2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.4直线平面平行的判定与性质课后作业文

合集下载

2019年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.4直线平面平行的判定及其性质课时跟踪检测理201805

7.4 直线、平面平行的判定及其性质[课时跟踪检测][基础达标]1．在空间内，下列命题正确的是( ) A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行解析：对于A ，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，错误；对于B ，平行于同一直线的两个平面也可能相交，错误；对于C ，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，错误；而D 为直线和平面垂直的性质定理，正确．答案：D2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 綊12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．答案：B3．(2017届江西赣中南五校模拟)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α解析：对于A ，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β平行或相交；对于B ，若m ∥n ，m ⊂α，n⊂β，则α与β平行或相交；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．答案：C4．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为( )A.65B．75C.85D．95解析：由AB∥α∥β，易证ACCE＝BDDF，即ACAE＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE＝2×45＝85.答案：C5．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由题图，显然①正确，②错误；对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③正确；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，④正确，故选C.答案：C6．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC 、SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B ．4532C ．45D ．45 3解析：取AC 的中点G ，连接SG ，BG . 易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，且SG ∩BG ＝G ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝12AC ·12SB ＝452.答案：A7．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，所以F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．解析：在平面ABD 中，AM MB ＝ANND，所以MN ∥BD .又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以MN ∥平面 BCD . 答案：平行9．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1的中点，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，所得截面的面积是________．解析：如图，取AB ，C 1D 1的中点E ，F ，连接A 1E ，A 1F ，EF ，则平面A 1EF ∥平面BPC 1.在△A 1EF 中，A 1F ＝A 1E ＝5，EF ＝22， S △A 1EF ＝12×22×52－22＝ 6.从而所得截面面积为2S △A 1EF ＝2 6. 答案：2 610．设α，β，γ是三个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________”，则“a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①③.答案：①③11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF //HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1.又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 綊12DC ，又D 1G 綊12DC ，∴OE 綊D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D . (3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .12．(2018届长春质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于点A 1，B 1，C 1，∠BAD ＝60°.(1)求证：B 1为PB 的中点；(2)已知棱锥的高为3，且AB ＝2，AC ，BD 的交点为O ，连接B 1O .求三棱锥B 1－ABO 外接球的体积．解：(1)证明：连接B 1D 1，由题意知，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，平面PBD ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，则BD ∥B 1D 1，即B 1D 1为△PBD 的中位线，即B 1为PB 的中点．(2)由(1)可得，OB 1＝32，AO ＝3，BO ＝1，且OA ⊥OB ，OA ⊥OB 1，OB ⊥OB 1，即三棱锥B 1－ABO 的外接球为以OA ，OB ，OB 1为长，宽，高的长方体的外接球，又该长方体的体对角线长d ＝12＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52，即外接球半径R ＝54.则三棱锥B 1－ABO 外接球的体积V ＝43πR 3＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫543＝125π48.[能力提升]1．如图所示，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________.解析：∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥PQ .又∵B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ， ∵AB ∥CD ， ∴△APM ∽△DPQ .∴PQ PM ＝PD AP＝2，即PQ ＝2PM . 又知△APM ∽△ADB ，∴PM BD ＝AP AD ＝13， ∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴PM ＝23a ，∴PQ ＝223a .答案：22a 32．如图，四梭锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面PAD ∥平面CEF ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取PA 的中点H ，连接EH ，DH ，因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，因此四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH ，又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，因此CE ∥平面PAD .(2)存在点F 为AB 的中点，使平面PAD ∥平面CEF 证明如下：取AB 的中点F ，连接CF ，EF ，所以AF ＝12AB ，又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ，又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形，因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CF ∥平面PAD ，由(1)可知CE ∥平面PAD ，又CE ∩CF ＝C ，故平面CEF ∥平面PAD ，故存在AB 的中点F 满足要求．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

[精品]2019高考数学一轮复习第7章立体几何第4节直线平面平行的判定及其性质教师用书

第四节直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定与性质2.3.(1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . (2)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)下列命题中，正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]3．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥l1且n∥l2D[m∥l1且n∥l2⇒α∥β，但α∥βD/⇒m∥l1且n∥l2，∴“m∥l1且n∥l2”是“α∥β”的一个充分不必要条件．]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．平行[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．(2017·杭州二中质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上序号)．②[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．与β平行的直线．．．，则在α内不存在D．若m，n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能D[A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．][规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[变式训练1] (2017·宁波中学模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( )A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥nD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥βD[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．](2017·南通模拟)如图741所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．图741(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值. 【导学号：51062232】 [解] (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.2分连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.4分又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.6分 (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O 得BC 1∥D 1O ，8分∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB，又由题(1)可知A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，A 1OOB＝1， ∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.15分 [规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用反证法(线面平行的定义)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[变式训练2] 如图742，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．图742(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离． [解] (1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .4分因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .6分 (2)由V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB ，又V ＝34，可得AB ＝32. 作AH ⊥PB 交PB 于点H .10分由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC .在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132，所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313. 所以A 到平面PBC 的距离为31313.15分如图743所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：图743(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.4分又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.6分(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.8分∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.12分∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.15分[迁移探究] 在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.[证明]如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B.8分又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.15分[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．[变式训练3] 如图744所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：图744(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【证明】(1)如图所示，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.3分又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.7分(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.10分又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.15分1．线线、线面、面面平行的相互转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．2．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．3．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[易错与防范]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．课时分层训练(三十九)直线、平面平行的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．]2.正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是( )图745A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1FD[由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C 四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.]3．(2017·湖州模拟)如图746所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB 的位置关系是( )图746A．异面B．平行C ．相交D ．以上均有可能B [在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1. ∵AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC .∵过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ， ∴DE ∥A 1B 1，∴DE ∥AB .]4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )【导学号：51062233】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αB [若m ∥α，n ∥α，则m ，n 平行、相交或异面，A 错；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n ⊂α，D 错．]5．给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0C [①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中，l 与m 也可能异面；③中，⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γ，l ⊂α，α∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．]二、填空题6．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件：①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b . 其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)． ②④ [在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α，从而α∥β，④满足．]7．如图747所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图7472 [在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.]8．(2017·衡水模拟)如图748，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．图748平面ABC ，平面ABD [连接AM 并延长交CD 于E ，则E 为CD 的中点．由于N 为△BCD 的重心，所以B ，N ，E 三点共线，且EM MA ＝EN NB ＝12，所以MN ∥AB . 于是MN ∥平面ABD 且MN ∥平面ABC .] 三、解答题9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图749所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.【导学号：51062234】图749[解](1)点F，G，H的位置如图所示.6分(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.9分又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.12分又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.15分10．(2017·绍兴质检)如图7410，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图7410求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明](1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.2分又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.6分(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.8分因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.12分因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( )图7411A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°C[因为截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A、B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]2．如图7412所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________. 【导学号：51062235】图74121 [设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.]3．如图7413所示，在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．图7413(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.2分又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.6分(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.8分证明如下：取AB的中点F，连接EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC.12分又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PBC，∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.15分。

