必修五线性规划常见题型及解法

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线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值与最小值分别是（）A、13，1 B、13，2C、13，45D、解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）与（－1,1），则m 的取值范围是（）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划题及答案

线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。

在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。

本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。

一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。

每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。

问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。

通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。

二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。

公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。

通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。

三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。

仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。

通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。

四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。

线性规划常见题型及解法例析

品有直接限制因素的是资金和劳动力,通过调查,得
到这两种产品的有关数据如表２．
资金
成本
劳动力(工资)
单位利润
单位产品所需资金/百元
月资金供应
电子琴(架) 洗衣机(台)
量/百元
３０
２０
６
８
５
１０
３００
１１０
试问:怎样确定这两种产品的月供应量,才能使
故选:
B．
思路与方法:本题运用数形结合思想,采用了图
组作出可行域,如图３所示．
由
图３可知,△ABC 的面积即为
所求．
易得
S梯形OMBC ＝
１
×(
２＋３)×２＝５,
２
图３
１
S梯形OMAC ＝ × (
１＋３)×２＝４．
２
所以 S△ABC ＝S梯形OMBC －S梯形OMAC ＝５－４＝１．
思路与方法:本题中的可行域是三角形,而这个
不规则的三角形面积很难直接求解,于是将它看作梯
解法求最值,先在平面直角坐标系中画出可行域,然
形 OMBC 的一部分,利用梯形 OMBC 与梯形 OMAC
后平行移动直线 z＝３x＋４y 即可求出最大值．
ï
,
且当
b≥０
b为
íy≥０, 时,恒有ax＋by≤１,求以a,
ï
îx＋y≤１
坐标的点 P (
a,
b)所构成的平面区域的面积．
解析:设 z＝ax ＋by,根据题意可知,想要 ax ＋

线性规划基本题型

例5
(2023年北京-7)设不等式组
3x表x达y旳y平1面13
0 0
区(A域)(1为，D3，] 若(B指)数[2，函3数] y=(aCx旳) (1图，像2上] 存在(D区)[域35D，x上+旳∞3]点y，则9a旳0取值范围是
解：作出可行域如右图所示绿色
区域． 0<a<1 时， x>0 时， 0<ax<1 ， y=ax
离旳平方旳最值问题．
题型三求非线性目旳函数旳最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0，已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0，作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
联立2x＋x＋2yy＝＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二求非线性目旳函数旳最值—距离型
若目旳函数不是线性函数，我们可先将目旳函数变形找到它旳几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265.
检测：

线性规划常见题型及解法（较全面及时上课用）

线性规划常见题型及解法（较全⾯及时上课⽤）线性规划常见题型及解法温故1．不在3x+ 2y < 6 表⽰的平⾯区域内的⼀个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤243．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x– y 的最⼤值和最⼩值分别是（）A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－14．在直⾓坐标系中，满⾜不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（⽤阴影部分来表⽰）的是（）5．如图所⽰，表⽰阴影部分的⼆元⼀次不等式组是（）A．23260yx yx≥--+><B．23260yx yx-+≥≤C．23260yx yx>--+>≤D．23260yx yx>--+<<线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可⾏域，进⽽通过平移直线在可⾏域内求线性⽬标函数的最优解是最常见的题型，除此之例1、若x、y满⾜约束条件222xyx y≤≤+≥，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可⾏域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上⽅平移，过点A（2,0）时，有最⼩值2，过点B（2,2）时，有最⼤值6，故选 A⼆、求可⾏域的⾯积例2、不等式组260302x yx yy+-≥+-≤表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A、4B、1C、5D、⽆穷⼤解：如图，作出可⾏域，△ABC的⾯积即为所求，由梯形OMBC的⾯积减去梯形OMAC的⾯积即可，选 B三、求可⾏域中整点个数例3、满⾜|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥-≤≥-+≤≥?--≤作出可⾏域如右图，是正⽅形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、已知最优解成⽴条件，探求⽬标函数参数范围问题。

高考数学线性规划常见题型及解法[1]

高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。

现就常见题型与解决方法总结如下：一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。

可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。

二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。

线性规划经典例题

线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。

它在实际问题中有着广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将介绍几个经典的线性规划例题，并详细阐述每个例题的解题思路和步骤。

