7.3线段的长短比较(1)

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专题3 线段的长短比较-重难点题型

专题6.3 线段的长短比较-重难点题型【浙教版】【例1】（2021•鼓楼区校级模拟）如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD=12BC C．CD=12AB﹣BD D．CD＝AD﹣BC【解题思路】根据CD＝BC﹣BD和CD＝AD﹣AC两种情况和AC＝BC对各选项分析后即不难选出答案．【解答过程】解：∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC=12AB，A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，故本选项正确；B、D不一定是BC的中点，故CD=12BC不一定成立；C、CD＝BC﹣BD=12AB﹣BD，故本选项正确．D、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故本选项正确；故选：B．【变式1-1】（2021秋•荔湾区期末）延长线段AB到C，使BC=12AB，反向延长AC到D，使AD=12AC，若AB＝8cm，则CD＝18cm．【解题思路】根据题中线段的长度关系，即能求出CD的长度．【解答过程】解：如图，BC=12AB=4，AC＝AB+BC＝8+4＝12cm，AD=12AC=6，CD＝AD+AC＝12+6＝18cm．故答案为18．【变式1-2】（2021春•长兴县月考）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（）A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm【解题思路】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD＝1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．【解答过程】解：由题意可得，图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB＝（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB＝AB+AB+CD+AB＝3AB+CD，∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1，∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为21．故选：B．【变式1-3】（2021秋•天津期末）如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm．求CM和AD的长．【解题思路】设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm，求出AD＝10xcm，根据M为AD 的中点求出AM＝DM＝5xcm，列出方程，求出x，即可求出答案．【解答过程】解：设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm，则AD＝AB+BC+CD＝10xcm，∵M为AD的中点，∴AM＝DM=12AD＝5xcm，∵BM＝AM﹣AB＝6cm，∴5x﹣2x＝6，解得：x＝2，即AD＝10xcm＝20cm，DM＝5xcm＝10cm，CD＝3xcm＝6cm，∴CM＝DM﹣CD＝10cm﹣6cm＝4cm．【题型2 线段中点的有关计算】【例2】（2021春•松北区期末）如图，点G 是AB 的中点，点M 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，则下列式子不成立的是（）A ．MN ＝GBB ．CN =12(AG −GC)C ．GN =12(BG +GC)D ．MN =12(AC +GC)【解题思路】由中点的定义综合讨论，一一验证得出结论．【解答过程】解：A 、∵点G 是AB 的中点，点M 是AC 的中点，点N 是BC 的中点， ∴GB =12AB ，MC =12AC ，NC =12BC ， ∴MN ＝MC +NC =12AC +12BC =12AB ， ∴MN ＝GB ，故A 选项不符合题意； B 、∵点G 是AB 的中点， ∴AG ＝BG ，∴AG ﹣GC ＝BG ﹣GC ＝BC ， ∵NC =12BC ，∴NC =12（AG ﹣GC ），故B 选项不符合题意； C 、∵BG +GC ＝BN +NC +CG +GC ＝2CN +2CG ＝2GN ， ∴GN =12（BG +GC ），故C 选项不符合题意； D 、∵MN =12AB ，AB ＝AC +CB ， ∴MN =12（AC +CB ）， ∵题中没有信息说明GC ＝BC ，∴MN =12（AC +GC ）不一定成立，故D 选项符合题意．故选：D ．【变式2-1】（2021秋•邵阳县期末）如图，点C 、D 是线段AB 上任意两点，点M 是AC 的中点，点N 是DB 的中点，若AB ＝a ，MN ＝b ，则线段CD 的长是（）A ．2b ﹣aB ．2（a ﹣b ）C ．a ﹣bD ．12（a +b ）【解题思路】先由AB ﹣MN ＝a ﹣b ，得AM +BN ＝a ﹣b ，再根据中点的性质得AC +BD ＝2a ﹣2b ，最后由CD ＝AB ﹣（AC +BD ）即可求出结果．【解答过程】解：∵AB ＝a ，MN ＝b ， ∴AB ﹣MN ＝a ﹣b ，∴AM +BN ＝a ﹣b ，∵点M 是AC 的中点，点N 是DB 的中点， ∴AM ＝MC ，BN ＝DN ，∴AC +BD ＝AM +MC +BN +DN ＝2（AM +BN ）＝2（a ﹣b ）＝2a ﹣2b ． ∴CD ＝AB ﹣（AC +BD ）＝a ﹣（2a ﹣2b ）＝2b ﹣a ．故选：A ．【变式2-2】（2021秋•奉化区校级期末）两根木条，一根长10cm ，另一根长12cm ，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（） A ．1cmB ．11cmC ．1cm 或11cmD ．2cm 或11cm【解题思路】设较长的木条为AB ，较短的木条为BC ，根据中点定义求出BM 、BN 的长度，然后分两种情况：①BC 不在AB 上时，MN ＝BM +BN ，②BC 在AB 上时，MN ＝BM ﹣BN ，分别代入数据进行计算即可得解．【解答过程】解：如图，设较长的木条为AB ＝12cm ，较短的木条为BC ＝10cm ， ∵M 、N 分别为AB 、BC 的中点， ∴BM ＝6cm ，BN ＝5cm ，①如图1，BC 不在AB 上时，MN ＝BM +BN ＝6+5＝11cm ， ②如图2，BC 在AB 上时，MN ＝BM ﹣BN ＝6﹣5＝1cm ，综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm 或11cm ，故选：C ．【变式2-3】（2021秋•江岸区校级月考）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段MN ＝20，第一次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M 1，N 1；第二次操作：分别取线段AM 1和AN 1的中点M 2，N 2；第三次操作：分别取线段AM 2和AN 2的中点M 3，N 3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M 1N 1+M 2N 2+…+M 10N 10＝（）A ．20（12+122+123+⋯+1210） B ．20+1029 C ．20−10210 D ．20+10210 【解题思路】根据线段中点定义先求出M 1N 1的长度，再由M 1N 1的长度求出M 2N 2的长度，从而找到M n N n 的规律，即可求出结果．【解答过程】解：∵线段MN ＝20，线段AM 和AN 的中点M 1，N 1， ∴M 1N 1＝AM 1﹣AN 1 =12AM −12AN =12（AM ﹣AN ）=12MN=12×20 ＝10．∵线段AM 1和AN 1的中点M 2，N 2； ∴M 2N 2＝AM 2﹣AN 2 =12AM 1−12AN 1 =12（AM 1﹣AN 1） =12M 1 N 1=12×12×20 =122×20 ＝5．发现规律： M n N n =12n ×20 ∴M 1N 1+M 2N 2+…+M 10N 10 =12×20+122×20+123×20+⋯+1210×20 ＝20（12+122+123+⋯+1210）故选：A ．【题型3 线段n 等分点的有关计算】【例3】（2021春•东平县期末）如图，已知AB 和CD 的公共部分BD =13AB =14CD ，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离是10cm ，则AB 的长是 12cm ．【解题思路】设BD ＝x ，则AB ＝3x ，CD ＝4x ，由中点的定义可得EF =12（3x +4x ）＝10，即可求解x 值，进而可求得AB 的长．【解答过程】解：设BD ＝x ，∵BD=13AB=14CD，∴AB＝3x，CD＝4x，∵线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，∴EF＝BE+BF=12AB+12CD﹣BD=12（AB+CD）﹣BD=12（3x+4x）﹣x＝10cm，解得x＝4，∴AB＝3x＝12（cm）．故答案为12cm．【变式3-1】（2021春•奉贤区期末）如图，已知BD＝16cm，BD=25AB，点C是线段BD的中点，那么AC＝32cm．【解题思路】先由BD＝16cm，BD=25AB知AB=52BD＝40cm，再由点C是线段BD的中点知BC=12BD＝8cm，根据AC＝AB﹣BC求解可得答案．【解答过程】解：∵BD＝16cm，BD=25AB，∴AB=52BD=52×16＝40（cm），又∵点C是线段BD的中点，∴BC=12BD＝8cm，则AC＝AB﹣BC＝40﹣8＝32（cm），故答案为：32．【变式3-2】（2021秋•宝鸡期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，M、N两点分别从P、B出发以1cm/s、3cm/s的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线段BP上），运动时间为ts．（1）若M、N运动1s时，且PN＝3AM，求AP的长；（2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN＝3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ＝PQ+BQ，求PQ的长．【解题思路】（1）由AM+MP+PN+BN＝AB，列出方程可求AM的长，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；（3）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系．