2014年考研数学模拟试题(数学一)

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2014年考研数学(一)真题与解析(完整版)

0 2 0
1

1
应该选（D）
４．若函数

( x a1 cos x b1 sin x ) 2 dx min ( x a cos x b sin x ) 2 dx ，则 a1 cos x b1 sin x
a ,bR

（Ａ） 2 sin x 【详解】注意
1 y 1 ，可知 lim 1 且 lim ( y x ) lim sin 0 ，所以有斜渐近线 y x x x x x x x
（B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （D）当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x )

（Ｂ） 2 cos x
（Ｃ） 2 sin x
（Ｄ） 2 cos x
x

2
2 dx 3 ， cos 2 xdx sin 2 xdx ， x cos xdx cos x sin xdx 0 ， 3 2
x sin xdx 2 ，
如果换成直角坐标则应该是

0
1
dx
1 x 2
0
f ( x , y )dy dx
0
1
1 x
0
（ A），（B） f ( x , y )dy ，
两个选择项都不正确；
如果换成极坐标则为

2 0
d cos sin f ( r cos , r sin )rdr d cos sin f ( r cos , r sin )rdr ．
2 2
其中 :

2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】

2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

）1．下列曲线有渐近线的是（）。

A．y＝x＋sinxB．y＝x2＋sinxC．y＝x＋sin（1/x）D．y＝x2＋sin（1/x）【答案】C【考点】曲线的渐近线的定义和求解方法【解析】对于C项，y＝x＋sin（1/x），首先观察到不存在水平渐近线和垂直渐近线。

设曲线的斜渐近线为y＝kx＋b，故曲线y＝x＋sin（1/x）有斜渐近线y＝x。

因此，选择C项。

2．设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在[0，1]上（）。

A．当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）B．当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）C．当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）D．当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）【答案】D【考点】函数图形凹凸性的定义及应用【解析】令F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x，则F（0）＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x），故当f″（x）≥0时，F″（x）≥0，则函数F（x）是凹的。

故在区间[0，1]上，F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即F（x）＝f（x）－g（x）≤0，因此f（x）≤g（x）。

故选择D项。

3．设f（x，y）是连续函数，则（）。

A．B．C．D．【答案】D【考点】二重积分的积分顺序互换及二重积分在直角坐标和极坐标间的相互变换【解析】可画出积分区域如图1所示。

图1若交换积分顺序，则原式变为故A，B两项不正确；若进行极坐标变换，则原式变为则D项正确。

4．若函数则a1cosx＋b1sinx＝（）。

A．2sinxB．2cosxC．2πsinxD．2πcosx【答案】A【考点】观察积分和转化问题的能力【解析】由题得则所以原问题转化为求函数a2＋b2－4b的极小值点，显然可知当a＝0，b＝2时取得最小值，即a1＝0，b1＝2，所以a1cosx＋b1sinx＝2sinx，故应该选A。

考研数学一(解答题)模拟试卷145(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷145(题后含答案及解析)题型有：1.1．设4阶矩阵A＝(α，γ1，γ2，γ3)，B＝(β，γ1，γ2，γ3)，｜A｜＝2，｜B｜＝3，求｜A＋B｜．正确答案：A＋B＝(α＋β，2γ1，2γ2，2γ3)，｜A＋B｜＝｜α＋β，2γ1，2γ2，2γ3｜＝8｜α＋β，γ1，γ2，γ3｜＝8(｜α，γ1，γ2，γ3｜＋｜β，γ1，γ2，γ3｜) ＝8(2＋3)＝40．涉及知识点：行列式2．设f(μ，ν)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，求.正确答案：涉及知识点：多元函数积分学3．设ex+y=y确定y=y(x)，求y′，y″；正确答案：注意y是x的函数，将方程两端对x求导得ex+y(1+y′)=y′，即y′=．(这里用方程ex+y=y化简)再对x求导得或将满足的方程两边对x求导得的表达式，同样可求得涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算4．求正确答案：涉及知识点：高等数学5．求极限。

