高中数学 2_2_2 椭圆的简单几何性质试题 新人教A版选修2-1
2019_2020学年高中数学第2章2.2.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版选修2_1
第2课时椭圆的标准方程及性质的应用1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1．2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．思考：(1)(2)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 23＝1有怎样的位置关系？[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆x 24＋y 23＝1的内部，因此直线与椭圆相交．1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定C [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]2．直线x ＋2y ＝m 与椭圆x 24＋y 2＝1只有一个交点，则m 的值为( )A ．2 2B ．± 2C ．±2 2D ．±2C [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 并整理得 2x 2－2mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－4)＝0，得m 2＝8. ∴m ＝±2 2.]3．若点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．(－2，2) [∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.] 4．如果椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________．－12 [设此弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1， 两式相减，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）36＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 即此弦所在直线斜率为－12.]【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆4＋y 2＝1的位置关系．思路探究：联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论[解] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1. ② 将①代入②得：x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．1．(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0， 解得k ＝±63.] (2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5 [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点P (1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P (1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m ≤1，即m ≥54，又0<m <5，故m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5.]【例2】 过椭圆16＋4＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．思路探究：(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 法二：点差法．(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用弦长公式求解．[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8（2k 2－k ）4k 2＋1. 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4（2k 2－k ）4k 2＋1＝2， 解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2，1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝－12， 即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2，1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝ （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，①②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.2．(1)已知点P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程为________．x ＋2y －8＝0 [由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.设直线l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝8k （4k －2）4k 2＋1＝8，所以k ＝－12.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.](2)已知点P (4，2)是直线l ：x ＋2y －8＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．32 [设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)， 直线x ＋2y －8＝0与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）. 因为k AB ＝－12，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝4，y 0＝2，所以－12＝－2b 2a 2，即a 2＝4b 2.所以该椭圆的离心率为e ＝1－b 2a 2＝32.] (3)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.①试求动点P 的轨迹方程C ；②设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．[解] ①设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k PA ·k PB ＝－12.∴y x ＋2·yx －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．②设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0. ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝423， 整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意．∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.与椭圆有关的综合问题1．直线y ＝kx ＋1表示过点(0，1)且斜率存在的直线，即不包含直线x ＝0，那么直线x ＝ky ＋1表示什么样的直线？[提示] 直线x ＝ky ＋1，表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y ＝0. 2．如果以线段AB 为直径的圆过点O ，那么可以得到哪些等价的条件？ [提示] (1)设AB 的中点为P ，则|OP |＝12|AB |.(2)OA →·OB →＝0.【例3】 如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．思路探究：(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d >r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d <r ，则点G 在圆内．法二：只需判断GA →·GB →的符号，若GA →·GB →＝0，则点G 在圆上；若GA →·GB →>0，则点G 在圆外；若GA →·GB →<0，则点G 在圆内．[解] (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）>0， 所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB 为直径的圆外． 法二：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋25 16＝－3（m2＋1）m2＋2＋52m2m2＋2＋2516＝17m2＋216（m2＋2）>0，所以cos〈GA→，GB→〉>0.又GA→，GB→不共线，所以∠AGB为锐角．故点G⎝⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB为直径的圆外．解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. (1)求椭圆方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．[解] (1)由题意设椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，代入方程x 2b 2＋3＋y 2b2＝1，又∵椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 得1b 2＋3＋34b 2＝1， 解得b 2＝1，∴a 2＝4. 椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和曲线C 的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x 24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (－2，0)，y 1y 2＝－6425（k 2＋4），y 1＋y 2＝12k5（k 2＋4）， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，即可得∠MAN ＝π2.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．已知点(2，3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2，3)在椭圆外B ．点(3，2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上D [由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D.] 2．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35.] 3．已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．x ＋2y －3＝0 [易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.]4．焦点分别为(0，52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．[解] 设y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2，消去y 并整理，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. 因为x 1＋x 22＝12，所以6b 2a 2＋9b 2＝12.所以a 2＝3b 2.②由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 225＝1.。
高中数学 2.2.2 椭圆的简单几何性质试题 新人教A版选
2.2.2椭圆的简单几何性质一、选择题1．【题文】椭圆22145x y +=的一个焦点坐标是 （ ） A ．()3,0 B ．()0,3 C ．()1,0 D ．()0,12．【题文】若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m =（ ）A ．32 C ．83 D ．233．【题文】离心率为23，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） A.22195x y += B. 22195x y +=或22159x y += C.2213620x y += D. 2213620x y +=或2212036x y +=4．【题文】已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（ ） A.4 B.5 C. 7 D.85．【题文】直线:220l x y -+=过椭圆左焦点1F 和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．15B ．25C ．5D ．56．【题文】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．13 C ．12D7．【题文】椭圆2212516x y +=的左，右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若△2ABF 的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12y y -值为（ ）A ．53B ．103C ．203D ．38．【题文】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ,126α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A ．1,22⎣⎦B ．1,23⎣⎦C ．1,3⎦D ．1,2⎦二、填空题9．【题文】已知椭圆2211612x y +=，则离心率e 等于________．10．【题文】若椭圆22189x y k +=+的离心率13e =，则k 的值为 .11．【题文】在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若△MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ．三、解答题12.【题文】如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．13．