【数学】2015年高考真题——四川卷(文)(word版含解析)

一、选择题1、设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝( )(A){x |－1＜x ＜3} (B){x |－1＜x ＜1} (C){x |1＜x ＜2} (D){x |2＜x ＜3} 2、设向量A ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)63、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法 4、设A ，b 为正实数，则“A ＞b ＞1”是“log 2A ＞log 2b ＞0”的( )(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A)y ＝sin (2x ＋2π) (B)y ＝cos (2x ＋2π) (C)y ＝sin 2x ＋cos 2x (D)y ＝sinx ＋cosx 6、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )(A) (C)－12 (D)127、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A)3(C)68、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系k x b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时9、设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )(A)252 (B)492(C)12 (D)14 10、设直线l 与抛物线y 2＝4x 相较于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4) 二、填空题11、设i 是虚数单位，则复数1i i-＝_____________. 12、lg 0.01＋log 216＝_____________.13、已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________.14、在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.15、已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋Ax (其中A ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的A 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的A ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的A ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．(本小题满分12分)设数列{A n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2A n －A 3，且A 1，A 2＋1，A 3成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1{}na 的前n 项和为T n ，求T n .17、(本小题满分12分)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P 1,P 2,P 3,P 4,P 5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P 1因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.(I)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两(II)若乘客P 1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P 1坐到5号座位的概率.18、(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (I)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (II)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF 平面BEG19、(本小题满分12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tAnA 、tAnB 是关于方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R )两个实根.(Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝3，AC p 的值20、(本小题满分13分)如图，椭圆E ：22221x y a b +=(A >b >0)的离心率是2，点(0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅＝－1(I)求椭圆E 的方程；(II)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.21、(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－2lnx ＋x 2－2Ax ＋A 2，其中A >0. (I)设g (x )为f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性； (II)证明：存在A ∈(0，1)，使得f (x )≥g (x ).参考答案1、【答案】A【解析】集合A ＝(－1，2)，B ＝(1，3)，故A ∪B ＝(－1，3)，选A 2、【答案】B3、【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C 4、【答案】A【解析】A ＞b ＞1时，有log 2A ＞log 2b ＞0成立，反之也正确.选A 5、【答案】B【解析】A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π 但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y(2x ＋4π)是非奇非偶函数故正确答案为B 6、【答案】D【解析】第四次循环后，k ＝5，输出S ＝sin 56π＝12，选D 7、【答案】D8、【答案】C【解析】由题意，2219248bk be e +⎧=⎪⎨=⎪⎩得1119212bk e e⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝31()2×192＝24(小时)当动点在线段AC上时xy取得最大此时2x＋y＝10xy＝12(2x·y)≤21225()222x y+=当且仅当x＝52，y＝5时取等号，对应点落在线段AC上,故最大值为252选A10、【答案】D二、填空题11、【答案】2i【解析】12 i i i ii-=+=12、【答案】2【解析】lg0.01＋log216＝－2＋4＝2【解析】由已知可得tAnα＝－22sinαcosα－cos2α＝22222sin cos cos2tan1411 sin cos tan141ααααααα----===-+++14、【答案】1 2415、【答案】①④【解析】对于①，因为f '(x)＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取A＝－8，即g'(x)＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '(x)＝g'(x)，即2x ln2＝2x＋A记h(x)＝2x ln2－2x，则h'(x)＝2x(ln2)2－2三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【解析】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力.(Ⅰ) 由已知S n＝2A n－A1，有A n＝S n－S n－1＝2A n－2A n－1(n≥2)即A n＝2A n－1(n≥2)从而A2＝2A1，A3＝2A2＝4A1，又因为A1，A2＋1，A3成等差数列即A1＋A3＝2(A2＋1)所以A1＋4A1＝2(2A1＋1)，解得A1＝2所以，数列{A n}是首项为2，公比为2的等比数列故A n＝2n.(Ⅱ)由(Ⅰ)得112nna=所以T n＝211[1()]111122 (1)1222212nn n-+++==--17、(本小题满分12分)【解析】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.(II)若乘客P1做到了2号座位，其他乘客按规则就坐则所有可能坐法可用下表表示为设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4 所以P (A )＝4182= 答：乘客P 5坐到5号座位的概率为12. 18、【解析】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力. (I)点F ，G ，H 的位置如图所示(II)平面BEG ∥平面ACH .证明如下因为ABCD －EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ,于是BCEH 为平行四边形所以BE ∥CH 又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH 同理BG ∥平面ACH ,又BE ∩BG ＝B ,所以平面BEG ∥平面ACH (Ⅲ)连接FH 因为ABCD －EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH 因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG又EG ⊥FH ，EG ∩FH ＝O ，所以EG ⊥平面BFHD 又DF ⊂平面BFDH ，所以DF ⊥EG同理DF ⊥BG 又EG ∩BG ＝G 所以DF ⊥平面BEG .19、【解析】 (Ⅰ)由已知，方程x 2－p ＋1＝0的判别式△＝)2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tAnA ＋tAnB ，tAnAtAnB ＝1－p 于是1－tAnAtAnB ＝1－(1－p )＝p ≠0从而tAn (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B p+==-所以tAnC ＝－tAn (A ＋B )C ＝60°(Ⅱ)由正弦定理，得sin B ＝sin 2AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去)于是A ＝180°－B －C ＝75°则tan A ＝tAn 75°＝tan(45°＋30°)＝001tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+-所以ptAnA ＋tAnB )1)＝－120、(本小题满分13分)【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证呢过能留、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. (I)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅＝－1于是2222112b caa b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩，解得A ＝2，b所以椭圆E 方程为22142x y +=. (II)当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝22(24)(21)21k k λλ--+--+＝－21221k λλ---+所以，当λ＝1时，－21221k λλ---+＝－3此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值11 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.21、(本小题满分14分)【解析】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.(I)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)g (x )＝f '(x )＝2(x －1－lnx －A )所以g '(x )＝2－22(1)x x x-= 当x ∈(0，1)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞)，g (x )单调递增(II)由f '(x )＝2(x －1－lnx －A )＝0，解得A ＝x －1－lnx令Φ(x )＝－2xlnx ＋x 2－2x (x －1－lnx )＋(x －1－lnx )2＝(1＋lnx )2－2xlnx则Φ(1)＝1＞0，Φ(e )＝2(2－e )＜0于是存在x 0∈(1，e )，使得Φ(x 0)＝0令A 0＝x 0－1－lnx 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－lnx (x ≥1)由u '(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增 故0＝u (1)＜A 0＝u (x 0)＜u (e )＝e －2＜1即A 0∈(0，1)当A ＝A 0时，有f '(x 0)＝0，f (x 0)＝Φ(x 0)＝0再由(I )知，f '(x )在区间(1，＋∞)上单调递增当x ∈(1，x 0)时，f '(x )＜0，从而f (x )＞f (x 0)＝0当x ∈(x 0，＋∞)时，f '(x )＞0，从而f (x )＞f (x 0)＝0又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －A 0)2－2xlnx ＞0故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0综上所述，存在A ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.。