解析几何压轴大题专题突破

解析几何压轴大题专题突破1. 已知命题 p ：方程x 22m+y 29−m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q ：双曲线y 25−x 2m=1 的离心率 e ∈(√62,√2)，若命题 p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.2. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα,y =sinα,（α 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π4)=2√2．（1）写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标．3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =−2，圆 C 2:(x −1)2+(y −2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C 1，C 2 的极坐标方程；（2）若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R )，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ，N ，求 △C 2MN 的面积．4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A ，B 两点． （1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （3）如果 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．5. 已知抛物线 C:y 2=2px (p >0) 与直线 x −√2y +4=0 相切． （1）求该抛物线的方程；（2）在 x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 M ，过该点的动直线 l 与抛物线 C交于 A ，B 两点，使得 1∣AM∣+1∣BM∣ 为定值．如果存在，求出点 M 坐标；如果不存在，请说明理由．6. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 A 的坐标为 (2−3sinα,3cosα−2)，其中 α∈R ．在极坐标系（以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 C 的方程为 ρcos (θ−π4)=a ．（1）判断动点 A 的轨迹的形状；（2）若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数 a 的值．7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)．（1）求椭圆 C 的方徎；（2）动点 P 在直线 l ：x =−2√2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，使得PM =PN ，再过 P 作直线 lʹ⊥MN ，直线 lʹ 是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．8. 在平面直角坐标系 xOy 中，C 1:{x =t,y =k (t −1)（t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0． （1）求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 P ，Q 分别为 C 1，C 2 上的动点，且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2，求 k 的值．9. 设 F 1，F 2 分别是椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左，右焦点，M 是 C 上一点且MF 2 与 x 轴垂直．直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ． （1）若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN∣=5∣F 1N ∣，求 a ，b ．10. 已知抛物线 E:x 2=2py (p >0)，直线 y =kx +2 与 E 交于 A ，B 两点，且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =2，其中 O 为原点． （1）求抛物线 E 的方程；（2）点 C 坐标为 (0,−2)，记直线 CA ，CB 的斜率分别为 k 1，k 2，证明：k 12+k 22−2k 2 为定值．11. 已知椭圆的一个顶点为 A (0,−1)，焦点在 x 轴上．若右焦点到直线 x −y +2√2=0 的距离为 3． （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线 y =kx +m (k ≠0) 相交于不同的两点 M ，N ．当 ∣AM∣=∣AN∣时，求 m 的取值范围．12. 双曲线 C 与椭圆x 28+y 24=1 有相同的焦点，直线 y =√3x 为 C 的一条渐近线．求双曲线 C 的方程．13. 已知不过第二象限的直线 l:ax −y −4=0 与圆 x 2+(y −1)2=5 相切． （1）求直线 l 的方程；（2）若直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，直线 l 2 与直线 l 1 关于直线 y =1 对称，求直线 l 2 的方程．14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3 与圆 C 的交点为 O ，P ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．15. 双曲线与椭圆有共同的焦点 F 1(0,−5)，F 2(0,5)，点 P (3,4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．16. 在抛物线 y =4x 2 上有一点 P ，若点 P 到直线 y =4x −5 的距离最短，求该点 P坐标和最短距离．17. 已知函数 y =a 2−x +1（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点 A ，点 A 在直线 mx +ny =1(mn >0) 上，求 1m+1n 的最小值．18. 已知直线 l:y =x +m 与抛物线 y 2=8x 交于 A ，B 两点， （1）若 ∣AB ∣=10，求 m 的值；（2）若 OA ⊥OB ，求 m 的值．19. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为 √2−1，求椭圆的方程．20. 讨论直线 l:y =kx +1 与双曲线 C:x 2−y 2=1 的公共点的个数．21. 已知 p ：方程 x 2+2mx +(m +2)=0 有两个不等的正根；q ：方程x 2m+3−y 22m−1=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线．