第十一讲指数运算

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高中数学指数运算试讲教案

高中数学指数运算试讲教案
一、教学目标：
1. 理解指数的概念和性质。

2. 掌握指数运算的基本规律。

3. 能够灵活运用指数运算解决实际问题。

二、教学重点：
1. 指数的定义和性质。

2. 指数运算的基本规律。

三、教学难点：
1. 理解指数运算的概念。

2. 灵活运用指数运算解决实际问题。

四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材。

2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。

3. 学生：高中学生。

五、教学步骤：
1. 导入：
引入指数概念，通过一个简单的例子让学生了解指数的含义和作用。

2. 推导：
通过数学公式的推导，逐步引导学生理解指数运算的基本规律。

3. 练习：
让学生进行一些简单的指数运算练习，巩固他们的基本操作能力。

4. 拓展：
引入一些实际问题，让学生将所学的指数运算知识运用到解决实际问题中。

5. 总结：
总结本节课的重点内容，强调指数运算的重要性并鼓励学生在日常生活中多加练习。

六、课堂练习：
1. 计算：$2^3 \times 5^2$。

2. 计算：$\frac{3^4}{3^2}$。

3. 计算：$4^{(-2)}$。

七、课后作业：
1. 完成课堂练习中的计算题。

2. 搜集相关资料，了解指数运算在实际生活中的应用。

八、小结：
通过本节课的学习，学生应该能够掌握指数的概念和基本规律，灵活运用指数运算解决实际问题。

希望同学们能够在课后多加练习，加深对指数运算的理解和掌握。

幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习

标轴没有公共点，则 f ( 2 )＝(
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
⁠
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2，，－，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3

第十一讲初等数论-2

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• 分析：分析：
–先明确下各个变量代表的意思：先明确下各个变量代表的意思：先明确下各个变量代表的意思
• x：青蛙A的出发点坐标青蛙A • y：青蛙B的出发点坐标青蛙B • m：青蛙A一次能跳m米青蛙A一次能跳m • n：青蛙B一次能跳n米青蛙B一次能跳n • L：纬度线总长L米纬度线总长L
2
gcd（最大公因子）最大公约数 gcd（最大公因子）
• Euclidean算法求两个正整数a和b的 Euclidean算法求两个正整数a 算法求两个正整数 gcd。先令r gcd。先令r0为a，r1为b，接着执行如下运算：下运算：
3
最大公约数
• GCD递归定理：对任意非负整数a和任意 GCD递归定理对任意非负整数a 递归定理：正整数b 正整数b，gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。 b)。
7
扩展欧几里德算法
程序代码如下：程序代码如下： int extended_ gcd(int a, int &y){ int t, gcd; if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } gcd = extended_ gcd t = x; x = y; y = t return gcd; } int b, int &x,
14
第三章
同余
同余是数论中的重要概念，同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本章介绍同余的基本概念，问题的重要工作类和完全剩余系.
15
例3. 求 7 的个位数.
7 解：1 ≡ −3(mod10), 7 2 ≡ −1(mod10), 7 4 ≡ 1(mod10)

第十一讲第二章有理数的运算单元测试(提高)2021年新七年级数学暑假课程(浙教版)(原卷版)

