可转换债券定价的应用和实证分析

可转换债券定价的应用和实证分析本文从二叉树模型入手，通过考虑赎回和回售各项条款，利用倒向法，比较各节点的数值，确定出求可转换债券价格的方法，并选取市场上六支可转债定价，表明其波动率、利率、漂移率等对我国可转换债券定价的影响。

关键词：百幕大期权二叉树期权定价可转换债券研究背景可转换债券是一种混合型的金融产品，既有普通债券的特征，又有期权的特征，是一种融资和规避风险的好方法。

其债权性体现在其转化为普通股票之前，可转换债券的持有者享有获得固定利息的权利；其期权性体现在它赋予持有者在将来某个规定的期限内按约定的条件转换为公司股票或以一定的价格回售给债券发行人的权利，或者赋予债券发行者在一定条件下提前赎回债券的权利。

目前：国内发行可转换债券的有上市公司和国有非上市重点企业，由于没有很明确的管理，导致可转换债券没有明确的定价方法，根据行使权利的时间不同，可转换债券的期权可以分美式期权和欧式期权两种，在我国对期权的行使大多属于美式期权中的百幕大期权，它规定期权的持有者只能在期权到期日前的一段时间内行使其权利（寇日明等，2001）。

但是随着经济飞速发展和与国际接轨，可转换债券的发展也会越来越庞大，对其合理的定价将直接影响可转换债券的未来的发行状况。

本文对Cox当年的模型略有改动，结合实例分析各因素对我国可转换债券的影响。

二叉树期权定价模型概况二叉树模型是股票价格运动的一个常用模型，1979年由Cox，Ross和Rubinstein首次提出，直观地分析了股票价格的变动，可以模拟股票若干期之后的价格，在无套利的前提下对于期权的定价结合倒向法很容易得到，尤其是对随时执行行使权的美式期权的定价比B-S模型更好。

考虑到一个不支付红利的股票期权的估值，市场不存在无风险套利机会，允许卖空，股票市场无交易费且股票数量是可分的。

假设股票的当前价格是S，将期权的有效期分为N个时间间隔为Δt的时间段。

假设在Δt内股票价值从开始的S分别以概率p和1-p随机运动到uS（u>1）或dS（0<d<1），即在Δt时刻股票价格是uS和dS其中的一种，而在2Δt时刻，股票的价格有u2S，udS，d2S三种可能，以此类推，由牛顿二项分布可知，在iΔt 时刻有i+1种可能，即Su jd i-j，j =0，1，…i，在3Δt时刻股票价格有四种可能如图1所示。

当u，d，p确定时，二叉树模型也就确定了，股票未来的价格都能预测到。

取p =1/2时，得到，。

当p，u，d都确定时，对于股票在未来的有限期内都能知道价格的取值范围。

下面再看在无套利下利用倒向法确定期权，设fi,j为iΔt时刻第j个节点的期权值，（i∈[0，N]，j∈[0，i]），由于T时刻的执行价格K已知，所以最后T=NΔt时刻的股票看涨期权就是fN,j=max[SN,j-K,0]，在风险中性假设中，iΔt时刻第j个节点的期权值可以由(i+1)Δt时刻的第j+1个节点和第j个节点的期权值的期望值按无风险利率贴现，对于欧式看涨期权，在风险中性世界里，fi,j=e-rΔt[pfi+1,j+1+(1-p)fi+1,j]，（i∈[0，N]，j∈[0，i]）对于美式看涨期权，由于可以提前执行，所以需要比较是继续持有股票有利还是立即执行有利，所以fi,j=max{e-rΔt[ pfi+1,j+1+(1-p)fi+1,j]Suidi-j-K}。

可转换债券的定价方法可转换债券一般也会有赎回和回售的附加条款，发行者有赎回的权利，一旦被要求赎回时持有者有权转换他们的债券成为股票；当可转换公司债券的转换价值远低于债券面值时，投资人依据一定的条件可以要求发行公司以面额加计利息补偿金的价格收回可转换债券。

结合二叉树期权模型可以得到可转换债券定价步骤如下：利用二叉树模型，在树图的最后节点上，可转换债券的价值可以根据持有者在那时所拥有的任何转换选择权比较得到。

可以再倒推，类似于美式期权，比较每个节点的不同的数值，主要是赎回的价格、既不赎回也不转换时的价格即继续持有（可以看着是在无风险利率和风险中性世界下的贴现）、发生转换时的价格和回售价格，依次记为Q1，Q2，Q3，Q4。

Q1=面值+应计利息，通常也是会固定赎回价格的；在iΔt时刻，第j个节点上Q2=e-rΔt[ pfi+1,j+1+(1-p)fi+1,j]；同时刻的同节点处，Q3=Suidi-jl，l为转换率，为面值比转股价格的比率，有时也会固定一股债券可以转换多少股股票，Q4是回售价格。

由于投资者是多头，在整个过程中比较Q3、Q4，作为投资者肯定会选择最大的。

而在Q3、Q4过大时，债券发行人在结合赎回条款时会要求赎回债券，在检验赎回是否最优时得比较Q1，Q2，发行人希望得到的是Q1，Q2中最小的，取到减少负债的效果，于是任何节点的取值应该是max[min(Q1，Q2)，Q3，Q4]。

在每个节点处重复利用max[min(Q1，Q2)，Q3，Q4]就可以得到这点的值，最后可以得到可转换债券的价格。

假设无风险利率为r1，债券的收益率为r2，按可转换债券所处的类型选择相应利率，结合离散利率模型，可知道前一期的实际利率。

有些可转换债券没有附加赎回和回售条款，那么我们只需要考虑在节点处是转换成股票还是继续持有债券，这样会更容易些，各个节点的取值为max[Q2，Q3]，此处Q2，Q3定义同上。