（1）若 q 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若“p 或 q ”为真，“p 且 q ”为假，求实数 m 的取值范围．22. 已知双曲线的焦点在 x 轴上，∣F 1F 2∣=2√3，渐近线方程为 √2x ±y =0，问：过点 B (1,1) 能否作直线 l ，使 l 与双曲线交于 M ，N 两点，并且点 B 为线段 MN 的中点?若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．23. 已知点 P (2,0) 及圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0．（1）设过 P 的直线 l 1 与圆 C 交于 M ，N 两点，当 ∣MN∣=4 时，求以 MN 为直径的圆 Q 的方程；（2）设直线 ax −y +1=0 与圆 C 交于 A ，B 两点，是否存在实数 a ，使得过点P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ?若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．24. 在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2． （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为 (1,2)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，求 ∣MA ∣⋅∣MB ∣ 的值．25. 已知椭圆 C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，离心率为 √32，两焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，且 △F 2MN 的周长为 8． （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P (m,0) 作圆 x 2+y 2=1 的切线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，求弦长 ∣AB∣ 的最大值．26. 已知数列 {a n } 的首项为 1，S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，S n =qS n−1+1，其中q >0，n >1，n ∈N ∗．（1）若 2a 2，a 3，a 2+2 成等差数列，求 {a n } 的通项公式； （2）设双曲线 x 2−y 2a n2=1 的离心率为 e n ，且 e 2=3，求 e 12+e 22+⋯+e n 2．27. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ−4sinθ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）．（1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由； （2）若直线 l 和曲线 C 相交于 A ，B 两点，且 ∣AB ∣=3√2，求直线 l 的斜率．28. 已知椭圆x 2a+y 2b =1(a >b >0) 的离心率 e =√63，坐标原点到直线 l:y =bx +2的距离为 √2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线 y =kx +2(k ≠0) 与椭圆相交于 C ，D 两点，是否存在实数 k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E (−1,0)?若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由．29. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P (−3,0)，其倾斜角为 α，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2−2ρcosθ−3=0． （1）若直线 l 与曲线 C 有公共点，求倾斜角 α 的取值范围； （2）设 M (x,y ) 为曲线 C 上任意一点，求 x +y 的取值范围．30. 椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0) 有如下命题：AB 是椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0) 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则 k OM ⋅k AB =−b 2a 为定值．那么对于双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0) 则有命题：AB 是双曲线 x 2a −y 2b =1(a >0,b >0) 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 k OM ⋅k AB = 定值 ．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．31. （1）求中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距等于 4，且经过点 P(3,−2√6) 的椭圆方程； （2）求 e =√63，并且过点 (3,0) 的椭圆的标准方程．32. 已知抛物线 y 2=4x ，焦点为 F ，顶点为 O ，点 P 在抛物线上移动，Q 是 OP 的中点，M 是 FQ 的中点，求点 M 的轨迹方程．33. 已知点 A (0,−2)，椭圆 E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √32，F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．（1）求 E 的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P ，Q 两点，当 △OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．34. P 为椭圆x 225+y 29=1 上一点，F 1，F 2 为左右焦点，若 ∠F 1PF 2=60∘．（1）求 △F 1PF 2 的面积； （2）求 P 点的坐标．35. 已知双曲线 C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为(1,0)．（1）求双曲线 C 的方程；（2）已知直线 y =x +m 与双曲线 C 交于不同的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点为 M (x 0,y 0)．当 x 0≠0 时，求 y0x 0 的值．36. 已知双曲线x 216−y 24=1 的两焦点为 F 1，F 2．（1）若点 M 在双曲线上，且 MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 M 点到 x 轴的距离； （2）若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点 (3√2)，求双曲线 C 的方程．