第十一讲第二章有理数的运算单元测试（提高）一、单选题1．下列各式，计算正确的是（） A ．|2||3|5----=B ．411252⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭C ．34334344-÷⨯= D ．231172(2)(2)24⎛⎫---+-÷-= ⎪⎝⎭2．有理数﹣32，（﹣3）2，|﹣33|，13-按从小到大的顺序排列是（） A ．13-＜﹣32＜（﹣3）2＜|﹣33| B ．﹣32＜13-＜（﹣3）2＜|﹣33|C ．|-33|＜﹣32＜13-＜（﹣3）2D ．13-＜﹣32＜|﹣33|＜（﹣3）23．如果n 是正整数，那么([11)nn ⎤--⎦的值( )A ．一定是零B ．一定是偶数C ．一定是奇数D ．是零或偶数4．如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a ，a b +，b ，那么原点的位置可能是（）A ．线段AM 上，且靠近点AB ．线段AM 上，且靠近点MC ．线段BM 上，且靠近点BD ．线段BM 上，且靠近点M5．2007年中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星发射升空飞向月球，已知地球距离月球表面约为38400千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（） A ．43.8410⨯千米B ．53.8410⨯千米C ．538.410⨯千米D ．438.410⨯千米6．已知a ，b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 等于-2的2次方，则式子()1201720184a b cd x +++的值为（） A ．2017B ．2018C ．2019D ．20207．下列说法：①整数包含正整数、负整数；②335表示3个35相乘；③互为倒数的两个数符号相同；④一个非负数的绝对值一定是正数；⑤几个有理数相乘，当有奇数个负因数时积为负，正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．设三个互不相等的有理数，既可表示为 1、a b +、a 的形式，又可表示为 0、ba、b 的形式，则20212021a b +的值为（） A ．0B ．1-C ．1D ．29．根据如图所示的流程图计算，若输入x 的值为–1，则输出y 的值为（）A ．–2B ．–1C ．7D ．1710．求23201913333+++++的值，可令S=23201913333+++++ ①，①式两边都乘以3，则3S=3+32+33+34+…+20203②，②-①得3S-S=20203-1,则S=2020312-仿照以上推理，计算出234201915555......5++++++的值为（）A ．202051-B ．2020514-C ．2019514-D ．201951-11．设2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数为（）A ．18B ．20C ．24D ．2512．已知：23a b b c c a m cab+++=++，且0abc >，0a b c ++=，则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（）A ．1-B ．1C ．2D ．3二、填空题 13．从3.5中减去34-与12的和是____________． 14．如表是北京与国外几个城市的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的数表示同一时刻比北京时间晚的时数．试求出东京与巴黎的时差：_______．城市巴黎纽约东京芝加哥时差/时7-13- 1+ 14-15．计算：42413133(2)7144(14)1715171515-⨯+-⨯-⨯-=____． 16．某商店经销一种品牌的空调，其中某一型号的空调每台进价为1000元，商店将进价提高30%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号空调的零售价为______元．17．中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．图1表示的是计算-4+3=-1的过程．按照这种方法图2表示的是________．18．一跳蚤在一直线上从O 点开始，第一次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依次规律跳下去，当它跳第2021次落下时，落点处离O 点的距离是______________个单位．19．瓶内装满一瓶水，第一次倒出全部水的12，然后再灌入同样多的酒精，第二次倒出全部溶液的13，又用酒精灌满，第三次倒出全部溶液的14，再用酒精灌满…依此类推，一直到第九次倒出全部溶液的110，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的________． 20．计算111111261220309900+++++⋅⋅⋅+的值为____________． 21．如图，有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示：则下列结论：①a+b-c ＞0：②b-a ＜0：③bc-a ＜0：④|a|b |c|-+=1a |b|c．其中正确的是_______．22．对于正整数a ，规定1()1f a a=+，如：11(4)145f ==+，11414514f ⎛⎫==⎪⎝⎭+，则111(2017)(2016)(2)(1)220162017f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭____________．23．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了3425850⨯=的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a ，b ，c ，d 均为自然数，且c ，d 都不大于5，则a 的值为________，该图表示的乘积结果为________．24．对于正整数n ，定义2,10()(),10n n F n f n n ⎧<=⎨≥⎩，其中()f n 表示n 的首位数字、末位数字的平方和，例如：2(6)636F ==，22(123)1310F =+=．规定1()()F n F n =，()1()()k k F n F F n +=（n 为正整数）．例如：1(123)(123)10F F ==，()21(123)(123)(10)1F F F F ===．按此定义，则有2(4)F =______，2020(4)F =______．三、解答题 25．计算：（1）()31111232128⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭；（2）()231610.751343⎛⎫-+-⨯⨯-÷- ⎪⎝⎭ 26．计算：（1）()221531924043354⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯--÷-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）()832521118532369⎡⎤⎛⎫---+-⨯-÷-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦27．计算题：（1）（﹣8）﹣（﹣15）+（﹣9）﹣（﹣12）；（2）（﹣3.5）+214+3.75+（﹣212）；（3）﹣81÷94×49÷（﹣16）；（4）7777()()48128--÷-；（5）0﹣|﹣5|+（+6）×（﹣1）5；（6）21111()(|1|)2322-+⨯--；（7）﹣12×[（1﹣9）÷8]3﹣12÷（﹣2）2；（8）11113557792527++++⨯⨯⨯⨯．28．下面是某同学计算130⎛⎫-⎪⎝⎭÷211231065⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的过程：解：130⎛⎫-⎪⎝⎭÷211231065⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝130⎛⎫-⎪⎝⎭÷23＋130⎛⎫- ⎪⎝⎭÷110⎛⎫- ⎪⎝⎭＋130⎛⎫- ⎪⎝⎭÷16＋130⎛⎫- ⎪⎝⎭÷25⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝－130×32＋130×10－130×6＋130×52＝－120＋13－15＋112＝16．细心的你能看出上述解法错在哪里吗？请给出正确的解法．29．现有5张写着不同数字的卡片-5,-3,0,3,4，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的和最小．这两张卡片上的数字分别是______，和为． (2)从中选择三张卡片，使这三张卡片上数字的乘积最大．这三张卡片上的数字分别是_____，积为 __ (3)从中取出3张卡片，如何抽取才能使这3张卡片上的数字先让两个数相乘再与第三个数相除的结果最大？最大值是多少？30．在一次测量中，小丽与欣欣利用温差来测量山峰的高度，小丽在山顶测得温度是–5℃ ，欣欣此时在山脚测得的温度是1℃，已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.8℃，则这个山峰的高度大约是多少米? 31．小明家想要从某商场购买洗衣机和烘干机各一台，现在分别从,A B 两个品牌中各选中一款洗衣机和一款烘干机，它们的单价如表1所示．目前该商场有促销活动，促销方案如表2所示．表1：洗衣机和烘干机单价表表2：商场促销方案你认为有哪几种购买方案？请通过计算为小明家选择支付总费用最低的购买方案． 32．请认真阅读下面材料，并解答下列问题．如果a （a ＞0，a≠1）的b 次幂等于N ，即指数式a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，对数式记作：logaN ＝b ．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log 24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log 416＝2. （1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①62＝36； ②43＝64；（2）将下列对数式改为指数式： ①log 525＝2； ②log 327＝3；（3）计算：log 232 33．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等．类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”．一般地，把(0)n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷≠个记作34=③④读作“a 的圈n 次方”（初步探究）（1）直接写出计算结果：2=③________，12⎛⎫-= ⎪⎝⎭④________．（2）关于除方，下列说法错误的是________ A ．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B ．对于任何正整数n ，1=1 C ．34=③④D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式(3)-=④________；5=⑥_________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑩_______（4）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式是________（5）算一算：24111123323⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯---÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭④③④．。

浙教版八年级下册科学第十一讲光合作用与呼吸作用学案

第十一讲：二氧化碳性质、光合作用与呼吸作用主讲人：赖诗港知识导航：①二氧化碳与水反应：CO2+H2O==H2CO3瓶子变瘪了，能说明二氧化碳与水反应了吗？如不能，该补做什么操作？②二氧化碳不可燃、不助燃、密度比空气大思考：右图为什么是上层蜡烛先灭？③二氧化碳的检验：CO2+Ca(OH)2==CaCO3↓+H2O你知道长时间通入二氧化碳石灰水又变澄清的原因吗？光合作用与呼吸作用对比光合作用呼吸作用概念绿色植物在光照下，利用二氧化碳和水，制造有机物，并释放氧气的过程。

