最优化概念
最优化理论与应用
最优化理论与应用最优化是数学中的一个重要分支，其研究的对象是如何找到某个函数在一定约束条件下的最优解。
最优化理论和方法在众多领域中有广泛的应用，涵盖了经济学、工程学、管理学以及物理学等多个领域。
本文将介绍最优化理论的基本概念和常用方法，并以实例展示其在实际应用中的重要性。
一、最优化理论的基本概念最优化理论的核心目标是找到一个使目标函数取得最大值或最小值的解，同时满足一定的约束条件。
为了更好地理解最优化理论，我们首先来了解一些基本概念。
1. 目标函数：最优化问题中需要进行优化的函数被称为目标函数。
目标函数可以是线性函数、非线性函数以及其他特定形式的函数。
2. 变量：为了求解最优化问题，我们需要确定一组变量的取值。
这些变量被称为决策变量，它们直接影响到目标函数的取值。
3. 约束条件：最优化问题通常存在一定的约束条件。
这些约束条件可以是线性约束、非线性约束或者其他特定形式的约束。
4. 最优解：最优解是指在给定的约束条件下，使目标函数取得最优值的变量取值。
最优解可能是唯一的，也可能存在多个。
二、最优化方法的分类为了求解最优化问题，我们使用各种不同的方法。
下面介绍几种常见的最优化方法：1. 暴力搜索法：暴力搜索法是最简单直接的方法之一。
它遍历了所有可能的解，并计算每个解对应的目标函数的值。
然后从中选择最优解。
暴力搜索法的缺点是计算量大，在问题规模较大时不可行。
2. 梯度下降法：梯度下降法是一种迭代求解的方法。
它通过计算目标函数在当前解处的梯度，并以梯度的相反方向进行迭代更新。
梯度下降法适用于连续可导的目标函数。
3. 线性规划法：线性规划法适用于目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
它通过线性规划模型的建立和求解，找到最优解。
4. 非线性规划法：非线性规划法适用于目标函数或约束条件中存在非线性部分的问题。
它通过使用约束函数的导数和二阶导数来确定最优解。
三、最优化理论的应用领域举例最优化理论和方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
最优化及最优化方法讲稿
其中 x x 1 ,x 2 , x n T R n
最优化问题分类
经典优化问题（静态优化问题）和现代优化问 题（动态优化问题）
1、经典优化问题（静态优化问题）
根据数学模型中有无约束函数分为有约束的最优化问 题和无约束的最优化问题；
或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再 剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的 方法是分枝定界法和割平面法，它们都是在上述框架 下形成的。
0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许 多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都 可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规 划都与0—1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种 非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致 力于这个方向的研究。求解0—1规划的常用方法是分 枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法，例如 求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。
随机规划是处理数据带有随机性的一类数学规划，它与 确定性数学规划最大的不同在于其系数中引进了随机变 量，这使得随机规划比起确定性数学规划更适合于用。
随机规划的求解方法
随机规划的求解方法大致分两种。 第一种是转化法，即将随机规划转化成各自的确定性等
最优化的发展简史
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世 纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所 创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实 值函数的最大值和最小值的方法，后来又出现 Lagrange乘数法。以后又进一步讨论具有未知 函数的函数极值，从而形成变分法。这一时期的 最优化方法可以称为古典最优化方法。
整数规划与组合最优化的关系
整数规划与组合最优化从广泛的意义上说，两者的领域 是一致的，都是在有限个可供选择的方案中，寻找满足 一定标准的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划 的广泛背景。例如，背袋（或装载）问题、固定费用问 题、和睦探险队问题（组合学的对集问题）、有效探险 队问题（组合学的覆盖问题）、送货问题等。因此整数 规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程 设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、 系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。
数学中的最优化理论
数学中的最优化理论最优化理论作为数学中一个重要的分支，其目的是寻找在给定条件下能够使某一函数取得最优值的变量取值。
最优化问题广泛应用于工程、经济、计算机科学等领域，对于提高效率、降低成本具有重要意义。
本文将对最优化理论的基本概念、常见方法和应用进行介绍。
一、最优化理论的基本概念最优化问题可以归结为如下形式：$$\min_{x \in D} f(x)$$其中，$D$是定义域，$f(x)$是目标函数。
最优化问题分为约束优化和无约束优化两类。
在约束优化问题中，目标函数的取值需要满足一定的条件。
无约束优化问题则没有这样的限制条件。
在求解最优化问题时，我们需要找到一个使目标函数值最小的变量取值。
这个变量取值被称为最优解，对应的目标函数值被称为最优值。
最优解的存在性和唯一性是最优化问题的重要性质，而最优化理论研究的就是如何找到最优解。