2019版高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标41直线平面平行的判定及其性质

第41讲直线、平面平行的判定及其性质[解密考纲]对直线、平面平行的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面平行的判定与性质，常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．(2018·广东揭阳模拟)设两个不同的平面α，β，两条不同的直线 a ，b ，且a ⊂α，b ⊂α，则“a ∥β，b ∥β”是“α∥β”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析因为“a ∥β，b ∥β”，若a ∥b ，则α与β不一定平行，反之若“α∥β”，则一定“a ∥β，b ∥β”，故选B ．2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则(B )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF15BD ，所以EF ∥平面BCD ．又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG ，所以四边形EFGH 是梯形． 3．设a ，b 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是(D ) A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α B ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C ．若a ∥α且a ∥β，则α∥β D ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β解析对于A 项，若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故A 项不正确；对于B 项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B 项不正确；对于C 项，若a ∥α且a ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 项不正确．排除A ，B ，C 项，故选D ．4．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是(A )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④解析由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP .5．已知a ，b 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是(C ) A ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则 a ∥b B ．若a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β C ．若a ∥b ，α∩β＝a ，则b ∥α或b ∥β D ．若直线a 与b 异面，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β解析对于A 项，a 与b 还可能相交或异面，此时a 与b 不平行，故A 项不正确；对于B 项，α与β可能相交，此时设α∩β＝m ，则a ∥m ，b ∥m ，故B 项不正确；对于D 项，α与β可能相交，如图所示，故D 项不正确，故选C ．6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中所有正确命题的序号是(B )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④解析 ①不正确，n 可能在α内．②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m ，n 可能为异面直线．故选B ．二、填空题7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于解析因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF∥AC ，又E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC ，又在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.8．(2018·北京模拟)设α，β，γ是三个不同平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__①③__(把所有正确的题号填上)．解析 ①可以，由a ∥γ得a 与γ没有公共点，由b ⊂β，α∩β＝a ，b ⊂γ知，a ，b 在面β内，且没有公共点，故平行．②a ∥γ，b ∥β不可以．举出反例如下：使β∥γ，b ⊂γ，a ⊂β，则此时能有a ∥γ，b ∥β，但不一定a ∥b .这些条件无法确定两直线的位置关系．③可以，由b ∥β，α∩β＝a 知，a ，b 无公共点，再由a ⊂γ，b ⊂γ，可得两直线平行．9．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，PA ∥平面MQB ，则实数t ＝__13__.解析连接AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，连接MN ，如图，则O 为BD 的中点．又∵BQ 为△ABD 边AD 上中线， ∴N 为正△ABD 的中心．令菱形ABCD 的边长为a ，则AC ＝3a ，AN ＝33a . ∵PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面MQB ＝MN ∴PA ∥MN ，∴PM ∶PC ＝AN ∶AC ，即PM ＝13PC ，∴t ＝13.三、解答题10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△PAB 的重心．求证：平面 A ′ B ′ C ′∥平面 ABC ．证明连接PA′，PC′并延长，分别交BC，AB于M，N. ∵A′，C′分别是△PBC，△PAB的重心，∴M，N分别是BC，AB的中点．连接MN，由PA′PM＝PC′PN＝23知A′C′∥MN，∵MN⊂平面ABC，∴A′C′∥平面ABC．同理，A′B′∥平面ABC，而A′C′和A′B′是平面A′B′C′内的相交直线，∴平面A′B′C′∥平面ABC．11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解析当点F为棱C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE，证明如下：分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE.因为四边形C1CDD1与B1BCC1都为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AQ，求A1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围．解析设平面AD 1Q 与直线BC 交于点G ，连接AG ，QG ，则G 为BC 的中点．分别取B 1B ，B 1C 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MN ，A 1N ，如图所示．∵A 1M ∥D 1Q ，A 1M ⊄平面D 1AQ ，D 1Q ⊂平面D 1AQ ，∴A 1M ∥平面D 1AQ .同理可得MN ∥平面D 1AQ .∵A 1M ，MN 是平面A 1MN 内的两条相交直线，∴平面A 1MN ∥平面D 1AQ .由此结合A 1F ∥平面D 1AQ ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上的动点．设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ，移动点F 并加以观察，可得当点F 与M (或N )重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ＝A 1B 1B 1M＝2；当点F 与MN 的中点重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tan θ＝A 1B 122B 1M ＝2 2.∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围为[2,22]．。