正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续6．设A=(aij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X，都有XTAX=0A 为反对称矩阵．正确答案：必要性：取X=εj =(0，…，0，1，0，…，0)T(第j个分量为1，其余分量全为零的n维列向量)，则由0=εjTAεj=aij，及i≠j时，有0=(εi +εj)TA(εi+εj)=εiTAεi+εiTAεi+εjTAεi+εjTAεj=0+aij+aij+0=aij+aji，可知A为反对称矩阵．充分性：若AT=一A，则XATX=一XTAX，又XTATX为1阶方阵，其转置不变，因而有XTATX=(XTATX)T=XTAX→XTAX=一XTAX→2XTAX=0→XTAX=0．涉及知识点：线性代数7．求下列积分：正确答案：涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用8．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f(a)≠f(b)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得：正确答案：对f(x)应用拉格朗日中值定理知f(b)－f(a)=f’(η)(b－a)，η∈(a，b)，对f(x)，x2在[a，b]上应用柯西中值定理知涉及知识点：一元函数微分学9．设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定u为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求P(y)正确答案：z=f(u)两边对x及y求偏导，得方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt两边对x 及y求偏导，得涉及知识点：高等数学10．．正确答案：涉及知识点：高等数学11．计算曲面积分I=，其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学12．设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，令Y=|X|，求Y的概率密度．正确答案：当y＜0时，P{Y≤y}=0；当y≥0时，P{Y≤y}=P{|X|≤y}=P{－y≤X≤y}=Ф(y)－Ф(－y)．于是Y的分布函数FY(y)为FY(y)当y≥0时，F’Y(y)=φ(y)+φ(－y)=2φ(y)．Y的概率密度fY(y)为fY(y) 涉及知识点：概率论与数理统计13．判断α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，－1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+9)T的线性相关性．正确答案：设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0，按分量写出，有对系数矩阵高斯消元，有当a=－1或a=－2时，r(A)=3＜4，齐次方程组有非零解，向量组线性相关．否则线性无关．涉及知识点：n维向量与向量空间14．设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立．每个元件正常工作时间服从E(λ)(λ＞0)分布，求系统正常工作时间T的概率分布．正确答案：设Ti={第i个元件的正常工作时间}，Ti～E(λ)，i=1，2，…，6．F(t)=P{T≤t)，注意{T≤t}表示系统在[0，t]内一定正常工作．则{T ≤t)=({T1≤t)+{T2≤t})({T3≤t)+{T4≤t})({T6≤t)+{T6≤t})，又T1，T2，…，T6相互独立同分布，所以有F(t)一P{T≤t}=[P({T1≤t}+{T2≤t})]3 而P({T1≤t)+{T2≤t})=1一P{T1＞t，T2＞t)=1一P{T1＞t}P{T2＞t}=所以T的分布函数为涉及知识点：概率统计部分15．设X的概率密度为求：(1)FY(y)；(2)Cov(X，Y)．正确答案：(1)X∈[－3，3]，则Y∈[－1，10]．①当y＜1时，FY(y)=P{Y≤y}=P{}=0；②当y≥10时，FY(y)=P{Y≤y}=P{Ω}=1；③当1≤y＜2时，由全概率分解思想得FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤y，X＜1}+P{Y≤y，X≥1} =P{X2+1≤Y，X＜1}+P{2≤y，X≥1}④当2≤y＜10时，由全概率分解思想得FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤y，X＜1}+P{Y≤y，X≥1} =P{X2+1≤Y，X＜1}+P{2≤y，X≥1}(2)Coy(X，Y)=E(XY)－EX.EY，其中EX=0．E(XY)=E[Xg(x)]=∫－∞+∞xg(x)f(x)dx。

2014年考研数学一真题及答案解析

(B)充分非必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
1 0 【解析】由 (α 1 + kα 3, α 2 + lα 3) = (α 1, α 2, α 3) 0 1 知， k l
当 α 1, α 2, α 3 线性无关时，因为
1 0 ≠0 0 1
所以 α 1 + kα 3, α 2 + lα 3 线性无关反之不成立如当 α 3 = 0 ,
}
，则
a1 cos x + b1 sin x =
（A） 2π sin x . 【解析】解析】令 Z ( a, b) = (B) 2 cos x . (C) 2π sin x . (D) 2π cos x .
∫
π
−π
( x − a cos x − b sin x) 2 dx
π Za ′ = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− cos x)dx = 0 π ′ Zb = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− sin x)dx = 0
针方向，则曲面积分 [ ] zdx + ydz =___________.
∫
x = cos t 【解析】解析】令 y = sin t z = − sin t
∴
t : [0,2π]dz =
∫ [− sin t (− sin t ) + sin t (− cos t )]dt
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版)
一、选择题：选择题：1~8 小题，小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。（1）下列曲线中有渐近线的是（A） y = x + sin x . (B) y = x 2 + sin x . (C) y = x + sin

2014年考研数学一真题及解析

1 sin ) ⎰ ⎰2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版)一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。

