2018年秋新课堂高中数学人教A版必修4教师用书第1章 1.2 1.2.1 第2课时 三角函数线及其应用

第2课时三角函数线及其应用学习目标：1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)[自主预习·探新知]1．有向线段(1)定义：带有方向的线段．(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.2．三角函数线(1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.②过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.(2)图示：图1-2-3(3)结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[基础自测]1．思考辨析(1)角α的正弦线的长度等于sin α.()(2)当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在．()(3)余弦线和正切线的始点都是原点．()[解析](1)错误．角α的正弦线的长度等于|sin α|.(2)正确．(3)错误．正切线的始点是(1,0)．[答案](1)×(2)√(3)×2．角π7和角8π7有相同的()A．正弦线B．余弦线C．正切线D．不能确定C[角π7和角8π7的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]3．如图1-2-4，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()图1-2-4A．正弦线MP，正切线A′T′B．正弦线MP，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线MP，正切线ATC[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．][合作探究·攻重难](1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.[解]如图．其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线．[规律方法] 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从A (1，0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT .[跟踪训练]1．作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．[解] 如图：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT .1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围．图①2．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a,0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围．图②利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12. 【导学号：84352031】[思路探究] 确定对应方程的解―→确定角α的终边所在区域―→写出角α的取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z .(2)如图，由正切线知角α的取值范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜α≤k π＋π6，k ∈Z .(3)由|sin α|≤12，得－12≤sin α≤12.如图，由正弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π6≤α≤k π＋π6，k ∈Z .[规律方法] 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.母题探究：1.将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围．[解] 如图，由余弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π4＜α＜2k π＋7π4，k∈Z .2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin θ＜32”求α的取值范围．[解] 由三角函数线可知sin π3＝sin 2π3＝32，sin 7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，且－12≤sin θ＜32，故θ的取值集合是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π－π6，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋7π6(k ∈Z ).A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin βB ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βC ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin βD ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β(2)利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小.【导学号：84352032】 [思路探究] (1)在规定象限内画出α、β的余弦线满足cos α＞cos β→观察正弦线或正切线判断大小(2)→观察图形，比较大小(1)D[由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，故A错误；图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图(4)(2)如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.显然|MP |＞|M ′P ′|，符号皆正，∴sin 2π3＞sin 4π5；|OM |＜|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3＞cos 4π5；|AT |＞|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3＜tan 4π5.[规律方法] (1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负.(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.[跟踪训练]2．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [由如图的三角函数线知：MP ＜AT ，因为2π7＞2π8＝π4，所以MP ＞OM ，所以cos 2π7＜sin 2π7＜tan 2π7，所以b ＜a ＜c .][当 堂 达 标·固 双 基]1．如果OM ，MP 分别是角α＝π5余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．MP ＜0＜OMC ．MP ＞OM ＞0D ．OM ＞MP ＞0D [角β＝π4的余弦线正弦线相等，结合图象可知角α＝π5的余弦线和正弦线满足OM ＞MP ＞0.]2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α终边在( )【导学号：84352033】A ．y 轴上B ．x 轴上C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上B [由已知得，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)或(1,0)，在x 轴上．]3．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )A ．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5B ．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2C ．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1D ．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5C [如图，画出已知三个角的正弦线，观察可知sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1.]4．若a ＝sin 4，b ＝cos 4，则a ，b 的大小关系为________．a ＜b [因为5π4＜4＜3π2，画出4弧度角的正弦线和余弦弦(如图)，观察可知sin 4＜cos 4，即a ＜b .]5．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.【导学号：84352034】[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π3＋2k π≤α≤23π＋2k π，k ∈Z .11 图① 图②(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 23π＋2k π≤α≤43π＋2k π，k ∈Z .。