高考数学一轮复习第7章空间几何体的结构及其三视图和直观图第4讲直线、平面平行的判定与性质创新

第4讲直线、平面平行的判定与性质[考纲解读] 1.掌握线线、线面、面面平行的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的平行关系的简单命题．(重点)2．高考的重点考查内容之一，主要以几何体为载体考查线线、线面、面面平行的判定和性质．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的重点考查内容．预测2021年将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体，考查线面平行的判定；②根据平行关系的性质进行转化．试题常以解答题的第一问直接考查，难度不大，属中档题型.1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面□01内的一条直线与此平面□02内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为：线线平行⇒线面平行)⎭⎬⎫□03l⊄α□04a⊂α□05l∥a⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线□06平行(简记为：线面平行⇒线线平行)⎭⎬⎫□07a∥α□08a⊂β□09α∩β＝b⇒a∥b文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条□01相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为：线面平行⇒面面平行)错误!⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面□07相交，那么它们的交线平行⎭⎬⎫□08α∥β□09α∩γ＝a□10β∩γ＝b⇒a∥b3.必记结论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．1．概念辨析(1)假设一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)假设直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如果直线a平行于平面α，直线b∥a，那么b与α的位置关系是( )A．b与α相交B．b∥α或b⊂αC．b⊂αD．b∥α答案 B解析两条平行线中的一条与平面相交，那么另一条也与平面相交，所以由直线b∥a，可知假设b与α相交，那么a与α也相交，而由题目，直线a平行于平面α，所以b与α不可能相交，所以b∥α或b⊂α.应选B.(2)如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，假设PC＝2，CA＝3，CD＝1，那么AB＝________.答案 52解析因为α∥β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，所以CD ∥AB ，所以PC PA＝CD AB .因为PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，所以AB ＝52. (3)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以下结论正确的选项是________(填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1； ③AD 1∥DC 1； ④AD 1∥平面BDC 1. 答案 ①②④解析如图，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形．故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．题型一直线与平面平行的判定与性质角度1 线面平行判定定理的应用1．(2019·全国卷Ⅰ节选)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.证明如图，连接B1C，ME.因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1DC ，可得B 1C A 1D ，故ME ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED .又MN ⊄平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE . 角度2 线面平行性质定理的应用2．如下图，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 ∵CD ∥平面EFGH ，而平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ， ∴CD ∥EF .同理，HG∥CD，∴EF∥HG.同理，HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形，∵CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．又CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形．1．判定线面平行的三种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．如举例说明1；(3)利用面面平行的性质定理①α∥β，a⊂α⇒a∥β；②α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β.2．用线面平行的判定定理证明线面平行(1)关键：在平面内找到一条与直线平行的直线．(2)方法：合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．(3)易错：容易漏掉说明直线在平面外．3．用线面平行的性质定理证明线线平行(1)定势：看到线面平行想到用性质定理．(2)关键：合理选择过直线的平面与平面相交．如举例说明2.1．(2016·全国卷Ⅲ改编)如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．证明：MN ∥平面PAB .证明由得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .2．如下图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和PA 作平面PAHG 交平面BMD 于GH .求证：PA ∥GH .证明如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.题型二平面与平面平行的判定与性质1．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，那么α∥β的充要条件是( )A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析假设α∥β，那么α内有无数条直线与β平行，反之那么不成立；假设α，β平行于同一条直线，那么α与β可以平行也可以相交；假设α，β垂直于同一个平面，那么α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，假设一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．应选B.2．如下图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明 (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，那么GH ∥B 1C 1. 又B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .又G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，A 1B 1綊AB ， ∴A 1G 綊EB .∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB . ∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .又A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面EFA 1∥平面BCHG .条件探究将本例中的条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点〞变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1〞，试求ADDC的值．解如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 所以BC 1∥D 1O ，那么A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 同理，可证AD 1∥DC 1，那么A 1D 1D 1C 1＝DC AD，所以DC AD ＝1，即AD DC＝1.1．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，转化为证明线面平行．如举例说明2(2)． (2)证明两平面垂直于同一条直线． (3)证明两平面与第三个平面平行． 2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行． (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．(2019·某某模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面PAB ； (2)求三棱锥P －ABM 的体积．解 (1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥PA .∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，＝AN ， ∴∠A ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴∥AB . ∵⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴∥平面PAB . 又∩MN ＝N ，∴平面CMN ∥平面PAB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面PAB ，∴点M 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°， ∴BC ＝3，∴三棱锥P －ABM 的体积V ＝V M －PAB ＝V C －PAB ＝13×12×1×2×3＝33.题型三立体几何中的探索性问题(2019·某某三模)如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M －BC 1E 的体积．解 (1)如图，在棱C 1D 1上取点N ，使D 1N ＝A 1M ＝1.又D 1N ∥A 1M ，∴四边形A 1MND 1是平行四边形， ∴MN ∥A 1D 1∥AD .∴四边形AMND 为平行四边形， ∴AM ∥DN .过C 1作C 1E ∥DN 交CD 于点E ，连接BE ， ∴DN ∥平面BC 1E ，AM ∥平面BC 1E ， ∴CE ＝1.(2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，∴VM －BC 1E ＝VA －BC 1E ＝VC 1－ABE ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×3×4＝6.线面平行的探究性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，那么存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，那么不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE .假设M 为线段A 1C 的中点，那么在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________(填序号)．①MB 是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 答案 ①②④解析如图，取DC 的中点N ，连接MN ，NB ，那么MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∵MB ⊂平面MNB ，∴MB ∥平面A 1DE ，④正确；∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得，MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos∠MNB ，所以MB 是定值，①正确；B 是定点，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD 满足AC ⊥DE 时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．