解析几何压轴大题专题突破

解析几何压轴大题专题突破

1. 已知命题 p ：方程

x 22m

+

y 29−m

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q ：双曲线

y 25

−

x 2m

=1 的离心率 e ∈(

√6

2

,√2)，若命题 p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.

2. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα,

y =sinα,（α 为参数），以坐标

原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π

4

)=2√2．

（1）写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程；

（2）设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标．

3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =−2，圆 C 2:(x −1)2+(y −2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C 1，C 2 的极坐标方程；

（2）若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π

4(ρ∈R )，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ，N ，求 △

C 2MN 的面积．

4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A ，B 两点． （1）求抛物线的标准方程；

（2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB

⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （3）如果 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB

⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．

5. 已知抛物线 C:y 2=2px (p >0) 与直线 x −√2y +4=0 相切． （1）求该抛物线的方程；

（2）在 x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 M ，过该点的动直线 l 与抛物线 C

交于 A ，B 两点，使得 1

∣AM∣

+1∣BM∣ 为定值．如果存在，求出点 M 坐标；如果不

存在，请说明理由．

6. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 A 的坐标为 (2−3sinα,3cosα−2)，其中 α∈R ．在极坐标系（以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 C 的方程为 ρcos (θ−π

4

)=a ．

（1）判断动点 A 的轨迹的形状；

（2）若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数 a 的值．

7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a +

y 2b =1(a >b >0) 的离心率为 √6

3

．且

过点 (3,−1)．

（1）求椭圆 C 的方徎；

（2）动点 P 在直线 l ：x =−2√2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，使得

PM =PN ，再过 P 作直线 lʹ⊥MN ，直线 lʹ 是否恒过定点，若是，请求出该定

点的坐标；若否，请说明理由．

8. 在平面直角坐标系 xOy 中，C 1:{x =t,

y =k (t −1)

（t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0． （1）求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 P ，Q 分别为 C 1，C 2 上的动点，且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2，求 k 的值．

9. 设 F 1，F 2 分别是椭圆 C:

x 2a 2

+

y 2b 2

=1(a >b >0) 的左，右焦点，M 是 C 上一点且

MF 2 与 x 轴垂直．直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ． （1）若直线 MN 的斜率为 3

4，求 C 的离心率；

（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN∣=5∣F 1N ∣，求 a ，b ．

10. 已知抛物线 E:x 2=2py (p >0)，直线 y =kx +2 与 E 交于 A ，B 两点，且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅

OB

⃗⃗⃗⃗⃗ =2，其中 O 为原点． （1）求抛物线 E 的方程；

（2）点 C 坐标为 (0,−2)，记直线 CA ，CB 的斜率分别为 k 1，k 2，证明：k 12

+

k 22

−2k 2 为定值．

11. 已知椭圆的一个顶点为 A (0,−1)，焦点在 x 轴上．若右焦点到直线 x −y +2√2=

0 的距离为 3． （1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线 y =kx +m (k ≠0) 相交于不同的两点 M ，N ．当 ∣AM∣=∣AN∣

时，求 m 的取值范围．

12. 双曲线 C 与椭圆

x 28

+

y 24

=1 有相同的焦点，直线 y =√3x 为 C 的一条渐近线．求

双曲线 C 的方程．

13. 已知不过第二象限的直线 l:ax −y −4=0 与圆 x 2+(y −1)2=5 相切． （1）求直线 l 的方程；

（2）若直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，直线 l 2 与直线 l 1 关于直线 y =1 对

称，求直线 l 2 的方程．

14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,

y =sinφ

（φ 为参数）．以 O 为极

点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 C 的极坐标方程；

（2）直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π

3 与圆 C 的

交点为 O ，P ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．

15. 双曲线与椭圆有共同的焦点 F 1(0,−5)，F 2(0,5)，点 P (3,4) 是双曲线的渐近线与椭

圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．

16. 在抛物线 y =4x 2 上有一点 P ，若点 P 到直线 y =4x −5 的距离最短，求该点 P

坐标和最短距离．

17. 已知函数 y =a 2−x +1（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点 A ，点 A 在直线 mx +

ny =1(mn >0) 上，求 1

m

+1

n 的最小值．

18. 已知直线 l:y =x +m 与抛物线 y 2=8x 交于 A ，B 两点， （1）若 ∣AB ∣=10，求 m 的值；