第二章逻辑代数基础_1

例如：二变量函数 的真值表 的真值表。 例如：二变量函数F的真值表。
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强调：列真值表时，输入变量的取值组合 强调：列真值表时， 应按二进制数递增的顺序排列， 应按二进制数递增的顺序排列，以免遗漏 或重复。 或重复。 3､逻辑表达式 ､
逻辑表达式是由输入变量和逻辑运算符号组成。 逻辑表达式是由输入变量和逻辑运算符号组成。 逻辑运算符为： 逻辑运算符为：“•”，“+”，“/” ， ，
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例二: 例二 注意: 在等式中凡是有所要代换的变量出现的地方 注意 (1)在等式中凡是有所要代换的变量出现的地方 都要用函数代替。 都要用函数代替。 (2)尤其不要忘记代入非号下应被代换的变量。 尤其不要忘记代入非号下应被代换的变量。 尤其不要忘记代入非号下应被代换的变量 二､反演规则
8.分配律 分配律
9.反演律 反演律
对同一基本公式左、右两列存在对偶关系。 对同一基本公式左、右两列存在对偶关系。 对偶关系：在保持符号运算顺序不变的情况下， 对偶关系：在保持符号运算顺序不变的情况下，“ 互换。 与”—“或”互换，常量“0”—“1”互换。 或 互换，常量“ 互换
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每个逻辑表达式（函数）的真值表都是唯一的。 每个逻辑表达式（函数）的真值表都是唯一的。 逻辑表达式1 逻辑表达式 真值表1 真值表 逻辑表达式2 逻辑表达式 真值表2 真值表
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2､消项公式 ､
3､消去互补因子公式 ､
NJUቤተ መጻሕፍቲ ባይዱT
4､多余项公式 ､
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2.4逻辑代数的基本规则 逻辑代数的基本规则
一､代入规则 设:F1(X1,X2,X3,•••, Xn)=F2(X1,X2,X3,•••, Xn)并 并 另有函数G代替 则有 代替X 另有函数 代替 1,则有 F1( G , X2 ,X3 ,••• , Xn )=F2(G ,X2 ,X3 , ••• , Xn ) 代入规则:对于一个等式 如在等式两边所出现的某个 代入规则 对于一个等式,如在等式两边所出现的某个 对于一个等式 变量的地方,都用同一个函数代入 则等式仍成立。 都用同一个函数代入,则等式仍成立 变量的地方 都用同一个函数代入 则等式仍成立。 例一： A（B+C）=AB+AC 例一： （ ） 若 C=EF ，则 A（B+EF）= AB+AEF （ ）
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2､逻辑加（或运算） ､逻辑加（或运算）
逻辑关系：只要具备一个或一个以上的条件， 逻辑关系：只要具备一个或一个以上的条件，结果 就会发生。 就会发生。 开关闭合为“ 开关闭合为“1” 开关打开为“ 开关打开为“0” 灯亮为“ 灯亮为“1” 灯灭为“ 灯灭为“0”
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逻辑功能： 逻辑功能：“有1出1，全0出0” 出 ， 出 逻辑表达式 : L=A+B
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实现逻辑相加（或运算）的电路称为或 实现逻辑相加（或运算）的电路称为或 ），它也可以用三种或门逻辑 门（OR gate ），它也可以用三种或门逻辑 符号来表示。 符号来表示。
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3､逻辑反（非运算） ､逻辑反（非运算） 逻辑反（非运算）是逻辑的否定， 逻辑反（非运算）是逻辑的否定，当条件不成 立时，与其相关的事件却为真。 立时，与其相关的事件却为真。 开关闭合为“ 开关闭合为“1” 开关打开为“ 开关打开为“0” 灯亮为“ 灯亮为“1” 灯灭为“ 灯灭为“0”
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2､ 或运算 ､ (1) 算符 “＋ ”（或者“∨”、“∪”、“OR”) ＋ 或者“ (2) 运算规则 0 ＋ 0 = 0, 0 ＋ 1 = 1, 1 ＋ 0 = 1, 1 ＋ 1 = 1 (3) 逻辑表达式 F = A ＋ B 逻辑表达式: (4) 逻辑符号
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3 ､非运算 (1)算符 算符 “— ” (2) 运算规则
A B =1 F A B + F A B
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B 0 1 0 1
F 0 1 1 0 模二加
F
5.同或运算 、B取值相同时，F才为 ： 同或运算(A、 取值相同时 取值相同时， 才为 才为1)： 同或运算 (1) 逻辑表达式： 逻辑表达式： (2) 同或逻辑真值表 F = A⊙B = A B + A B ⊙ A 0 0 1 1 (3) 逻辑符号
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A· 1 =A A· 0 = 0 A·A=A A·A= 0
7.结合律 结合律
A+ B+ C = (A + B) + C = A + (B + C) A ·(B + C) = AB + AC A+ B=A· B
A· B· C = (A · B) · C = A · (B · C) A + BC = (A + B) ·(A + C) AB = A + B
例如： 例如：
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应用实例：人们常常在楼上､楼下各装一个“单 应用实例：人们常常在楼上､楼下各装一个“
刀双掷”开关，使得在楼下开灯照亮了楼梯， 刀双掷”开关，使得在楼下开灯照亮了楼梯，待 人上了楼之后再在楼上把灯关掉。同样也可以在 人上了楼之后再在楼上把灯关掉。 楼上开灯，楼下关灯。 楼上开灯，楼下关灯。
A B = F A B
B 0 1 0 1
F 1 0 0 1
A B
.
