数系扩充
数系的扩充 数学史
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里 程碑.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
历史回顾：虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数”
（“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
虚数
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年 开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡 辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种 “虚幻之数”取了一个名字——虚数．
之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经 成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
数系的扩充
m 1时，复数z 是实数． （5）6+2i （4） （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数． 0
m 1 0
即 m 1时，复数z 是 纯虚数．
思考： a = 0 是 z = a + b i(a,bR)为纯虚 必要不充分 数的 条件.
四、 两个复数相等
如果两个复数的实部和虚部分 别相等，那么我们就说这两个复数 相等．
a bi c di
a c (a, b, c, d为实数） b d
例2:已知( x y) ( x 2 y) i (2 x 5) (3x y) i
其中 x, y R ,求 x与
定义：把形如a+bi（a,b∈R）的数叫 做复数。通常用字母 z 表示.
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z a bi (a R, b R)
实部 虚部
其中
i 为虚数单位。
三、复数的分类
实数(b 0) 复数a+bi ) 虚数(b 0)(当a 0时为纯虚数
讨 论
a c c di b d
NZQRC
a bi
3.同学们在学习中要有问题意识，在解决问 题的过程中要有科学家坚持真理的精神。
4 4 4
x1,2 1 i ,
2
4
(2i) (2i) 8.
2
例4:已知方程x2+x+a=0有两虚根x1、 x2,且|x1-x2|=3,求实数a. 1 解: 1 4a 0 a .
x1, 2
| x1 x2 || 4a 1i |
4a 1 3
A.m 1
数系扩充的认识和理解
数系扩充的认识和理解数系扩充是数学中的一个重要概念，它指的是在已有的数系基础上引入新的数，以丰富数学的内容和应用范围。
常见的扩充数系有自然数、整数、有理数、实数和复数等，它们分别在不同的数学领域中发挥着重要的作用。
自然数是最基本的数系，它是用来计数的。
自然数包括0和正整数，可以表示为0，1，2，3，4……。
自然数在计算中常用于表示数量、次数、顺序等概念，是数学中最简单的数系。
整数是在自然数的基础上扩充而来，它包括自然数以及它们的相反数和零，可以表示为……，-3，-2，-1，0，1，2，3……。
整数在数学中用于表示负数、欠债、温度等概念，扩展了数学的应用范围。
有理数是在整数的基础上扩充而来，它包括整数以及可以表示为两个整数之比的数，例如1/2，-3/4，5/6等。
有理数在数学中用于表示分数、比例、平均数等概念，扩展了数学的计算能力。
实数是在有理数的基础上扩充而来，它包括有理数以及无理数，可以用来表示所有的实际数值。
实数在数学中用于表示长度、面积、体积、时间等连续变化的量，扩展了数学的描述能力。
复数是在实数的基础上扩充而来，它包括实数以及虚数单位i，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数。
复数在数学中用于表示电路中的交流电、量子力学中的波函数等概念，扩展了数学的应用领域。
数系扩充的过程是数学发展的必然结果，它使得数学能够更好地描述和解决现实世界中的问题。
通过引入新的数，数学可以更准确地描述数量、量度、变化等现象，为科学研究和工程应用提供了强大的工具。
除了上述常见的数系扩充外，数学中还有其他一些特殊的数系，如超实数、超复数、超复分析等。
这些数系扩充了数学的边界，拓展了数学的理论和应用。
数系扩充的认识和理解对于学习和应用数学都具有重要意义。
通过深入了解各个数系的特点和应用，我们可以更好地理解数学的本质和规律，提高数学思维能力和解决问题的能力。
数系扩充是数学的重要内容之一，它丰富了数学的内涵，拓展了数学的应用领域。
数系的扩充PPT优秀课件
章
4.3 数系的扩充
二新课－数系的扩 1. 数的发展充过程(经历):
计数的需要 自然数(正整数和零)
—表—示相—反—意—义—的—量负数 —测量—、—分—配—中—的—等分—分数
解方程x+3=1
解方程3 x=5
(分数集有理数集 循环小数集 )
度量
__循_环__小__数___
的虚数根，x=
-b±
4ac - b2i .