【解答过程】解：（1）根据M、N的运动速度可知：BN＝3cm，PM＝1cm，∵AM+MP+PN+BN＝AB，且PN＝3AM，∴AM+1+3AM+3＝12，∴AM＝2cm，∴AP＝3cm；（2）长度不发生变化，理由如下：根据M、N的运动速度可知：BN＝3PM，∵AM+MP+PN+BN＝AB，且PN＝3AM，∴4AM+4PM＝12，∴AP＝3cm，（3）如图：∵AQ＝PQ+BQ，AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6cm；当点Q'在AB的延长线上时，AQ′﹣AP＝PQ′，所以AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝12cm．综上所述，PQ＝6cm或12cm．【变式3-3】（2021秋•甘井子区期末）已知，点D是射线AB上的点，线段AB＝4a，BD ＝nAB（0＜n＜1），点C是线段AD的中点．（1）如图1，若点D在线段AB上，当a＝1，n=12时，求线段CD的长；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，当n=12时，求线段CD的长；（用含a的式子表示）（3）若点D在射线AB上，请直接写出线段CD的长2a﹣2na或2a+2na．（用含a 和n的式子表示）【解题思路】（1）根题意求得AB与BD的长，利用线段间数量关系求得AD的长，然后根据线段中点定义求CD的长；（2）解题思路同第（1）问；（3）利用（1）（2）问的解题思路，分点D在线段AB和AB延长线上两种情况分类解答．【解答过程】解：（1）∵a ＝1，n =12， ∴AB ＝4a ＝4， BD ＝nAB =12AB ＝2， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝4﹣2＝2， ∵点C 是线段AD 的中点， ∴CD =12AD =1．（2）∵n =12，AB ＝4a ， ∴BD ＝nAB =12AB ＝2a ， ∴AD ＝AB +BD ＝4a +2a ＝6a ， ∴CD =12AD ＝3a ．（3）①当点D 在线段AB 上时， ∵AB ＝4a ，BD ＝nAB ＝4na ， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝4a ﹣4na ，∴CD =12AD =12（4a ﹣4na ）＝2a ﹣2na ． ②当点D 在线段AB 延长线上时， ∵AB ＝4a ，BD ＝nAB ＝4na ， ∴AD ＝AB +BD ＝4a +4na ，∴CD =12AD =12（4a +4na ）＝2a +2na ．综上，线段CD 的长为：2a ﹣2na 或2a +2na ．故答案为：2a ﹣2na 或2a +2na ．【题型4 线段的数量关系】【例4】（2021秋•江门期末）如图，点B 在线段AC 上，D 是AC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则BD ＝（）A ．12b −12a B ．12a −12b C ．b −12aD ．a −12b【解题思路】根据已知条件可得AC ＝AB +BC ＝a +b ，由D 是AC 的中点，可得CD =12AC ，由题意可知BD ＝BC ﹣CD ，代入计算即可得出答案．【解答过程】解：∵AB ＝a ，BC ＝b ， ∴AC ＝AB +BC ＝a +b ， ∵D 是AC 的中点，∴CD =12AC =12a +12b ， ∵BC ＝b ，∴BD ＝BC ﹣CD ＝b ﹣（12a +12b ）=12b −12a ．故选：A ．【变式4-1】（2021秋•沙湾区期末）如图，已知A ，B ，C ，D 是同一直线上的四点，看图填空：AC ＝ AB +BC ，BD ＝AD ﹣ AB ，AC ＜ AD ．【解题思路】从图上可以直观的看出各线段的关系及大小．【解答过程】解：由图可知各线段的关系为AC ＝AB +BC ，BD ＝AD ﹣AB ，AC ＜AD ．故答案为AB ；AB ；AD ．【变式4-2】（2021春•莱阳市期末）线段AB 的长为2cm ，延长AB 到点C ，使AC ＝3AB ，再延长BA 到点D ，使BD ＝2BC ，则线段CD 的长为 12 cm ．【解题思路】根据已知分别得出BC ，AD 的长，即可得出线段CD 的长．【解答过程】解：∵线段AB ＝2cm ，延长AB 到C ，使AC ＝3AB ，再延长BA 至D ，使BD ＝2BC ，∴BC ＝2AB ＝4cm ，BD ＝4AB ＝8cm ， ∴AD ＝BD ﹣AB ＝3AB ＝6cm∴CD ＝AD +AB +BC ＝6+2+4＝12（cm ），故答案为：12．【变式4-3】（2021秋•成都期末）已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D ，E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若AB ＝15，DE ＝6，线段DE 在线段AB 上移动． ①如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；②点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，AF ＝3AD ，CF ＝3，求AD 的长；【解题思路】根据已知条件得到BC ＝5，AC ＝10，①由线段中点的定义得到CE ＝2.5，求得CD ＝3.5，由线段的和差得到AD ＝AC ﹣CD ＝10﹣3.5＝6.5；②如图1，当点F 在点C 的右侧时，当点F 在点C 的左侧时，由线段的和差即可得到结论；【解答过程】解：∵AC ＝2BC ，AB ＝15，∴BC ＝5，AC ＝10， ①∵E 为BC 中点， ∴CE ＝2.5， ∵DE ＝6， ∴CD ＝3.5，∴AD ＝AC ﹣CD ＝10﹣3.5＝6.5； ②如图1，当点F 在点C 的右侧时， ∵CF ＝3，BC ＝5， ∴AF ＝AC +CF ＝13， ∴AD =13AF =133；当点F 在点C 的左侧时，∵AC ＝10，CF ＝3， ∴AF ＝AC ﹣CF ＝7， ∴AF ＝3AD ＝7， ∴AD =73；综上所述，AD 的长为133或73；【题型5 两点之间线段最短】【例5】（2021春•莱州市期末）如图，A ，C 两村相距6km ，B ，D 两村相距5km ．现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村的距离之和最小．下列说法正确的是（）A ．自来水厂应建在AC 的中点B ．自来水厂应建在BD 的延长线上C ．自来水厂到四个村的距离之和最小为11kmD ．自来水厂到四个村的距离之和可能小于11km【解题思路】根据线段的性质：两点之间，线段最短；结合题意，要使自来水厂与四个村的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．【解答过程】解：如图所示，连接AC，BD交于点E，在平面内任取一点E'，连接AE'，BE'，CE'，DE'，∵AE'+CE'≥AC，BE'+DE'≥BD，∴AE'+CE'+BE'+DE'≥BD+AC＝11km，∴当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为11km，故选：C．【变式5-1】（2021秋•丛台区校级期末）下列生活，生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解题思路】①②根据“两点确定一条直线”解释，③④根据两点之间线段最短解释．【解答过程】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线根据“两点确定一条直线”，故选：A．【变式5-2】（2021秋•兴义市期末）如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是两点之间，线段最短．【解题思路】根据连接两点的所有线中，线段最短的公理解答．【解答过程】解：∵蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路，只有AC是直线段，∴沿AC爬行一定是最短路线，其科学道理是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【变式5-3】（2021秋•渠县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？【解题思路】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．【解答过程】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；情景二：（需画出图形，并标明P点位置）理由：两点之间的所有连线中，线段最短．赞同情景二中运用知识的做法．应用数学知识为人类服务时应注意应用数学不能以破坏环境为代价．【题型6 两点间的距离】【例6】（2021秋•罗湖区校级期末）如果在数轴上的A、B两点所表示的有理数分别是x，y，且|x|＝3，|y|＝1，则A，B两点间的距离是（）A．4B．2C．4或2D．以上都不对【解题思路】先根据绝对值的性质求出x，y的值，再分两种情况讨论，当x与y是同号时和x与y是异号时，然后根据距离公式即可求出答案．【解答过程】解：∵|x |＝3，∴x ＝±3，∵|y |＝1，∴y ＝±1，∴当x 与y 是同号时，A 、B 两点间的距离是2；当x 与y 是异号时，A 、B 两点间的距离是4；∴A 、B 两点间的距离是2或4；故选：C ．【变式6-1】（2021秋•奉化区校级期末）如图，已知点A 、点B 是直线上的两点，点C 在线段AB 上，且BC ＝4厘米．点P 、点Q 是直线上的两个动点，点P 的速度为1厘米/秒，点Q 的速度为2厘米/秒．点P 、Q 分别从点C 、点B 同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段PQ 的长为5厘米．【解题思路】由于BC ＝4厘米，点P 、Q 分别从点C 、点B 同时出发在直线上运动，当线段PQ 的长为5厘米时，可分三种情况进行讨论：①点P 向左、点Q 向右运动；②点P 、Q 都向右运动；③点P 、Q 都向左运动；④点P 向右、点Q 向左运动；都可以根据线段PQ 的长为5厘米列出方程，解方程即可．【解答过程】解：设运动时间为t 秒．①如果点P 向左、点Q 向右运动，由题意，得：t +2t ＝5﹣4，解得t =13；②点P 、Q 都向右运动，由题意，得：2t ﹣t ＝5﹣4，解得t ＝1；③点P 、Q 都向左运动，由题意，得：2t ﹣t ＝5+4，解得t ＝9．④点P 向右、点Q 向左运动，由题意，得：2t ﹣4+t ＝5，解得t ＝3．综上所述，经过13或1或3秒9秒时线段PQ 的长为5厘米．【变式6-2】（2021秋•秦淮区期末）直线l 上的三个点A 、B 、C ，若满足BC =12AB ，则称点C 是点A 关于点B 的“半距点”．如图1，BC =12AB ，此时点C 就是点A 关于点B 的一个“半距点”．若M 、N 、P 三个点在同一条直线m 上，且点P 是点M 关于点N 的“半距点”，MN ＝6cm ．（1）MP ＝ 3cm 或9 cm ；（2）若点G 也是直线m 上一点，且点G 是线段MP 的中点，求线段GN 的长度．【解题思路】（1）根据点P 是点M 关于点N 的“半距点”，可得PN =12MN ，分两种情况画图求解；（2）根据点G 是线段MP 的中点，结合（1）分两种情况即可求线段GN 的长度．【解答过程】解：（1）如图所示：∵点P 是点M 关于点N 的“半距点”，∴PN =12MN ，①∵MN ＝6cm ．