组基础关1．假设平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，那么在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线答案 A解析当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，应选A.2．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且m ，n ⊂α，那么“α∥β〞是“m ∥β且n ∥β〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析假设m ，n ⊂α，α∥β，那么m ∥β且n ∥β；反之假设m ，n ⊂α，m ∥β且n ∥β，那么α与β相交或平行，即“α∥β〞是“m ∥β且n ∥β〞的充分不必要条件．3.如下图，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，假设PA′∶AA′＝2∶3，那么△A′B′C′与△ABC面积的比为( ) A．2∶5B．3∶8C．4∶9D．4∶25答案 D解析∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC ＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25，应选D.4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在以下四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )答案 A解析A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，那么QD∥AB.∵QD∩平面MNQ ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，那么AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C 项，作如图③所示的辅助线，那么AB ∥CD ，CD ∥MQ ，∴AB ∥MQ .又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，∴AB ∥平面MNQ .D 项，作如图④所示的辅助线，那么AB ∥CD ，CD ∥NQ ，∴AB ∥NQ .又AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，∴AB ∥平面MNQ .应选A.5．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，那么( )A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形答案 B解析如图，由题意得EF ∥BD ，且EF ＝15BD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG ∥BD ，且HG ＝12BD .所以EF ∥HG ，且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．又EF ∥平面BCD ，而EH与平面ADC 不平行，应选B.6．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有以下三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中的真命题是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③答案 C解析直线AA 1∥平面α，且平面α与平面AA 1C 1C 、平面AA 1B 1B 分别交于FG ，EH ，所以AA 1∥FG ，AA 1∥EH ，所以FG ∥EH .又平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，平面α与平面ABC 、平面A 1B 1C 1分别交于EF ，GH ，所以EF ∥GH .所以四边形EFGH 为平行四边形．因为AA 1∥平面α，且AA 1⊥平面ABC ，所以平面α⊥平面ABC ，即平面α⊥平面BCFE .平面α与平面BCC 1B 1可能相交，考虑特殊情况：F 与C 重合，G 与C 1重合，此时满足题意，但是两平面相交．综上，应选C.7．(2019·某某模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内(不包括边界)，假设B 1P ∥平面A 1BM ，那么C 1P 的最小值是( )A.305 B.2305C.275D.475答案 B解析如图，在A 1D 1上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接DN ，NB 1，B 1Q ，QD ，∵DN ∥BM ，DQ ∥A 1M 且DN ∩DQ ＝D ，BM ∩A 1M ＝M ，∴平面B 1QDN ∥平面A 1BM ，那么动点P 的轨迹是DN (不含D ，N 两点)．又CC 1⊥平面ABCD ，那么当CP ⊥DN 时，C 1P 取得最小值，此时，CP ＝2×112＋22＝25， ∴C 1P 的最小值是⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋22＝2305.8．(2019·某某模拟)以下三个命题在“________〞处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，那么此条件是________．⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α①⇒l ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ②⇒l ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥m m ⊥α③⇒l ∥α.答案 l ⊄α解析 ①l ∥m ，m ∥α⇒l ∥α或l ⊂α，由l ⊄α⇒l ∥α； ②l ⊄α，m ⊂α，l ∥m ⇒l ∥α；③l ⊥m ，m ⊥α⇒l ∥α或l ⊂α，由l ⊄α⇒l ∥α.9.(2020·海淀模拟)如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD上，那么PQ ＝________.答案223a解析如下图，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ，又平面PQNM ∩平面ABCD ＝PQ ，MN ⊂平面PQNM ，∴MN ∥PQ .又MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23， ∴PQ ＝23AC ＝223a .10．如图，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，那么M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案M位于线段FH上(答案不唯一)解析连接HN，FH，FN，那么FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，那么MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.组能力关1．如图是正方体的平面展开图，关于这个正方体有以下判断：①ED与NF所成的角为60°；②∥平面AFB；③BM∥DE；④平面BDE∥平面NCF.其中正确判断的序号是( )A．①③B．②③C．①②④D．②③④答案 C解析把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD－EFMN，得ED与NF所成的角为60°，故①正确；∥BE，⊄平面AFB，BE⊂平面AFB.∴∥平面AFB，故②正确；BM与ED是异面直线，故③不正确；∵BD∥FN，BE∥，BD∩BE＝B，BD⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面NCF，故④正确．正确判断的序号是①②④，应选C.2．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，那么m，n所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13答案 A解析如图，过点A补作一个与正方体ABCD－A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知m，n所成角为∠EAF1，因为△EAF1为正三角形，所以sin∠EAF1＝sin60°＝32，应选A.3．如下图，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB ＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，那么函数y ＝f(x)的图象大致是( )答案 C解析过M 作MQ ∥DD 1，交AD 于点Q ，连接QN .∵MQ ⊄平面DCC 1D 1，DD 1⊂平面DCC 1D 1， ∴MQ ∥平面DCC 1D 1，∵MN ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1.又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于QN 和DC ，∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x ，∵MQAQ＝DD 1AD＝2. ∴MQ ＝2x .在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1，∴y 2－4x 2＝1(0≤x <1,1≤y <5)，∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分，应选C.4．(2019·某某某某模拟)如图，四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明 (1)如图，连接AE ，那么AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，那么MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 的中点，N 为AD 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD ∥平面MNG ，又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以平面BDE ∥平面MNG .5．底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，E 是AB 上一点，且AE BE ＝12，在侧棱PD 上能否找到一点F ，使AF ∥平面PEC .解设AF 存在，过F 点作DC 的平行线交PC 于点G ，连接EG ，如图．∵AB ∥CD ，∴AE ∥FG . 那么AE ，GF 确定一个平面，假设AF ∥平面PEC ，那么AF ∥EG .∴AE ＝GF .而AE BE ＝12.∴AE ＝13AB .又AB ＝CD ，∴GF ＝13DC .∵GF ∥DC ，∴GF DC ＝PF PD ＝13.∴存在这样的F 点⎝ ⎛⎭⎪⎫PF PD ＝13，使AF ∥平面PEC . 组素养关(2019·某某某某一中模拟)三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点，点E 在侧棱CC 1上，DE ∥平面AB 1C 1.(1)证明：E 是CC 1的中点；(2)设∠BAC ＝90°，四边形ABB 1A 1是边长为4的正方形，四边形ACC 1A 1为矩形，且异面直线DE 与B 1C 1所成的角为30°，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．解 (1)证明：连接A 1D ，A 1E 分别交AB 1，AC 1于点M ，N ，连接MN ，∵DE ∥平面AB 1C 1，DE ⊂平面A 1DE ，平面A 1DE ∩平面AB 1C 1＝MN ，∴DE ∥MN ，又在三棱柱侧面A 1ABB 1中，D 为AB 的中点，∴A 1B 1＝2AD ，由AD ∥A 1B 1可得，∠MAD ＝∠MB 1A 1，∠MDA ＝∠MA 1B 1，所以△ADM ∽△B 1A 1M ，故A 1M ＝2MD ，∵DE ∥MN ，∴A 1N ＝2NE ，在平面A 1ACC 1中，同理可证得△A 1NA ∽△ENC 1， ∴CC 1＝AA 1＝2EC 1. 故E 是CC 1的中点．(2)取BB 1的中点F ，连接EF ，DF ，可知EF ∥B 1C 1，故∠DEF 为异面直线DE 与B 1C 1所成的角，设AC ＝x ，那么在△DEF 中，可求得DE ＝x 2＋8，DF ＝22， EF ＝BC ＝x 2＋16，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝32＝x 2＋8＋x 2＋16－82x 2＋8 x 2＋16，解得x ＝4，故VABC －A 1B 1C 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4×4＝32.。

