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（完整版）柯西不等式练习题.docx柯西不等式练习题1.(09 绍兴二模 )设x, y, z R, x2y2z2 1 。

（1）求x y z的最大值；（ 2）求x y 的取值范围。

2.（09 宁波十校联考）已知x, y, z (0,) ，且 x y z 11925，求y的最小值。

x z3.（09 温州二模）已知x, y, z R ，且z y z 1。

（1）若2x23y26z21，求x, y, z的值；（2）若2x23y 2tz 2 1 恒成立，求正数t 的取值范围。

4、（ 09 嘉兴二模）设x, y, z R ，且 x2y 3z 1。

（1）求证：| x y z || y z || z |1；（2）求u (x1)2( y2)2( z3)2的最小值。

5.（09 诸暨模考）已知x, y, z 都是正数，且x 2 y3z 6 ；（1）求证：x2y2z218；（2）问123有最大值还是最小值？并求这个最值。

7x y z6.（093x 5 。

宁波一模）已知2求证：4x 42x 315 3x78 。

7（09 舟山一模）已知a, b, c, d 满足 a b c d 3,a22b23c26d 2x 。

（1）求证：当a 0时，x 9。

（2）当x 5时，求实数a的最值。

8.（09 稽阳联考）（ 1）已知正数x, y, z 满足x y z 1，求x2y2z2的最小值。

1 z 1 x 1 yx y z，求 t 的最大值。

9．已知t2y2x24z210.(09 金丽衢十二校第一次联考)已知 3x 4y 4z 1，求 x2y2z2的最小值。

11（ 09 浙江五校联考）（1）求函数f (x)38(x R)的最小值。

2sin 2 x 13cos2 x 212、（ 09湖州一模）已知 a, b,c R ，且a b c 1 。

（1）求1 1 + 1的最小值；（ 2）求证 :a2b2c21.a b c1a 1 b 1 c413、（ 09 杭州一模）已知x, y, z是正数，且满足条件x y z3 xyz（1）求x y z的最小值；（ 2）若xyz 3，且x22y 2z2 1 ，求 x 的取值范围。

柯西不等式单元测试题

《柯西不等式》单元测试题（1）班级姓名一、选择题：1．已知a ，b ∈R，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( )A ．4B ．213C ．8D ．92．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋n y＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 ＋n C ．m ＋n D ．(m ＋n )23．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．[－5，5]4．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是 ( )B ．1C ．3D ．95．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．16．设a 、b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q二、填空题：7．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b的最小值为________； 8．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是________；9．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc · b m ＋dn，则P 与Q 的大小________；10．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________；11．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为________.三、解答题： 12．若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点．13．设a ，b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b的最小值． 14．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.15．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127. 参考答案：一、选择题：1．已知a ，b ∈R，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( )A ．4B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋n y＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 ＋n C ．m ＋n D ．(m ＋n )2答案：A3．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．[－5，5] 解析： ∵(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2，∴|a －b |≤20＝25，∴a －b ∈[－25，25]．答案： A4．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是 ( ) B ．1 C ．3 D ．9解析： ∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤ 2x 2＋5y 2·12＋12＝1·2＝ 2. ∴2x ＋5y 的最大值为2. 答案： A5．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1解析： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1xy 2＝4，故选A. 答案： A6．设a 、b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析： ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a (a ＋b ) ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2[(a )2＋(b )2] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b ·b ＋b a ·a 2＝(a ＋b )2 ∵a >0，b >0，∴a ＋b >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ≥a ＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )．又∵a ≠b ，而等号成立的条件是ab ·b ＝b a ·a ，即a ＝b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a >a ＋b .即P >Q . 答案： A二、填空题：7．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________；解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1b 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋12 ＝32＋ 2. 答案：32＋2 8．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是________；解析：根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×x －52＋6－x 2＝ 5. 答案： 5 9．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc · bm ＋dn ，则P 与Q 的大小________；解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m＋nc ·d n ≤am 2＋nc 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫d n 2＝am ＋nc ·b m ＋d n ＝Q .答案： P ≤Q 10．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________；解析： y ＝2cos x ＋31－cos 2x ＝2cos x ＋32sin 2 x ≤cos 2 x ＋sin 2 x [22＋322]＝22. 当且仅当cos x sin 2 x ＝232，即tan x ＝±322时，函数有最大值22. 答案： 2211．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为________. 解析： y ＝21－x ＋2x ＋1＝22－2x ＋1·2x ＋1 ≤22＋12·2－2x 2＋2x ＋12＝3·3＝3. 当且仅当2－2x ·1＝2·2x ＋1取等号．即2－2x ＝4x ＋2，∴x ＝0时取等号．答案： 3三、解答题：12．若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点．解：由柯西不等式(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1，∴4x 2＋9y 2≥12. 当且仅当2x ·1＝3y ·1，即2x ＝3y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，2x ＋3y ＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16. 13．设a ，b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b 的最小值．解： ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1b 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a ，即a ＝b 时取等号，∴当a ＝b ＝1时，1a ＋1b的最小值为2. 14．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b 1－a 2＝1－b 2a 时，上式取等号， ∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1. 15．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127. 证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2] ≥12(1×a 4＋1×b 4)2 ＝12(a 4＋b 4)2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1212＋12a 4＋b 42 ＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2 ≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2 ＝123⎣⎢⎡⎦⎥⎤1212＋12a 2＋b 22 ≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．。