2a
在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍
然成立，即 x1+x2=
-
b a
；
x1x2=
c a
.
二新课－例题剖 例1:设方析程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求
x14+x24的值.
解: x1,21i,
x 4 x 4 ( 1 i)4 ( 1 i)4 12
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a, b, c∈R)，
当△=b2－4ac>0时, 方程有两个不同的实根，
x=
-b± b2 ；- 4当a△c =b2－4ac=0时, 方程
2a
有两个相同的实根，x1=x2=
；- b 2a
二新课－数系的扩 4.实系数充一元二次方程的根
当△=b2－4ac<0时, 方程有两个共轭
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
数系扩充的原则 -回复
数系扩充的原则-回复"数系扩充的原则"是指在数学领域中，扩展数系的方法和规则。
数系指的是由数的集合和运算的规则所构成的系统。
数系的扩充能够帮助我们解决一些传统数系无法解决的问题，比如负数的开方、虚数等。
本文将以"数系扩充的原则" 为主题，逐步回答相关问题。
一、数系概述数系是由数的集合和运算的规则所构成的系统。
我们熟知的自然数集合为N={0, 1, 2, 3, …}；而整数集合为Z={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}。
有理数集合Q是可以表示为两个整数之比的数的集合，比如1/2、3/4、-5/6等。
我们需要注意的是，这些传统的数系在特定的数学问题中可能有局限性。
二、数系扩充的必要性1. 解决无理数问题：无理数是指不能被两个整数之比表示的数，如π和根号2。
有理数集合Q无法涵盖无理数，因此我们需要扩充数系以处理这些数。
2. 负数的开方：在传统数系中，负数的平方根无法得出一个实数结果，因此我们需要扩充数系以解决负数的开方问题。
3. 虚数的引入：虚数的概念在数系扩充中得到引入，虚数单位i定义为i²=-1，虚数可以用实数与虚数单位i的乘积表示，如3i、-5i等。
三、实数扩充实数是包括有理数和无理数的数的集合，表示为R。
实数与实数的运算满足传统的运算法则，并且可以进行开方运算。
实数是数系的基础，但实数仍然有一些局限性，无法解决负数的开方问题。
四、复数扩充为了解决负数的开方问题，我们引入了虚数单位i，进而得到了复数集合C。
复数是由实数与虚数单位i的乘积表示，即a+bi，其中a和b分别为实数。
复数的加法、减法和乘法运算满足相应的规则。
复数扩充的原则是基于扩充数系的需求，通过引入虚数单位来解决特定的数学问题。
五、超复数扩充超复数集合H由实数和虚数组成，可以表示为H={a+bi+cj+dij a、b、c、d为实数}。
其中，i和j为满足i²=j²=ij=-1的虚数单位。
数系的扩充
青 衣
四元数与八元数
• 复数 a bi 是以1 和 i 作为基向量的，哈密顿想到， 扩充复数时，必须把 a bi 的形式仍然保留下来， 而在实数a 的后面加上一个三维空间向量 bicjdk 形成了新数abicjdk，这便是四元数。
• 哈密顿使四元数和四维空间的以原点为起点的向 量一一对应，不再区分四元数与向量，如果把四 维空间的一个基取成 1 , i , j , k .
