《§4.2正切》课件
正切的课件
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。
正切(精讲课件)
交AC于点D求tan∠DBC的值．
解：过D作DE AB于E
BC∶AC 3∶4 设BC 3x，则AC 4x 在RtABC 中，AB BC 2 AC2 5x
2x
4x－a
4x
a
E
5x
3x
设CD a，
a
BD平分ABC ，则CD DE a，BC BE 3x
3x
AD AC CD 4x a，AE AB BE 2x
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角α的 对边与邻边的比叫做角α的正切，记作：tanα。
归纳
tan
角的对边 角的邻边
α
邻边
E F
对边
2、正切的应用
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
典 求tanA，tanB的值。 解： tan A BC 3
B
AC 4
3
湘教版数学九年级上册
4.2 正切
情 境 导 入
பைடு நூலகம்
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，AC= 13cm，求BC的长。
先由cos A AC 求AB AB
再利用勾股定理求出BC
或再利用sin A BC 求出BC AB
能否不求AB也能求出BC呢？我们能不能像探索正弦值一 样来研究求 BC 的值呢？
例
tan B AC 4
C
4
A
BC 3
解
析
课
1．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，
且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tanB＝（ B ）
A．2 3
B．2 2
C．11
4
D．5 5
正切——三角函数48页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
正切——三角函数4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我Байду номын сангаас愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
4.2 正 切 (课件)2024-2025湘教版 数学九年级上册
(3)tan α=3.549 2(精确到 0.01°)．
解：依次按键：
，
显示结果为74.264 624 79° ，即 α ≈ 74.26° .
感悟新知
6-1. [ 期中·烟台芝罘区] 已知 tanA ＝ 0.85，用计算器 求∠ A 的大小，下列按键顺序正确的是( A )
课堂新授
知识点 2 锐角三角函数
课堂新授
例例5 5 [母题 教材 P119 练习 T2 ]用计算器求sin 16°， cos 42°，tan 85°，sin 72°38′25″的值.
解题秘方：按计算器的使用说明求值.
课堂新授
解：如下表：
sin 16° cos 42° tan 85°
按键顺序
显示结果 0.275 637 355 0.743 144 825 11. 430 052 3
解题秘方：先根据特殊角的三角函数值求出两个 内角的度数，再判断三角形的形状 .
解：由题意得 2cos A － 1 ＝ 0， 3 － tan B ＝ 0， 解得 cos A= 12， tanB= 3 ， ∴∠ A ＝ 60° ， ∠ B ＝ 60° ． ∴∠ C ＝ 60° ， ∴△ ABC 是等边三角形．
3. 利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角：
所求值
计算器的按键顺序
求tan x°的值
求tan x°y′z′′的值
已知tan x°＝a， 求x 的值
课堂新授
4. 拓展： (1)互余两角的正切值之间的关系： tan α·tan(90°－α)＝1. (2)锐角α的正弦值、余弦值、正切值之间的商数关系： tan α ＝csions αα.
( 2sin 45°2
－1
2 ＝0.
九年级上册数学课件：4.2 正切
AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=
1 3
A
DB
C
则AD= 4 。
D
A B
16
课堂 作业
2020年2月5日10时35分
17
教学程序 1.创设情境，组织讨论
提出问题：你能比较两个 梯子哪个更陡吗？你有哪 些办法？
B CA
教学程序与评价
教学程序 2.合作探究问题，自主发现规律
比较下列图形中角的大小.
2020年2月5日10时35分
1
在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角
复习
α的正切，即： tanα
角的对边 角的邻边
．
例１．已知 tan 1 ,α是锐角，求
题
3 cos 的值．
tan 90 ,
B
sin ,
解 在Rt △ABC 中， ∠C=90º， ∠A=α １
1 3 （ 3 1）（ 3 1） 2
1
（ 2）原式=
2 3 33 3 2 3 2 3 3
3 2
3
2
3
23 23
（3）原式=
3 33
1 （ 3 ）2 3
1 1 3
1 1 3
3
3 （4）原式= 3 2020年2月5日10时35分 3 1 5
３．如图，一水渠的横断面为等腰梯形，渠深为1.6m， 渠底宽为1.2m， 一腰与渠底所成的内角为140º，
如何描述梯子在
A′
两个不同位置的
具体的倾斜程度
呢？
B′ B
C
(1)如图，一把梯子斜靠在墙上。滑动前（图中 AB）与滑动后（图中A′B′)的位置的梯子，哪一 个更陡些？你是根据什么判断的？你能用语言 向同学描述吗？
4.2第1课时正切