二、最优化问题的常见求解方法1. 数学分析方法数学分析方法主要通过对目标函数进行求导以及对约束条件进行分析，来得到最优解。
这种方法通常适用于目标函数和约束条件具有良好的可导性质的情况。
通过求解一阶导数为零的方程组，可以得到最优解的可能取值。
然后通过二阶导数的符号来判断这些取值是最大值还是最小值。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化方法，特别适用于目标函数为凸函数的情况。
其基本思想是通过不断朝着函数梯度的负方向迭代，直到找到最小值或达到预设的停止条件。
梯度下降法的优势在于可以处理大规模问题，并且不需要求解函数的导数。
然而，梯度下降法可能陷入局部最优解，因此在实际应用中需要谨慎选择初始点和调整学习率。
3. 线性规划法线性规划是一种特殊的最优化问题，其目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划问题具有良好的可解性，并且有高效的算法可以求解。
最著名的线性规划方法是单纯形法，它通过不断沿着可行解空间中的边界移动，寻找最优解。
此外，整数规划、二次规划等也是常见的最优化问题，各自有不同的求解方法。
最优化
第1章 线性规划
例 1：
消耗量 每吨产品的消耗
每周资源总量
甲 30 乙 20 160
项目
原料/kg 设备/台班
5
1
15
max z 5 x1 x2 15 4
x1 0, x2 0
第1章 线性规划
例2：某铁器加工厂要制作 I II 100 套钢 架 ，每套 要用长 2.9 1 2 为 2.9m 、 2.1m 、 1.5m 的 2.1 0 0 圆钢各一根。已知原料长 1.5 3 1 为 7.4m，问应如何下料， 0 0.1 料头/m 可使所用材料最省。 min z 0 x1 0.1x2 0.2 x3 0.3x4 0.8 x5
第1章 线性规划
1.1.2 两个变量问题的图解法
图解法（略） 线性规划问题的解：
有唯一最优解 有无穷多个最优解 无界解（无最优解） 无可行解——可行域为空
第1章 线性规划
线性规划问题可行域与解之间的性质： 若可行域非空且有界，则可行域是一个多边形， 其顶点个数是有限个；若可行域非空但无界， 其顶点个数也只有有限个。 若可行域非空且有界则必有最优解；若可行域 无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 若线性规划问题有最优解（不论可行域是有界 还是无界），其最优解必在某个顶点上达到。 最优解的个数或是唯一的，或有无穷多个。
第1章 线性规划
线性规划问题的一般数学模型：
min s.t. z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......... .......... .......... .......... . am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm x1 , x2， ..., xn 0 (, ) (max) ( , ) (, )
最优化基础理论与方法
目录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解方法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解方法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究方向 (3)2.2非线性规划求解 (4)2.2.1一维搜索 (4)2.2.2无约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5二次规划 (5)2.2.6非线性规划算法未来研究方向 (5)2.3组合规划求解方法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 网络流规划 (7)2.4多目标规划求解方法 (7)2.4.1 基于一个单目标问题的方法 (7)2.4.2 基于多个单目标问题的方法 (8)2.4.3多目标规划未来的研究方向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究方向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平面算法 (9)2.6.2 凹性割方法 (9)2.6.3 分支定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究方向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电力系统中的应用及发展趋势 (12)3.1 电力系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电力系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电力系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解方法 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种优化问题的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
最优化 PPT课件
• 另外也可用学术味更浓的名称：“运筹 学”。由于最优化问题背景十分广泛，涉 及的知识不尽相同，学科分枝很多，因此 这个学科名下到底包含哪些分枝，其说法 也不一致。
• 比较公认的是：“规划论”（包括线性和
非线性规划、整数规划、动态规划、多目
标规划和随机规划等），“组合最优化”，
“对策论”及“最优控制”等等。
j
1, 2,L
,n
(5)
14
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1, i 1, 2,L
,n
s.t.
j 1 n
(5)
xij 1, j 1, 2,L , n
i1
xij
0
或 1 ,i,
j
1, 2,L
,n
(5)的可行解既可以用一个矩阵(称为解矩阵)表示，其每行每列均有且只
mn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai ,
i 1, , m
j 1