青 衣
数系向无限的扩充
• 迄今为止，数总是有限的数，数系的进一步扩充是向 “无限"进军。这项工作已有两项重要成就。
• 康托尔的超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思青想是将“无限小”和“无限大” 作为R 以外的超实
青 衣
自然数---N
自然数是最简单的、因而也是最早 发现并使用的“数”。自然数是一 切其他数系逐步扩充并得以实现的 基础。用公理方法建立自然数理论， 应当归功与皮亚诺。
青 衣
数系扩充的原则
• 原则一：应提出扩展的要求，或者指出扩展后应 满足的性质，一般来说，扩张以后的新数系Y，会 失去原有的数系X的某些性质，同时又获得某些新 的性质。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数 系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减 法封闭的特性。
青 衣
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些 新数符合扩张的要求，或者具有新 数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数 系是具备这样的性质的。
数系的扩充
从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一 次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础 上“添加”了一种新的数得来的．在新的数集中，原 有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在 原来数集中不是总可以实施的矛盾． 现在，在实数集内，我们又面临方程x2+1＝0无解， 负数不能开平方的问题．这表明，数的概念需要进一 步发展，实数集需要进一步扩充．
y P(a,b) ．
0
x
情 境 引 入
将10分成两部分，使两者的乘积等于40
从社会生活来看，为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展着．为了计 数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生 了分数，为了刻画具有相反意义的量产生了负 数，为解决度量正方形对角线长的问题产生了 无理数，等等．
x 3 解得 y 2
归纳小结
1.数的发展过程：N Z Q R C 2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a bi (a, b R ) 复数的分类 复数相等
a c c di b d
a bi
3.同学们在学习中要有问题意识，在解决问 题的过程中要有科学家坚持真理的精神。
例2:实数m取什么值时，复数
z m(m 1) (m 1)i 为
（4 0？ 1） ）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
结论是：
a+bi=0
a 0 b 0
一般地，我们规定：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们 就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
●实数集应怎样扩充呢？
为了使方程x2+1＝0有解，使实数的开方运算总可 以实施，实数集的扩充就从引入平方等于－1的“新数” 开始．
数系的扩充(数学史)
唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物 内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力. 由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾 的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类 新数存在，还有比实数集更大的数系.
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经 成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
数系的扩充(数学史)
计数的需要
表示相反意义的量 解方程x+3=1
测量、分配中的等分 解方程3 x=5 度量的需要 解方程x2=2
数系的扩充和复数的概念(省实验中学)
第三章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
广东实验中学数学科 张 曙
一、数系的扩充
1.自然数N : {0，1,2,3...}
对减法不封闭：2 - 3的结果不在自然数集中
2.整数Z :{ - 3,-2,-1,0, 1,2,3 }
对除法不封闭：2 3的结果不在整数集中
3.有理数Q :{x | x p , p、q Z} q
对开方运算不封闭：x Q时，x2 2无解（也可以说对极限 运算不封闭）
4.实数R : (-,)
x R时,方程x2 1无解
一、数系的扩充
引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： •• 实数可以与 进行四则运算，在进行四则运算时， 原有的加法与乘法的运算率 包括交换律、结合律 和分配律 仍然成立 • i 与实数b 相乘得bi , 规定0• i =0 • i 与实数a相加得a+i • bi=0+bi，a=a+0i，i=0+1i
三、题型探究
解析： ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和
非纯虚数. ②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与 虚部分别为3m,2n. ③ 正 确 ， 复 数 z ＝ x ＋ yi(x ， y∈R) 为 纯 虚 数 的 条 件 是 x ＝ 0 且 y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数. ④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数.
m2m－＋m3－6＝0， m2＋5m＋6≠0
⇔mm＝ ≠－ －23或 且mm＝ ≠3－，2 ⇔m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数.
谢谢观看！
三、题型探究
2.复数分类的应用
例2.求当实数m为何值时，z＝ m2－m－6＋(m2＋5m＋6)i分别是：
数系的扩充
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些 新数符合扩张的要求，或者具有新 数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数 系是具备这样的性质的。
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，我们希 望再次扩大数系，使得方程有解。
于是我们引入了新的符号 ，并i 定义： i2 1 为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我
们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b 意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
引入复数后，我们的数系由实数系扩充到了复数 系。
那么任意四元数可以表示为：Xabicjdk.