【题文】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率3e =，焦距是（1）求椭圆的方程；（2）若直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，5CD =k 的值．14．【题文】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是1F 、2F ，点M 为椭圆上的一个动点，△12MF F(1)求椭圆C 的方程；(2)P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =．若直线1PF 与椭圆相交于另一点R ，求△2PRF 的面积．2.2.2椭圆的简单几何性质参考答案及解析1.【答案】D【解析】由椭圆方程22145x y+=可知其焦点在y轴，且225,4a b==，2221c a b∴=-=，1c ∴=．所以焦点为()()0,1,0,1-．故选D ．考点：椭圆的焦点． 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由题椭圆2212x y m +=焦点在x 轴上，且离心率为12，故1322e m ==⇒=. 考点：求椭圆的离心率. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】B【解析】由题意知263223a a b c e c a =⇒=⎧⎪⇒=⎨==⇒=⎪⎩ 当焦点在x 轴上时，22195x y +=； 当焦点在y 轴上时，22159x y +=. 考点:椭圆的标准方程. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由方程可知22222,10,21224,8.a m b m c m m =-=-∴=-==∴= 考点：椭圆方程及性质. 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】C【解析】直线:220l x y -+=与坐标轴的交点为()()0,2,1,0-，所以()()11,0,0,2F B -.所以椭圆中1,2c b ==，2225a b c ∴=+=，a ∴=，所以椭圆的离心率c e a ===故选C. 考点：求椭圆离心率的值. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】D【解析】设2PF x =，因为212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，所以1122,PF x F F ==，又12122,2PF PF a F F c +==，所以23,2a x c ==，所以椭圆的离心率为3c e a ==，故选D ．考点：椭圆的定义及求椭圆的离心率. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】由椭圆的标准方程可得5,4,3a b c ===，因为△2ABF 的内切圆周长为π，所以△2ABF 的内切圆的半径为12，而三角形内切圆半径R 和周长L 与三角形的面积S 的关系为12S LR =，所以△2ABF 的面积为1145522⨯⨯⨯=，而△2ABF 的面积又等于△12AF F 和△12BF F 之和，即1212121622y y F F y y -⋅=-，所以1212535,3y y y y -=-=，故选A.考点：椭圆的几何性质及数形结合的思想. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】如图，因为AF BF ⊥，所以点F 在以AB 为直径的圆上，则OA OB OF c ===．根据图形的对称性知，2AF BF a +=．又因为ABF α∠=，所以()cos sin 2sin cos 2AF BF AB AB c a αααα+=⋅+⋅=+=，因此11πsin cos 4c e a ααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又因为ππ,126α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以e ∈⎦．考点：考查椭圆性质离心率. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】12【解析】由椭圆的方程可知222116,12,16124,4,2,2a b c a c e ==∴=-=∴==∴=. 考点：椭圆方程及性质. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】0或178【解析】由题意得222219938c a a c a b =⇒=⇒=，即8998k +=或8899k +=，解得0k =或178k =. 考点：椭圆的离心率. 【题型】填空题 【难度】一般11.【答案】122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】过点M 作MD y ⊥轴，垂足为点D ， ∵△PQM 是锐角三角形，∴2π,4b QMD PMD c a∠=∠<<，∴222πcos cos ,42MD c QMD ac a c b QM a∠==>=<-，2222,a c ac a c >-<-，∴2210,10e e e +->+-<，解得122e e ><，∴该椭圆离心率的取值范围是⎝⎭.考点：椭圆的几何性质. 【题型】填空题 【难度】较难 12.【答案】3【解析】设焦点坐标为()1,0F c -、()2,0F c ，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为2,3c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 在Rt △12MF F 中，2221221F F MF MF +=，即2221494c b MF +=，而12223M F b M a F +==，整理，得22332c a ab =-.又222c a b =-，所以32b a =，所以2249b a =，所以22222222519c a b b e a a a -===-=，所以3e =.考点：椭圆的性质.【题型】解答题 【难度】一般13. 【答案】（1）2213x y +=（2）k =【解析】（1）由题意得2c =，所以22c =，又3c a =，所以23a =，21b =， ∴椭圆方程为2213x y +=． （2）设()11,C x y 、()22,D x y ，将2y kx =+带入2213x y +=， 整理得()22131290k x kx +++=， 所以()()221236130k k ∆=-+>，①12212212,139,13k x x kx x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩又CD =()1212y y k x x -=-，所以5=，又()()()2222121212222123641313k x x x x x x kk -=+-=-++， 代入上式，整理得42712270k k --=，即()()227930k k +-=， 解得297k =-（舍去）或23k =，即k= 经验证，k =k = 考点：椭圆方程及性质，直线与椭圆相交的弦长问题. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】(1)22143x y +=(2)157 【解析】(1)由已知条件得12c e a ==，122c b bc ⋅⋅==222a b c =+， ∴2a =，b =1c =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=． (2) 由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，设()0,Q y ，则()1,2P y ， 又P 在椭圆上，所以可代入求得34y =，∴直线PF 的方程为()314y x =+． 由()2231,41,43y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得276130x x +-=， 设()11,P x y ，()22,R x y ，则1267x x +=-，12137x x =-， ∴1267y y +=，122728y y =-， ∴212115227PRF Sc y y c =⋅⋅-==. 考点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质. 【题型】解答题 【难度】较难。
2019_2020学年高中数学第二章2.2.2椭圆的简单几何性质练习(含解析)新人教A版选修2_1
2.2.2 椭圆的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1若点A(m,1)在椭圆x24+x22=1的内部,则实数x的取值范围是()A.(−√2,√2)B.(-∞,−√2)∪(√2,+∞)C.(-2,2)D.(-1,1)解析:因为点A(m,1)在椭圆x24+x22=1的内部,所以x24+122<1,整理得m2<2,解得−√2<x<√2.答案:A2已知椭圆x2x2+x2x2=1(x>x>0)有两个顶点在直线x+2x=2上,则此椭圆的焦点坐标是()A.(±√3,0)B.(0,±√3)C.(±√5,0)D.(0,±√5)答案:A3设e是椭圆x24+x2x=1的离心率,且x∈(12,1),则实数x的取值范围是()A.(0,3)B.(3,163)C.(0,3)∪(163,+∞)D.(0,2)解析:当k>4时,c2=k-4,由题意得14<x-4x<1,解得k>163;当0<k<4时,c2=4-k,由题意得14<4-x4<1,解得0<k<3.故选C.答案:C4已知椭圆中心在原点,一个焦点为(−√3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()A.x24+x2=1B.x2+x24=1C.x23+x2=1D.x2+x23=1解析:∵一个焦点为(−√3,0),∴焦点在x轴上且c=√3.又∵长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b,即a=2b.故选A.答案:A5已知椭圆的焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4√5,则该椭圆的标准方程为()A.x236+x216=1B.x216+x236=1C.x26+x24=1D.x26+x24=1答案:A6设F1,F2是椭圆E:x2x2+x2x2=1(x>x>0)的左、右焦点,x为直线x=3x2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,∴∠PF2A=60°,|PF2|=|F1F2|=2c.∴|AF2|=c.∴2c=32x.∴x=34,故选C.答案:C7以坐标轴为对称轴,且过点(5,0),离心率e =2√55的椭圆的标准方程是__________________.答案:x 225+x 25=1或x 225+x 2125=18已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,若△ABF 2是正三角形,求该椭圆的离心率.分析:不妨设椭圆的焦点在x 轴上,如图,由AB ⊥F 1F 2,且△ABF 2是正三角形,得出在Rt △AF 1F 2中,∠AF 2F 1=30°.令|AF 1|=x ,则|AF 2|=2x ,由勾股定理,求得|F 1F 2|=√3x =2x . 而|AF 1|+|AF 2|=2a ,即可求出离心率e. 解:不妨设椭圆的焦点在x 轴上,如图.∵AB ⊥F 1F 2,且△ABF 2为正三角形, ∴在Rt △AF 1F 2中,∠AF 2F 1=30°.令|AF 1|=x ,则|AF 2|=2x.故|F 1F 2|=√|xx 2|2-|xx 1|2=√3x =2x . 由椭圆定义可知,|AF 1|+|AF 2|=2a. 因此,e =2x 2x=√3x 3x=√33. 9椭圆ax 2+by 2=1与直线x+y-1=0相交于A ,B 两点,C 是AB 的中点,若|AB|=2√2,xx 的斜率为√22,求椭圆的方程.解法一设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程,得xx 12+xx 12=1,①xx 22+xx 22=1.②由②-①,得a (x 1+x 2)(x 2-x 1)+b (y 2+y 1)(y 2-y 1)=0.而x 2-x 1x 2-x 1=x xx =−1,x 2+x1x 2+x 1=x xx =√22,则b =√2x .∵|AB|=√1+x 2|x 2−x 1|=√2|x 2−x 1|=2√2, ∴|x 2-x 1|=2.又由{xx 2+xx 2=1,x +x =1,得(a+b )x 2-2bx+b-1=0,∴x 1+x 2=2x x +x ,x 1x 2=x -1x +x .∴|x 2-x 1|2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(2xx +x )2−4·x -1x +x =4.将b =√2x 代入,得a =13,x =√23. 故所求的椭圆方程为x 23+√23x 2=1.解法二由直线方程和椭圆方程联立,得{xx 2+xx 2=1,x +x =1,得(a+b )x 2-2bx+b-1=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).则|AB|=√(1+x 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√2√4x 2-4(x +x )(x -1)(x +x )2.∵|AB|=2√2,∴√x +x -xx x +x=1.①设C (x ,y ),则x =x 1+x 22=xx +x,x =1−x =xx +x. ∵OC 的斜率为√22,∴x x =√22. 代入①式,得a =13,x =√23. 故所求的椭圆方程为x 23+√23x 2=1.能力提升1过椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x >x >0)的左焦点x 1作x 轴的垂线交椭圆于点x ,x 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为( )A .√22B .√33C .12D .13解析:由点x (-x ,±x 2x ),∠F 1PF 2=60°,得3x 2x=2x ,从而可得e =xx=√33,故选B. 答案:B2设xx 是椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x >x >0)的长轴,若把线段xx 分为100等份,过每个分点作xx 的垂线,分别交椭圆的上半部分于点x 1,x 2,…,x 99,x 1为椭圆的左焦点,则|x 1x |+|x 1x 1|+|x 1x 2|+⋯+|x 1x 99|+|x 1x |的值是( ) A.98aB.99aC.100aD.101a解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F 1P 1|+|F 1P 99|=|F 1P 2|+|F 1P 98|=…=|F 1P 49|+|F 1P 51|=|F 1A|+|F 1B|=2a ,|F 1P 50|=a ,故结果应为50×2a+|F 1P 50|=101a. 