双二次多项式动力系统的分形图

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xy多项式自由曲面二次曲面基底

XY多项式自由曲面一、概念解析1. XY多项式自由曲面XY多项式自由曲面是一种常见的曲面建模方法，通常用于对非规则曲面进行拟合和描述。

这种曲面以二次曲面基底为基础，可以通过对二次曲面的加权组合来实现对复杂曲面的建模。

2. 二次曲面基底二次曲面是指方程为二次多项式的曲面，其一般方程可以表示为： Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0二次曲面基底是指用一组基函数来描述二次曲面的方法，通过适当选择基函数并确定其权重，可以拟合出复杂的曲面形状，实现对曲面的精确描述。

二、深度评估在深入探讨XY多项式自由曲面和二次曲面基底之前，我们先了解一下曲面建模的基本概念。

曲面建模是指利用数学方法来对三维空间中的曲面进行描述和表示的过程，常见的曲面建模方法包括Bezier曲面、B样条曲面等。

而XY多项式自由曲面则是一种基于二次曲面基底的曲面建模方法。

从简到繁，我们先以二次曲面基底为切入点，探讨其在曲面建模中的作用和意义。

二次曲面基底可以看作是描述二次曲面形状的基本组成部分，类似于基础的单元，通过对基函数的选择和权重的确定，我们可以通过加权组合得到不同形状的二次曲面。

这种基底的选择不仅能够简化曲面建模的过程，还能够提高建模的精度和灵活性。

我们进一步探讨XY多项式自由曲面的概念和特点。

XY多项式自由曲面是一种基于二次曲面基底的曲面建模方法，其核心思想是通过对二次曲面的加权组合来实现对非规则曲面的描述。

这种方法不仅可以灵活地拟合出复杂的曲面形状，还可以通过控制权重来对曲面进行局部调整，满足不同的建模需求。

三、广度评估了解了XY多项式自由曲面和二次曲面基底的基本概念和特点之后，我们来探讨一下它们在实际应用中的表现和优势。

作为一种常见的曲面建模方法，XY多项式自由曲面在计算机辅助设计、工程建模等领域得到了广泛的应用。

其灵活的建模方式和精确的曲面描述能力，使得它可以适用于各种复杂曲面的建模和分析。

在实际应用中，XY多项式自由曲面可以通过对二次曲面的基函数和权重进行调整，实现对复杂曲面形状的精确描述。

非线性动力学导论讲义02(二阶系统简介)-岳宝增 (1)

0 ]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双 2.平衡点[ 曲线;
0]到[ 3.从[
0]或相反的连线为分界线;
在分界线内的轨线是闭合回线单摆作周期振动，其幅值是x 在相图中所取得的最大值。分界线以外单摆能量E 超过势能曲线的极大值，轨道就不再闭合，单摆作向左或向右方向的旋转运动（x.符号不变，x持续增大或减小）。上下部分的波浪线的波动现象是由于重力的影响，速度越大，波动越小。
x
dx
dx
y
某一具体相轨可以要求其通过特定的点(x,y)得到，将这一特定的点作为初始状态(x0,y0),其中：（10）
y ( x0 ) y 0
完整的带有方向的相轨构成系统的相图再来讨论对应常值解的相图上的平衡点
dy f ( x, y ) 0 dt dx y0 dt
的单参数曲线族；称为系统的相图，这些曲线称为相轨线。
此外，(5b)式还表示系统有如图所示的2 π 周期性；还有
.
轨线的方向性(后面讨论)。给定一对值（x,y）或（x,x ）则对应相图上的某一点P,称为系统的一个状态。某一状态给出了某一特定摆角为x时其角速度为x =y，这两个变量正是我们某一特定时刻观察摆的摆动时所感知的对象的量化表示。对给定的一对值（x,x ）亦可以作为微分方程的初始时刻；因此，任一给定的状态可以确定所有其后续的状态,而这些状态都位于通过P（x,y)点（初始状态）的相轨线上。上图中用箭头标定了随着时间的变化，轨线应行进的方向；该方向可由方程（5a）确定：当y>0时，则x >0,所以x必然随着t的增加而增大；这表明在上半平面轨线的方向必须是从左到右；同理，在下半平
推断出微分方程解的重要性质。本章介绍一种应用非常广泛的几何工具相平面方法，直接根据动力学系统的微分方程来研究平衡点、周期性、解的渐进性、稳定性等。经典力学中的单摆问题可以用来说明相平面法如何揭示微分方程的主要动力学特性。