可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)

可用柯西不等式的基本不等式训练题（含详解）柯西不等式()（a+b ）c d +≥+ 条件a,b,c,d 为正当且仅当cd ab=取=号 1．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则的最小值是（） A ．B ．4C ．D ．5 2．若直线()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，则2a b +的最小值是（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．123．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线10mx ny ++=上，其中mn 、均为正数，则12m n +的最小值为（） A ．2B ．4C ．6D ．8 4．已知正数,x y 满足811x y +=，则2x y +的最小值是（） A ．18 B ．16 C ．8 D ．105．如图，在ABC 中，23BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y+的最小值为（）A ．16B ．15C ．12D ．106．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．8m ≤ B ．8m > C ．0m < D ．4m ≤ 7．圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是( )A ．B ．263C ．4D ．153 8．若直线1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，则2+a b 的最小值等于（）A．9B ．8C ．3+D ．4+ 9．若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 10．若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 11．已知x ，y 是正数，且141x y+=，则x y +的最小值是______． 12．已知()222log log log x y x y +=+，则 11x y+=______2x y +的最小值为 ______．参考答案1．C【解析】试题分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．解：∵a+b=2，∴=1 ∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a 时等号成立）故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．2．A【解析】【分析】由直线过点()1,2，可得121a b+=，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,2，所以121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b+=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2,4a b ==时等号成立. 故选：A【点睛】本题主要考查了均值不等式的灵活运用，考查了运算推理能力，属于中档题.3．D【解析】试题分析：210kx y k -+-=变形为()21k x y +=+，所以过定点()2,1--，代入直线得21m n +=()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n=时等号成立，取得最小值8考点：1．直线方程；2．均值不等式求最值4．A【解析】【分析】()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后运用基本不等式求出最小值【详解】 811x y+=()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当16y x x y=，即12x =，3y =时，2x y +取得最小值18 故选A【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题 5．A【解析】【分析】由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：∵23BD BC =， ∴3CB CD =，3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号，故选：A.【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．A【解析】【分析】利用基本不等式求出()212x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值，即可得解. 【详解】解：0x 、0y >()21422248y x x y x y x y ⎛⎫∴++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时，等号成立，∴8m ≤，故选：A .【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.7．D【解析】【分析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【详解】解：圆222610x y x y ++-+=，22(1)(3)9x y ∴++-=圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称， ∴该直线经过圆心(1,3)-，把圆心(1,3)-代入直线30(0,0)ax by a b -+=>>，得：330a b --+=33a b ∴+=，0a >，0b >∴1311313311(3)101053333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当33b a a b=时取得最小值为153 故选：D ．【点睛】本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用． 8．A 【解析】【分析】把(1,2)代入直线方程得,a b 满足的等量关系，用“1”的代换把2za b +凑配出基本不等式中的定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】∵直线1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，∴121a b+=，∴12222(2)()559a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当22a b b a =，即3a b ==时等号成立，∴2+a b 的最小值为9．故选：A ．【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法．9．8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 10．8【解析】【分析】由直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a=，即2,4a b ==时取等号，所以2a b +的最小值为8故答案为：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题11．9【解析】【分析】利用 “1”的代换，将x y +化为45x y y x++，进而利用基本不等式求最小值即可；【详解】∵x ，y 是正数，且141x y+=∴()144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =即2y x =（此时3x =，6y =）时取等号；故x y +的最小值为9.故答案为：9【点睛】本题考查了利用基本不等式中“1”的代换求最值，注意不等式中等号成立的条件，属于简单题；12．1，3+【解析】试题分析：由()222log log log x y x y +=+得且，所以，2x y +=(2x y +),当且仅当时取得等号考点：基本不等式。

柯西不等式的练习题

柯西不等式的练习题柯西不等式是数学中的一个重要定理，它在不等式证明和优化问题中有着广泛的应用。

本文将通过一些练习题来加深对柯西不等式的理解。

练习题一：设a、b、c、d为实数，求证：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2化简得：4(a^2+b^2+c^2+d^2)≥(a+b+c+d)^2展开得：4a^2+4b^2+4c^2+4d^2≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 化简得：3a^2+3b^2+3c^2+3d^2≥2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd再次化简得：3(a^2+b^2+c^2+d^2)≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)由于平方数都是非负数，所以左边大于等于0，右边也大于等于0，因此不等式成立。

练习题二：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2化简得：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2展开得：3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc化简得：2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2ac+2bc再次化简得：a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc这是平方和的非负性质，所以不等式成立。

