重庆市人教版高中数学必修二导学案：第三章第二节直线的一般式方程

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高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2

3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0；条件：A ，B 不同时为零；简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。

高中数学必修二 3.2.3 直线的一般式方程教案新人教A版必修2

3.2.3 直线的一般式方程（一）导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA ，在y 轴上的截距为-BC 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下： 0轴上的截距例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?（3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交?（4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0.∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________.答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ①移项，去系数得斜截式y=2x ＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0.（四）知能训练课本本节练习1、２、３.（五）拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.（七）作业习题3.2 A 组11.。

高中数学人教A版必修二教案：3.2.3直线的一般式方程

教师概括指出：由于任何一条
直线都可以用一个关于 x，y 的二元
一次方程表示；同时，任何一个关
于 x，y 的二元一次方程都表示一条
--------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------
在直角坐标系中画直线时，通
5．例 6
常找出直线下两个坐标轴的交点.
把直线 l 的一般式方程 x –
例 6 解：将直线 l 的一般式
2y + 6 = 0 化成斜截式，求出直方程化成斜截式 y = 1 x + 3.
线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴
2
上的截距，并画出图形.
因此，直线 l 的斜率 k = 1 ，它 2
引入课题
理解直线和
（2）每一个关于 x，y 的二论，即当 B≠0 时和当 B = 0 时两种
形成概念
二元一次方
元一次方程 Ax + By + C = 0 (A, 情形进行变形. 然后由学生去变形
程的关系.
B 不同时为 0)都表示一条直线吗?判断，得出结论：
关于 x，y 的二元一次方程，它
都表示一条直线.
由③得：m≠–1 且 m≠ 1 ， 2
由④得：m = –1 或 4 ，所以 m 4
3
3
--------------------------------------------------------
定实数 m 的值.
（1）l 在 x 轴上的截距为–3；（2）斜率为 1.

人教版数学必修二3.2.3《直线的一般方程》表格教案

【三】例题解析例1：已知直线经过点()4,6-A ，斜率为34-，求直线的点斜式和一般式方程。

变式训练：由下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：（1）在y 轴上的截距为2，斜率是1-；（2）经过点()2,3-A 并与直线01243=--y x 垂直。

讲解例题，学生自行完成变式训练。

根据条件选择合适的直线方程形式表示直线，再写成一般式。

特别注意，变式训练（2）有两种方法，若有直接设出方程3x -4y +m =0的须号召大家鼓掌表扬！例2：把直线l 的一般方程x -2y +6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．变式训练：求直线l :2x -5y -10=0与坐标轴围成的三角形的面积.设计意图：例1是从“数”的方面加深了对一般式的认识，例2则从“形”的方面来进一步认识一般式，于是数与形就有了和谐的结合。

这里还要注意提醒学生：画出一条直线的基本步骤是：画平面直角坐标系，找直线上不同的2点（方法任选，如赋值法等），连接这2点并延长。

【画、找、连】【四】探究与升华我们通过直线的点斜式可以看出直线上的一点和它的斜率，通过截距式可以看出直线在x ,y 轴上的截距，但是这些直线方程的特殊形式都不能表示平面直角坐标系内任意一条直线。

而可以表示平面直角坐标系内的任意一条直线的一般式的系数A ,B ,C 与直线的位置和特征有什么联系呢？探究1.在方程Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)中，（1）当A =0，B ≠0，C ≠0时，方程表示的直线与y 轴；（2）当A 、B 不同时为0，C =0时，方程表示的直线必过。

探究2：在方程Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线：（1）平行于轴；（2）与两坐标轴都相交。

练习：1.已知直线l :Ax +By +C =0的图象如图所示，则（）A.若C >0，则A >0，B >0B.若C >0，则A <0，B >0C.若C <0，则A >0，B <0D.若C <0，则A >0，B >02.设点()00,y x P 在直线Ax +By +C =0。