活细胞内的有机物与氧气反应，最终产生水和二氧化碳，同时释放能量，供生命活动的需要。

场所叶绿体内活细胞内条件光照有无光照都能进行文字表达式二氧化碳＋水−−→水有机物（淀粉）+氧气有机物＋氧气−−→酶二氧化碳＋水＋能量实质物质无机物→有机物有机物→无机物能量贮存能量，光能→化学能释放能量，化学能→各种形式的能联系呼吸作用所分解的有机物，正是光合作用的产物；呼吸作用释放的能量，正是光合作用储藏在有机物中的化学能。

典型例题：例1．某同学用如图所示装置进行实验，验证二氧化碳能与水反应（已知氮气的密度小于空气的密度），操作：其中实验操作顺序最合理的是（）①从b端通入氮气②从分液漏斗中滴加适量水③从a端通入二氧化碳④将石蕊溶液染成紫色的干燥纸花放入广口瓶中⑤从a端通入氮气⑥从b端通入二氧化碳A．④⑥⑤②⑥B．④③⑤②③C．④①③①②D．④③①②③例2．下列三套装置（见如图）都可用于实验室制取CO2；（1）仪器A的名称是；（2）利用图2装置制取CO2时，长颈漏斗的下端管口绿叶体活细胞必须浸没在溶液中，理由是；（3）图1和图3装置相比，利用图1装置来制取CO2时，主要不足是（写出一点即可）；（4）化学兴趣小组为了测定石灰石样品中碳酸钙的质量分数，取一定质量的石灰石样品，将20g 稀盐酸分4次加入样品中（样品中除碳酸钙外，其余成分既不与盐酸反应，也不溶于水），充分反应后经过过滤、干燥等操作，最后称量，得实验数据如下表：稀盐酸的用量剩余固体的质量第一次加入5g 1.5g第二次加入5g 1.0g第三次加入5g 0.5g第四次加入5g 0.3g①石灰石样品中碳酸钙的质量分数为；②原稀盐酸中溶质的质量分数为多少？（写出计算过程）例3. 某现代化温室蔬菜实验基地，要探究温度对光合作用和呼吸作用的影响，科研人员选取了同一品种，生长状况和质量完全相同的甲、乙、丙、丁、戊五组蔬菜，分别放置在不同温度环境下暗处理1小时后，分别测出其质量变化；然后再同时置于光照下1小时（光照强度相同），分别测其质量变化，记录数据如下表，请分析数据，回答问题。

指数函数与对数函数(知识精讲)-2019-2020高一数学(人教A版必修第一册)(解析版)

专题十一指数函数与对数函数知识精讲一知识结构图二.学法指导1.正确区分na n与(na)n：(1)(na)n已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；(2)na n中的a可以是全体实数，na n的值取决于n的奇偶性．2. 带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.3．指数幂运算的常用技巧（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.4.判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.5．求指数函数的解析式常用待定系数法．6.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．7．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.8.性质alog a N＝N 与log a a b ＝b 的作用 (1)a log a N＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式．(2)log a a b ＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数．9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，底数不同时，利用换底公式把底数换成相同，再找真数间的联系． 10.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. 11.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.12.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．13．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．三.知识点贯通知识点1 根式运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n例题1.(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．【答案】(1)－1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.【解析】(1)∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ，∴x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.](2)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.知识点二利用分数指数幂的运算性质化简求解1.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)2.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)3.幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )．例题2：化简求值：知识点三指数函数的概念1.一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 例题3 .已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. 【答案】19【解析】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19知识点四指数函数的性质及运用 1.指数函数的性质R例题4．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.【解析】(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)．例题5. 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1； (4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．【解析】(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x 的两个函数值，因为函数y ＝0.6x 在R 上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a >1时，y ＝a x 在R 上是增函数，故a 1.1>a 0.3；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上是减函数，故a 1.1<a 0.3. 知识点五对数运算性质的应用对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例题6.计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.【解析】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12(lg 2＋lg 9－lg 10)lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.知识点六对数的换底公式1.若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .例题7.(1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．【解析】(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.(2)∵18b ＝5，∴b ＝log 185. 又log 189＝a ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .知识点七对数函数的概念1.函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．例题8.若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. 【解析】因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.知识点八对数函数的图象与性质(0，＋∞)例题9.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)；【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．例题10.比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.【解析】 (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 五易错点分析易错一指数幂运算中的条件求值例题11.已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【解析】(1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194. 误区警示已知条件求值时，注意把条件作为整体，找条件与所求结论的关系，根据关系利用合适的公式求解。

第十一讲幂函数

4 若f x 为幂函数, m2 2m 1, m 1 5由 4 得m 1 2,当m 1 2时, m 2 m 1 1 2, f x x1 2 在 0, 上单调递减, 不合题意;
当m 1 2时, m 2 m 1 1 2,
1 2
5. (2010·山东滨州2月)(基础题,易)函数 y m 1 x m
m2
为幂函数,则函数为( A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数
)
D. 减函数
答案:B
解析:由题意m=2,则该函数y=x2,故选B.
解读高考第二关
热点关
类型一:幂函数的定义
解题准备:①有关幂函数y=xα 的定义域的确定,当α 为分数时,可转化为根式考虑,当α =0时,底是非零的,不可忽视.
2.
f x x1 2 在 0, 上单调递增.所以m 1 2.
类型二:幂函数的图象解题准备:
1. 对所有的幂函数在(0,+∞)上(第一象限)都有定义,都过 (1,1)点.
2. 如果α >0,则幂函数的图象过原点,并在［0，＋∞）上为
增函数，且0＜α ＜1与α ＞1的图象是以直线y＝x为界限的． 3.如果α ＜0，则幂函数图象在区间（0，＋∞）上是减函数，在第一象限内，图象向右无限靠近ｘ轴，向上无限靠近ｙ轴．４.无论α 取什么实数，在第四象限都没有图象．
[分析] 先求出幂函数的解析式,再利用图象判断f(x)､g(x)
的大小关系.
解 1 设f x x a , 因为点将

2, 2 在幂函数f x 的图象上,
2, 2 代入f x =xa中, 得2 ( 2) a ,

高考数学重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型(原卷版)(全国通用)(新高考)