P 1N =12MN ＝3cm ，∴MP 1＝MN ﹣P 1N ＝3cm ；②∵MN ＝6cm ．P 2N =12MN ＝3cm ，∴MP 2＝MN +P 2N ＝9cm ；∴MP ＝3cm 或9cm ；故答案为：3cm 或9；（2）如图所示：①点G 1是线段MP 1的中点，∴MG 1=12MP 1=32cm ，∴G 1N ＝MN ﹣MG 1＝6−32=92（cm ）；②点G 2是线段MP 2的中点，∴MG 2=12MP 2=92cm ，∴G 2N ＝MN ﹣MG 2＝6−92=32（cm ）．∴线段GN 的长度为92cm 或32cm ．【变式6-3】（2021秋•姜堰区期末）如图，点C 在线段AB 上，AC ＝6cm ，CB ＝4cm ，点M 以1cm /s 的速度从点A 沿线段AC 向点C 运动；同时点N 以2cm /s 从点C 出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．（1）当t＝1时，求MN的长；（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．【解题思路】（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm；（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t ＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t＝2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t=14 3；（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．【解答过程】解：（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm），∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）；（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，∴0≤t≤6，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2tcm，∵点C为线段MN的中点，∴MC＝CN，即6﹣t＝2t，解得：t＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm，∵点C为线段MN的中点，∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t，解得：t＝2（舍去）；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，∵点C为线段MN的中点，∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8，解得：t=14 3；综上所述，当t ＝2或143时，点C 为线段MN 的中点.（3）如图2，①当0≤t ≤2时，点N 从C 向B 运动，CN ＝2tcm ，∵点P 是线段CN 的中点，∴CP =12CN ＝tcm ，∴PM ＝MC +CP ＝6﹣t +t ＝6cm ，此时，PM 的长度保持不变；②当2＜t ＜4时，点N 从B 向C 运动，CN ＝（8﹣2t ）cm ，∵点P 是线段CN 的中点，∴CP =12CN =12（8﹣2t ）＝（4﹣t ） cm ，∴PM ＝MC +CP ＝6﹣t +（4﹣t ）＝（10﹣2t ）cm ，此时，PM 的长度变化；③当4≤t ≤6时，点N 从C 向B 运动，CN ＝（2t ﹣8）cm ，∵点P 是线段CN 的中点，∴CP =12CN =12（2t ﹣8）＝（t ﹣4）cm ，∴PM ＝MC +CP ＝6﹣t +（t ﹣4）＝2cm ，此时，PM 的长度保持不变；综上所述，当0≤t ≤2或4≤t ≤6时，使PM 的长度保持不变；PM 的长度分别为6cm 或2cm ．【题型7 简单的线段的长短比较】【例7】（2021秋•攀枝花校级期中）从A 地到B 地有两条路，第一条从A 地直接到B 地，第二条从A 地经过C ，D 到B 地，两条路相比，第一条的长度＝第二条的长度（填“＜”“＞”“＝”）【解题思路】由图可得，大圆的直径为小圆直径的3倍，根据周长C ＝πd 求出半圆的周长，然后对两个路径进行比较即可．【解答过程】解：设小圆的直径为d ，则大圆的直径为3d ，则第一条线路的长度为：π•3d ÷2＝1.5πd ，第二条线路的长度为：3πd ÷2＝1.5πd ，故这两条线路长度一样．故答案为：＝．【变式7-1】（2021秋•双流区期末）体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）A．M B．N C．P D．Q【解题思路】比较线段OM、ON、OP、OQ的长短即可．【解答过程】解：由点M、N、P、Q所在扇形区域中的位置可知，OP＞ON＞OQ＞OM，故选：C．【变式7-2】（2021秋•南海区期末）我们知道，比较两条线段的长短有两种方法：一种是度量法，是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较；另一种方法是叠合法，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较．（1）已知线段AB，C是线段AB上一点（如图①）．请你应用叠合法，用尺规作图的方法，比较线段AC与BC的长短，并简单说明理由（要求保留作图痕迹）；（2）如图②，小明用刻度尺量得AC＝4cm，BC＝3cm，若D是AC的中点，E是BC的中点，求DE的长．【解题思路】（1）先以点A为圆心，以BC的长为半径画圆，此圆与直线AB相交于点B′，则线段AB′的即为线段BC的长；（2）先根据D是AC的中点，E是BC的中点求出CD及CE的长，故可得出结论．【解答过程】解：（1）如图所示：；（2）∵AC＝4cm，BC＝3cm，D是AC的中点，E是BC的中点，∴CD=12AC=12×4＝2cm，CE=12BC=12×3＝1.5cm，∴DE＝CD+CE＝2+1.5＝3.5cm．【变式7-3】（2021秋•宁波期末）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a ＜b＜c、abc＜0和a+b+c＝0．那么线段AB与BC的大小关系是（）A．AB＞BC B．AB＝BC C．AB＜BC D．不确定的【解题思路】先根据a＜b＜c、abc＜0和a+b+c＝0判断出a、b、c的符号及关系，再根据数轴上两点间的距离比较出线段AB与BC的大小即可．【解答过程】解：∵a＜b＜c，abc＜0，a+b+c＝0，∴a＜0，b＞0，c＞0，|a|＝b+c，∴AB＝|a﹣b|＝b﹣a＞|a|，BC＝|b﹣c|＝c﹣b＜|a|，∴AB＞BC．故选：A．【题型8 与线段的长短比较有关的应用】【例8】（2021秋•南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB＝1500m，BC＝1000m，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．A住宅区B．B住宅区C．C住宅区D．B、C住宅区中间D处【解题思路】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答【解答过程】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×1500+45×2500＝142500m；当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×1500+45×1000＝67500m；当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×2500+20×1000＝57500m；当停靠点在D区时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：15×（1500+x）+20x+45（1000﹣x）＝﹣10x+67500，由于k＝﹣10，所以，x越大，路程之和越小，∴当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和最小．故选：C．【变式8-1】（2021秋•海淀区校级期中）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2…A7，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③【解题思路】可结合题意及图，直接对三个选项本身进行分析，确定对错．【解答过程】解：①通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故正确；②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果一样，故错误；③工厂到车站的距离是线段的长，和各段的弯曲的小公路无关，故正确；故选：C．【变式8-2】一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k＝1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼150米处．【解题思路】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案．【解答过程】解：假设车站距离1号楼x米，则总距离S＝|x|+2|x﹣50|+3|x﹣100|+4|x﹣150|+5|x﹣200|，①当0≤x≤50时，S＝2000﹣13x，最小值为1350；②当50≤x≤100时，S＝1800﹣9x，最小值为900；②当100≤x≤150时，S＝1200﹣3x，最小值为750（此时x＝150）；当150≤x≤200时，S＝5x，最小值为750（此时x＝150）．∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米．故答案为：150．【变式8-3】（2021•烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形．如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择．不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．【解题思路】（1）分n为偶数时，n为奇数时两种情况讨论P应设的位置．（2）根据绝对值的几何意义，找到1和617正中间的点，即可求出|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．【解答过程】解：（1）当n为偶数时，P应设在第n2台和（n2+1）台之间的任何地方，当n为奇数时，P应设在第n+12台的位置．（2）根据绝对值的几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣617|的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x＝309时，原式的值最小，最小值是308+307+…+1+1+2+…+308＝95172．。