答案:D3椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x >x >0)的左顶点为x ,左、右焦点分别为x 1,x 2,x 是它短轴的一个端点,若3xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则该椭圆的离心率为( ) A .12B .13C .14D .15解析:由题意,A (-a ,0),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),不妨设D (0,b ).∵3xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴3(-c ,-b )=(-a ,-b )+2(c ,-b ),∴a=5c. ∴e =x x =15.故选D.答案:D4中心在原点,焦点坐标为(0,±5√2)的椭圆被直线3x −x −2=0截得的弦的中点的横坐标为12,则椭圆的方程为( )A .2x 225+2x 275=1B .2x 275+2x 225=1C .x 225+x 275=1D .x 275+x 225=1解析:由题意,可设椭圆方程为x 2x 2+x 2x 2=1,且a 2=50+b 2,即方程为x 250+x 2+x 2x 2=1.将直线3x-y-2=0代入,整理成关于x 的二次方程,由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75.故选C . 答案:C5已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆x 的离心率为__________________. 解析:如图,不妨设椭圆方程为x 2x 2+x 2x 2=1(x >x >0),x (0,x )为上顶点,F (c ,0)为右焦点,设D (x ,y ).由xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(c ,-b )=2(x-c ,y ),即{x =2(x -x ),-x =2x ,解得{x =3x2,x =-x 2, 则x (3x 2,-x2). 由点D 在椭圆上,知(3x 2)2x 2+(-x 2)2x 2=1.解得a 2=3c 2,即e 2=13,故e =√33. 答案:√336已知椭圆x 29+x 25=1的左、右焦点分别为x 1,x 2,x 是椭圆上的一点,且∠F 1PF 2=60°,则△PF 1F 2的面积是 .解析:如图,设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,由椭圆的定义,得m+n=2a=6,两边平方,得m 2+n 2+2mn=36.①在△PF 1F 2中,由余弦定理,得|F 1F 2|2=m 2+n 2-2mn cos60°=(2c )2,即m 2+n 2-mn=16.② 由①-②,得3mn=20.故x △xx 1x 2=12·mn ·sin60°=12×203×√32=5√33.答案:5√337★椭圆x 24+x 2=1的长轴为x 1x 2,短轴为x 1x 2,将坐标平面沿x 轴折成一个二面角,使点x 1在平面x 1x 2x 2上的射影恰为该椭圆的一个焦点,则此二面角的大小是__________________ .解析:如图所示,设翻折后点A 1变为A'1.由题意,可知F 2O ⊥y 轴,A'1O ⊥y 轴, 则∠A'1OF 2就是二面角A'1-B 1B 2-F 2的平面角. 又在Rt △A'1OF 2中,|A'1O|=2,|OF 2|=√3, 得|A'1F 2|=1.故∠A'1OF 2=30°. 答案:30°8已知直线y=−12x +2和椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x >x >0)相交于x ,x 两点,x 为线段xx 的中点,若|xx |=2√5,直线xx 的斜率为12,求椭圆的方程.解:由{x =-12x +2,x 2x 2+x 2x 2=1,消去y ,整理得(a 2+4b 2)x 2-8a 2x+16a 2-4a 2b 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得x 1+x 2=8x 2x 2+4x 2,x 1x 2=16x 2-4x 2x 2x 2+4x 2. 又设M (x M ,y M ),则x M =x 1+x 22=4x 2x 2+4x 2,y M =−12xx +2=8x 2x 2+4x 2.因为k OM =x x x x=12,所以2x 2x 2=12,即a 2=4b 2.从而x 1+x 2=8x 2x 2+4x2=4,x 1x 2=16x 2-4x 2x 2x 2+4x 2=8−2x 2.又因为|AB|=2√5,所以√1+14×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2√5,即√52×√16-4(8-2x 2)=2√5,解得b 2=4.所以a 2=4b 2=16, 故所求的椭圆方程为x 216+x 24=1.9★设椭圆C :x 2x 2+x 2x 2=1(x >x >0)的右焦点为x ,过点x 的直线x 与椭圆x 相交于x ,x 两点,直线x 的倾斜角为60°,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求椭圆C 的离心率; (2)如果|AB|=154,求椭圆x 的方程.解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由直线l 的倾斜角为60°及xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,知y 1<0,y 2>0. (1)直线l 的方程为y =√3(x −x ),其中c =√x 2-x 2, 联立{x =√3(x -x ),x 2x 2+x 2x2=1,得(3a 2+b 2)y 2+2√3x 2xx −3x 4=0, 解得y 1+y 2=-2√3x 2x 3x 2+x 2,x 1·y 2=-3x 43x 2+x 2由xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得-y 1=2y 2, 即y 1+y 2=-y 2,y 1·y 2=-2x 22.故-2(-2√3x2x3x2+x2)2=-3x43x2+x2,化简得e2=49,得离心率e=xx =23.(2)∵|AB|=√1+1x2·|y2-y1|,∴2√3·4√3xx23x2+x2=154.∵xx =23,∴x=√53x.∴54x=154,解得a=3.∴b=√5,故椭圆的方程为x29+x25=1.。
高中数学人教A版选修2-12.2.2椭圆的简单几何性质.docx
2.2.2椭圆的简单几何性质一、选择题1.椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B ．x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝94.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 5.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B ．33C ．12D ．136.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，12]C ．(0，22) D ．[22，1)二、填空题7.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 8.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为________.9.椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________10.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________． 三、解答题11.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是椭圆的两个顶点．若F 1到直线AB 的距离为b 7，求椭圆的离心率．1.【解析】选B2.【解析】选C.2a ＋2b ＝18，a ＋b ＝9，2c ＝6，c ＝3.c 2＝a 2－b 2＝9，a －b ＝1，a ＝5，b ＝4，故x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.故选C .3.【解析】选D. 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4.【解析】选A.因为ca ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1,故选A.5.【解析】选B.把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a，∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 2|＝2b 2a ，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ，即3b 2＝2a 2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33，故选B.6.【解析】选C.依题意得，c <b ，即c 2<b 2，∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22，故选C. 7.【解析】依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12答案:128.【解析】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233答案:(233，＋∞)∪(－∞，－233)9.【解析】当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163．综上，m ＝3或m ＝163． 答案:3或163.10.【解析】由题意知⎩⎨⎧a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝4 2.由于焦点位置不确定，方程有两种形式． x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝1 答案:x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝111.【解析】设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1．②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0，∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2．由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22． 又∵0<e <1，∴22<e <1．．12.【解析】依题意，直线AB 的方程为x－a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0. 所以焦点F 1到AB 的距离d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2，所以b |a －c |a 2＋b2＝77b . 两边平方，整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0.两边同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，所以e＝12或e＝54(舍去)．因此离心率为12。
人教A版选修2-1《2.2.2 椭圆的简单几何性质》练习卷(1)
人教A版选修2-1《2.2.2 椭圆的简单几何性质》练习卷（1）一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）1.椭圆x24+y22=1的短轴长为()A. √2B. 2C. 2√2D. 42.若椭圆的两焦点为(−2,0)，(2,0)，且该椭圆过点(52,−32)，则该椭圆的方程是()A. y28+x24=1 B. y210+x26=1 C. y24+x28=1 D. y26+x210=13.若椭圆的两个焦点F1,F2与短轴的一个端点B构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A. 12B. √32C. √34D. √644.已知k<9，则曲线和有相同的()A. 焦点B. 短轴C. 离心率D. 长轴5.已知点F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是()A. 12B. √22C. 13D. √336.椭圆x27+y216=1的焦点坐标为()A. (0,±3)B. (0,±4)C. (±3,0)D. (±4,0)7.已知圆C1：x2+2cx+y2=0，圆C2：x2−2cx+y2=0，c是椭圆C：x2a2+y2b2=1的半焦距，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是()A. [12,1) B. (0,12) C. [√22,1) D. (0,√22]二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）8.椭圆16x2+25y2=400的焦点坐标为________，顶点坐标为________．9.与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，且离心率为√55的椭圆标准方程为_____．10.焦点在y轴上的椭圆x23+y2m=1的离心率为12，则m=______．11.如果椭圆4x2+y2=k上两点间的最大距离是8，那么k等于_________．12.已知椭圆经过点(√63,√3)和点(2√23,1)，则椭圆的标准方程为_________________．13.一个圆过椭圆x24+y2=1的三个顶点，且圆心在y轴正半轴上，则圆方程为________．14.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等差数列，则椭圆的离心率是________．15.设F1、F2是椭圆3x2+4y2=48的左、右焦点，点P在椭圆上，满足sin∠PF1F2=35，△PF1F2的面积为6，则|PF2|=______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）16.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=√32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．17.已知椭圆C的方程为x29−k +y2k−1=1．(1)求k的取值范围；(2)若椭圆C的离心率e=√67，求k的值．18.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°则椭圆离心率的取值范围是______ ．19.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)一个焦点坐标为(1,0)，长轴长为4；(2)如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1,B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为√10−√5，求这个椭圆的方程．