4.2 正切第1课时 正切1．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝ ( ) A.43 B.34 C.35 D.452．[2012·济南]如图4－2－7，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为 ( )图4－2－7A.13B.12C.22 D ．33．[2012·宁夏]在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，则tan A ＝________． 4．小明同学某一时刻前方的视角为120°，且仰角为51°，则俯角为________度．5．[2012·孝感]计算：cos 245°＋tan30°·sin60°＝________．6．[2012·衡阳]如图4－2－8，菱形ABCD 的周长为20 cm ，且tan ∠ABD ＝43，则菱形ABCD 的面积为________ cm 2.图4－2－87．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，则BC ＝________，AC ＝________.8．如图4－2－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝7，AC ＝5，求tan A ·tan B 的值．9．[2011·贵港]如图4－2－10所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是BC 边上的中线，BD ＝4，AD ＝25，则tan ∠CAD 的值是 ( ) A ．2 B. 2 C. 3 D. 5 10．[2012·铜仁]如图4－2－11，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫作角α的余切，记作cot α＝角α的邻边角α的对边＝AC BC ，根据上述角的余切定义，解下列问题： (1)cot30°＝________；(2)如图4－2－11，已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．图4－2－9图4－2－10 图4－2－1111．[2011·清远]如图4－2－12，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连结DE .(1)求证：AB ＝DF ；(2)若AD ＝10，AB ＝6，求tan ∠EDF 的值．答案解析1．B2．A 【解析】 如图，在网格中构造含有∠ACB 的Rt △ACD ，在该三角形中AD ＝2，DC ＝6，∴tan ∠ACB ＝AD BC ＝26＝13.故选A.第2题答图3.43 4．695．1 【解析】 cos 245°＋tan30°·sin60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋33×32＝12＋12＝1.6．24 【解析】 连结AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .∵菱形的周长为20 cm ，∴菱形的边长为5 cm.在Rt △ABO 中，tan ∠ABD ＝43，故可设OA ＝4x cm ，OB ＝3x cm ，又AB ＝5 cm ，所以根据勾股定理可得AO ＝4 cm ，BO ＝3 cm.∴AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm.∴菱形ABCD 的面积为12×6×8＝24(cm 2)．图4－2－127．2 2 38．1解：BC＝AB2－AC2＝72－52＝2 6，∴tan A＝BCAC＝2 65，tan B＝ACBC＝52 6＝5 612.∴tan A·tan B＝2 65×5 612＝1.9．A【解析】CD＝BD＝4，AD＝2 5，根据勾股定理求出AC＝2，则tan∠CAD＝CDAC＝42＝2.10．解：(1)∵Rt△ABC中，α＝30°，∴BC＝12AB，即AB＝2BC.∴AC＝AB2－BC2＝（2BC）2－BC2＝3BC，∴cot30°＝ACBC＝3BCBC＝ 3.(2)∵tan A＝BCAC＝34，∴cot A＝ACBC＝43.11．(1)略(2)tan∠EDF＝1 3解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEB＝∠DAF.又∵AE＝BC，∴AE＝AD.又∵∠B＝∠DF A＝90°，∴△EAB≌△ADF.∴AB＝DF.(2)在Rt△ABE中，BE＝AE2－AB2＝102－62＝8，由(1)知△EAB≌△ADF，∴DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，∴EF＝AE－AF＝10－8＝2，∴tan∠EDF＝EF DF。
正切函数的图象和质课件
所以：tan1670<tan1730
练习
1)tan(-1/5) 〉 tan(-3/7)
2、tan(-11/4)与tan(-13/5) 解：因为 tan(-11/4)=tan(- 3/4)
1
x
–/2
0 /4 /2
（k，k+/2） kz
（k–/2，k+/4）kz
练习：求x的范围 1. tanx=0 2. 1+tanx >0 3. tan(x+/4)1 4. tan(3x–/3)<–1 5. tan(–2x+/6)>1
y
1
x
-3/2 - -/2 0 /2 3/2
-1
（三）比较下列各值
-1
1、tanx>0是x>0的
A、充分不必要条件 条件
C、充要条件 不必要条件
B 、必要不充分 D、既不充分也
2、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx 相交的相邻两点间的距离是
A、 有关
B、/2
C、2 D、与a值
值域 周期性 奇偶性
R
奇函数
单调性 增区间（ k -/2 , k + /2) k z
(一)例:求函数 y=tan(x+ /4)的定义域。
提示：用换元法
解：令ｔ＝x+ /4，则函数ｙ＝tant的定义域是
{t|t k + /2, k z}
x+ /4 =t=k + /2
x = k + /2 –/4 = k + /4
九年级数学上册 第4章 锐角三角函数 4.2 正切导学课件
2021/12/12
第十四页，共二十三页。
4.2 正 切
例 6 教材补充例题 如图 4－2－3，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， BC＝AC，D 为 AC 的中点，求 tan∠ABD 的值．
2021/12/12
图 4－2－3
第十五页，共二十三页。
4.2 正 切
解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.设 AC＝BC＝2a，根据勾股定 理得 AB＝2 2a.∵D 为 AC 的中点，∴AD＝a.∵在 Rt△ABC 中，BC＝ AC，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A＝∠ABC＝45°.又∵DE⊥AB， ∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝ 22a，∴BE＝AB－AE＝3 2 2a， ∴tan∠ABD＝DBEE＝13.