练习题三：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+c a解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca展开得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2)/ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)/ab+化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca 再次化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca这是平方和的非负性质，所以不等式成立。

柯西不等式习题

高二理科数学选修4-5柯西不等题库大全1.求函数的最大值。

2. 求函数的最大值。

3. 求函数的最大值。

变1：已知，求的最大值。

变2：已知，求的最大值。

变3：已知，求的最小值。

变4：已知，求的最小值。

（1）巧拆常数：例1：设、、为正数且各不相等。

求证：（2）重新安排某些项的次序：例2：、为非负数，+=1，求证：（3）改变结构：例3、若>>求证：（4）添项：例4：求证：【1】、设，则之最小值为________；此时________。

【2】设(1，0， 2)，(x，y，z)，若x2 y2 z2 16，则的最大值为。

【3】空间二向量，，已知，则(1)的最大值为多少？(2)此时【4】设a、b、c为正数，求的最小值。

【5】. 设x，y，z R，且满足x2 y2 z2 5，则x 2y 3z之最大值为【6】设x，y，z R，若x2 y2 z2 4，则x 2y 2z之最小值为时，(x，y，z)【7】设，，试求的最大值M与最小值m。

【8】、设，试求的最大值与最小值。

【9】、设，试求之最小值。

【10】设，，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。

【11】设x，y，z R，2x 2y z 8 0，则(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2之最小值为【12】设x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________。

【13】设a，b，c均为正数且a b c 9，则之最小值为【14】、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。

【16】. 空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为，，（，，均非象限角），求的最小值。

【18】、设x, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，【20】. 设x，y，z R且，求x y z之最大值，最小值。

【21】. 求2sincos sin cos cos 的最大值与最小值。

【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.。

柯西不等式习题

五、课后作业1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5] 解析：∵a 2＋b 2＝10，∴(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2，即20≥(a ＋b )2，∴－25≤a ＋b ≤2 5.答案：A2．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则)11)(11(yx ++的最小值为( ) A ．4 B ．2C ．1D ．14 解析：)11)(11(y x ++≥2)11(xy+＝4，故选A. 答案：A 3．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是( ) A. 2B ．1C ．3D ．9解析：∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤4x 2＋5y 2·12＋12＝1·2＝ 2.∴2x ＋5y 的最大值为 2.答案：A4．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n n ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．不确定解析：由柯西不等式知(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12·()111n ⋯＋＋＋个 12≥a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n . 即得 a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ，∴P ≥Q .答案：B5．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n ，则P 与Q 的大小________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ×d n ≤(am )2＋(nc )2×⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2＝am ＋nc × b m ＋d n＝Q .答案：P ≤Q6．函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值为________．解析：由柯西不等式得(x －6＋12－x )2≤(12＋12)·[(x －6)2＋(12－x )2]＝12，∴x －6＋12－x ≤23(当x ＝9时，“＝”成立)．答案：2 37．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．解析：由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，当且仅当m a ＝n b时等号成立，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5.答案： 58．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________．解析：y ＝2cos x ＋31－cos 2x ＝2cos x ＋32sin 2x ≤(cos 2x ＋sin 2x )[22＋(32)2]＝22. 当且仅当cos x sin 2x ＝232，即tan x ＝±322时，函数有最大值22. 答案：229．已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式．由于(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛ x ·1x ＋y ·2y ＋ ⎭⎫z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z≥36. 当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．∴1x ＋4y ＋9z的最小值为36. 答案：3610．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36，故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：1211．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：根据柯西不等式可得，(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝14，所以要取到等号，必须满足x 1＝y 2＝z 3，结合x ＋2y ＋3z ＝14，可得x ＋y ＋z ＝3147. 答案：314712．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.求证：－23≤c ≤1. 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式得：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.∴－23≤c ≤1. 13．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：由柯西不等式，得[x ＋(－2)y ＋(－3)z ]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x 2＋y 2＋z 2)，即(x －2y －3z )2≤14(x 2＋y 2＋z 2)，即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)．所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x ＝y －2＝z －3，即当x ＝27，y ＝－47，z ＝－67时，x 2＋y 2＋z 2的最小值为87. 14．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求a 的最值．解：由柯西不等式，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2，由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2，当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立，代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2，代入b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1. 15．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6 的最大值．解：根据柯西不等式120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)] ≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2，故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230.当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时u max ＝230.。