s.t.
m xij bj ,
j 1,2, , n
i 1
xij
0
11
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：
n
bj
j1
m
i1
n xij
j1
n m
j1 i1
xij
费的总时间最少？
引入变量 xij ，若分配 i 干 j 工作，则取 xij 1，否则取 xij 0 。上
述指派问题的数学模型为
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1,i 1, 2,L
,n
j1
最优化理论的基本概念和应用
最优化理论的基本概念和应用最优化理论是现代数学中的一个重要分支，它涉及到许多领域，如经济学、管理学、物理学、工程学、计算机科学等。
最优化理论的基本概念包括目标函数、约束条件、可行解、最优解等，这些概念是解决现实生活中的实际问题所必需的。
本文将探讨最优化理论的基本概念和应用。
一、最优化理论的基本概念1. 目标函数：最优化问题的目标函数是一个函数，它描述了待优化的系统的性能指标。
例如，我们希望最小化一台机器的能耗，那么这台机器的能耗就是目标函数。
2. 约束条件：约束条件是一个或多个等式或不等式，它描述了系统变量之间的限制关系。
例如，对于一台机器而言，其能耗和运转速度之间存在一定的制约关系，这就可以用等式或不等式来表达。
3. 可行解：可行解是指符合约束条件的解，它满足目标函数在约束条件下的最小值或最大值。
例如，当我们最小化一台机器的能耗时，机器能够工作的所有状态就是可行解。
4. 最优解：最优解是指在可行解中，能使目标函数取得最小值或最大值的解。
例如，对于一台机器而言，其能耗最小的状态就是最优解。
二、最优化理论的应用1. 经济学领域：在经济学中，最优化理论被广泛运用于生产过程、消费行为和市场竞争等方面。
例如，在生产过程中，企业可以通过最小化成本来实现最大化利润；在市场竞争中，企业可以通过最大化销售量或市场份额来实现利润最大化。
2. 管理学领域：在管理学中，最优化理论主要应用于制定规划、分配资源、优化流程和提高效率等方面。
例如，在生产计划中，企业可以通过最小化生产成本来实现生产效率的最大化；在流程优化中，企业可以通过最小化生产周期来提高生产效率。
3. 物理学领域：在物理学中，最优化理论被广泛应用于优化物理实验的设计、数据分析和模型验证等方面。
例如，在实验设计中，科学家可以通过最小化误差来提高实验的准确度；在模型验证中，科学家可以通过最大化模型预测与实验结果的吻合程度来验证模型的可靠性。
4. 工程学领域：在工程学中，最优化理论主要应用于优化设计、排产、配送和维修等方面。
数学中的变分法与最优化
数学中的变分法与最优化在数学中，变分法和最优化是两个相关而又独立的概念。
变分法是一种通过求解函数的变分问题来研究函数的性质和优化方法的数学工具，而最优化则是通过寻找函数的最优解来解决实际问题的方法。
本文将分别介绍变分法和最优化，并探讨它们在数学中的应用。
一、变分法变分法是研究函数变化的一种数学方法，它通过将函数的小变化转化为函数的极限变化来研究函数的性质。
变分法的基本思想是，在给定的边界条件下，求解一个函数的极小值或极大值问题。
这个问题可以通过求解一个变分问题来实现。
以最简单的变分问题为例：求解一个函数的极小值。
假设我们有一个函数y=f(x)，同时给定起点和终点上的边界条件y(a)=A 和y(b)=B。
变分问题就是要找到一个函数y=f(x)，使得在满足边界条件的情况下，其对应的积分值最小。
为了解决变分问题，我们引入了一个新的函数，称为变分函数。
变分函数是原函数加上一个微小的扰动函数，即y=f(x)+εφ(x)，其中ε是一个趋近于零的常数，φ(x)是一个光滑函数。
通过对变分函数求导，并利用边界条件，我们可以得到一个关于φ(x)的方程，称为欧拉-拉格朗日方程。
通过求解这个方程，就可以得到变分问题的解。
变分法在物理学、工程学和经济学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，变分法可以用来求解最小作用量原理问题，从而得到质点的运动方程；在工程学中，变分法可以用来解决材料的弹性力学问题；在经济学中，变分法可以用来求解最优生产方案的问题。
二、最优化最优化是一种寻找函数的最优解的方法。
最优化可以分为无约束最优化和约束最优化两种情况。
无约束最优化是指在没有任何限制条件下，寻找函数的最大值或最小值。
约束最优化则是在给定一些条件下，寻找函数的最大值或最小值。
无约束最优化问题的求解可以通过求解目标函数的导数为零的方程来实现。
该方程的解对应于函数的极值点。
根据导数的符号可以判断是极大值还是极小值。
有时候我们还需要通过二阶导数的信息来确定极值的性质。
数学中的最优化问题
数学中的最优化问题数学中的最优化问题是一类重要的数学问题，其目标是寻找某个函数的最优解，即使得函数取得最大值或最小值的输入变量的取值。
最优化问题在数学、经济学、物理学等领域有广泛的应用，对于解决实际问题具有重要意义。
一、最优化问题的基本概念在介绍最优化问题之前，需要先了解几个基本的概念。
1. 目标函数：最优化问题中，我们定义一个目标函数，该函数是一个关于变量的函数，表示我们要优化的目标。
2. 约束条件：最优化问题中，往往存在一些限制条件，这些条件限制了变量的取值范围。
这些限制条件可以是等式约束或者不等式约束。
3. 最优解：最优解是指满足约束条件下使得目标函数取得最优值的变量取值。
最优解可能是唯一的，也可能存在多个。
二、最优化问题的求解方法在数学中，有多种方法可以求解最优化问题。
以下是几种常见的方法：1. 解析法：对于一些特殊的最优化问题，我们可以通过解析的方法求解。
这种方法通常需要对目标函数进行求导，并解方程得到极值点。
2. 迭代法：对于一些复杂的最优化问题，解析法并不适用，这时可以采用迭代法求解。
迭代法通过不断地逼近最优解，逐步优化目标函数的值。
3. 线性规划：线性规划是一种常见的最优化问题，它的约束条件和目标函数都是线性的。
线性规划可以利用线性代数的方法进行求解，有着广泛的应用。
4. 非线性规划：非线性规划是一类更一般的最优化问题，约束条件和目标函数都可以是非线性的。
非线性规划的求解比线性规划更为困难，需要采用一些数值方法进行逼近求解。
三、最优化问题的应用最优化问题在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 经济学中的最优化问题：经济学中的生产优化、消费优化等问题都可以抽象为最优化问题。
