互感效应对磁通量子比特消相干影响的研究

互感效应对磁通量子比特消相干影响的研究*周腾飞 陈志铨 嵇英华†（江西师范大学物理与通信电子学院，江西南昌 330022）摘 要：本文从经典电路理论出发，得到了磁通偏置超导电路的哈密顿量。

在此基础上，运用Bloch-Redfield 方程研究了超导电路多能级系统的动力学演化。

在二能级近似下，分析了环境阻抗，电路之间的互感对磁通量子比特消相干的影响。

关键词：超导量子电路；磁通量子比特；消相干；互感1、引 言近年来，人们广泛研究了含有约瑟夫森结的超导电路的动力学特性，并用其实现量子比特]3,2,1[。

根据约瑟夫森结电荷能C E 和隧穿能J E 的大小关系，超导量子比特可大致区分为电荷量子比特]6,5,4[、磁通量子比特]9,8,7[和相位量子比特]11,10[。

电荷量子比特工作在电荷能占主导的区域，J C E E >>，以超导岛上的库珀电子对数目作为量子态，因此，电荷量子比特对电荷涨落的影响很敏感；相反，磁通量子比特工作在隧穿能占主导的区域，J C E E <<，以超导环中的正反持续电流作为量子态，磁通量子比特的优点在于对电荷涨落的影响不敏感，而磁场的涨落相对要小很多。

在量子计算中，引起计算误差的主要原因是量子比特的消相干。

影响超导量子比特消相干的因素很多。

研究工作者目前主要是采用自旋-玻色子模型]13,12[来研究量子系统的消相干，并已取得一系列的成果]16,15,14[。

在本文中，我们首先利用经典电路理论得到磁通偏置超导电路的哈密顿量。

结合Caldeira-Leggett 模型，我门采用Redfield 方程描述电路的动力学演化。

在二能级近似下，Redfield 方程化为Bloch 方程，我们给出了超导磁通量子比特的弛豫时间1T 和消相干时间2T ，并着重讨论了环境阻抗Z 和电路互感对该量子系统消相干的影响。

2、研究模型及哈密顿量在本文中，我们研究如图1所示的磁通偏置的超导电路]17[，图2为图1所示电路选择的一棵树。

树支含所有的电容)3,2,1,(=i C i 和电感),(42L L ；连支部分包* 江西师范大学青年成长基金(批准号：2006103)资助的课题 †E-mail: jyh2006@图1 磁通偏置的超导量子比特电路图。

外磁通通过偏置电路的环路电感4L 同主回路电感1L 的耦合引进。

阻抗Z 反映了外加磁通涨落对量子比特的耗散作用。

电感1L 和2L 的互感系数为1M ，电感1L 和4L 的互感系数为2M ，电感3L 和2L 的互感系数为3M ，电感3L 和4L 的互感系数为4M 。

约瑟夫森节采用Stewart-McCumber(SM)模型。

图2 图1的树。

树是包含所有节点而不构成回路的连通子图。

这里我们选取含所有电容)(i C ，和电感),(42L L 的连通图作为树。

括连支电感),(31L L ，理想约瑟夫森节)(i J ，并联电阻)(i R ，以及外加阻抗)(ωZ 和电流源B I 。

外加阻抗)(ωZ 模拟了环境电磁涨落。

根据所选择的树，树支和连支的电流电压可分别表示为：()42321L L C C C tr I I I I I I =， （1） ()B ZR R R L L J J J ch I I I I I I I I I I I 32131321=, （2）()42321L L C C C tr V V V V V V =， （3） ()B ZR R R L L J J J ch V V V V V V V V V V V 32131321=， （4）约瑟夫森结两端电压J V 即为电容电压C Q V =，根据约瑟夫森结电压和磁通的关系)()(t V dt t d J J =Φ，其中02)(Φ=Φπϕt J ，e h 2/0≡Φ是磁通量子。

我们得到 ：C Q C 102-=Φϕπ， （5） 约瑟夫森结超导电流为：ϕsin C J I I =， （6） C I 是结的临界电流。

并联电阻的电压-电流关系为：R R I R t V =)(， （7） 我们把电感和互感写成矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=310L L L ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4200L L L K ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321M M M M L LK . 4321,,,M M M M 分别描述了电感1L 和2L 的互感系数，电感1L 和4L 的互感系数，电感3L 和2L 的互感系数，电感3L 和4L 的互感系数。

则电路电感和磁通关系可表示为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦΦΦ423144223143321142310000I I I I L M M L M M M M L M M L , （8） 在线性近似下，外加阻抗的电流-电压关系为：⎰∞-≡-=tZ Z Z t I Z d I t Z t V )()*()()()(τττ, （9）“*”代表卷积。

通过傅立叶变换，可得到频率空间外加阻抗的电流-电压关系：)()()(ωωωZ Z I Z V =， （10）)(ωZ V 和)(ωZ I 分别为)(t V Z 和)(t I Z 的傅立叶转换形式。