人教版高中数学必修二 3.2.3直线的一般式方程

作业：
P100 练习：2、3. P101习题3.2 A组：10
思考5:设直线l1、 l2的方程分别为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，在什么条件下有l1⊥l2？
A1A2+B1B2=0
理论迁移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例5 已知直线经过点A（6，-4），
斜率为 4 ，求直线的点斜式和一般式方
程.
3
练习：p99 1
例6 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
Ax+By+C=0
思考4:关于x，y的二元一次方程 Ax+By+C=0（A，B不同时为0），
当B=0时，方程表示的图形是什么？
当B≠0时，方程表示的图形是什么？
知识探究（二）：一般式方程的变式探究
思考2:如何由直线的一般式方程 Ax+By+C=0，求直线的斜率及在两坐标轴上的截距？
思考3:当A，B，C分别为何值时，直线Ax+By+C=0平行于x轴？平行于y轴？与x轴重合？与y轴重合？过原点？
问题提出
1.直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式等基本形式，这些方程的外在形式分别是什么?
2. 我们能否将这些直线方程统一为一个形式？
知识探究（三）：直线方程的一般式
思考1:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x，y的方程，这些方程所属的类型是什么？
思考2:二元一次方程的一般形式是什么？

高中数学 (直线的一般式方程)教案新人教版必修2 教案

巩固所学知识和方法。
学生独立完成，教师检查、评价。
问题
设计意图
师生活动
8、小结
使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用X围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
9、布置作业
学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含项、含项、常数项顺序排列；项的系数为正；，的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。
5、例6的教学
把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形。
使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位合的直线方程的形式。然后由学生自主探索得到问题的答案。
4、例5的教学
已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。
使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学设想
问题
设计意图
师生活动
1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？
使学生理解直线和二元一次方程的关系。
关于的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。

人教版高一数学必修二第三章直线与方程教案

教学课题人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。

②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。

人教课标版高中数学必修2导学案-直线的一般式方程

1 / 4课题：§3.2.3直线的一般式方程学习目标1.复习直线方程的四种形式；2.掌握直线方程的一般式；3.熟练将直线方程的五种形式相互转换；4.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

导学过程：一、课前准备（预习教材9997P P -，找出疑惑之处）复习1：（1）已知直线经过原点和点)4,0(，则直线的方程________________________________ （2）在x 轴上截距为1-，在y 轴上的截距为3的直线方程________________________________ （3）已知点)2,1(A 、)1,3(B ，则线段AB 的垂直平分线方程是______________________________复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示吗？二、新课学习探究1.直线方程与二元一次方程问题1：若直线经过),(000y x P ，你准备用哪种形式写方程？条件具备吗?需要注意什么问题？（1）斜率存在（2）斜率不存在能否将上面的两种情况统一成一个形式？设任意一个二元一次方程0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）它是否表示一条直线呢？分几种情况讨论？由以上的分析，可以得到：2 / 4新知1我们把关于x ，y 的二元一次方程0=++C By Ax （*）其中A 、B 不同时为0，叫做直线的一般式方程，简称一般式。

※例题分析例1．已知直线经过)4,6(-A ，斜率为34-，求直线的点斜式方程和一般式方程变式：把直线l 的一般式方程062=+-y x 化为斜截式方程，求出直线l 的斜率及其它在x 轴和y 轴上的截距，并画出图形例2.a 为何值时，直线042)1(=+--y x a 与直线01=--ay x ，（1）平行；（2）垂直※动手试试练1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式（1）经过点)2,8(-A ，且斜率为21-；（2）经过点)2,4(B ，平行于x 轴；（3）经过点)2,3(-A ，)4,5(-B ；（4）在x 轴，y 轴的截距分别是4，-3*练2．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为01=+-y x ，求直线PB 的方程3 / 4三、总结提升 ※.学习小结（1）五种直线方程的形式，注意一些形式的使用范围；（2）点与直线的关系点),(000y x P 在直线0=++C By Ax 上⇔000=++C By Ax学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）A ．很好B ．较好C ．一般D ．较差※当堂检测1．若01)34()4(22=++-+-y m m x m 表示直线（）A ．2±≠m 且1≠m ，3≠mB ．2±≠mC ．1≠m 且3≠mD ．R m ∈2．斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（） A ．063=++y xB ．023=+-y xC ．063=-+y xD ．023=--y x3．直线l 的方程为0=++C By Ax ，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（） A ．0,0>=B CB ．0,0,0>>=A B CC ．0,0<=AB CD ．0,0>=AB C4．斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是____________________5．两直线03=--ay x 与032=++y ax 互相垂直，则a 的值为_________________ 课后作业1．已知直线1l ：06=++my x ，和直线2l ：023)2(=++-m y x m ，试求实数m的值（1）21l l ⊥ （2）1l //2l （3）1l 与2l 重合*2．光线经过点)3,2(P射到直线x，反射后经过)1,1(Q点，求+y+1=反射光线所在直线方程。

