全国高中数学竞赛不等式试题

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全国高中数学竞赛不等式试题

2000-2005全国高中数学竞赛不等式试题

2004年全国高中数学联赛试卷(第一试)

3、不等式2log 211log 32

12++-x x >0的解集是 ( ) A ．[2，3] B 。（2，3） C 。[2，4] D 。（2，4）

[答案]3、

解：原不等式等价于22331log 0222log 10

x x ++>⎪-≥⎩

2310,220

t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪≥⎩则有解得01t ≤<。即20log 11,24x x ≤-<∴≤<。

故选C 。

2003年全国高中数学联赛(第一试)

7．不等式3

22430x x x --+<的解集是______________ 9. 已知 {}

2430,,A x x x x R =-+<∈ (){}1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________.

13．设35,2x ≤≤ 证明不等式

319.

[答案]7. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3,215215,3 . 提示：原不等式可以化为:()()

01||3||2<-+-x x x 9. 14-≤≤-a

提示：()3,1=A ,令()a x f x +=-12,()()5722++-=x a x x g ,则只需()()x g x f ,在（1，3）上的图象

均在x 轴的下方，其充要条件是()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤0

3010301g g f f ,由此推出14-≤≤-a ; 13．

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛预赛高中联赛B卷试题及答案解析(一试+加试)

2022 年全国高中数学联合竞赛一试试题（B 卷）

一、填空题: 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分.

1.不等式的解集为________.

2.在平面直角坐标系中, 以抛物线的焦点为圆心作一个圆, 与的准线相切, 则圆的面积为________.

3.函数的最大值为________.

4.一枚不均匀的硬币, 若随机抛掷它两次均得到正面的概率为, 则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为________.

5.已知复数满足, 且

̅, 则

‾

的值为________.

6.若正四棱雉的各条棱长均相等, 为棱的中点, 则异面直线与所成的角的余弦值为________.

7.若的三个内角满足, 则的值为

8.一个单位方格的四条边中, 若存在三条边染了三种不同的颜色, 则称该单位方格是“多彩”的. 如图, 一个方格表的表格线共含 10 条单位长线段, 现要对这 10 条线段染色, 每条线段染为红、黄、蓝三色之一, 使得三个单位方格都是多采的. 这样的染色方式数为________.

(答案用数值表示).

二.解答题: 本大题共 3 小题, 满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.(本题满分 16 分) 在平面直角坐标系中, 是双曲线的两个焦点, 上一点满足⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 求点到的两条渐近线的距离之和.

10.(本题满分20 分) 设正数满足: 成公差为的等差数列,

成公比为的等比数列, 且. 求的最小值, 并确定当取到最小值时的值.

11.(本题满分 20 分) 若为实数, ，函数在闭区间上的最大值与最小值之差为 1 , 求的取值范围.

全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编

1．【2016年全国联赛】设实数a满足.则a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

由.

则由原不等式得:

又，故.

2．【2015年全国联赛】在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域的面积为______.

【答案】24

【解析】

设.

先考虑点集在第一象限中的部分，此时，.故这些点对应于图中的及其内部.

由对称性，知点集对应的区域是图中以原点为中心的菱形及其内部.

类似地，设.

则点集对应的区域是图中以为中心的菱形及其内部.

由点集的定义，知所对应的平面区域是被点集中恰一个所覆盖的部分.

因此，本题所要求的即为图中阴影区域的面积. 由，知两直线的交点为

由对称性知.

故答案为：24

3．【2013年全国联赛】若实数满足

，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】令

，此时，，

且题设等式化为.

于是，满足方程.

如图，在平面内，点

的轨迹是以为圆心、

为半径的圆在

的部分，即点与弧

并集. 故.

从而，

4．【2009年全国联赛】在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为0

2y y x y x ⎧⎪

⎨⎪-⎩

≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不

等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．

F E D

C B

A O

【答案】212

t t -++

【解析】由题意知

()f t S =阴影部分面积

AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=-- ()2

2111122

t t =---

t t =-++

5．【2009年全国联赛】使不等式1111200712213

专题06 不等式真题专项训练(全国竞赛+强基计划专用)原卷版

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题06不等式真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w z x y

+的最小值等于（）

A ．

B ．

C ．1

D ．前三个答案都不对

2．

（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫

+-+-= ⎪⎝⎭

，则()4

44444111a

b c a b c ⎛⎫

++++ ⎪⎝⎭

的最小值是（

）

．417+B

．417-C ．417

D ．以上答案都不对

3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）

A ．3

B ．5

C ．7

D ．以上答案都不对

二、填空题

4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．

5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则

222

202012

122320201

a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．6．

（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则2191

4a a

+∑∑的最小值为______.7．

全国高中数学竞赛专题不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式

证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）

（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）

（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>

（4）*).(,0N n b a b a b a n

n n

n ∈>

>⇒>>

对两个以上不等式进行运算的性质.