二次多项式回归方程

二次多项式回归方程二次多项式回归方程是一种常用的数学模型，用于拟合二次曲线形状的数据。

它是基于多项式回归的扩展，通过引入平方项的系数来更好地适应具有非线性关系的数据。

二次多项式回归方程的一般形式如下：y = ax^2 + bx + c其中，y表示因变量（依赖变量），x表示自变量（独立变量），a、b、c表示二次多项式回归方程的系数。

在二次多项式回归中，我们通常使用最小二乘法来估计系数的值。

该方法旨在使模型的预测值与实际观测值之间的平方差尽量小。

通过求解最小二乘问题，可以得到最佳拟合的二次多项式回归方程。

为了求解系数a、b、c，可以利用已知的数据点进行拟合。

首先，我们需要收集足够数量的自变量x和对应的因变量y的数据对。

然后，我们可以使用数值计算方法或者统计软件来估计系数的值。

一种常见的方法是使用最小二乘法拟合二次多项式回归方程。

这种方法的基本思想是，通过选择合适的系数值，使得二次多项式回归方程的预测值与已知数据点的观测值之间的残差平方和最小化。

残差表示了预测值与观测值之间的差异。

求解最小二乘问题可以使用线性代数的方法，例如矩阵运算或者求解线性方程组。

具体步骤如下：1. 将数据点表示为矩阵形式：X = [x^2, x, 1]Y = [y]2. 使用最小二乘法的公式计算系数向量：θ = (X^T X)^-1 X^T Y其中，X^T表示X的转置，(X^T X)^-1表示X^T X的逆矩阵。

3. 得到系数向量后，可以得到二次多项式回归方程：y = θ[0]x^2 + θ[1]x + θ[2]这样，我们就得到了二次多项式回归方程，并可以使用该方程进行预测或拟合。

需要注意的是，二次多项式回归方程在某些情况下可能会产生过拟合的问题。

过拟合指的是模型过度拟合训练数据，导致在新数据上的表现不如预期。

为了解决过拟合问题，可以考虑使用正则化技术，如岭回归或Lasso回归，来减小高次项的系数。

另外，二次多项式回归方程也可以进一步扩展为更高阶的多项式回归方程，以适应更复杂的数据模式。

分形几何 PPT

分形几何
分形几何
分形几何
3. 康托三分集合取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集。
分形几何
分形几何
仿射变换仿射变换是一种实现几何变换的公式，平移、比例、旋转、对称和错切变换是二维仿射变换的特例，任何常用的二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。
分形几何
❖ 其数学表达为：一个二维仿射变换ω：R2→ R2
xyac dbxyef
a,b,c,d,e,f均为实数。这是一种最广泛的线性变换。
❖ f(z) = |z2|
分形几何
分形几何
❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ，那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ，这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋转）。
分形几何
❖ 复数与复数之间不但可以相加相减，还可以相乘相除。(a + b i) + (c + d i) 就等于 (a + c) + (b + d) i ，而 (a + b i) (c + d i) 则等于 (ac - bd) + (bc + ad) i 。需要注意的是，我们不能讨论一个复数乘以另一个复数后是变大了还是变小了，因为复数根本没有大小之分。如果真的要比较它们的大小，我们可以比较它们的模。复数 a + b i 的模就是 a2 + b2 的平方根，也就是它到复平面原点的距离。