• 八元数的集合是实数上的八维向量空间，即把它的基
向量记为：e0,e1,e2 e7. 任一个八元数可以写成：
X x 0 e 0 x 1 e 1 x 7 e 7
• 要指出的是，尽管四元数和八元数都是数系的扩张， 在现代数学中，我们总是把“数”理解为复数或实数， 只有在个别的情况经特别指出，才用到四元数。至于 八元数的使用就更罕见了。
自然数是最简单的、因而也是最早 发现并使用的“数”。自然数是一 切其他数系逐步扩充并得以实现的 基础。用公理方法建立自然数理论， 应当归功与皮亚诺。
数系扩充的原则
• 原则一：应提出扩展的要求，或者指出扩展后应 满足的性质，一般来说，扩张以后的新数系Y，会 失去原有的数系X的某些性质，同时又获得某些新 的性质。
四元数与八元数
• 复数 a bi 是以1 和 i 作为基向量的，哈密顿想到， 扩充复数时，必须把 a bi 的形式仍然保留下来， 而在实数a 的后面加上一个三维空间向量 bicjdk 形成了新数abicjdk，这便是四元数。
数系扩充问题及其启示
数系扩充问题及其启示
数系扩充问题是数学中的一个重要问题，涉及数学中的数系的扩充。
扩充数系是指将原有数系的某些数扩展到新的数系中。
例如，将有理数扩展到复数中就是扩充数系的一种情况。
数系扩充问题的启示是，在数学中，有时候需要扩充数系，使得原有的数系能够解决新的问题。
例如，将有理数扩展到复数中，就使得有理数能够解决具有虚部的方程。
数系扩充问题的启示还在于，在数学中，扩充数系常常需要满足一些条件。
例如，将有理数扩展到复数中时，需要满足有理数的加法和乘法法则仍然适用。
总之，数系扩充问题是数学中的一个重要问题，涉及数学中的数系的扩充。
数系扩充问题的启示是，在数学中，有时候需要扩充数系，使得原有的数系能够解决新的问题
，而且扩充数系常常需要满足一些条件。
另外，数系扩充问题还与数学中的抽象概念有关。
例如，在将有理数扩展到复数中时，就需要引入虚部这一抽象概念。
这也是数系扩充问题的另一个启示：在数学中，有时候需要引入新的抽象概念来解决问题。
此外，数系扩充问题也与数学建模有关。
例如，在将有理数扩展到复数中时，就可以用复数来模拟电学中的带电粒子的运动。
这也是数系扩充问题的另一个启示：在数学中，扩充数系可以帮助我们更好地模拟实际情况。
总之，数系扩充问题是数学中的一个重要问题，涉及数学中的数系的扩充。
数系扩充问题的启示是，在数学中，有时候需要扩充数系，使得原有的数系能够解决新的问题，而且
扩充数系常常需要满足一些条件，并且扩充数系有时候需要引入新的抽象概念，帮助我们更好地模拟实际情况。
此外，数系扩充问题还可以为数学建模提供帮助。
数系的扩充
数系的扩充2003级数学系（1）班雷春富学号：2003020102 数，是数学的最基本的概念，对数的研究始终是数学的基本内容，初等数学尤其如此。
在人类对数的认识和研究过程中，数的范围逐步扩大，数的内涵不断丰富。
然而，对于数的系统作全面的、理论上的总结，还只是近一百多年前的事。
一、数的两种扩充：数的扩充，有两种不同的体系。
一种是自然的、历史的体系，它反映了人类认识数的历史过程。
一种是理论的、逻辑的体系，是数学家人为的构造。
它反映了现代数学思想和数学方法。
1．数的自然扩充表二、自然数集N 的半群构造：我们利用自然数“后继”但是概念，在N 中定义两个代数运算：加法和乘法。
自然数加法“+”归纳定义如下：设m 是任一自然数，10 m +0=m ；20假如对任一自然数n ，m+n 已经定义，那么规定'()'m n m n +=+ˊ。
显然 1'm m +=。
N 中的乘法“⨯”（或“∙”）归纳定义如下：对任意自然数m ，n ，00;'.m m n m n m ⨯=⨯=⨯+显然有1m m⨯=.三、数系的扩充原则和方法 （一）原则：1．新数系较有原数系在保证运算通行方面，功能更完备；2．新数系的元素，是以原数系的原始为基础，以某钟方式构作而成； 3．原有数系整个地“嵌入”新数系，作为子系统。
（二）方法：1．从理论上提出对扩充后数系的功能要求，新数系具备这种功能的最小数系； 2．用原数系元素为基础，构作新数，建立新数系； 3．将原数系“嵌入”新数系。
4．证明新数西满足所提出的各项扩充要求。
四、整数环和有理数域 1．整数：定义 含有半群N 的最小环（Z ；+，∙）称为整数环．即（Z ；+，∙）满足条件： （1）（N ；+，∙） 是（Z ；+，∙）的子系统； （2）（Z ；+，∙）是环；（3）若(';,)z +∙满足上述（1）（2），则（Z ；+，∙）是(';,)z +∙的子系统． 整数环Ｚ中的元素称为整数．如果这样的环（Z ；+，∙）存在，Ｚ应由全部自然数之差组成． 设{}(,)|,M a b a b N =∈，在Ｍ中的定义加法“＋”和乘法“∙”：对任意(,),(,),a b c d M ∈(,)(,)(,)(,)(,)(,)a b a b a c b d a b c d ac bd ad bc +=++∙=++２．有理数域：定义 含有整数环（Z ；+，∙）的最小域（Ｑ；+，∙）称为有理数域。