柯西不等式试题

柯西不等式试题柯西不等式试题⼀、选择题（本⼤题共4⼩题）1.设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最⼤值是( )A ．1B ． 3C ．3D ．9 2.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最⼤值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．不确定 3.若实数a ，b ，c 均⼤于0，且a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最⼩值为( )A ．3B ．1C ．33D ． 34.已知x ，y ，z 均⼤于0，且x ＋y ＋z ＝1.则1x ＋4y ＋9z的最⼩值为( ) A ．24 B ．30 C ．36 D ．48⼆、填空题（本⼤题共2⼩题）5. (2013·湖南⾼考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最⼩值为________．6.设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝________.三、解答题（本⼤题共4⼩题）7.已知实数x ，y ，z 满⾜x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最⼩值．8.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.9.求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6)2取到最⼩值．10.△ABC 的三边长a ，b ，c ，其外接圆半径为R .求证：(a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C )≥36R 2.柯西不等式试题答案解析⼀、选择题1.【解析】由柯西不等式得[(a )2＋(b )2＋(c )2](12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2，∴(a ＋b ＋c )2≤3×1＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成⽴．∴a ＋b ＋c 的最⼤值为 3.故选B.【答案】 B2.【解析】∵(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1.当且仅当a i ＝x i ＝n n(i ＝1,2，…，n )时等号成⽴．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最⼤值是1.故选A ．【答案】 A3.【解析】∵a ＋b ＋c ＝1·a ＋1·b ＋1·c ，且a ，b ，c ⼤于0.由柯西不等式，(1·a ＋1·b ＋1·c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)∴a 2＋b 2＋c 2≥3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成⽴．∴a 2＋b 2＋c 2的最⼩值为 3.【答案】 D4.【解析】 (x ＋y ＋z )(1x ＋4y ＋9z ) ≥(x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z )2＝36. ∴1x ＋4y ＋9z≥36. 【答案】 C⼆、填空题5.【解析】∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．【答案】 126.【解析】由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝k 时取“＝”．由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56. 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56. 【答案】 56三、解答题7.【解】由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2，∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13. 当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成⽴．故x 2＋4y 2＋z 2的最⼩值为13. 8.【证明】由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c .且a ，b ，c ⼤于0.∴f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c ) ≥(ax 1·ax 2＋bx 1·bx 2＋c )2＝(ax 1x 2＋b x 1x 2＋c )2＝[f (x 1x 2)]2＝[f (1)]2.⼜f (1)＝a ＋b ＋c ，且a ＋b ＋c ＝1，∴f (x 1)·f (x 2)≥1.9.【解】由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(2－x －y )2＋(2x ＋y －6)2]≥[1×(y －1)＋2×(2－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝9，即(y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6)2≥32，当且仅当y －11＝2－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝12时，上式取等号．∴当x ＝52，y ＝12时(y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6)2取到最⼩值． 10.【证明】由三⾓形中的正弦定理得：sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)(4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R2c 2)≥(a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c )2＝36R 2，∴原不等式得证．。

