柳浩 3

编号2014010355 研究类型理论研究分类号O15College of Arts﹠Science of Hubei Normal University学士学位论文Bachelor’s Thesis论文题目分块矩阵的性质与应用作者姓名柳浩学号2010311010355所在院系数学系学科专业名称数学与应用数学导师及职称谢涛讲师论文答辩时间2014年5月15日本科毕业论文诚信承诺书目录1.引言 (1)2.分块矩阵的概念 (1)3.分块矩阵的运算性质 (1)3.1分块矩阵的加法 (2)3.2分块矩阵的乘法 (3)3.3分块矩阵的转置 (5)3.4对角分块矩阵的一些性质 (6)4 分块矩阵的相关定理及其证明 (6)5 利用分块矩阵计算行列式 (10)5.1 利用定理1计算行列式 (10)5.2 利用定理2计算行列式 (12)5.3 利用定理3计算行列式 (13)5.4 利用定理4计算行列式 (18)5.5 利用定理5计算行列式 (20)5.6 利用定理6计算行列式 (22)6.总结： (24)参考文献 (25)分块矩阵的性质与应用柳浩（指导老师，谢涛老师）（湖北师范学院文理学院中国黄石 435002）摘要：分块矩阵是矩阵理论中的一个重要内容，在高等代数中有着很重要的应用．矩阵分块的思想来源于对矩阵运算复杂度和储存思想的考虑，矩阵分块能降低矩阵的阶数，使矩阵条理更清晰并简化运算．本文从研究行列式以及分块矩阵的基本性质入手，在查阅了大量文献的基础上，给出了与行列式计算有关的分块矩阵相关定理．将分块矩阵降阶的思想应用在行列式计算过程中，推导出了借助分块矩阵进行行列式计算的多种方法，最后通过具体的例子对比说明，很多时候借助分块矩阵计算行列式比用行列式的常规方法计算更简单、直观、清晰．关键词：分块矩阵；行列式中图分类号：O15Properties and Application of Block MatrixLiu Hao （Tutor：Xie Tao）Abstract: Block Matrix is an important content of Matrix theory, which has a significant usage in Advanced Algebra. The idea of Block Matrix comes from the considerationof the memory storage and the complexity of Matrix Manipulation. Block Matrixcan reduce the exponent number of Matrix to make the consecution of Matrixclearer and the operation of Matrix easier. This article starts with basic properties ofMatrix, and gives some main conclusions of Block Matrix on the basis of accessinga lot of literature. And then, we use the reduction thoughts of Block Matrix inprocess of determinant calculation to derive multiple methods of determinantcalculation with the block matrix. At last, we use object lessons to compare, showsthat computing the determinant by means of block matrix is often more simple,intuitive and clear than conventional methods of determinant calculation.Key words: block matrix; determinant分块矩阵的性质与应用柳浩（指导老师，谢涛老师）（湖北师范学院文理学院 中国 黄石 435002）1.引言在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具．当我们处理阶数较高或者具有特殊结构的矩阵时，用一般处理低阶矩阵的方法，往往会比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常常把一个大型矩阵分成若干子块．把每个子块矩阵看成是一个元素，从而构成分块矩阵．分块矩阵形象地揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构．利用矩阵分块可以把高阶矩阵划分为阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为单位的矩阵施行矩阵的运算．本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法等运算性质以及行列式展开等方面的应用作了较为深入的研究．2.分块矩阵的概念将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．为了说明这个方法，我们来看以下的一个例子，在矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1011012100100001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A E O 212中， E 2表示2级单位矩阵，而 A 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1121， O=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000 这就是我们所说的矩阵的分块．3.分块矩阵的运算性质分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算完全一样，只要进行运算的矩阵的分块适当，分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则：3.1分块矩阵的加法设A ,B 都是n m ⨯矩阵，并且对A ,B 用同样的方法进行分块：111212122212k k l l lk A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111212122212k k l l lk B B B B B B B B B B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中,ij ij A B 都是i j m n ⨯矩阵，即,ij ij A B 使同型矩阵，那么111112121121212222221122k k k k l l l l lk lk A B A B A B A BA B A B A B A B A B A B +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦应注意的是，利用分块法对两个同型矩阵进行加法运算时，两个矩阵必须采用相同的分块法．下面我们通过一个例题来详细了解加法的运算法则．