),Sym("C2")])# 解析解ex = ex(C)ex |> latex |> MD\[ y{\left(t \right)} = \sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)} \]绘制近似解和精确解# 精确解plot(rhs(ex),color="black",xlims=(-0.1,1.1),label="U",xlabel="x",ylabel="u(x)")# 近似解 n=4,8plot!(NSolve(4),color="green",label="u4")plot!(NSolve(8),color="red",label="u8")《微分方程数值解法（第4版）-李荣华＆刘播-高等教育出版社-2009》。

泊松方程齐次第三类边界问题等价的变分问题

泊松方程齐次第三类边界问题等价的变分问题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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