完整版柯西不等式单元测试题1

《柯西不等式》单元测试题（1）班级_______________ 姓名_________________一、选择题：1.已知a, beR, a2+b2= 4,则3a+ 2b的最大值为（）A. 4 B・2皈.8 D・9m n2•设x, y, m , n>0,且x+y = l，则u=x+y 的最小值是（）A .④$ B. y/in -bjn C . m + n D . （m + n）23.若a, beR ,且a2+ b2= 10,则a— b的取值范围是（）A.[-恥，矯]B . [- C • [ — *s/~^0，V^]D .[-点迁4.已知4x?+5y2=l,则2x + p 5y的最大值是（）B . 1C . 3D . 9+ 1+- 1+一15.已知x, ye R，且xy= 1,贝ij x y的最小值为（）1A. 4 B ・ 2 C ・ 1 D. 742 2a b6.设a、b£R+,且aHb, P=b +a，Q = a+b，则（）A. P>Q B ・ P$Q C ・ P〈Q D・ PW Q二、填空题：1 17.已知a, b>0,且a+ b= 1 ,则2a+ b的最小值为_____________________ ;8.函数y= （x— 5+ — x的最大值是__________ :9•设，，,,, 都是正实数，— +J —, 珂—干a b c d m n P aocd 、Q m*a nc的大小 ________10.函数y=2cos x + 3 pl — cos 2 x的最大值为________________11.函数y= 1—x+Q 2x+ 1的最大值为 _________________ .三、解答题：12.若2x+3y=l,求4x24- 9y2的最小值，并求出最小值点.1 113.设&, be R+ ,若a+b=2,求a+ b的最小值.14.已知a^Jl— b2+b^Jl— a2 = l,求证：a2+ b2= 1.1 8 8 115.设a+b= 2，求证：a +bM2「参考答案:一、选择题：1.已知d, beR , a2+b2= 4,则3a+ 2b的最大值为( )A. 4 B . 2 . 8 D . 9答案：Bm n2.设x, y, m , n>0,且x+y = l，则u=x+y 的最小值是( )A .価 +申 $ B. yjm ~hjn C . m + n D . (m + n)2答案：A3•若, WR,且2+ 2=10,则一的取值范围是( )a b a b a bA.[一亦，2^5]B . [- 2^/10, 2^/10]C .[一厂0,厂10]D .苛5,护]9 9 0 9 9■ ■ ■M M解析：V(a + b)[l + (-l)]>(a-b),| a — b W-^20 = 2-^5, /. a — b w [ —2^5, 2寸.答案： A4.已知4x?+5护=1,则2x+两y的最大值是( )A.才B . 1 C . 3 D . 9解析：V2x+ V 5y= 2x • 1#" 5y • 12+^f A• l2 + l/=斗2孑2.2x+ 的最大值为答案: A1 15.已知x, ye R +,且=1,则 1 + 一1 + 一的最小值为0X y1A. 4 B ■2C . ID.41 1 1 9T解析：1+ X 1+y A 1 + xy =4, 故选A.答案： A+ ¥6.设a、beR ,且dH b, P=b + a，Q = &+b，则( )A. P>Q B ・ P$Q C. P<Q D・ PW Qa2 b2解析：•・• b+ a (a+ b)a b=Vb 2+ 石[(乂 + ( b)^]a +b }2>0,・•・a + >0.・・・亠+b —a hua 2b 2即 a= b, b + a >a+ b.即 P>Q . 答案： A 二、填空题:7. 已知a, b>0,且a+ b= 1 ,则2a+ b 的最小值为解析：・・・1 +1= ( + )1+1 2a b2a 寸T )/0,又••• a^b,而等号成立的条件是=[(2+ ( b)2]2=2 +b123 =+ -石 3 答案：对弋2.8.函数 y= x — 5+ 2 6 — x 的最大值是解析：根据尊面不等式，知y=lX x'^5 + 2 X 6—xW 124- 22X x — 5答案:都是正实数,= +P abed= +Q m a nc答案： PWQ厂m nam + nc • d m n+ =Q ・m na b4ncmn10.函数y=2cos x + 3\/ 1— cos 2 x 的最大值为 y= 2cos x+ 3 寸 1— cos 2 斗 cos 2 x + sin 2 x [2 2+ 3 2 2] = 22.解析:=2cos x+ 3 2sin 2xWcos x 2 3^2 _当且仅当即x=土卫一时，函数有最大值厂Vsh2 x S/ 2 1an 2 22 答案：^2211・函数=2寸+ 的最大值为_________ .yx x_____ ____________解析：y= 2\ll-x+ \] 2x+ \=^寸2-2x+l • p2x+ 1W 2. 寸2 — 2x 2+ 寸2x+ 1 =©•萨3.当且仅当＜2—2x • 1 = ^/2 • Qx+ 1取等号.即2- 2x=4x+ 2,・•・x= 0时取等号.答案：3三、解答题：12.若2x+3y=l,求4x2+ 9y2的最小值，并求出最小值点.解：由柯西不等式@/+9y2)(l 2 + ]2)鼻仪x + 3y) 2=1,2 2 1A4x + 9y 三2当且仅当2x • 1= 3y • 1,即2x=3y时取等号.rh 2x= 3y,力2x+ 3y= 1y=-6A4x2 + 9y2的最小值为乩最小值点为13.设a, bWR+,若a+b= 2,求1+ 1的最小值.a b(a+ b) a+ b・：2 a+ b 24,即a + b 22.・••当a= b= 1时，a+ b的最小值为2.当且仅当时取等号,14.已知a^yi— b2+b-^l— a2 = 1,求证：a2+ b2= 1.证明：由柯西不等式，得(a 1—b 2+ b 1 —^2)[a 2(1 _ a 2)][b 2 + (1 —b 2)]= b -/l — b 2当且仅、"l / _ =、 i 寸，上式取等号，y 1 — 3,2 3/. ab=^/— a 2 • ft/- b 2, a 2b 2= (1 - a 2)(l — b 2)・于是 a 2+b 2= 1.1 8 8 115・设 a+b= 2，求证：a + b 2 2? •11 2 2 2I=23 2 1 +1 a + b2 1— — —1 12sX 22(a+b) = 2仁 .••原不得式成立.证明：芒+异已1（12 + "F 2）［（2a 4) 2 + (b 4)2]14 4 2^2(1X a +1X b )1=(-4+4 2_1 1)—_ — ' r2 i a b 2 211222 9 ■4 421 + 1a+b2 2 2 2 2= 2X41(1 + 1)[( a)+ (b)]}2。

柯西不等式

（Ⅰ）求的值及直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.
（2）已知不等式的解集与关于的不等式的解集相等．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值．
考点：参数方程极坐标柯西不等式
答案：见解析
试题解析：
（Ⅰ）由点在直线上，可得
A．
B．
C．
D．
考点：柯西不等式
答案：C
试题解析：由于，等号成立当且仅当，则，所以由题知，又，所以，答案选C。
3．x、y>0, x＋y="1,"且 ≤a恒成立,则a的最小值为
A．
B．2
C．2
D．
考点：柯西不等式
答案：D
试题解析：解：因为x、y>0, x＋y=1,要使 ≤a恒成立，则a大于等于的最大值即可。而
（1）选修4-2：矩阵与变换
变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点 .
（Ⅰ）求变换的矩阵；
（Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
(II)设点为曲线已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.
(Ⅰ)求整数的值;
(Ⅱ)已知，若，求的最大值
考点：柯西不等式绝对值不等式参数方程极坐标矩阵行列式
答案：见解析
试题解析：
（1）解：（Ⅰ）记矩阵，故，故 .
由已知得 .
（Ⅱ）柯西不等式得
，