20.已知椭圆的标准方程为x24+y29=1．(1)求椭圆的长轴长和短轴长；(2)求椭圆的离心率；(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(−4,1)的椭圆方程．21.已知椭圆的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x轴上，若右焦点F到直线x−y+2√2=0的距离为3；(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．22.点P是椭圆x22+y2=1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积．23.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=53．(Ⅰ)求椭圆C1的方程；(Ⅱ)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B，D在直线7x−7y+1=0上，求直线AC的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：椭圆x 24+y 22=1可得b =√2，椭圆x 24+y 22=1的短轴长为：2√2．故选：C ．直接利用椭圆的标准方程求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．2.答案：D解析：本题考查了椭圆方程的应用．首先确定椭圆的长轴位置，再设出椭圆方程，结合已知求出a ，b ，则椭圆方程可求． 解：设椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1，则根据题意得：c =2，∴{a 2−b 2=4(52)2a 2+(−32)2b 2=1， 解得：{a 2=10b 2=6，∴椭圆方程为x 210+y 26=1，故选D ．3.答案：A解析：此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题，根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，所以得到2c =a ，然后根据离心率e =ca ，即可得到答案．解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， ∴2c =a∴e=ca =12，故选A．4.答案：A解析：本题考查圆锥曲线的特征，解答此类题的关键是掌握圆锥曲线的几何特征及方程的特征，由此作出正确判断．已知k<9，则曲线x225+y29=1和x225−k+y29−k=1对应的曲线都是椭圆，再观察两个方程中的分母可以看到两个方程中分母上的数的差是相等的，由此关系可以得出两个椭圆有相同的焦点．解：∵k<9，∴曲线x225+y29=1和x225−k+y29−k=1都表示中心为坐标原点的椭圆，又25−9=(25−k)−(9−k)，∴两曲线的半焦距相等，且焦点都在x轴上，故两个椭圆有相同的焦点．故选A．5.答案：D解析：解：把x=−c代入椭圆的方程可得y=b2a ，∴AF1=b2a，由tan30°=√33=AF1F1F2=b2a2c=a2−c22ac=1−e22e，求得3e2+2√3e−3=0，解得e=−√3(舍去)，或e=√33，故选D．6.答案：A解析：解：椭圆x27+y216=1的长轴在y轴，a=4，b=√7，所以c=√16−7=3，所以椭圆x27+y216=1的焦点坐标为：(0,±3)．故选：A．直接利用椭圆的标准方程求解a，b，得到c即可推出结果．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．7.答案：B解析：解：已知圆C 1：x 2+2cx +y 2=0， 转化成标准形式为：(x +c)2+y 2=c 2， 圆C 2：x 2−2cx +y 2=0，转化成标准形式为：(x −c)2+y 2=c 2， 圆C 1，C 2都在椭圆内，所以：(c,0)到(a,0)的距离大于c 则：|c −a|>c 解得：a >2c 由于：e =ca 所以：e <12，由于椭圆的离心率e ∈(0,1) 则：0<e <12． 故选：B ．首先把圆的方程转化成标准形式，进一步利用椭圆与圆的关系，求出圆心到椭圆的右顶点的距离与圆的半径的关系式，最后利用e 的范围求出结果．本题考查的知识要点：利用圆与椭圆的关系建立a 、b 、c 的关系式，进一步利用椭圆离心率的范围求出结果．8.答案：(±3,0)；(±5,0)，(0,±4)解析：本题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题，解题关键在于先将椭圆方程化为标准方程，然后再确定焦点和顶点坐标． 解：将16x 2+25y 2=400化为标准方程：x 225+y 216=1， 则椭圆焦点在x 轴，且{a 2=25b 2=16，则c 2=a 2−b 2=9，故焦点坐标为(±3,0)，顶点坐标为(0,±4),(±5,0)．故答案为(±3,0)；(±5,0)，(0,±4)．9.答案：x225+y220=1解析：本题考查椭圆的标准方程的求解、椭圆的性质及几何意义，属于基础题．根据椭圆x29+y24=1，求出焦点坐标，设所求椭圆方程为x2m2+y2n2=1，m>n>0，结合已知条件，即可求出结果．解：由椭圆x29+y24=1，得a2=9，b2=4，∴c2=a2−b2=5，∴该椭圆的焦点坐标为(±√5,0)，设所求椭圆方程为x2m2+y2n2=1，m>n>0，则c=√5，又cm =√55，解得m=5，∴n2=25−5=20，∴所求椭圆方程为：x225+y220=1．故答案为x225+y220=1．10.答案：4解析：解：∵椭圆的焦点在y轴上，∴m>3，又∵椭圆x23+y2m=1的离心率为12，∴12=√m−3√m，解得：m=4，故答案为：4．通过椭圆焦点位置可知m>3，进而利用离心率计算即得结论．本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．11.答案：16解析：本题考查了椭圆的性质及几何意义，把椭圆方程化为标准方程，求出椭圆上两点间的最大距离2a，即得k的值．解：∵椭圆4x2+y2=k的标准方程是x2k4+y2k=1，∴k>k4>0，∴a2=k，∴椭圆上两点间的最大距离是2a=2√k=8，解得k=16，故答案为16．12.答案：x2+y29=1解析：本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题．先设出椭圆的标准方程，然后代入点计算即可．解：若椭圆的焦点在y轴上，设方程为x2b2+y2a2=1，则{23b2+3a2=189b2+1a2=1，解得：a2=9,b2=1，所以方程为x2+y29=1;若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2+y 2b 2=1，经计算无解，故答案为x 2+y 29=1．13.答案：x 2+(y −32)2=254解析：本题考查椭圆的简单性质，考查了圆的标准方程的求法，是基础的计算题． 先求出椭圆的顶点坐标，然后设出圆的标准方程，然后代入即可． 解：椭圆x 24+y 2=1的顶点坐标为(±2,0)，(0,±1)，∵圆的圆心在y 轴的正半轴上，且圆经过椭圆x 24+y 2=1的三个顶点，则圆经过(2,0)，(−2,0)，(0,−1)， 设圆的方程为x 2+(y −a )2=r 2(a >0)则{4+a 2=r 2(−1−a )2=r 2，解得a =32,r 2=254， 则圆的方程为x 2+(y −32)2=254，故答案为x 2+(y −32)2=25414.答案：35解析：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是根据椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，建立几何量之间的关系，即可求得离心率．解：由题意，椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列， 则4b =2c +2a ， 即2b =c +a ， 4b 2=c 2+2ca +a 2，所以3a 2−2ac −5c 2=0， 则5e 2+2e −3=0， 所以(e +1)(5e −3)=0， 则e =35． 故答案为35．15.答案：3解析：解：椭圆方程3x 2+4y 2=48可化为，x 216+y 212=1，∴a =4,b =2√3． ∴c =2， ∴|F 1F 2|=4， ∵△PF 1F 2的面积为6，∴12|F 1P|⋅|F 1F 2|⋅sin∠PF 1F 2=6，又∵sin∠PF 1F 2=35， ∴|PF 1|=5， 根据椭圆定义易知， |PF 2|=3． 故答案为：3．将椭圆方程化为标准方程，易得a =4，b =2√3，然后根据三角形面积公式和椭圆的定义求解即可． 本题主要考查椭圆的定义三角形面积公式等基础知识，属于中档题．16.答案：解：椭圆方程可化为x 2m +y 2mm+3=1(m >0)，∵m −mm+3=m(m+2)m+3>0，∴m >mm+3．∴a 2=m ，b 2=mm+3，c =√a 2−b 2=√m(m+2)m+3．由e =√32，得√m+2m+3=√32，∴m =1．∴椭圆的标准方程为x 2+y 214=1．∴a =1，b =12，c =√32．∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 两焦点坐标分别为F 1(−√32,0)，F 2(√32,0)；四个顶点坐标分别为A 1(−1,0)，A 2(1,0)，B 1(0,−12)，B 2(0,12)．解析：本题考查椭圆的几何意义，属较易题．椭圆方程可化为标准方程∴m >mm+3，根据条件求出m 值，然后求椭圆的性质．17.答案：解：(1)∵方程x 29−k +y 2k−1=1表示椭圆，则 {9−k >0k −1>09−k ≠k −1，解得k ∈(1,5)∪(5,9)；(2)①当9−k >k −1时，即k <5时，依题意可知a =√9−k ，b =√k −1， ∴c =√10−2k ， ∵ca =√67， ∴10−2k 9−k =67，∴k =2；②当9−k <k −1时，即k >5时，依题意可知b =√9−k ，a =√k −1， ∴c =√2k −10， ∵ca =√67， ∴2k−10k−1=67，∴k =8；∴k的值为2或8．解析：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，属于基础题．(1)根据题意，方程x29−k +y2k−1=1表示椭圆，则x2，y2项的系数均为正数且不相等，依此列出不等关系即可得答案．(2)分情况讨论，先根据题意利用k表示出a，b，进而根据离心率列出关于k的方程，则k的值可得．18.答案：[12,1)解析：解：设P(x1,y1)，F1(−c,0)，F2(c,0)，c>0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a−ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos60°=12=(a+ex1)2+(a−ex1)2−4c22(a+ex1)(a−ex1)，解得x12=4c2−a23e2．∵x12∈(0,a2]，∴0≤4c2−a23e2<a2，即4c2−a2≥0.且e2<1∴e=ca ≥12．故椭圆离心率的取范围是e∈[12,1)．故答案为：[12,1)．设P(x1,y1)，F1(−c,0)，F2(c,0)，c>0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a−ex1.在△PF1F2中，由余弦定理得x12=4c2−a23e2.再由x12∈(0,a2]，能求出椭圆离心率的取范围．本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．19.答案：解：(1)由题意椭圆的标准方程的一个焦点坐标为(1,0)，即c=1，且焦点在x轴，所以设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，又长轴长为4，即2a=4，∴a=2，∴b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设椭圆的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题意得 b =c ，a −c =√10−√5， ∵a 2=b 2+c 2，∴a =√10，b =c =√5． ∴椭圆的标准方程为x 210+y 25=1．解析：本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的性质，属于基础题． (1)由题意可得c =1，a =2且焦点在x 轴，即可得出．(2)根据F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，判定b 与c 的关系，再根据焦点与较近长轴端点的距离是a −c ，求出a 、b 即可．20.答案：解：(1)椭圆的长轴长为2a =6，短轴长为2b =4，(2)c =√a 2−b 2=√5，所以椭圆的离心率e =ca =√53．(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b ′=3，可设椭圆方程为c ，又椭圆过点P(−4,1)，将点P(−4,1)代入得16a′2+19=1，解得a′2=18．故所求椭圆方程为x 218+y 29=1．解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质． (1)直接由方程求椭圆的长轴长和短轴长． (2)直接由a ，c 求椭圆的离心率．(3)以此椭圆的长轴端点为短轴端点，可设椭圆方程为x 2a ′2+y 29=1，将点P(−4,1)代入可求椭圆方程． 21.答案：解：(Ⅰ)设所求的椭圆方程为：x 2a 2+y 2=1，右焦点F(C,0)，∵右焦点F 到直线x −y +2√2=0的距离为3， ∴√2|√2=3，解得：C =√2∴所求的椭圆方程为：x 23+y 2=1．(Ⅱ)由{y =kx +1x 2+3y 2=3，得：(3k+1)x2+6kx=0，设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则x1+x2=6k3k2+1，x1x2=0，∵|MN|=2，∴√1+k2|x1−x2|=2，解得：k=±√33．解析：(Ⅰ)首先设出椭圆的方程，利用点到直线的距离求出椭圆的方程．(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，利用弦长公式求出结果．本题考查的知识要点：椭圆方程的求法，点到直线的距离公式，直线和曲线的位置关系，弦长公式的应用．22.答案：解：在椭圆x22+y2=1中，a=√2，b=1，∴c=1又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=2√2①(6分)由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=(2c)2=4②(8分)把①两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|⋅|PF2|=8，③③−②得(2+√3)|PF1|⋅|PF2|=4，∴|PF1|⋅|PF2|=4(2−√3)，(10分)∴S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin30°=2−√3(12分)解析：根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=2√2…①，再在△F1PF2中用余弦定理，得|PF1|2+ |PF2|2−2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=(2c)2=4…②.