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动态规划例题讲解
山东师大附中
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本节课主要通过几道例题，总揽NOIp中较常见的动态规划模型，不会过多涉及优化内容。
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最长上升子序列内存碎片背包问题最长公共子序列石子合并
括号序列决斗三取方格数选课贪吃的九头龙
最长上升子序列
给出一个数列{a1,a2,...,an}，要求你选出尽量多的元素，使这些元素按其相对位置单调
完全背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有无限个。现在我们有一个最大载重量limit的包，问放入哪些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
完全背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:= w[i] to limit do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
1400
共有3件物品重量分别为30/80/10 价值分别为300/1200/200 背包最大载重量为100
0/1背包问题
令f[i,j]表示考虑完前i项物品，并且当前背包承重不大于j的情况下能获得的最大价值
f[i,j]=max( f[i-1,j], //不选第i项物品 f[i-1,j–w[i]]+v[i]) //选择第i项物品
2
插入a6后 -inf
1
插入a7后 -inf
1
插入a8后 -inf
1
插入a9后 -inf
1
inf
inf
inf
8

信息学奥赛NOIP初赛复习知识点+基本函数

信息学奥赛NOIP初赛复习知识点+基本函数1被西方人誉为“计算机之父”的美籍匈牙利科学家、数学家冯·诺依曼于1945 年发表了一个全新的" 存储程序通用电子计算机方案"— EDVAC 。

EDVAC 方案提出了著名的“ 冯·诺依曼体系结构”理论：（1）采用二进制形式表示数据和指令（2）采用存储程序方式（3）由运算器、存储器、控制器、输入设备和输出设备五大部件组成计算机系统2 “图灵机”与“冯·诺伊曼机”齐名，被永远载入计算机的发展史中。

1950年10月，图灵又发表了另一篇题为“机器能思考吗”的论文，成为划时代之作。

也正是这篇文章，为图灵赢得了“人工智能之父”的桂冠。

与计算机有关的最高奖项“图灵奖”。

3常见的操作系统有：DOS、WIN32、WIN95、WIN98、WIN2000、WINXP、WIN2003、LINUX、4断电后能保存信息的有：ROM（只读存储器）、硬盘、软盘、光盘、U盘、MP3、MP4等；不能保存的主要是RAM（读写存储器）。

5CPU又名中央处理器，它可以分成运算器、控制器和寄存器6Smalltalk被认为是第一个真正面向对象的语言7第一代语言：机器语言（0101001）；第二代语言：20世纪50年代，汇编语言，第三代语言：高级语言、算法语言，如BASIC，FORTRAN，COBOL，PASCAL，C；高级语言的特点是可读性强，编程方便；第四代语言：非过程化语言；SQL；第五代语言：智能性语言，PROLOG （代表）；还有：LISP，APL，SNOBOL，SIMULA。

8编程时读入一个很大的二维数组，按行读和按列读相比，输入效率上（取决于数组的存储方式）。

9希尔排序是一种不稳定的排序快速排序是冒泡排序的改进，是速度最快的排序方法①n比较小的时候，适合插入排序和选择排序；②基本有序的时候，适合直接插入排序和冒泡排序；④n很大的时候，适合快速排序、堆排序、归并排序；⑤无序的时候，适合快速排序；⑥稳定的排序：冒泡排序、插入排序、归并排序、基数排序；⑦复杂度是O(nlogn)：快速排序、堆排序、归并排序；⑧辅助空间（大次大）：归并排序、快速排序；⑨好坏情况一样：简单选择排序（n^2），堆排序（nlogn），归并排序（nlogn）；⑩最好是O(n)的：插入排序、冒泡排序。