（1）下列曲线中有渐近线的是（A ） y = x + sin y = x 2 + sin 1.xx .(B) y = x 2 + sin x .(C) y = x + sin .(D)xx + sin 1【解析】a = lim f (x ) = lim x = lim(1+ 1 1 = 1 x →∞ x x →∞ x x →∞ x xb = lim[ f (x ) - ax ] = lim[x + sin 1 - x ] = lim sin 1= 0x →∞ x →∞ x x →∞ x∴y=x 是 y=x + sin 1的斜渐近线x【答案】C(2)设函数 f ( x ) 具有 2 阶导数， g ( x ) = f (0)(1- x ) + f (1) x ,则在区间[0，1]上（）(A)当 f （' x ）≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) . (B)当 f （' x ）≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )(C)当 f （' x ）≥ 0 时， f (x ) ≥ g ( x ) . (D)当 f ' ≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )【解析】当 f "( x ) ≥ 0 时， f ( x ) 是凹函数而 g ( x ) 是连接(0, f (0))与（1, f (1)）的直线段，如右图故 f ( x ) ≤ g ( x )【答案】D (3)设 f ( x , y ) 是连续函数，则11- ydy f (x , y )⎰0⎰- 1- y 21x -1 01- x 2（A ） ⎰0 dx⎰111- x （B ） 0dxf (x , y )dy +⎰-1 dx ⎰0f (x , y )dy +⎰-1 dx ⎰- 1- x 2 f (x , y )dy .f (x , y )dy .=1- y 2 π1 1 {π∈ ⎰ 0⎰ 0ππ 1π 1（C ）⎰ 2 d θ ⎰cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )dr +⎰π d θ ⎰ f (r cos θ , r sin θ )dr .0 02π 1π 1（D ）⎰ 2 d θ ⎰cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )rdr +⎰π d θ ⎰ f (r cos θ , r sin θ )rdr .2【解析】积分区域如图 0≤y ≤1.- ≤ x ≤ 1- yπ用极坐标表示，即：D 1:≤ θ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 1 2π1【答案】DD 2: 0 ≤ θ ≤, 0 ≤ r ≤2cos θ + sin θ（ 4 ）若⎰-π(x - a cos x - b sin x )2dx = min ⎰-π a ,b R(x - a cos x - b sin x )2 dx }，则a 1 cos x +b 1 sin x =（A ） 2π sin x . (B) 2 cos x . (C) 2π sin x . (D) 2π cos x .⎰-π⎧Z ' = 2 π (x - a cos x - b sin x )(-cos x )dx = 0 (1) ⎪ a⎰ -π ⎨ Z ' = 2 π (x - a cos x - b sin x )(-sin x )dx = 0 (2)⎛⎪ b ⎰-π⎰1由（1）得2a π cos 2xdx = 0π x sin xdx故a = 0, a = 0由（2）得【答案】A(5)行列式b π sin 2 = = 2xdx b 1 = 2（A ）（ad-bc）2 （B ）-（ad-bc ）2。

历年考研数学历年真题

下载链接到个年真题做真题填空选择都要做到400那么顺手。

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考研数学模拟试题及答案

模拟一一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设函数2()ln(3)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数（）（A ）0（B ）1 （C ）2（D ）3（2）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（）（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.（C ）当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. （D ）当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.（3）已知函数()y f x =对一切非零x 满足02()3[()]x x xf x x f x e e --''+=-00()0(0),f x x '==/则（）（A ）0()f x 是()f x 的极大值（B ）0()f x 是()f x 的极小值（C ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点（D ）0()f x 是()f x 的极值，但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点（4）设在区间[a,b]上1()0,()0,()0(),baf x f x f x S f x dx '''><>=⎰，令231()(),[()()](),2S f b b a S f a f b b a =-=+-则（）（A ）123S S S << （B ）213S S S << （C ）312S S S << （D ）231S S S <<（5）设矩阵111111111A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，100020000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B （）（A ）合同，且相似（B ）合同，但不相似（C ）不合同，但相似（D ）既不合同，也不相似（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）（A ）**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭（B ）**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（D ）**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（7）设,,A B C 是三个相互独立随机事件，且0()1P C <<，则下列给定的四对事件中不相互独立的是（）（A ）A B +与C （B ）AC 与C （C ）A B -与C （D ）AB 与C （8）设随机变量12,,(1),n n X X X >独立同分布，且其方差20σ>，令11ni i Y X n ==∑，则（）（A ）21cov(,)Y X nσ= （B ）21cov(,)Y X σ=（C ）212()n D Y X n σ++=（D ）211()n D Y X nσ+-= 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数 203sin ,0() ,0x t dt x f x x a x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = （10）3π=⎰.（11）设函数()y y x =由方程x y x y x sin )ln(32+=+确定，则0|x dydx== （12）曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A 为 .（13））若4维列向量,αβ满足3Tβα=，其中Tβ为β的转置，则矩阵Tαβ的非零特征值为（14）设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差。

2000年-2014年考研数学一历年真题1

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)1202x x dx -⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a xb <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nn n un ∞=-∑(B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价(D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydxI x y -=+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 (A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线 (,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h →-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为(A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e e xxdx ⎰.四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z =在点(1可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP . (2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim =∞→nn u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(l i m ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 (C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}e x y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yx dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x = 1c o s 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为X 0 1 2 3P2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin e e e e y x y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax , :2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ--x x θ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x . (2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________. (3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数(B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222y u x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222xu y x u ∂∂=∂∂∂(10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z = (11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为X Y0 1 0 0.4a 1b0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 (16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y = 1001,02x y x<<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面22z x y =+(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)22120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰(B)22120(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)22120(,)y ydy f x y dx -⎰⎰(C)22120(,)y dy f x y dx -⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T=C P AP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P AB P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y =+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,与x 等价的无穷小量是 (A)1ex-(B)1ln1xx+-(C)11x +-(D)1cos x -(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是 (A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()limx f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()limx f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______.(12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e x y y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=. (20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+(2)求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度.(24)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ.(2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。