由①②联解，得(2+√3)|PF1|⋅|PF2|=4，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF1F2的面积．本题给出椭圆上一点对两个焦点的张角为30°，求椭圆两焦点与该点构成三角形的面积，着重考查了椭圆的简单性质和正、余弦定理等知识点，属于中档题．23.答案：解：(I)设点M为(x1,y1)，∵F2是抛物线y2=4x的焦点，∴F2(1,0)；又|MF2|=53，由抛物线定义知x 1+1=53，即x 1=23； 由M 是C 1与C 2的交点，∴y 12=4x 1，即y 1=±2√63，这里取y 1=2√63； 又点M(23,2√63)在C 1上， ∴49a 2+83b 2=1，且b 2=a 2−1，∴9a 4−37a 2+4=0，∴a 2=4或a 2=19<c 2(舍去)， ∴a 2=4，b 2=3； ∴椭圆C 1的方程为：x 24+y 23=1(II)∵直线BD 的方程为：7x −7y +1=0，在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ， 不妨设直线AC 的方程为x +y =m ， 则{x +y =m x 24+y 23=1∴消去y ，得7x 2−8mx +4m 2−12=0； ∵点A 、C 在椭圆C 1上，∴(−8m)2−4×7×(4m 2−12)>0，即m 2<7，∴−√7<m <√7； 设A(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=8m 7，y 1+y 2=(−x 1+m)+(−x 2+m)=−(x 1+x 2)+2m =−8m 7+2m =6m 7，∴AC 的中点坐标为(4m 7,3m 7)，由菱形ABCD 知，点(4m 7,3m 7)也在直线BD ：7x −7y +1=0上，即7×4m 7−7×3m 7+1=0，∴m =−1，由m =−1∈(−√7,√7)知：直线AC 的方程为：x +y =−1，即x +y +1=0．解析：(I)设点M 为(x 1,y 1)，由F 2是抛物线y 2=4x 的焦点，知F 2(1,0)；|MF 2|=53，由抛物线定义知x 1+1=53，即x 1=23；由M 是C 1与C 2的交点，y 12=4x 1，由此能求出椭圆C 1的方程．(II)直线BD 的方程为：7x −7y +1=0，在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为x +y =m ，由{x +y =m x 24+y 23=1，得7x 2−8mx +4m 2−12=0.由点A 、C 在椭圆C 1上，知(−8m)2−4×7×(4m 2−12)>0，由此能导出直线AC 的方程．本题考查椭圆方程和求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用，注意合理地进行等介转化．。
高中数学专题2.2.2椭圆的简单的几何性质2测试含解析新人教A版选修2_1
椭圆的简单的几何性质（2）（时间：25分，满分55分）班级 姓名 得分一、选择题1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( ) A ．±34 B ．±32C ．±22D ．±34答案：A2．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2，0)，B (0，1)，所以b ＝1，c ＝2， 所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a＝25＝255.答案：D3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1相交，故选B ．4．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76答案：B5．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12解析：S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.答案：D6．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n的值是( ) A ．22B ．233C ．922D ．2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n， 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n．由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A ． 二、填空题7．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ·AM ＝0， ∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3． 答案： 38．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________________．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．解析：由x24＋y23＝1可得F(－1,0)．设P(x ，y)，－2≤x≤2，则OP ·FP ＝x2＋x ＋y2＝x2＋x ＋31－x24＝14x2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6． 答案：610．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF→|＝________．解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1，0)． 所以由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． 所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. 所以x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1.解得n 2＝1，所以|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.答案： 2 三、解答题11．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．解：设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0.由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1. 所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.12．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x ＋1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－48)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t 3＋4. 因为，λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt （3＋4k 2）λ，6t （3＋4k 2）λ. 又因为点C 在椭圆上，所以，4k 2t 2（3＋4k 2）2λ2＋3t2（3＋4k 2）2λ2＝1⇒λ2＝t 23＋4k2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1.因为t 2＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1＞1， 所以0＜λ2＜1，所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．。
高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(2)测试(含
椭圆的简单的几何性质（2）（时间：25分，满分55分）班级 姓名 得分一、选择题1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( ) A ．±34 B ．±32C ．±22D ．±34答案：A2．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2，0)，B (0，1)，所以b ＝1，c ＝2， 所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a＝25＝255.答案：D3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1相交，故选B ．4．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76答案：B5．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12解析：S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.答案：D6．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n的值是( ) A ．22B ．233C ．922D ．2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n， 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n．由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A ． 二、填空题7．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ·AM ＝0， ∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3． 答案： 38．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________________．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．解析：由x24＋y23＝1可得F(－1,0)．设P(x ，y)，－2≤x≤2，则OP ·FP ＝x2＋x ＋y2＝x2＋x ＋31－x24＝14x2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6． 答案：610．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF→|＝________．解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1，0)． 所以由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． 所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. 所以x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1.解得n 2＝1，所以|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.答案： 2 三、解答题11．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．解：设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0.由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1. 所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.12．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x ＋1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－48)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t 3＋4. 因为，λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt （3＋4k 2）λ，6t （3＋4k 2）λ. 又因为点C 在椭圆上，所以，4k 2t 2（3＋4k 2）2λ2＋3t2（3＋4k 2）2λ2＝1⇒λ2＝t 23＋4k 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1. 因为t 2＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1＞1， 所以0＜λ2＜1，所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．。
人教A版高二数学选修2-1第二章第二节 椭圆 经典例题汇总
For personal use only in study and research; not for commercial use椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．例3 已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1c o s s i n 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ．∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=． ∵212MF MF MN⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,c o s 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例3 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<c a ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3co s 22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分） （4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x①。