初中数系的扩充
初中数系的扩充初中数学中，我们学习了很多关于数的知识，包括整数、分数、小数、实数等。
这些数的集合构成了数系。
但是，有时候我们会遇到一些无法用这些数表示的问题，比如开平方根、开立方根等。
为了解决这些问题，数学家们就对数系进行了扩充。
扩充数系包括了虚数、复数等概念。
虚数是指不能表示为实数的数，它的平方是负数。
虚数的一个重要性质是，任何一个非零实数的平方根都是虚数。
复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
虚数和复数的引入，使得我们可以解决一些无法在实数范围内解决的问题。
虚数和复数在初中数学中并不常见，但它们在高中数学以及后续的数学学习中起着重要的作用。
虚数和复数的引入使得我们可以解决更多的数学问题，比如求解方程、计算根号等。
虚数和复数的概念也在物理学、工程学等领域得到了广泛的应用。
除了虚数和复数，数系的扩充还包括了无穷大和无穷小的概念。
无穷大是指比任何实数都大的数，可以表示为∞。
无穷小是指比任何实数都小的数，可以表示为0。
无穷大和无穷小在数学中用来描述趋于无穷大或无穷小的过程，比如极限的概念。
在初中数学中，我们已经接触到了一些极限的概念，比如求解无穷等式的极限值。
无穷大和无穷小的引入，使得我们能够更好地描述和理解这些极限过程。
除了虚数、复数、无穷大和无穷小，数系的扩充还包括了超越数的概念。
超越数是指不能表示为有理数的数，它们是无限不循环的小数。
超越数的一个重要特点是，它们无法用有限的运算和根号表示。
超越数的研究对于数论、几何学等领域有着重要的意义。
总的来说，初中数系的扩充包括了虚数、复数、无穷大、无穷小和超越数。
这些扩充使得我们能够更好地解决一些数学问题，拓宽了我们的数学视野。
虽然在初中数学中我们并不常见这些概念，但它们在高中数学以及后续的数学学习中起着重要的作用。
通过学习和理解数系的扩充，我们能够更好地应用数学知识解决实际问题，也能够更好地理解数学的本质和意义。
数系的扩充
数系的扩充数系的扩充是数学领域的一个重要概念，指的是在已有的数系中引入新的元素，以扩大数学的范围和应用。
数系的扩充不仅可以克服原有数系的不足，还可以拓展数学理论和解决实际问题。
本文将详细介绍数系的扩充概念、发展历程以及应用领域。
数系的扩充是数学发展的一个重要环节。
早在古希腊时期，人们就开始思考“无理数”的存在。
无理数是无法被两个整数之比表示的实数，如π和e等。
公元前5世纪，希帕索斯将π的值近似计算到小数点后四位，显示了无理数的存在。
然而，古希腊数学家认为数是有理数的集合，不承认无理数的存在。
只有公元3世纪，爱尔兰数学家埃欧吉尔将无理数作为新的数系引入数学，并命名为“超越数”，扩充了原有的有理数系。
在埃欧吉尔的影响下，人们开始研究无理数的性质和应用。
无理数的引入不仅丰富了数学理论，还解决了一些实际问题。
例如，无理数的引入使得平方根的概念得以建立，可以解决许多几何问题。
此外，无理数还在数学分析、物理学等各个领域有广泛应用，成为数学研究和实际应用的重要工具。
除了无理数，人们还陆续引入了其他新的数系，以应对数学发展和实际需要。
其中，复数是一个重要的扩充数系。
复数由实数和虚数组成，虚数是负数的平方根。
复数的引入解决了方程$x^2+1=0$在实数范围内无解的问题。
复数的概念不仅在数学分析中有重要应用，还在电工学和量子力学等领域具有广泛应用。
除了无理数和复数，人们还提出了超实数、超复数等更高阶的扩充数系。
超实数是在实数的基础上扩充，引入了超越数、超自然数等新的元素。
超实数的引入解决了一些实分析问题，也在非标准分析中有应用。
超复数则是在复数的基础上扩充，引入了超乘法和超加法等新的运算规则。
超复数不仅可以模拟现实世界中的超光速现象，还在量子理论和弦理论中有应用。
数系的扩充不仅解决了数学理论中的问题，还拓展了数学的应用领域。
数学在自然科学和社会科学中都有广泛应用，数系的扩充为各个领域提供了新的工具和方法。
例如，复数在电工学中用于描述交流电流的相位和复功率，无理数可以用于记数系统和数据编码中，超实数和超复数可以用于描述非线性系统和实时控制系统等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.数系的扩充和复数的引入
【学习目标】
1.通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，
2.理解复数的几何意义，理解复数与复平面的点之间的一一对应关系,根据复数的代数形式描出其对应的点及复数模的计算方法
一、自主学习