通过求解最优化问题，可以找到最有效的生产组合或最佳的消费策略。
2. 物理学中的最优化问题：在物理学中，最优化问题常常涉及到动力学、优化控制等方面。
例如，在机械设计中，可以通过最优化问题确定各部件的尺寸和形状，使得机械系统具有最佳的性能。
研究生数学优化理论知识点归纳总结
研究生数学优化理论知识点归纳总结在研究生阶段，数学优化理论是我们学习和研究的重要内容之一。
通过对数学优化理论的深入学习，我们可以了解和应用在各个领域的最优化问题求解方法。
本文将对研究生数学优化理论的知识点进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一学科。
一、最优化问题的基本概念和性质最优化问题是通过寻找使目标函数极大或极小的变量取值，来求解问题的一类数学问题。
在研究生数学优化理论中，我们首先需要了解最优化问题的基本概念和性质。
1.1 最优化问题的分类最优化问题可以分为无约束最优化问题和约束最优化问题两类。
无约束最优化问题是指目标函数在整个变量空间内寻找极大或极小值的问题，而约束最优化问题则是在一定的条件下求解变量的最优取值。
1.2 最优性条件及其应用最优性条件是指在最优解处，目标函数满足的条件。
最常见的最优性条件有一阶必要条件和二阶充分条件。
一阶必要条件可以通过梯度和雅可比矩阵等方法得到，而二阶充分条件则需要通过海森矩阵进行判断。
二、线性规划线性规划是数学优化理论中的一个重要分支，其应用广泛，并且具有很多实际解决的问题。
下面我们将针对线性规划提供一些基本概念和解决方法。
2.1 线性规划的基本概念线性规划是在一定的线性约束条件下，寻找一组变量的最优解使得目标函数取得最值的问题。
线性规划问题可以通过建立数学模型和线性规划的标准形式来求解。
2.2 单纯形法单纯形法是解决线性规划问题的一种常用方法。
它通过不断调整基变量和非基变量的取值，使目标函数不断逼近最优解。
单纯形法的基本步骤包括初始化、选择入基变量和出基变量、计算和更新等。
三、非线性规划除了线性规划之外，非线性规划也是数学优化理论的重要内容。
非线性规划更加复杂，但是在实际问题中应用广泛。
接下来，我们将对非线性规划的知识点进行总结。
3.1 非线性规划的定义和性质非线性规划是指目标函数或约束条件中具有非线性项的最优化问题。
与线性规划不同，非线性规划的求解需要运用各种数值方法和优化算法来逼近最优解。
数学中的优化思想概念
数学中的优化思想概念"优化思惙"是数学中的基本概念，也是工业解决问题的重要思想。
有很多种不同的优化思想，它们多源于经典数学理论，但实际应用却涉及很多不同的领域。
其中最经典的优化思想是“最优化”的思想。
它表现为寻找最优解，即需要最少代价、时间或收益的解。
在求解问题中，最优解通常可以在最短时间内完成。
解决此类优化问题一般采用极值法，这是一种在函数上找到最值的方法，有时极值需要满足某种约束条件。
此外，依旧可以通过建立函数的微分或积分的方式，来求解优化问题。
另一个著名的优化思想是“整数优化”。
尤其是整数规划、分支定界和随机优化等算法都属于该领域，它们利用整数变量来约束函数，通常用来求解组合优化问题。
其基本思想是把复杂彼优化问题中的子问题考虑切换成只涉及整数变量的可行性问题，然后一步一步求解。
另一种常用的优化思想是“动态规划"思想。
它具有回溯选择性推导的特点，它的特点是从给定的初始状态出发，在多个优化问题中，采用最优选择来推导问题的最优解。
动态规划实际上是一类数学模型，用于识别重叠子问题的整体优化问题的一般技术。
常用的动态规划方法包括贝尔曼-福特算法、最大流算法和拉格朗日乘子法等，通常用来解决最小路径、最小生成树和旅行商问题等最经典的方法可靠。
此外，机器学习实际上也是优化思想的一种。
它结合了统计学原理和计算机机制，将函数优化应用到现实世界中，用以解决实际中的优化问题，包括回归估计、梯度下降和模型选择等。
在现实情况下，机器学习方法结合了统计学原理的优化思想，通过计算模型最终获得最优解。
总而言之，优化思想以多种不同的方式受到经典数学理论的影响，它包括常见的最优化方法、整数优化及动态规划等，也推动了机器学习的发展，这些优化思。
最优化理论：理解最优解和最优化算法
局部最优解和全局最优解
全局最优解：在整个解空间中 的最优解，是真正的最优解
局部最优解和全局最优解的 区别与联系
局部最优解：在一定范围内的 最优解，不一定是全局最优
如何从局部最优解过渡到全 局最优解
最优解的性质
唯一性：在一定条件下，最优解是唯一的 存在性：在一定条件下，一定存在最优解 稳定性：在一定条件下，最优解是稳定的 可行性：在一定条件下，最优解是可行的
求解方法：常见的求 解线性规划的方法有 单纯形法、椭球法等。
优缺点：线性规划具有 简单易行、计算量小等 优点，但也可能存在无 解或无穷多解的情况。
非线性规划
定义：求解非线性 函数的最优解的问 题
特点：约束条件和 目标函数都是非线 性的
应用领域：经济、 金融、工程、运筹 等领域
最优化算法：梯度 下降法、牛顿法、 拟牛顿法等
最优化理论
汇报人：XX
目录
最优化问题的定义
01
最优解的概念
02
最优化算法的概述
03
最优化算法的应用
04
最优化算法的局限性和未 来发展
05
最优化问题的定 义
什么是最优化问题
分类：线性规划、非线性规 划、动态规划、整数规划等
最优化问题的定义：在所有可 行方案中选择最优方案，使得 目标函数达到最优值
应用领域：经济、 金融、工程、物 流等
算法类型：进化算 法、粒子群算法、 模拟退火算法等
案例分析：以实际 案例说明多目标规 划的应用和效果
最优化算法的局 限性和未来发展
最优化算法的局限性
计算复杂度高： 最优化算法通常 需要大量的计算 资源，对于大规 模问题，计算时 间较长。
对初始解敏感： 最优化算法的初 始解对最终结果 有很大影响，有 时会陷入局部最 优解而非全局最 优解。
最值与最优化问题
最值与最优化问题最值与最优化问题是数学中的一个重要研究领域，它涉及到在一定的条件下，寻找函数的最大值或最小值，并找到使得函数达到极值的自变量取值。
在实际生活和工程应用中，最值与最优化问题可以帮助我们找到最佳的解决方案，优化资源的利用效率，提高工作效率等。
本文将介绍最值与最优化问题的基本概念、求解方法以及实际应用。
一、最值与最优化问题的基本概念1. 极值与最值在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