F
F
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6､真值表 ､
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2.3逻辑代数的公式 逻辑代数的公式
个基本公式) 一､基本公式(9个基本公式 基本公式 个基本公式 1.自等律 自等律 2.吸收律 吸收律 3.重叠律 重叠律 4.互补律 互补律 5.还原律 还原律 6.交换律 交换律 A+ 0 =A A+ 1 = 1 A+A=A A+A= 1 A =A A+ B= B +A A· B= B ·A
第二章
逻辑代数基础
2.1 概述
逻辑代数： 逻辑代数：描述和研究客观世界中事物间逻辑关系 的数学，它把事物间逻辑关系简化为符号间的数学 的数学，它把事物间逻辑关系简化为符号间的数学 运算。 运算。 用类似普通代数形式研究逻辑代数是英国数学家 布尔（ 布尔（G. Boole）最早提出，所以也称为布尔代数 ）最早提出，所以也称为布尔代数 又因为布尔代数中的常量、变量都只有“ 。又因为布尔代数中的常量、变量都只有“真”（ True）和“假”（False）两种取值，所以也称为 ） ）两种取值， 二值代数。 二值代数。
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二､基本的逻辑运算
基本的逻辑运算有与､ 基本的逻辑运算有与､或､非三种，它们可以由 非三种， 相应的逻辑电路实现。 相应的逻辑电路实现。 1､逻辑乘（与运算） ､逻辑乘（与运算） 逻辑关系：只有所有的条件同时具备， 逻辑关系：只有所有的条件同时具备，结果 才会发生。 才会发生。
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2.2逻辑代数中的运算 逻辑代数中的运算
一、三种基本逻辑 1.与运算 与运算 (1) 算符 “ · ”（或者“×”、“∧”、“∩”、 （或者“ 、 ” “AND”) (2) 运算规则 0·0=0,0·1=0,1·0=0,1·1=1 (3) 逻辑表达式：F = A · B 逻辑表达式： (4) 逻辑符号
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逻辑表达式 : L = A
输出
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三､逻辑函数及其表示方法 1.逻辑函数概念 逻辑函数概念
如果逻辑变量X 的取值决定后,逻 如果逻辑变量 1, X2, X3,•••, Xn的取值决定后 逻 辑变量F的取值也唯一地被确定了 则称F是 的取值也唯一地被确定了,则称 辑变量 的取值也唯一地被确定了 则称 是X1, X2, 的逻辑函数。记作： X3,•••, Xn的逻辑函数。记作：
证明两个逻辑表达式相等的方法： 证明两个逻辑表达式相等的方法：列出各自的真值表 观察是否相同。 观察是否相同。 基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证明。 基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证明。
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二､异或､同或逻辑公式 异或､ 1､基本公式 ､
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分配率
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(3) 逻辑表达式 (4) 逻辑符号
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二、复合逻辑运算 1.与非运算： 与非运算： 与非运算 (1) 逻辑表达式： 逻辑表达式： (2) 逻辑符号
A B & F A B F A B F
F = AB
(3) 逻辑功能：“有0出1，全1出0” 逻辑功能： 出 ， 出
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2. 或非运算： 或非运算：
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A B C A⊕B ⊕B 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
C 0 1 0 1 0 1 0 1
A⊕C 0 1 0 1 1 0 1 0
B 0 0 1 1 0 0 1 1
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用真值表证明： 用真值表证明： 若A⊕B=C，则 ⊕ ， A⊕ 有A⊕C=B
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(4)当多个“0”､“1”同或时 起作用的是“0”的个数。 当多个“ ､ 同或时,起作用的是 的个数。 当多个 同或时 起作用的是“ 的个数 1）奇数个“0”同或得“0”。例： ⊙0⊙0⊙0=0 ）奇数个 同或得 。例： 同或得“ 。例：1⊙ ⊙ ⊙ 2）偶数个“0”同或得“1”。例： ⊙0⊙1⊙1=1 ）偶数个 同或得 。例： 同或得“ 。例：0⊙ ⊙ ⊙ 三､常用公式 1､合并相邻公式 ､
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两个“单刀双掷” 两个“单刀双掷”开 关的接点为: ､ 关的接点为 a､b 和 c､ ､ d。 令： a､b 为1； ､ ； c､d为0。 c､d为0。 L=1----灯亮 灯亮 1 0 0 1 L=0----灯灭 灯灭 L和A､B之间的关系可以表示为： 和 ､ 之间的关系可以表示为： 之间的关系可以表示为