复杂混沌知识点总结图解

复杂混沌知识点总结图解一、基本概念1.1 复杂系统复杂系统是由大量相互作用的元素组成的系统，其整体行为不可简单地通过其组成元素的行为来解释。

复杂系统包括自然界和人类社会中的许多对象，如气候系统、生态系统、神经网络、经济系统、交通网络等。

复杂系统的性质包括非线性、动态演化、自组织、敏感依赖于初始条件和边界条件等。

1.2 混沌现象混沌现象是非线性动力学系统中的一种特殊现象，其特征是对初始条件极其敏感，微小的扰动可能导致系统行为的剧烈变化。

混沌现象的典型表现包括轨道的无限分岔、轨道的随机性、轨道的分形特征等。

1.3 复杂混沌系统复杂混沌系统是指那些既具有复杂性又具有混沌性质的系统。

这类系统的行为通常由一系列非线性微分方程描述，其行为表现为非周期性、随机性、敏感依赖于初始条件等。

1.4 分形分形是一类具有自相似性的几何形状，其形状在各个尺度上都具有相似的结构。

分形具有广泛的应用价值，在复杂混沌系统中常常描述系统的分形特征。

二、数学模型2.1 非线性动力学方程复杂混沌系统的行为通常由一系列非线性微分方程描述，典型的非线性动力学方程包括洛伦兹方程、齐次方程、吸引子方程等。

这些方程描述了系统状态随时间的演化规律，是研究复杂混沌系统的重要数学工具。

2.2 分形维数分形维数是描述分形对象维度的概念，常用的分形维数包括分形维数、盒覆盖维数、信息维数等。

分形维数可以有效地描述复杂混沌系统的分形特征。

2.3 动力学系统动力学系统是对自然界中的各种现象进行建模和分析的数学工具，包括连续动力学系统和离散动力学系统。

动力学系统可以描述系统状态随时间的演化规律，分析系统的稳定性、周期性和混沌性质。

2.4 随机过程随机过程是一类描述随机现象演化规律的数学模型，包括马尔可夫链、随机微分方程、随机分形等。

随机过程可以描述复杂混沌系统中的随机性质。

三、分析方法3.1 常微分方程数值解法常微分方程数值解法是研究复杂混沌系统的重要数值方法，包括欧拉方法、隐式方法、龙格-库塔方法等。

混沌多项式

混沌多项式
1 简介
混沌多项式是一种具有混沌行为的数学模型，也是一种经典的分
形图像。

它由美国数学家Edward Lorenz在1963年首次提出。

2 混沌的定义
混沌可以简单地定义为在某些范围内没有确定性预测的现象。

混
沌的特点是初始条件的微小差异可能会引起很大的不同结果。

3 多项式的定义
多项式是代数学中的一个基本概念，指的是有限个常数乘以一些
变量的幂次，并加上一个常数的代数表达式。

例如，x²+2x+1就是一个二次多项式。

4 混沌多项式的定义
混沌多项式是一种特殊的实系数多项式。

它的形式非常简单，只
有一个参数- α （alpha），形式为：xn+1 = αxn(1-xn)，其中n是
正整数。

混沌多项式的值域在[0,1]之间。

5 混沌多项式的特点
混沌多项式是具有混沌行为的系统。

当α的值在一定范围内时，
这个系统会出现混沌现象，即其结果会在一定范围内乱跳，无法预测。

但是在某些时候，结果会收敛到某个值上。

6 混沌多项式的应用
混沌多项式在密码学、信号处理、计算机图像等领域有重要的应用。

例如，在密码学中，可以利用混沌多项式生成伪随机数从而保障数据的安全性。

在信号处理中，也可以使用混沌多项式进行数字信号压缩和图像加密等操作。

7 总结
混沌多项式的提出不仅丰富了混沌理论的内容，而且对于解决实际问题也有很大的作用。

混沌多项式的研究还需要进一步深入，可以在很多领域得到广泛的应用。

二次曲面的方程与图形

研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
y2 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2. 抛物面
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
z
z
O yy xx
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到)
内容小结二次曲面
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
x
O
y
平面 z z1 上的截痕为椭圆.