重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型——每天30分钟7天掌握指数函数、对数函数与幂函数10大题型【命题趋势】指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。

考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、指数幂运算的一般原则1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。

二、对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。

2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。

实数指数幂及运算法则教案

实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。

2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。

3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。

2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。

2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。

3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。

四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。

2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。

3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。

4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。

5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。

七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。

八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。

2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。

3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。

九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。

2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。

第十一讲幂函数与对勾函数(学案)——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

第十一讲幂函数与对勾函数知识清单1. 幂函数的图像和性质2. 对勾函数的图像和性质重点：常见幂函数的概念、图象和性质。

难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。

幂函数的定义：____________________幂函数在第一象限内的性质： ① 均过定点__________ ② a >0时单调性为________， ③ a <0时单调性为________例1 （1）如图，曲线是幂函数y =x a 在第一象限内的图象，已知α分别取 -1,1,212,四个值，则相应图象依次为（2）作出函数()()x x g x x f ==-,2, 的草图并指出其性质例2（1）若幂函数y =(m 2−3m +3)x m−2的图像不经过原点，则实数m 应满足的条件为__________(2)已知幂函数过点()2,2，解不等式()21≤+x f例3 比较下列各题中两个值的大小：幂函数 y=x y=x 2 y=x 3y=x 12y=x -1定义域值域奇偶性单调性公共点(1) 1.1−12与0.9−12 (2) 1.334与0.334(3)312-，343.1-，327.1-例4(1)已知(a +1)12>(3−2a )12,则实数a 的取值范围为__________(2)已知()353x x x f +=，若()()0212>-+++m m f m f ，求m 的取值范围？.二．对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab 。

3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4.图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x =+≥ab 2（当且仅当x =，即)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 25.单调性：增区间为______________________,减区间是_________________________6.渐进线:y=ax例题1.函数xx x x f 1)(2++=的对称中心为例题2.（1）求函数32)(++=x x x f 的值域（3）求函数1716)(22++=x x x f 的值域例题3已知函数()xax x x f +-=22，(1)若a=1,求函数)(x f 在[]4,2的值域（2）若在上有最小值和最大值，求实数a 的取值范围。

高考数学学业水平测试复习专题三第11讲二次函数与幂函数pptx课件

1．求二次函数的解析式 (1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为
－1，则它的解析式是________________． (2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：(1)依题意可设 f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0，1)，所以 4a－1＝1，所以 a＝12. 所以 f(x)＝12(x－2)2－1.
解：(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则ff（（－3）1）＝＝ 9aa＋－3bb＋＋cc＝＝33，，
f（1）＝a＋b＋c＝－1，解得 a＝1，b＝－2，c＝0. 所以 f(x)＝x2－2x.
(2)根据题意： a－1≤1≤a＋1，（a＋1）－1≥1－（a－1），解得 1≤a≤2，所以 a 的取值范围为[1，2]．
1．幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，
＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减
函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4，5，6，
因为 0＜x＜1，
当 x＝12时，函数取得最大值34.
故选 C.
5 ．已知函数 y ＝ 2x2 － 6x ＋ 3 ， x∈( － 1 ， 1) ，则 y 的最小值是 ______．
解析：函数 y＝2x2－6x＋3 的图象的对称轴为 x＝32>1，所以函数 y＝2x2－6x＋3 在(－1，1)上单调递减，所以 ymin＝2－6＋3＝－1.

小升初第11讲：合并同类项

生：……
师：是的，7m和5m；-3n和3n，我们只需要把它们的系数相加，字母与字母的指数都不变。
师：下面我们请两位同学来做接下来的2题。
生：……
师：我们再来看看第4个式子，这题该怎么合并呢？
生：……
师：如果我们把（x-y）看成整体，用m来表示的话，那么式子变成什么样子？
生：3m²+2m-（-m）²+（-m）。
生：ac+bc=（a+b）c。
师：如果a=5,b=3,则这个式子变成什么？
生：5c+3c=（5+3）c。
师：很好，根据前面我们学过的知识，5c和3c是什么？
生：同类项。
师：是的，像同类项，我们可以把它们合并起来，在合并的时候，同学们有什么发现吗？
生：……
师：是的，只是把它们的系数相加，所含的字母与字母的指数都不变。我们来看看第一个式子？在这个式子，哪些是同类项？
生：（点名学生回答）
师：很好，那么常数项的系数是什么呢？
生：就是它本身。
板书：
解：
系数是：-15 1 -1
例题二：
下列代数式分别是几项的和？每一项的系数分别是什么？
师：我们知道了什么是单项式，且知道如何找单项式的系数。如果我们把两个或两个以上的单项式加起来组成一个式子，这样的式子还是代数式吗？
生：是的。
师：你为什么这样分类呢？
生：因为第一类是水果，第二类是蔬菜，第三类是电器。
师：还有其它的分类吗？请你说明理由。
生：菠萝，草莓，菜椒，萝卜，香蕉，白菜为同一类，因为它们可以吃的；
电冰箱，电视机，洗衣机为同一类，因为它们不能吃。
师：同学们说的都很好，很有道理。根据不同的标准，我们可以有不同的分类。今天，我们就一起来认识一下数学中的分类问题。