2014考研数学一真题及答案

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。

x y 2-=时， 21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。

考研数学一(高等数学)模拟试卷201(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷201(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，则g’(4)等于( )．A．1／4B．C．1／6D．4正确答案：B解析：因为g’(4)=1／f’(2)，所以选(B)．知识模块：高等数学2．设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导数的图形如图，则f(x)有( )．A．两个极大点，两个极小点，一个拐点B．两个极大点，两个极小点，两个拐点C．三个极大点，两个极小点，两个拐点D．两个极大点，三个极小点，两个拐点正确答案：C解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大值点；当x∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小值点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大值点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小值点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大值点，即f(x)有三个极大值点，两个极小值点，又f”(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，Y=f(x)有两个拐点，选(C)．知识模块：高等数学3．设g(x)=∫0xf(u)du，其中f(x)=则g(x)在(0，2)内( )．A．单调减少B．无界C．连续D．有第一类间断点正确答案：C解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(0，2)内连续，选(C)．知识模块：高等数学4．设un条件收敛，且=r，则( )．A．|r|＜1B．|r|＞1C．r=－1D．r=1正确答案：C解析：因为un条件收敛，所以级数un一定不是正项或负项级数，故r≤0．若|r|＞1，则=|r|＞1，存在充分大的N，当n＞N时，{|un|}单调增加，un发散，矛盾，故|r|=1，再由r≤0得r=－1，选(C)．知识模块：高等数学填空题5．设f(x)连续，且正确答案：1解析：∫0xtf(x－t)dt=∫x0(x－u)f(u)(－du)=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，∫0xarctan(x－t)2dt∫x0arctanu2(－du)=∫0xarctanu2du，知识模块：高等数学6．设∫0yetdt+∫0ycostdt=xy确定函数y=y(x)，则dy／dx=_______．正确答案：解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得知识模块：高等数学7．∫max{x+2，x2}dx=_______．正确答案：解析：max{x+2，x2}当x≤－1时，∫max{x+2，x2}dx=+C1；当－1＜x＜2时，∫max{x+2，x2}dx=+2x+C2；当x≥2时，∫max{x+2，x2}dx=+C3．C1=C2－，C3=C2+，取C2=C，则∫max{x+2，x2}dx 知识模块：高等数学8．直线L：绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为_______．正确答案：∑：x2+y2－z2=1解析：设M(x，y，z)为旋转曲面∑上的任意一点，该点所在的圆对应与直线L上的点为M0(x0，y0，z)，圆心为T(0，0，z)，由||，得x2+y2=x02+y02．因为M0(x0，y0，z)∈L，所以即x0=1，y0=z，于是曲面方为∑：x2+y2－z2=1．知识模块：高等数学9．设(ay－2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，则a=_______，b=_______．正确答案：4，－2解析：令P(x，y)=ay－2xy2，Q(x，y)=bx2y+4x+3，因为(ay－2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，=a－4xy，于是a=4，b=－2．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2014年考研数学一真题及答案解析

0
0
1 0
1
1 x
0
0
（B） dx f (x, y)dy dx
f (x, y)dy
0
0
1
1x2
1
1
（C）
2 d
0
cos sin 0
f (r cos , r sin )dr
d
0
f (r cos , r sin )dr
2
1
1
（D）
2 d
0
cos sin 0
f (r cos , r sin )rdr
1
x[t 2 (et 1) t]dt
求极限 lim 1 x x2 ln(1 1 ) x
（16）（本题满分 10 分）
设函数 y f (x) 是由方程 y3 x2 y xy2 6 0 确定，求 f (x) 的极值
（17）（本题满分 10 分）
设函数 f (u) 具有 2 阶连续导数， z f (ex cos y) 满足
2z x 2
2z y 2
4( z
ex
cos
y)e2x
，若
f
(0)
0,
f
(0)
0 ，求
f
(u)
的表达式.
（18）（本题满分 10 分）
设为曲面 z x2 y2 (z 1) 的上侧，计算曲面积分
I (x 1)3dydz( y 1)3dzdx (z 1)dxdy
（19）（本题满分 10 分）
（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
（7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B) 0.5, P(A B) 0.3 ，则 P(B A) （）

考研数学一(向量)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学一（向量）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，—1，5)T，(0，4，—2)T，(1，3，0)T；②(a，1，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f，0，3)T；③(a，1，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(—1，3，0，—2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。

则下列结论正确的是( ) A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。

B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。

C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。

D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。

正确答案：D解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。

由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。

所以应排除C。

向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。

应排除A。

由排除法，故选D。

知识模块：向量2．设α1=(1，2,3，1)T，α2=(3，4，7，—1)T，α3=(2，6，a，6)T，α4=(0，1，3，a)T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的( ) A．充分必要条件。

B．充分而非必要条件。

C．必要而非充分条件。

D．既不充分也非必要条件。

正确答案：B解析：n个n维向量的线性相关性一般用行列式｜α1，α2，…，αn｜是否为零判断。

因为｜α1，α2，α3，α4｜=，当a=8时，行列式｜α1，α2，α3，α4｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，但a=2时仍有行列式｜α1，α2，α3，α4｜=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的充分而非必要条件，故选B。

考研数学一(填空题)模拟试卷34(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷34(题后含答案及解析) 题型有：1.1．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学2．设事件A，B恰有一个发生的概率为0．3，且P(A)+P(B)=0．5，则A 与B至少有一个发生的概率为___________。