经典：第4章-DEM的建立

2020/12/22
4.3DEM内插数学模型
优点: 整个区域上函数的唯一性，能得到全局光滑连续的DEM；充分反映宏观地形特征，编程简单。应用: 在DEM内插中，一般与局部内插方法配合使用，例如在使用局部内插方法前，利用整体内插去掉不符合总体趋势的宏观地物特征。另外也可用来进行地形采样数据中的粗差检测。
其数学基础是二元函数逼近，即利用已知离散点的三维空间坐标数据，展铺一张连续数学曲面，将任一待求点的平面坐标带入曲面方程，可算出该点的高程数值。内插的实质：就是根据分布在内插点周围的采样点的高程求出未知点的高程，在数学上属于数值分析中的插值问题。任何一种内插方法都是基于原始地形起伏变化的连续光滑性，或者说邻近的数据点间的相关性，才可能由邻近的数据点内插出待定点的方程。
2020/12/22
DEM内插
2020/12/22
数据分布
内插范围内插曲面与参考点关系
DEM内插分类方法规则分布内插方法不规则分布内插方法等高线数据内插方法整体内插方法局部内插方法逐点内插方法纯二维内插曲面拟合内插
内插函数性质地形特征理解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ多项式内插
样条内插有限元内插最小二乘配置内插克立金内插加权平均值内插
空间自相关及方向变异
大部分的地理现象都具有空间相关特性，即距离越近的两事物越相似。这一特性也是空间地统计分析的基础。 • 空间自相关是指空间位置上越靠近的事物或现象就越相似，即事物或现象具有空间位置的依赖关系。如气温、湿度等的空间分布体现了与海陆距离、海拔高程的相关性。如果没有空间自相关性，地理事物和现象的分布就是随意的，地理学中的空间分布规律就不能体现
2020/12/22

分形几何的典型范例

分形几何有许多典型的范例，以下是其中一些：
1. 谢尔宾斯基三角形：这是一种自相似的分形图形，通过不断将三角形划分为更小的三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。

2. 谢尔宾斯基垫片：这是由谢尔宾斯基三角形进一步演化而来的一种分形图形，由三角形内部的三角形构成，整体呈现出一个自相似的模式。

3. 科赫曲线：又称为科赫雪花或科赫蛇，是一种分形曲线。

通过不断将一段线段分割成等长的两段，然后将每一段线段的中间部分弯曲成等边三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。

4. 曼德布罗集：这是由数学家本华·曼德布罗提出的分形图形，通过不断将单位正方形进行切割和填充，最终得到的图形是一个具有无限复杂性的集合。

5. 皮亚诺曲线：这是一种由意大利数学家皮亚诺提出的分形图形，它是一种在平面上的连续曲线，通过不断将线段进行延长和弯曲，最终得到的图形具有无限复杂性和自相似性。

这些只是分形几何中的一些典型范例，实际上还有许多其他的分形图形和结构，如朱利亚集、费根堡姆曲线等。

这些分形图形的特点是具有无限的复杂性和自相似性，并且在许多领域中得到了应用。

牛顿分形图分类图鉴之多项式

牛顿分形图分类图鉴之多项式
牛顿迭代分形理论上可以使用任何基础数学公式，比如加减乘除，指数，三角函数，对数等，接下来几篇就做一下各个分类的专题，算是一个图谱吧，虽然各种可能性是无穷无尽的，这里只能挑一下具有代表性的展示
单项加常数项
规律性比较强，就看分支数量，就是最高次幂的次数，单项的如果次数过高，中间的洞会越来越大，影响观感，
多项混合三次以下
多项混合高次
总的规律就是次数越高，混合的项越多，图形越复杂。