高中数学必修二 3.2.3 直线的一般式方程

=
1.
重难点突破
12
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的,而两点式和点斜式不唯一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.
注意:在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一般式方程,化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了;其他形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化;一般式方程化为其他形式的方程时,要注意限制条件,它们有如下的转化关系:
��
��
一般式化截距式的步骤:
(1)把常数项移到方程右边,得 Ax+By=-C;
(2)当
C≠0
时,方程两边同除以-C,得
�� -��
+
�� -��
=
1;
(3)化为截距式
�� -��
+
�� -��
①当 B≠0 时,则− �� = ��(斜率), − �� = ��(��轴上的截距);
��
��
②当
B=0�
=
��(��轴上的截距),
此时斜率不存在.
知识梳理
知识拓展1.当AB>0时,k<0,倾斜角α为钝角;当AB<0时,k>0,倾斜角α 为锐角;当A=0,B≠0时,k=0,倾斜角α=0°;当B=0,A≠0时,k不存在,倾斜角α=90°.
方法二:由两点式方程得 ��-0 = ��-1 , 即x+3y-1=0.
1-0 -2-1
精选例题
题型一题型二题型三题型四

人教版高中数学必修二学案：3.2直线的方程

3.2 直线的方程 3．2.1 直线的点斜式方程[新知初探]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.[点睛] 经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可以分为两类： ①斜率存在的直线，方程为y －y 0＝k (x －x 0)； ②斜率不存在的直线，方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0. 2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[点睛](1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y －3＝m (x ＋1)恒过定点(－1,3)( ) (2)对于直线y ＝2x ＋3在y 轴上截距为3( ) (3)直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k ( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________．解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2. 答案：y ＝－3x ＋2[典例] 已知点A (3,3)和直线l ：y ＝34x －52.求：(1)过点A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程； (2)过点A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程． [解] 因为直线l ：y ＝34x －52，所以该直线的斜率k ＝34.(1)过点A (3,3)且与直线l 平行的直线方程为y －3＝34(x －3)．(2)过点A (3,3)且与直线l 垂直的直线方程为y －3＝－43(x －3)．[活学活用]1．直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，求直线l 的点斜式方程．解：直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，∴倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，∴直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1. 又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4＝－(x －3)． 2．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求直线AB 的点斜式方程．解：因为A (－1,2)，B (m,3)，当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，没有点斜式方程；当m ≠－1时，直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，直线AB 的点斜式方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1).[典例] 根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. [解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5. (2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得方程为y ＝－33x －2.(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k ＝tan 60°＝ 3.由于直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.[活学活用]求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5.[典例] (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ [解] (1)由题意可知，kl 1＝－1，kl 2＝a 2－2，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行． (2)由题意可知，kl 1＝2a －1，kl 2＝4，∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．对于不能用斜截式方程表示的直线，判断它们的位置关系时，需注意： (1)若两条直线的斜率均不存在，则有l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (2)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则有l 1⊥l 2.(3)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在但不为0，则两条直线既不平行也不垂直．[活学活用]1．已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________. 解析：由题意可知a ·(a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 答案：－12．若直线l 1：y ＝－2a x －1a与直线l 2：y ＝3x －1互相平行，则a ＝________.解析：由题意可知⎩⎨⎧－2a＝3，－1a ≠－1，解得a ＝－23.答案：－23层级一学业水平达标1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线方程y ＋2＝－x －1可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2解析：选D 直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式得y ＝3x －2. 3．直线y －b ＝2(x －a )在y 轴上的截距为( ) A ．a ＋b B ．2a －b C ．b －2aD ．|2a －b |解析：选C 由y －b ＝2(x －a )，得y ＝2x －2a ＋b ，故在y 轴上的截距为b －2a . 4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.5．若两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：选B 由a ＝2－a ，得a ＝1.6．设a ∈R ，如果直线l 1：y ＝－a 2x ＋12与直线l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1平行，那么a ＝________.解析：由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1.答案：－2或17．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．解析：由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4.答案：－48．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标是________．