正确答案：0.4解析：由事件A，B恰有一个发生的概率为0．3可知，P()=0．3，即P(A)一P(AB)+P(B)一P(AB)=0．3。

又由P(A)+P(B)=0．5，可得P(AB)=0．1，从而P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．4，即A与B至少有一个发生的概率为0．4。

知识模块：随机事件和概率3．若f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：2解析：，f(0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以1+=a，故a=2．知识模块：高等数学4．设矩阵A满足A2+A一4E=O，其中E为单位矩阵，则(A—E)—1=________．正确答案：(A+2E)．解析：由(A+2E)(A—E)=A2+A一2E=4E一2E一2E，得[(A+2E)](A—E)=E由逆矩阵的定义，即知(A—E)—1=(A+2E)．知识模块：线性代数5．设A，B是3阶矩阵，满足AB＝A－B，其中B＝，则｜A＋E｜＝_______．正确答案：解析：由题设，AB＝A－B，则(A＋E)(E－B)＝E．因此｜A＋E｜＝知识模块：矩阵6．已知则正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学7．=______．正确答案：应填0．解析：若f(x)以T为周期，则8．设f(x)一阶可导，且f(0)=f’(0)=1，则=___________．正确答案：2解析：知识模块：高等数学9．在区间[一1，1]上的最大值为__________．正确答案：ln3解析：知识模块：高等数学部分10．连续投掷一枚均匀硬币10次，求其中有3次是正面的概率．正确答案：P(10次有3次是正面)=C103/210．涉及知识点：综合11．每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字0，三张卡片都写有数字1，另两张卡片上分别写有数字2与9．将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为2001911的概率是_______．正确答案：0．0024解析：设事件A＝“排成数字是2001911”，将七张卡片随意排列共有7!种不同的等可能排法．此即样本空间Ω的样本点总数，而有利于事件A的卡片排列方法为2!3!种，依古典型概率公式P(A)＝＝0．0024．知识模块：概率论与数理统计12．正确答案：解析：在D1＝{(x，y)｜—∞＜x＜＋∞，0≤y≤1}上，f(y)＝y；在D2：0≤x＋y≤1上，f(x＋y)＝x＋y，则在D0＝D1∩D2＝{(x，y)｜—y≤x≤1一y,0≤y≤1)上，f(y)f(x＋y)＝y(x＋y)，知识模块：高等数学部分13．设曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，则(x+｜y｜)dS=___________。

考研数学一(填空题)模拟试卷141(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷141(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，则=___________．正确答案：1解析：知识模块：高等数学2．设f(x)在x＝0处连续，且，则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分3．设f(x)=在x=0处连续，则a=_________，b=_________。

正确答案：a=一1，b=1解析：由题设条件因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1。

知识模块：函数、极限、连续4．设A、B分别为m阶和n阶方阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则行列式=________．正确答案：(一1)mnab．解析：可用行列式的拉普拉斯展开法则．或经mn次相邻两列的互换，得知识模块：线性代数5．设A=，则(A-2E)-1=_____。

正确答案：解析：A-2E=，而则(A-2E)-1= 知识模块：矩阵6．设y=sinx2．则dy／d(x3)=_______.正确答案：2cosx2／3x解析：用微分之商来求．知识模块：高等数学7．幂级数anxn的收敛半径为3，则幂级数nan(x-1)n+1的收敛区间为_________.正确答案：（-2.4）涉及知识点：无穷级数8．＝______．正确答案：解析：因(xex)’＝ex(x＋1)，令xex＝t，则dt＝ex(x＋1)dx，于是知识模块：高等数学9．设A，B为3阶矩阵，且丨A丨=3，丨B丨=2，丨A-1+B丨=2．则丨A+B-1丨=__________.正确答案：3解析：利用单位矩阵恒等变形，有A+B-1=(B-1B)A+B-1(A-1A)=B-1(B+A-1)A=B-1(A-1+B)A．丨A+B-1丨=丨B-1丨.丨A-1+B丨.丨A丨=1/2.2.3=3 知识模块：综合10．设幂级数在x=3条件收敛，则该幂级数收敛半径为_________．正确答案：4 涉及知识点：高等数学11．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于______正确答案：3/2解析：根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于知识模块：无穷级数12．由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz(e，0)=___________．正确答案：解析：x=e，y=0时，z=1．知识模块：高等数学13．幂级数的和函数为________。