37. 椭圆x 2a+y 2b =1(a >b >0) 的两个焦点为 F 1，F 2，点 P 在椭圆 C 上，且 ∣PF 1∣=43，∣PF 2∣=143，PF 1⊥PF 2．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 L 过圆 x 2+y 2+4x −2y =0 的圆心 M 交椭圆于 A ，B 两点，且 A ，B 关于点 M 对称，求直线 L 的方程．38. 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 4x +3y −29=0 相切． （1）求圆的方程；（2）设直线 ax −y +5=0(a >0) 与圆相交于 A ，B 两点，求实数 a 的取值范围； （3）在 (Ⅱ) 的条件下，是否存在实数 a ，使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P (−2,4)，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．39. 已知直线 C 1:{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，圆 C 2:{x =cosθ,y =sinθ(θ 为参数)．（1）当 α=π3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标；（2）过坐标原点 O 作 C 1 的垂线，垂足为 A ，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．40. 已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x −3y =0 上，且被直线 y =x 截得的弦长为 2√7，求圆 C 的方程．41. 如图，直线 l:y =x +b 与抛物线 C:x 2=4y 相切于点 A ．（1）求实数 b 的值； （2）求以 A 点为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．42. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x +6)2+y 2=25．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的参数方程是 {x =tcosα,y =tsinα,（t 为参数），直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=√10，求 l 的斜率．43. 已知双曲线与椭圆x 29+y 225=1 有公共焦点 F 1，F 2，它们的离心率之和为 245．（1）求双曲线的标准方程； （2）设 P 是双曲线与椭圆的一个交点，求 cos∠F 1PF 2．44. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为 (32,√6)，求抛物线与双曲线方程．45. 已知曲线 C 上任一点 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1． （1）求曲线 C 的方程；（2）过点 Q (1,2) 作两条倾斜角互补的直线与曲线 C 分别交于点 A ，B ，试问：直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．46. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），直线 l过点 (0,2) 且倾斜角为 π3．（1）求圆 C 的普通方程及直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，求弦 ∣AB ∣ 的长．47. 已知椭圆 C:x 2a+y 2b =1(a >b >0) 的一个长轴顶点为 A (2,0)，离心率为 √22，直线y =k (x −1) 与椭圆 C 交于不同的两点 M ，N ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）当 △AMN 的面积为√103时，求 k 的值．48. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点为 F 1，F 2，A 点在椭圆上，离心率是 √22，AF 2 与 x 轴垂直，且 ∣AF 2∣=√2． （1）求椭圆的方程；（2）若点 A 在第一象限，过点 A 作直线 l ，与椭圆交于另一点 B ，求 △AOB 面积的最大值．49. 已知点 (1,√22) 在椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √22．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 A ，B ，在 x 轴上是否存在点 M ，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案，仅供参考1. 若命题 p ：方程x 22m+y 29−m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆为真命题；则 9−m >2m >0， 解得 0<m <3，则命题 p 为假命题时，m ≤0 或 m ≥3， 若命题 q ：双曲线 y 25−x 2m=1 的离心率 e ∈(√62,√2) 为真命题； 则 √5+m 5∈(√62,√2)， 即5+m 5∈(32,2)，即 52<m <5，则命题 q 为假命题时，m ≤52 或 m ≥5，因为命题 p ，q 中有且只有一个为真命题， 当 p 真 q 假时，0<m ≤52，当 p 假 q 真时，3≤m <5，综上所述，实数 m 的取值范围是：0<m ≤52或 3≤m <5．2. （1） C 1:{x =√3cosα,y =sinα（α 为参数）的直角坐标方程是：x 23+y 2=1，C 2 的直角坐标方程：ρsin (θ+π4)=2√2，整理得，√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，x +y =4．（2） 设 x +y =4 的平行线为 l 1:x +y +c =0， 当 l 1:x +y +c =0 且 c <0 和 C 1 相切时 ∣PQ ∣ 距离最小， 联立直线和椭圆方程得 x 23+(x +c )2−1=0，整理得4x 23+2cx +c 2−1=0，需要满足 Δ=−4c 23+163=0，求得 c =±2，当直线为 l 1:x +y −2=0 时，满足题意，此时 ∣PQ ∣=√2，此时直线 l 1 和椭圆交点即是 P 点坐标 (32,12)．3. （1） C 1:ρcosθ=−2，C 2:ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0． （2） C 3:y =x ，圆 C 2 的圆心 C 2 到 y =x 的距离 d =√2=√22， ∴∣MN∣=2⋅√12−(√22)2=√2，∴S △C 2MN =12⋅∣MN∣⋅d =12⋅√2⋅√22=12．4. （1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1， 所以 p2=1，p =2．所以抛物线的标准方程为 y 2=4x ．