我们假设连支包围的回路中有外加磁通X Φ，根据基尔霍夫定律有：0=+th ch I FI ， （11）Xch tr T V V F Φ-= ， （12） F 为电路的基本回路矩阵，由电路图1和树支图2可以得到：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110000000000001100000100101000001011010000101001F .由方程（1）~（12），我们得到电路（图1）超导相位ϕ的经典运动方程B xB A J SI N M M R LC 001122sin Φ-ΦΦ-----=--ππϕϕϕϕϕ （13） 式中各个系数矩阵见附录A 。

本文我们主要考虑外加阻抗和互感对电路的效应。

假定)(ωZ R >>，则有：ϕϕϕB M UC -∂∂-= ， （14） ()B x TAT ii j SI N M L U +ΦΦ++-=∑-ϕπϕϕϕϕ01,221cos )(， （15） 系统无耗散时，则∞→Z R ,，则方程（13）可简化为：B x A j SI N M LC 00122sin Φ-ΦΦ---=-ππϕϕϕ， （16） 根据分析力学，方程（16）可以由下面的拉格朗日函数得到：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=-=)(21220ϕϕϕπU C U T L T， (17)则无耗散时系统的哈密顿量为：)(221201ϕπU Q C Q V T H C T C S ⎪⎭⎫⎝⎛Φ+=+=-， （18）相应的正则坐标和正则动量为：j X ϕπ⎪⎭⎫⎝⎛Φ=20， （19）ϕπϕπ C L Q P k C 2200,Φ=∂∂Φ==， （20）3、正则量子化为了对超导电路量子化，我们需要将正则坐标和正则动量看作算符。

它们满足正则对易关系：k j k C j i Q δϕπ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ,0,2， （21）为了描述环境对量子系统的影响，我们采用Caldeira 和Leggett 模型，系统的总哈密顿量为：SB B S H H H t H ++=)(， （22）∑+=ααααααω)(21222x m m p H B ， （23）∑⋅=αααϕx c g H SB . （24）S H 是无耗散量子电路的哈密顿量，由方程（18）给出，B H 是谐振子库哈密顿量，αp ，αx 分别是谐振子α的动量和坐标算符，满足对易关系αββαδ i p x =],[。

SB H是环境与量子电路相互作用的哈密顿量， αc 是耦合系数，g 是依赖于矩阵G 的归一化矢量：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-+-++--+-+-==2421441322132144231322424341320)(2))(()(21L M M L M M M M M M M L M L M M M M M L M L M M M M M M M M E A G G g ， （25） 其中：232132312312321442312321323123123224243413223213231231242241413221))2()2()(()))((())2()2()(())(2())2()2()(())(2()(L L M L L M L M M L M L M M M M M L L M L L M L M M L M L M M M M M M M M L L M L L M L M M M M L M L M M M M M M M E +---++-+++++---+++++-+-++---++++++-=， （26） 从系统总哈密顿量方程（22）可以得到：ααααp m p H x1=∂∂= ， （27） ααααααϕωc g x m x H p)(2⋅--=∂∂-= ， （28） C Q CQ H 1=∂∂=Φ， （29）∑-Φ∂∂-=Φ∂∂-=αααφπx c g U H Q C02 ， （30） 方程(27)~(30)，经过傅立叶变换可以得到方程：∑-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-∂∂-=-ααααωωϕπωϕωϕω)()(2)()(222202m c g g UC ， （31） 我们定义：∑-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=ααααωωπ)(222220m c K ， （32）因为K 是外加阻抗)(ωZ 的函数，我们用变量代换)()(εωωi K K +→，从而)()(11lim 10ωωπδωωεωωωωε-'+'-=+'-='-→i P i ， （33） 谐振子库的谱密度定义为]18[：∑-=αααααωωδωπω)(2)(2m c J ， （34）结合方程（32）~（34），可以得到)(ωK 和谱密度)(ωJ 的关系：])()()([)2(2)(02220⎰∞-'-'''=ωωωωωωφππωJ i J d P K ， (35) 比较谱密度和函数)(ωK 得到：)(Im 2)(20ωπωK J ⎪⎭⎫⎝⎛Φ=, (36)⎰∞'-'''=22)()(Im 2)(Re ωωωωωπωK d P K ， (37) 对方程(16)作傅里叶变换并和(31)式比较可得：202100100)](Re [])(Im [)(Re )(Im )()(ωωωωωωωωZ A A Z A Z iA A Z A A M E K ++++=, (38)进而由(36)式可得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛Φ=T k M J M JB eff T eff2coth 2),(),(20)(ωπωω ， (39)其中：20210)](Re [])(Im [)(Re )(),(ωωωωωωZ A A Z A Z M E M J eff ++=， （40）4、动力学演化及二能级近似现在我们研究超导量子电路的动力学演化。