一、最大化利润问题1.1 目标函数的建立首先，我们需要确定目标函数。

假设有两种产品A和B，每个单位的利润分别为x和y。

令x表示产品A的产量，y表示产品B的产量，我们的目标是最大化总利润。

1.2 约束条件的建立其次，我们需要确定约束条件。

假设产品A和B的生产所需的资源有限，分别为资源1和资源2。

我们需要考虑资源的限制以及产品的需求量。

1.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。

通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即产量x和y的数值，以及最大化的利润。

二、最小化成本问题2.1 目标函数的建立假设有n种原材料，每种原材料的价格为c1、c2、...、cn。

我们需要确定购买每种原材料的数量，以最小化总成本。

2.2 约束条件的建立每种原材料的数量要满足一定的约束条件，如总量限制、质量要求等。

此外，我们还需要考虑生产过程中的限制条件，如生产能力、工时等。

2.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。

通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即每种原材料的购买数量，以及最小化的成本。

三、资源分配问题3.1 目标函数的建立假设有m个任务需要分配给n个人员，每个人员的效率不同。

我们需要确定每个任务分配给哪个人员，以最大化总效率。

3.2 约束条件的建立每个任务只能由一个人员完成，每个人员只能执行一个任务。

此外，我们还需要考虑人员的可用时间、技能匹配等约束条件。

3.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。

通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即每个任务分配给哪个人员，以及最大化的总效率。

四、运输问题4.1 目标函数的建立假设有m个供应地和n个需求地，每个供应地的供应量和每个需求地的需求量已知。

高考数学线性规划题型总结

线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 ;解析：如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A3,4处,目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题;数形结合是数学思想的重要手段之一;习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z=x+2y 的取值范围是A 、2,6B 、2,5C 、3,6D 、3,5解：如图,作出可行域,作直线l ：x+2y ＝0,将l 向右上方平移,过点A2,0时,有最小值2,过点B2,2时,有最大值6,故选A二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方;由图易知A1,2是满足条件的最优解;22x y +的最小值是为5;点评：本题属非线性规划最优解问题;求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解; 习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是 A 、13,1 B 、13,2C 、13,45D 、13,255图2x y O2 2 x=2y =2 x + y =2BA 2x + y - 2= 0= 5x – 2y + 4 = 3x – y – 3 =Oyx A解：如图,作出可行域,x 2+y 2是点x,y 到原点的距离的平方,故最大值为点A2,3到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方,即为45,选 C 练习2、已知x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ,则xy 的最大值为___________,最小值为____________． 2,0三、设计线性规划,探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中,不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A 42 B4 C 22 D2解析：如图６,作出可行域,易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形;容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ０,２,B2,0,C-2,0.于是三角形的面积为：11||||42 4.22S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ; 点评：有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键;习题3、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可,选B四、已知平面区域,逆向考查约束条件;例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是2x + y – 6= 0 = 5x ＋y – 3 =Oyx A BC M y =2A 0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩B 0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩C 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩D 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围成一个三角形区域如图4所示时有0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩;点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题;验证法或排除法是最效的方法;习题4、如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是A 232600y x y x ≥-⎧⎪-+>⎨⎪<⎩B 232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩C 232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩C五、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题;例5、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键;六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点0,0和－1,1,则m 的取值范围是 A 、-3,6 B 、0,6 C 、0,3 D 、-3,3解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3,选CCO2x – y =y2x – y + 3 = 0习题6、不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是A ．32<<-mB ．60<<mC ．63<<-mD ．30<<mA七、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题;例7、已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩;若目标函数z ax y =+其中0a >仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 ;解析：如图5作出可行域,由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -,纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+其中0a >仅在点(3,1)处取得最大值;则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==不含界线之间;即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞;点评：本题通过作出可行域,在挖掘a z -与的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解;求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题的能力要求较高;习题7、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,使z=x+aya>0取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为A 、－3B 、3C 、－1D 、1解：如图,作出可行域,作直线l ：x+ay ＝0,要使目标函数z=x+aya>0取得最小值的最优解有无数个,则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合,故a=1,选D八、研究线性规划中的整点最优解问题例8、某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是A80 B 85 C 90 D95解析：如图７,作出可行域,由101010zz x y y x =+⇒=-+,它表示为斜率为1-,纵截距为x + y = 5x – y + 5 =Oyxx=310z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值;当直线1010z x y =+通过119(,)22A z 取得最大值;因为,x y N ∈,故Ａ点不是最优整数解;于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ５,４,Ｃ４,４,经检验直线经过Ｂ点时,max 90.Z =点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法,通过分类讨论获得最优整数解;九、求可行域中整点个数例9、满足|x|＋|y|≤2的点x,y 中整点横纵坐标都是整数有 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y xy+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图,是正方形内部包括边界,容易得到整点个数为13个,选C 习题9、不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为A ． 13个B ． 10个C ． 14个D ． 17个 AxyO。