货币银行学授课教材第十一章：通货膨胀

第十一章通货膨胀第一节通货膨胀：定义、类型及影响一、通货膨胀的定义在现代社会中，通货膨胀和货币、利率等词汇，使人们常接触到的经济术语。

但是它的确切含义是什么？在很多时候，它和价格水平上涨时同义词。

例如，当本月的总体价格水平比上月上涨了1%时，人们会说，本月的通货膨胀率为1%。

但是确切地说，总体价格水平的上升并不意味着发生了通货膨胀。

当经济学家说到通货膨胀的时候，他们往往指的是总体价格水平的持续的和较为明显的上升。

以下两种情况不能被视为通货膨胀：（1）价格水平的某些微小的上升，例如每年上升不足1%；（2）某些暂时性的或一次性的价格水平上升也不能算作通货膨胀。

例如，某些偶发性的因素可能使价格水平发生了明显上升，譬如说2%。

但如果这种上升是一次性的，也就是说价格水平上升了2%后，就不再继续上升。

在经济学家看来，这也不能叫通货膨胀。

只有价格水平上涨的趋势持续了较长一段时间后，才能被称为通货膨胀。

在主要的西方国家，考虑到技术进步和产品和劳务质量的提高等因素的影响，一般会引起价格总水平上涨1%左右。

因此，当价格总水平上涨幅度不足3%时，不认为发生了通货膨胀。

只有当价格总水平上涨大于等于3%时，才视为发生了通货膨胀。

在西方经济学教科书中，通常将通货膨胀定义为：商品和服务的货币价格总水平的持续上涨的现象。

这个定义包括以下几个关节点；(1）强调把商品和服务的价格作陪考察对象，目的在于与股票、债券以及其他金融资产的价格相区别。

（2）强调“货币价格”，即每单位商品、服务用货币数量标出的价格，通货膨胀分析中关注的是商品服务与货币的关系，而不是商品、服务与商品、服务之间的对比关系。

（3）强调“总水平”说明这里关注的是普遍物价水平波动，而不仅仅是地区性的或某类商品及服务的价格波动。

（4）关于“持续上涨”，是强调通货膨胀并非偶然的价格大幅度波动，而是一个“过程”，并且这个过程具有上涨的趋向。

二、通货膨胀的度量通货膨胀的严重程度是通过通货膨胀率这一指标来衡量的。

第11讲幂函数(讲义)

第11讲幂函数（讲义）1.10.0 幂指对函数的算术背景让我们从乘方运算谈起，设变量r q p ,,满足等式r p q =（例如8,2,3===r q p ），则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定，则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”，是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值，例如当确定变量2=q 时，变量p 的值可以唯一确定变量r 的值，因此r 是p 的函数，即2p r =；但是反过来，变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下，我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立，例如，引入算术平方根的概念（也就是要求变量p 只能取非负值），就可以使p 是r 的函数，即r p =.现在，我们设三个变量中已确定具体值的为a ，另外两个分别称为y x ,，则这样的表达式总共有6种形式：①y a x =，②x a y =，③y x a =，④x y a =，⑤a x y =，⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的（①②③），因此为它们赋予专门的名称并加以研究：（A ）幂函数：R a x y a ∈=,①；（B ）指数函数：R a a y x ∈=,；（C ）对数函数：*∈=R a x a y ,②；你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的？简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由：④a a xy x y 1=⇒=与③本质上是一样的，⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的，⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的.补充：有理指数的乘方运算初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算，并给出了最重要的运算规则：()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,,下面我们将看到，如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立，就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义.（1）整数指数考虑到n n n a a a a ==⋅+00，因此应该定义10=a ，同时保证除法运算n n n n a a aa ==-0的有效性，约定()010≠=a a . 接着，由于10==⋅-a a a n n ，定义()01≠=-a a a nn . 例如，① 不过在中学阶段，我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下，如果没有特别加以说明，我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究（并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况）. ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求，我们会在后继内容中详细讨论.()441121121,4917172222===⎪⎭⎫ ⎝⎛==--. （2）分数指数最容易理解的分数指数当属开方运算：()a a a a a =⇒==⋅1212221，实际上平方后得a 的数通常是两个符号相反的实数，我们约定只考虑其中非负的那个（即算术平方根），就使得1a 具有唯一的意义. 类似地，a N n 1,*∈∀具了唯一的意义. 而()m nn m a a 1=也随之具有了唯一确定的含义. 例如，()()23834834333122216,12525252883======⋅，，()91313332722-23-32-332-=====⋅.*（3）实数指数：以23为例. 我们对实数2的认识是：存在一族闭区间[][][][] 415.1414.142.1,41.15.1,4.12,1，，，，使得2始终位于这个闭区间内，且这族闭区间的“长度”（即闭区间两端点所对应实数的距离）可以小于任意给定的正数，因为它们每次比原先缩小10倍，因此一定能够变到足够小③. 在此基础上我们可以理解23是一个什么样的实数，即考虑闭区间族[]213,3，[]5.14.13,3，[] ，5.141.13,3，由于每个端点所代表的实数是唯一确定的，因此它们自身也是确定的，并且确实将23包含于其中；此外，由于指数之间的差距可以充分小，因此闭区间的长度也随之而变得充分小，由此可知它们最终必将唯一确定某一实数，即23④.利用上述思想我们可以知道，任意实数指数的乘方运算是有明确意义的，它可以唯一确定一个实数. 当然，大多数情况下，我们可以借助计算器来完成这一工作.1.11.1 幂函数的定义与基本性质我们称形如()R a x y a∈=的函数为幂函数. 但是在这个约定中，我们还没有说明函数的定义域，因此这个“定义”还不够完整. 在下面的讨论，我们将针对a 的不同取值情况来加以考察.例1、画图象找规律（1）在同一坐标系内画出函数32x y x y x y ===、、的图象；（2）将函数5.25.1x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；③这里我们实际上使用了实数的“阿基米德公理”：b an N n R b a >∈∃∈∀*+,,,. ④ 我们所使用的想法可以概括为：一族长度趋近于0的闭区间套唯一确定了一个实数，它是实数理论中一个具有基础性地位的定理.（3）将函数11x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；接着观察图象，看看能发现哪些规律？将你的发现归纳出来. 解答：右图中包含12132x y x y x y x y x y =====、、、、的图象；（1）定义域：图中所有函数的定义域都包含()∞+，0，或者说，包含()∞+，0是一个必要条件；（2）在区间()∞+，0上各函数的值域是()∞+，0；（3）在5.1x y =的图象时，需保证它始终位于函数x y =与2x y =的图象之间，类似地，5.2x y =始终介于2x y =与3x y =之间；（4）()0>=a x y a 在()∞+，0上是增函数；（5）()02>=x x y 与21x y =关于x y =轴对称，()03>=x x y 与31x y =关于x y =轴对称；猜测更一般地，在()+∞,0上，()0>=a x y a 与()01>=a x y a 关于x y =轴对称；例2、画图象研究性质：32xy =. 分析：由()122x x y ==可知它是偶函数，考虑到()23132x x y ==，列表描点时不妨代入一些可以开立方的x 值。