例1：100000,001001a a Ab b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭设000100000001a a B b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， .A B +求 解：将,A B 分块100000001001a a A b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12A O ,OA ⎛⎫=⎪⎝⎭其中121,01;1a A a bA b ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫=⎪⎝⎭12000100000001a B O a B ,OB b b ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭其中120,10;1a B a bB b ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫=⎪⎝⎭111021,0112a a a A B a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭221021,1122b b b A B b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122AO B O A B O A OB ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2100120000210022a a b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭．同理，设A 都是n m ⨯矩阵，把A 进行分块：111212122212k k l l lk A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，a 为任意数，则111212122212k k l l lk aA aA aA aA aA aA aA aA aA aA ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．3.2分块矩阵的乘法数乘运算： 设分块矩阵t s ij n m A A ⨯⨯=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为t s ij kA kA ⨯=)(．乘法运算： 一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=tr t t r r B B B B B B B B B B 212222111211， 其中每个ij A 是j i n s ⨯小矩阵，每个ij B 是j i m n ⨯小矩阵，于是有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==sr s s r r C C C C C C C C C AB C 212222111211， 其中ij C 是j i k m ⨯矩阵，=ij C ∑=ni ijij BA 1．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010100101B ，我们把B 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222122011010100101B B E E ， 其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010001，我们可以看到第一种分法中有单位块，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222A OO E A ， 对于乘法运算显然更加简便，即=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010100101⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222122222B B E E A OO E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2222212222B A B A E E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=022*********．例2]1[：用分块法计算AB ，其中51241421,53100120020-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B解：,A B 如上分块，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211A AA A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211B B B B B B B其中11122122421(0,0),(5),,,12⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A A A A()()()0,20,0,01,1342,51232221131211===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B B B B B B ； 令==C AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛232221131211C C CC C C ，其中 =+=2112111111B A B A C )0()0)(5(51)00(=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛，=+=2212121112B A B A C )00(()()()1002051342=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛，=+=2312131113B A B A C )0()0)(5(01)00(=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，=+=2122112121B A B A C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-514)0(21511024，=+=2222122122B A B A C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332014)20(2113421024，=+=2322132123B A B A C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-04)0(21011024．故==C AB ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0335420141401000232221131211C C CC C C ． 值得注意的是，利用分块法对两个矩阵进行乘法运算时，左矩阵列的分法和右矩阵行的分法必须完全相同． 3.3分块矩阵的转置对于一有rs 块的分块矩阵1111s r rs A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，有11111111T T s r TT T r rs s sr A A A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⇒= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭值得注意的是，转置时，每一个小块也要转置，并且它的位置也要行列对调． 3.4对角分块矩阵的一些性质对于方阵A ，经过分块后，非0对角块都只在主对角线上，而且每个小块都是方阵；即120000000000s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中(1,2,)i A i s =都是方阵，那么称A 为分块对角矩阵．有如下性质： （1）行列式12s A A A A =．（2）若0(1,2,,)i A i s ≠=则0A ≠，并且有11112100000000000s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （3）分块对角阵的乘法，111122220000000000000000s s s s A B A B A B A B A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （4）分块对角阵的转置，120000000000s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，那么1200000000000TT TT s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 4 分块矩阵的相关定理及其证明定义1]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ⨯阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则C A CO BA =． 