信息学奥赛NOI动态规划入门(C++)培训讲学

思考：边界条件？
思想：从上向下思考，从底向上计算
24
16
23
8
13
21
数字三角形
方法1：递推计算
void solve () {
int i , j; for(j = 1; j <= n; j ++) d[n][j ] = a[n][j];
for(i = n -1; i >= 1; i - -) for( j = 1; j <= i; j ++)
2.递归需要很大的栈空间，而动规的递推法不需要栈空间；使用记忆化搜索比较容易书写程序。
思考：还有一种思考方法，从下
向上考虑，观察不同状态如何转移的。从格子（i，j）出发有两种决策。
d(i,j)为：取d(i-1,j) 和d(i-1,j-1)中较大的一个加上a(i,j)的和。
思考：边界情况：？？
设计状态
和
状态转移方程
最长上升子序列（LIS）NOI 1759
最长上升子序列（LIS）NOI 1759
样例输入： 7 1735948
样例输出： 4
上升子序列： 1, 7 3, 4, 8
1234567 a1735948
…
最长上升子序列：如何划分阶段？
1, 3, 5, 9
以从左向右数的个数为阶源自1, 3, 5, 8给定k个整数的序列{A1,A2,...,Ak }，其任意连续子序列可表示为{ Ai, Ai+1, ...,Aj }，其中 1 <= i <= j <= k。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个。
例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{11,-4,13}，最大连续子序列和即为20。

CCF中学生计算机程序设计能力评级信息学奥赛NOIP动态规划算法及优化

1 ≤ n ≤ 5000, 1 ≤ b, ci, di ≤ 109。
动态规划算法及优化
Codeforces 815C Karen and Supermarket
背包类问题数据结构优化决策单调性计数
可以发现依赖关系形成了一棵树，因此可以考虑在树上
进行 DP。需要注意的是，本题中物品的价格可能非常大，但是每个物品的收益只有 1，因此我们 DP 时第二维表示的应当是买了多少个物品。
动态规划算法及优化
背包类问题数据结构优化决策单调性计数
动态规划算法及优化
动态规划算法及优化
背包问题
背包类问题数据结构优化决策单调性计数
01 背包：n 个物品，每个物品有价格 ci 及收益 wi ，问 m 元最多能得到多少收益。
完全背包：n 种物品，每种物品有价格 ci 及收益 wi，并且每种物品能买无限个，问 m 元最多能得到多少收益。
n ≤ 500, m ≤ 4000, di ≤ 100。
动态规划算法及优化
BZOJ4182 Shopping
背包类问题数据结构优化决策单调性计数
先考虑我们知道必选某个节点时怎么做。可以把这个点
当成根，那么问题就转化为了一个树上依赖背包问题。考虑用和上一题类似的方法进行 DP。令 fi,j 表示在节点
背包类问题数据结构优化决策单调性计数
树上依赖背包其实还有一个经典的做法。考虑一边 dfs 一边 DP。dfs 到节点 i 的时候，我们先把 DP 数组拷贝一份，表示不选 i 的子树时的背包。接着我们用多重背包的做法加入商品 i，并且强制至少买一个商品 i。然后我们再依次 dfs 进每个儿子的子树中，回溯到 i 时我们就得到了在 i 的子树中买了物品的背包，把它与原先拷贝的背包取个 max 即可。这样复杂化即可。这样加入一个物品的复杂度是 O(m)

(完整版)信息竞赛复习资料5--动态规划(NOIP)

第一章什么叫动态规划1.1 多阶段决策过程的最优化问题1、问题的提出首先,例举一个典型的且很直观的多阶段决策问题：［例] 下图表示城市之间的交通路网,线段上的数字表示费用，单向通行由A-〉E。

求A—〉E的最省费用。

如图从A到E共分为4个阶段,即第一阶段从A到B，第二阶段从B到C，第三阶段从C到D，第四阶段从D到E。

除起点A和终点E外，其它各点既是上一阶段的终点又是下一阶段的起点。

例如从A到B的第一阶段中,A为起点，终点有B1，B2,B3三个，因而这时走的路线有三个选择，一是走到B1,一是走到B2，一是走到B3。

若选择B2的决策，B2就是第一阶段在我们决策之下的结果,它既是第一阶段路线的终点，又是第二阶段路线的始点.在第二阶段，再从B2点出发,对于B2点就有一个可供选择的终点集合(C1,C2，C3)；若选择由B2走至C2为第二阶段的决策，则C2就是第二阶段的终点，同时又是第三阶段的始点。