最大值和最小值统称为最值。
对于一个函数而言，当自变量在某个范围内取得最大值或最小值时，称该函数在该范围内达到了极值。
2. 一元函数与多元函数在最值与最优化问题中，我们主要研究一元函数和多元函数的最值。
一元函数是指只有一个自变量的函数，例如f(x)。
而多元函数是指有多个自变量的函数，例如f(x, y)。
不同函数的最值问题需要采用不同的求解方法。
二、最值与最优化问题的求解方法1. 闭区间法闭区间法是求解一元函数最值的一种常用方法。
该方法通过在指定区间内寻找函数的极值点，来确定函数的最大值或最小值。
具体步骤如下：- 在区间的两个端点上计算函数的函数值。
- 计算区间的中点，并计算中点处的函数值。
- 根据计算结果，将函数值较小的一半区间作为新的区间，将过去的区间再次进行相同的操作，直至找到最值。
2. 梯度下降法梯度下降法是求解多元函数最值的一种常用方法。
该方法通过在函数的定义域内寻找梯度的方向，并沿着梯度的方向逐步逼近最值点。
具体步骤如下：- 初始化自变量的取值，可以随机选择初始点。
- 计算当前点的梯度向量。
- 更新自变量的取值，向梯度的反方向进行移动。
- 重复以上步骤，直至梯度趋近于0或达到预设的迭代次数。
三、最值与最优化问题的实际应用1. 金融投资领域在金融投资领域，最值与最优化问题可用于确定最佳投资组合。
通过求解一个投资组合净值函数的最大值，可以找到最佳的资产配置方案。
该方案可帮助投资者在风险与收益之间进行平衡，最大化投资回报。
数学中的最优化问题求解方法
数学中的最优化问题求解方法随着科技的迅速发展，人们对于各种事物的需求也越来越高。
而大多数时候，我们是希望达到“最优化”的状态，即在一定条件下，尽可能地取得最大收益或最小成本。
因此，在现实生活中，最优化问题思维逐渐成为人们解决问题的重要方法之一。
而在数学领域，最优化问题同样具有重要作用。
本文将从最优化问题基本概念、最优化建模和求解方法三方面，介绍最优化问题的相关知识。
一、最优化问题基本概念最优化问题，即指在满足一定约束条件下，求出某些目标（如最大值或最小值）最优的解。
最优化问题的基本形式为：$\max_{x\in S} f(x)\qquad$或$\qquad\min_{x\in S} f(x)$其中，$f(x)$为目标函数，$x$为变量，$S$为变量的约束条件。
在最优化问题中，“最大值”和“最小值”藏在目标函数里。
目标函数中哪个变量每增加1，函数数值改变的最大值或最小值就被称为局部最优解或全局最优解。
因此，最优化问题的关键在于如何确定最优解，这便需要我们对其建模和求解。
二、最优化建模最优化问题的关键在于合理建立问题模型。
根据问题特性，我们可以将其分为线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划、多目标规划等不同类型。
2.1 线性规划线性规划问题是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。
线性规划模型最为简单，但覆盖了许多实际应用的情况。
其基本形式为：$\max_{x\in\Re^n}c^Tx\qquad s.t.\qquad Ax\leq b,x\geq0$其中，向量$c$, $b$和矩阵$A$均为已知的常数，$x$为待求的向量。
在式子中，第一行为目标函数，第二行代表约束条件。
由于目标函数和约束条件均为线性函数，因此这是典型的线性规划问题。
2.2 非线性规划非线性规划问题是指其中一个或多个约束条件或目标函数为非线性函数的最优化问题。
非线性规划比线性规划更为广泛，因此变量取值空间、目标函数和约束条件也更灵活多样。
最优化之基本概念
最优化之基本概念第一章1.最优化问题的数学模型包含有三个要素：即变量（又称设计变量）、目标函数、约束条件。
（变量、目标函数、约束条件 (4)2.（最优化问题的三种表达形式……P5中）3.称为集约束，通常不作考虑，可认为目标函数的定义域。
一般有。
可行点（容许点）：满足所有约束的点称为可行点或容许点。
可行域（容许集）：全体可行点构成的集合称为可行域，也叫容许集，记为D。
（P5）4.最优点：在可行域内找到的点，使得目标函数值取得最优值。
最优值：目标函数值最优解：，但习惯上把本身称为最优解。
（P5底）5.处理最优化问题的3种方法：解析法、图解法、迭代法6.迭代算法：选取一个初始可行点，然后根据现有的信息确定本次迭代的一个搜索方向和适当的步长，从而得到一个新点。
搜索方向迭代步长下降算法：求有上升算法：求有(P9)7.收敛速度：衡量算好好坏的一个标准。
（P9底）具有超线性收敛或者二阶收敛的算法是较快速的算法。
（P10）8.计算终止的计算终止准则：无约束优化问题的三种计算终止准则：点距准则、函数下降量准则、梯度准则。
（P11）约束优化问题有各自的终止准则。
优化算法的基本迭代过程：（P11底）9.图解法：（P6）运用求解二位优化问题可行域：即约束集合（P6）等高线：在三维空间中，不同的c值得到不同的投影曲线。
没一条投影曲线对应一个c 值，称投影曲线为目标函数的等值线或者等高线。
（P7）10.组合优化问题举例：背包问题即0-1问题：P13 例1.9 需要设为二进制变量，表示装第i个物品。
旅行商问题（TSP）：（P14）组合爆炸P15聚类问题：（P14）组合爆炸P1511.算法复杂性：算法对时间的复杂性T(n)和对空间的复杂性S(n)。
算法的时间复杂性：算法执行基本操作的次数算法的空间复杂性：算法执行期间占用的存储单位（P15）12.组合优化问题分类：根据算法的复杂性，可分为P类、 NP类、NP完全类。
P类问题：具有多项式实践求解算法NP类问题：未找到球最优解的多项式实践算法NP完全类问题：任何一个问题至今未发现有多项式算法；只要其中一个问题找到了多项式算法，那么其他所有问题均有多项式算法。
工程最优化设计的基本概念
1 最优化设计的基本概念最优化就是追求最好结果或最优目标，从所有可能方案中选择的最合理的一种方案。
在进行工程设计、物资运输或资源分配等工作中，应用最优化技术，可以帮助我们选择出最优方案或作出最优决策。
目前，最优化方法在工程技术、自动控制、系统工程、经济计划．企业管理等各方面都获得了广泛应用。
最优化设计是从可能设计中选择最合理的设计，以达到最优目标。
搜寻最优设计的方法就是最优化设计法，这种方法的数学理论就是最优化设计理论。
最优化设计方法是现代设计方法的一种。
微积分中遇到的函数极值问题是最简单的最优化问题。