（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad d

c a c

d b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：

（1）.)0(||2

2a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤

（2）.)0(||2

2a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或

（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.

（4）.

||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++

全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编

一、简介

不等式是数学中一种重要的概念，涉及到数的大小关系和数的取值范围等问题。全国高中数学历届联赛一直重视不等式的考核，下面将为大家汇编一些历年来的不等式试题。

二、一元一次不等式

1. 第一题

已知不等式3x - 2 > 5，求解x的取值范围。

解析：首先将不等式中的常数移到一边，得到3x > 7，然后通过除以正数的操作得到x > 7/3。所以x的取值范围为[7/3, +∞)。

2. 第二题

已知不等式2x + 1 < 7，求解x的取值范围。

解析：同样地，将不等式中的常数移到一边得到2x < 6，然后除以正数得到x < 3。所以x的取值范围为(-∞, 3)。

三、一元二次不等式

1. 第一题

已知不等式x^2 - 5x + 6 > 0，求解x的取值范围。

解析：首先将不等式转化为对应的方程x^2 - 5x + 6 = 0，并求得方

程的解x1 = 2，x2 = 3。然后绘制一元二次函数的图像，根据函数的凹凸性和与x轴的交点，可以得出x的取值范围为(-∞, 2) ∪ (3, +∞)。

2. 第二题

已知不等式x^2 - 4x + 3 < 0，求解x的取值范围。

解析：同样地，将不等式转化为对应的方程x^2 - 4x + 3 = 0，并求

得方程的解x1 = 1，x2 = 3。绘制函数图像，可以得出x的取值范围为(1, 3)。

四、综合不等式

1. 第一题

已知不等式2(x - 1) + 3 < 4(x + 2)，求解x的取值范围。

高中数学竞赛几何不等式专项真题汇总

高中数学竞赛几何不等式专项真题汇总1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D.

证明：∠MDC≤45°.

2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ.

3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R.

证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB.

4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC的面积.

求证：.

5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍.

6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离

为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：.

7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点.

求证：.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

8．一凸四边形内接于半径为1的圆.证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0

9.已知过锐角△ABC顶点A、B、C的垂线分别交对边于D、E、F，AB>AC，直线EF交BC 于P，过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R.N是BC上的一点，且∠NQP+∠NRP ＜180°，求证：BN>CN.

参考答案

【同步达纲练习】1．设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM，∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM.又2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°.

高中数学竞赛不等式

高中数学竞赛不等式有答案

1．不等式的概念与性质【一】知识要点

1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用性质正确、迅速地对不等式进行转换。

2．在利用不等式的性质时，应特别注意条件的限制。

【二】解题指导例1：若610≤≤a ，

2a b a ≤≤，c a b =-，求c 的取值范围。

例2：设c d R ,∈+，且c d a +≤，c d b +≤，证明：ca db ab +≤

例3：已知函数f x ax c ()=-2满足-≤≤-411f ()，-≤≤125f () 求证：-≤≤1320f ()

【三】巩固练习一、选择题

1、下列四个命题：

（1）若ax b >，则x b a

>；

（2）若a x a y 22>，则x y >；

（3）若()()a x a y 2211+>+，则x y >；（4）若x

a y a 22

>，则x y >。

其中正确的命题的个数是

（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个

2、若a b ,是任意实数，且a b >，则

（A ）a b 22> （B ）b a

>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）b a )2

1()21(< 3、若a b >+1，下列各式中正确的是（A ）a b 22> （B ）

>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）lg lg a b > 4、已知a b <-<<010,，则下列不等式成立的是

（A ）a ab ab >>2 （B ）ab ab a 2>> （C ）ab a ab >>2 （D ）ab ab a >>2 5、若x y z ,,均为大于-1的负数，则一定有（A ）x y z 2220--< （B ）xyz >-1

全国高中数学联赛分类汇编专题01不等式

不等式

1、（2001一试6）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．Ａ．2枝玫瑰价格高Ｂ．3枝康乃馨价格高Ｃ．价格相同Ｄ．不确定【答案】A

2、（2003一试5）已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9

9－y 2的最小

值是（）

(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125

【答案】D

3、（2004一试3）不等式log 2x －1+12log 12

x 3

+2>0的解集为（）

A ．[2，3)