浙教版七年级上第七章 7.3 线段长短的比较(2)

6、如图，B、C 两点把线段 AD 分成 2：4：3 三部分，点 P 是 AD 的中点，CD=6，求线段 PC 的长。
A
D
B
P
C
教后随笔
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
1．线段的中点的概念。
2．线段的性质：两点之间线段最短。
3．两点之间的距离：两点之间线段的长度。
四、布置作业
1、点 M 在线段 AB 上，现有四个等式（1）AM=BM （2）BM= 1 AB （3）AB=2BM 2
（4）AM+BM=AB，其中能表示 M 是 AB 的中点的等式有（
）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
简单地说：两点之间线段最短
18，
（1）从上面的两个事例中，你能发
思考课前预习 4
现有什么共同之处？
两点间的距离：两点之间的线段的长度叫做
（2）你是怎样比较出最短的路线
这两点之间的距离。
的？（观察和测量）
注意：距离的含义是线段的长度。
课堂练习三：
1. 课前预习 3.
三、课堂小结
2. P161 作业题 6
2．例题设计：
⑴CD=BD=AC= ，AB= ；
例 3：如图，点 P 是线段的中点，点 C、D
把线段 AB 三等分。已知线段 CP 的长为 1.5cm，
求线段 AB 的长。?⑵点 C 是线段的中点，线
段 BC 的中点是点
。
⑶在上述条件下，若点 P 是线段
A
C
P
D
ABB的中点，则 AP=
,
1.5cm
课题
7.3 线段的长短比较（第二课时）
教学目标
1、理解线段中点的概念及表示方法和两点间距离的概念 2、学会线段中点的简单应用 3、借助具体情境，了解“两点间线段最短”这一性质，并学会简单应用

线段的长短比较

线段的长短比较线段是数学中的基本概念之一，它具有长度和两个端点，我们可以通过比较线段的长短来进行不同对象的大小比较。

在本文中，我们将探讨线段的长短比较以及相关的数学原理和实际应用。

1. 线段的表示方法线段通常用两个端点表示，如AB可以表示线段AB。

我们可以通过测量两个端点之间的距离来得到线段的长度，即线段的长短。

2. 如何比较线段的长短要比较线段的长短，我们需要测量线段的长度并进行比较。

一种简单的方法是使用尺子或测量工具来直接测量线段的长度，然后将结果相互比较。

另一种方法是使用数学公式。

设线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，我们可以比较它们的大小，即a>b或a<b，来判断线段的长短关系。

3. 数学原理线段的长度可以用数学上的绝对值来表示，即一个非负数。

两个端点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离可以使用勾股定理来计算：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，√表示平方根运算，^表示乘方运算。