1.N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？
2.若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？
3.复数的概念：形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做_______,其中i 叫做___________，a 与b
分别叫做复数a+bi 的______部和_______部。
复数通常用字母_____来表示。
形如________________叫做复数的代数形式。
全体复数所成的集合叫做________集。
用字母________来表示。
数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩
实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b
4.复数a+bi=c+di 的充要条件是：____________________.
特例a+bi=0⇔_______________.
5.对于复数a+bi ，当且仅当__________时，它是实数；当且仅当________时，它是纯虚数。
6.复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x 轴叫做________轴，y 轴叫做_______轴.实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。
7.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 ←−−−
→一一对应复平面内的点 ←−−−→一一对应
平面向量 8.复数的模：向量的模，叫做复数 z=a+bi 的模，即=+=bi a z ________________.
9.共轭复数：当两个复数实部______,虚部_____________时，这两个复数叫做共轭复数。
z=a+bi 的共轭复数记作_____________.虚部不为零的两个共轭复数也叫做____________.
练一练 ：
1、下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 2+7, 0.618, 2i/7 , 0,
2i , )31(-i , 5i +8, 3-9i 2
2、求下列复数的模：
(1)z=-5i (2)z=-3+4i (3)z=5-5i (4)z=1+mi (m ∈R) (5)z=4a-3ai(a<0)
二、典例讲解
例1、实数x 取何值时，复数i x x z )3()2(++-=
（1）是实数（2）是虚数 （3）是纯虚数
例2：.求适合下列方程的(,)x y x y R ∈和的值
(1)(2)6()(2)(1)(2)0
x y i x x y i x y x y i +-=+-++--+=
例3.求复数1Z =3+4i ，2Z =
i 2
321-的模和它们的共轭复数。
例4. 设z C ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？
（1）2z = （2）23z ≤≤
三、【当堂检测】
1、下列命题中假命题是 （ ）
A.两个复数相等的一个必要条件是它们的虚部相等
B.两个复数不相等的一个充分条件是它们的实部不相等
C.两个虚数不能比较大小
D.实数一定大于虚数
2、设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z 为纯虚数的必要不充分条件是 （ ）
A. a ＝0
B.a ＝0且b ≠0
C.a ≠0且b ＝0
D.a ≠0且b ≠0
3、 ()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
4、若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A.1
B.2
C.1或2
D.-1
5、适合x-3i=(8x-y)i 的实数x,y 的值为( )
A .x=0且y=3 B. x=0且y=-3 C .x=5且y=3 D.x=3且y=0
能力提升
1、实数a 分别取什么值时， 复数i a a a a a Z )152(3
622--++--=是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数。
2、设i m m m m z )34()32(221+-+--=（R m ∈），i z 352+=，
当m 取何值时，（1）21z z =；（2）.01≠z
3、已知()(2)(25)(3)x y x y i x x y i ++-=-++，求实数x ，y 的值．。