（2） 设 l:my =x −1，与 y 2=4x 联立，得 y 2−4my −4=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4， 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=−3.（3） 假设直线 l 过定点，设 l:my =x +n ，{my =x +n,y 2=4x, 得 y 2−4my +4n =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4n ． 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4=(m 2+1)y 1y 2−mn (y 1+y 2)+n 2=n 2+4n,解得 n =−2，所以 l:my =x −2 过定点 (2,0)． 5. （1） 联立方程有，{x −√2y +4=0,y 2=2px,有 y 2−2√2py +8p =0，由于直线与抛物线相切，得 Δ=8p 2−32p =0，所以 p =4， 所以 y 2=8x ．（2） 假设存在满足条件的点 M (m,0)(m >0)，直线 l:x =ty +m ，有 {x =ty +m,y 2=8x,y 2−8ty −8m =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，有 Δ>0，y 1+y 2=8t ，y 1y 2=−8m ，∣AM ∣2=(x 1−m )2+y 12=(t 2+1)y 12，∣BM ∣2=(x 2−m )2+y 22=(t 2+1)y 22，1∣AM∣+1∣BM∣=1(t +1)y 12+1(t +1)y 22=1(t +1)(y 12+y 22y 12y 22)=1(t +1)(4t 2+m4m ),当 m =4，满足 Δ>0 时，1∣AM∣2+1∣BM∣2为定值，所以 M (4,0)．6. （1） 设动点 A 的直角坐标为 (x,y )，则 {x =2−3sinα,y =3cosα−2,所以动点 A 的轨迹方程为 (x −2)2+(y +2)2=9，其轨迹是半径为 3 的圆．（2） 直线 C 的极坐标方程 ρcos (θ−π4)=a 化为直角坐标方程是 √2x +√2y =2a ，由∣∣2√2−2√2−2a ∣∣2=3，得 a =3 或 a =−3．7. （1） 因为椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)，所以 {9a+1b =1,c 2a 2=a 2−b 2a 2=(√63)2,解得 a 2=12，b 2=4， 所以椭圆 C 的方程为x 212+y 24=1．（2） 因为直线 l 的方程为 x =−2√2， 设 P(−2√2,y 0)，y 0∈(−2√33,2√33)， 当 y 0≠0 时，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由题意知 x 1≠x 2， 联立 {x 1212+y 124=1,x 2212+y 224=1,所以 x 12−x 2212+y 12−y 224=0， 所以y 1−y 2x 1−x 2=13⋅x 1+x 2y 1+y 2，又因为 PM =PN ， 所以 P 为线段 MN 的中点， 所以直线 MN 的斜率为 −13⋅−2√2y 0=2√23y 0， 又 lʹ⊥MN ，所以 lʹ 的方程为 y −y 0=−02√2+2√2)，即 y =−02√2(x +4√23)， 所以 lʹ 恒过定点 (−4√23,0)． 当 y 0=0 时，直线 MN 为 x =−2√2， 此时 lʹ 为 x 轴，也过点 (−4√23,0)， 综上，lʹ 恒过定点 (−4√23,0)． 8. （1） 由 {x =t,y =k (t −1),可得其普通方程为 y =k (x −1)， 它表示过定点 (1,0)，斜率为 k 的直线．由 ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0 可得其直角坐标方程为 x 2+y 2+10x −6y +33=0，整理得 (x +5)2+(y −3)2=1，它表示圆心为 (−5,3)，半径为 1 的圆． （2） 因为圆心 (−5,3) 到直线 y =k (x −1) 的距离 d =√1+k 2=√1+k 2，故 ∣PQ ∣ 的最小值为 √1+k 2−1，故√1+k 2−1=2，得 3k 2+4k =0， 解得 k =0 或 k =−43． 9. （1） 根据 c =2−b 2 及题设知 M (c,b2a)，F 2(−c,0)，由斜率公式并化简整理易得2b 2=3ac ．将 b 2=a 2−c 2 代入 2b 2=3ac ，解得 ca=12或 ca=−2（舍去）．故 C 的离心率为 12．（2） 由题意，得原点 O 为 F 1F 2 的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线 MF 1 与 y 轴的交点 D (0,2) 是线段 MF 1 的中点，故 b 2a=4，即 b 2=4a. ⋯⋯①由 ∣MN∣=5∣F 1N ∣ 得 ∣DF 1∣=2∣F 1N ∣． 设 N (x 1,y 1)，由题意知 y 1<0，则 {2(−c −x 1)=c,−2y 1=2, 即 {x 1=−32c,y 1=−1. 代入 C 的方程，得 9c 24a2+1b 2=1. ⋯⋯②将 ① 及 c =√a 2−b 2 代入 ② 得9(a 2−4a )4a 2+14a=1．解得 a =7，b 2=4a =28，故 a =7，b =2√7．10. （1） 将 y =kx +2 代入 x 2=2py ，得 x 2−2pkx −4p =0． 其中 Δ>0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=−4p ． 所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+x 122p⋅x 222p=−4p +4． 由已知，−4p +4=2，解得 p =12，所以抛物线 E 的方程为 x 2=y ．（2） 由（1）知，x 1+x 2=k ，x 1x 2=−2． k 1=y 1+2x 1=x 12+2x 1=x 12−x 1x 2x 1=x 1−x 2， 同理 k 2=x 2−x 1，k =y 1−y 2x 1−x 2=x 12−x 22x 1−x 2=x 1+x 2，所以 k 12+k 22−2k 2=−8x 1x 2=16.11. （1） 依题意可设椭圆方程为 x 2a 2+y 2=1，则右焦点 F(√a 2−1,0)，由题设∣∣√a 2−1+2√2∣∣√2=3，解得 a 2=3， 故所求椭圆的方程为x 23+y 2=1．（2） 设 P 为弦 MN 的中点，由 {y =kx +m,x 23+y 2=1,得 (3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2−1)=0， 由于直线与椭圆有两个交点，所以 Δ>0，即 m 2<3k 2+1, ⋯⋯① 所以 x P =x M +x N2=−3mk 3k 2+1， 从而 y P =kx P +m =m3k +1， 所以 k AP =y P +1x P=−m+3k 2+13mk，又 ∣AM∣=∣AN∣， 所以 AP ⊥MN ， 则 −m+3k 2+13mk=−1k ，即 2m =3k 2+1, ⋯⋯②把 ② 代入 ① 得 2m >m 2 解得 0<m <2， 由 ② 得 k 2=2m−13>0，解得 m >12．故所求 m 的取值范围是 (12,2)．