证明： 利用拉普拉斯定理，只要将行列式CO B A按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第n m m m +++,,2,1 列，即可得C A CO BA =． 类似地行列式的形式为CB O A时，由行列式的转置值不变，因此仍有C A C A C B OA =''='''．通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式CO B A换成OC B A又会有怎样的结论，它的值等于B C 吗？ 定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则B C OC B A n 2)1(-=． 证明： 将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行，在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行， 第n ,,2,1 列，因此C B OC BA s )1(-=， 其中偶数+=+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即B C OC B A n 2)1(-=． 定理 3 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ⨯阶阵，C 为r s ⨯阶阵，D 为s 阶方阵．(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=． 证明： (1) 当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B CA D O B A D C B A I CA O I 11 两边取行列式可得=P A B CA D 1--．(2) 当0≠D 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得P =D B CD A 1--．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ⨯，r s ⨯，s 矩阵，则有(1)CB D DCB E r -=；(2)BC A E C BA s-=．证明：(1) 只需在定理3中令r E A =，即有CB D CBD O BE D C B E rr -=-=．(2) 只需在定理3中令s E B =，即有BC A E CO BC A E CB A ss-=-=．推论2 设B 、C 分别是s r ⨯，r s ⨯，则有BC E CB E E CB E r s sr -=-=．证明： 只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有BC E CB E E CB E r s sr -=-=．定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则(1) 当0≠A 且CA AC =时，=DC BA CB AD - (2) 当A 0≠且BA AB =时，=DC BA CB DA -；(3) 当0≠D 且CD DC =时，=DC BA BC AD -； (4) 当0≠D 且BD DB =时，=DC BA BC DA -．证明：由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得=DC BA AB CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--= CB AD -=，即=DC BA CB AD -， (2)、(3)、(4)类似可得．定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有B A B A AB BA -+=． 证明： 根据分块矩阵性质有BA O BBA A AB B B A A B B A -+=++= B A B A -+=．定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则)1(1βαβα-+=+A A A T T ．证明： 因⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10110T TT A AE βαββαα， (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αβαβαβ1110110A AA A ET T T ， (2) (1)式、(2)式两边各取行列式，又1110=-=-TEE βα， 从而有)1(11αβαββα-+=+=-A A A A T T T．5 利用分块矩阵计算行列式在行列式计算的过程中，若是该行列式的结构符合上述定理条件的要求，就可按照该定理进行矩阵分块，利用定理的结论计算行列式．其中的关键是如何对行列式进行分块，什么样的行列式能进行分块．我们在运用分块矩阵计算行列式时，要仔细观察行列式的结构，先确定运用哪个公式来进行计算，再对行列式进行相应的分块．在计算的过程中，也可能遇到可以运用分块矩阵计算的行列式，因此不仅要牢记公式，也要学会灵活运用．5.1 利用定理1计算行列式能够利用定理1求解的行列式的类型为CO B A 或CB O A ，下面给出具体例子． 例3 计算行列式530012000215311210241210--=H ． 解： 方法1（利用定理1）对行列式H 分块，CO BA H =， 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=531102210A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211241B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5312C ．根据定理1，有75312531102210=-==C A H ．方法2（化三角形法） 将行列式H 化为上三角形．530012000215311210241210--=H 53012000215311210222321----=5312000412103674022321----=270000120004132141003674022321-----= 7=．方法3（降阶法）530012000215311210241210--=H 5300120012104121153001200215341212-⋅--⋅-= 53001200121041211530012001041041212-⋅----⋅-= 5301201215312010412---⋅-= 531253122-⋅=7=．显然方法1更简单，利用定理1计算例1极大简化了计算． 5.2 利用定理2计算行列式对于可以利用定理2计算的行列式，其结构特点是OC B A型．下面是利用定理2计算行列式的具体例子． 例4 计算行列式=H 0000000000000626151333231262322211615131211ba ab a b a a a a a a a a a a a a a a a ． 解： 方法1（利用定理2）利用定理2结论，对行列式H 分块，OC BA H =， 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a aa a a B 000261615，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a b a bC 626151000， 因此=H =-B C 9)1(33b a -． 