高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(1)测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年
高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）测试（含解析）新人教A 版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）测试（含解析）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）测试（含解析）新人教A版选修2-1的全部内容。
椭圆的简单的几何性质(1）（时间：25分，满分55分) 班级 姓名 得分一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的长轴，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长与椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长相等，则( ）A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9,b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋错误!＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为（ )A.错误!B.错误!C.错误! D 。
错误!答案：A3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是（－错误!,0），(错误!,0），离心率是错误!,则椭圆C 的方程为（ ）A 。
错误!＋y 2＝1B ．x 2＋错误!＝1 C.错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1 解析:因为错误!＝错误!,且c ＝错误!，所以a ＝错误!，b ＝错误!＝1。
所以椭圆C 的方程为1322=+y x 。
答案：A4．已知椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥x轴,直线AB与y轴交于点P,其中错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为（) A.错误!B。
高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质课后习题 新人教A版高二选修2-1数学试题
椭圆的简单几何性质课时演练·促提升1.椭圆9x2+y2=36的短轴长为()A.2B.4C.6D.12解析:原方程可化为=1,所以b2=4,b=2,从而短轴长为2b=4.答案:B2.已知椭圆焦点在x轴上,长轴长为10,离心率为的椭圆方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:∵2a=10,,∴c=3.∴b2=a2-c2=16.又∵焦点在x轴上,∴椭圆方程为=1.答案:D3.若椭圆的焦距,短轴长,长轴长构成一个等比数列,则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析:依题意有(2b)2=2c·2a,因此b2=ac,即a2-c2-ac=0,从而e2+e-1=0,解得e=.答案:A4.直线y=x+1被椭圆=1所截得的弦的中点坐标是()A. B.C. D.解析:联立方程消去y,得3x2+4x-2=0.设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为P(x0,y0),则x0==-,y0=x0+1=-+1=.答案:C5.若方程=1表示长轴长是10的椭圆,则实数m的值为()A.0B.9C.0或9D.-75解析:当焦点在x轴上时,有解得m=0.当焦点在y轴上时,有解得m=9.综上,实数m的值为0或9.答案:C6.椭圆C1:=1比椭圆=1更.(填“扁”或“圆”)解析:由已知椭圆C1的离心率为e1=,C2的离心率为e2=,且e1<e2,故C1比C2更圆.答案:圆7.焦点在y轴上,长轴长为18,且两焦点恰好把长轴三等分,则此椭圆的方程为. 解析:依题意有解得所以b2=72.因为焦点在y轴上,所以椭圆方程为=1.答案:=18.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过点C,D的椭圆的离心率为. 解析:如图,AB=2c=4.∵AB=4,BC=3,∴AC==5.∵点C在椭圆上,∴CB+CA=2a=3+5=8.∴e=.答案:9.若椭圆的对称轴为坐标轴,两焦点与短轴的两个端点恰好是正方形的四个顶点,且焦点到同侧长轴端点距离为-1.(1)求椭圆的方程;(2)求椭圆的离心率.解:(1)设椭圆的方程为=1或=1(a>b>0),由椭圆的对称性和正方形的对称性可知:正方形被椭圆的对称轴分割成了4个全等等腰直角三角形,因此b=c(2c为焦距).由题意得解得故椭圆的方程为+y2=1或x2+=1.(2)椭圆离心率e=.10.已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.(1)求线段AB的中点坐标;(2)求△OAB的面积.解:(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0),由题意知a=3,c=2,所以b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.由方程组消去y,得10x2+36x+27=0.因为Δ>0,所以点A,B不重合.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,所以y1+y2=x1+x2+4=,故线段AB的中点坐标为.(2)设直线y=x+2与x轴交于点M,则点M的坐标为(-2,0),则S△OAB=S△OAM+S△OBM.由(1)可知,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=,y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=-,则S△OAB=×2×|y1|+×2×|y2|=|y1-y2|===.B组1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,且满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆的离心率的取值X围是()A.(0,1)B.C. D.解析:设M(x,y),∵=0,∴点M的轨迹方程为x2+y2=c2,其中F1F2为圆的直径.由题意知椭圆上的点在圆x2+y2=c2外部,设点P为椭圆上任意一点,则|OP|>c恒成立.由椭圆的性质知|OP|≥b,∴b>c,∴c2<b2=a2-c2.∴a2>2c2,∴.∴0<e<.故椭圆离心率的取值X围是.答案:C2.已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是()A.24B.12C.6D.3解析:椭圆16x2+25y2=400可化为标准方程是=1,F1(-3,0),F2(3,0),故直线PF2的方程为y=-4(x-3).由方程组可得点P的坐标是.故△PF1F2的面积S=×2×6=6.答案:C3.已知椭圆E的方程为=1(a>b>0),AB是它的弦,且M(2,1)是弦AB的中点,直线AB的倾斜角为135°,则椭圆E的离心率为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,得=0,即=-.又弦AB的中点为M(2,1),直线AB的倾斜角为135°,所以x1+x2=4,y1+y2=2,k AB=-1.所以k AB==-=-1,即a2=2b2=2(a2-c2).所以e=.答案:4.已知椭圆=1(a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,过椭圆的中心O的直线交椭圆于B,C两点,且=0,||=2||,求此椭圆的方程.解:∵||=2||,∴||=2||.∵=0,∴AC⊥BC.∴△AOC为等腰直角三角形.∵|OA|=2,∴点C的坐标为(1,1)或(1,-1),a=2.∵点C在椭圆上,∴=1,b2=.∴所求椭圆的方程为=1.5.直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P,Q,已知PQ的中点横坐标为2,求k的值.解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则两式相减得(x2+x1)(x2-x1)=-4(y2+y1)(y2-y1).整理得=-,依题意k=,x1+x2=4,代入得k=-.设PQ的中点坐标为M(2,y0),则y0==-,于是M(2,-),代入直线y=kx-2,得-=2k-2,解得k=.6.已知椭圆G:=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.解:(1)由已知,得c=2,解得a=2,∴b2=a2-c2=4.故椭圆G的方程为=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.①设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB中点为E(x0,y0),则x0==-,y0=x0+m=.∵AB是等腰△PAB的底边,∴PE⊥AB.∴直线PE的斜率k==-1,解得m=2.此时方程①为4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0,∴y1=-1,y2=2.∴|AB|=3.此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d=,故△PAB的面积S=|AB|·d=.。
人教a版高中数学选修2-1习题：第二章2.2-2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．已知点(3，2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则( ) A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3，2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上解析：由椭圆的对称性知(－3，2)必在椭圆上．答案：C2．椭圆C1：x225＋y29＝1和椭圆C2：x29－k ＋y225－k＝1(0<k<9)有( ) A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴解析：依题意知椭圆C2的焦点在y 轴上，对于椭圆C1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C2：焦距＝225－k －（9－k ）＝8.答案：B3．若焦点在y 轴上的椭圆x2m ＋y22＝1的离心率为12，则m 的值为( ) A ．1 B.32 C. 3 D.83解析：由题意得a2＝2，b2＝m ，所以c2＝2－m ，又c a ＝12， 所以2－m 2＝12，所以m ＝32. 答案：B 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF 1⊥x 轴，直线AB 与y 轴交于点P ，其中AP →＝2PB →，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.13D.12解析：如图，△ABF 1∽△APO ，则|AP||AB|＝|AO||AF 1|，即23＝a a ＋c. 所以a ＝2c.，所以e ＝c a ＝12.答案：D5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为( ) A.32B. 3C.72D ．4答案：C二、填空题 6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1， a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4.所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1. 答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1 7．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________． 解析：当k ＋8＞9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4； 当k ＋8＜9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案：4或－548．若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：因为x ＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，12，则kOP ＝12，因为OP ⊥AB ，所以kAB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0，2)．所以b ＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为x25＋y24＝1. 答案：x25＋y24＝1三、解答题9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解：(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，所以a ＝3，c ＝2.。
2021年高中数学 2.2.2椭圆及其简单几何性质练习新人教版选修2-1
2021年高中数学 2.2.2椭圆及其简单几何性质练习新人教版选修2-1一、选择题(共6个小题，每小题只有一个正确答案)1.若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0), F2 (2,0)，则这个椭圆的离心率等于（）A.22B.13C.12D.322. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（）A. 或B.C. 或D. 或3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．4.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．5.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在变点第二次变轨进入仍以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①; ②; ③; ④＜.其中正确式子的序号是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④6.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题(共4个小题)7.巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．8.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 .9.已知地球运行的轨道是长半轴长km,离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最大和最小距离分别为， .10.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过椭圆准线与轴的交点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．三、解答题(共1个小题)11.设、分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上的一个动点.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值.33096 8148 腈38007 9477 鑷25059 61E3 懣22826 592A 太 35159 8957 襗23273 5AE9 嫩27653 6C05 氅29524 7354 獔VP32480 7EE0 绠OV7。
