专题五：平面向量基础知识及题型总结教师

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平面向量复习基本知识点及结论总结

平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。

平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。

1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。

-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。

-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。

-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。

-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。

4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。

5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。

-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。

6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。

-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。

以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。

为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。

平面向量总结

平面向量概念、方法、题型总结一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么（向量可以平移）。

如：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r平行的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r 、共线；6．负向量：长度相等方向相反的向量叫做负向量。

a 的负向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =r r，则a b =r r 。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。

（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。

（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r。

其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，j 为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

平面向量知识归纳和题型总结#精选.

平面向量章节分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几何运算和基本定理1.向量的相关概念2.向量的线性运算3.向量的共线定理非零向量a 与向量b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b a =λ。

延伸结论:,,A B C 三点共线//AB AC ⇔⇔当且仅当有唯一R λ∈,使AB AC =λ 4.平面向量的基本定理如果12,e e 是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使:1122a e e =λ+λ,其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 练习:（1）已知12,e e 是平面向量的一组基底,11122122,a x e y e b x e y e =+=+, ①若a b =当且仅当12x x =且12y y =.②若0,a =则120x x ==.（2）如图,OA OB 为单位向量，||23OC =，其中,OA OB 的夹角为120，,OA OC 的夹角为30。

若OC OB OA =λ+μ，求,λμ的值。

5.一个常用结论:ABC △中, M 为边BC 的中点, 则有:2AM AB AC =+. 练习:设ABC ∆的重心为点G ,设,.AB a AC b ==试用,a b 表示AG . 典型例题分析:知识点一:基本概念例1.1.如果12,e e 是平面α内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )①12+e e λμ(,λμ∈R )可以表示平面α内的所有向量;平面α内的所有向量都可以表示成12+e e λμ(,λμ∈R )。

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。

本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。

一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。

通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。

2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。

设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。

3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。

4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。

二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。

2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。

3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。

4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结高考平面向量的知识点总结如下：1. 平面向量的定义：平面上的向量是有大小和方向的有向线段，可以用有向线段的终点与起点之间的位移来表示。

2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，形如AB→=(x2-x1, y2-y1)。

3. 平面向量的基本运算：a) 向量的加法：将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。

b) 向量的减法：将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。

c) 向量的数乘：将向量的每一个分量都乘以一个标量，得到一个新的向量。

d) 向量的数量积：将两个向量的相应分量相乘，再将这些乘积相加，得到一个标量。

e) 向量的模长：向量的模长等于对应坐标差的平方和的平方根。

4. 平面向量的运算规律：a) 加法的交换律：A+B=B+Ab) 加法的结合律：(A+B)+C = A+(B+C)c) 数乘的结合律：k(A+B) = kA+kBd) 数乘的分配律：(k+l)A = kA + lA5. 平面向量共线与平行：若向量a与向量b线性相关，则称向量a 与向量b共线；若向量a与向量b既共线又同向或反向，则称向量a与向量b平行。

6. 平面向量的数量积与夹角关系：a) 两个向量共线时，它们的数量积等于它们的模长的乘积。

b) 两个向量平行时，它们的数量积等于它们的模长的乘积乘以它们的夹角余弦值。

7. 平面向量的坐标表示与几何应用：a) 两个向量的坐标之间的关系：可以根据向量与坐标之间的关系，求解所有给出的向量的坐标。

b) 利用向量的坐标表示进行运算：可以通过向量的坐标表示来进行向量的加法、减法、数量积等运算。

c) 利用向量的几何应用：可以用向量的几何性质解决平面几何问题，如求线段的垂直平分线等。

这些是高考平面向量的基本知识点，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决与平面向量相关的问题。

高中数学平面向量知识点总结

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

平面向量知识点和重点题型总结

平面向量的概念及线性运算【2013年高考会这样考】1．考查平面向量的线性运算．2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)3.(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )． A ．－BC →＋12BA → B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|. 正确的个数是( )．A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )．A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.考向一平面向量的概念【例1】►下列命题中正确的是( )． A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行【训练1】给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确命题的序号是________．考向二平面向量的线性运算【例2】►如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )．A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0【训练2】在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )． A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c考向三共线向量定理及其应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )．A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1【示例1】► (2012·泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )． A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2【示例2】► (2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上。

平面向量知识点归纳总结

平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。

例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。

二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。

三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。

设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。

新的线段即为向量A + B。

2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。

设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。

3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。

即A - B = A + (-B)。

4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。

任何向量与零向量相加等于该向量本身。

四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。

2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。

3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。

4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。

5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。

6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。

五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是二维空间中的向量，它在数学中有着广泛的应用。

在平面向量的研究中，我们需要了解平面向量的定义、运算法则、坐标表示、线性相关与线性无关、向量的模和方向、向量的投影、平行四边形法则、平面向量的夹角、向量的数量积等内容。