考研数学模拟试题及答案

考研数学模拟试题整理人：周永强模拟一一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设函数2()ln(3)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数（）（A ）0（B ）1 （C ）2（D ）3（2）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（）（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.（C ）当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. （D ）当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.（3）已知函数()y f x =对一切非零x 满足02()3[()]x x xf x x f x ee --''+=-00()0(0),f x x '==/则（）（A ）0()f x 是()f x 的极大值（B ）0()f x 是()f x 的极小值（C ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点（D ）0()f x 是()f x 的极值，但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点（4）设在区间[a,b]上1()0,()0,()0(),baf x f x f x S f x dx '''><>=⎰，令231()(),[()()](),2S f b b a S f a f b b a =-=+-则（）（A ）123S S S << （B ）213S S S << （C ）312S S S << （D ）231S S S <<（5）设矩阵111111111A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，100020000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B （）（A ）合同，且相似（B ）合同，但不相似（C ）不合同，但相似（D ）既不合同，也不相似（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）（A ）**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭（B ）**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（D ）**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（7）设,,A B C 是三个相互独立随机事件，且0()1P C <<，则下列给定的四对事件中不相互独立的是（）（A ）A B +与C （B ）AC 与C （C ）A B -与C （D ）AB 与C（8）设随机变量12,,(1),n n X X X > 独立同分布，且其方差20σ>，令11ni i Y X n ==∑，则（）（A ）21cov(,)Y X nσ=（B ）21cov(,)Y X σ=（C ）212()n D Y X n σ++=（D ）211()n D Y X nσ+-= 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数 203sin ,0() ,0x t dt x f x x a x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = （10）3330cos x xdx π=⎰.（11）设函数()y y x =由方程x y x y x sin )ln(32+=+确定，则0|x dydx== （12）曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A 为 .（13））若4维列向量,αβ满足3Tβα=，其中Tβ为β的转置，则矩阵Tαβ的非零特征值为（14）设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差。