12. 设双曲线方程为 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由椭圆x 28+y 24=1，求得两焦点为(−2,0)，(2,0)，所以对于双曲线 C ：c =2．又 y =√3x 为双曲线 C 的一条渐近线， 所以 ba =√3，解得 a =1，b =√3．所以双曲线 C 的方程为 x 2−y 23=1．13. （1） 因为直线 l 与圆 x 2+(y −1)2=5 相切，所以 √1+a 2=√5，因为直线 l 不过第二象限，所以 a =2， 所以直线 l 的方程为 2x −y −4=0．（2） 因为直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行， 所以设直线 l 1 的方程为 2x −y +b =0，因为直线 l 1 过点 (3,−1)，所以 b =−7，则直线 l 1 的方程为 2x −y −7=0， 因为直线 l 2 与 l 1 关于 y =1 对称，所以直线 l 2 的斜率为 −2，且过点 (4,1)， 所以直线 l 2 的方程为 y −1=−2(x −4)，即化简得 2x +y −9=0．14. （1） 圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．消去参数可得：(x −1)2+y 2=1．把 x =ρcosθ，y =ρsinθ 代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （2） 如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3．可得普通方程：直线 l ：y +√3x =3√3，射线 OM ：y =√3x ． 联立 {y +√3x =3√3,y =√3x,解得 {x =32,y =3√32,即 Q (32,3√32)． 联立 {y =√3x,(x −1)2+y 2=1, 解得 {x =0,y =0 或 {x =12,y =√32.所以 P (12,√32)．来自QQ 群284110736所以 ∣PQ ∣=√(12−32)2+(√32−3√32)2=2．15. 由共同的焦点 F 1(0,−5)，F 2(0,5)，可设椭圆方程为 y 2a 2+x 2a 2−25=1，双曲线方程为y 2b 2−x 225−b 2=1，点 P (3,4) 在椭圆上，16a2+9a 2−25=1，解得 a 2=40，双曲线的过点 P (3,4) 的渐近线为 y =43x ， 故b 225−b =169，解得 b 2=16．所以椭圆方程为：y 240+x 215=1；双曲线方程为：y 216−x 29=1．16. 设点 P (t,4t 2)，点 P 到直线 y =4x −5 的距离为 d ，则 d =∣2∣√17=4(t−12)2+4√17．当 t =12时，d 取得最小值，此时 P (12,1) 为所求的点，最短距离为 4√1717． 17. 当 x =2 时 y =2， 所以过定点 A (2,2)， 因为 A 在直线上，所以 2m +2n =1，且 mn >0， 所以 1m +1n =(1m +1n )(2m +2n )=2+2+2m n+2n m≥4+2√4=8，即 1m+1n 的最小值为 8．18. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)．{y =x +m,y 2=8x⇒x 2+(2m −8)x +m 2=0⇒{Δ=(2m −8)2−4m 2>0,x 1+x 2=8−2m,x 1x 2=m 2.∣AB ∣=√2∣x 1−x 2∣=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=10,m =716，因为 m <2， 所以 m =716．（2） 因为 OA ⊥OB ， 所以 x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(x 1+m )(x 2+m )=0，2x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=0． 2m 2+m (8−2m )+m 2=0，m 2+8m =0，m =0 或 m =−8， 经检验 m =−8．19. 因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点， 所以 b =c ，a =√2b ，又焦点到同侧长轴端点距离为 √2−1， 即 a −c =√2−1，即 a −b =√2−1，解得 a =√2，b =c =1， 所以当焦点在 x 轴时，椭圆的方程为：x 22+y 2=1；当焦点在 y 轴时，椭圆的方程为y22+x 2=1．20. 由方程组 {y =kx +1,x 2−y 2=1 消去 y ，得 (1−k 2)x 2−2kx −2=0，当 1−k 2=0，即 k =±1 时，有一个交点． 当 1−k 2≠0，即 k ≠±1 时，Δ=(−2k )2+4×2(1−k 2)=8−4k 2．由 Δ>0，即 8−4k 2>0，得 −√2<k <√2，此时有两个交点． 由 Δ=0，即 8−4k 2=0，得 k =±√2，此时有一个交点． 由 Δ<0，即 8−4k 2<0，得 k <−√2 或 k >√2，此时没有交点．综上知，当 k ∈(−√−1)∪(−1,1)∪(1,√ 时，直线 l 与曲线 C 有两个交点； 当 k =±√时，直线 l 与曲线 C 切于一点； 当 k =±1 时，直线 l 与曲线 C 交于一点；当 k ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞) 时，直线 l 与曲线 C 没有交点． 21. （1） 由已知方程x 2m+3−y 22m−1=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 {m +3<0,1−2m >0,得 {m <−3,m <12,得 m <−3，即 q ：m <−3． （2） 若方程 x 2+2mx +(m +2)=0 有两个不等的正根，则 {Δ=4m 2−4(m +2)>0,−2m >0,m +2>0,解得 −2<m <−1，即 p ：−2<m <−1． 因 p 或 q 为真，所以 p ，q 至少有一个为真． 又 p 且 q 为假，所以 p ，q 至少有一个为假．因此，p ，q 两命题应一真一假，当 p 为真，q 为假时，{−2<m <−1,m ≥−3,解得 −2<m <−1；当 p 为假，q 为真时，{m ≤−2或m ≥−1,m <−3,解得 m <−3．综上，−2<m <−1 或 m <−3． 22. 根据题意，c =√3，ba =√2，所以 a =1，b =√2． 所以双曲线的方程是：x 2−y 22=1．过点 B (1,1) 的直线方程为 y =k (x −1)+1 或 x =1．①当 k 存在时，联立方程可得 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0． 当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 Δ=(2k 2−2k )2−4(2−k 2)(−k 2+2k −3)>0，k <32，又方程的两个不同的根是两交点 M ，N 的横坐标，所以 x 1+x 2=2(k−k 2)2−k ．又因为 B (1,1) 是线段 MN 的中点， 所以2(k−k 2)2−k 2=2，解得 k =2．所以 k =2，使 2−k 2≠0 但使 Δ<0．