柯西不等式练习题

柯西不等式练习题柯西不等式是线性代数中一种重要的不等式，广泛应用于数学分析、概率论、统计学等领域。

本文将介绍柯西不等式的定义和性质，并提供一些练习题供读者巩固和加深对该不等式的理解与应用。

一、柯西不等式的定义柯西不等式是指对于任意两个n维实向量a和b，有以下不等式成立：|a·b| ≤ ||a|| ||b||其中，a·b表示a和b的内积，||a||和||b||分别表示a和b的范数或长度。

这里的范数使用欧几里得范数，即L2范数。

二、柯西不等式的证明柯西不等式的证明可以通过变量替换、平方差分、拉格朗日乘子法等不同方法来进行。

这里不展开具体证明过程，但可以通过几何直观和数学推导来理解不等式成立的原因。

从几何直观上看，柯西不等式可以理解为两个向量之间的夹角越小，它们的内积越大，同时长度越长，它们的范数也越大。

因此，柯西不等式从直观上也符合我们对向量和范数的认识。

从数学推导上看，可以通过平方差分和拉格朗日乘子法来证明柯西不等式。

具体过程较为复杂，需要运用到线性代数和数学分析的相关知识，这里不再详述。

三、柯西不等式的性质柯西不等式具有以下几个重要的性质：1. 可加性：对于任意n个向量a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：|(a1·b1) + (a2·b2) + ... + (an·bn)| ≤ √((||a1||^2 + ||a2||^2 + ... + ||an||^2) (||b1||^2 + ||b2||^2 + ... + ||bn||^2))这个性质也被称为柯西-施瓦茨不等式。

2. 正定性：对于n维实向量a，有以下不等式成立：||a||^2 ≥ 0等号成立的条件是a为零向量。

3. 等号条件：对于任意两个非零向量a和b，当且仅当它们线性相关时，柯西不等式取等号。

即存在常数k使得a = kb。

四、下面提供一些柯西不等式的练习题，以加深对该不等式的理解和应用：1. 若向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，求a和b的内积，并判断柯西不等式是否成立。