通过计算两个线段的长度，我们可以比较它们的大小。

4. 实际应用线段的长短比较在几何学、物理学和工程学等领域中起着重要的作用。

在几何学中，我们可以比较不同线段的长度，从而确定图形的形状和大小关系。

在物理学中，线段的长短比较可以用来描述物体的尺寸和距离。

在工程学中，我们可以根据线段的长短来设计和制造具有特定尺寸要求的产品。

总结：通过比较线段的长度，我们可以确定线段的长短关系。

线段的长度可以通过测量工具或数学公式来计算。

线段的长短比较在数学、物理和工程学等领域中有着广泛的应用。

深入理解线段的长短比较可以帮助我们在解决实际问题时做出更准确的判断和决策。

线段的比较

7.3 线段的长短比较（2）主编王慧灵姓名班级一、学习目标1．理解线段中点的概念及表示方法和两点间距离的概念2．学会线段中点的简单应用3．借助具体情境，了解“两点间线段最短”这一性质，并学会简单应用二、导学问题问题1：阅读教材相关内容，明白线段中点及其相关的定义，并解答：（1）如图，点C 把线段AB 分成相等的两条线段AC 和BC ，_______叫做线段AB 的中点。

（2）用字母表示为：____________________或________________________。

（3）如图，已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的中点，完成下列填空： ①AB=_______BC ，BC=________AD ；②BD=_______AD （4）如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的中点的是( )A 、AC=CB B 、AB=2AC C 、AC+CB=ABD 、CB=21AB （5）已知线段AB 的长度为2cm ，延长线段AB 至点C ，使BC ＝AB.①AC=__________；点B 是线段AC 的_________②画图：延长线段BA 至点D ，使AD ＝AB.问题2：仿照教材中例3解答：已知线段AB=4 cm ，点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是线段AC 和线段BC 的中点，求线段MN 的长度。

需要写清楚推理的过程。

★问题3：已知线段AB=a ，延长BA 至点C ，使AC=21AB 。

点D 为线段BC 的中点。

求CD 的长。

请画出图形，并进行解答问题4：阅读教材P160的事例，并回答（1）为什么小狗总是选择笔直的道路？_________________________________（2）右图中小明将选择____；为什么？（3）这里可以得到什么结论?A C D BA B 学校1路2路3路4路小明家（4）在现实生活中，哪些时候运用了上述性质。

请举两例★（5）下列说法正确的是( )A.连结两点的线段叫做两点间的距离B.连结两点的直线的长度叫做两点间的距离C.乘火车从杭州到上海要走210千米，就是杭州站与上海站间的距离为210千米D.连结两点的线段的长度叫做两点间的距离问题5：给出一条线段a ，请把它两等分★给出一条线段b ，请把它三等分自学思考：本课的预学你有哪些困惑？在书本上做上你的记号。

初一数学《比较线段的长短》知识点精讲

初一数学《比较线段的长短》知识点精讲知识点总结1、线段的性质：两点之间，线段最短。

2、两点之间的距离：两点之间线段的长度叫做两点之间的距离。

3、比较线段长短的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法4、线段的中点：在线段上，到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点。

5、尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规作图6、用尺规作线段：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一条线段等于已知线段的二倍；（3）作一条线段等于已知线段的和或差。

其方法是相同的，都是先画一条射线，然后用圆规在射线上截取即可，注意保留作图痕迹，画完图形后写出总结“某某线段即为所求作的线段”。

尺规作图的定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.线段的中点：如下图，若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时点B叫做线段AC的中点．3. 用尺规作线段或比较线段（1）作一条线段等于已知线段：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.（2）线段的比较：叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法．如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有A、B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定?【答案与解析】解：如图，连接AB与直线a交于点C，这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置．【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．举一反三：【变式】(1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．【答案】解：(1)河道的长度变小了．(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．思维导图教学设计一、教材分析：1、教材的地位和作用本节课是教材第五章《平面图形及其位置关系》的第二节，是平面图形的重要的基础知识。

线段长短的比较方法

线段长短的比较方法
比较线段的长短有几种常见的方法：
1. 直接比较：直接将两个线段的长度进行比较，如果一方的长度大于另一方，则认为该线段较长。

这是最直观的比较方法。

2. 比较两个线段的长度平方：对于两个线段A和B，可以分别计算出它们的长度平方A^2和B^2，然后比较这两个值的大小。

长度平方比较的好处是避免了使用开方运算，提高了计算的效率。

这种比较方法在一些算法中被广泛使用。

3. 比较两个线段的斜率：对于两个线段A和B，可以计算出它们分别的斜率，然后比较这两个斜率的大小。

斜率的计算可以使用直角坐标系中的斜率公式，即斜率=（终点纵坐标-起点纵坐标）/（终点横坐标-起点横坐标）。

注意，在计算斜率时需要排除斜率无穷大的情况（即分母为零的情况）。

需要注意的是，这些比较方法并不是绝对的，不同的场景和需求可能需要选择不同的比较方法。

此外，在进行线段比较时还需要考虑一些特殊情况，如线段的方向性、重合度等。

华师大版数学七年级上册《线段的长短比较》教学设计

华师大版数学七年级上册《线段的长短比较》教学设计一. 教材分析《线段的长短比较》是华师大版数学七年级上册的一章内容，主要介绍了线段的长度比较方法。

本章节在学生的数学知识体系中占据重要地位，为学生后续学习几何图形和其他复杂数学概念打下基础。

教材通过生动的图形和实例，引导学生理解线段长度比较的方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经掌握了初步的数学知识，包括实数运算、图形认知等。

但他们对线段的认知仍较为基础，对线段长度比较的方法和技巧尚不熟悉。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过合适的教学方法激发学生的学习兴趣，帮助他们理解和掌握线段长度比较的方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解线段长度比较的方法，能够运用相关知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：线段长度比较的方法及其应用。

2.难点：对线段长度比较方法的理解和灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和图形，激发学生学习兴趣，引导学生主动探究。

2.启发式教学法：提问引导学生思考，培养学生解决问题的能力。

3.合作学习法：小组讨论、分享，提高学生交流和合作能力。

4.实践操作法：让学生亲自动手操作，加深对知识的理解和记忆。

六. 教学准备1.准备相关图形和实例，用于课堂演示和练习。

2.准备课件，辅助教学。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：比较两条线段的长度。

例如，教室的长度为10米，宽度为8米，请问哪条线段更长？引导学生思考并回答问题。

2.呈现（10分钟）展示一些线段，让学生观察并尝试比较它们的长度。

通过实际操作，引导学生发现线段长度比较的方法。

同时，讲解线段长度比较的原理，引导学生理解。

7.3 《线段的长短比较》课件浙教版 (7)

7.3 线段的长短比较(1)
合作学习
这里有两条绳子,请你来比较它们的长短, 你会用什么方法呢? 黑板上画有两条线段你又用什么方法来比较它们的长短呢? 请同学们总结一下比较线段的大小有哪些方法 : 一种方法是利用圆规比较线段的长短;另一种方法是用刻度尺量出各线段的长度来比较线段的长短.
叠合法和度量法
A
A
(第1题)
B
(1)
a b
(2) c
d
例1 已知线段 a (如图7-11),用直尺和圆规
画一条线段,使它等于已知线段 a. a 画法: 1.任意画一条射线AC. 2.用圆规量取已知线段a的长度. 3.在射线AC上截取AB= a. 线段AB就是所求的线段.
如图 7-11
例2 已知线段a,b(如图 7-13),画一条线段c,使它等于两条已知线段的长度的和.(利用直尺和圆规) a 画法: a
A B
b b
如图 7-13
1.画射线AD.
C
D
2.用圆规在射线AD上截取AB=a. 3.用圆规在射线BD上截取BC=b. 线段AC就是所求的线段c. 已知线段a,b.画一条线段d,使它等于两条线段的差吗?
补充例题:
已知线段a,b画一条线段c,使它的长度等于3a-b
(利用直尺和圆规). 画法: 1.画射线AF. a
A
a
b ba
C
D D
a
B
E
F
2.用圆规在射线AF上截取AB=BC=CD=a. 3. 在线段AD上截取DE=b. 线段AE就是所求的线段c. (或线段AE=3a-b)
.
. .
.
课内练习P.1各对线段的大小呢?
A A/ AB < A/B/ 或A/B/ >AB B