解析：将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，∴过定点(2,3)．答案：(2,3)9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直．解：(1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等．∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1. (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12.∴m ＝34.10．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程．解：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋2. 令y ＝0得，x ＝2k －2k.由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2.解得，k ＝12.可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)，综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．层级二应试能力达标1．过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)解析：选C 由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率等于12，其方程为y －3＝12(x ＋1)，选C.2．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )解析：选D 对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0.故选D.3．若y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)有两个公共点，则a 的取值范围是( ) A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1解析：选A y ＝x ＋a (a >0)表示斜率为1，在y 轴上的截距为a (a >0)的直线，y ＝a |x |表示关于y 轴对称的两条射线．∴当0<a ≤1时，只有一个公共点；当a >1时，有两个公共点，故选A.4．若原点在直线l 上的射影是P (－2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y ＝0 B ．y －1＝－2(x ＋2) C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝2x ＋3解析：选C ∵直线OP 的斜率为－12，又OP ⊥l ，∴直线l 的斜率为2.∴直线的点斜式方程为y －1＝2(x ＋2)，化简，得y ＝2x ＋5，故选C.5．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且与x ，y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l 方程为________________．解析：设l ：2x ＋3y ＋c ＝0，令x ＝0，则y ＝－c 3，令y ＝0，则x ＝－c2，∴－c3＋⎝⎛⎭⎫－c 2＝56，∴c ＝－1. 答案：2x ＋3y －1＝0 6．给出下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确结论的序号为________．解析：①不正确．方程k ＝y ＋2x ＋1不含点(－1,2)；②正确；③正确；④只有k 存在时成立．答案：②③7．已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1的斜率相等且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， ∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， ∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.8．求斜率为16，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程．解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，令x ＝0得y ＝b .令y ＝0得x ＝－6b ， ∴S ＝12|b |×|－6b |＝3，∴b 2＝1即b ＝±1，∴所求的直线方程为y ＝16x ±1.3．2.2&3.2.3 直线的两点式方程、直线的一般式方程[新知初探]1．直线的两点式与截距式方程[点睛] (1)截距式方程中间以“＋”相连，右边是1. (2)a 叫做直线在x 轴上的截距，a ∈R ，不一定有a >0. 2．直线方程的一般式 (1)直线与二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．②每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[点睛] 解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )答案：(1)× (2)√2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －－2－－，整理得x －y＋3＝0.答案：x －y ＋3＝0[典例] 线方程．[解] ∵A (2，－1)，B (2,2)，A ，B 两点横坐标相同，直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0. ∴三边AB ，AC ，BC 所在的直线方程分别为 x ＝2，x －y －3＝0，x ＋2y －6＝0.[活学活用]已知直线经过点A (1,0)，B (m,1)，求这条直线的方程．解：由直线经过点A (1,0)，B (m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当直线斜率不存在，即m ＝1时，直线方程为x ＝1；(2)当直线斜率存在，即m ≠1时，利用两点式，可得直线方程为y －01－0＝x －1m －1，即x －(m －1)y －1＝0.综上可得：当m ＝1时，直线方程为x ＝1；当m ≠1时，直线方程为x －(m －1)y －1＝0.[典例] 求过点A (5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．[解] 法一：(1)当直线l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0，综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0，或x －y －3＝0. 法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)， x ＝0时，y ＝2－5k ，y ＝0时，x ＝5－2k.根据题意得2－5k ＝－⎝⎛⎭⎫5－2k ，解方程得k ＝25或1. 当k ＝25时，直线方程为y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0；当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)，即x －y －3＝0. [一题多变]1．[变条件]若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x 轴上的截距是y 轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0适合题意．(2)当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1，又l 过点(5,2)，∴52a ＋2a ＝1，解得a ＝92.∴l 的方程为x ＋2y －9＝0.2．[变条件]若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是92”，其它条件不变，如何求解？解：由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在，设其方程为x a ＋yb＝1.∴⎩⎨⎧5a ＋2b ＝1， ①12|a ||b |＝92， ②②可化为ab ＝±9，解⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，ab ＝9，无解，解得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，ab ＝－9，得⎩⎨⎧a ＝－152，b ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3.∴l 的方程为4x －25y ＋30＝0或x －y －3＝0.