高中数学-公式-柯西不等式.docx

第一课时3.1二维形式的柯西不等式(一)2.练习：已知°、b、c、d 为实数，求证(a2 + b2)(c2+d2)>(ac+bdf①提出定理1：若a、b、c、d 为实数,则(a2 + lr )(c2 + J2) >(6fc + bd)2.证法一：(比较法)(a2 +b2)(c2 + J2)-(ac + bd)2=....= (ad-be)2 >0证法二：(综合法)(a2 +b2)(c2 +d2)=a2c2 -\-crd1 +b1c1 +b2d2=(ac + bd)2 + (ad -be)2 > (ac + bd)2.(要点：展开配方)证法三：(向量法)设向量m = (a,b), n = (c,d),贝^\\m\=\la2 +b2 , |n|= yjc2 +d2 .T trf n = ac + bd 9n=\m\\n \ cos<m.n>，证法四：(函数法)设/(x) = (a2 + b2)x2 - 2(ac + bd)x + c2 + d2，贝9 f(x) = (ax-c)2 +(bx-d)120 恒成立.・•・ A = {-2{ac + bd)f -4(a2 + b2)(c2 + J2) 0,即..…③二维形式的柯西不等式的一些变式：4cr -^h1A/C2+d2 >| ac+hd \或y/a2 +lr \l(r +d~ >\ac\-^-\hd\或如+戾Jc2+d? »ac + bd ・④提出定理2：设o,0是两个向量，贝I J|Q0|S|Q||0|.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）一讨论：上面时候等号成立？（0是零向量，或者％0共线）⑤练习：己知a、b、c、d 为实数,求证\/a2 + b1 + \/c2 + J2＞yj（a-c）2 +（/?-J）2 .证法：（分析法）平方一应用柯西不等式一讨论：其儿何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：_______ _________ _____________________①出示定理3：设兀|,廿，2，丿2 ^尺，则肩 ++ Jxj+ ”2 » J（X| _兀2尸+ O| _ •分析其儿何意义一如何利用柯西不等式证明-变式：若西,必,兀2，力，兀3，〉'3丘尺，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西床等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时3」二维形式的柯西不等式（二）教学过程：______ _________ ___________________（/ + b2）（c2 + ）»（皿 + bd）2: J兀］2 + yj + Qxj +）叮＞』（西一勺尸+（必一力），3.如何利用二维柯西不等式求函数二的最大值？要点：利用变| ac + bd \＜ ^a2 +b2 y{c2+d2 .二、讲授新课：1・教学最大（小）值：①出示例1：求函数y = 3厶-1 + J10-2兀的最大值？分析：如何变形？-＞构造柯西不等式的形式〜板演________________—变式：y = ＞/3x-l + J10-2兀—推广：y = ajbx+c + dje-fic,（a,b,c,d,e,f w&）②练习：已知3x + 2y = l,求x2 + ^2的最小值.解答要点:（凑配法）x2 +y2 =—（x2 + y2）（32 +22）＞—（3x+2j）2 =—.-13 13 132.教学不等式的证明：①出示例2：若x,y e, x+y = 2 f求证：丄+丄＞2.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比一构造）要点:讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、bw© ,求证：（d + b）（—+ —）^4.a b3.练习：①已知兀,且—+ — = 1,则x+y的最小值.兀>'要点：x+ y = （— + —）（x+ y）= .... f 其它证法兀y②若x,y,zw/?+，且x+y + z = l,求x2 + /+z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若兀,y,zw/?+，且x+y + z = l ,求yfx + Jy +\fz的最大值.第三课时3.2 一般形式的柯西不等式2.提问：二维形式的柯两不等式？如何将二维形式的柯两不等式拓广到三维？答案：（a2+b2）（c2+〃2）n（dc+加）2；（a2 + Z?2 4- c2）（d2 +e2+f2）> （ad + be + cf）2二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式|&0曰&||0|,如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：〃维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设44，,Q…2,4 wR ,则（q? + 电 + aj）0]2 + 优2 + + b：） > （afy + a2b2 + +ci rl b fl）2讨论：什么时候取等号？（当且仅当半=学=吋取等号，假设勺工0）*优仇联想：设8 =如+也++讷,A = a l2+a22+ a； , C = b；+b/+ +” ,则<B2-AC>0,可联想到一些什么？"③讨论：如何构造二次函数证明兄维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令f（x）=（壬 + a；+ …+ a；）x~ + 2（马勺 + ①b, + …+ ci n b n）x +（b「+/?》+••• + /?；）,则/（x） =（6Z I x + /?1）2+（%兀 + 化）2 +•••+ （a“兀+b“）2 >0.又dj+%2+... + a”2>0,从而结合二次函数的图像可知，△ = [2（d]b] + a2b2 + ）『—4（d]2 + + a：）（bj + bj + + b：） WO即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式：+ 6f22 + 町X丄（吗+$+…+ %）2.（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：己知13x + 2y + z = l,求X2 4- y2 4- z2的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？一板演一变式：②练习：若x.y.zeR^ ,且丄+丄+ - = 1,求X + —+ -的最小值.兀y z 2 31 1 4③出示例2：若a>b>c,求证： -------- + ----- > ------ .a-h b-c a-c要点：（Q — C）（—「+亠） = [（d-b） + （b-c）]（—「+ 亠》（1 + 1）2=4a—b b — c a — b b — c②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:a{<a2<…<a n;b} <b2<…<b n. c l9c2, ••• c“是b l9b2, ••• ,b n的任一排列，则有+ a2h2 + • • • + a n b n（同序和）>qq + a2c2+ …+ a n c n（乱序和）>a}h n + a2b n_} + ・・・ + a tl h}（反序和）当且仅当a x =(72 =…=ci“或勺=/?2=・•- =b tl 时，反序和等于同序和. (要点：理解長思想，记住其形式］2.教学排序不等式的应用：①出示例1：设即禺,…,％是几个互不相同的正整数，求证：分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式?证明过程:设b },b 2.-,b n 是ms …心的一个排列,且b Y <b 2<--<b n ,则勺>\,b 2 …也>n . 又1＞丄〉丄＞•••＞」，由排序不等式，得2- 3- nra +鱼+色+ ... +玉” +色+乞+ (2)1 22 32 H 2_ ' 22 32 才―…小结：分析目标，构造有序排列.②练习：已知 a,b,c 为正数,求证：2(/ + 戾 +cP)＞a 2(b + c)+b 2(a-}-c)-}-c 2(a+b).解答要点：由对称性，假设aSbWc ，贝\]a 2<h 2<c\于是 a 2a + b 2h + c 2c > a 2c + b 2a + c 2h , a 2a + b 2h + c 2c > crb + b 2c + c 2a , 两式相加即得. 1冷£ +・士"+斜守+…厂/?2。