浙教版七年级上册同步练习7.3

浙教版七年级上册同步练习7.3.1 线段的长短比较（一）[基础训练]1、下列图形中，可以比较长短的是（）A 、两条射线B 、两条线段C 、两条直线D 、直线与射线 2、比较两条段的长短，常用的方法有和。

3、比较两条线段a 和b 的大小，结果可能有种情况，它们是。

4、比较下列各组线段的长短。

5、如图，比较三角形三条边的大小，并用“<”号把它们从小到大连接起来。

6、已知线段a ，利用尺规，求作一条线段AB ，使AB=2a 。

[综合提高]a baba babBa一、选择题1、下列说法正确的是（）A、线段、射线、直线中，直线最长B、直线的长是射线的2倍C、画出A、B两点间的长度D、点C在线段AB上，则AB≧CB2、平面上有A、B、C三点，已知AB=8cm,BC=5cm,则AC的长是（）A、13cmB、3cmC、13cm或3cmD、不能确定二、填空题3、如图，点C在线段AB上，（1）AB=（）+（）（2）AC=（）―（）(3)若线段AB=5cm,BC=3cm,则图中最短的线段是。

4、画直线L，并在直线L上截取线段AB=5cm，再在直线L上截取线段BC=2cm，则线段AC的长是。

三、解答题5、已知线段a、b，利用尺规，求作一条线段AB，使AB=a+2ba b6、已知线段a、b，利用尺规，求作一条线段MN，使MN=2a-b 。

a b7、已知线段a和两条相交直线AB、CD（交点为O），利用尺规按下列要求画图：（1）分别在射线OA、OB、OC、OD上作线段OA’、OB’、OC’、OD’，使它们等于线段a。

（2）顺次连结A’、B’、C’、D’。

（3）想一想，得到一个什么四边形？ A COaD B8、找一份地图，只用圆规，比较一下，北京、上海、西安两个城市之间的距离大小。

9、[探究创新]如图，三角形ABC中，AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm，用刻度尺作出每条边上的中点并顺次连它们，得到什么样的图形？量一量组成这个图形的各边的长度，并算出三角形ABC和你得到的图形的周长，发现它们之间有什么联系？再画几个三角形，重复上述过程，是否还存在你发现的规律？B§ 7.3.2 线段的长短比较（2）[基础训练]1、A、B两点间的距离是指（）A、过A、B两点间的直线；B、连结A、B两点间的线段；C、直线AB的长；D、连结A、B两点间的线段长2、下列四个语句中正确的是（）A、如果AP=BP，那么点P是AB的中点；B、两点间的距离就是两点间的线段C、两点之间，线段最短D、比较线段的长短只能用度量法3、已知A在数轴上表示的数，则与点A的距离为2个单位的点有（）A、0个B、1个C、2个D、无数个4、两点之间的所有连线中，线段，两点之间线段的，叫做这两点之间的距离。

7.3 《线段的长短比较》课件浙教版 (4)

（1）
学校
（ 2）（ 3）
小明家
线段的性质：
在所有连结两点的线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。
连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离。
Ａ
Ｂ
20千米
（ 1 ）如图：这是 A 、 B 两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A、B两地行程最短，应如何设计线路？在图中画出。你的理由是
1（1）用刻度尺量出下图中三角形三条边的长：
AC= cm；BC= cm；AB= cm；
（2）用“=”“〈”或“〉”号填入下面的空格：
AC BC，AC AB，AB BC。 C
2、用圆规比较下列各对线段的长短：（1 ）
a
（2 ）
b
d A B
例.已知线段a，用直尺和圆规画一条线段，使它等于已知线段a
生活中的长短的比较ຫໍສະໝຸດ 怎样比较两个同学的高矮?叠合法
度量法
测测你的眼力吧！
观察下列三组图形，你能看出每组图形中线段a与b的长短吗?
a
(1)
b
b a (3) b (2) a
议一议：怎样比较两条线段AB、 CD的长短？
• A
• B
线段的比较：
第一种方法是：度量法，即用一把尺量出两条线段的长度，再进行比较。
3.1cm
4.1cm
00
11
22
33
44
55
66
77
88
第二种方法是：叠合法先把两条线段的一端重合，另一端落在同侧，根据另一端落下的位置来比较长短.
C E M
D F N B B B AB＞CD AB=EF AB＜MN
①A
②A ③A

《6.3线段的长短比较》作业设计方案-初中数学浙教版12七年级上册

《线段的长短比较》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应能够熟练掌握线段的长短比较方法，能正确运用线段比较的基本原理，理解并掌握相关概念，提高空间想象能力和数学应用能力。

二、作业内容（一）复习与预习1. 复习前课知识点，巩固线段的基本概念及表示方法。

2. 预习本课内容，了解线段长短比较的基本原理和方法。

（二）知识点讲解1. 线段的概念及表示方法：详细讲解线段的概念，让学生明确线段的定义及表示方式。

2. 线段的长短比较方法：介绍并演示线段长短比较的常用方法，如直尺法、垂线法等。

（三）课堂练习1. 基础练习：提供几组线段，让学生运用所学知识进行长短比较。

2. 进阶练习：设置更复杂的线段比较问题，提高学生的应用能力。

（四）作业布置1. 书面作业：发放线段长短比较的练习题，要求学生独立完成并提交。

2. 实践作业：要求学生在家中寻找实际生活中的线段长短比较问题，并尝试用所学知识解决。

三、作业要求（一）书面作业要求1. 学生需按照题目要求，认真完成线段长短比较的练习题。

2. 学生在完成作业过程中，应注重思路的清晰和步骤的完整。

3. 学生在提交作业时，应保证字迹工整、答案准确。

（二）实践作业要求1. 学生需在生活中寻找实际例证，如建筑物、道路标志等。

2. 学生需用所学知识对实际例证中的线段进行长短比较，并记录下来。

3. 学生需在实践过程中，注重观察、思考和总结，提高解决问题的能力。

四、作业评价（一）评价标准1. 书面作业评价：根据学生完成练习题的正确率、思路清晰程度和步骤完整性进行评价。

2. 实践作业评价：根据学生寻找的实际例证是否恰当、线段长短比较是否准确、记录是否详细进行评价。

（二）评价方式1. 教师批改：教师对学生的书面作业和实践作业进行批改，给出评价和指导。

2. 同学互评：鼓励学生之间互相评价作业，提高自我学习和合作学习能力。

五、作业反馈（一）教师反馈：教师根据学生的作业情况，给出针对性的指导和建议，帮助学生更好地掌握知识点。

线段长短的比较详细版课件

线段长短的比较详细版课件一、教学内容本节课我们将学习人教版小学数学四年级上册第七单元《线与角》中的第一课《线段长短的比较》。

详细内容涉及：1. 理解线段的定义；2. 学会使用直尺、三角板等工具比较线段的长度；3. 掌握线段长短的比较方法。

二、教学目标1. 让学生理解线段的概念，能准确描述线段的特点；2. 培养学生使用工具比较线段长短的能力，提高动手操作能力；3. 使学生掌握线段长短的比较方法，并能应用于实际问题。

