数学建模：运算符号

[n,d]=numden(s) – 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。
例 对表达式 f=x/y+y/x 进行通分。
– syms x y
– f=x/y+y/x;
– [n,d]=numden(f)
– n=
–
x^2+y^2
– d=
– y*x
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基本的符号运算（续）
因式分解与展开
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符号计算基础（续）
考察符号变量和数值变量的差别
例
a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d'); %定义4个符号变量
w=10;x=5;y=-8;z=11;
%定义4个数值变量
A=[a,b;c,d]
%建立符号矩阵A
B=[w,x;y,z]
%建立数值矩阵B
det(A) det(B)
主要内容 符号计算基础 符号函数及其应用 符号积分 级数 符号方程求解 其他常用命令
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符号计算基础
MATLAB定义了一种符号数据类型
– 运算对象为符号对象
» 符号常量：无变量的符号表达式称作符号常量 » 符号变量 » 符号表达式
建立符号对象
– x=sym(‘x’) 创建单个符号常量/变量x
» 符号常量： x不为变量 » 符号变量： x为字符、字符串、表达式或字符表达式
MATLAB 符号运算
1
x a xa
lim
xa
x2 a2
s2
1
1 2
1 3
1 4
d2x
dt 2 d2y
dt 2
y x
0 0
sin x 4xdt
2t
(1)n1 1 n
x2 y2 5 2x2 3xy 2y2 0
2
符号运算
什么是符号运算？
– 直接对抽象的符号对象进行计算，结果以标准的符号形式来表示。 – 可以获得比数值计算更一般的结果。
%计算符号矩阵A的行列式 %计算数值矩阵B的行列式
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符号计算基础（续）
比较符号常数与数值在代数运算时的差别
例
pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3'); % 定义符号变量
pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;
% 定义数值变量
sin(pi1/3)
% 计算符号表达式值
sin(pi2/3)
% 计算数值表达式值
sqrt(k1)
% 计算符号表达式值
sqrt(r1)
% 计算数值表达式值
sqrt(k3+sqrt(k2))
% 计算符号表达式值
sqrt(r3+sqrt(r2))
% 计算数值表达式值
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基本的符号运算（续）
基本的符号运算
– 符号表达式的四则运算 »+ , - , * , / 。
的MATLAB命令。
符号表达式例子以及MATLAB等效表达式
符号表达式
1 2xn
y 2x cos(x 2 ) sin(2x)
a b
M c
d
MATLAB表达式
' 1/(2*x^n) ' y= ' 1/sqrt(2*x) ' ' cos(x^2)-sin(2*x) ' M=sym( ' [a，b；c，d] ' )
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基本的符号运算（续）
例
u f=sym('2*x^2+3*x-5') u g=sym('x^2-x+7') u f+g u f-g u f*g u f/g u f^3
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基本的符号运算（续）
符号表达式的提取分子和分母运算(分式通分)
– 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用 numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：
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基本的符号运算（续）
表达式展开：expand(S)
– 例 展开表达式f=(x+1)5和f=sin(x+y) – syms x y – f=(x+1)^5; – expand(f) – f=sin(x+y); – expand(f)
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基本的符号运算（续）
符号表达式的同类项合并：collect(S,n)
– 它最初是由加拿大的滑铁卢（Waterloo）大学开发的。当要求MATLAB进行符号 运算时，它就请求Maple去计算并将结果返回到MAT箱(函数)集合，有符 号具表。达式的运算，复合、简化、微分、积分以及求解代数方程和微分方程的3 工
符号运算的特点：
– 运算以推理解析的方式进行，因此不受计算误差积累问题困扰； – 计算结果或给出完全正确的封闭解，或给出任意精度的数值解（当封闭解不存在
时）；
– 符号计算指令的调用比较简单，经典教科书公式相近； – 计算所需时间较长，有时难以忍受。
MATLAB符号运算是通过集成在MATLAB中的符号运算工具箱（symbolic math toolbox)来实现的。符号数学工具箱中的工具是建立在功能强大的称作 Maple软件的基础上。
– syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为： syms a b c d .
» 这种格式定义符号变量时不需要在变量名上加字符分界符(')，变量间用空格 而不要用逗号分隔。
» 书写简洁意义清楚，建议使用。
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符号计算基础（续）
符号表达式
– 含有符号对象的表达式称为符号表达式
MATLAB在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变 量或运算相区别；否则，这些符号表达式几乎完全象基本
– 符号表达式的提取分子和分母运算
» numden
– 因式分解与展开
» factor,expand
– 表达式化简
» simplify,simple
– 符号表达式与数值表达式之间的转换
» sym,numeric,eval
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基本的符号运算（续）
符号表达式的四则运算
– 符号表达式的四则运算和其他表达式的运算并无不同，但要注意 ，其运算结果依然是一个符号表达式。
– factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。 – expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。 – collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。 – collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵 例1： 对表达式f=x9-1进行因式分解。 – syms x – f=factor(x^9-1) 例2：对大整数12345678901234567890进行因式分解 – factor(sym('12345678901234567890'))