线性规划题及答案

线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下寻觅使目标函数取得最大（最小）值的变量值。

在实际生活和工作中，线性规划往往被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。

本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。

一、资源分配问题1.1 问题描述：某公司有两个生产部门A和B，每天生产产品X和Y。

部门A 每天生产产品X需要消耗3个单位的资源，生产产品Y需要消耗2个单位的资源；部门B每天生产产品X需要消耗2个单位的资源，生产产品Y需要消耗4个单位的资源。

公司每天有20个单位的资源可供分配，如何分配资源才干使得产出最大化？1.2 解答：设部门A每天生产产品X的数量为x，生产产品Y的数量为y；部门B每天生产产品X的数量为u，生产产品Y的数量为v。

根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 3x + 2y + 2u + 4vSubject to:3x + 2y + 2u + 4v <= 20x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。

二、生产计划问题2.1 问题描述：某工厂有两个生产车间，每天生产产品P和Q。

车间1每天生产产品P需要花费5个单位的时间，生产产品Q需要花费3个单位的时间；车间2每天生产产品P需要花费4个单位的时间，生产产品Q需要花费6个单位的时间。

工厂每天有40个单位的时间可供分配，如何安排生产计划才干使得产量最大化？2.2 解答：设车间1每天生产产品P的数量为x，生产产品Q的数量为y；车间2每天生产产品P的数量为u，生产产品Q的数量为v。

根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 5x + 3y + 4u + 6vSubject to:5x + 3y + 4u + 6v <= 40x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。

三、运输问题3.1 问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个仓库有一定数量的产品可供销售点购买。

线性规划常见题型及解法

专题：线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下几类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（） A 、13，1 B 、13，2C 、13，45D、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划题型整理与例题(含答案)

积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

必修五线性规划常见题型及解法

线性规划常见题型及解法一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）七、比值问题当目标函数形如y a z x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

例已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞）（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6]1、征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。

2、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。

高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题精编版

简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念题型一、求线性目标函数的最值【例1】设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32 [解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y ＝3x －z 斜率为3.由图象知当直线y ＝3x －z 经过A (2,0)时，z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过B ⎝⎛⎭⎫12，3时，z 取最小值－32，∴z ＝3x －y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，6，故选A. [答案] A 【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【对点训练】1．设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.题型二、求非线性目标函数的最值【例2】设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解] 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4.【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【对点训练】2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx的最大值是________，最小值是________．[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为(52，92)，C 点坐标为(1,6)，所以k OB＝95，k OC ＝6. 故y x 的最大值为6，最小值为95. [答案] 6 95题型三、已知目标函数的最值求参数【例3】若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________． [解析] 如右图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋2y －a ＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝a －22，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2. [答案] 2 【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．【对点训练】3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0[解析] 选D 由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例4】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)．∴z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．【类题通法】利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．【对点训练】4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z 最小值＝3×1＋6×2＝15.答案：15【练习反馈】1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝⎛⎭⎫12，12解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________．解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函数可化为y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 及其平行线，知当此直线经过点A 时，－12z 的值最大，即z 的值最小．又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.答案：－94．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |最小值＝|AO |＝2；|PO |最大值＝|CO |＝10.答案：2105．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3，求z ＝x ＋2y 的最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3的可行域，如图所示．画出直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点使z ＝x ＋2y 取最小值．显然，点A 满足上述条件，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －3y ＝3得点A ⎝⎛⎭⎫125，35， ∴z 最小值＝125＋2×35＝185.。