三、教学难点与重点教学难点：线段长短的比较方法。

教学重点：线段的概念、使用工具比较线段长短。

四、教具与学具准备教具：直尺、三角板、教学课件。

学具：直尺、三角板、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入展示生活中常见的线段，如尺子、绳子、铅笔等，引导学生观察并提问：“你们知道这些物体的长度是怎么比较的吗？”2. 新课导入（1）讲解线段的概念，引导学生理解线段的特点；（2）介绍直尺、三角板等工具的使用方法；（3）演示如何使用工具比较线段的长度。

3. 例题讲解（1）给出两个线段，引导学生使用工具进行比较；（2）讲解比较方法，强调比较时要保持工具的稳定；（3）让学生尝试自己解决问题，教师巡回指导。

4. 随堂练习（1）出示练习题，让学生独立完成；（2）针对学生的错误，进行讲解和指导；5. 课堂小结六、板书设计1. 线段定义2. 线段特点3. 比较方法4. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：（1）比较下面两个线段的长度：线段①：AB，线段②：CD。

线段①：3cm，线段②：4cm。

2. 答案：（1）线段①：AB，线段②：CD。

答案：线段①比线段②短。

（2）线段①：3cm，线段②：4cm。

答案：线段②比线段①长。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线段的概念和比较方法掌握情况较好，但仍有个别学生在使用工具时操作不熟练，需要在课后加强练习。

2. 拓展延伸：（1）引导学生思考：除了直尺、三角板，还有哪些工具可以用来比较线段的长度？（2）让学生尝试解决更复杂的线段比较问题，如：比较两个线段的长度，其中一个线段弯曲。

线段的长短比较(1)

线段的长短比较
平昌县得胜中学
考考你的眼力：
比较（1）和（2）
1、怎样比较两个人的高矮?
生活中的长短的比较
3、我们能用眼睛准确看出线段的长短吗? 比较线段长短的方法：
根据数量多少确定它们的大小。)
(1) 度量法 (用刻度尺量出所要比较的线段的长度， (2) 叠合法 (将一线段“移动”，使其一端点与另一
2、用圆规在射线AD上截取AB=a。A 3、用圆规在射线BD上截取BC=b。
B
C
D
线段AC的长度就是等于线段a,b的长度和，即线段AC就是所求的线段c.
线段c的长度是线段a,b的长度的和，我们就说线段 c是线段a,b的和，记做c=a+b (即AC=AB+BC)，类似地，线段a是线段c,b的差，记做a=c-b (即AB=AC-BC)。
作图题一定要有结论！并保留痕迹！
变式练习：上题中，若线段a的长度小于线段b的长度，请你做一条线段c，使得它的长度等于两条线段的长度之差。
根据图形填空：
1、 AC= _ _ _ _ + _ _ _ _ A B D C
2、(如图)增加一个D点，则，AC= _ _ _ _+ _ _ _ _+ _ _ _ _
3、此时 AC= _ _ _ _+ _ _ _ _ 你还有别的表示方法吗？
4、若AC=8cm，且D点是AC的中点，请问AD= _ _ _ _cm,若 AB等于AC的五分之一，则BC= _ _ _ _cm, BD= _ _ _ _cm。
谢谢！
例1 已知线段a，b.用直尺和圆规作图：
（ 1 ） a+ b （3）2b （ 2 ） a- b a b

7.3 《线段的长短比较》课件浙教版 (1)

a
b
慧眼识图形
A B C D
CD BC _____ AB _____ AD _____ AC ____ AC AB BC _____
如图所示，C、D在直线AB上，则下列关系错误的是( C )
A、AB-AC=BD+CD
B、AB-CB=AD-CD
A
C
D
B
C、AC+CD=AB-CB D、AD-AC=BC-BD
AB是一段火车路线图，图中字母表示的五
个点表示五个车站，在这段路线上往返行车，需印制几种车票？（每种车票都要印出上车站与下车站）
A
C
DEB源自说说本节课你学了些什么?你能提出什么问题?
作业布置: 作业本课时训练
1、下列说法中正确的是（
A、画一条3厘米长的直线
C
）
B、画一条3厘米长的射线
C、画一条3厘米长的线段 D、在直线、射线、线段中直线最长
2.已知线段AC=1，BC=3 则线段AB的长度
是（ A .4
D ）
B.2 C. 2或4 D.非以上答案
变式：已知A、B、C是同一条直线上的三点，
且线段AC=1，BC=3则线段AB的长度是____ C
义务教育课程标准实验教科书浙江版《数学》七年级上册
7.3线段的长短比较（1）
合作学习：
怎样比较两根细木条的长短?
例：已知线段a，用直尺和圆规画一条线段c，
(1)使c等于已知线段a
a
( 2) 使c 2a
例：已知线段a，b,用直尺和圆规画一条线段c，
( 1) 使c a b ( 2) 使c 2b a

7.3线段的长短比较

7.3线段长短的比较（一）一、教学目标1、掌握比较线段长短的两种方法2、会用直尺和圆规画一条线段等于已知线段3、理解线段和、差的感念及画法4、进一步培养学生的动手能力、观察能力，并渗透数形结合的思想二、教学重点线段长短的两种比较方法三、教学难点对线段与数之间的认识，掌握线段比较的正确方法四、教具准备两支筷子（长短不一）、投影片、圆规、直尺五、教学过程（一）创设情境教师：怎样比较两个同学的高矮？生：用尺子度量。

教师：还有其它方法吗？生：背靠背地比较。

（教师给出图片并指明有两种比较方法：叠合法，度量法。

）教师：老师手中有两只筷子（一红一绿）如何比较它们的长短？学生：先移动一根筷子，与另一根筷子一头对齐，两根棒靠紧，观察另一头的位置，多出的较长。

教师：讲得太好了。

这位同学用的是什么方法？学生：叠合法。

教师：除此之外，还有其他的方法吗？学生：可以用度量法，用刻度尺分别测出两根筷子的长度，然后比较两个数值教师：我们可以用类似于比筷子的两种方法来比较两条线段的长短。

今天我们就来学习7.3线段的长短比较。

（二）新课教学让学生在本子上画出AB、A1B1两条线段。

（长短不一）“议一议”怎样比较两条线段的长短？先让学生用自己的语言描述比较的过程，然后教师边演示边用规范的几何语言描述叠合法：用圆规比较，多媒体演示过程。

若端点B落在A1B1内，则得到线段AB小于线段A1B1，可记做：AB＜A1B1若端点B落在A1B1外，则得到线段AB大于线段A1B1，可记做：AB＞A1B1，若端点B与B1重合，则AB=A1B1。

（注：讲此方法时，教师应采用圆规截取线段比较形象，还需向学生讲明从“形”角度去比较线段的长短）度量法：用刻度尺分别量出线段AB和线段A1B1的长度，再将长度进行比较。