I.1函数的极值最简单的最优化设计问题，就是微积分中的求函数极值问题。
它是应用数学的一个分支，已渗透到科学、技术、工程、经济各领域。
例1.1边长为a的正方形钢板，设计制成正方形无盖水槽，如图：1.1所示，在四个角处剪去相等的正方形，如何剪法使水槽容积虽大？解：设剪去的正方形边长为x，与此相应的水槽容积为解出两个驻点x=a/2和x=a/6 第一个驻点没有实际意义。
现在判别第二个驻点是否为极大点。
因为V"(X=a/6)=-4a<0说明x=a/6的驻点是极大点。
结论是，每个角剪去边长为a／6的正方形可使所制成的水槽容积最大。
一般记为Max V （x）。
例1.2图1.2所示的对称两杆支架，由空心圆管构成。
顶点承受的荷载为2P，支座间距为2L，圆管壁厚为6。
设密度为P，弹性模量为E，屈服极限为(T。
问如何设计圆管平均直径d 和支架高度H，使支架的重量最轻？解：以圆管平均直径d和支架高度H为两个未知变量。
支架总重量的数学表达式为W(H.d)= 2B pbd最轻支架重量w，一般记为mix W。
式(1.2)中变量d和H还必须满足以下条件：图1.1正方形钢板图I 2两杆支架(1)圆管的压应力小于或等于压杆稳定临界应力Φcr。
由材料力学可知，压杆稳定的临界应力为由此得稳定约束条件(2)圆管压应力小于或等于材料的屈服极限Φy，由此得强度约束条件(3)变量d和H为有界变量，由此得几何约束条件dmin≤d≤dmax，Hmin≤H≤Hmax式中：dmin、dmax、Hmin、Hmax分别为d和H的下界值、上界值。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是指从数量上的角度，以尽量减少成本或增加收益为目标，按照科学的方法和原则，系统地求解给定条件下最好的决策。
其中最优化理论和最优化方法是实现最优化的根本。
1、最优化理论最优化理论是一门广泛的理论，包括最优化的基本原理、最优化目标的定义、最优化参数的表示、最优化的数值模型以及求解最优化模型的方法。
（1）最优化的基本原理：最优化就是找出满足限制条件下最好的解决问题的方法，它是实现经济效益最大化的手段。
因此，最优化的基本原理是：在给定的约束条件下，优化给定的目标函数，寻求其最优解。
（2）最优化目标的定义：最优化目标指的是用以表示被优化的性能的函数，有时只是一个函数，有时可以是多个组合的函数。
例如，机器学习中的损失函数；优化调度中的时间耗费或成本函数等。
（3）最优化参数的表示：最优化参数用于描述优化过程中的自由参数。
它们是寻求最优解的主角，可以有数量上的约束，也可以没有约束。
（4）最优化的数值模型：最优化的数值模型是特定场合下，根据实际问题和最优化原理，把目标函数和约束条件表示为数学模型的过程。
（5）求解最优化模型的方法：求解最优化模型的方法指的是对特定最优化模型求解最优解的方法，主要有迭代法、梯度下降法、拟牛顿法、单纯形法及类比应用等。
2、最优化方法最优化方法是指用数学方法、统计方法、计算机技术等实际工具，在满足给定条件的情况下，尽可能求得最优解的技术，它是实现最优化的有效手段。
常用的最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划、博弈论、贪心法等。
（1）线性规划：线性规划是指在一系列约束条件下，优化一系列线性函数的方法。
它的目标是找到一个可行的决策，使目标函数达到最优值，要求目标函数和约束条件都是线性的。
（2）非线性规划：非线性规划是指在一系列非线性约束条件下，优化非线性函数的方法。
它的特点是目标函数和约束条件可以是非线性的，可以通过分析非线性函数的定义域和最优解，找到最优化解。
（3）动态规划：动态规划是指在一系列约束条件下，优化某一函数的最优解的过程，其特点是无论多少步，最优解都是一致的，具有很强的计算和递推性。
运筹学和最优化的关系
运筹学和最优化的关系运筹学和最优化是两个紧密相关的概念，它们在管理科学和工程领域中扮演着重要的角色。
运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，而最优化则是一种方法论，旨在找到最佳解决方案。
运筹学是一门综合性学科，涵盖了数学、统计学、经济学、工程学等多个学科的知识。
它通过建立数学模型和运用优化方法，帮助决策者在面对复杂问题时做出最佳决策。
运筹学的研究对象包括资源分配、生产调度、物流管理、项目管理等各个方面。
通过对问题进行建模、求解和分析，运筹学可以帮助决策者降低成本、提高效率、优化资源利用率等。
最优化是运筹学的重要方法之一，它旨在寻找问题的最佳解决方案。
最优化的核心思想是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优值的变量取值。
最优化问题可以是线性的，也可以是非线性的。
线性规划是最常见的最优化问题之一，它涉及到线性目标函数和线性约束条件。
非线性规划则涉及到非线性目标函数和/或非线性约束条件。
通过运用数学方法和算法，最优化可以帮助求解各种复杂的决策问题。
运筹学和最优化之间存在着密切的联系和相互依赖。
运筹学提供了最优化问题的实际背景和应用场景，而最优化则为运筹学提供了解决问题的方法和工具。
运筹学的研究需要依靠最优化方法来求解模型，而最优化方法的发展和应用也离不开对运筹学问题的实践需求和挑战。
在实际应用中，运筹学和最优化常常相互结合，形成一个完整的分析和决策框架。
首先，运筹学通过对问题进行建模和分析，确定问题的关键要素和影响因素。
然后，最优化方法被应用于求解模型，得到最佳的决策方案。
最后，运筹学通过对结果进行评估和优化，进一步改进决策方案的质量和效果。
运筹学和最优化的关系也体现在它们共同面对的挑战和问题上。
在现实生活中，决策问题往往具有复杂性、多目标性和不确定性。
运筹学和最优化需要面对这些挑战，寻找有效的方法和技术来解决问题。
例如，在资源分配问题中，运筹学需要考虑如何在有限的资源下实现最大化的效益，最优化则需要找到合适的算法来求解这个复杂的优化问题。
《生化反应工程专论》复习题 (1)
《生化反应工程专论》复习题一、名词解释 1、能量生长偶联型当有大量合成菌体材料存在时，微生物生长取决于ATP 的供能，这种生长就是能量生长偶联型。
2、固定化酶的位阻效应是载体的遮蔽作用（如载体的空隙大小、固定化位置或方法不当）给酶的活性中心或调节中心造成空间障碍，使底物和效应物无法与酶接触等引起的。