初中数学_《同底数幂的乘法》教学设计学情分析教材分析课后反思

11.1同底数幂的乘法教案一、教学分析（一）、教学内容分析同底数幂的乘法是在学习了有理数的乘方之后，为了学习整式的乘法而学习的关于幂的一个基本性质，又是幂的三个性质中最基本的一个性质，学好了同底数幂的乘法，其他两个性质和整式乘法的学习就容易了。

同底数幂的乘法法则既是有理数幂的乘法的推广又是整式乘法的重要基础，在本章的学习中具有举足轻重的地位。

（二）、教学对象分析学生在七年级时就学习了乘方的意义，同底数幂的乘法法则的探究就是在乘方的意义的基础上继续的探究活动，学生容易理解同底数幂的乘法中指数的关系。

本节课的一个困难点是对于同底数幂的乘法法则猜想的验证过程。

二、教学目标（一）、知识与技能：1.能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算，并能利用它解决简单的实际问题。

2.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂的乘法法则。

（二）、过程与方法：经历探索同底数幂的乘法法则的过程，进一步体会幂的意义；在了解同底数幂的乘法运算的基础上，发现同底数幂的乘法性质。

（三）、情感态度与价值观：在推到同底数幂的乘法性质的过程中，培养学生观察、概括和抽象的能力。

三、教学重点、难点（一）、教学重点：同底数幂的乘法法则及其简单应用。

（二）、教学难点：理解同底数幂的乘法法则的推导过程。

四、教学过程(一)、复习旧知1、通常代数式na表示的意义是什么？其中a叫____，n叫_____，n a叫_____。

用乘方的形式表示如：（1）2×2 ×2=2( )（2）a·a·a·a·a =a( )2、计算：（1）（-2）2 = ______________ （2）（-2）3= ______________3、判断下面两组代数式是否相等。

（1）（-3）2和32（-3）3和33（2）（x-y）2和(y-x)2 （x-y）3和(y-x)3思考：这几个幂的正负有什么规律？设计意图：学生已经在七年级上册中学过乘方和整式的加减法，已经接触过用字母表示数，但这几个内容学生学过的时间过长，对知识的记忆可能有些模糊，因此教学第一环节我安排回顾旧知与思考，让学生回顾乘方的相关知识，为同底数幂的乘法的学习作铺垫。

实数指数幂及运算法则教案

实数指数幂及运算法则教案一、教学目标：1. 理解实数指数幂的概念及性质。

2. 掌握实数指数幂的运算法则。

3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。

二、教学重点与难点：重点：实数指数幂的概念、性质及运算法则。

难点：实数指数幂在实际问题中的应用。

三、教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 教学素材（例如：数学题、实际问题等）。

四、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际例子（如电话号码、楼层等）引出实数指数幂的概念。

2. 讲解：讲解实数指数幂的定义、性质及运算法则。

3. 练习：让学生通过练习题巩固所学知识。

4. 应用：结合实际问题，让学生运用实数指数幂及运算法则解决问题。

五、课后作业：1. 完成练习册相关题目。

2. 举出生活中的实际例子，运用实数指数幂及运算法则进行解释。

六、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对实数指数幂概念、性质及运算法则的理解程度。

2. 课后作业：评价学生运用实数指数幂及运算法则解决实际问题的能力。

3. 单元测试：评价学生对实数指数幂及运算法则的掌握程度。

七、教学反思：在教学过程中，要注重让学生理解实数指数幂的概念，引导学生掌握运算法则，并通过实际问题激发学生的学习兴趣。

在课后，要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生运用知识解决实际问题的能力。

八、教学拓展：1. 研究其他数的指数幂及其运算法则。

2. 探索实数指数幂在科学、工程等领域的应用。

九、教学时间安排：1. 课时：本节课计划用2课时完成。

2. 教学进程：第一课时讲解实数指数幂的概念、性质及运算法则；第二课时进行练习、应用及课后作业布置。

十、教学素材来源：1. 人教版《数学》教材。

2. 网络资源。

3. 教师自编练习题。

六、教学活动设计：1. 导入：通过回顾上一节课的内容，引导学生进入本节课的学习。

2. 新课导入：讲解实数指数幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方等。

3. 案例分析：分析实际问题，运用实数指数幂的运算法则进行解答。

高中数学指数的概念教案

高中数学指数的概念教案
目标：学生能够理解指数的基本概念，掌握指数的运算规则，并能够应用指数进行相关问题的解决。

一、引入：
通过一个简单的问题引导学生进入指数的学习。

例如：“如果我有2个苹果，再买3个苹果，那么我一共有多少个苹果？”
二、概念讲解：
1. 什么是指数：指数是用来表示幂运算的一种形式，用一个数字来表示底数的次方。