因此当 k =2 时，方程 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0 无实数解，故过点 B (1,1) 与双曲线交于两点 M ，N 且 B 为线段 MN 中点的直线不存在． ②当 x =1 时，直线经过点 B 但不满足条件． 综上所述，符合条件的直线 l 不存在．23. （1） 由于圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0 的圆心 C (3,−2)，半径为 3，∣CP∣=√5，而弦心距 d =√5， 所以 d =∣CP∣=√， 所以 P 为 MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为 (2,0)，半径为 12∣MN∣=2，故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为(x −2)2+y 2=4；（2） 把直线 ax −y +1=0 即 y =ax +1 代入圆 C 的方程，消去 y ，整理得 (a 2+1)x 2+6(a −1)x +9=0．由于直线 ax −y +1=0 交圆 C 于 A ，B 两点，故 Δ=36(a −1)2−36(a 2+1)>0，即 −2a >0，解得 a <0． 则实数 a 的取值范围是 (−∞,0)．设符合条件的实数 a 存在，由于 l 2 垂直平分弦 AB ，故圆心 C (3,−2) 必在 l 2 上． 所以 l 2 的斜率 k PC =−2， 所以 k AB =a =12，由于 12∉(−∞,0)，故不存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ．24. （1） 直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，消去参数 t 可得普通方程 l:x −y +1=0．曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2，可得 ρ2+(ρsinθ)2=2， 可得直角坐标方程：x 2+y 2+y 2=2， 即 C:x 22+y 2=1．（2） 把 l:{x =1+√22t y =2+√22t代入x 22+y 2=1 中，整理得 3t 2+10√2t +14=0， 设 A ，B 对应的参数分别为 t 1，t 2， 所以 t 1⋅t 2=143，点 M 在直线上由 t 的几何意义可知，∣MA ∣∣MB ∣=∣t 1⋅t 2∣=143．25. （1） 由题得：ca =√32，4a =8，所以 a =2，c =√3． 又 b 2=a 2−c 2，所以 b =1，即椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1．（2） 由题意知，∣m∣≥1．当 m =1 时，切线 l 的方程 x =1，点 A ，B 的坐标分别为 (1,√32)，(1,−√32)，此时 ∣AB∣=√3；当 m =−1 时，同理可得 ∣AB∣=√3．当 ∣m∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x −m )(k ≠0)， 由 l 与圆 x 2+y 2=1 相切，得√k 2+1=1，即 m 2k 2=k 2+1．得 k 2=1m 2−1．由 {y =k (x −m ),x 24+y 2=1得 (1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0． 设 A ，B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则 Δ=64k 4m 2−4(1+4k 2)(4k 2m 2−4)=48k 2>0，x 1+x 2=8k 2m 1+4k 2，x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2．所以∣AB∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m∣m +3.因为 ∣m∣≥1， 所以 ∣AB∣=4√3∣m∣m +3=4√3∣m∣+3∣m∣≤2，且当 m =±√3 时，∣AB∣=2，由于当 m =±1 时，∣AB∣=√3，所以 ∣AB∣ 的最大值为 2．26. （1） 当 n ≥2 时，S n+1=qS n +1, ⋯⋯① S n =qS n−1+1, ⋯⋯②①−② 得 a n+1=q ⋅a n ，即从第二项开始，数列 {a n } 为等比数列，公比为 q ， 当 n =2 时，S 2=qS 1+1，即 a 1+a 2=qa 1+1，可得 a 2=a 1q ， 所以数列 {a n } 是以 1 为首项，q 为公比的等比数列， 所以 a 2=a 1q =q ，a 3=a 1q 2=q 2， 因为 2a 2，a 3，a 2+2 成等差数列，所以 2a 3=2a 2+a 2+2，即 2q 2=2q +q +2，解得 q =2， 所以数列 {a n } 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 a n =2n−1；（2） 由（1）可得数列 {a n } 是以 1 为首项，q 为公比的等比数列， 所以 a n =q n−1>0，根据题意，e n 2=1+a n 2，因为 e 2=3，所以 1+a 22=9，解得 a 2=2√2，所以 q =a 2a 1=2√2，所以 a n =(2√2)n−1，所以 e n 2=1+a n 2=1+8n−1，所以 e 12+e 22+⋯+e n2=n +(1+8+82+⋯+8n−1)=n +8n −17．27. （1） 因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ−4sinθ， 所以 ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2+y 2=2x −4y ，即 (x −1)2+(y +2)2=5， 因为直线 l 过点 (1,−1)，且该点到圆心的距离为 √(1−1)2+(−1+2)2<√5，所以直线 l 与曲线 C 相交．（2） 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 过圆心，∣AB ∣=2√5≠3√2， 因此直线 l 必有斜率，设其方程为 y +1=k (x −1)，即 kx −y −k −1=0， 圆心到直线 l 的距离 d =√k 2+1=√(√5)2−(3√22)2，解得 k =±1，所以直线 l 的斜率为 ±1．28. （1） 直线 l:y =bx +2，坐标原点到直线 l 的距离为 √2， 所以√b 2+1=√2，所以 b =1， 因为椭圆的离心率 e =√63， 所以a 2−1a =(√63)2，所以 a 2=3， 所以所求椭圆的方程是x 23+y 2=1．（2） 直线 y =kx +2 代入椭圆方程，消去 y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， 所以 Δ=36k 2−36>0， 所以 k >1 或 k <−1，设 C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则有 x 1+x 2=−12k 1+3k2，x 1x 2=91+3k 2，因为 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以 CD 为直径的圆过点 E ，所以 EC ⊥ED ，所以 (x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，所以 (1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0， 所以 (1+k 2)×91+3k+(2k +1)×(−12k 1+3k )+5=0，解得 k =76>1，所以当 k =76 时，以 CD 为直径的圆过定点 E ．