例如：云南锡业股份有限公司发行的可转换债券；可以计算锡业转债90天到期的可转换价值，发行的都是面值100元的贴现债券，票面利率是 1.3%。

股票初始价值S=28.5元，中途不分红，一年无风险利率R=2.42%，债券的收益率为3.36%，假设在任何时刻都可以按106元的价格赎回债券，回售价格是103元，该债券在90天内任何时刻可以转换成公司的3.5股股票。

表1是锡业股份的60个交易日的股价。

根据统计学中的抽样估计，从60天的交易数据估计90的波动率，令每次价格为Si，，u是ui的均值，那么会有日波动率为，那么90天的波动率则为，利用EXCEL软件计算得到=0.052，σ=0.4933，由于p=0.5，把复利转换为连续利率，r =ln(1.0242)≈0.024，所以，，，以三个月为一期，则三期内的股票价格走势为图2所示。

先看最后的节点H，I，J，K处，转换价值为max[100.975,3.5ST]，通过比较可知，H，I，J，K出的价值依次是194.32，118.62，100.795，100.795.在H，I点处肯定会发生转换，利率为2.4%，J，K处由于转换后股票价格偏低，故不转换，利率为3.36%。

于是D点的的利率也是2.4%，倒推得到的债权价值是(0.5*194.32+0.5*118.62) *exp(-0.024*0.25)=155.96，于是D点价值max[min(106, 155.96),155.57,103]=155.57；对于E点，其贴现率为(3.36%+2.4%)/2= 2.88%，倒推得到的价值是(0.5*100.795+0.5*118.62)*exp(-0.0288*0.25)= 108.92，于是E点价值是max[min(106,108.92),94.99,103]=106；对于F点，贴现率为3.36%，倒推价值是(0.5*103+0.5*103)* exp(-0.0336*0.25)=102.13，于是F点的价值是max[min(102.13,106),58,103]=103；B点的贴现率是(0.024+0.0288)/2= 0.0264，于是倒推价值是(0.5*155.57+0.5*106)*exp(-0.0264*0.25)=129.92，于是B点的价值为max[min(106,129.92),124.57,103]=124.57；C点贴现率为(0.0288+0.0336)/2=0.0312，倒推价值为(0.5*103+0.5*106)*exp(-0.0312*0.25)=103.68，于是C点价值为max[min(103.68,106),76.06,103]=103.68；最后A点的贴现率为(0.0264+0.0312)/2=0.0288，则A点的价值是：(0.5*103.68+0.5*124.57) *exp(-0.0288*0.25)=113.31。

所以锡业转债理论价格应该是113.31元,国内锡业转债的发行价为100元，可见这支转债的实际价格被低估。

在同样的条件下可得到一些转债理论价格如表2所示。

六支转债的发行价格都是100元，低于理论价格，可以发现我国部分可转换债券实际价格被低估。

实证分析从上面的实例可以发现我国部分可转换债券发行价格都低于理论价格，影响可转换债券定价的因素有时间间隔Δt，波动率σ，无风险利率r1，债券收益率r2，漂移系数u，d，转股率l，在考虑赎回和回售条款时，赎回价和回售价对可转换债券也有影响。

对比所选择的六支可转换债券的过程，可以得到以下影响可转换债券价格的几种情况：漂移系数的确定对可转换债券定价影响很大，u，d之间相差越大，则股票价格也会相差很多，则定价也会偏大。

对于，，指数都是关于利率r的增函数，随着r增大，u，d也会增大，在我国规定可转换债券市场上规定可转换债券的票面利率不超过银行同期的利率水平，因而在定价过程中会导致发行的可转换债券的价格低于理论价格。

通常衍生产品间隔时间被分割的越细，定价越精确，当Δt→0时，定价就是真实值。

赎回价格和回售价格的确定对可转换债券的定价影响也很大。

在我国，赎回价格通常是比面值多3%到6%，从计算定价过程中可以知道，当Q2，Q3价格过低时，Q1，Q4会使得节点处的价值高于发行价，从而减小投资者损失。

波动率σ是指股票价格之间的波动情况，直接影响到漂移系数的取值，从而影响可转换债券定价。

在文中我们根据历史价格得到常数σ，实际上我国股票市场不稳定，波动幅度很大，把σ看作为常数，会与实际价格偏离较大。

转股率l一般可以按转股时价格计算，也可以用发行价格除以开始时的价格得到固定的l，这样对于整个定价会简单些。

通常同一支可转换债券l越大，定价就会越高；l越小，定价就会越低。

由于可转换债券的具有可转换性，所以如果只用无风险利率r1，会有较大的偏差，本文结合了债券收益率r2，然后利用离散利率模型倒推得到个节点处的真实贴现利率，有利于准确计算可转债的价格。

结论当然，可转换债券的价格还会受到来自市场上别的因素的影响，比如供求关系、同类股票价格、公司的发展前景、利率变化趋势、违约风险等。

所求的六支可转换债券定价虽都比发行价格高，但是仍可以作为发行公司的参考价，随着市场的完善，转债的价格也会越来越合理化。

本文从简单介绍二叉树模型入手，得到了可转换债券的定价方法，为缩小误差，利用了无风险利率和债券收益率，通过计算市场上六支可转换债券的价格，表明其波动率、利率、漂移率等对我国可转换债券定价的影响。