[典例] 已知直线l 1：ax ＋2y －3＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y －a ＝0，求满足下列条件的a 的值． (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.[解] 法一：直线l 1可化为y ＝－a 2x ＋32.(1)当a ＝－1时，l 2：x ＝－13与l 1不平行；当a ≠－1时，直线l 2：y ＝－3a ＋1x ＋a a ＋1， ∵l 1∥l 2，∴－a 2＝－3a ＋1且32≠aa ＋1，解得a ＝2.(2)当a ＝－1时，l 2：x ＝－13与l 1不垂直；当a ≠－1时，l 2：y ＝－3a ＋1x ＋aa ＋1，∵l 1⊥l 2，∴－a 2·⎝⎛⎭⎫－3a ＋1＝－1，解得a ＝－25.法二：由题可知A 1＝a ，B 1＝2，C 1＝－3， A 2＝3，B 2＝a ＋1，C 2＝－a .(1)当l 1∥l 2时，⎩⎪⎨⎪⎧aa ＋－2×3＝0，a－a －－×3≠0，解得a ＝2.(2)当l 1⊥l 2时，A 1A 2＋B 1B 2＝0，即3a ＋2(a ＋1)＝0，解得a ＝－25.[活学活用]已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解：法一：l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二：(1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－12)．将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.层级一学业水平达标1．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y－2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y3＝1 D.x －3＋y 2＝1 解析：选C 由直线的截距式方程可得x －2＋y3＝1.2．直线x 3＋y4＝1，化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：选C 直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.3．直线x a ＋yb ＝1过第一、三、四象限，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：选B 因为直线过第一、三、四象限，所以它在x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负，所以a >0，b <0.4．已知M ⎝⎛⎭⎫3，72，A (1,2)，B (3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线的斜率为( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－12解析：选B AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1＋32，2＋12，即⎝⎛⎭⎫2，32，又点M ⎝⎛⎭⎫3，72，故所求直线的斜率k ＝72－323－2＝2.5．已知过点A (－5，m －2)和B (－2m,3)的直线与直线x ＋3y ＋2＝0平行，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．10D ．－10解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为k ＝－13，∴m －5－5＋2m＝－13，解得m ＝4. 6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝07．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－32，∴y ＝－32x ；(2)不过原点时，设为x a ＋y－a ＝1，∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝08．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：2x －ay －a ＝0平行，则常数a 的值为________．解析：由于l 1∥l 2，所以1×(－a )－(－2)×2＝0且－2×(－a )－(－a )×(－1)≠0，得a ＝4. 答案：49．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m4；令y ＝0，得x ＝－m 3，所以－m3＋⎝⎛⎭⎫－m 4＝73，解得m ＝－4，所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.10．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k 的值； (2)若这两条直线平行，求k 的值．解：(1)根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52.∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52. (2)根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意． ∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.层级二应试能力达标1．经过点A (1,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：选B 当直线过原点时1条，不过原点时有两条，故B 正确． 2．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( ) A ．y ＝－3x －4 B ．y ＝3x －4 C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝－3x ＋4解析：选A 因为A (1,3)，B (－5,1)，所以线段AB 的中点坐标为(－2,2)，直线AB 的斜率为3－11－－＝13，所以线段AB 的中垂线的斜率为－3，所以以A ，B 为端点的线段的垂直平分线的方程是y －2＝－3(x ＋2)，即y ＝－3x －4，选A.3．已知点M (1，－2)，N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0.又点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C.4．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0解析：选A ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.5．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为________．解析：方程可化为y ＝(3－2t )x －6，∵直线不经过第一象限，∴3－2t ≤0，得t ≥32.答案：⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 6．已知点A (0,1)，点B 在直线l ：x ＋y ＝0上运动，则当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．解析：当线段AB 最短时，AB ⊥l ，所以k AB ＝1.由直线的斜截式，得直线AB 的方程为y ＝x ＋1，故直线AB 的一般式方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝07．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边上的中垂线的方程．解：(1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)，由两点式，得BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －－－2－－，即2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2.又AC 的中点坐标为(－4,2)，由点斜式，得AC 边上的中垂线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.8．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．解：根据题意，设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意，知a >2，b >1，∵l 过点M (2,1)，∴2a ＋1b ＝1，解得b ＝aa －2，∴△AOB 的面积S ＝12ab ＝12a ·aa －2，化简，得a 2－2aS ＋4S ＝0. ①∴Δ＝4S 2－16S ≥0，解得S ≥4或S ≤0(舍去)． ∴S 的最小值为4，将S ＝4代入①式，得a 2－8a ＋16＝0，解得a ＝4，∴b＝aa－2＝2.∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.。