方法2（降阶法）=H 000000000000626151333231262322211615131211ba ab a baa a a a a a a a a a a a a a 00000000062615133323126232221ba ab a b a a a a a a a a a a -= 0000623332262322ba baa a a a a a ab -=0003326232ba a a a a ab -= aa a ab 0263-=33b a -=．方法3（定义法）这是一个六阶行列式，在展开式中应有!6项，但是由于其有很多零元素，所以不等于零的项就大大减少了，展开式中一般形式是654321654321j j j j j j a a a a a a ，显然，如果41≠j ，那么11j a 这一项就为零，因此只考虑41=j 的那些项；同理，只考虑14=j 的那些项，而由于第五行只有非零元素51a 和b ，所以只考虑25=j ，同理有52=j ，63=j ，36=j ．根据定义即可计算P ，即=H 33)456123()1(b a τ-33339)1(b a b a -=-=．从上面的例子我们看到，将方法2、3与方法1比较，方法2解题步骤更多更复杂，而方法3比较抽象，要有很好的观察力，显然利用分块矩阵来解题时，行列式的结构很清楚明了，解题过程也更简单． 5.3 利用定理3计算行列式下面是利用定理3计算行列式的例子．例5 计算n 2阶行列式b cb c d a da H=，其中0≠a ．解： 方法1（利用定理3）对行列式分块，令DC BA H =， 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c C ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d d D ．A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，0≠=n a A 得A 可逆． 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----d ca b d ca b D CA B 111，所以n n cd ab d ca b a D CA B A H )()(11-=-=-=--．方法2（降阶法）b cb c d a da H=121200000000---=n n b c b c d a d a d cb bc b c da d a a2222---=n n b cb c d a da cdb cbc d a d a ab== n cd ab )(-．方法3（化三角形法）利用行列式的性质，将H 化为上三角形，即bc b cd a da H=1--=cda b b c d a da110----=cda b cda d dadan n cda b a )(1--=n cd ab )(-=．从上面例子可以看到，行列式H 是一个高阶抽象行列式，比较上面三种方法，显然方法1更为简单，而且在利用定理3将行列式进行分块之后，该行列式的结构便十分清晰，计算过程也很简单明． 例6[]9 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321，其中n i a ,,2,1,01 =≠． 解：方法1（利用定理3）对该行列式先加边，再将加边后的行列式的第1行乘1-加到其余各行， 得nn a a a a D ++++=111110111110111110111110111111321na a a 0010000100010011111121----=， 令)1(=A ，)1,,1,1( =B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=111C ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a D21， 由于01≠a ，且B 可逆，从而==D C B A D n n n i a a a a a B CA D A 211111)(∑=--+=-)11(11∑∏==+=ni in i i a a ． 方法2（化三角形法）先对行列式加边处理，再利用行列式的性质，将n D 化为三角形．100000111111111111111111111111321n n a a a a D ++++=11111111100001000010000321------=n a a a a11111111000010010010001010000113211n n n i i a a a a a a -----=-=∏∑∏=-=+-----=ni in n ni i a a a a a a a 11321111111110100000100000010000001)11(11∑∏==+=ni ini i a a ． 从上面的例子我们可以看到，在利用公式计算行列式时，并不一定在最开始时就进行分块．有时候，我们可以先对行列式进行变换，再使用公式计算行列式．同时，我们也认识到行列式的计算是十分灵活的，如上面的方法1就将加边法和定理3结合起来使用，所以在计算行列式时要学会灵活运用知识．方法2中运用矩阵的初等变换将行列式化成三角形，计算过程比较繁琐且容易出错．但是在什么样的情况下利用定理3求行列式值比较简便，还有待进一步讨论，下面将给出一类特殊的行列式的例子． 例7[]10 求形如11110111011110 -----=M的n 阶（n 为偶数）反对称行列式的值． 解： 将M 按如下分块，B CA D A DC B A M 1--==，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111 B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=111111 C ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110 D 因为01≠=A ，所以A 可逆．又有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-11111101101111111 B CA ， 所以1242=======--A M M M D M n n ．从此例可以推广，形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00a a a a a a a a a a a a M (0≠a )的n 阶（n 为偶数）的反对称矩阵，其行列式的值为n a ．上面总结了定理3在一类特殊行列式上的应用，当遇到这类问题时可直接使用上述结论．当然，在其他某些数字行列式的计算上也可直接运用定理3，也可先经过行列式的某些变换使其数字更简单结构更明了，再使用定理3来计算． 5.4 利用定理4计算行列式定理3虽给出了计算行列式的一种方法，但计算过程相对繁琐，计算中涉及到多次求逆和矩阵相乘，同时也不易记忆．而定理4可以说是定理3的推论，在实际应用中定理4更常用．下面将给出相关例子． 例8 计算例3所给的n 2阶行列式． 解： A 、C 如例3所给，DC BA H =，而且CA AC =，则有 =H =-CD AB cdab cdab cdab ---n cd ab )(-=．注意：（1）这里并不需要0≠a 这个条件；（2）在用定理4计算高阶行列式时，A 和C 有一个是n 阶单位矩阵或是n 阶数量矩阵时，那么计算方法会更简便． 例9 计算行列式=H 1210520132211111-． 解： 方法1[]11（利用定理4）对H 进行分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A H ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1252D ．显然A 可逆且CA AC =，故=H CB AD -， 所以1010453==H ．方法2（化三角形法)利用行列式的性质，将行列式H 化为三角形．=H =-12105201322111111210411041101111--5100020041101111-=10500020041101111=-=．