2. 指数的基本概念：底数、指数、幂。

3. 指数的运算规则：相同底数的指数相加减，底数相同的指数相乘除。

4. 科学计数法：介绍科学计数法的概念及应用。

三、实例演练：
1. 让学生进行一些简单的指数计算，巩固基本运算规则。

2. 设计一些综合性的问题，让学生运用指数进行解答，拓展应用能力。

四、讨论与总结：
1. 学生分享自己的解题思路和答案。

2. 教师进行总结，强调指数的重要性和应用。

帮助学生理解并巩固知识点。

五、作业布置：
1. 布置相关练习题目，巩固学生对指数的掌握。

2. 提出拓展性问题，激发学生深入思考和探索。

六、教学反思：
1. 回顾本节课的教学内容，总结优缺点。

2. 根据学生的学习情况，调整教学策略，进一步提升教学效果。

注：教学内容和方法可根据具体教学情况进行适当调整和创新。

第11讲指数与对数的运算(解析版)-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

1第11讲：指数与对数的运算一、课程标准1、理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；3、了解对数的发现历史以及对简化运算的作用二、基础知识回顾1. 有关指数幂的概念(1)n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是__0__；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是__0__，负数没有偶次方根．(2)方根的性质①当n为奇数时，n a n＝a；②当n为偶数时，n a n＝||a＝,0-a0.a aa⎧⎨⎩≥，，＜(3)分数指数幂的意义①m n a(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)；②m na-＝1mna＞0，m、n都是正整数，n＞1)．2. 有理数指数幂的运算性质设s，t∈Q，a>0，b>0，则：(1)a s a t＝as＋t；(2)(a s)t＝ast；(3)(ab)t＝a t b t．3. 对数的相关概念(1)对数的定义：如果a b＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底数N的对数，记作log a N＝b．(2)常用对数和自然对数：①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lg N；②自然对数：以e为底N 的对数，简记为：ln N．(3)指数式与对数式的相互转化：a b＝N⇔log a N＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．4. 对数的基本性质设N＞0，a＞0，a≠1，则：(1)log a a＝1；(2)log a1＝0；1(3)log a a N ＝N ；(4)a log aN ＝N ．5. 对数运算的法则设M ＞0，N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则： (1)log a (MN)＝ log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝ n log a M ． 6. 对数的换底公式设N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则log b N ＝log a Nlog a b .三、自主热身、归纳总结1、化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a3b B ．－8a b C ．－6a b D ．－6ab【答案】C【解析】原式＝－6a 23－⎝⎛⎭⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6ab . 2、(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B【解析】原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3.3、若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于（）A . 1B . 0或18C . 18 D . log 23【答案】D .【解析】由lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，知lg 2＋lg (2x ＋5)＝2lg (2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，即(2x )2－9＝0，即2x ＝3，∴x ＝log 23.故选D .4、．(多选)已知a ＋a －1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A ．a 2＋a －2＝7B ．a 3＋a －3＝18C ．a 12＋a －12＝±5 D ．a a ＋1a a ＝2 5【答案】ABD【解析】在选项A 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝9－2＝7，故A 正确；在选项B 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－1＋a －2)＝(a ＋a －1)·[(a ＋a －1)2－3]＝3×6＝18，故B 正确；在选项C 中，因为a ＋a －1＝3，所以(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5，且a ＞0，所以a 12＋a －12＝5，故C 错误；在选项D 中，因为a 3＋a －3＝18，且a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫a a ＋1a a 2＝a 3＋a －3＋2＝20，所以a a ＋1a a ＝25，故D正确．5、log 225·log 3(22)·log 59＝________．【答案】6【解析】法一：log 225·log 3(22)·log 59＝log 252·log 3232·log 532＝6log 25·log 32·log 53＝6. 法二：log 225·log 3(22)·log 59＝lg 25lg 2·lg （22）lg 3·lg 9lg 5＝lg 52lg 2·lg 232lg 3·lg 32lg 5＝6. 6、已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，则xy 的值为．【答案】1＋ 2.【解析】利用对数的性质消去对数符号，得到关于x ，y 的方程再求解．由已知得lg ⎝⎛⎭⎫x －y 22＝lg (xy)，∴⎝⎛⎭⎫x －y 22＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫x y 2－6⎝⎛⎭⎫x y ＋1＝0，∴xy ＝3±2 2. 又∵x －y 2>0且x 、y ＞0，∴x ＞y ＞0，即xy ＞1，∴xy ＝3＋22，xy ＝1＋ 2.7、计算：log 5[412log 210－(33)23－7log 72]＝________．【答案】0【解析】原式＝log 5[2log 210－(332)23－2]＝log 5(10－3－2)＝log 55＝1.8、化简 [(0.06415)－2.5]23－3338－π0；【答案】0【解析】[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×23－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0.四、例题选讲考点一指数幂的运算例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0(2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)(3)1253[(0.064) 2.5]--3338－π0；(4)121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪g g g 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＋50012－10（5＋2）（5－2）（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝a b .(3原式＝253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭=152133523343102⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－1＝52－32－1＝0.(4)原式＝111111111533223262361566a b a ba ba b-----+-=g g ＝1a .变式1、．计算下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）原式＝；（Ⅱ）原式＝．变式2、已知1122x x-+＝3，求22332223x x x x --+-+-的值．【解析】设12x ＝t ，则12x -＝1t ，已知即t ＋1t ＝3.于是，3322x x -+＝t 3＋1t 3＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t ·⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2－1，而x 2＋x－2＝t 4＋1t 4＝2221()t t+－2, 将t ＋1t ＝3，平方得 t 2＋1t 2＋2＝9，于是t 2＋1t 2＝7.从而，原式＝⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 22－2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ·⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2－1－3＝72－23×（7－1）－3＝4715. 方法总结(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点二对数的运算例2 化简下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg (0.01)－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25；(3)计算(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)；（4）2log 32－log 3329＋log 38－3log 55；【解析】 (1)原式＝lg ⎣⎡⎦⎤2512×2×1012×（10－2）－1 ＝lg ⎝⎛⎭⎫5×2×1012×102 ＝72lg10＝72.(2) 原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5) ＝2.(3) (log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2 ＝54.1（4）2log 32－log 3329＋log 38－3log 55 ＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3 ＝－1.变式1、(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 35；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)．【解析】(1)原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. (2)(方法1)原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28 ⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·3log 52 ＝13·log 55log 52·log 52 ＝13. (方法2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝⎝⎛⎭⎫133·lg 5lg 2⎝⎛⎭⎫3·lg 2lg 5＝13.变式2、(1)①若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝；②化简2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝__ _．【解析】 (1)①∵a ＝log 43＝22log 3＝12log 23＝log 23，∴2a ＋2－a＝22－2-＝3＋log 2＝3＋33＝433.②2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1 ＝2×⎝⎛⎭⎫12lg 22＋12lg 2×lg 5＋（lg 2－1）2＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2 ＝12lg 2＋1－12lg 2＝1.方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点三指数是与对数式的综合例3 (1)已知a ，b ，c 均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c ；(2)若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．【解析】 (1)设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则k>1.由对数定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则2a ＋1b ＝2log 3k ＋1log 4k ＝2log k 3＋log k 4 ＝log k 9＋log k 4 ＝log k 36.又2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36， ∴2a ＋1b ＝2c .(2)由a ＝log 603，b ＝log 605，得1－b ＝1－log 605＝log 6012，于是1－a －b ＝1－log 603－log 605＝log 604，则有1－a －b 1－b ＝log 604log 6012＝log 124， ∴121－a －b 2（1－b ）＝1212log 124 ＝12log 122＝2.变式1、设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________.由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.∵1a ＋1b ＝2，∴log m 10＝2，∴m 2＝10，m ＝10.方法总结：这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注：1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法．2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果．五、优化提升与真题演练1、设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32【答案】C 【解析】由题意a 2a ·3a 2＝a 2－12－13＝a 76.故选C.2、已知奇函数f （x ）满足f （x ）＝f （x +4），当x ∈（0，1）时，f （x ）＝4x ，则f （log 4184）＝（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】∵奇函数f （x ）满足f （x ）＝f （x +4），当x ∈（0，1）时，f （x ）＝4x ， ∴f （log 4184）＝﹣f （log 4184﹣4）＝﹣（）．3、(多选)已知实数a ，b 满足等式18a ＝19b ，下列选项有可能成立的是( ) A ．0＜b ＜a B ．a ＜b ＜0 C ．0＜a ＜b D ．b ＜a ＜0【答案】AB【解析】实数a ，b 满足等式18a ＝19b ，即y ＝18x 在x ＝a 处的函数值和y ＝19x 在x ＝b 处的函数值相等，由下图可知A ，B 均有可能成立．4、化简：（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)＝________．1 【答案】1a【解析】原式＝a －13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .5、计算 3（1＋2）3＋ 4（1－2）4＝________．【答案】2 2【解析】 3（1＋2）3＋ 4（1－2）4＝1＋2＋|1－2|＝2 2.6、.（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________．【答案】1【解析】原式＝（log 66－log 63）2＋log 62·log 618log 622＝（log 62）2＋log 62·log 6182log 62＝log 62（log 62＋log 618）2log 62＝log 62·log 6（2×18）2log 62＝log 62·log 6362log 62＝2log 622log 62＝1.7、若2x ＝3y ＝5z ，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为．【答案】3y<2x<5z.【解析】令2x ＝3y ＝5z ＝t ，则t>1，x ＝lg t lg 2，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5，∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t·（lg 9－lg 8）lg 2·lg 3>0，∴2x>3y.同理可得：2x －5z<0，∴2x<5z.∴3y<2x<5z.8、化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312.1【解析】(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1 ＝52－32－1＝0.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.。