同理递推下去，可看到各个阶段的决策不同,线路就不同。

很明显，当某阶段的起点给定时,它直接影响着后面各阶段的行进路线和整个路线的长短,而后面各阶段的路线的发展不受这点以前各阶段的影响。

故此问题的要求是:在各个阶段选取一个恰当的决策，使由这些决策组成的一个决策序列所决定的一条路线,其总路程最短。

具体情况如下:(1)由目标状态E向前推,可以分成四个阶段，即四个子问题。

如上图所示。

（2）策略：每个阶段到E的最省费用为本阶段的决策路径。

（3)D1，D2是第一次输人的结点。

他们到E都只有一种费用,在D1框上面标5，D2框上面标2。

目前无法定下，那一个点将在全程最优策略的路径上。

第二阶段计算中,5,2都应分别参加计算.（4)C1，C2,C3是第二次输入结点，他们到D1，D2各有两种费用.此时应计算C1，C2，C3分别到E的最少费用. C1的决策路径是 min｛（C1D1)，（C1D2）｝.计算结果是C1+D1+E，在C1框上面标为8。

信息学奥赛NOIP普和组历届试题分析报告

普及组一般考查的动态规划：01背包，最长上升子序列，一些简单的线性动规。
采药（noip2005普及组第三题）
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
试计算在区间1到n的所有整数中，数字x（0≤x≤9）共出现了多少次？例如，在1到11中，即在1、2、3、4、5、6、7、8、 9、10、11中，数字1出现了4次。
输入：
输入共1行，包含2个整数n、x，之间用一个空格隔开。输出：
输出共1行，包含一个整数，表示x出现的次数。输入示例： 11 1 输出示例： 4 其他说明：
输入输入共1行，一个整数N。
输出输出共1行，一个整数，表示反转后的新数。
样例输入
123 样例输出
321
统计单词个数 (noip2011普及组第二题)
一般的文本编辑器都有查找单词的功能，该功能可以快速定位特定单词在文章中的位置，有的还能统计出特定单词在文章中出现的次数。现在，请你编程实现这一功能，具体要求是：给定一个单词，请你输出它在给定的文章中出现的次数和第一次出现的位置。注意：匹配单词时，不区分大小写，但要求完全匹配，即给定单词必须与文章中的某一独立单词在不区分大小写的情况下完全相同（参见样例1），如果给定单词仅是文章中某一单词的一部分则不算匹配（参见样例2）。
对于100%的数据，3 ≤ n ≤ 100 测验题给出的正整数大小不超过10,000。

动态规划问题常见解法

动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。

它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。

下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。

其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。

解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。

2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。

解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。

然后通过递推关系来计算出最终的结果。

3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。

解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。

4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。

解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。

以上是一些常见的动态规划问题解法。

通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。

NOIP复赛知识点简述及复赛算法总结！

NOIP复赛知识点简述及复赛算法总结！全国青少年信息学奥林匹克联赛（National Olympiad in Informatics in Provinces，简称NOIP）转眼已到了下半年，马上将迎来一场重要的比赛——NOIP。