太复杂的图形观感一般也不好，所以上面展示的基本就比较常用的公式了，至于变换因子继续混合，组合基本是无穷多的，但是只要是多项式，一般都比较类似，只是细节不同罢了。

相关参数供参考：
范围：{x,-1,1},{y,-1,1}
步长0.002
分辨率：1024*1024
最大迭代次数：1000
收敛半径：0.0001
逃逸半径10000。

曼德勃罗集合分形图案

曼德勃罗集合分形图案三、曼德勃罗集合（Mandelbrot Set）曼德勃罗集合（Mandelbrot Set）或曼德勃罗复数集合，是⼀种在复平⾯上组成分形的点的集合，因由曼德勃罗提出⽽得名。

曼德博集合可以使复⼆次多项式进⾏迭代来获得。

其中，c是⼀个复参数。

对于每⼀个c，从z = 0 开始对f c(z)进⾏迭代。

序列的值或者延伸到⽆限⼤，或者只停留在有限半径的圆盘内（这与不同的参数c有关）。

曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸⾄⽆限⼤的所有c点的集合。

最后，我们给出⼀个利⽤C语⾔⽣成Mandelbrot集合并绘制图形的程序（该程序来⾃⽂献【1】）：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <complex.h>#define width_size 800#define height_size 600#define Maxval 255static const float orig_x = width_size * 2/3;static const float orig_y = height_size * 1/2;static const pixel dim_gray = { 105, 105, 105 };typedef struct _pixel {unsigned char r;unsigned char g;unsigned char b;} pixel;static unsigned char iteration(int x, int y){const int limit = Maxval + 1;int i;complex c = ((x - orig_x) / (width_size / 3)) +((orig_y - y) / (height_size / 2)) * I;complex z = 0;for (i = 0; i < limit; i++) {/* basic formula */z = z * z + c;if (creal(z) > 2 || cimag(z) > 2)break;}return (unsigned char) (i == limit ? 0 : i);}int main(){FILE *f = fopen("mandelbrot.ppm", "w+");/* PPM header */fprintf(f,"P6\n"/* PPM magic number */"#Mandelbrot Set\n""%d "/* width, in ASCII decimal */"%d\n"/* height, in ASCII decimal */"%d\n", /* maximum color value, in ASCII decimal */width_size, height_size, Maxval);/* Write every pixel generated by Mandelbrot Set */for (int i = 0; i < height_size; i++) {for (int j = 0; j < width_size; j++) {unsigned char iter = iteration(j, i);if (iter) {pixel p = {.r = iter,.g = (float) abs(j - orig_x) / width_size * Maxval,.b = (float) abs(i - orig_y) / height_size * Maxval };fwrite(&p, sizeof(pixel), 1, f);} else {fwrite(&dim_gray, sizeof(pixel), 1, f);}}}fclose(f);return0;}上述程序所⽣成的图像结果如下图所⽰，需要补充说明的是：该图像⽂件格式为ppm，在Windows下你可以使⽤Photoshop 来查看这种类型的图像⽂件，在OS X系统下你可以使⽤免费的GIMP软件来查看它。