考研数学一(高等数学)模拟试卷144(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷144(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．已知方程的两个特解y1＝ex，y2＝x，则该方程满足初值y(0)＝1，y’(0)＝2的解y＝______．正确答案：ex＋x解析：因y1，y2线性无关，该方程的通解y＝C1ex＋C2x．由初始条件得C1＝1，C1＋C2＝2C1＝1，C2＝1y＝ex＋x 知识模块：高等数学2．微分方程y’’＋6y’＋9y＝0的通解y＝______．正确答案：(C1＋C2x)e—3x解析：特征方程λ2＋6λ＋9＝0，即(λ＋3)2＝0．通解为y＝(C1＋C2x)e —3x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．求下列微分方程的通解：(I)(x一2)dy＝[y＋2(x一2)3]dx；(Ⅱ)y2dx＝(x＋y2)dy；(Ⅲ)(3y一7x)dx＋(7y一3x)dy＝0；(Ⅳ)一3xy＝xy2．正确答案：(I)原方程改写成＝2(x—2)2．(一阶线性方程)，两边乘μ＝＝2(x 一2)．积分得y＝(x一2)2＋C通解y＝(x一2)3＋C(x一2)，其中C为任意常数.(II)原方程改写成．(以y为自变量，是一阶线性的)两边乘通解，其中C为任意常数．(Ⅲ)原方程改写成通解为(x一y)2(x＋y)5＝C，其中C为任意常数．(Ⅳ)这是伯努利方程．将原方程改写成故通解为，其中C为任意常数．涉及知识点：高等数学4．求下列微分方程的通解或特解：(I)一4y＝4x2，y(0)＝，y’(0)＝2；(Ⅱ)＋2y＝e—xcosx．正确答案：(I)相应齐次方程的特征方程λ2一4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解y*＝ax2＋bx＋c，代入方程得2a一4(ax2＋bx＋c)＝4x2．—4a＝4，b＝0，2a—4c＝0a＝—1，c＝由初值y(0)＝C1＋C2，y’(0)＝2C1—2C2＝2因此得特解为(II)相应齐次方程的特征方程λ2＋3λ＋2＝0，特征根λ1＝一1，λ2＝一2．由于非齐次项是e—xcosx；，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y*＝e—x(acosx＋bsinx)．代入原方程比较等式两端e—xcosx与e—xsinx的系数，可确定出，所以非齐次方程的通解为y＝C2e—x＋C2e—2x＋e—x(sinx一cosx)，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：高等数学5．求方程y’’＋2my’＋n2y＝0的通解；又设y＝y(x)是满足y(0)＝a，y’(0)＝b的特解，求y(x)dx，其中m＞n＞0，a，b为常数．正确答案：特征方程λ2＋2mλ＋n2＝0，特征根λ＝一m±，通解为注意：指数均为负的将方程两边积分涉及知识点：高等数学6．设y＝y(x)在[0，＋∞)内可导，且在x＞0处的增量△y＝y(x＋△x)一y(x)满足△y(1＋△y)＝，其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(x)．正确答案：由题设等式可得(1＋△y)，令△x→0即得从而y＝y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘，两边积分得＝C＋ln(4＋x)y＝C(4＋x)＋(4＋x)ln(4＋x)令x＝0，y—2可确定常数y＝(—2ln2)(4＋x)＋(4＋x)ln(4＋x)＝(4＋x)[—2ln2＋ln(4＋x)] 涉及知识点：高等数学7．设函数f(x)连续，且f(t)dt＝sin2x＋tf(x一t)dt．求f(x)．正确答案：代入原方程即得①由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对x求导即得f(x)=2sinxcosx＋∫0xf(u)du＝sin2x+∫0xf(u)du ②(在①中令x＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．)在②式中令x＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得f’(x)＝2cos2x＋f(x)．故求y＝f(x)等价于求解初值问题的特解．解之可得涉及知识点：高等数学8．设有微分方程y’一2y＝φ(x)，其中φ(x)＝试求：在(一∞，＋∞)内的连续函数y＝y(x)，使之在(一∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起．当x＜1时，方程y’一2y＝2的两边同乘e—2x得(ye—2x)’＝2e—2x，积分得通解y＝C1e2x一1；而当x＞1时，方程y’一2y＝0的通解为y＝C2e2x．为保持其在x＝1处的连续性，应使C1e2—1＝C2e2，即C2＝C1一e—2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得C1＝1，即所求特解为涉及知识点：高等数学9．设函数f(x)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝，试求f(t)．正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得两边对t求导得在前一个方程中令t＝0得f(0)＝1．②求f(t)转化为求解初值问题①＋②．这是一阶线性方程，两边乘由f(0)＝1得C＝1．因此f(t)＝(4πt2＋1)e4πt2．涉及知识点：高等数学10．已知y1*＝xex＋e2x，y2*＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解y1*—y3*＝e—x，y2*—y3*＝2e—x—e2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是y1＝e—x，y2＝2(y1*—y3*)一(y2*—y3*)＝e2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解y4*＝y1*—y2＝xex因此该非齐次方程的通解是y＝C1e—x＋C2e2x＋xex，其中C1，C2为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程y’’＋py’＋qy＝f(x)．它的相应特征根是λ1＝一1，λ2＝2，于是特征方程是(λ＋1)(λ一2)＝0，即λ2一λ一2＝0．因此方程为y’’一y’一2y＝f(x)．再将特解y4*＝xex代入得(x＋2)ex—(x＋1)ex—2xex＝f(x)，即f(x)＝(1—2x)ex因此方程为y’’—y’—2y＝(1—2x)ex 涉及知识点：高等数学11．求解初值问题正确答案：这是可降阶类型的(方程不显含x)．令p＝，并以y为自变量变换原方程代入原方程得由初值得积分得最后得(0≤x≤2)．涉及知识点：高等数学12．设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：是方程y’＋p(x)y＝0的所有解．正确答案：因为对任意常数C，y＝是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则即存在常数C，使得涉及知识点：高等数学13．设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x3，求此凸弧的方程．正确答案：设凸弧的方程为y＝f(x)，因梯形OAPC的面积为[1＋f(x)]，故两边对x求导，则得y＝f(x)所满足的微分方程为xy’一y＝一6x2一1．(原方程中令x＝0得0＝0，不必另加条件，它与原方程等价)其通解为对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5x—6x2＋1．涉及知识点：高等数学14．在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(x)＞0，y(0)＝2，y(x)有连续导数．已知x＞0，[0，x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积，求曲线y＝y(x)的方程．正确答案：(Ⅰ)．列方程，定初值．在[0，x]上侧面积与体积分别为．按题意①y(0)＝2．②(II)转化．将①式两边求导得2y(x)(在①中令x＝0，得0＝0，不必另附加条件)．化简得(Ⅲ)解初值问题③式分离变量得积分得为解出y，两边乘将④．⑤相加得涉及知识点：高等数学15．设f(x)为连续正值函数，x∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝｜(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)｜(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．正确答案：(I)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(x)dx．见图6．2．按题意(II)转化．将方程①两边求导，则方程①f2(t)＝4f(t)∫0tf(x)dx＋f(t)f(t)＝4∫0tf(x)dx＋1(①中令x＝0，等式自然成立，不必另加条件)·f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t ＝0得方程①③(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘μ(t)＝得[f(t)e—4t]’＝0，并由初始条件得f(t)＝e4t，即f(x)＝e4x．涉及知识点：高等数学16．设曲线y＝y(x)上点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y＝y(x)的方程．正确答案：(I)列方程．曲线y＝y(x)在点(x，y)处的切线斜率为，与原点连线的斜率为(II)解方程．将方程改写为ydy＋xdx＝0，即d(x2＋y2)＝0．于是通解为x2＋y2＝C(C＞0为常数)．涉及知识点：高等数学17．求证：曲率半径为常数a的曲线是圆．正确答案：由曲率半径公式知，曲线y＝y(x)满足解方程：①积分得②又由③由②和③式得(x＋C1)2＋(y＋C2)2＝a2，即曲线是圆周．若，则同样可证．涉及知识点：高等数学18．设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，已知此绳受1克重量的外力作用时伸长厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?正确答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移s，向下为正．s＝?时，v(速度)＝0．(I)受力分析．弹性恢复力f＝ks由条件知g＝k·k ＝24g f＝24gs，g为重力加速度．重力mg＝3g．(Ⅱ)加速度表示．由题目的需要，加速度．(Ⅲ)列方程与初始条件．由牛顿第二定律得＝3g一24gs．初始条件：t＝0时s(0)＝0，(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv＝(g一8gs)ds＝gs一4gs2＋C．由v(0)＝0 C＝0 ＝gs一4gs2．(V)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v＝0．解gs一4gs2＝0得s＝0，s＝．因此，s＝为所求．涉及知识点：高等数学19．5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1 kg肥皂．正确答案：设t时刻水中含的肥皂量为Q(t)kg，任取[t，t＋dt]，这段时间内肥皂含量的减少量＝抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得Q(t)＝因此，当t＝T＝30ln5时肥皂水中只有1 kg肥皂．涉及知识点：高等数学20．设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(一1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(x，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为x的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．正确答案：规定A出发的时刻t＝0．1 列方程.t时刻A位于(0，1＋vt).t时刻B位于点(x(t)，y(t))，B点的速度＝(一x，1＋vt—y)同向(见图6．3)①又B点的速度大小为讲一步消去t，可得y作为x的函数满足的微分方程．将①式两边对x求导得③由②式将它代入③得y＝y(x)满足的微分方程为涉及知识点：高等数学21．已知α，β都是单位向量，夹角是，求向量2α＋β与一3α＋2β的夹角．正确答案：｜α｜＝1，｜β｜＝1，α·β＝｜α｜｜β｜cos＜α，β＞＝(2α＋β)·(2α＋β)＝4＋2β·α＋2α·β＋1＝5＋4(一3α＋2β)·(一3α＋2β)＝9一6β·α—6α·β＋4—＝13—12＝7，(2α＋β)·(一3α＋2β)＝—6—3β·α＋4α·β＋2＝一4 涉及知识点：高等数学22．若α∥β，α＝｛6，3，一2｝，而｜β｜＝14，求β．正确答案：设β＝｛x，y，z｝，由β＝λα｜β｜＝｜λ｜｜α｜14＝｜λ｜7｜λ｜＝2β＝±2｛6，3，—2｝涉及知识点：高等数学23．若α，β，γ是单位向量且满足α＋β＋γ＝0，求以α，β为边的平行四边形的面积．正确答案：记＜α，β＞＝θ，则面积S＝｜α×β｜＝｜α｜｜β｜sin θ＝下求α·β：由α＋β＋γ＝0因此涉及知识点：高等数学24．已知α，β，γ不共线，证明α＋β＋γ＝0的充要条件是α×β＝β×γ＝γ×α．正确答案：设α＋β＋γ＝0 α×β＋γ×β＝0 α×β一β×γ＝0 α×β＝β×γ．同理，由α＋β＋γ＝0 α×γ＋β×γ＝0 β×γ＝γ×α．设α×β＝β×γ＝γ×α，则(α＋β＋γ)×α＝β×α＋γ×α，(α＋β＋γ)×β＝α×β＋γ×β＝0，(α＋β＋γ)×γ＝α×γ＋β×γ＝0α，β，γ均与α＋β＋γ共线α＋β＋γ＝0 涉及知识点：高等数学25．把直线L的方程化为对称方程．正确答案：先求L的方向向量再求一交点．令x＝0得因此直线L的方程为涉及知识点：高等数学。