考前赶紧来总结一下一些必要的知识点。

普及组必学1、模拟算法（暴力枚举），按照题目的要求，题目怎么说就怎么做，保证时间和正确性即可。

2、搜索与回溯，主要的是DFS（深度优先搜索）和BFS（宽度优先搜索），基本没有直接的暴力搜索。

一般是记忆化搜索加剪枝，普及组第三题难度。

3、简单操作：如筛法、前缀和、快速幂、高精度、辗转相除法等，掌握全面即可应对大部分处理数据上的问题。

4、队列（单调队列）、栈、堆、链表等基础数据结构。

5、简单二分和分治（快速排序，归并排序）。

6、贪心，要保证贪心的正确性，如果无法证明也可以用来骗分。

7、数学知识、公式计算，要点在于公式的化简与变形，经过反复操作后也许就能得出重要结论。

8、简单的动态规划，容易推出状态转移方程，要注意初值与计算边界条件。

9、字符串基本操作，插入、删除、查找等。

10、经典例题变形加深：八皇后、马的走法、背包问题等。

提高组必学0、普及组的10条。

1、较难的动态规划，多维的状态，转移方式较多。

2、简单数论，如扩展GCD，欧拉函数等。

3、进阶算法：倍增，并查集，差分约束、拓扑排序，排列组合数，逆元，哈希。

4、最短路问题，需要掌握弗洛伊德算法、SPFA算法、dijkstra算法，以及它们对应的优化，再根据题目实际要求进行变形，用同样模板达到各种不一样的效果。

5、最小生成树问题，主要的两种算法为Prim和Kruskal，同样要加上对应的优化，再根据题目进行变形，以满足题目的实际要求。

6、二分图染色、二分图匹配，一般题目都隐藏得很深，需要找到题目的本质，才能发现正确的解法。

7、强连通分量Tarjan，最近公共祖先LCA。

8、数据结构：线段树、字典树、主席树、树状数组等。

动态规划基础、进阶与优化

山东师大附中陈键飞前言自古以来就是NOIP的重要考察内容，在联赛中占的分量大。

对选手能力有一定要求，需要能够熟练地建立动态规划模型。

需要大量做题，初学者不易掌握其思想。

目录基础：基本概念背包问题——一类典型应用进阶：更多的问题树形DP状态压缩优化：减少状态数目减少状态转移（决策）时间基本概念最长上升子序列状态：f[i]能完全地表示出问题某个或某些本质相同的形态决策：f[i]=min(f[j]+1)状态由哪个状态转移得到阶段：每个i前面的阶段决定后面的阶段，后面的阶段由前面的状态转移得到基本概念石子合并状态f[i,j]决策f[i,j]=min(f[i,k]+f[k+1,j])+w[i,j] 阶段j-i （区间大小）基本概念无后效性后面阶段的状态只受前面阶段的状态的影响对于任意两个状态，只能单向的进行转移基本概念拓扑图（有向无环图）无后效性f[i]=min(f[j])+1基本概念非拓扑图（可能有环）有后效性a →b →c ？b →c →a ？a bc 51111基本概念最优子问题问题最优，只需子问题最优，与到达子问题的路径无关3 5 24 6f(5)最优，只需f(4)最优，与f(4)是怎么到达的无关与路线具体是3 4 6还是2 4 6无关基本概念最优子问题输出1~n中∑(A(i,p[i]))最大的排列f(i)表示用1~n组成的长度为i的序列？与到达子问题的路径有关！1 4 3 →6 ？4 2 3 →6 ？基本概念无后效性、最优子问题是否能满足与状态的表示，状态的转移，阶段的划分有关背包问题——一类典型应用给定n个货币，面值各不相同，问能否凑出m元钱f[i,j]表示前i个货币能否凑出j元f[i,j] = f[i-1,j] （不选j）or f[i-1,j-w[i]]（选j）背包问题——一类典型应用给定n种货币，每种无限多个，面值各不相同，问能否凑出m元钱f[i,j]表示前i种货币能否凑出j元f[i,j]=f[i-1,j] or f[i,j-w[i]]背包问题——一类典型应用给定n种货币，第i种有A i个，面值W i，问能否凑出m 元钱将每种货币i拆成A i个价值为W i的货币O(m∑A i)将每种货币i拆成价值为W i,2W i,4W i,8W i……的货币O(m∑log A i)单调队列O(mn) ，暂时跳过背包问题——一类典型应用给定n种货币分为k组，每组只能选一个，问能否凑出m元f[i,j,k]表示用前1~i-1组和第i组的前j个能否凑出k元。

动态规划部分知识点总结

动态规划部分知识点总结动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以用“递推”来描述。

在解决一个问题时，通常需要先确定一个递推关系，然后利用递推关系逐步求解问题的最优解。

以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题为例，最长递增子序列是指在一个无序的序列中找到一个最长的子序列，要求子序列中的元素是递增的。