线性规划题及答案

线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。

在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。

本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。

一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X和3个单位的资源Y。

公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。

假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。

1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。

二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。

工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。

产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。

2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。

三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。

产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。

问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。

线性规划经典例题及详细解析

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是。

3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则 yx的取值范围是（）.A. [95，6]B.（－∞，95]∪[6，＋∞）C.（－∞，3]∪[6，＋∞）D. [3，6] 三、研究线性规划中的整点最优解问题4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是。

四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题5. 已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为。

6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A. －3B. 3C. －1D. 1五、求可行域的面积7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A. 4B. 1C. 5D. 无穷大解析：1. 如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18。

2. 如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。

22x y +的最小值是为5。

高中数学必修5 简单的线性规划问题(含参)

题型一
题型二
题型三
+ 2 ≤ 4,
(2)作出二元一次不等式组 - ≤ 1,
表示的平面区域,如图
+2≥0
所示.
由 u=3x-y,得 y=3x-u,得到斜率为 3,
在 y 轴上的截距为-u,随 u 变化的一组平
行线,由图可知,当直线经过可行域上的 C
点时,截距-u 最大,即 u 最小.
+ 2 = 4,
而增大;当 B<0 时,z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而减小.通
常情况下,可以利用可行域边界直线的斜率来判断.
题型一
题型二
题型三
题型一求线性目标函数的最值
+ 2 ≤ 4,
【例 1】已知关于 x,y 的二元一次不等式组 - ≤ 1,
+ 2 ≥ 0.
(1)求函数 z=x+2y 的最大值和最小值;
-2 + 2 ≥ 0
的可行域,
如图,作直线 2x-y=2,与直线 x2y+2=0 交于可行域内一点 A(2,2),
由题知直线 mx-y=0 必过点 A(2,2),
即 2m-2=0,得 m=1.故选 C.
答案:C
-4 ≤ -3,
(2)设 x,y 满足约束条件 3 + 5 ≤ 25, 求目标函数z=ax+y(a>0)
由可行域知,当直线y=-x+z经过点A(2,4)时,
z取最大值,此时x=2,y=4,则z的最大值为z=x+y=2+4=6.
答案:6
题型二
求参数的取值范围
≥ 1,
【例 2】 (1)已知实数 x,y 满足 ≤ 2-1, 如果目标函数z=x-y

线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)