高中数学人教A版选修2-1习题：第二章2.2-2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质 含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．已知点(3，2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3，2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上 解析：由椭圆的对称性知(－3，2)必在椭圆上． 答案：C2．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴解析：依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝225－k －（9－k ）＝8.答案：B3．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为( )A ．1 B.32 C. 3 D.83解析：由题意得a 2＝2，b 2＝m ，所以c 2＝2－m ，又c a ＝12，所以2－m2＝12，所以m ＝32. 答案：B4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF 1⊥x轴，直线AB 与y 轴交于点P ，其中AP →＝2PB →，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.13D.12解析：如图，△ABF 1∽△APO ，则|AP ||AB |＝|AO ||AF 1|，即23＝aa ＋c. 所以a ＝2c .，所以e ＝c a ＝12.答案：D5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为( )A.32B. 3C.72 D ．4答案：C 二、填空题6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4.所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝17．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________． 解析：当k ＋8＞9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；当k ＋8＜9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案：4或－548．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：因为x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线．所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c ＝1. 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则kOP ＝12，因为OP ⊥AB ，所以kAB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0，2)．所以b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝1 三、解答题9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)离心率是23，长轴长是6；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，所以a ＝3，c ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.所以椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是椭圆的两个顶点．若F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率．解：依题意，直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0. 所以焦点F 1到AB 的距离d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2，所以b |a －c |a 2＋b 2＝77b . 两边平方，整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0. 两边同除以a 2，得8e 2－14e ＋5＝0， 所以e ＝12或e ＝54(舍去)．因此离心率为12.B 级 能力提升1．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，且当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则椭圆的标准方程为( )A.x 212＋y 23＝1 B.x 214＋y 25＝1 C.x 215＋y 26＝1D.x 216＋y 27＝1解析：因为当点P 在短轴端点时， S △F 1PF 2最大， 所以∠PF 1F 2＝π6，所以tan π6＝b c， 因为c ＝3，所以b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝12，所以椭圆方程为x 212＋y 23＝1.答案：A2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.32 B.33C. 3 D ．1 解析：记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33.答案：B3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解：(1)因为点P (－2，1)在椭圆上，所以2a 2＋1b2＝1.①又因为PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，所以M 为PF 2的中点，所以－2＋c ＝0，c ＝ 2. 所以a 2－b 2＝2，②联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，所以a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)因为点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y 1x 0－x 1×2＝1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x5.所以3x 1－4y 1＝－5x 0.因为点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，所以－2≤x 0≤2，所以－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值为[－10，10]．。
人教A版 高中数学 选修2-1 椭圆 知识点+讲测练(含答案解析)
人教A版高中数学选修2-1 椭圆知识点+讲测练知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有和；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。
e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
高中数学 2-2-2-1 椭圆的简单几何性质课时作业 新人教A版选修2-1
课时作业11 椭圆的简单几何性质时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A . 3B .32C .83D .23解析：∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝ca＝1－b 2a2＝1－m 2＝12，∴m＝32. 答案：B2．若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1,0)，F 2(3,0)，则其离心率e 是( )A .34B .23C .12D .14解析：由椭圆定义知|OF 1|＋|OF 2|＝2a ，∴2a＝4，∴a＝2，又∵c＝1，∴e＝c a ＝12.答案：C3．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( )A .2m －1m －1B .－2－mm C .2m m D ．－21－m m －1解析：椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m>0，∴11＋m <1m ，∴a＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.答案：C4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)和x 2a 2＋y2b2＝k(k>0)具有( )A ．相同的长轴长B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的顶点解析：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝a 2－b 2a ；x 2a 2＋y 2b 2＝k 可化为x 2a 2k ＋y2b 2k ＝1(k>0)，其离心率e 2＝a 2k －b 2k a 2k＝a 2－b2a .∴e 1＝e 2. 答案：C5．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为( )A .12 B .22C .32 D .33解析：由题意知b ＝c ，a ＝2c ，∴e＝c a ＝22.答案：B6．(2009·江西高考)过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A .22 B .33 C .12D .13图1解析：∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝12|PF 2|，∴32|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝43a ，|PF 1|＝23a ，在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|F 1F 2|2＝|PF 2|2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋(2c)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2⇒e ＝c a ＝33，故选B .答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________． 解析：由题意知a ＋c a －c ＝32，即1＋e 1－e ＝32，∴e＝15.答案：158．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6.又e ＝c a ＝32，故c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x 236＋y29＝1.答案：x 236＋y29＝19．若椭圆x 2k ＋2＋y 24＝1的离心率e ＝13，则k 的值等于________．解析：当焦点在x 轴上时，a ＝k ＋2，b ＝2，c ＝k －2，e ＝c a ＝k －2k ＋2＝13，解得k ＝52；当焦点在y 轴上时，a ＝2，b ＝k ＋2，c ＝2－k ，e ＝c a ＝2－k 2＝13，解得k ＝149.所以k ＝52或k ＝149. 答案：52或149三、解答题(共40分)10．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63. 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x2b 2＝1(a>b>0)．由已知a ＝3b 且椭圆过点(3，－1)，∴323b2＋1b 2＝1或13b 2＋32b2＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝82，b 2＝829.故所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1或y 282＋x2829＝1.(2)当椭圆的焦点在x 轴上时， 由题意知a ＝3，c a ＝63，∴c＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，由题意知b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y227＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y227＝1.图211．(15分)如图2，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率． 解：法1：设焦点坐标为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b)．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab.又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.法2：设M(c ，23b)，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．(15分)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，如果在椭圆上存在一点M(x 0，y 0)，使得∠F 1MF 2＝π3，求离心率e 的取值范围．解：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，有(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3＝(r 1＋r 2)2－3r 1r 2，又r 1＋r 2＝2a ，∴4a 2－4c 2＝3r 1r 2≤3(r 1＋r 22)2＝3a 2，即a 2≤4c 2，∴e 2＝(c a )2≥14.