假设原序列为A，最长递增子序列的长度为LIS(i)，则可以通过递推关系来解决这个问题：LIS(i) = max(LIS(j)+1)，其中j<i 且A[j]<A[i]通过这个递推关系，我们可以逐步求解出从A[1]到A[n]的最长递增子序列的长度，最终得到整个序列的最长递增子序列。

动态规划的特点动态规划有一些特点，可以帮助我们更好地理解和应用这种方法。

1. 重叠子问题：动态规划的关键特点之一是重叠子问题，即原问题可以分解为若干个子问题，不同的子问题可能有重叠的部分。

通过记录和利用子问题的解，可以避免重复计算，提高计算效率。

2. 最优子结构：动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。

最优子结构指的是原问题的最优解可以通过子问题的最优解来求解。

换句话说，原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。

3. 状态转移方程：动态规划问题通常可以通过状态转移方程来描述。

状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，它可以用数学公式或递推关系来表示。

通过状态转移方程，可以确定问题的递推规律，从而求解问题的最优解。

动态规划的应用动态规划广泛应用于各种领域，比如算法设计、优化问题、数据挖掘等。

它可以解决许多经典问题，比如最短路径、背包问题、编辑距离、最长公共子序列等。

1. 最短路径：最短路径问题是指在一个加权有向图或加权无向图中，找到一条从起点到终点的路径，使得路径上的边权重之和最小。

动态规划可以用于求解最短路径问题，比如利用Floyd-Warshall算法或Dijkstra算法，通过记录并利用子问题的解来求解最短路径。

信息学奥赛中的动态规划

维数改为三维，改变下转移，也可简化为二维，从后往前for 得出正确答案
完全背包问题
每个物品可以拿无限次，只要不超过最大重量即可
思路1：背包+枚举
在状态转移时枚举每个物品可以拿的次数，时间复杂度 O(VNK)
优化1：减少物品种类
对于一个物品来说，假如它的重量大于等于另一个物品且它的价值比另一个物品低，那么要它何用？可以直接省略掉该物品，所以只要先预对所有物品进行一遍O(n^2)的预处理，就能带来很大的优化
金明的预算方案(NOIP2006提高组)
题目描述 Description 金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，右图就是一些主件与附件的例子。如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5 等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k 件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为： v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。（其中*为乘号）请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

信友队 2023noip模拟题解

【主题】信友队 2023noip模拟题解【内容】一、开篇近年来，信息学竞赛在我国逐渐兴起，成为学生展示自己编程能力和解题能力的舞台。

NOIP（全国青少年信息学奥林匹克联赛）作为我国信息学竞赛中的重要赛事之一，备受青少年程序员的关注和参与。

在备战NOIP的过程中，模拟赛成为一种重要的练习方式。

本文将围绕信友队 2023noip模拟的题目进行详细解析，帮助读者更好地理解这些题目的解法。

二、题目一1. 题目描述题目一要求找出一个长度为n的01串中，有多少个子串的异或和是偶数。

其中，n的范围是1 ≤ n ≤ 10^5。

2. 解题思路考虑动态规划的思想，假设f[i]表示以第i位结尾的子串的异或和的奇偶性，则f[i]的值由f[i-1]的值和当前位的值决定。

具体而言，如果f[i-1]是偶数，则以第i位结尾的子串的异或和是奇数；如果f[i-1]是奇数，则以第i位结尾的子串的异或和是偶数。

可以通过遍历整个01串，根据f[i-1]的奇偶性判断以第i位结尾的子串的异或和的奇偶性，并统计出最后的结果。

3. 代码实现```pythondef solve(s):n = len(s)t = 0even, odd = 0, 0for i in range(n):if int(s[i]) == 0:even += 1else:odd += 1if (even % 2 == 0) or (odd % 2 == 0):t += 1returnt```4. 结果分析通过以上代码实现的函数solve，可以很快得出题目所要求的结果。