顶尖教案高中数学指数

顶尖教案高中数学指数
教学目标：学生能够理解指数的定义、性质和运算规则，掌握指数的乘法和除法运算方法，能够熟练解决相关的实际问题。

教学重点：指数的定义、性质和运算规则。

教学难点：指数的乘法和除法运算方法。

教具准备：黑板、彩色粉笔、教材、习题纸。

教学过程：
第一步：导入（5分钟）
教师向学生介绍指数的概念和作用，引导学生思考指数在实际生活中的应用。

第二步：讲解（15分钟）
1.讲解指数的定义及性质，引导学生理解指数的含义。

2.讲解指数的运算规则，包括同底数乘法、除法规则。

第三步：练习（20分钟）
1.学生在课堂上完成若干指数计算习题，巩固所学内容。

2.教师让学生分组讨论并解决一些实际问题，引导学生将指数知识应用到实际生活中。

第四步：总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调指数的重要性，并鼓励学生在日常学习中多加练习。

第五步：作业布置（5分钟）
布置相关的课外作业，巩固学生对指数的理解和运用。

教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解指数的概念，培养学生的逻辑思维能力，
引导学生将所学知识与实际生活中的问题结合起来，激发学生学习数学的兴趣。

高一数学预科班资料

前言课时安排：第一讲集合的含义与表示第二讲集合间的基本关系第三讲集合的基本运算（一）第四讲集合的基本运算（二）第五讲一次函数、一次不等式与二次函数第六讲一元一次不等式、一元二次方程第七讲函数的概念第八讲函数的表示法第九讲单调性与最大（小）值第十讲奇偶性第十一讲指数与指数幂的运算第十二讲指数函数及其性质第十三讲对数与对数运算第十四讲对数性质的应用第十五讲小结与测试资料说明：本资料适用于高一预科班，内容为必修1的前半部分内容，授课对象为初三升入高一的学生，他们在很大程度上还没适应高中的学习，所以本资料紧扣教材，有点象教师的教案，有点象教材，也可作为学生听课笔记。

每一讲的每一道题如果都讲解，可能没有这么多的时间，再者学生层次不一，拓广探索的题可选上，思考题可不上（仅供有一定的数学基础和数学学习兴趣的同学参考），请上课教师斟酌考虑，自行安排。

由于本人水平有限，资料有不足之，敬请各位同仁多提宝贵意见，不胜感谢。

第一讲集合的含义与表示I 、引入在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如：（1）自然数的集合；（2）有理数的集合；（3）不等式37<-x 的解的集合；（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即）；（5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即）II 、新授一、集合的概念：新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合（set ）（简称为集）。

旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。

集合中的每一个对象叫做这个集合的元素。

例1：判断下列哪些能组成集合。

（1）1~20以内的所有质数；（2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点；（7）方程0232=-+x x 的所有实数根；（8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生；（9）身材较高的人；（10）{1，1}；（11）我国的大河流；问：（1）{3，2，1}、{1，2，3}、{2，1，3}这三个集合有何关系？（2）{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}是否为一个集合？点评：1、集合元素的性质：（1）（2）（3）2、经常用大写拉丁字母A ，B ，C ，表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, 表示集合中的元素。

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