又0<e<1，∴12≤e<1(当且仅当r 1＝r 2，即△F 1MF 2为等边三角形时等号成立)．。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)一、基础过关1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69) 3．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34 C.22D.234．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.135．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是 ( ) A.14 B.12 C ．2D ．46．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0，a >0，b >0)具有( )A ．相同的顶点B ．相同的离心率C ．相同的焦点D ．相同的长轴和短轴7．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是_________________________________________________________________．8．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)离心率是23，长轴长是6.(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 二、能力提升9．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝___________________________________. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 11．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e . 三、探究与拓展13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，过椭圆的中心O 的直线交椭圆于B 、C 两点，且AC →·BC →＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，求此椭圆的方程．答案1．C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.y 264＋x 248＝1 8．解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的 中线(高)，且|OF |＝c ， |A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.9.14或4 10.2－111．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32，∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为 F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 12．解 由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2，又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a ＋5＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0， ∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率为e ＝12.13．解 ∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，∴|BC →|＝2|AC →|.又AC →·BC →＝0，∴AC ⊥BC . ∴△AOC 为等腰直角三角形． ∵|OA |＝2，∴C 点的坐标为(1,1)或(1，－1)， ∵C 点在椭圆上，a ＝2， ∴14＋1b 2＝1，b 2＝43. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 243＝1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2.2椭圆的简单几何性质一、选择题1．【题文】椭圆22145x y +=的一个焦点坐标是 （ ） A ．()3,0 B ．()0,3 C ．()1,0 D ．()0,12．【题文】若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m =（ ）A ．32 C ．83 D ．233．【题文】离心率为23，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） A.22195x y += B. 22195x y +=或22159x y += C.2213620x y += D. 2213620x y +=或2212036x y +=4．【题文】已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（ ） A.4 B.5 C. 7 D.85．【题文】直线:220l x y -+=过椭圆左焦点1F 和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．15B ．25 C6．【题文】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．13C ．12 D ．37．【题文】椭圆2212516x y +=的左，右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若△2ABF 的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12y y -值为（ ）A ．53B ．103C ．203 D8．【题文】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ,126α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．⎣⎦C ．1,3⎦D ．1,2⎦二、填空题9．【题文】已知椭圆2211612x y +=，则离心率e 等于________．10．【题文】若椭圆22189x y k +=+的离心率13e =，则k 的值为 .11．【题文】在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若△MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ．三、解答题12.【题文】如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．13．【题文】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =（1）求椭圆的方程；（2）若直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，CD =k 的值．14．【题文】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是1F 、2F ，点M 为椭圆上的一个动点，△12MF F(1)求椭圆C 的方程；(2)P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =．若直线1PF 与椭圆相交于另一点R ，求△2PRF 的面积．2.2.2椭圆的简单几何性质参考答案及解析1.【答案】D【解析】由椭圆方程22145x y+=可知其焦点在y轴，且225,4a b==，2221c a b∴=-=，1c ∴=．所以焦点为()()0,1,0,1-．故选D ．考点：椭圆的焦点． 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由题椭圆2212x y m+=焦点在x 轴上，且离心率为12，故1322e m ==⇒=. 考点：求椭圆的离心率. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】B【解析】由题意知263223a a b c e c a =⇒=⎧⎪⇒=⎨==⇒=⎪⎩当焦点在x 轴上时，22195x y +=； 当焦点在y 轴上时，22159x y +=. 考点:椭圆的标准方程. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由方程可知22222,10,21224,8.a m b m c m m =-=-∴=-==∴= 考点：椭圆方程及性质. 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】C【解析】直线:220l x y -+=与坐标轴的交点为()()0,2,1,0-，所以()()11,0,0,2F B -.所以椭圆中1,2c b ==，2225a b c ∴=+=，a ∴=c e a ==5=故选C. 考点：求椭圆离心率的值. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】D【解析】设2PF x =，因为212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，所以1122,PF x F F ==，又12122,2PF PF a F F c +==，所以23,2a x c ==，所以椭圆的离心率为c e a ==故选D ．考点：椭圆的定义及求椭圆的离心率. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】由椭圆的标准方程可得5,4,3a b c ===，因为△2ABF 的内切圆周长为π，所以△2ABF 的内切圆的半径为12，而三角形内切圆半径R 和周长L 与三角形的面积S 的关系为12S LR =，所以△2ABF 的面积为1145522⨯⨯⨯=，而△2ABF 的面积又等于△12AF F 和△12BF F 之和，即1212121622y y F F y y -⋅=-，所以1212535,3y y y y -=-=，故选A.考点：椭圆的几何性质及数形结合的思想. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】如图，因为AF BF ⊥，所以点F 在以AB 为直径的圆上，则OA OB OF c ===．根据图形的对称性知，2AF BF a +=．又因为ABF α∠=，所以()cos sin 2sin cos 2AF BF AB AB c a αααα+=⋅+⋅=+=，因此11πsin cos 4c e a ααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又因为ππ,126α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以e ∈⎦．考点：考查椭圆性质离心率. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】12【解析】由椭圆的方程可知222116,12,16124,4,2,2a b c a c e ==∴=-=∴==∴=. 考点：椭圆方程及性质. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】0或178【解析】由题意得222219938c a a c a b =⇒=⇒=，即8998k +=或8899k +=，解得0k =或178k =. 考点：椭圆的离心率. 【题型】填空题 【难度】一般11.【答案】⎝⎭【解析】过点M 作MD y ⊥轴，垂足为点D ， ∵△PQM 是锐角三角形，∴2π,4b QMD PMD c a∠=∠<<，∴222πcos cos 4MD c QMD ac a c b QM a∠==>=<-，2222,a c ac a c >-<-，∴2210,10e e e ->+-<，解得e e ><，∴该椭圆离心率的取值范围是⎝⎭.考点：椭圆的几何性质. 【题型】填空题 【难度】较难 12.【解析】设焦点坐标为()1,0F c -、()2,0F c ，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为2,3c b ⎛⎫⎪⎝⎭． 在Rt △12MF F 中，2221221F F MF MF +=，即2221494c b MF +=，而12223M F b M a F +==，整理，得22332c a ab =-.又222c a b =-，所以32b a =，所以2249b a =，所以22222222519c a b b e a a a -===-=，所以e =考点：椭圆的性质.【题型】解答题 【难度】一般13. 【答案】（1）2213x y +=（2）k =【解析】（1）由题意得2c =22c =，又c a =，所以23a =，21b =， ∴椭圆方程为2213x y +=． （2）设()11,C x y 、()22,D x y ，将2y kx =+带入2213x y +=， 整理得()22131290k x kx +++=，所以()()221236130k k ∆=-+>，①12212212,139,13k x x kx x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩又CD =()1212y y k x x -=-，所以5=，又()()()2222121212222123641313k x x x x x x kk -=+-=-++， 代入上式，整理得42712270k k --=，即()()227930k k+-=，解得297k =-（舍去）或23k =，即k= 经验证，k =k = 考点：椭圆方程及性质，直线与椭圆相交的弦长问题. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】(1)22143x y +=(2)157 【解析】(1)由已知条件得12c e a ==，122c b bc ⋅⋅==222a b c =+， ∴2a =，b =1c =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=． (2) 由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，设()0,Q y ，则()1,2P y ， 又P 在椭圆上，所以可代入求得34y =，∴直线PF 的方程为()314y x =+． 由()2231,41,43y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得276130x x +-=， 设()11,P x y ，()22,R x y ，则1267x x +=-，12137x x =-， ∴1267y y +=，122728y y =-， ∴212115227PRF Sc y y c =⋅⋅-==. 考点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质. 【题型】解答题 【难度】较难。