该方法的时间复杂度为O(n)，效率较高，能够满足题目给定的数据规模范围。

三、题目二1. 题目描述题目二给出一个n*m的矩阵，矩阵中的元素为非负整数。

求出从左上角到右下角的路径中，路径上的所有元素之和的最大值。

其中，n和m的范围分别为1 ≤ n, m ≤ 100。

2. 解题思路这是一个典型的动态规划问题。

考虑定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点到矩阵中第i行第j列元素的路径的最大和。

动态规划NOIP的题目

动态规划NOIP的题目DPProblemSet顺序对齐源程序名ALIGN.(PAS,C,CPP)可执行文件名ALIGN.E某E输入文件名ALIGN.IN输出文件名ALIGN.OUT考虑两个字符串右对齐的最佳解法。

例如，有一个右对齐方案中字符串是AADDEFGGHC和ADCDEGH。

AAD_DEFGGHCADCDE__GH_每一个数值匹配的位置值2分，一段连续的空格值-1分。

所以总分是匹配点的2倍减去连续空格的段数，在上述给定的例子中，6个位置(A,D,D,E,G,H)匹配，三段空格，所以得分2某6+(-1)某3=9，注意，我们并不处罚左边的不匹配位置。

若匹配的位置是两个不同的字符，则既不得分也不失分。

请你写个程序找出最佳右对齐方案。

输入输入文件包含两行，每行一个字符串，最长50个字符。

字符全部是大字字母。

输出一行，为最佳对齐的得分。

样例ALIGN.INAADDEFGGHCADCDEGHALIGN.OUT9____________________________________________________________ ___________________任务安排源程序名BATCH.(PAS,C,CPP)可执行文件名BATCH.E某E输入文件名BATCH.IN输出文件名BATCH.OUTN个任务排成一个序列在一台机器上等待完成（顺序不得改变），这N个任务被分成若干批，每批包含相邻的若干任务。

从时刻0开始，这些任务被分批加工，第i个任务单独完成所需的时间是Ti。

在每批任务开始前，机器需要启动时间S，而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和（同一批任务将在同一时刻完成）。