线性规划的常见题型及其解法答案■書步趋绍丹祈・・・・・线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题探究角度有： 1.求线性目标函数的最值. 2 .求非线性目标函数的最值. 3 .求线性规划中的参数. 4 .线性规划的实际应用.本节主要讲解线性规划的常见基础类题型.x + y > 3,【母题一】已知变量x ,y 满足约束条件 x -y >- 1, 则目标函数z = 2x + 3y 的取值范围为（）2x — y w 3,A. [7 , 23]B. [8 , 23]C. [7 , 8]D. [7 , 25]aI ' i I 」求这类目标函数的最值常将函数z = ax + by 转化为直线的斜截式：y = — bx + b ，通过求直线的截距£的最值，间接求出z 的最值.bx + y > 3,【解析】画出不等式组 x — y >— 1,表示的平面区域如图中阴影部分所示,2x — y w 3,由目标函数z = 2x + 3y 得y =— |x + £,平移直线y = — /知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组x + y= 3, x = 2,得所以B(2,1) , Z min= 2X 2+ 3X 1= 7,在点A处目标函数取到最大值，解方程2x—y = 3, y = 1,9°1 z == X _2x — 11 2⑵z = x 2 + y 2的几何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min = | 0C = _'2 , d max = | 0B =29.• 2< z <29.(3) z = x 2 + y 2 + 6x — 4y + 13= (x + 3)2+ ( y — 2)2的几何意义是:x - y = —1,x yx = 4,得y = 5,所以 A (4,5) , Z max = 2X 4+ 3X 5= 23.【答案】Ax — 4y + 3< 0,【母题二】变量x , y 满足3x + 5y — 25W 0,x > 1,(1) 设z =^7，求z 的最小值；(2) 设z = x 2 + y 2,求z 的取值范围；2 2(3) 设z = x + y + 6x — 4y + 13,求z 的取值范围.I '■ i 7」点(x , y )在不等式组表示的平面区域内,y 1 y — 01=2 •Y 表示点(x , y )和夕连线 x — 2的斜率；x 2+ y 2表示点(x , y )和原点距离的平方; x 2 + y 2 + 6x — 4y + 13= (x + 3)2+ (y — 2)2表示点(x , y )和点(一3,2)的距离的平方.x — 4y + 3< 0,【解析】(1)由约束条件 3x + 5y — 25W 0,作出(x , y )的可行域如图所示.x > 1,x = 1,由3x + 5y — 25= 0, 由 x = 1,x — 4y + 3 = 0,22解得A 1,-.解得Q1,1).x — 4y + 3 = 0,由解得B (5,2)3x + 5y — 25= 0, ••• z 的值即是可行域中的点与2 0连线的斜率，观察图形可知Z min =2 - 0 1X -=1 2 5—2可行域上的点到点(一3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(一3,2)的距离中, d min = 1 —( —3) = 4,d max=一3 —5 + 2 —2 = 8••• 16W z w 64.=75:5 •技15============== = ========= i•求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求•其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.2 .常见的目标函数有：⑴截距型：形如z= ax+ by.求这类目标函数的最值常将函数z = ax+ by转化为直线的斜截式：y=—器+乍，通过求直线的截距乍的最值，间接求出z的最值.(2) 距离型：形一：如z = ''(x —a)2+ (y —b)2,z = ；X + y2+ Dx+ Ey+ F,此类目标函数常转化为点(x,y) 与定点的距离；2 2 2 2形二：z = (x—a) + (y—b) , z= x + y + Dx+ Ey+ F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方.(3) 斜率型：形如z= y, z = _b, z= J, z = ay_b，此类目标函数常转化为点(x, y)与定点所在x cx —d cx—d x直线的斜率.【提醒】注意转化的等价性及几何意义.■题里丹斫■■■■■角度一：求线性目标函数的最值1. (2014 •新课标全国n卷)设x ,y满足约束条件A. 10B. 8C. 3D. 2 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，x+y —7w 0,x —3y + 1w 0, 则z = 2x—y的最大值为（）由z = 2x —y 得y = 2x — z ,作出直线y = 2x ,平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点时，对应的Z 值最大.故 Z max = 2X 5— 2= &【答案】B3. （2013 •高考陕西卷）若点（x , y ）位于曲线y = | x |与y = 2所围成的封闭区域，贝U 2x — y 的最小值为 ( )A .— 6C. 0【解析】如图，曲线 y = |x |与y = 2所围成的封闭区域如图中阴影部分, 令z = 2x — y ，则y = 2x — z ,作直线y = 2x ，在封闭区域内平行移动直线 y = 2x ，当经过点（一2,2）时,z 取得最小值，此时 z = 2X ( — 2) — 2 = — 6.A (5,2)2. (2015 ••高考天津卷）设变里x , y满足约束条件 x — y + 3> 0, 2x + y — 3< 0,值为（)A . 