自仿射分形,自反演分形和自平方分形

自仿射分形,自反演分形和自平方分形自仿射分形、自反演分形和自平方分形分形（Fractal）是指在任意缩放下都能保持自相似性的几何形状。

在数学上，分形是一种具有非整数维度的特殊几何体。

自仿射分形、自反演分形和自平方分形是三种常见的分形类型。

本文将对这三种分形进行介绍和探讨。

一、自仿射分形自仿射分形是指通过平移、旋转、缩放等仿射变换产生的分形。

其中最经典的自仿射分形是科赫曲线（Koch Curve）。

科赫曲线是通过迭代地将线段分成三等分，并以等边三角形代替中间的一段线段而生成的。

科赫曲线具有无穷细节和边长无限增长的特点，即使只是一条有限长度的线段，也能产生复杂的形态。

自仿射分形还包括谢尔宾斯基三角形、棉花糖曲线等。

二、自反演分形自反演分形是指通过对自身进行反演操作而生成的分形。

最著名的自反演分形是谢尔宾斯基地毯（Sierpinski Carpet）。

谢尔宾斯基地毯是通过在一个正方形中去除中央的正方形并以余下部分的8个缩小副本填充而生成的。

经过无限次反演操作后，谢尔宾斯基地毯逐渐呈现出结构复杂、形状不规则的特点。

此外，自反演分形还包括谢尔宾斯基三角形、迭代函数系统等。

三、自平方分形自平方分形是指通过自身的平方操作而生成的分形。

其中最典型的自平方分形是曼德勃罗集（Mandelbrot Set）。

曼德勃罗集是以数学家本尼迪克特·曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）命名的，它是复平面上一组逃逸时间无限的点的集合。

曼德勃罗集的图像呈现出规则的几何结构和复杂的边界特征，具有无限细节和自相似性。

此外，自平方分形还包括朱利亚集、维诺亚图等。

总结：自仿射分形、自反演分形和自平方分形是分形中的三种重要类型。

它们分别以自我仿射、自我反演和自我平方的方式生成具有非整数维度的几何形状。

这些分形呈现出丰富的细节和复杂的结构，具有独特的美学价值和数学属性。

通过研究分形，我们不仅可以欣赏到自然界和数学世界中的奇妙形态，还可以深入探索细节世界中的规律和普遍性。

数学中的离散动力系统与分形几何

离散动力系统和分形几何是数学中两个非常重要且相互关联的研究领域。

离散动力系统主要研究非线性离散演化方程、差分方程等在时间和空间上的演化规律；而分形几何则研究自相似性和一些奇特的几何形状。

两者结合在一起，给数学研究带来了诸多新的视角和发展方向。

在离散动力系统研究中，我们通常会考虑一个演化方程的离散形式。

离散动力系统可以描述许多自然现象和物理过程，如人口的增长与变化、生态系统的稳定性、网络的传播和复杂系统的行为等。

通过数学建模和计算方法，我们可以对这些系统进行分析和预测。

离散动力系统的一个典型例子就是著名的“Logistic映射”。

Logistic映射可以描述人口的增长模型。

它的形式是一个非线性差分方程：Xn+1 = rXn(1 - Xn)，其中r是控制参数，Xn代表第n个时间步的人口比例。

通过对映射方程的迭代，我们可以得到人口比例的演化轨迹。

而人口的演化行为则取决于参数r的取值。

当r小于3时，演化趋于稳定的固定点；当r在3到3.57之间时，演化呈现周期轨道；当r大于3.57时，演化变得混沌。

这种混沌现象可以认为是人口增长模型的局部不稳定性所导致的。

与离散动力系统相同，分形几何也涉及到自相似性和不规则的几何形状。

分形几何在不同的尺度上具有相似的结构和形态，无论是放大还是缩小，都能看到相似的图案。

常见的分形图形有科赫曲线、蒂塔多雷集等。

分形几何的研究可以帮助我们更好地理解自然界中的许多复杂结构，如云朵的形状、山脉的轮廓和河流的分布等。

在实际应用中，分形几何也被广泛应用于图像压缩、信号分析等领域。

离散动力系统和分形几何的相互关联也引起了研究者们的兴趣。

事实上，许多离散动力系统显示出分形特征。

比如，当我们观察一条相图中的轨道时，会发现其形状和结构在不同的尺度上都能看到相似的图案。

这种自相似性的特征与分形几何的性质相呼应。

因此，研究者们开始探索离散动力系统和分形几何之间的联系，并提出了一些相关理论和方法。

总之，离散动力系统和分形几何是数学中两个重要的研究领域。

经典的分形算法 (1)

经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。

它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。

它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。

1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。

1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。

这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。

1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。

1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。

1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。

以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。

真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。

二次曲线分类及标准型

二次曲线分类及标准型
二次曲线是二次多项式方程的图像，通常可以表示为形如 y = ax^2 + bx + c 的方程，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