每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数Fi。

请确定一个分组方案，使得总费用最小。

-1-DPProblemSet例如：S=1；T={1,3,4,2,1}；F={3,2,3,3,4}。

如果分组方案是{1,2}、{3}、{4,5}，则完成时间分别为{5,5,10,14,14}，费用C={15,10,30,42,56}，总费用就是153。

noip知识点总结

noip知识点总结一、基础知识1.1 编程语言在NOIP竞赛中，C++是使用最广泛的编程语言。

学生们需要熟练掌握C++的语法规则、标准库函数等知识，并且能够灵活运用到实际的编程中。

此外，对于一些特殊的编程语言特性，如引用、指针、模板等，也需要进行深入的理解。

1.2 基本算法在算法方面，学生们需要熟练掌握一些基本的算法，如排序、查找、递归、分治、贪心等算法。

这些算法是解决问题的基础，对于NOIP竞赛中的编程题目非常重要。

二、数据结构2.1 数组数组是最基本的数据结构之一，学生们需要熟练掌握数组的定义、初始化、访问、遍历等操作。

此外，对于数组的一些高级应用，如前缀和、差分数组、二分查找等，也需要进行深入的理解和掌握。

2.2 队列和栈队列和栈是常用的线性数据结构，学生们需要了解它们的基本概念、操作以及应用场景。

对于队列和栈的实现，学生们也需要掌握数组和链表两种不同的实现方式，并且能够熟练应用。

2.3 链表链表是另一种常见的线性数据结构，学生们需要了解链表的定义、操作和实现方式。

对于链表结构的应用和高级算法，如快慢指针、反转链表、环形链表等，也需要进行深入的掌握。

2.4 树树是一种重要的非线性数据结构，学生们需要了解树的基本概念、遍历方式、实现方式等。

此外，对于树的一些高级应用和算法，如二叉搜索树、堆、并查集等，也需要进行深入的理解和掌握。

三、算法3.1 递归和迭代递归和迭代是解决问题的两种常用方式，学生们需要在实际编程中熟练应用这两种方法，并且能够根据具体问题的特点选择合适的解决方案。

此外，对于递归和迭代的性能分析和优化也需要进行深入的理解。

3.2 分治和回溯分治和回溯是另外两种重要的算法思想，学生们需要了解它们的基本概念和应用场景，并且能够熟练应用到实际的编程中。

对于这两种算法思想的高级应用和优化，也需要进行深入的掌握。

3.3 动态规划动态规划是解决问题的一种常用方法，学生们需要深入理解动态规划的基本原理和解题思路，并且能够独立分析和解决动态规划类型的题目。

信息学奥赛——树型动态规划的实例分析

全国青少年信息学奥林匹克联赛树型动态规划的实例分析一、什么是树型动态规划顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向：1．根—>叶：不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多，也没有比较明显的例题，所以不在今天讨论的范围之内。

2．叶－>根：既根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。

这类的习题比较的多，下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。

二、例题与解析加分二叉树【问题描述】设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n 为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。

不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。

要求输出；（1）tree的最高加分（2）tree的前序遍历【输入格式】第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

【输出格式】第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

【输入样例】55 7 1 2 10【输出样例】1453 1 24 5[分析]很显然，本题适合用动态规划来解。

如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j 所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j], value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j,j], value[j,j]+value[i,j-1]}题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组root[i,j]表示[PASCAL源程序]{$N+}program NOIP2003_3_Tree;constmaxn=30;vari,j,n,d:byte;a:array[1..maxn]of byte;value:array[1..maxn,1..maxn]of comp;root:array[1..maxn,1..maxn]of byte;s,temp:comp;f1,f2:text;fn1,fn2,fileNo:string;procedure preorder(p1,p2:byte);{按前序遍历输出最大加分二叉树}beginif p2>=p1 then beginwrite(f2,root[p1,p2],' ');preorder(p1,root[p1,p2]-1);preorder(root[p1,p2]+1,p2);end;end;beginwrite('Input fileNo:');readln(fileNo);fn1:='tree.in'+fileNo;fn2:='tree.ou'+fileNo;assign(f1,fn1);reset(f1);assign(f2,fn2);rewrite(f2);readln(f1,n);for i:=1 to n do read(f1,a[i]);close(f1);fillchar(value,sizeof(value),0);for i:=1 to n do beginvalue[i,i]:=a[i];{计算单个节点构成的二叉树的加分}root[i,i]:=i;{记录单个节点构成的二叉树的根节点}end;for i:=1 to n-1 do beginvalue[i,i+1]:=a[i]+a[i+1];{计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分}root[i,i+1]:=i;{记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点；需要说明的是，两个节点构成的二叉树，其根节点可以是其中的任何一个；这里选编号小的为根节点，则编号大的为其右子树；若选编号大的为根节点，则编号小的为其左子树；因此，最后输出的前序遍历结果会有部分不同，但同样是正确的。

noip动态规划讲解课件

用f[x,i,j]表示走到第x步时，第1条路线走到横坐标为i的地方，第2条路线走到了横坐标为j的地方。这样，我们只要枚举x，i，j，就能递推出来了。
For x:=3 To m+n Do For i:=1 To Min(x,n) Do For j:=1 To Min(x,n) Do Begin f[x,i,j]:=Max(f[x-1,i,j],f[x-1,i-1,j],f[x-1,i,j-1],f[x-1,i-1,j-1]); If i=j Then Inc(f[x,i,j],a[i,x-i]) Else Begin Inc(f[x,i,j],a[x-i,i]); Inc(f[x,i,j],a[x-j,j]); End; End;
动态规划实质：
枚举
+
递推
状态
状态转移方程
Sample Problem1
1
3
5
9
1
从树的根到树的叶节点，最多能取多少数？
贪心：答案错误
暴力搜索：如果数据大会超时
我们先将NOIp里的动态规划分分类：
最长不降子序列背包方格取数石子归并状态压缩数学递推顺序递推
合唱队形（NOIp2004）【问题描述】 N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。【输入文件】输入文件第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高。【输出文件】输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