高中数学必修2教案-5.示范教案(3.2.3 直线的一般式方程)

3.2.3 直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A 、B 、C 的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A 、B 、C 的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.三维目标1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.推进新课新知探究提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA ，在y 轴上的截距为-BC 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下：应用示例例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6). 化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?（3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交?（4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0.∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32 例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x ＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0.知能训练课本本节练习1、２、３.拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x . ∴直线恒过(2,3)点.课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业习题3.2 A 组11.设计感想本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→习得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x,y 的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A 、B 、C 的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.。

人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.2.3直线的一般式方程》教案

3.2.3 直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.三维目标1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课新知探究提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下：应用示例例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6). 化成一般式，得4x+3y-12=0. 变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴? （5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点, 证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0. ∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 知能训练课本本节练习1、２、３. 拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系. 解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点. 课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业习题3.2 A 组11.。

高中数学(323 直线的一般式方程)教案(pdf)新人教A版必修2 教案

课题： 3.2.3直线的一般式方程教学内容：直线方程的一般式教学目的：掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式.教学重点：直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点：直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，及直线方程各种形式的互化.教学过程：一、课前复习在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.二、讲解新课提出问题(1)坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x ,y 的二元一次方程?(2)关于x ,y 的一次方程的一般形式A x +B y +C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?引入新课知识点1直线方程的一般式:A x +B y +C=0（其中A,B 不同时为0）(1)在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y =kx +b .2°当α=90°时，它的方程可以写成x =x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.(2)当B≠0时，方程可化为y =-B A x -B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x =-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论：关于x ,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x ,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把A x +B y +C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.指出:(1)一般地，需将所求的直线方程化为一般式.(2)特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形.形式方程局限各常数的几何意义点斜式y -y 1=k (x -x 1)除x =x 0外(x 1,y 1)是直线上一个定点,k是斜率斜截式y =kx +b除x =x 0外k 是斜率,b 是y 轴上的截距两点式121121x x x x y y y y −−=−−除x =x 0和y =y 0外(x 1,y 1)、(x 2,y 2)是直线上两个定点截距式by a x +=1除x =x 0、y =y 0及y =kx外a 是x 轴上的非零截距,b 是y 轴上的非零截距一般式A x +B y +C=0无当B≠0时,-B A 是斜率,-BC 是y 轴上的截距三、典例解析例1已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y +4=-34(x -6).化成一般式，得4x +3y -12=0.例2把直线l 的方程x -2y +6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0，①移项，去系数得斜截式y =2x＋3.②由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y =0，可得x =－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （略）.例3（1）一条直线和y 轴相交于点P (0，2），它的倾斜角的正弦值是54，求这条直线的方程.（2）菱形的两条对角线长分别等于8和6，并分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.（3）求过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：（1）设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝54，cos α＝±2)54(1−＝±53，∴tan α＝±34，∴由点斜式得：y －2＝±34x ，即y ＝34x ＋2，y ＝－34x ＋2为所求.（2）设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如右图所示.根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称.所以A (－４，0)，C （４，0），B （0，3），D （0，－3）。