考研数学一(填空题)模拟试卷101(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷101(题后含答案及解析)题型有：1.1．已知，则y’’=__________。

正确答案：解析：知识模块：高等数学2．设f(x)在x=a处可导，则=__________正确答案：10f(a)f’(a)解析：知识模块：高等数学部分3．曲线y2=2x在任意点处的曲率为_______.正确答案：解析：用曲率计算公式由y2=2x2yy’=2，y’=1／y，y”=－1／y2y’=－1／y3. 知识模块：高等数学4．设A，B为3阶矩阵，且丨A丨=3，丨B丨=2，丨A-1+B丨=2．则丨A+B-1丨=__________.正确答案：3解析：利用单位矩阵恒等变形，有A+B-1=(B-1B)A+B-1(A-1A)=B-1(B+A-1)A=B-1(A-1+B)A．丨A+B-1丨=丨B-1丨.丨A-1+B丨.丨A丨=1/2.2.3=3 知识模块：综合5．设f(x)=x3一3x+q，其中常数q∈(一2，2)，则f(x)的零点的个数为______．正确答案：应填3．解析：当x∈(一∞，一1]时，f(x)单调上升且f(一1)=2+q>0，f(x)在(一∞，一1)有一个零点．当x∈(一1，1)时，f(x)单调下降，且f(一1)=2+q>0，f(1)=一2+q f(x)在(1，+∞)有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3．求f(x)的零点的个数，须考查其单调区间及区间端点处函数值的符号．若为无穷区间，计算在一个单调区间内，最多只有一个零点．6．曲线L：(a＞0)在t=对应点处的曲率为________．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．已知＝B，则X＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计8．设f(x)==___________．正确答案：e—1解析：知识模块：高等数学9．=__________(a为常数，n为自然数)．正确答案：0解析：显然积分难以积出．考虑积分中值定理，其中ξ2介于x，x+a之间．所以知识模块：一元函数积分学10．设随机变量X的概率密度为f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)，则随机变量X的二阶原点矩为_______．正确答案：解析：依题设，即求EX2．首先对所给概率密度作变换：对于χ(－∞＜χ＜＋∞)，有由此可知随机变量X服从正态分布，从而EX＝，DX＝．于是EX2＝DX＋(EX)2＝．知识模块：概率论与数理统计11．设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则z2dxdydz=______。