4种常见的动态规划模型

例谈四种常见的动态规划模型动态规划是解决多阶段决策最优化问题的一种思想方法，本文主要结合一些例题，把一些常见的动态规划模型，进行归纳总结。

（一）、背包模型可用动态规划解决的背包问题，主要有01背包和完全背包。

对于背包的类型，这边就做个简单的描述：n个物品要放到一个背包里，背包有个总容量m，每个物品都有一个体积w[i]和价值v[i]，问如何装这些物品,使得背包里放的物品价值最大。

这类型的题目，状态表示为：f[j]表示背包容量不超过j时能够装的最大价值，则状态转移方程为：f[j]:=max{f[j-w[i]]+v[i]},边界：f[0]:=0;简单的程序框架为：beginreadln(m,n);for i:=1 to n do readln(w[i],v[i]);f[0]:=0;for i:=1 to m dofor j:=1 to n dobeginif i>=w[j] then t:=f[i-w[j]]+v[j];if t>f[i] then f[i]:=t;end;writeln(f[m]);end.这类型的题目应用挺广的（noip1996提高组第4题，noip2001普及组装箱问题，noip2005普及组采药等），下面一个例子，也是背包模型的简单转化。

货币系统(money)【问题描述】母牛们不但创建了他们自己的政府而且选择了建立了自己的货币系统。

他们对货币的数值感到好奇。

传统地，一个货币系统是由1，5，10，20或25，50，100的单位面值组成的。

母牛想知道用货币系统中的货币来构造一个确定的面值，有多少种不同的方法。

使用一个货币系统{1,2,5,10,..}产生18单位面值的一些可能的方法是:18×1,9×2,8×2+2×1,3×5+2+1等等其它。

写一个程序来计算有多少种方法用给定的货币系统来构造一个确定的面值。

【输入格式】货币系统中货币的种类数目是v(1≤v≤25)；要构造的面值是n(1≤n≤10,000)；第1行:二个整数，v和n；第2..v+1行：可用的货币v个整数(每行一个)。

noip动态规划

路产生了，即由后往前依次推出每个Dis值，直到推出Dis[A]为止。
A
阶段0
B
阶段1
C
阶段2
D
阶段3
E
阶段4
阶段的划分具有如下性质：
⑴阶段i的取值只与阶段i+1有关，阶段i+1的取值只对阶段i的取值产生影响；
⑵每个阶段的顺序是确定的，不可以调换任两个阶段的顺序。
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
运用动态程序设计方法的一个前提。即这个过程的最优策略应具有这样的性质：无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略。这就是最优化原理。简言之，就是最优策略的子策略也是最优策略。
➢最优化原理与无后效性
⑴该问题的解必须符合最优化原理是前提。这是因为是否符合最优化原理是一个问题的本质特征。对于不满足最优化
确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。表示决策的变量称为决策变量，常用Uk(Sk)表示第k阶段当状态为Sk时的决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为允许决策集合。常
用Dk(Sk)表示第k阶段从状态Sk出发的允许决策集合。显然有uk(sk) Dk(sk)
➢ 决策是问题解的属性。决策的目的就是“确定下一阶段的状态”。从阶段 1的B1状态出发有三条路，也就是三个决策，分别导向阶段2的C1,C2,C3 三个状态，即D1(B1)={C1,C2,C3}。
➢ 首先，我们来观察上述算法。在求B1到E的最短路径的时候，先求出从C2 到E的最短路径；而在求B2到E的最短路径的时候，又求了一遍从C2到E 的最短路径。也就是说，从C2到E的最短路径求了两遍。两样可以发现，在求从C1、C2到E的最短路径的过程中，从D1到E的最短路径也被求了两遍。而在整个过程中，从D1到E的最短路径被求了四遍，这是多么大的一个浪费啊！如果在求解的过程中，同时将求得的最短路径的距离“记录在案”，以便将来随时调用，则可以避免这种重复计算。至此，一个新的思