人教版高中数学必修二导学案：第三章第二节直线的一般式方程

第三章第二节直线一般式方程三维目标1．掌握直线方程一般式形式特征；2．会把直线方程一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3．会把直线方程点斜式、两点式化为一般式；4. 学会用分类讨论思想方法解决问题，学会用联系观点看问题.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1*问题1.到目前为止，我们已经学习了直线方程哪些形式？试写出相应直线方程。

问题2.在平面直角坐标系中，是否每一条直线都可以用一个关于y x ,二元一次方程来表示呢？试说明理由.问题3.在平面直角坐标系中，是否每一个关于y x ,二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线呢？为什么？问题4.什么叫直线一般式方程？问题5.在学习了直线方程点斜式、斜截式、两点式、截距式基础上我们今天学习了直线方程一般式，请思考（1）和直线其它方程形式相比，一般式方程具备怎样特点？（2）在一般式方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）中，当A,B,C 为何值时，方程表示直线①平行于x 轴 ②平行于y 轴 ③与x 轴重合 ④与y 轴重合【学做思2】1. 把直线l 一般式方程260x y -+=化成斜截式，求出直线l 斜率以及它在x 轴与y 轴上截距，并画出图形.2. 设直线l 方程为22(23)(21)620m m x m m y m --++-+-=，请分别根据下列条件求字母m 值：（1）l 在x 轴上截距是-3; （2）l 斜率为1.【变式】直线l 过P (－6,3)，且它在x 轴上截距等于它在y 轴上截距一半，其方程是_____．3.已知直线1l :ay ＋6＝0，直线2l ：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0（1）若1l //2l ，求a 值．（2）若1l ⊥2l ，求a 值．达标检测1.已知直线Ax ＋By ＋C ＝0横截距大于纵截距，则A 、B 、C 应满足条件是( )A ．A ＞B B ．A ＜B C.C A ＋C B ＞0 D.C A －C B＜0 2.直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．±1D ．－323.直线l 1:ax －y ＋b ＝0，l 2:bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)图像只可能是下图中( )4.与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1直线l 方程是____________.5.纵截距为－4，与两坐标轴围成三角形面积为20直线一般式方程为___________．。

人教版高中数学必修二说课稿：3.2.3+直线的一般式方程

3.2.3 直线的一般式方程说课稿直线的一般式方程是普通高中课程标准实验教科书人教版高一年级数学必修2第三章第二节的内容。

一．教材分析1.本节的作用和地位本节是在学习直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式的基础上引导学生认识他们的实质，即都是二元一次方程，从而对直线与二元一次方程的关系进行探究，进而得出直线的一般方程，这也为下节课的学习做好准备。

2.重点难点分析（1）重点：理解直线与二元一次方程的关系及直线的一般方程式。

（2）难点：理解直线的一般方程及直线与二元一次方程一一对应的关系。

3．教学目标知识与技能目标：1、明确直线方程一般式的形式特征；2、会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3、会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

过程与方目标通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题。

情感态度与价值观通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。

同时，让学生认识事物之间的普遍联系与互相转化。

二．教学方法本节课主要采取“分析法”“讨论法”“归纳法”相结合进行教学。

在整个教学过程中，引导学生观察，分析，概括，归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开。

培养学生学习的兴趣，也充分体现以教师为主导，学生为主体的教学理念。

三．教学过程1．重点回顾问题：（1）平面内的直线，它们的直线方程有几种表示形式？（2）从上述几种形式的直线方程中，你能否找到它们的共同特点呢？-----教师让学生回顾，观察，发表自己的见解。

学生能够积极主动地投入到课堂中，充分调动他们思维的活跃性。

2. 深入思考问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y 的二元一次方程表示吗？----教师让学生思考，接着观察，思考、讨论、交流。

然后教师巡视课堂辅导个别学生，从而引导学生分类讨论。

培养学生动手、动脑、归纳概括的能力以及分类讨论的思想。