本文将对这些内容进行详细的总结，以帮助读者更好地理解平面向量的相关知识。

1. 定义：平面向量是一个具有大小和方向的量。

它可以用一个有向线段来表示，也可以用它的坐标来表示。

平面向量的定义包括初始点和终点，表示为AB。

2. 运算法则：平面向量有加法和数乘两种运算方式。

向量的加法规则是将两个向量的横纵坐标分别相加，得到一个新的向量。

向量的数乘规则是将向量的横纵坐标分别与给定的实数相乘，得到一个新的向量。

3. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即用其横纵坐标表示向量的位置。

设向量AB的坐标为(a, b)，则向量AB的终点的坐标为(A.x + a, A.y + b)，其中A.x和A.y分别为点A 的横纵坐标。

4. 线性相关与线性无关：若存在一组实数k1, k2, ... , kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则向量组V1, V2, ... , Vn是线性相关的。

否则，向量组V1, V2, ... , Vn是线性无关的。

线性无关的向量组在平面向量的研究中具有重要的作用。

5. 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，即向量的长度。

向量的方向表示向量的朝向，即向量的角度。

向量的模可以用勾股定理计算，即v的模等于√(x^2 + y^2)，其中x 和y分别为向量v的横纵坐标。

6. 向量的投影：向量的投影指的是一个向量在另一个向量上的投影长度。

设向量A在向量B上的投影为P，且向量A 和向量B的夹角为θ，则投影P的长度等于A在B上的模乘以cosθ。

7. 平行四边形法则：平行四边形法则是用来计算两个向量的和的规则。

根据平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学中的基础知识之一。

它在几何、代数、物理等方面有着广泛的应用，因此对平面向量的理解和掌握是非常重要的。

接下来，我将对平面向量的基本概念、性质和运算进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 平面向量的基本概念。

平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y 轴上的投影。

平面向量的模可以表示为|AB|，方向可以用角度或者方向角来表示。

2. 平面向量的性质。

平面向量具有以下性质：平行向量，如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。

相等向量，具有相同大小和方向的向量称为相等向量。

零向量，模为0的向量称为零向量，记作0。

共线向量，如果存在实数k，使得向量a=kb，则称向量a与b共线。

3. 平面向量的运算。

平面向量具有加法、数乘和数量积等运算。

加法，向量a和向量b的和记作a+b，其坐标分别相加。

数乘，实数k与向量a的数乘记作ka，其坐标分别乘以k。

数量积，向量a与向量b的数量积记作a·b，其大小为|a|·|b|·cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。

4. 平面向量的应用。

平面向量在几何、代数和物理等方面有着广泛的应用。

几何，平面向量可以用来表示线段、向量共线、向量共面等几何性质。

代数，平面向量的运算可以用来解决代数方程组、向量方程等问题。

物理，平面向量可以用来表示力、速度、位移等物理量，并且可以进行运算和分解。

总结，平面向量是数学中的重要内容，它具有基本概念、性质和运算，应用广泛。

通过对平面向量的学习，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高数学解决问题的能力。

希望以上内容能够帮助大家更好地理解和掌握平面向量的知识点，欢迎大家在学习过程中多加练习，加深对平面向量的理解和运用。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。

大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

平面向量知识点总结(精华)

平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。

模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。

零向量的方向是任意的。

4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。

对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。

例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

若向量a与b平行，记作a。

例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。

6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。

其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。

高中数学平面向量知识点与典型例题总结（师）

高中数学平面向量知识点与典型例题总结（师）《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。

记作：AB 或a 。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。

3.单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则||1e =。

4.零向量：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB BA =-。

8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

10.共线定理：//a b a b λ=?。

当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a ba b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?=? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+=题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。

（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。

平面向量的计算知识点总结

平面向量的计算知识点总结一、基本概念1. 平面向量的定义在二维空间中，若给定两个不平行的线段AB和CD，其起点O重合，那么可以确定一个平面向量a，记作a=→AB。

平面向量a表示由有向线段AB所确定的量，它的大小为线段AB的长度，方向为从A指向B。

2. 平面向量的表示平面向量可以用有向线段来表示，也可以用坐标表示。

若O为坐标原点，i为x轴正向单位向量，j为y轴正向单位向量，那么平面向量a可以表示为a=xi+yj，其中x为a在x轴上的投影，y为a在y轴上的投影。

3. 平行向量与相等向量如果两个平面向量a=→AB和b=→CD的方向相同，则称它们为平行向量；如果两个平面向量a=→AB和b=→CD的大小和方向均相同，则称它们为相等向量。

4. 向量的模和方向角给定平面向量a=xi+yj，它的模记作|a|，定义为平面向量a的长度，即|a|=sqrt(x^2+y^2)；它的方向角记作θ，定义为平面向量a与x轴正向的夹角，即tanθ=y/x。

二、平面向量的运算1. 平面向量的加法给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的和记作c=a+b，c=→AC，其中C为有向线段AB和CD的终点。