3、Y ATP消耗1摩尔ATP 所获得的干菌体克数，g/mol.4、微生物生长动力学的非结构模型不考虑细胞结构，每个细胞之间无差别，即认为细胞为单一成分。
这种理想状态下建立起来的动力学模型称为非结构模型。
5、搅拌器轴功率是指搅拌器以既定的速度转动时,用以克服介质的阻力所需要的功率。
6、搅拌器输入搅拌液体的功率是指搅拌器以既定的速度转动时,用以克服介质的阻力所需要的功率。
也称搅拌器的轴功率7、深层过滤的对数穿透定律进入滤层的微粒数与穿透滤层的微粒数之比的对数是滤层厚度的函数。
21lnN KL N =- 8、搅拌雷诺准数雷诺准数是惯性力与液体粘滞力之比,即Re du ρμ=,而在搅拌容器中,液体的代表速度 u= n Di ,并以搅拌器直径 Di 代替管径 d,此时的雷诺准数称为搅拌雷诺准数2Re i nD m ρμ=9、全挡板条件是指在一定转数下再增加罐内附件而轴功率仍保持不变。
要达到全挡板条件必须满足下式要求：(0.1~0.12)0.5b Dn n D D⋅=⋅= D-发酵罐直径，b-挡板宽度，n-挡板数10、气体截留率在通风液体中由于充气而导致的体积增加率。
通风前液体体积为 V L ,通风时体积的增加量为 V g ,则气体截留率为g L gV V V ε=+二、简答题1、简述生化反应工程中涉及到的工程学基本概念（1）恒算概念：通过质量衡算、热量衡算、动量衡算达到物料和能量有效集成。
质量、热量和动量衡算概念是保证技术上可行性和经济上合理性的重要工程措施和环节。
（2）速率概念：速率问题是理论上正确性和技术上可行性的一个重要衡量标志和判断标准，也是技术先进性的反映，更是生物反应工艺、工程探索结果的表现。
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背景知识（续）
1959年1月1日，国际运筹学会联合会(1FORS)正式宣告 成立，当时的联合会只包括英、美、法三个国家的运筹 学会，首任（1959-61年）主席（当时称为秘书，到1968 年第四届时才改称主席）为英国的Charles Goodeve。
背景知识（续） 运筹学理论在中国的研究与发展
1957年，经中国科学院力学研究所所长钱学森的倡导， 在该所成立了由许国志领导的国内第一个运筹学研究组 (后成室)。刘源张、周华章、桂湘云等是该组最早的一 批研究人员，从此在我国开始了现代运筹学的研究。当 年秋季，又有大学毕业生顾基发、董泽清、徐映波、陈 锡康、郭绍僖、李秉全等分配进入该组。 1958年，中国科学院数学研究所所长华罗庚率领广大研 究人员，包括吴文俊、越民义、万哲先、王元等在内， 也开展了运筹学应用课题的研究，并影响和带动了全国 范围内各部门、各高校的运筹学应用和推广工作。运输 和农业等部门的“图上作业法”、“打麦场设计”、“中国 邮递员问题”是典型的成果。
最优化问题至少有两要素：一是可能的 方案；二是要追求的目标。后者是前者的函 数。如果第一要素与时间无关就称为静态最 优化问题，否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题。
最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常 生活中，在工农业生产、社会经济、国防、航空 航天工业中处处可见其用途。如结构最优设计、 电子器件最优设计、光学仪器最优设计、化工工 程最优设计、标腔最优配方、运输方案、机器最 优配备、油田开发、水库调度、饲料最优配方、 食品结构优化等等。
背景知识（续）
1959年2月，山东大学在数学系中设置了国内最早的一 个运筹学专门化，由谢力同与郑汉鼎执教。自当年暑假 开始，每年都有运筹学方向的学生毕业，为我国运筹学 事业的发展作出了重要贡献。 1959年，中国科学院数学研究所成立了运筹学研究室， 研究人员都由所内其它室组调入。孙克定任研究室主任， 该室最早的一批研究人员有排队论组的越民义、吴方、 徐光煇、韩继业；对策论组的吴文俊、江加禾、施闺芳； 数学规划组的朱永津、应玫茜、马仲蕃、凌开诚等。与 此同时，全国范围内很多高校也有大批教师转入运筹学 领域。
• 国外起源与发展
1896年，V.Pareto首次从数学角度提出多目标优化问题， 引进了Pareto最优的概念。
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工程优化课件
背景知识（续）
英国运筹学会1948年成立（1948-53年是运筹学俱乐部， 1953年11月起改名为学会）。 。 二次大战胜利后，美英各国不但在军事部门继续保留了 运筹学的研究核心，而且在研究人员、组织的配备及研 究范围和水平上，都得到了进一步的扩大和发展，同时 运筹学方法也向政府和工业等部门扩展。 1951年出版了新版（1946年的原版是保密的，1948年才 撤销保密）的P.M.Morse和G.E.Kimball的《运筹学方法》 （Methods of Operations Research），这是二战结束后， 对战时整个运筹学工作做系统的专业叙述的一本著作。 1951年,H.W.Kuhn与A.W.Tucker提出了Kuhn-Tucker条 件，标志着非线性规划理论的初步形成。
考核方法
期末考试成绩作为总成绩 课件下载地址 邮箱：mxw_1334@ 密码：654321
第一章 基础知识
背景知识 基本概念及其应用 最优化问题举例 优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点 常用的数学软件
§1 背景知识 • 运筹学理论的一部分 • 最早起源于中国古代
公元前6世纪孙武所著的《孙子兵法》 孙膑“斗马术”，田忌与齐王赛马，博弈论 运筹帷幄之中，决胜千里之外”。这千古名句也 可以说是对张良运筹思想的赞颂和褒奖。
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工程优化课件
背景知识（续）
1980年4月22-26日在山东济南，召开了中国数学会运筹 学会成立暨第一届代表大会。中国运筹学倡导者之一， 中国科学院副院长华罗庚主持了会议，有来自各地科研 机构、高等院校、军事部门、工交企业等有关单位的82 名代表出席。华罗庚在大会开幕式与闭幕式上均发表了 讲话，回顾了他在全国范围普及推广“双法”的经验和成 果，勉励大家以克敌攻坚的进取精神积极开展运筹学研 究。会议作了12个专题学术报告和个人成果的几十个分 组报告。中国数学会理事长华罗庚被推选兼任运筹学会 理事长，越民义、许国志、余潜修为副理事长，桂湘云 为秘书长，推选常务理事11名，理事42名。会议决定学 会挂靠在中科院应用数学所