29. （1） 将曲线 C 的极坐标方程 ρ2−2ρcosθ−3=0 化为直角坐标方程为 x 2+y 2−2x −3=0，直线 l 的参数方程为 {x =−3+tcosα,y =tsinα（t 为参数），将参数方程代入 x 2+y 2−2x −3=0，整理得 t 2−8tcosα+12=0， 因为直线 l 与曲线 C 有公共点，所以 Δ=64cos 2α−48≥0， 所以 cosα≥√32或 cosα≤−√32， 因为 α∈[0,π)，所以 α 的取值范围是 [0,π6]∪[5π6,π)．（2） 曲线 C 的方程 x 2+y 2−2x −3=0 可化为 (x −1)2+y 2=4，其参数方程为 {x =1+2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数）， 因为 M (x,y ) 为曲线上任意一点，所以 x +y =1+2cosθ+2sinθ=1+2√2sin (θ+π4)，所以 x +y 的取值范围是 [1−2√2,1+2√2]． 30. b 2a 2证明：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)， 则有 {x 0=x 1+x22,y 0=y 1+y 22.x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a −y 22b =1，两式相减得 x 12−x 22a 2=y 12−y 22b 2，即(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2=(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2，(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=b 2a 2即 k OM ⋅k AB =b 2a 2．31. （1） 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)．因为椭圆的焦距等于 4，且经过点 P(3,−2√6)， {2c =2√a 2−b 2=4,32a 2+(−2√6)2b 2=1,解得 {a 2=36,b 2=32.所以所求的椭圆方程为x 236+y 232=1．（2） ①当椭圆的焦点在 x 轴上时， 因为 a =3，e =c a=√63，所以 c =√6，可得 b 2=a 2−c 2=3．此时椭圆的标准方程为 x 29+y 23=1；②当椭圆的焦点在 y 轴上时， 因为 b =3，e =c a=√63， 所以√a 2−b 2a=√63，解得 a 2=27．此时椭圆的标准方程为y 227+x 29=1．综上所述，所求椭圆的标准方程为x 29+y 23=1 或y 227+x 29=1．32. 设 M (x,y )，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)， 易求 y 2=4x 的焦点 F 的坐标为 (1,0)，因为 M 是 FQ 的中点，所以 {x =1+x22,y =y 22⇒{x 2=2x −1,y 2=2y, 又 Q 是 OP 的中点，所以 {x 2=x12,y 2=y 12⇒{x 1=2x 2=4x −2,y 1=2y 2=4y,因为 P 在抛物线 y 2=4x 上，所以 (4y )2=4(4x −2)， 所以 M 点的轨迹方程为 y 2=x −12．33. （1） 设 F (c,0)，由条件知 2c=2√33，得 c =√3．又 ca=√32， 所以 a =2，b 2=a 2−c 2=1，故 E 的方程为x 24+y 2=1．（2） 依题意当 l ⊥x 轴不合题意，故设直线 l ：y =kx −2，设 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，将 y =kx −2 代入x 24+y 2=1，得 (1+4k 2)x 2−16kx +12=0，当 Δ=16(4k 2−3)>0，即 k 2>34时，x 1,2=8k±2√4k 2−31+4k 2．从而 ∣PQ ∣=√k 2+1∣x 1−x 2∣=4√k 2+1⋅√4k 2−31+4k ，又点 O 到直线 PQ 的距离 d =√k 2+1，所以 △OPQ 的面积 S △OPQ =12d ∣PQ ∣=4√4k 2−31+4k ，设 2−3=t ，则 t >0，S △OPQ =4t t +4=4t+4t≤1，当且仅当 t =2，k =±√72等号成立，且满足 Δ>0，所以当 △OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72x −2 或 y =−√72x −2．34. （1） 因为 a =5，b =3， 所以 c =4，设 ∣PF 1∣=t 1，∣PF 2∣=t 2， 则 t 1+t 2=10， ⋯⋯①t 12+t 22−2t 1t 2⋅cos60∘=82， ⋯⋯②由 ①2−② 得 t 1t 2=12，所以 S △F 1PF 2=12t 1t 2⋅sin60∘=12×12×√32=3√3．（2） 设 P (x,y )，由 S △F 1PF 2=12⋅2c ⋅∣y ∣=4⋅∣y ∣ 得 4∣y ∣=3√3， 所以 ∣y ∣=3√34⇒y =±3√34,将 y =±3√34代入椭圆方程解得 x =±5√134， 所以 P (5√134,3√34) 或 P (5√134,−3√34) 或 P (−5√134,3√34) 或 P (−5√134,−3√34)． 35. （1） 双曲线 C:x 2a−y 2b =1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±bax ，则由题意得，b a=√3，a =1，解得 b =√3， 则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2） 联立直线方程和双曲线方程，得到，{y =x +m,x 2−y 23=1,消去 y ，得 2x 2−2mx −m 2−3=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则判别式 Δ=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ， 中点 M 的 x 0=m2，y 0=x 0+m =32m ，则有y 0x 0=3．来自QQ 群28411073636. （1）如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 ℎ， MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 MF 1⊥MF 2， 设 ∣MF 1∣=m ，∣MF 2∣=n ，由双曲线定义知，m −n =2a =8, ⋯⋯① 又 m 2+n 2=(2c )2=80, ⋯⋯②由 ①② 得 m ⋅n =8， ∴12mn =12∣F 1F 2∣⋅ℎ， ∴ℎ=2√55．