麦克斯韦电磁理论和电磁波

jD I0 S0
通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从 而使极板间电场发生变化。因此，也可以这样来求 j D : 因为 由于 0 D ，因此
I0 dQ 0 dt
dD dt

d dt
S 0 0
I0 S0
S 0 jD
I0 S0
所以
jD
(2) 由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场B 也呈轴对 称，显然过 P 点的B 线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c） 所示。

cos t
I D 的流向沿径向，且随时间变化。
注释 球形电容器两极板间的电压随时间变化，所以极板间电 场 变化，产生位移电流。从结果中看出，介质中各处的位移电 流密度不同，而穿过任意球面的位移电流与球面大小无关。
5. 如图所示，电荷 q 以速度 v 向 O 点运动（ q 到 点的距离 O
4. 一球形电容器，其内导体半径为 R 1 ，外导体半径为R 2，两极板 之间充有相对介电常数为 r 的介质。现在电容器上加电压，内球
与外球的电压为V=V 0 sin t ，假设 不太大，以致电容器电场分
布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过
半径为 r R 1 r R 2 的球面的位移电流。
第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波
1。一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为S，接于
一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即 q q m sin t 。
试求： (1) 电容器中的位移电流密度的大小；
(2) 设 r 为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分
布B 解 （1）由题意可知， q q m sin t ，对于平行板电容器电位 移矢量的大小为
的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的
电场的能量为
dW e dt d dt ( 1 D
2
2 0
r d )
2
d dt
(
0
2
2 0
r d )
2

r d
2
0S
d dt
2 0
Q0
dQ 0 dt
2 2

r d
2
0S
2 0
Q0I0

(
Q0
2 0 S 0
r d )
安培环路定理可知
L
H
dl H 2 r
通过 L 所围面积的位移电流为

2
所以
H
jD r 2

q m r 2S
cos t
最后可得
B 0H
q m r 0 2S
cos t
注释：由于平行板电容器极板上的电荷 q 随时间作周期性变化，
6
(J)
注释：变化的电场在周围空间激发变化的磁场，此变化的磁场 又会在较远的周围空间激发变化的感生电场，这样，变化的磁
场和变化的电场相互激发、交替产生，以一定的速度由近及远
地在空间传播而形成电磁波。LC电路的电磁振荡规律与力学中 的简谐振动规律相类似。电路系统的总能量包括电容器储有的 电场能和线圈L储存的磁场能。
(1) 此电容器中的位移电流密度；
(2) 如图（b）所示，电容器中P 点的磁感应强度； (3) 证明在此电容器中从半径为 r 、厚度为 d 的圆柱体表面流 进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。
解 (1) 由全电流概念可知，全电流是连续的。电容器中位移电 流密度 I 0 的方向应如图（c）所示，其大小为
r
0
解: 设电容器极板上带有电荷 q t ，由位移电流密度公式可知
jD D t
(为径向单位向量)
由于球形电容器具有球形对称，可用电场高斯定理求出球形极板 间的电位移矢量为
D q t 4 r
2
r
0
球形电容器极板间的电势差为
V
q 4 0 r
(
1 R1

1 R2
)
D
0

q S

qm S
sin t
所以，位移电流密度的大小为
jD D t t ( qm S sin t ) q m S cos t
(2) 由于电容器内无传导电流，故 j 0 0 。又由于位移电流具 有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。设r 为由圆板 中心到场点的距离，并以 r 为半径做圆周路径L。根据全电流
0 r R 1 R 2V 0
r ( R 2 R1 )
2
cos tr
0
在电容器中，作半径为 r 的球面（R 1 < r < R 2 ），通过它的位移 电流为
ID 4 0 r R 1 R 2 V 0 R 2 R1

j D dS j D 4 r
2
2 C
6
2C
125 10
线圈储存的磁场能量为
cos( 2000 t ) (J)
Wm
1 2
LI
2

1 2
6
Lq sin ( t )
2 0 2 2
125 10
sin ( 2000 t ) (J)
2
整个电路系统的总能量
W W e W m 125 10
间的变化规律为
q q 0 cos t
则电路中的充、放电流为
I
dq dt
q 0 sin t
1 LC
由于在LC电路中，
回路的振荡频率
f
，所以

2

1 2 LC
（1）由题意可知

f
1 LC 1
2
2000
1000 LC
6. 如图所示，由电容为0. 025 F的电容器和自感系数为1.015H 的线圈构成一振荡电路，若忽略线路中的电阻，充电后电容器 所带电量的幅值为2.5 10 6 C。试求：
(1) 充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率；
(2) 电路中电流随时间的变化率； (3) 电场和磁场能量分别随时间的变化率。 解： 在图示中，将开关K先后扳向位置2,1使电容器充、放电， 便可在 LC 电路中产生电流的周期性变化。设电路中电荷随时
0
。所以
5
t 10 10 RC 10 6 10
6
6 10
(s)
注释: 当接通电源后，电源给电容器充电，所以电容器极板上 的电荷量随时间变化，在电容器中产生位移电流。但当充电过
程结束时，电容器极板上的电荷q不再变化，电容器内部的电
场也不再变化，故此时位移电流消失。

q t
10 6
6
12 10
10 6
t
e
2e
t
对应不同的情况，可求得
(1) 在接通电源的瞬时 t
6 (2) 当 t 6 10 s时，
0
，电容器极板间的位移电流AI D
10 6
6
2
I D 2e

6 10
6
2e
1
A
(3) 在 t 10 时可认为电流忽略不计，即 I D
2
显然，单位时间内流人圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。
注释： 本题中由于电源给平行板电容器稳定充电，电容器极板上
电荷不断变化，使极板内部电场稳定变化，产生不随时间变化的 位移电流，进而在电容器内部激发磁场。由于传导电流和位移电 流的对称性分布，可用安培环路定理求解B。问题（3）中的结果 表明电磁场的能量是从电容器的侧面流入的，且单位时间内流入 电容器中的能量与电容器内增加的能量相等。
2
得
B 2 r 0
B
I0 S0
r
r
2
所以
0I0
2S0
(3) 在电容器中作半径为r 、厚度为d 的圆柱体，如图（d）所示。
由坡印廷矢量 S
的能量为
EH
分析可知，S垂直指向圆柱体的侧壁，这
表明电磁场的能量是从侧壁流人圆柱体内的。在单位时间内流人
S 2 rd EH 2 rd
根据全电流安培环路定理，将 B dl L B 线上，有
L
0
S
j0
j D dS
用于此
B dl
B 2 r 0
S
j0
j D dS
2
0 j D dS 0 j D r
S
0
I0 S0
r
rad／s
Hz
所以
q q 0 cos t 2 . 5 10
代人电容器的电容公式，有
V q C 2 . 5 10
6
6
cos 2000 t
cos 2000 t
6
0 . 025 10
100cos(2000 t ) V

D


D dS DS
S
球冠

q 4 r
2
2 r h


q 4 r
q 2
2
2 r r r cos
x x a
2 2
q 2
1 cos
(1
)
代入位移电流的定义式，得
ID d dt
D

q 2

a
2 2 3 2
dx
x
2
a


qa 2r
2 3
因为。
EH D B
0 0

0B 00