第十七页，共二十三页。
4.2 正 切
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié)
知识点一 正切(zhèngqiē)的定义
在直角三角形中，锐角 α 的__对_边___与__邻__边__的比叫作角 α
角α的对边
的正切，记作 tanα，即 tanα＝角 __α__的_邻__边___． 如图 4－2－4，在 Rt△ABC 中，锐角 α
2021/12/12
第六页，共二十三页。
4.2 正 切
如图 4－2－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝BACC，tanB＝ABCC， 所以 tanA·tanB＝1.
2021/12/12
图4－2－2
第七页，共二十三页。
4.2 正 切
例 2 教材补充例题 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanB＝23， BC＝9.求 AB 的长．
与用计算器由锐角的正、余弦值求角度(jiǎodù)相同，仅按的键不
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C.不变
D.不能确定
A
┌ C
1. 求下列直角三角形中锐角的正切值．
F
ห้องสมุดไป่ตู้
B
1
3
A
解: tanA= tanB=
3
在Rt △ABC中 ∠A的对边
∠A的邻边
C
BC = AC AC = BC
= 1 =
D
5
解: 在Rt △DEF中
E
3
=
3 3
∵ DF=
52－32 =4
∠B的对边
∠B的邻边
3
3 ∴tanD= EF = 4 DF 4 tanE= DF = 3 EF
1)、 tanA与sinA、cosA 一样都是在直角三角形中定义的， ∠A 是锐角. 2)、 tanA与sinA、cosA 一样都是一个比值（数值）。 3)、 tanA与sinA、cosA 的大小都只与∠A的大小有关， 而与直角三角形的边长无关。 4)、 锐角的正切值随着角的增大而增大 5)、 tanα tan（ 90º α ）= 1 －
猜想： 你能猜想出α角与（ 90º －α）角的正切值的关系吗？
tanα tan（ 90º α ）= 1 －
●
1. 在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,tanB =_______ . A
A
D
B
┌ D
C
B
C
2. 在正方形网格中， △ABC的位置如图所示，tan∠A=_____.
3. tan15º tan25º tan45º tan65º tan75º =____.
●
2. 你还有什么想法吗？
P113习题4.2 A组 1、3 B组 5
∠A的对边 ∠A的邻边
=
a
b
y
2. 观察右图, 思考锐角的正切值是如 何随着角的变化而变化的？
60° 45° 30°
锐角的正切值随着角的增大而增大
0
1
x
1.去伪存真（判断下列锐角的正切的真假） B 7m 10m ┍ (2)
B
A
(1)
C
A
C
BC BC 1).如图 (1) tanA= （ 假 ） 2).如图 (2) tanA= （ AC AB
=
3 3
由于∠B = 90º －∠A = 60º
因此
tan60º =
AC BC
=
3
2. tan45º 的值是多少？
tan45º =1
你能说出道理吗？ 30º 45º 60º 的正弦、余弦、正切值．
α
sin α cosα tan α
30º
1 2
3 2
3 3
45º
2 2
60º
3 2
2 2
1 2
1
3
1. 通过这节课的学习活动你有哪些收获？
湘教版《数学》九年级上册§4.2节
正
给我最大快乐的， 不是已懂的知识，
切
而是不断的学习. ----高斯
松桃县蓼皋中学 滕树立
1.如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
斜边C ∠A的对边a
正弦sinA = 余弦cosA =
∠A的对边 斜边 ∠A的邻边 斜边
=
a
C
= C
b
A
∠A的邻边b
C
问题：当直角三角形的一个锐角的大小确定 时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？
● ● ● ●
B 1．求 tan30º ，tan60º 的值．
解:
在Rt △ABC 中， ∠C= 90º ， ∠A= 30º 于是 AB = 2BC ，
30º
C
A
从而 AC2 ﹦ AB2－BC2﹦(2BC) 2－BC2=3BC2 因此 AC = 3 BC
BC ∴ tan30º= AC
=
BC = 1 3 AC 3
假）
10 AC 3).如图 (2) tanA= （ 假 ） 4).如图 (2) tanB= 7 （ 真 ） BC
5).如图 (2) tanA= 0.7m（ 假 ）
2.已知∠A,∠B为锐角
= tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A = ∠B.
(1)若∠A=∠B,则tanA 3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 B 扩大100倍,tanA的值（ C ） A.扩大100倍 B.缩小100倍
猜想：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比 是一个固定值。
1. 如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以 A为一个锐角的直角三角形（如图），那么图中： B2C2 BC B1C1 = = = …… 成立吗？为什么？ AC2 AC AC1 B1 B B2 B1 B A C C1 C2 A C A C1
由于∠A= ∠A ， ∠C= ∠C1=90°， 所以Rt△ABC ∽ Rt△ AB1C1 。 AC B1C1 BC BC 所以 即 ＝ ＝ AC1 AC1 AC B1C1
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如 何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的 邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA， 即 tanA=