方法3（降阶法)=H 12141141112104110411011111210520132211111--=--=-=-=5100204115102=10．我们可以看到利用定理4计算例2的过程比利用定理3和其他方法计算时更简单． 5.5 利用定理5计算行列式对于能用定理5求解的行列式，我们往往很容易看出来，而且分块也很简单．下面给出具体例子． 例10 计算行列式=P 0000a b ca cb bc a c b a 的值．解：方法1（利用定理5)将对行列式P 进行分块，=P AB BA ， 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00a a A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b c c b B ，则由定理5可得=P =A B B A B A +B A -⋅bc a ca b b c a c a b ----++= ))()()((c b a c b a b c a c b a ---+-+++=．方法2（降解法)将行列式P 按第一行展开，可得P ab c c b ca cbc a c b ba b a c a b bc a a 000000⋅-⋅+⋅= )()()(322223322c c b c a c ba bc b b a ac ab a -+---+-+-=222222444222c b c a b a c b a ---++=))()()((c b a c b a b c a c b a ---+-+++=．方法3（列归一法)将行列式的第2、3、4列都加到第1列．P 000a b c b a a c c b a b c c b a c b a c b a ++++++++=101011)(a b a c bc c b a c b a ++=cb a a b ca b a c cb bc a cb ac b a ---------++=0001)( cb a a bc a b a c cb bc a c b a ---------++=)( bca cb ac a bcb bc c b a c b a --++-----++-++=0)(bc a c a bc b b c c b a c b a -------+-++=001))((])()[)((22c a b c b a c b a ---+-++=))()()((c b a c b a b c a c b a ---+-+++=．此题看似简单，但若是计算方法不佳，计算起来也不会轻松．比较上面三种方法，可以看到，利用定理5计算此题极大的简化了计算过程．5.6 利用定理6计算行列式在利用定理6计算n 阶行列式时，要根据具体情况，把原来行列式的元素组成的矩阵分成两部分，其中一部分是n 阶可逆矩阵A ，该矩阵一般为对角矩阵，那么其行列式和逆矩阵比较容易求出；另一部分是n 维列向量α和β组成的乘积T αβ．这种分法是利用定理6计算n 阶行列式的难点，需要有较强的观察力．下面列举两个具体例子加以说明． 例11 计算行列式=D ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba n n n n ++++321321321321．解：方法1（利用定理6)令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b b b A，Tn a a a ),,,(21⋅⋅⋅=α，T )1,,1,1(⋅⋅⋅=β， 则=T βα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111 ()n a a a ,,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a a a a a a a a a 212121， 而且TA D βα+=，又由于n b A =，并且=-βα1A T∑=-ni iab11，从而由定理4知，)()1()1(11111∑∑=-=--+=+=+=+=ni i n ni i n T T a b ba b b A A A D βαβα．方法2（利用方阵特征值与行列式的关系) 令矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=b a a a a a ba a a a ab a a a a a ba A n n n n321321321321，则+=n bE A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n a a a a a aa a a 212121+n bE n A ．显然，n bE 的n 个特征值为b b b ,,, ，n A 的n 特征值为0,,0,0,1∑=n i i a ，故A 的特征值为b b b a b ni i ,,,,1 ∑=+，由方阵特征值与对应行列式的关系知=D )(11b a bni i n +∑=-．方法3（化三角形法)=D ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba n n nn ++++3213213213211001010100111321b a b a b a b a b n n +=101000010321b a b a b a b a b n n i i n∑==nb =)1(1+∑=ni i b a )(11b a b ni i n +=∑=-．例12 计算行列式nn n n n n b a x b a b a b a b a x b a b a b a b a x D +++=212221212111(1>n )．解：当0=x 时，0=D ；当0≠x 时，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x x A ，Tn T n b b b a a a ),,,(,),,,(2121 ==βα， 由此可得TA D αβ+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n Tb a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a2122212121112121),,,(αβ， 再因nx A =，且=-αβ1A T∑=-ni i i b a x11，由定理6可得)()1(111∑=--+=+=+=ni i i n T Tb a x xA A A D αβαβ．容易看出，运用定理6计算行列式也有一定的规律可循，计算这类行列式时一定要弄清它的结构，对行列式进行合理分块，这样计算过程会得到很大简化．6.总结：分块矩阵是矩阵计算问题中一种重要的技巧，尤其是在遇到高阶矩阵，复杂矩阵还有抽象矩阵的问题时，使用起来更为方便．参考文献[1] 李师正.高等代数解题方法现技巧[M].北京:高等教育出版社,2004[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003[3] 高白俊.分块矩阵的初等变换及其应用[J].伊犁师范学院学报,2007(12):15-17[4] 刘国良.分块矩阵行列式的一些结果[J]. 石家庄职业技术学院学报,2003(08):52-53[5] 胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报,2004(12):51-53[6] 高振兴.矩阵分块与应用[J].辽宁师范大学学报,2011(06):157-160[7] 王莲花，李念伟.分块矩阵在行列式计算中的应用[J].河南教育学院学报,2005(03):12-15[8] 张燕.分块矩阵行列式的性质及其应用[J].高等函授学报,2010(12):31-33[9] 廖军.分块矩阵求n阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校学报,2004(06):164-168[10] 吕智颖，李晓红，石国庆.分块行列式的第一降阶定理在行列式计算与证明中的应用[J].高师理科学刊,2005(2):11-13[11] 彭丽清.矩阵分块在行列式计算中的应用[J].忻州师范学院学报,2006(04):31-32。