B ．(2，3]

C ．[2，4)

D ．(2，4] 【答案】C

【解析】令log 2x=t ≥1时，t －1>3

t －2．t ∈[1，2)，

x ∈[2，4)，选C ．

4、（2005一试1）使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（）

A ．63-

B ．3

C ．63+

D ．6 【答案】D

5、（2006一试2）设2

log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为（） A ．

112x << B ．1

, 12

x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答案】B

6、（2007一试2）设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2

对任意实数x 恒成立，则满足条

件的a 所组成的集合是（） A. ]31,31[- B. ]2

1,21[- C. ]3

1,41[-

D. [−3，3]

高中数学竞赛专题精讲14不等式的证明(含答案)

14不等式的证明

不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：

不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较

法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>

（4）*).(,0N n b a b a b a n

n n

n ∈>

>⇒>>

对两个以上不等式进行运算的性质.

（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad d

c a c

d b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：

（1）.)0(||2

a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||2

a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||

全国高中数学竞赛讲义：不等式的证明(练习题)

不等式的证明

课后练习

1.选择题

(1) 方程 x2-y 2=105 的正整数解有 (.. ).

（ A）一组（B）二组.（C）三组.（D）四组

(2) 在 0,1,2, ， 50 这 51 个整数中，能同时被2，3，4 整除的有（ ..）.

（A）3 个（B）4 个.（C）5个.（D）6个

2．填空题

（1）的个位数分别为 _________及_________.

(2) 满足不等式104≤A≤105的整数A的个数是x×104+1，则x的值

________.

(3)已知整数 y 被 7 除余数为 5, 那么 y3被 7 除时余数为 ________.

(4)求出任何一组满足方程 x2-51y 2=1 的自然数解 x 和 y_________. 3.

求三个正整数 x、 y、z 满足

4．在数列 4，8，17，77，97，106，125，238 中相邻若干个数之和是 3 的倍数，而不是 9 的倍数的数组共有多少组？

5．求的整数解.

6．求证可被37整除.

7．求满足条件的整数x，y的所有可能的值.

8．已知直角三角形的两直角边长分别为 l 厘米、m厘米，斜边长为 n 厘米，且 l ，m， n 均为正整数， l 为质数 . 证明： 2（l+m+n）是完全平方数 .

9. 如果 p、 q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求 p+q 的值 .

课后练习答案

1.D.C.

2.(1)9及1.....

(2)9....

(3)4.

(4) 原方程可变形为x2=(7y+1) 2+2y(y-7),令y=7可得x=50.

3. 不妨设 x≤y≤z, 则, 故 x≤3. 又有故x≥2.若x=2,则,

高中数学第三节不等式奥林匹克竞赛题解

第二章代数

第三节不等式

B3－001 北京、上海同时制成电子计算机若干台,除本地应用外,北京可支援外地10台,上海可支援外地4台．现在决定给重庆8台,汉口6台,若每台计算机运费如右表所示（单位:百元）,又上海、北京当时制造的机器完全相同．问应怎样调运,才能使总的运费最省？

【题说】1960年上海市赛高一复赛题6．

【解】设北京调给重庆x台,上海调给重庆y台,则

0≤x≤10,0≤y≤4

x+y=8

总运费为8x+4（10－x）+5y+3（4－y）=4x+2y+52=84－2y

当y=4时,总运费最小,此时,x=4,10－x=6,4－y=0．

答:北京调给重庆4台,调给汉口6台,上海调给重庆4台,这样总运费最省．

B3－002 x取什么值时,不等式

成立？

【题说】第二届（1960年）国际数学奥林匹克题2．本题由匈牙利提供．

将原不等式化简得 x2（8x－45）＜0,

因此,原不等式的解为

B3－003甲队有2m个人,乙队有3m个人,现自甲队抽出（14－m）人,乙队抽出（5m－11）人,参加游戏,问甲、乙队各有多少人？参加游戏的人有几种选法？

【题说】1962年上海市赛高三决赛题4．

【解】抽出的人数必须满足

解得m=5．

故甲队有2m=10人,乙队有3m=15人,甲队抽出14－m=9（人）．乙队抽出5m－11=14（人）,从而参加游戏的人共有

选法．

B3－004 求出所有满足不等式的实数．

【题说】第四届（1962年）国际数学奥林匹克题2．本题由匈牙利提供．

B3－007 设a1,a2,…,a n为n个正数,且设q为一已知实数,使得0＜q＜1．求n个数b1,b2,…,b n使

高中数学竞赛三角不等式

第24讲三角不等式

含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．

A 类例题

例1 已知α、β为锐角，且()02

x π

αβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<

分析要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．

证明（1）若x >0，则2

αβ+>

，则

βα>>

->，由正弦函数的单调性，得

0sin(

)sin 12

αβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．

（2）若x <0，则2

αβ+<

，则02

βα<<

，由正弦函数的单调性，得

0sin sin(

)12

βα<<-<，即0sin cos 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．

说明比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组

高中数学竞赛几何不等式练习题

1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D.