总结；用度量法比较线段大小，其实就是比较两个数的大小。

（从“数”的角度去比较线段的长短）“做一做”P168（1、2（注意：2（2）可先让学生观察，再回答。

线段的长短比较

路线规划
在线路规划中，线段的长度可以用来表示两个地点之间的距离。通过比较不同路线的线段长度，可以确定最短路线或者最优路线。
04
线段的长短与图形的关系
线段的长短与图形面积的关系
总结词
线段长度是决定图形面积的一个重要因素。
详细描述
在图形中，线段的长度是决定图形面积的基础。例如，在矩形中，如果宽度和高度越大，其面积也就越大；在三角形中，底边和高的长度越大，其面积也就越大。因此，线段的长短与图形的面积大小密切相关。
三维形状的描述
空间几何中，了解线段长度可以帮助描述三维形状的大小和形状。例如，了解正方体的边长可以帮助我们确定其体积和表面积。
06
线段的长短比较的实践意义
在教育中的实践意义
01 培养几何思维
通过线段长短比较，可以帮助学生更好地理解几何概念，培养他们的几何思维。
02 强化逻辑推理
线段长短比较可以培养学生的比较、测量和评估能力，进而提高他们的逻辑推理能力。
线段的长短与图形周长的关系
总结词
线段长度是决定图形周长的一个重要因素。
详细描述
在图形中，线段的长度也是决定图形周长的基础。例如，在正方形中，如果边长越长，其周长也就越长；在圆形中，半径越长，其周长也就越长。因此，线段的长短与图形的周长大小密切相关。
线段的长短与图形形状的关系
总结词
线段长度可以改变图形的形状。
缺点
对于一些不能直接测量的复杂线段或曲线，此方法可能不适用。
间接测量法
定义
间接测量法是一种通过比较线段间的角度或通过测量相关图形（如矩形、圆形等）的边长来间接比较线段长度
的方法。
优点
可以避免直接接触或破坏物体表面，适用于复杂形状或无法直接测量的线

评课稿《7.3线段的长短比较》

《7．3线段的长短比较》评课稿吴光1、教学设计总体思路：本节课自始至终把数学新课程标准的核心理念贯穿于教学内容和整个教学过程中，通过观察、猜测、验证、推理与交流等活动，无论知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观等方面都达到了预订的目标。

教学思路层次分明，脉络清晰，始终以线段的大小比较两种方法度量法和叠合法及其应用为主线，贯穿于整个教学过程，突出重点，攻破难点，所教知识准确，知识点的拓展与延伸恰到好处。

2、关于创设情境创设问题情境，有助于激发学生学习的积极性，有助于学生借助已有的知识和经验学习数学，也有助于学生更好地接受新知．一个好的问题情境，应该是一种激发学生问题意识为价值取向的背景信息，让学生能从中发现问题，同时又是学生熟悉的、简明的、真实合理的、引向数学本质的．本节课我们设想了多种的情景引入，如把测眼力这一块放前，但又觉得学生不好“骗”引入的效果不好，又设想用相框中的两个人比较，让学生判断，在拿掉相框后却发现其中一个是站在凳子上，想想这个效果挺不错，但电脑制作没有完成。

本节课的引入用通过同学之间高矮的比较，两根筷子的长短的比较，从而揭示出比较的方法：度量法和叠合法，再回归到数学中线段的长短。

在让学生感悟数学与生活紧密联系的同时，也让他们真切地感受到学习线段长短比较的必要性，从而使他们主动进入到积极的学习状态。

此处的情境创设，目的明确，从教学过程中学生的接受状况来看，效果明显。

3、线段的长短比较整节课滕老师选用引导发现法和直观演示法，通过教师的引导，启发调动学生的积极性。

在教学中，还充分利用教具，在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合教学论中直观性原则与可接受性原则。

教师在学生实际动手操作的基础上，加以归纳、小结，注重几何语言的叙述，几何的表示方法。

在这一环节讲的非常仔细，分析到位，语言的准确性强。

在测眼力巩固这一环节，教师先让学生观察、再说出你的判断即两条线段的大小，教师设问：怎么检验你的判断？学生说通过度量，教师说请你动手测量，根据测量的结果来验证你们刚才的判断，此时教师再进一步提问，你还能怎么比？学生说可以借助圆规，教师说你们来试一试。

比较线段的长短说课稿

比较线段的长短(七年级上册第四章第二课时说课稿)吴永梅比较线段的长短(七年级上册第四章第二课时说课稿)吴永梅我本节课说课的内容是七年级上册第四章第二课时——比较线段的长短。

一、教材的地位和作用《比较线段的长短》一课是培养学生视图能力的重要组成部分，本节课是对前一节的复习巩固，同时也为今后几何的计算、作图和三角形等知识的学习提供方法和依据。

二、学情分析：学生在小学已经对比较线段的长短已有肤浅的认识，同时我所教班级的学生能主动交流，发表自己的意见和建议。

三、教学目标分析根据上述分析和课程标准要求，我制定了如下教学目标：1、了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质；能借助直尺、圆规等工具，作一条线段等于已知线段并能比较两条线段的长短。

1、2、发展有条理的思维，并能用恰当的语言表达自己的发现成果。

3、养成良好的学习习惯和勇于探索的思维品质。

根据学情分析和教学目标我确定本节课的重点是比较线段的长短；难点是比较线段长短的方法及线段中点的表示方法和应用。

四、教法学法分析结合本节课内容和学生实际我采用了如下教法学法：即引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学；在教学时，调动学生动手、动脑、共同探索来寻求解决问题的方法。

五、教学过程：（一）创设情境，趣味导入（1）回顾：什么叫线段?射线和直线？它们之间的联系和区别是什么？（2）老师用多媒体出示一张生活中“猫狗获取食物”的图片，让学生猜测它们的走法。

（3）、上图中，是小猫跑得远？还是小狗跑得远？你是怎么比较的？学生思考教师点明课题：把小猫、小狗跑的路程看成两条线段，怎么比较它们的大小？（板书课题：比较线段的长短）（二）联系实际，探究新知1、性质、定义（１）情境：在地面上有两点A和B，B处放有一块骨头，小明走的是AB间的一条弧线，小红走的是AB这条线段，A B小华狗走的是AB间的一条折线，我提问：哪个人最聪明呢？通过学生的回答得出：两点之间的所有连线中，线段最短。

7.3线段的长短比较(1)

专题3 线段的长短比较-重难点题型

浙教版七年级上第七章 7.3 线段长短的比较(2)

线段的长短比较

线段的比较

初一数学《比较线段的长短》知识点精讲

线段长短的比较方法

华师大版数学七年级上册《线段的长短比较》教学设计

7.3 《线段的长短比较》课件 浙教版 (7)

浙教版七年级上册同步练习7.3

7.3 《线段的长短比较》课件 浙教版 (4)

《6.3线段的长短比较》作业设计方案-初中数学浙教版12七年级上册

线段长短的比较详细版课件

线段的长短比较(1)

7.3 《线段的长短比较》课件 浙教版 (1)

7.3线段的长短比较

线段的长短比较

评课稿 《7.3线段的长短比较》

比较线段的长短说课稿

7.3 《线段的长短比较》课件浙教版 (7)

7.3 《线段的长短比较》课件浙教版 (4)

7.3 《线段的长短比较》课件浙教版 (1)

评课稿《7.3线段的长短比较》