根据二
次曲线的特征，可以将其分为以下几类，抛物线、椭圆、双曲线和圆。

1. 抛物线，抛物线是最常见的二次曲线类型。

根据二次项系数
a 的正负性，抛物线可以分为两类，当 a > 0 时，抛物线开口向上，称为正抛物线；当 a < 0 时，抛物线开口向下，称为负抛物线。

抛
物线的标准型为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

2. 椭圆，椭圆是一种闭合曲线，其定义为到两个给定点的距离
之和等于常数的点的轨迹。

椭圆的标准型为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。

3. 双曲线，双曲线是一种开放曲线，其定义为到两个给定点的
距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的标准型为 x^2/a^2
y^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别是双曲线的长半轴和短半轴。

4. 圆，圆是一种特殊的椭圆，其定义为到给定点的距离等于常
数的点的轨迹。

圆的标准型为 (x h)^2 + (y k)^2 = r^2，其中 (h, k) 是圆心的坐标，r 是半径的长度。

需要注意的是，以上标准型是简化形式，实际上二次曲线的方
程可能经过平移、旋转等变换后的形式会有所不同。

除了上述分类和标准型，二次曲线还有许多其他的性质和特点，如焦点、直径、离心率等。

这些性质可以通过对二次曲线方程进行
进一步的分析和计算来得到。

第三章分形和多重分形资料讲解

第三章分形和多重分形第三章分形和多重分形分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。

分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。

单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。

实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。

为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。

在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。

从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。

表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。

多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。

§3.1 分形的基本理论3.1.1 分形理论的基本概念㈠分形分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。

在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。

由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot 集、Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。

comp1

主要内容参考书中国科学技术大学出版社，(1993)(1995)(1992)著，祝玉学，赵学龙译,物理系统的元清华大学出版社(2003)迭代、混沌、分形Julia 集与Mandelbrot 集迭代、混沌、分形迭代函数系统绘制分形图形迭代、混沌、分形§1 计算物理量的迭代方法共同之处：自第二项开始，每一项都是对其前000,,2,...a a d a d++0001,,2,...n na a d a d x x d+++⇒=+20001,,,...n na a q a q x qx+⇒=这种不断重复同一种运算的算法称为迭代法如果一个物理量的表达式中含有该物理量本身()x f x =切比雪夫加速1.1 直接迭代法0112231,()()()......()n nxf x xf x xf x xf x x+====设初值when+111111()()()()n nn nn n nn nif x x thenf x f xf x x x xf x x++++++==⎫⇒=⇒=⎬=⎭1.2 牛顿迭代法{}()0()()()0g x x f x f x x g x ==⇒−==000000()()()()0()()g x g x g x x x g x x x g x ′≈+−=⇓=−′10121111123221,()()()|()|()()()......()()n n nn nnnn nnxg xx xg xg xx x if g x then x xg xx xg xx x andg x xg xx xg xδε++++=−′=−<≈′−=−≤′=−′设一个ε相对误差精度，绝对误差精度1.3 混合输入迭代法1-121-122+(1)()(+(1))0,,1n n n n n n n n n x x x x f x f x x x x αβαβαβαβαβαβ+−+−+=+−−=+−−=<+<111-12(1)()(+(1))01n n n n n n n x x x f x f x x x mixing coefficientααααα+−++=+−=−=<<1.4 多元变量{}({})i ix f x=(,)(,)x f x yy g x y=⎧⎨=⎩11(,)(,)n n nn n nx f x yy g x y++=⎧⎨=⎩111111((1),(1))((1),(1))n n n n nn n n n nx f x x y yy g x x y yαααααααα+−−+−−=+−+−⎧⎨=+−+−⎩nε≤{()}({()})i i x f x ϕϕ=21()()Ni i i r n r ρψ==∑§2 混沌发现: 名词出现:的类似随机的输出。