平面向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，即将起点O作为共同点，以a和b为两条边作平行四边形或三角形的第三边。

2. 平面向量的减法给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的差记作c=a-b，c=→AD，其中D为有向线段AB和CD的终点。

平面向量的减法可以理解为将向量b取反后与向量a进行加法运算。

3. 数乘运算给定平面向量a=xi+yj和实数k，那么ka=kxi+kyj，它的模为|ka|=|k||a|，它的方向与向量a的方向相同（k>0）或相反（k<0），即乘积ka为向量a的长度的k倍或-k倍。

4. 数量积给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的数量积记作a·b，定义为|a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模，θ为向量a和b之间的夹角。

高中平面向量知识点总结

高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。

2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。

（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。

（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。

2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。

3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。

4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。

（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。

2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。

平面向量知识归纳和题型总结

三角形之心
一、外心.
三角形外接圆的圆心,简称外心．是三角形三边中垂线的交点.（下左图)
二、重心
三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.
掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(上右图)
三、垂心
三角形三条高的交点,称为三角形的垂心．（下左图）
四、内心
三角形内切圆的圆心,简称为内心.是三角形三内角平分线的交点.
练习：1）设是不共线的两非零向量,若，且夹角为 ,求为何值时, 的值最小.
2）已知向量＝ = 且 ∈ .
(1)求 · 及| + |;
(２)若 = · -｜＋ |,求的最大值和最小值．
向量与三角形
平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件,在这类问题中,往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质,因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.
三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.(上右图)
知识点一、三角形形状与向量
1、已知向量满足条件 ,且，求证是正三角形.
1.向量的相关概念
2．向量的线性运算
3.向量的共线定理
非零向量与向量共线,当且仅当存在唯一一个实数，使。
延伸结论: 三点共线当且仅当有唯一 ,使
４.平面向量的基本定理
如果是一个平面内两个不共线向量，那么对这平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ1,λ２使： ,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(２)设是平行四边形的对角线的交点, 为任意一点，则 =

平面向量的基本概念与运算知识点总结

平面向量的基本概念与运算知识点总结平面向量是研究平面运动的重要工具，具有方向和大小两个基本特征。

本文将对平面向量的基本概念和运算进行总结，帮助读者理解和掌握相关知识。

1. 平面向量的定义平面向量由有向线段表示，起点和终点分别称为向量的始点和终点。

向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a表示为→a。

平面向量有两个基本属性：方向和大小。

方向由向量的方向夹角确定，大小由向量的长度表示。

2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示。

在直角坐标系中，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的投影，a₂表示向量在y轴上的投影。

位置矢量表示中，向量a的始点为原点O，终点为点A，表示为向量OA。

3. 平面向量的相等与相反两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

两个向量的相反向量，大小相等但方向相反，用符号-→a表示。

4. 平面向量的加减运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点和另一个向量的终点相连，得到一个新向量，表示两个向量的和。

向量的减法可以通过向量加上其相反向量得到。

5. 平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示为a·b，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。

计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。

其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。

6. 平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b)- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c7. 平面向量的夹角与垂直条件两个向量夹角的余弦值可以通过数量积的公式计算。

若两个向量的数量积为0，则它们互相垂直。

8. 平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或外积，表示为a×b，是两个向量长度之积与它们夹角的正弦值的乘积，另外加上垂直于这两个向量所在平面的单位向量n。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳平面向量是数学中一个重要的概念，它在几何、代数和物理等领域都有广泛的应用。

下面是平面向量的一些常见知识点总结归纳。

1.平面向量的定义与表示：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

常用表示方法有坐标表示和分量表示。

2.平面向量的基本运算：平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘、取负等运算。

两个向量的加法是将它们的对应分量相加，减法和加法类似，数乘是将向量的每个分量乘以一个标量，取负就是将向量的每个分量取负值。

3.平面向量的数量积：平面向量的数量积（内积）是将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个标量。

数量积有以下几个性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(A+B)·C=A·C+B·C-分配律：(aA)·B=a(A·B)-零向量的数量积为0-若A·B=0，则A与B垂直（即正交）4.平面向量的向量积：平面向量的向量积（叉乘）是一个向量，它与原来的两个向量都垂直。

向量积的大小等于两个向量的数量积的模，方向遵循右手法则。

向量积有以下几个性质：-反交换律：A×B=-B×A-结合律：(aA)×B=a(A×B)-分配律：A×(B+C)=A×B+A×C-零向量与任何向量的向量积都为零向量-若A与B共线，则A×B=05.平面向量的共线与垂直关系：两个向量共线指的是它们的方向相同或相反，共线的标准是两个向量的比值为常数。

两个向量垂直指的是它们的数量积为0，也就是说两个向量的夹角为90度。

6.平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的常数使得两个向量的线性组合等于零向量，那么这两个向量是线性相关的，否则就是线性无关的。

若多个向量中存在一个线性无关的向量，则认为这多个向量也是线性无关的。