2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第四节直线、平面平行的判定及其性质课件理

(4)若直线 a∥α，P∈α，则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条． (5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两 (6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线
答案：(1)× (2)×
(3)×
(4)× (5)×
(6)√
2．如果直线 a∥平面 α，那么直线 a 与平面 α 内的 A．一条直线不相交 C．无数条直线不相交 B．两条直线不相交
(
)
D．任意一条直线都不相交
解析：因为直线 a∥平面 α，直线 a 与平面 α 无公共点，因此直线 a 和平面 α 内的任意一条直线都不相交，故选 D.
答案：D
3．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是 ( A．平行 C．异面 B．相交 D．以上均有可能 )
解析：与一个平面平行的两条直线可以平行，相交，也可以异面．
证明：(1)连接EC， 1 ∵AD∥BC，BC＝ AD， 2 ∴BC綊AE， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点，∴FO∥AP. ∵FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， ∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点， ∴FH∥PD. ∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD， ∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
[题型技法]
判定定理法证明线面平行
在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．

2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第四节直线平面平行的判定及其性质课时作业

第四节直线、平面平行的判定及其性质课时作业A组——基础对点练1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．答案：A2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C. 答案：C5．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．答案：C6．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D 1，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④7．如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD8．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(1)求四棱锥O ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O ABCD 的高．∵四棱锥O ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，∵ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .9.(2018·石家庄质检)如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上一点，且PC ＝3PN .(1)求证：MN ∥平面PAB ； (2)求点M 到平面PAN 的距离．解析：(1)证明：在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH (图略)，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1.又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ， ∴四边形AMNH 为平行四边形，∴MN ∥AH ，又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .(2)连接AC ，MC ，PM (图略)，平面PAN 即为平面PAC ，设点M 到平面PAC 的距离为h . 由题意可得CD ＝22，AC ＝23， ∴S △PAC ＝12PA ·AC ＝43，S △AMC ＝12AM ·CD ＝2，由V M PAC ＝V P AMC ，得13S △PAC ·h ＝13S △AMC ·PA ，即43h ＝2×4，∴h ＝63， ∴点M 到平面PAN 的距离为63. 10．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点，∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都相等，体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组——能力提升练1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①是假命题；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②是假命题；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．答案：A2．已知直线a ，b 异面，给出以下命题； ①一定存在平行于a 的平面α使b ⊥α； ②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α； ③一定存在平行于a 的平面α使b ⊂α；④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点．则其中正确的是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．②③④解析：对于①，若存在平面α使得b ⊥α，则有b ⊥a ，而直线a ，b 未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a ，b 外一点M 分别引直线a ，b 的平行线a 1，b 1，显然由直线a 1，b 1可确定平面α，此时平面α与直线a ，b 均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a 平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.答案：D3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是( )①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．故选B.答案：B4．(2018·郑州市质检)如图，直三棱柱ABCA′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为( )A．2 B．2πC．2 3 D．4解析：连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4，故选D.答案：D5．在三棱锥P ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交PA 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．答案：647．如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13·S △BCM ·PA 2＝453.。