证明：∠MDC≤45°.

2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ.

3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R.

证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB.

4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC的面积.

求证：.

5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍.

6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离

为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：.

7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点.

求证：.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

8．一凸四边形内接于半径为1的圆.证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0

参考答案

高中不等式竞赛题

一、不等式的基本概念和性质

1.1 不等式的定义

不等式是数学中一种比较大小关系的表示形式，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”表示。

1.2 不等式的解集

不等式的解集是使不等式成立的实数的集合。

1.3 不等式的性质

•不等式两边同时加（减）一个数，不等式的方向不变。

•不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式的方向不变。

•不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式的方向反向。

二、一次不等式

2.1 一次不等式的解法

对于一元一次不等式，可以通过画数轴、列方程、使用正值、负值来求解。

2.2 一次不等式的应用

一次不等式广泛应用于实际生活中的问题，比如求解最优策略、确定范围等。

三、二次不等式

3.1 二次不等式的解法

对于一元二次不等式，可以通过列出函数图像、求解方程、使用符号法等方法来求解。

3.2 二次不等式的应用

二次不等式常常用于求解最值问题、优化问题等。

四、综合不等式

4.1 绝对值不等式

绝对值不等式是一种特殊的不等式，解法与一次或二次不等式有所不同。

4.1.1 绝对值不等式的性质

•绝对值不等式的解集可以用开区间、闭区间、半开半闭区间表示。

•绝对值等式的解集是使等式成立的实数的集合。

4.2 含参数的不等式

当不等式中存在参数时，解集可能与参数的取值有关，需要分情况讨论。

4.2.1 参数的取值范围

参数的取值范围是使不等式成立的参数的集合。

4.2.2 参数取值范围的确定方法

可以通过列方程、化简、组合条件等方法来确定参数的取值范围。

五、常见不等式的应用

5.1 三角不等式

三角不等式是一种常见的几何不等式，用于描述三角形中两边之和大于第三边的关系。

高中数学经典代数不等式100题及解答

x12 y12 27 x8 y 4 27 x 4 y 8 24 x 6 y 6 16 x 9 y 3 16 x 3 y 9 x12 y12 2 x 6 y 6 27 x8 y 4 27 x 4 y 8 54 x 6 y 6 16 x 9 y 3 16 x 3 y 9 32 x 6 y 6 ( x3 y 3 ) 2 ( x3 y 3 ) 2 27 x 4 y 4 ( x 2 y 2 )2 16 x3 y 3 ( x3 y 3 )2 ( x 2 xy y 2 ) 2 ( x 3 y 3 ) 2 27 x 4 y 4 ( x y ) 2 16 x 3 y 3 ( x 2 xy y 2 )2 ( x 2 xy y 2 ) 2 ( x 3 y 3 ) 2 4 x 3 y 3 ( x 2 xy y 2 )2 12 x 3 y 3 ( x 2 xy y 2 )2 27 x 4 y 4 ( x y )2 ( x 2 xy y 2 ) 2 ( x 3 y 3 ) 2 x 3 y 3 12( x 2 xy y 2 )2 27 xy ( x y )2 ( x 2 xy y 2 ) 2 ( x 3 y 3 ) 2 x 3 y 3 12 x 4 18 x 2 y 2 12 y 4 3x 3 y 3xy 3 ( x 2 xy y 2 ) 2 ( x 3 y 3 ) 2 x 3 y 3 12( x 2 y 2 )2 3( x 2 xy y 2 )( x y ) 2 ( x 2 xy y 2 ) 4 x 3 y 3 12( x y ) 2 3( x 2 xy y 2 ) ( x 2 xy y 2 ) 4 x 3 y 3 9 x 2 21xy 9 y 2 注意到 : ( x 2 xy y 2 ) 4 27 x 3 y 3 ( x 2 xy y 2 ) x 3 y 3 9 x 2 21xy 9 y 2 , done.

全国高中数学竞赛不等式试题