来自QQ 群284110736（2） 设所求双曲线 C 的方程为 x 216−λ−y 24+λ=1(−4<λ<16)，由于双曲线 C 过点 (3√2,2)， 所以1816−λ−44+λ=1，解得 λ=4 或 λ=−14（舍去）．∴ 所求双曲线 C 的方程为x 212−y 28=1．37. （1） ∵ 点 P 在椭圆 C 上， ∴2a =∣PF 1∣+∣PF 2∣=6，a =3．在 Rt △PF 1F 2 中，2c =∣F 1F 2∣=√∣PF 2∣2+∣PF 1∣2=√(143)2+(43)2=2√533；故椭圆的半焦距 c =√533，从而 b 2=a 2−c 2=289，∴ 椭圆 C 的方程为x 29+y 2289=1．（2） 已知圆的方程为 (x +2)2+(y −1)2=5，∴ 圆心 M 的坐标为 (−2,1)． 设 A ，B 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)． 由题意 x 1≠x 2 且 x 129+y 12289=1, ⋯⋯①x 229+y 22289=1. ⋯⋯②由 ②−① 得(x 1−x 2)(x 1+x 2)9+(y 1−y 2)(y 1+y 2)289=0. ⋯⋯③又 A ，B 关于点 M 对称，∴x 1+x 2=−4，y 1+y 2=2，代入 ③ 得 y 1−y 2x 1−x 2=5681，即直线 L 的斜率为 5681，∴ 直线 L 的方程为 y −1=5681(x +2)，即 56x −81y +193=0．故所求的直线方程为 56x −81y +193=0．来自QQ 群28411073638. （1） 设圆心为 M (m,0)(m ∈Z )．由于圆与直线 4x +3y −29=0 相切，且半径为 5， 所以∣4m−29∣5=5，即 ∣4m −29∣=25． 因为 m 为整数，故 m =1．故所求圆的方程为 (x −1)2+y 2=25．（2） 把直线 ax −y +5=0，即 y =ax +5，代入圆的方程，消去 y ，整理，得 (a 2+1)x 2+2(5a −1)x +1=0，由于直线 ax −y +5=0 交圆于 A ，B 两点， 故 Δ=4(5a −1)2−4(a 2+1)>0， 即 12a 2−5a >0， 由于 a >0，解得 a >512，所以实数 a 的取值范围是 (512,+∞)．（3） 设符合条件的实数 a 存在，则直线 l 的斜率为 −1a ，l 的方程为 y =−1a(x +2)+4，即 x +ay +2−4a =0，由于 l 垂直平分弦 AB ，故圆心 M (1,0) 必在 l 上， 所以 1+0+2−4a =0，解得 a =34． 由于 34∈(512,+∞)，故存在实数 a =34．使得过点 P (−2,4) 的直线 l 垂直平分弦 AB ．来自QQ 群28411073639. （1） 当 α=π3 时，C 1 的普通方程为y =√3(x −1),C 2 的普通方程为x 2+y 2=1.联立方程组{x 2+y 2=1,y =√3(x −1),解得 C 1 与 C 2 的交点为(1,0) 和 (1,−√3).（2） C 1 的普通方程为xsinα−ycosα−sinα=0,A 点坐标为 (sin 2α,−cosαsinα)，故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为{x =12sin 2α,y =−1sinαcosα,(α为参数). P 点轨迹的普通方程为(x −14)2+y 2=116.故 P 点轨迹是圆心为 (14,0)，半径为 14的圆．40. 设圆心为 (3t,t )，半径为 r =∣3t∣， 则圆心到直线 y =x 的距离 d =√2=∣∣√2t ∣∣，由勾股定理及垂径定理得：(2√72)2=r 2−d 2，即 9t 2−2t 2=7，解得：t =±1，所以圆心坐标为 (3,1)，半径为 3；或圆心坐标为 (−3,−1)，半径为 3， 则圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9 或 (x +3)2+(y +1)2=9． 41. （1） 由 {y =x +b,x 2=4y得 x 2−4x −4b =0, ⋯⋯①因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 Δ=(−4)2−4×(−4b )=0， 解得 b =−1．（2） 由（1）知 b =−1，故方程 ① 即为 x 2−4x +4=0，解得 x =2，代入 x 2=4y ，得 y =1． 故点 A (2,1)，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y =−1 的距离，即 r =∣1−(−1)∣=2， 所以圆 A 的方程为 (x −2)2+(y −1)2=4．42. （1） 由 {x =ρcosθ,y =ρsinθ, 可得，(ρcosθ+6)2+ρ2sin 2θ=25，整理得 ρ2+12ρcosθ+11=0 即为所求．（2） 令直线 l 的斜率为 k ，可得直线的直角坐标方程为 kx −y =0． 圆的半径为 r =5，圆心到直线的距离 d =√k 2+1，又因为 ∣AB∣=√10， 所以可得∣AB∣24+d 2=r 2，即 52+36k 2k 2+1=25，解得 k =±√153． 43. （1） 椭圆x 29+y 225=1 的焦点为 (0,±4)，离心率为 e =45．因为双曲线与椭圆的离心率之和为 245， 所以双曲线的离心率为 2， 所以 ca =2．因为双曲线与椭圆 x 29+y 225=1 有公共焦点 F 1，F 2，所以 c =4，所以 a =2，b =√ 所以双曲线的方程是y 24−x 212=1．（2） 由题意，∣PF 1∣+∣PF 2∣=10，∣PF 1∣−∣PF 2∣=4， 所以 ∣PF 1∣=7，∣PF 2∣=3， 因为 ∣F 1F 2∣=8，所以 cos∠F 1PF 2=72+32−822⋅7⋅3=−17．44. 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以 p =2c ．设抛物线方程为 y 2=4c ⋅x ，因为抛物线过点 (32,√6)，所以 6=4c ⋅32，所以 c =1，故抛物线方程为 y 2=4x ． 又双曲线x 2a2−y 2b 2=1 过点 (32,√6)，所以 94a 2−6b2=1．又 a 2+b 2=c 2=1，所以94a−61−a =1．所以 a 2=14或 a 2=9（舍）．所以 b 2=34，故双曲线方程为 4x 2−4y 23=1．45. （1） 因为 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1， 所以 P 到点 F (1,0) 的距离与它到直线 l ：x =−1 的距离相等，所以由抛物线定义可知点 P 的轨迹是以 F 为焦点、以直线 l ：x =−1 为准线的抛物线， 设抛物线方程为 y 2=2px (p >0) ，所以 P =2，所以曲线 C 的方程为 y 2=4x ． （2） 直线 AB 的斜率为定值 −1，理由如下：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 12=4x 1，y 22=4x 2，因为直线 AQ ，BQ 倾斜角互补， 所以 k AQ +k BQ =0，即y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=0， 4y 1+2+4y 2+2=0，所以 y 1+y 2=−4，所以 k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2=−1．。