届数学一轮复习第七章立体几何第四节平行关系教师文档教案文

第四节平行关系授课提示:对应学生用书第131页［基础梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行)因为l∥a，aα，lα，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）因为l∥α，lβ，α∩β＝b，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β,b∥β，a∩b＝P，aα，bα，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b1．判定定理序号文字语言图形语言符号语言判定定理2如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行错误!⇒α∥β判定定理3平行于同一个平面的两个平面平行错误!⇒α∥γ2.性质定理序号文字语言图形语言符号语言性质定理2如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面α∥β且aα⇒a∥β性质定理3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线α∥β且l⊥α⇒l⊥β3。

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时,一般遵循从“低维"到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行"；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用．[四基自测］1．(易错点：线面平行的性质)下列命题中正确的是() A．若a，b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα,则b∥α答案：D2．(基础点:线面平行的判定）下列四个正方体图形中,A，B为正方体的两个顶点，M,N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(）A．①③B．②③C．①④ D．②④答案：C3．（基础点：空间平行关系的判定）在正方体ABCD。

2019版高考数学(文)第7章立体几何第4讲直线、平面平行的判定及性质 Word版含答案

()利用面面平行的性质定理(α∥β，⊂α⇒∥β)；
()利用面面平行的性质(α∥β，⊄α，⊄β，∥α⇒∥β图所示的几何体中，△，△都是等边三角形，且所在平面平行，四边形是边长为的正方形，且所在平面垂直于平面.
()求几何体的体积；
()证明：平面∥平面.
解()取的中点，的中点，连接，，，.
满分策略
证明平行问题应注意的三个问题
()因为⊥平面，为的中点，所以到平面的距离为.
取的中点，连接.
由＝＝，得⊥，＝＝.
由∥，得到的距离为，
故△＝××＝.
所以四面体－的体积－＝·△·＝.
命题角度用线面平行证明线线平行
例[·长春一调]如图所示，是以为直径的半圆弧上异于，的点，矩形所在平面垂直于该半圆所在的平面．
()求证：⊥；
()设平面与半圆弧的另一个交点为.
[考点自测]
．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
()如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()
()如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()
()若直线与平面α内无数条直线平行，则∥α.()
()平行于同一平面的两条直线平行．()
()若直线上有无数个点不在平面α内，则∥α.()
．∥α，∥α，则∥．∥，∥α，则∥α
．⊥α，⊥β，则α∥β．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
答案
解析对于，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故不正确；
对于，∥，∥α，则∥α或⊂α，故不正确；
对于，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；
对于，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故不正确．故选.
又⊄平面，⊂平面，∴∥平面.

高考数学一轮复习第七章立体几何第三节直线、平面平行的判定与性质讲义(含解析)

第三节直线、平面平行的判定与性质突破点一直线与平面平行的判定与性质[基本知识]直线与平面平行的判定定理和性质定理[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a ∥平面α，P ∈α，则过点P 且平行于直线a 的直线有无数条．( )(3)空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF ∥平面BCD .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√二、填空题1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是________________．答案：平行、相交或异面2．若直线a ∩直线b ＝A ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系是____________________．解析：因为a ∥α，∴a 与平面α没有公共点，若b ⊂α，则A ∈α，又A ∈a ，此种情况不可能．∴b ∥α或b 与α相交．答案：b ∥α或b 与α相交3．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面AEC 的位置关系为________．答案：平行[全析考法]考法一线面平行的判定[例1] 如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：P Q∥平面ABCD.[证明] 法一：如图，取AE的中点G，连接PG，Q G.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，D Q＝Q F，AG＝GE，所以G Q∥AD，又G Q⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以G Q∥平面ABCD.因为PG∩G Q＝G，PG⊂平面P Q G，G Q⊂平面P Q G，所以平面P Q G∥平面ABCD.又P Q⊂平面P Q G，所以P Q∥平面ABCD.法二：如图，连接E Q并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH.因为EF∥DH，所以∠EF Q＝∠HD Q，又F Q＝Q D，∠E Q F＝∠D Q H，所以△EF Q≌△HD Q，所以E Q＝Q H.在△BEH中，BP＝PE，E Q＝Q H，所以P Q∥BH.又P Q⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以P Q∥平面ABCD.考法二线面平行性质定理的应用[例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD 外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.。