算术动力系统分形结构的统计性质

算术动力系统分形结构的统计性质算术动力系统（Arithmetic Dynamics System）是研究数论和动力系统相结合的一个分支领域，它探索了数学中的算术操作与动力学概念的相互关系。

其中，分形结构的统计性质作为算术动力系统中的重要内容，对于深入理解数学的奥妙具有重要意义。

分形（Fractal）是指几何形状中具有自相似性质的特点。

它可以在不同的尺度下呈现出相似的形状，即无论如何放大都能发现相同的图案。

在算术动力系统中，分形结构是通过迭代计算得到的，通过不断重复一定的计算过程，最终形成具有自相似性质的图案。

算术动力系统的分形结构具有丰富的统计性质。

首先，它展现了明显的尺度不变性。

尺度不变性是指在不同的尺度下，系统的统计性质保持不变。

这意味着无论我们观察分形图案的哪一部分，统计指标都是相同的。

比如，我们可以选择观察分形图案中的一个小区域，统计其中的点的数量，并与整个图案的点的数量进行比较，结果会非常接近。

这种尺度不变性使得我们能够借助统计方法来描述分形结构的性质。

其次，算术动力系统分形结构的统计性质表现出自相似性。

自相似性是指分形图案的部分与整体具有相似的性质。

无论我们观察分形图案的哪一部分，都能发现与整体相似的特征。

这种自相似性使得算术动力系统的分形结构具有一种统一的规律性，这种规律性可以通过数学方法进行描述和分析。

此外，算术动力系统分形结构还具有碎形维度的统计性质。

碎形维度是描述分形图案复杂程度的一个指标，它可以衡量分形形状的“酒窝”的密集程度。

对于算术动力系统的分形结构来说，碎形维度可以帮助我们理解其图形形状的特殊性质。

更重要的是，通过计算分形图案的碎形维度，我们可以了解到该系统的分形结构对于不同的参数变化的响应情况，从而推测出其中隐藏的动力学机制。

最后，算术动力系统的分形结构还表现出长时间尺度的统计性质。

长时间尺度统计性质是指在时间的演化过程中，系统的统计性质保持不变。

这意味着无论我们选择哪个时间段来观察算术动力系统的分形结构，统计指标都会保持稳定。

分形结构

(4)分维谱 (4)分维谱
定义：维欧氏空间对某一个集合（定义：设 {Ci} (i=1,…,N)为D维欧氏空间对某一个集合（如吸引为维欧氏空间对某一个集合的覆盖。一条轨道若随着时间趋于无穷，子）的覆盖。一条轨道若随着时间趋于无穷，可以遍历该集合的除一个零Lebesgue测度外的所有点，我们称该轨道是典型的。测度外的所有点，的除一个零测度外的所有点我们称该轨道是典型的。设从x0出发的一条典型轨道，其在T时间内在 i内度过的时间设从出发的一条典型轨道，其在时间内在C 时间内在则定义该Ci的自然测度为为η(ci,x0,T),则定义该的自然测度为：则定义该的自然测度为：
s i =1 i =1 ∞ ∞
则称H s ( F )为F的s维豪斯道夫测度。可证明，ℜn中任何子集的n维豪斯道夫测度与 n维勒贝格测度（n维体积）仅相差一常数倍。
中波雷尔子集，若F是Rn中波雷尔子集，则
Η = CnVol (F )
n n
其中常数：其中常数：
Cn = π
1n 2
/ 2 ( n)!
s
0
dim H F
dim H F 称为F的豪斯道夫维。
s
(3)计盒(box-counting)维数
• 改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。
若用N(δ , F )表示覆盖F的盒子数目，则根据豪斯道夫测度定义
∞ s
H δs ( F ) = inf{∑ | Vi | :{Vi }为F的δ 覆盖}
µi = limT →∞
η ( Ci , x0 ,T )
T
定义：定义：
Dq =
1 1− q