高中数学选修4-5柯西不等式习题.docx

高中数学·选修 4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共 10 小题）1．（2012?九江一模）设变量x， y 满足 |x ﹣ 2|+|y﹣2| ≤1，则的最大值为（）A． B ． C ．﹣D．2．（2014?孝感二模）已知x， y， z 均为正数，且x+y+z=2 ，则 ++的最大值是（）A． 2B． 2C． 2D． 33．（2014?湖北模拟）设 x、 y、 z 是正数，且 x2+4y2+9z2=4， 2x+4y+3z=6 ，则 x+y+z 等于（）A． B ． C ． D ．4．（ 2014 秋?秦安县校级期中）已知a2+b2 +c2=1，若 | 对任意实数 a， b，c， x 恒成立，则实数m的取值范围是（）A． [8 ，+∞）B．（﹣∞，﹣ 4] ∪[2 ，+∞）C．（﹣∞，﹣ 1] ∪[8 ，+∞）D． [2 ，+∞）5．（ 2014 春?和平区期中）已知 a， b，c∈R，且 a+b+c=0， abc ＞ 0，则 ++的值（）A．小于 0B．大于 0C．可能是 0 D．正负不能确定6．（2015?安徽模拟）若实数2223ab﹣3bc+2c2）a， b， c 满足 a +b +c =1，则的最大值为（A． 1B． 2C． 3D． 47．（2012?湖北）设 a， b， c， x， y， z 是正数，且222222）a +b +c =10，x +y +z =40， ax+by+cz=20 ，则 =（A． B ． C ． D ．8．（ 2013 春?永定区校级月考）函数（）A． 6B． 2C． 5D． 29．（2013?湖北一模）已知222是 a+b+c∈[ ﹣ 1， 1] 的（）a， b，c∈R，则 2a +3b +6c =1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．（2014?湖北模拟）实数a i（ i=1 ，2，3，4，5，6）满足（ a2﹣ a1）2 +（ a3﹣ a2）2 +（ a4﹣ a3）2+（ a5﹣ a4）2+（ a6﹣ a5）2=1 则（ a5+a6）﹣（ a1+a4）的最大值为（）A． 3B． 2C． D ． 1二．填空题（共10 小题）11．（ 2013 秋?福建月考）选修4﹣ 5：不等式选讲22222已知实数a， b， c，d， e 满足 a+b+c+d+e=8， a +b +c +d +e =16，试确定 e 的最大值．12．（2014?黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014?荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e 满足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c 2+d2+e2=16，则 e 的取值范围是．14．（2015?抚顺模拟）已知正数x， y，z 满足 x+2y+3z=1，则 ++的最小值为．15．（ 2015?郴州模拟）己知 x，y∈（ 0，+∞），若+3＜ k 恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是．16．（ 2015 春?齐齐哈尔校级期末）若存在实数x 使 +＞a 成立，求常数 a 的取值范围．17．（2013?惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、 b、 x、y 满足 a2+b2=1， x2+y2=3，则 ax+by 的最大值为．18．（2014?宝鸡二模）已知实数x、 y、z 满足 x+2y+3z=1，则 x2+y2+z2的最小值为．19．（2014?天门模拟）（选修 4﹣ 5：不等式选讲）已知实数a， b， c，d 满足 a+b+c+d=3，a2 +2b2 +3c2 +6d2=5，试求 a 的最值．20．（2015?龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤ M，则M的最小值为．三．解答题（共10 小题）21．（2014?泰州模拟）若不等式222|a ﹣1| ≥x+2y+2z 对满足 x +y +z =1 的一切实数 x、 y、 z 恒成立，求 a 的取值范围．22．（2015?福建）已知a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，函数 f （ x）=|x+a|+|x﹣ b|+c 的最小值为 4．（1）求 a+b+c 的值；（2）求 a2+b2+c2的最小值为．23．（2015?福州校级模拟）已知正数222a， b， c 满足 a +b +c =6．（Ⅰ）求 a+2b+c 的最大值 M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m| ≥M恒成立，求实数 m的取值范围．24．（2014?江苏模拟）选修4﹣ 5：不等式选讲若正数 a，b， c 满足 a+b+c=1，求的最小值．25．（2015?上饶二模）（ 1）设函数，求f （ x）的最小值，（2）当 a+2b+3c=m（ a， b，c∈R）时，求 a2+b2+c 2的最小值．26．（2015?咸阳三模）已知x，y∈R+，且 x+y=2（Ⅰ）要使不等式 +≥|a+2| ﹣|a ﹣ 1| 恒成立，求实数 a 的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015?南昌三模）已知关于x 的不等式m﹣|x ﹣ 2| ≥1，其解集为 [0 ， 4] ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a， b 均为正实数，且满足a+b=m，求 a2+b2的最小值．28．（2015?兴庆区校级一模）（1）设函数 f （ x）=|x ﹣ |+|x ﹣ a| ，x∈R，若关于x 的不等式 f （x）≥a在 R 上恒成立，求实数 a 的最大值；（ 2）已知正数x，y， z 满足 x+2y+3z=1 ，求 ++的最小值．29．（ 2015 春?重庆校级期中）已知函数 f （ x） =|x+1| ， g（ x）=m﹣ 2|x ﹣ 4| ，若 2f （ x）≥ g（ x）恒成立，实数 m的最大值为 a．（Ⅰ）求实数 a 的值；（Ⅱ）已知实数x，y， z 满足 x+y+z=a ，求 2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015?江西模拟）（ 1）已知函数 f （ x） =|x ﹣ 1|+|x+3| ，求 x 的取值范围，使 f （ x）为常函数；（ 2）若 x， y，z∈R， x2+y2+z 2=1，求 m=x+y+z 的最大值．1． B2． C3． A4． B5． A6． C7． C8． D9． A10． B11．12．13．14． 18 15． k＞ 16 ．（- ∞， 8）17．18．19．20．。