2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.4直线平面平行的判定与性质学案理

7．4 直线、平面平行的判定与性质[知识梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理3．必记结论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．[诊断自测]1．概念思辨(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A2P61T1(2))如果直线a平行于平面α，直线b∥a，则b与α的位置关系是( )A．b与α相交B．b∥α或b⊂αC．b⊂αD．b∥α答案 B解析两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与已知平面相交，所以由直线b∥a，可知若b与α相交，则a与α也相交，而由题目已知，直线a平行于平面α，所以b与α不可能相交，所以b∥α或b⊂α.故选B.(2)(必修A2P58T3)已知m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，下列命题中正确的个数是( )①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析①仅满足m⊂α，n⊂β，m∥n，不能得出α∥β，此命题不正确；②设m，n 确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，此命题正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．故选A.3．小题热身(1)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案 D解析选项A ，B ，C 显然错误．∵PA ⊥平面ABC ，∴∠PDA 是直线PD 与平面ABC 所成的角．∵ABCDEF 是正六边形，∴AD ＝2AB .∵tan ∠PDA ＝PA AD ＝2AB2AB＝1，∴直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.故选D.(2)已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：① }a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② }a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ }c ∥αc ∥β⇒α∥β； ④ }α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ }c ∥αa ∥c ⇒a ∥α；⑥ }a ∥γα∥γ⇒a∥α.其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①④解析由三线平行公理，知①正确；两条直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面，故②错误；两个平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，故③错误；面面平行具有传递性，故④正确；一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内，故⑤错误；一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可能平行也可能直线在平面内，故⑥错误．题型1 平行关系命题的真假判定典例 (2018·豫西五校联考)已知m ，n ，l 1，l 2表示不同直线，α，β表示不同平面，若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2排除法．答案 D解析对于选项A ，当m ∥β且l 1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A 不是α∥β的充分条件；对于选项B ，当m ∥β且n ∥β时，若m ∥n ，则α，β可能平行也可能相交，故B 不是α∥β的充分条件；对于选项C ，当m ∥β且n ∥l 2时，α，β可能平行也可能相交，故C 不是α∥β的充分条件；对于选项D ，当m ∥l 1，n ∥l 2时，由线面平行的判定定理可得l 1∥α，l 2∥α，又l 1∩l 2＝M ，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m ∥l 1且n ∥l 2不一定成立，故D 是α∥β的一个充分条件．故选D.方法技巧解决平行关系命题真假判断的一般思路1．判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．3．结合实物进行空间想象，比较判断．冲关针对训练(2017·山西长治二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β答案 C解析对于A，墙角的三个墙面α，β，γ满足条伴，但γ与β相交，故A错误；m⊂α，n⊂β，且m，n平行于α，β的交线时符合B中条件，但α与β相交，故B错误；由m∥n，m⊥α可推出n⊥α，结合n⊥β可推出α∥β，故C正确；由D中的条件得α与β可能平行也可能相交，故D错误．所以选C.题型2 直线与平面平行的判定与性质角度1 直线与平面平行的判定与性质P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中典例(2017·保定期中)如图，点．(1)求证：PB∥平面EAC；(2)若M是CD上异于C、D的点，连接PM交CE于G，连接BM交AC于H，求证：GH∥PB.利用中位线证线线平行从而证线面平行，利用线面平行证线线平行．证明(1)连接BD，交AC于O，连接EO，则O是BD的中点．又E是PD的中点，∴PB∥EO.∵PB⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，∴PB∥平面EAC.(2)由(1)知PB∥平面EAC，又平面PBM∩平面EAC＝GH，∴根据线面平行的性质定理得GH∥PB.角度2 直线与平面平行的探索性问题P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC 典例(2018·包河月考)在底面是菱形的四棱锥＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.(1)证明：l∥CD；(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．通过证明面面平行来证明线面平行．证明(1)∵菱形ABCD，∴AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，∴AB∥l，∵AB∥CD，∴l∥CD.(2)当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下，如图取PE 的中点M ，连接FM ，由于M 为PE 中点，F 为PC 中点，所以FM ∥CE .①由M 为PE 中点，得EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，因为四边形ABCD 是菱形，则O 为BD 的中点，由于E 是MD 的中点，O 是BD 的中点，所以BM ∥OE .②由①FM ∥CE ②BM ∥OE 知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC . 方法技巧线面平行问题的证明策略1．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．2．判断或证明线面平行的方法：①线面平行的定义(反证法)；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理．3．线面平行的探究性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．冲关针对训练(2017·济南一模)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°，EF ∥AC ，EF ＝ 3.求证：FC ∥平面BDE .证明设AC∩BD＝O，连接EO.∵底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴OC＝ 3.∵EF∥AC，EF＝OC＝3，∴EFCO为平行四边形，∴FC∥EO，∵FC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴FC∥平面BDE.题型3 平面与平面平行的判定与性质ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1典例如图所示，在三棱柱的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明 (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，则GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .又G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，A 1B 1綊AB ， ∴A 1G 綊EB .∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB . ∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面EFA 1∥平面BCHG .[条件探究] 在典例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求AD DC的值．解连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 同理可证AD 1∥DC 1，则A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1. 方法技巧1．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，转化为证明线面平行． (2)证明两平面垂直于同一条直线． (3)证明两平面与第三个平面平行． 2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．冲关针对训练(2018·西安模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．解 (1)证明：由题设知BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD －A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.1.(2017·福建八校联考)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行答案 B解析如图，MC 1⊂平面DD 1C 1C ，而平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故MC 1∥平面AA 1B 1B .2．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案 ②③④解析对于①，由m ⊥n ，m ⊥α可得n ∥α或n 在α内，当n ∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错误；对于②，过直线n 作平面与平面α交于直线c ，由n ∥α可知n ∥c ，∵m ⊥α，∴m ⊥c ，∴m ⊥n ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.3．(2018·河北唐山统考)在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．答案 8解析过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过E ，F 分别作EN ∥PB ，FM ∥PB ，分别交AB ，BC 于点N ，M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.4．(2018·石家庄质检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上一点，且PC ＝3PN .(1)求证：MN ∥平面PAB ； (2)求点M 到平面PAN 的距离．解 (1)证明：在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1.又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ， ∴四边形AMNH 为平行四边形， ∴MN ∥AH .又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .(2)连接AC ，MC ，PM ，平面PAN 即为平面PAC ，设点M 到平面PAC 的距离为h . 