3B. 4C. 18D. 40则目标函数Z = X + 6y 的最大B.— 2D. 2X + 2>0,【答案】C（0,3）时，z 取得最大值18.【答案】A角度二：求非线性目标的最值上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A. 21C—3【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显然当点M与点A重合时直线—1），故OM斗率的最小值为一1.【解析】COM勺斜率最小，由直线方程x+ 2y—1 = 0和3x + y—8= 0，解得A（3 ,0< x w 25•已知实数x, y满足y w2,x w ；'2y,2x + y—1则z=P-的取值范围【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示,d® M 4 5.目标函数z=空芒!二=2+片的取值范围可转化为点（x, y）与（1 , —1）所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为（.2 , 1），则点（1 , —1）与（2,1）所在直线的斜率为 2 2 + 2,点（0,0）与（1 , —1）所在直线的斜率为—1,所以z的取值范围为（—R,1] U [2 , 2+ 4,+^).【答案】(―汽1] U [2,2+ 4 ,+^°)4. （2013 •高考山东卷）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x—y—2>0,x + 2y—1> 0,3x+ y—8W0所表示的区域B.D.28 5x +y <26. （2015 •郑州质检）设实数x , y 满足不等式组 y — x < 2,y > 1,A . [1，2] C. [ '2, 2]【解析】如图所示,的平方.从图中可知最短距离为原点到直线 BC 的距离，其值为1;最远的距离为 AO 其值为2，故x 2+ y 2 的取值范围是[1,4]【答案】Bx > 0,7. （2013 •高考北京卷）设D 为不等式组 2x — y < 0,x +y —3<0之间的距离的最小值为【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示,不等式组表示的平面区域是△ ABC 的内部（含边界），x 2+ y 2表示的是此区域内的点（x , y ）到原点距离则根据图形可知，点耳1,0）到直线2x — y = 0的距离最小，d =|2% 1- 0|— 巒22+ 1，故最小距离为2-^. 5 5【答案】2 ,5 5x > 1,&设不等式组 x — 2y + 3> 0, y > x 所表示的平面区域是 Q 1,平面区域 Q 2与Q 1关于直线3x — 4y —9= 0对称.对于 Q 1中的任意点A 与Q 2中的任意点B, |AB 的最小值等于（） A.B. 4则x 2+ y 2的取值范围是（）B. [1 , 4] D [2 , 4]所表示的平面区域，区域D 上的点与点（1,0）x>1【解析】不等式组x—2y+ 3>0y> x解方程组X 1，得X 1.点A(I,I)到直线3x —4y—9= 0的距离d= |3—：—9| = 2,则| AEB的最小y= x y = 1 5值为4.【答案】B角度三：求线性规划中的参数【解析】不等式组表示的平面区域如图所示.1 5 4 1 5 5 k 4 7甌,4)，所以AB中点D^, 2 •当y=kx+3过点2，2时，2= 2+3所以k=3•【解析】A12D. 2，所表示的平面区域如图所示,9.若不等式组x > 0,x + 3y > 4,3x+ y <4值是（)7A.34C.34所表示的平面区域被直线y = kx + 3分为面积相等的两部分，则k的B.D.由于直线y = kx + 4过定点0,3 •因此只有直线过AB中点时，直线y= kx + £能平分平面区域.因为A(1,1),x+y —2> 0,10. (2014 •咼考北京卷)若x, y满足kx —y + 2》0,y> 0,且z = y —x的最小值为一4,贝U k的值为A.B.—2C.x + y —2> 0,【解析】D作出线性约束条件kx—y + 2>0, 的可行域.当k > 0时,图②^-2=0 (- £昭直线x + y —2= 0的右上方、直线kx —y+ 2= 0的右下方的区域，显然此时z= y —x无最小值.当k v—1时，z= y —x取得最小值2；当k=—1时，z= y—x取得最小值—2,均不符合题意.当一1v k v 0时，如图②所示，此时可行域为点A（2,0）, B —£ 0 , qo,2）所围成的三角形区域，当直线z = y—x经过点B —£ 0时，有最小值，即——k =—4?【答案】Dx + y —2<0,11. (2014 •高考安徽卷)x, y满足约束条件x —2y —2<0,2x —y+ 2> 0.若z = y—ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（） 1A. §或—11 B.2 或C. 2 或1D. 2 或一1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2) , B(2,0) , C —2, —2),则Z A= 2, Z B=— 2a, z c= 2a—2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要Z A=Z B>Z C或Z A=Z C>Z B 或Z B= z c>Z A,解得a=— 1 或a= 2.意，故a =- 1或a = 2.【答案】D当4W s <5时，可行域是△ OAC 及其内部，此时，z max = &【答案】Dy > 0,13. (2015 •通化一模)设x , y 满足约束条件x y+ 丄< 1, 3a 4a '法二：目标函数 z = y — ax 可化为 y = ax + z ,令 I o ： y = ax ,平移I o ,则当I 。

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