例2: 多参数曲线拟合问题 已知两个物理量 x 和 y 之间的依赖关系为:
y = a1 + a2 ⎛ x − a4 ⎞ 1 + a3 ln ⎜ 1 + exp ⎟ a5 ⎠ ⎝
⎧ ∂L ⎪ ∂r = 2π h + 4π r − 2rhλ = 0 h = 2r ⎪ ⎪ ∂L 2 2 ⇒ ⎨ = 2π r − λ r 2 = 0 ⇒ r = 3 ,h = 23 3 3 ⎪ ∂h 4 ⎪ ∂L = −r 2 h + = 0 ⎪ ∂λ 3 ⎩ 2 ⎛ 2 ⎞3 此时圆柱体的表面积为 6π ⎜ ⎟ ⎝3⎠
解: (1) 决定圆柱体表面积大小有两个决策变量： 圆柱体底面半径 r、高 h。 (2) 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重 相等。即 4 π r 2 ⋅ h ⋅ ρ = π R3 ⋅ ρ 3 即
问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
minimize(min)
2π rh + 2π r 2
则得原问题的数学模型：
工程优化课件
教材及其参考书目 工程优化方法
硕士研究生课程 计划学时数：46学时 教材：
[1]最优化计算方法. 陈开周，西安电子科技大学出版社，1985。 [2]最优化理论与算法. 陈宝林. 清华大学出版社，2003。
主要参考书目：
理学院数学系：穆学文 E-mail:mxw1334@ [1]最优化理论与方法. 袁亚湘,孙文渝. 科学出版社，1997。 [2]最优化方法. 唐焕文,秦学志. 大连理工大学出版社，1985。 [3]非线性规划数值方法. 袁亚湘，上海科学技术出版社，1993
因此，我们在学习本科程时要尽可能了 解如何由实际问题形成最优化的数学模型。 为了便于大家今后在处理实际问题时建立最优 化数学模型，下面我们先把有关数学模型的一 些事项作一些说明。 数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
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建立数学模型时要尽可能简单，而且要能 完整地描述所研究的系统，但要注意到过于简 单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况，而过于详细复杂的的数学模型需要丰 富的经验和熟练的技巧。即使在建立了问题的 数学模型之后，通常也必须对模型进行必要的 数学简化以便于分析、计算。
§2
（3）目标函数。这是作为系统决策变量的 一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追 求的目标。 一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。
最优化问题举例
最优化在运输、自动控制、机械设计、采 矿冶金、经济管理等科学技术各领域中有广 泛应用。下面举几个实例。 例1: 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表 面积最小？
背景知识（续）
1952年5月美国运筹学会成立，并创刊《Operations Research》。 1953年,R.Bellman提出动态规划的名称，并阐述了最优 化原理。 1954年，D.R.Dantzig等研究旅行推销员问题时提出了分 解的思想，成为整数规划中两大方法—割平面法与分枝 定界法的萌芽。 1955年,G.Dantzig首先考虑出现随机变量的线性规划问 题，这是最早提出的随机规划中的有补偿二阶段问题。 1956年, L.R.Ford,Jr.与 D.R.Fulkerson提出并解决了网 络最大流问题，加强了图论与线性规划的联系，促进了 优化理论的研究。
背景知识（续）
1935-38年，英国为了正确地运用新研制的雷达系统来对 付德国飞机的空袭，在皇家空军中组织了一批科学家， 进行新战术试验和战术效率评价的研究，并取得了满意 的效果。他们把自己从事的这种工作命名为 “Operational Research”(运筹学，或直译为作战研究)。 1939年，苏联的Л.В.Канторович 总结了他 对生产组织的研究，写了《生产组织与计划中的数学方 法》一书，是线性规划应用于工业生产问题的经典著作 1947年,G.B.Dantzig提出了单纯形方法后，线性规划便 迅速形成为一个独立的分支。 并逐级发展起来。
最优化技术工作被分成两个方面，一是由实 际生产或科技问题形成最优化的数学模型，二是 对所形成的数学问题进行数学加工和求解。对于 第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资 料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象 出数学模型，目前很少有系统的资料，而这一工 作在应用最优化技术解决实际问题时是十分关键 的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水 之源，难以健康发展。
建立最优化问题数学模型的三要素： （1）决策变量和参数。决策变量是由数学模型 的解确定的未知数。参数表示系统的控制变量，有 确定性的也有随机性的。 （2）约束或限制条件。 由于现实系统的客观物 质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们 可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学 函数形式来表示的。
背景知识（续）
1965年起，华罗庚和他的小分队在全国工业部门开始普 及推广统筹法的群众运动。在此后的二十年中，为普及 推广双法（统筹法与从1970年开始普及推广的优选法）， 他们走访了全国23个省市中几百个城市的几千个工厂， 并向数百万人开设讲座开展工作，取得了巨大的社会效 益和经济效益。 1965年华罗庚《统筹方法平话及其补充》一书由中国工 业出版社出版。 1970年起，华罗庚和他的小分队开始在全国范围内普及 推广优选法的群众运动。从此，统筹与优选双法变得家 喻户晓，双法的普及推广也取得了极为可观的社会、经 济效益。 1971年华罗庚《优选法平话及其补充》一书由国防工业 出版社出版。