由题意可得CD ＝22，AC ＝23， ∴S △PAC ＝12PA ·AC ＝43，S △AMC ＝12AM ·CD ＝2，由V M －PAC ＝V P －AMC ，得13S△PAC·h＝13S△AMC·PA，即43h＝2×4，∴h＝6 3，∴点M到平面PAN的距离为63.[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2018·南开模拟)下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错误；一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错误；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错误；故选C.2．下列命题中，错误的是( )A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α，β，γ，δ的交线为a，b，c，d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案 D解析D错误，当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，如图，α⊥β，直线AB与α，β都成45°角，但α∩β＝l.故选D.3．(2018·福建联考)设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m⊥l，m⊥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对①，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②，直线l可能在平面α内，故②错误；对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故③错误；对④，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确．综上①④正确．故选B.4．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，则MN与平面BDH的关系是( )A．MN∩平面BDH＝M B．MN⊂平面BDHC．MN∥平面BDH D．MN⊥平面BDH答案 C解析连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN，如图所示．∵M，N分别是BC，GH的中点，∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .故选C.5．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25 答案 D解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面PAB ∩α＝A ′B ′，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB .又∵PA ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝PA ′∶PA ＝2∶5.同理B ′C ′∶BC ＝A ′C ′∶AC ＝2∶5.∴△A ′B ′C ′与△ABC 相似，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25，故选D.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，若A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定答案 B解析连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1.∴MP ∥平面BB 1C 1C ，PN ∥平面AA 1D 1D .∴平面MNP ∥平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.7．(2018·宜昌一模)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE 答案 B解析在平行四边形AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1.所以AM 綊BN ，所以MN 綊AB ，又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC＝EF ，所以MN ∥EF ，所以EF ∥AB ，显然在△ABC 中，EF ∥MN ，EF ≠MN ，所以四边形MNEF 为梯形．故选B.8．(2017·安徽阜阳一中模拟)过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 ( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条答案 D解析如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH，平面MNPQ均与平面BDD1B1平行，平面EFGH和平面MNPQ 中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12条直线符合要求．故选D.9．(2018·河南三市联考)如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是 ( )答案 C解析过M 作MQ ∥DD 1，交AD 于Q ，连接QN .∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1，又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于QN 和DC ，∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x .∵MQ AQ ＝DD 1AD＝2，∴MQ ＝2x .在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1，∴y 2－4x 2＝1(x ≥0，y ≥1)，∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C.10．(2018·昆明模拟)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B.4532C ．45D ．45 3答案 A解析取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝452.故选A.二、填空题11．如图，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________.答案 5解析 ∵AB ∥平面α，AB ⊂平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴AB ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝12(AB ＋CD )＝5.12．如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC 、平面ABD解析连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.答案64解析如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．14．如图，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案 M 位于线段FH 上(答案不唯一)解析连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只要M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.B 级三、解答题15．(2018·石家庄质检二)如图，在三棱柱ABC －DEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，BC ＝212.点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且点G 在AE 上，FG ＝3，点M在线段CF 上，且CM ＝14CF .(1)证明：直线GM ∥平面DEF ； (2)求三棱锥M －DEF 的体积．解 (1)证明：∵点F 在平面ABED 内的正投影为G ， ∴FG ⊥平面ABED ，∴FG ⊥GE . 又BC ＝212＝EF ，FG ＝3，∴GE ＝32. ∵四边形ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，∴AE ＝2，∴AG ＝12.如图，过点G 作GH ∥AD 交DE 于点H ，连接FH .则GH AD ＝GE AE ，∴GH ＝32，由CM ＝14CF 得MF ＝32＝GH . 易证GH ∥AD ∥MF ，∴四边形GHFM 为平行四边形，∴MG ∥FH . 又GM ⊄平面DEF ，∴GM ∥平面DEF .(2)由(1)知GM ∥平面DEF ，连接GD ，则有V M －DEF ＝V G －DEF . 又V G －DEF ＝V F －DEG ＝13FG ·S △DEG ＝13FG ·34S △DAE ＝34，∴V M －DEF ＝34.16．(2018·郑州质检二)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1，M 为AB的三等分点，现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC .(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离．解 (1)当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC .理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP . 在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12，∵△ADB 中，AP PB ＝12，∴AD ∥PN .∵AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ，∴AD ∥平面MPC . (2)∵平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ，平面AMD 中AM ⊥DM ，∴AM ⊥平面MBCD . ∴V P －MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝16.在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52，MC ＝2，又PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， ∴S △MPC ＝12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝64. ∴点B 到平面MPC 的距离为d ＝3V P －MBC S △MPC ＝3×1664＝63.17．(2018·简阳市模拟)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M，N ，Q 分别是PA ，BD ，PD 的中点．(1)求证：MN ∥PC ；(2)求证：平面MNQ ∥平面PBC .证明 (1)由题意：P －ABCD 是四棱锥，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别是PA ，BD，PD的中点，连接AC，∴N是AC的中点．∴MN是三角形ACP的中位线，∴MN∥PC.(2)由(1)可得MN∥PC.∵M，Q分别是PA，PD的中点，∴MQ是三角形ADP的中位线，∴MQ∥AD.又由AD∥BC，∴MQ∥BC.由MQ∥BC，MN∥PC，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，同理MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN＝M.∴平面MNQ∥平面PBC.18．(2018·德州模拟)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，CE⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明(1)如图，取BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD，知CO⊥BD.又CE⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，所以BD⊥OE.又因为O是BD中点，所以BE＝DE.(2)如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC, BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.。